Dieter Brandt. Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Baden-Württemberg

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1 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis 1 Materialien für die Graphikrechner TI-83 und TI-83 Plus Dieter Brandt Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Baden-Württemberg

2 2 Materialien zum neuen Lehrplan Inhaltsverzeichnis VORWORT DER TI-83 PLUS ALLGEMEINES EINE KURZE EINFÜHRUNG IN DAS ARBEITEN MIT DEM TI-83 PLUS FUNKTIONSUNTERSUCHUNG MIT DEM TI-83 PLUS TANGENTEN UND NORMALEN WEITERFÜHRUNG DER DIFFERENTIALRECHNUNG GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN: POLE, ASYMPTOTEN EINFÜHRUNG IN DIE INTEGRALRECHNUNG ANWENDUNGEN DER INTEGRALRECHNUNG NÄHERUNGSVERFAHREN FOLGEN EINE ABITURAUFGABE WAS TUN WENN...? STICHWORTVERZEICHNIS Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Trotzdem übernimmt der Autor und Texas Instruments für die Richtigkeit der Angaben, Hinweise und Ratschläge sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung. Flash ist ein Warenzeichen von Texas Instruments. Copyright Incorporated. Alle Rechte vorbehalten.

3 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Vorwort 3 Die vorliegende Handreichung ist sowohl für die Lehrerfortbildung wie auch als Vorlage für den Unterricht gedacht. Die Auswahl der Themen und Befehle entspricht der Konzeption des neuen Lehrplans 2002 für die Neue Gymnasiale Oberstufe (Klassen 12 und 13) in Baden-Württemberg. In anderen Bundesländern z.b. in Sachsen werden grafische Taschenrechner schon seit einigen Jahren auch im Abitur eingesetzt. Diese Handreichung bezieht sich teilweise auf dort gesammelte Erfahrungen. So stammt die behandelte Abituraufgabe in Kapitel 11 aus Sachsen. Einige Hinweis zur Benutzung dieser Handreichung: Für Neueinsteiger wird empfohlen, zunächst Kapitel 2 Eine kurze Einführung in das Arbeiten mit dem TI-83 Plus durchzuarbeiten. Dort werden allgemeine Vorgehensweisen und Eigenschaften des Rechners vorgestellt. Alternativ kann der an einer praxisbezogenen Einführung Interessierte auch gleich mit Kapitel 3 Funktionsuntersuchung mit dem TI 83 Plus beginnen. Dort werden alle Schritte ausführlich dargestellt, später wird für Details bei Standardaufgaben teilweise darauf verwiesen. Kapitel 3 hat für den Unterricht grundlegende Bedeutung, weil nach dem neuen Lehrplan vor allem Funktionsuntersuchungen mit grafischen Taschenrechnern durchgeführt werden sollen. Die weiteren Kapitel bieten auf unterschiedlichem Niveau Möglichkeiten, den Rechner für weitere Themen des Oberstufenunterrichts einzusetzen. Jedes Kapitel kann weitgehend unabhängig von den anderen bearbeitet werden. Das Vorgehen ist kleinschrittig, in der Regel wird jeder erforderliche Tastendruck nach dem Symbol angegeben. Die Eingaben sind mit einem Zeichensatz angegeben, der den Tasten des Rechners entspricht. Nur Ziffern bei Zahleneingaben in Termen und Buchstaben von Variablen sind in der Regel nicht in diesem Zeichensatz wiedergegeben. Bei der Eingabe sollte man verfolgen, was die Tastenfolgen bewirken, damit man Fehler leichter korrigieren kann. Es wird nur ein minimaler Befehlssatz verwendet, der sich in der Unterrichtspraxis bewährt hat. Im Vordergrund steht das Arbeiten mit Schaubildern. Berechnungen werden möglichst unmittelbar am Schaubild interaktiv durchgeführt und nur bisweilen - wenn es nicht anders möglich oder ungünstig ist - gesondert. Wenn der Rechner nicht so arbeitet wie gewünscht, bietet Kapitel 12 einige Hilfen für Fehlersuche oder beseitigung. Das Stichwortverzeichnis ermöglicht das schnelle Auffinden benötigter Vorgehensweisen. Mit der Zeit wird man sich von der engen Führung lösen, die diese Einführung bietet. Anfangs sollte man sich dabei auf die grafischen Möglichkeiten konzentrieren, die in Kapitel 3 zu einem großen Teil erklärt sind. Man studiere dort genau den Umgang mit der Grafik, damit man das Prinzip erkennt. Mit ein wenig Übung wird der Rechner dann ohne große Probleme auch ohne Vorlage zu bedienen sein. Diese Einführung kann nicht das Handbuch ersetzen, in dem alle Möglichkeiten des Rechners beschrieben sind. Hier geht es eher darum, mit möglichst wenig Aufwand ein unterrichtsorientiertes Kennenlernen des Rechners zu ermöglichen. Das Material kann auch für den TI-83 sowie teilweise für den TI-82 verwendet werden.

