Glättung von digitalisierten Konturdaten

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1 Glättung von digitalisierten Konturdaten Dipl.-Ing. Ulf Carlsen Problematik Das Schleifen von Nockenwellen ist aufgrund der hohen Anforderungen an die Geometrie hinsichtlich maximaler Krümmung und Krümmungsänderung ein komplizierter Prozeß. Dem entgegen stehen meist die beschreibenden Eingangsdaten, welche in diskreter Form geliefert werden. Von den Entwicklungsabteilungen kommen u.u. sogar nur Muster, nach denen gefertigt werden soll. Um Ausgangsdaten für die Programmierung zu bekommen, bleibt dann nur das Digitalisieren der Kontur. Die Ungenauigkeiten des Digitalisierprozesses führen wiederum zu Daten, die für die direkte Nutzung für das Programm ungeeignet sind, weil sie zu unregelmäßigen Oberflächen mit Unstetigkeiten im Anstieg und der Krümmung führen. Die so entstehenden Werkstücke genügen meist nicht den Anforderungen der Kunden. Um zu besseren Daten für die Programmierung zu kommen, müssen die gelieferten oder digitalisierten Konturen also mit hohen Anforderungen geglättet werden. Lösungsweg Zur Glättung diskreter Daten werden in der Mathematik sehr oft Splines genutzt. Es gibt eine Vielzahl von Splinetypen, die alle für spezielle Anwendungsgebiete entwickelt wurden. Recht einfach und deswegen in der Technik oft eingesetzt werden Polynome. Mit Polynomen lassen sich Kurvenzüge sowohl in der Ebene als auch im Raum beschreiben. Wesentliches Merkmal von Polynomen ist der Polynomgrad. Von diesem Grad sind die Eigenschaften des Polynoms abhängig. Geeignet für die Glättung diskreter Daten sind quintische Polynome, also Polynome mit dem höchsten Exponent 5. F(x) = A*x 5 + B*x 4 + C*x 3 + D*x 2 + E*x + F Formel: quintisches Polynom In der mathematischen Fachliteratur werden Wege beschrieben, wie die Koeffizienten A,B,C,D,E und F des Polynoms bestimmt werden können. Im angewandten Fall wird das entstehende Gleichungssystem durch spezielle Verfahren zur Berechnung von Streifenmatrizen gelöst /1/. Neben der Forderungen an die Glattheit des Konturzuges müssen jedoch weitere Bedingungen beachtet werden. So darf der Spline nicht unterhalb des Grundkreises einer Nocke verlaufen. Dazu kommt, daß natürlich auch Forderungen an die Genauigkeit gestellt werden, vor allem die Bereiche der maximalen Öffnung und die am Rand liegenden Öffnungs- und Schließbereiche. Eine Analyse unterschiedlicher Nockenkonturen ergab außerdem, daß die Grunddaten starken Qualitätsschwankungen unterliegen. Deshalb muß an eine Möglichkeit gedacht werden, die eventuell automatisch berechneten Splinekurven nachträglich zu beeinflussen, um das Berechnungsergebnis weiter optimieren zu können. Folgende Aufgaben lassen sich ableiten: 1. Bereitstellung eines Verfahrens zur Berechnung von Splines auf der Grundlage von diskreten Konturdaten, 2. Realisierung einer Nutzeroberfläche zur Visualisierung der Grund- und Splinedaten, sowie zur Manipulierung der Kurven, 3. Einbindung der Software in die Steuerungsumgebung.

2 Realisierung Berechnungsverfahren Das gewählte Berechnungsverfahren beruht auf der Lösung eines Gleichungssystems aus 6 Gleichungen. Die Zusammenstellung der Gleichungen in einer Matrix erlaubt das spezielle Lösungsverfahren für Streifenmatrizen. Grundlage sind ausgewählte Stützstellen der Kontur, für die näherungsweise Anstieg und Krümmung auf dem Wege von Differenzenquotienten angegeben werden. Das zu berechnende Kurvenstück verläuft also mit den angegebenen Werten für Anstieg und Krümmung durch die Stützstellen hindurch (vgl. Bild 1 und 2). Bild 1: Stützstellen und Verlauf von 6 Splinekurven einer Nockenkontur Bild 2 Stützstellen und Verlauf von 4 Splinekurven einer Nockenkontur Die Bilder 1 und 2 zeigen verschiedene Berechnungsparameter bei der Splinebestimmung. Im ersten Bild wird mit 7 Stützstellen gerechnet, im zweiten mit 5. Die Darstellungen zeigen im unteren Teil eine Kurve, die die Annäherung der Splines an die vorgegebene Kontur beschreibt, als ein Maß für die erreichte Genauigkeit ist. Während Bild 1 im ersten Abschnitt Abweichungen in positiver Richtung zeigt, sind bei Bild 2 hauptsächlich negative Abweichungen zu erkennen, d.h. die Splinekurve verläuft hauptsächlich unterhalb der Sollkurve (die hellere der Glockenkurven ist die Splinekontur).