4 4 1. Der TI-83 Plus Allgemeines Materialien zum neuen Lehrplan Der TI-83 Plus ist ein graphisch-numerischer Taschenrechner mit einem 95x63 Pixel großen Bildschirm. Er ermöglicht u.a. die grafische Darstellung und Untersuchung von Funktionsschaubildern, Ausgabe von Wertetabellen sowie numerische Berechnungen wie z.b. Flächeninhaltsberechnung. Die Tasten sind zwei- bis dreifach belegt, die Belegungen sind durch Farben gekennzeichnet. Mit der gelben -Taste werden die gelben Zweitbelegungen, mit der grünen -Taste die grünen Drittbelegungen (vorwiegend Buchstaben z.b. für Variablenbezeichner) aktiviert. Außerdem gibt es blaue Tasten: In der obersten Reihe werden damit Grafikfunktionen aufgerufen, die blauen Pfeiltasten ermöglichen im Grafikmodus die Cursorsteuerung. Die blauen Operatortasten neben dem weißen Ziffernblock sind wie üblich gekennzeichnet. Wichtig ist noch die blaue [APPS]-Taste in der vierten Reihe, mit der Anwendungen aufgerufen werden können. Nach dem Abschalten bleiben alle Einstellungen und Eingaben erhalten. Der Rechner-Bildschirm kann mit Hilfe eines Overhead-Displays an die Wand projiziert werden, wenn ein projektionsfähiger TI-83 Plus verwendet wird. Zwischen zwei Rechnern können Daten mit Hilfe eines Verbindungskabels übertragen werden. Der Rechner kann mit einem PC verbunden werden. So können Daten übertragen werden, um z.b. Arbeitsblätter in einem beliebigen Textprogramm zu erstellen. Die Flash-Technologie des TI-83 Plus ermöglicht es, die Rechner auf neue Versionen des Betriebssystem aufzurüsten. Ferner können auch Flash-Applikationen wie z. B. ein Periodensystem auf die Rechner übertragen werden. (abzurufen unter Mit Hilfe der [ ]-Taste können wir den Rechner umstellen auf Ein- und Ausgabe in deutscher Sprache. [ ] anschließend die Nummer vor Deutsch drücken Wir drücken zur Demonstration: und sehen (fast) alle Ausgaben in Deutsch. Auf die gleiche Weise kann der Rechner wieder nach Englisch zurückversetzt werden.

5 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis 5 Wir geben in dieser Einführung alle Befehle in Englisch ein, da es dem Standard für solche Rechner und Computeralgebrasysteme für PCs entspricht. Erfahrungsgemäß haben die Schülerinnen und Schüler damit wenig Probleme und lernen nebenbei mathematische Begriffe auch gleich in Englisch. 2. Eine kurze Einführung in das Arbeiten mit dem TI-83 Plus Dieses Kapitel bietet eine Übersicht über die Möglichkeiten des Rechners. Der an konkreten Anwendungen interessierte Leser kann auch mit Kapitel 3 beginnen und später Details hier nachlesen. I. Grundprinzip des Rechners ist das Arbeiten in mehreren Fenstern, die miteinander vernetzt sind. Die wichtigsten Fenster sind 1. Das Rechenfenster, auch Home-Bildschirm genannt Es erscheint bei Einschalten des Rechners: Dort werden die üblichen Berechnungen vorgenommen. Weitere grundlegende Operationen und Vorgehensweisen sind anschließend unter III. zusammengestellt. 2. Das Zeichenfenster (auch Grafikbildschirm genannt) Wir können damit Schaubilder ausgeben und untersuchen. Eine Übersicht über die vielfältigen grafischen Möglichkeiten des Rechners ist anschließend unter IV. zu finden. Die Handhabung wird im Kapitel 3 (Funktionsuntersuchungen) ausführlich an einem Beispiel beschrieben. Weitere Fenster werden zum Teil in den folgenden Abschnitten ausführlich beschrieben. Wir beschränken uns hier auf Themen, die im neuen baden-württembergischen Lehrplan für die reformierte Oberstufe im Bereich Analysis vorkommen. Der Rechner kann dort bei vielen Themen eine wertvolle Hilfe sein, nicht nur bei Funktionsuntersuchungen. Er ermöglicht in besonderem Maße experimentelles Untersuchen von Problemstellungen, vor allem durch die Schülerinnen und Schüler. So können Eigenschaften vermutet und Behauptungen untermauert werden. Natürlich bleiben strenge Herleitungen und Beweise einer symbolischen Rechnung vorbehalten, die der TI 83 Plus nicht leisten kann. II. Am Anfang einer Sitzung Der Rechner behält nach dem Ausschalten alle Einstellungen und Eingaben bei. Anfangs ist es empfehlenswert, den Speicher zurückzusetzen, damit eine Grundeinstellung vorgenommen wird. Das ist vor allem bei der Einführung des Rechners in einer Schulklasse zu empfehlen, damit alle Schüler gleiche Starteinstellungen haben. Wir nehmen folgendermaßen ein Reset vor: Dabei wird zunächst über die Tastenkombination (MEM) das nebenstehende Fenster aufgerufen, das ein Auswahlmenü enthält. Durch die Eingabe von wird daraus Reset ausgewählt.

6 6 löscht alle Variablen und Programme, setzt Systemvariable auf die Voreinstellung (Ausgangszustand), setzt Systemvariable auf Voreinstellungen. Anfangs empfiehlt sich die erste Variante. Materialien zum neuen Lehrplan Nach der Eingabe erscheint das nebenstehende Fenster. Falls wir doch kein Reset wollen, geben wir ein und verlassen das Fenster ohne Konsequenzen. Sonst geben wir ein: Es erscheint der Home-Bildschirm mit nebenstehender Anzeige. Wir können nun Eingaben vornehmen, der Rechner befindet sich im Ausgangszustand. III. Eingabe - Operationen im Home-Bildschirm Es empfiehlt sich, die folgenden Eingaben mit einfachen Berechnungen wie unter IV zu testen. Eingabe Systemantwort Bemerkungen Eingabezeile übergeben ( ) Zeile löschen Zeichen unter dem Cursor löschen Cursor ändert die Form auf klein wenn der Cursor in einer neuen Zeile steht, löscht Clear im Hauptfenster den ganzen Bildschirm Clear löscht auch Zeilen in anderen Fenstern Eingabe eines neuen Zeichens überschreibt vorhandenes Zeichen anschließend Zeichen vor dem Cursor einfügen, auch mehrere Zeichen ( ) letztes Ergebnis einfügen Bei Beginn einer Zeile mit +,-,*,... wird am Anfang automatisch das letzte Ergebnis eingesetzt ( ) letzte Eingabe mehrfach betätigen, um vorherige Eingaben anzuzeigen Cursor in der Eingabe nach links oder rechts bewegen dient bei langer Ausgabe auch zum Scrollen(Hin-und Herrollen) in der Ausgabe; bei Eingabe über mehrere Zeilen auch Cursor oben/unten einsetzbar