3 Nutzungsoberfläche und Optimierung Für die Darstellung der Berechnungsergebnisse und für nachträgliche Eingriffe in die Berechnung mußte eine Oberfläche realisiert werden, die die wesentlichen Eigenschaften der Splinekurven veranschaulichen. Folgende Daten werden dargestellt (vgl. Bilder 3 bis 6): Bild 3 BB Sollkontur ( Ausgangsdaten ) Bild 3 geglättete Kontur ( Splinedaten ) Profil und Maß der auftretenden Abweichungen Anstieg der Kurvenabschnitte ( beide ), Bild 4

4 Krümmung der Kurvenabschnitte Bild 5 maximale und minimale Abweichung als Zahlenwerte Bild 6 eine Legende mit den Farbcodes der Kurven Für die nachträgliche Optimierung der Ergebnisse können folgende Parameter an den inneren Stützstellen geändert werden: 1. Anzahl der Splinestützstellen, 2. Position der Splinestützstellen, 3. Offset zum Hubwert an den inneren Stützstellen, 4. Offset zum Anstieg in den Stützstellen und 5. Offset zur Krümmung in den Stützstellen.

5 Ergebnisse Die Erfahrungen zeigen, daß zur Optimierung der Konturdaten mit allen diesen Parametern gearbeitet werden sollte. Welche Parameter konkret verändert werden sollten, kann von vornherein nicht angegeben werde, zu unterschiedlich sind die bisher getesteten Ausgangsdaten. Neben der manuellen Optimierung der Daten erweist sich die automatische Glättungsfunktion als sehr hilfreich, vor allem wenn viele Änderungen vorgenommen wurden. Bild 7 zeigt die Ergebnisse nach Änderungen in den Punkten Position und Krümmung der ersten Stützstelle. Jede Änderung zieht sofort die Neuberechnung der Splinekurven sowie deren Darstellung und Abweichungsanalyse nach sich. Damit wird erreicht, daß auch die Tendenzen der gerade eingebrachten Änderung erkennbar sind. Handhabung: Bild 7: manuelle Optimierung der Splinekurven Alle Einstellungen und Aktionen werden mit der alphanumerischen Tastatur vorgenommen. Hauptsächlich werden die Funktionstasten, die Tasten des numerischen Feldes und die Cursortasten verwendet. Lediglich für die Eingabe von Dateinamen sind alpha-tasten erforderlich. Optional ist eine Variante erstellt worden, bei der eine Maus als zusätzliches Eingabemedium genutzt werden kann. Die Ausgabe erfolgt in Standard-VGA (640x480 Punkte, 16 Farben). Der VIEW-Teil, in dem die berechnete Nocke dargestellt und analysiert werden kann, verwendet zum Teil auch höhere Auflösungen. Der Bildschirm wird höhenbezogen in 3 Bereiche gegliedert. Im obersten Bereich erfolgt die Darstellung der Kurven zu den eingelesenen Hubdaten und den berechneten Splinedaten. Dieser Bereich ist mit ca. 60% der Bildschirmfläche auch der größte. Der mittlere Bereich ist für Informationen für den Anwender vorgesehen. Gleichzeitig erfolgt hier auch die schrittweise Änderung der Parameter zur Beeinflussung der Kurvenberechnung. Der untere Bereich ist für die Anzeige der Funktionstasten mit den entsprechenden Titeln für anwählbare Aktionen reserviert. Dabei erhalten nur aktive Tasten eine Beschriftung.

6 Für die Darstellung der Kurven, der Funktionstasten, der Beschriftung der Achsen und des Bildschirmhintergrundes wurden eine Farbeinstellung gewählt, die auf Standard-VGA- Bildschirmen gut unterscheidbar sind. Zudem können diese Farben über Eintragungen in der INI-Datei verändert werden. Damit sollte eine Optimierung auf LCD-Bildschirme oder bestimmte Umgebungen leicht möglich sein. Einbindung in die Steuerungsumgebung Die verwendete Steuerung arbeitet intern mit einer Datenbank. Neben einer Version, bei der die Daten aus einer Datei gelesen werden, wurde eine Version entwickelt, die direkt Daten aus der Steuerung verwendet und die Berechnungsergebnisse wieder in die Datenbank einträgt. Zunächst werden die Splinedaten wieder diskretisiert, d.h. es werden die Punkte auf den Kurven ausgegeben. Derzeit in Entwicklung ist beim Steuerungshersteller die direkte Einbindung dieser speziellen Splinebeschreibung in die Interpolation. Damit wird ein noch besseres Bearbeitungsergebnis möglich sein, als es mit den geglätteten diskreten Daten möglich ist. Großer Wert wurde auf die Konfigurierbarkeit des Programmes gelegt. Deshalb wurden wesentliche Parameter für den Programmlauf in einer INI-Datei abgelegt. Über Einträge in dieser INI-Datei werden zum Beispiel verschiedene Sprachen aktiviert, die Farben für die Oberfläche konfiguriert und die wählbaren Zoomfaktoren für die Kurvendarstellung festgelegt. Literatur: /1/ Hoschek, J. Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung Lasser, D. Stuttgart, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1992