7 ', / Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis IV. Rechnen im Home-Bildschirm Wir rechnen im Home-Bildschirm im wesentlichen wie gewohnt mit einem normalen Taschenrechner. Jede Eingabe ist mit der Taste zu übergeben. Eingabe Systemantwort Bemerkungen 2*( ) 1.4 Rechenterme wie gewohnt eingeben, Dezimalpunkt statt Komma Der Variablen X wird der Wert 3,8 zugewiesen. In allen Variablen A bis Z können Werte gespeichert werden ( 12) 4 (sin(π/4)) Terme mit Variablen werden sofort ausgewertet bei eingebauten Funktionen setzt der Rechner die öffnende Klammer Winkelmodus RADIAN bzw. DEGREE, ggf. mit MODE-Taste ändern 7 V. Alles für die Grafik : Die blauen Tasten direkt unterhalb des Displays Es folgt eine Übersicht über die Tasten für die grafischen Möglichkeiten des TI 83 Plus. Zu ihrer Anwendung siehe Kapitel 3 Funktionsuntersuchungen. Taste Wirkung ', / Fenster für die Eingabe von Funktionstermen Fenster zum Definieren von statistischen Diagrammen (z.b. Histogrammen) Fenster zum Ändern der Einstellungen des Zeichenfensters!#"$%$& Fenster für Einstellungen des Tabellenfensters Fenster zum Vergrößern/Verkleinern des Zeichenfensters (#)%*+ Fenster zum Ändern des Formats beim Zeichenfenster Modus zum Laufen auf Funktionsschaubildern bzw. Ablesen von Funktionswerten -.%- Fenster zum Durchführen numerischer Berechnungen bei Schaubildern Zeichenfenster für die Darstellung und Untersuchung von Funktionsschaubildern!#"$& Fenster zur Ausgabe von Wertetabellen VI. Menüs Menüs dienen zum Aufrufen diverser Funktionen des Rechners. Menüs bestehen in der Regel aus einer Kopfzeile mit Untermenüs, die mit Hilfe der Pfeiltasten 0 1 ausgewählt werden, einer nummerierten Liste von Befehlen, die durch Eingabe der betreffenden Nummer ausgewählt werden.

8 8 Als Beispiel zur Handhabung rufen wir die Funktion vom Hauptfenster aus auf. Wir schalten den Rechner ein, löschen ggf. das Hauptfenster und rufen das Menu mit mathematischen Funktionen auf: Materialien zum neuen Lehrplan Dann schalten wir um auf das Untermenu : Wir wählen daraus die Funktion aus: Die Funktion mit öffnender Klammer wird ins Hauptfenster übertragen. Wir vervollständigen nun den Befehl: 5 Manchmal passen nicht alle Befehle eines Menüs in das Auswahlfenster. Dies wird durch einen Pfeil neben der untersten Befehlsnummer angezeigt. Sie werden erreicht durch Rollen mit den Tasten. Im Bild wurde so in dem Menu der Befehl erreicht (größter gemeinsamer Teiler). Er wird mit aus diesem Menu ausgewählt. Die Syntax der Befehle ist im Handbuch in der alphabetisch georneten Funktions-und Befehlsübersicht beschrieben.

9 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis VII. Einstellungen Zur Einstellung des Rechners für unterschiedliche Aufgaben gibt es folgende Auswahlmenus. Die Standardeinstellungen stehen jeweils zuerst. Innerhalb der Menus bewegen wir uns mit den - Pfeiltasten (Menu für Standardeinstellungen) Zahlenformate Normal - Wissenschaftlich Ingenieur... Anzahl der Fließkommastellen 0 bis 9... Winkelmodus Bogenmaß - Grad... Zeichenobjekt Funktion - Parameterdarstellung - Polarkoo - Folge Schaubild zusammenhängend - punktiert zeichnen... mehrere Schaubilder der Reihe nach - gleichzeitig zeichnen... Darstellung komplexer Zahlen... Zeichenfenster ungeteilt - horizontal geteilt Grafik/Tabelle... ( FORMAT -Menu zur Einstellung des Zeichenfensters) Cursorkoordinaten rechtwinklig polar... Anzeige der Cursorkoordinaten an aus... Zeichengitter aus an... Achsenanzeige an aus... Achsenbezeichner aus an... Funktionstermanzeige an aus... 9 Weitere Einstellungsfenster wie z.b., wo die Grenzen des Zeichenbereichs eingestellt werden können, werden in den folgenden Kapiteln explizit beschrieben, wenn sie benötigt werden.

10 10 3. Funktionsuntersuchung mit dem TI-83 Plus Materialien zum neuen Lehrplan Der TI-83 Plus bietet verschiedene Befehle und Möglichkeiten an, um Funktionsuntersuchungen mit grafischen bzw. numerischen Mitteln durchzuführen. Symbolische Berechnungen müssen begleitend manuell erfolgen. Der Rechner verwendet dazu mehrere Fenster für Darstellungen und Einstellungen, zwischen denen wir hin- und herschalten können. Wir geben eine vollständige Funktionsuntersuchung am Beispiel der Funktion f mit 15 f ( x) = x 4 + x 3 + 3x 2 4 Diese Funktion soll im gesamten Kapitel 3 unverändert gültig bleiben. Zu Beginn einer Aufgabe sollte zumindest anfangs - ein Reset durchgeführt werden (siehe Seite 4). I. Darstellung des Schaubildes Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterm ein - zur Eingabe von x verwenden wir die Taste neben der grünen Taste: Bei Tippfehlern bewegen wir den Cursor mit den Pfeiltasten durch den Term und überschreiben fehlerhafte Eingaben. Mit können wir auch die gesamte Eingabe löschen. Wir lassen das Schaubild zeichnen: Wir verändern das Grafikfenster mit der Taste Wir haben verschiedene Möglichkeiten, das Grafikfenster zu vergrößern oder zu verkleinern. Einige Beispiele : Wir wählen einen quadratischen Bildausschnitt (gleiche Einheiten auf beiden Achsen) mit. Wir wählen die Standardeinstellung mit!

11 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Wir vergößern mit. Zunächst geben wir ein Der Cursor blinkt in der Mitte des Grafikfensters. Wenn wir ihn dort auch bei der Vergrößerung lassen wollen, geben wir nur ein. Sonst wählen wir mit den Cursortasten den neuen Mittelpunkt 11 Die manuelle Einstellung des Zeichenfensters nehmen wir so vor: Dann zeichnen wir mit diesen Einstellungen das Schaubild neu: II. Koordinaten und Funktionswerte bestimmen Wir bestimmen Funktionswerte im Zeichenfenster: Wir bewegen den Cursor mit den blauen Pfeiltasten und können so seine Koordinaten ablesen (nicht notwendig auf dem Schaubild). Auf dem Schaubild fahren wir mit Hilfe der Pfeiltasten im -Modus entlang und lesen dabei Funktionswerte ab:, dann Pfeiltasten bedienen. Die x-werte ändern sich in einfachen Dezimalschritten, wenn wir zuvor mit die Schrittweite auf 0,1 einstellen. (Ohne Abbildung) Wir bestimmen Funktionswerte im Table-Fenster. Dazu rufen wir das Table-Fenster auf:!#"%$'& ( ) Durch die Tabelle können wir uns mit Hilfe der blauen Pfeiltasten bewegen ( rollen ).

12 12 Mit ändern wir den Startwert auf -2 und die Schrittweite auf 0.5: Mit den blauen Pfeiltasten können wir den Cursor in dem Fenster bewegen. Materialien zum neuen Lehrplan Die geänderte Tabelle erhalten wir mit III. Nullstellen Wir berechnen die Nullstelle zwischen x = -2 und x = -1. Wir rufen das Graph-Fenster auf stellen die Standardeinstellungen wieder her und vergrößern das Schaubild: Wir rufen das Berechnungsfenster auf: "! #! Das Fenster ermöglicht die Wahl von numerischen Berechnungen der Nullstellen, Extrema etc. Wir wählen "$ %'&# Wir werden aufgefordert, eine linke Grenze (Left Bound?) für die Nullstellenberechnung einzugeben. Das geht auf zwei Arten: 1) Wir bewegen den Cursor mit den blauen Pfeiltasten an eine Stelle links von der zu bestimmenden Nullstelle. 2) Wir geben einen Wert ein, der kleiner ist als die zu bestimmende Nullstelle. zur Übergabe des Wertes Nun müssen wir eine rechte Grenze (Right Bound?) für die Nullstellenberechnung eingeben. Das geht entsprechend: 1) Wir bewegen den Cursor mit den blauen Pfeiltasten an eine Stelle rechts von der zu bestimmenden Nullstelle. 2) Wir geben einen Wert ein, der größer ist als die zu bestimmende Nullstelle. zur Übergabe des Wertes

13 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis 13 Die eingegebenen Grenzen werden durch Pfeile angezeigt und wir werden noch nach einer Schätzung für die Nullstelle gefragt (Guess?). Wir geben diese ein wie die linke und die rechte Grenze und drücken zur Übergabe des Wertes Schließlich erscheint das Ergebnis der numerischen Berechnung und der Cursor blinkt an der Nullstelle. IV. Extremstellen Wir berechnen das Maximum zwischen x = -1 und x = 0. Dazu rufen wir das Graph-Fenster auf: stellen die Standardeinstellungen wieder her und vergrößern: Wir rufen das Berechnungsfenster auf: Das Fenster ermöglicht die Wahl von numerischen Berechnungen der Nullstellen, Extrema etc. Wir wählen Wir werden aufgefordert, eine linke Grenze (Left Bound?) für die Extremstellenberechnung einzugeben. Das geht auf zwei Arten: 1) Wir bewegen den Cursor mit den blauen Pfeiltasten an eine Stelle links von der zu bestimmenden Extremstelle. 2) Wir geben einen Wert ein, der kleiner ist als die zu bestimmende Extremstelle. zur Übergabe des Wertes

14 14 Materialien zum neuen Lehrplan Nun müssen wir eine rechte Grenze (Right Bound?) für die Extremstellenberechnung eingeben. Das geht auf zwei Arten: 1) Wir bewegen den Cursor mit den blauen Pfeiltasten an eine Stelle rechts von der zu bestimmenden Extremstelle. 2) Wir geben einen Wert ein, der größer ist als die zu bestimmende Extremstelle. zur Übergabe des Wertes Die eingegebenen Grenzen werden durch Pfeile angezeigt und wir werden noch nach einer Schätzung für die Extremstelle gefragt (Guess?). Wir geben diese ein wie die linke und die rechte Grenze und drücken zur Übergabe des Wertes Schließlich erscheint das Ergebnis der numerischen Berechnung und auch hier blinkt der Cursor im Maximum. V. Integral- und Flächenberechnung Wir berechnen die Fläche zwischen Schaubild und x-achse im Bereich der negativen Nullstellen und stellen sie grafisch dar. Wir rufen das Graph-Fenster auf stellen die Standardeinstellungen wieder her und vergrößern: Wir rufen das Berechnungsfenster auf: Das Fenster ermöglicht die Wahl von numerischen Berechnungen der Nullstellen, Extrema etc. Wir wählen f ( x) dx :

15 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Wir werden aufgefordert, eine linke Grenze (Lower Limit?) für die Integralberechnung einzugeben. Dazu bewegen wir den Cursor mit den blauen Pfeiltasten an die linke Grenze - hier die linke negative Nullstelle oder wir geben die linke Grenze ein und können so mit größerer Genauigkeit arbeiten. zur Übergabe des Wertes 15 Nun müssen wir eine rechte Grenze (Upper Limit?) für die Integralberechnung eingeben. Das geht wie bei der Eingabe der linken Grenze. zur Übergabe des Wertes Das Integral wird berechnet und dargestellt. Der zu berechnende Flächeninhalt beträgt also etwa 1,79. Das angezeigte Resultat zeigt übrigens, dass wirklich das Integral und nicht nur der Flächeninhalt berechnet wurde. Zum Wiederherstellen des Schaubildes ohne Flächenmarkierung rufen wir den Befehl aus dem -Menü auf: VI. Ableitung Der TI-83 Plus kann zwar nicht symbolisch Ableitungen berechnen, aber numerisch. Die numerisch bestimmten Ableitungen können wir grafisch darstellen. Wir berechnen zunächst numerische Ableitungswerte. Dazu schalten wir in den Home-Bildschirm und löschen ihn: Wir wählen das MATH-Menü und daraus den Befehl für die numerische Ableitung!"#$ %'& (Der Befehl (!"#$ wird nur sichtbar, wenn wir mit den Pfeiltasten den Cursor nach unten bewegen) Der Befehl wird in den Home-Bildschirm übernommen. Nun setzen wir die abzuleitende Funktion Y 1 ein: ) *+ Hierbei wird im, - - Menü durch Betätigen der Cursor- Rechts-Taste * und Wahl von (:Function) das Untermenü mit den Funktionsnamen ausgegeben, aus dem wir mit der zweiten den Funktionsbezeichner Y 1 auswählen können. (Y1 kann nicht durch. erzeugt werden.)

16 16 Es folgen, mit Kommata abgetrennt, zwei Parameter: 1 das erste X gibt an, wonach abzuleiten ist, der zweite die Stelle, an der abzuleiten ist. Wir wählen die Stelle 1; das Vorzeichen ist dabei mit der Vorzeichentaste einzugeben. Das Ergebnis wird genähert ausgegeben, wir runden auf 1,25. Materialien zum neuen Lehrplan Wenn wir weitere Werte berechnen wollen, holen wir mit die letzte Eingabe in die Anzeige und bewegen den Cursor zur Eingabe einer neuen Stelle an die entsprechende Position und überschreiben die alte Stelle, z.b. mit 2,5 Um die Ableitungsfunktion grafisch darzustellen, stellen wir die Standardeinstellungen wieder her und vergrößern: Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf, dort ist bisher nur Y 1 eingetragen. Den Cursor bewegen wir mit den Pfeiltasten hinter das Gleichheitszeichen von Y 2 und nehmen die Eingabe des Funktionsterms für die Ableitung vor. Wir wählen das MATH-Menü und daraus den Befehl für die numerische Ableitung "!$#% &(' (Der Befehl )+*, "!$#% wird nur sichtbar, wenn wir mit den Pfeiltasten den Cursor nach unten bewegen) Der Befehl wird nun ins -Fenster übernommen. Nun setzen wir die abzuleitende Funktion Y1 ein: -/.10 0

17 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Es folgen, mit Kommata abgetrennt, zwei Parameter: das erste X gibt an, wonach abzuleiten ist, der zweite die Stelle, hier ebenfalls X, da Y 2 eine Funktion der Stelle x ist. 17 Nun zeichnen wir die Schaubilder: Außerdem stellen wir die Schaubilder noch etwas besser dar. Wir wählen zunächst einen besser geeigneten Bildausschnitt: Außerdem zeichnen wir zur Unterscheidung die Ableitungsfunktion dick. Dazu rufen wir wieder das Eingabefenster auf und bewegen den Cursor links neben Y 2, so dass der dort befindliche schräge Strich blinkt und betätigen einmal die -Taste, so dass der Strich dick blinkt (Durch mehrfaches Betätigen der -Taste können wir noch andere Einstellungen wählen). Wir zeichnen die Schaubilder nochmals. VII. Wendestellen Da der TI-83 Plus im Berechnungsfenster keine Möglichkeit bietet, Wendestellen numerisch zu berechnen, untersuchen wir die numerisch erstellte zweite Ableitungsfunktion auf Vorzeichenwechsel. Wir bestimmen den am weitesten links gelegenen Wendepunkt. Dazu unterdrücken wir das Zeichnen von Y 2. Wir bewegen den Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y 2, geben einmal ein und bewegen den Cursor nach rechts. Wir sehen, dass das Gleichheitszeichen nicht mehr wie bei Y 1 schwarz markiert ist; so wird Y 2 nicht gezeichnet. Wieder markieren von Y 2 funktioniert genauso.

18 18 Wieder markieren von Y 2 funktioniert genauso. Wir stellen die Standardeinstellungen wieder her und vergrößern: Materialien zum neuen Lehrplan Wie unter VI. beschrieben, geben wir die Ableitungsfunktion von Y 2 - also die zweite Ableitung von Y 1 - im -Fenster als Y 3 ein. (Position hinter Y 3 ansteuern) (Ableitungsfunktion auswählen) (Parametereingabe) Wir zeichnen das Schaubild:! Wir verwenden besser den Ausschnitt wie auf der vorhergehenden Seite, den wir wieder mit " eingeben. Zwar ist hier Y 3 nicht ganz zu sehen, aber es geht uns ja nur um Nullstellen bzw. Vorzeichenwechsel. Die Nullstellen von Y 3 bestimmen wir wie in III. Allerdings müssen wir dabei mit dem Cursorpfeil nach oben # zunächst auf das Schaubild der Funktion Y 3 wechseln. $&% ('( auswählen) # (wechseln auf das Schaubild von Y 3 ) ) 2 ) 1 ) 1.5 (Grenzen/Schätzung) Bei x = liegt also eine Wendestelle von f, denn hier hat die zweite Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Zum Bestimmen der Ordinate des Wendepunktes geben wir unmittelbar nach der Nullstellenberechnung ein: % Wir lesen gerundet die Ordinate y = ab.

19 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Tangenten und Normalen Gegeben ist die Funktion f (die im ganzen Kap. 4 Gültigkeit haben soll) mit f ( x) = 12x 2 x + 3 I. Tangente an das Schaubild zeichnen und ihre Gleichung bestimmen Wir betrachten die Stelle x 0 = 1. Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf: und löschen zuerst alle vorherigen Einträge mit Wir geben den Funktionsterm ein (Klammern im Nenner beachten): 12 3 Wir wählen zum Zeichnen die Standardeinstellung und stellen gleiche Einheiten für die Achsen ein: Das Schaubild wird gezeichnet. Wir rufen den Befehl im! -Menü auf : "$# Der Rechner schaltet wieder in den Graphik Bildschirm und erwartet unsere Eingabe. Wir geben die betreffende Stelle x=1 ein: %& Alternative : Wir bewegen den Cursor an den Punkt (1 1); das gelingt allerdings nur näherungsweise, da die Stelle x=1 i.a. nicht exakt einem Pixel (Bildschirmpunkt) entspricht. Das Schaubild der Funktion und die Tangente werden gezeichnet. Die Gleichung der Tangente wird angegeben. Die kleinen Rundungsfehler beruhen auf der numerischen Berechnung der Ableitung. Die Aufgabe kann auch mit dem Verfahren unter III. (Normalenbestimmung, s.u.) gelöst werden.

20 20 Materialien zum neuen Lehrplan II. Tangente vom Punkt R(-1 0) an das Schaubild von f. Die Tangente hat die Gleichung y = f (x 0 )(x-x 0 ) + f(x 0 ), wobei x 0 die noch unbekannte - Stelle ist, an der die Tangente das Schaubild berührt. Da der Punkt R auf der Tangente liegt, muss er die Gleichung erfüllen, d.h. es gilt 0 = f (x 0 )(-1-x 0 ) + f(x 0 ) Wir definieren die rechte Seite als eine Funktion Y 2 und bestimmen ihre Nullstelle. Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf: Den Cursor bewegen wir mit den Pfeiltasten hinter Y 2 und fügen den Funktionsterm für Y 2 hinzu; dabei muss die Stelle x 0 als Variable x eingegeben werden: 1 Wir blenden zunächst noch Y 1 aus. Dazu bewegen wir den Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y 1 und geben ein. Wir wählen die Standardeinstellung: Das Schaubild von Y 2 wird gezeichnet. Wir bestimmen die Nullstelle des Schaubildes von Y 2 : Details zur Nullstellenbestimmung siehe Seite 11. Wir geben passende linke und rechte Grenzen sowie eine Schätzung ein, z.b. 0 bzw. 2 bzw. 1 und erhalten als Nullstelle x 0 = 1. Wir geben die nun bestimmte Tangentengleichung 1 bei Y 3 ein. 1 1 Wir blenden Y 2 aus und Y 1 wieder ein. Dazu bewegen wir den Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y 1 und geben ein. Dann bewegen wir den Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y 2 und geben ein.

21 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Das Schaubild der Funktion mit der Tangente vom Punkt R aus wird gezeichnet. Den Punkt R können wir folgendermaßen markieren: 1 Die Taste dient dabei zum Wechseln auf die Tangente. Mit der Eingabe 1 bestimmen wir noch den Berührpunkt B(1 3). 21 Im Home-Bildschirm können wir uns auch die Steigung der Tangente ausgeben lassen: (umschalten auf den Home-Bildschirm) 1 Also hat die Tangente die Gleichung y = 1,5 (x-1) + 3 III. Normale an das Schaubild zeichnen Wir betrachten die Stelle x 0 = 1. Die Normale hat die Gleichung geben diese Funktion im Y= - Fenster als Y 2 ein. y 1 = f ' +.Wir ( ) ( x x ) ( ) 0 f x0 x 0 Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf: Die Funktion Y 1 wurde bereits unter I. eingegeben, die anderen Terme bei Y 2 bzw. Y 3 löschen wir mit. Wir geben bei Y 2 die Normalengleichung ein Wir "! wählen die Standardeinstellung und "# stellen gleiche Einheiten für die Achsen ein: Das Schaubild von f und die Normale werden gezeichnet.

22 22 5. Weiterführung der Differentialrechnung Materialien zum neuen Lehrplan Mit dem TI-83 Plus können wir mit Hilfe von Visualisierungen die Ableitungsregeln veranschaulichen und so zu deren Verständnis einen Beitrag liefern. I. Visualisierung zur Kettenregel Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) = sin 2x. Es soll verdeutlicht werden, wieso bei der Ableitung der Faktor 2 auftritt. Wir zeichnen zunächst die Schaubilder der Funktion und ihrer Ableitung. Dazu rufen wir das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf, löschen alte Einträge und geben den Funktionsterm ein: Wir wählen die Standardeinstellung für trigonometrische Funktionen: Das Schaubild wird gezeichnet. Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms zur Eingabe des Ableitungsterms auf; dort ist bisher nur Y 1 eingetragen. Den Cursor bewegen wir mit den Pfeiltasten hinter Y 2 und rufen im -Menü die Funktion auf: Nun müssen wir die abzuleitende Funktion Y 1 einsetzen: "!$# # Wir vervollständigen die Eingabe: % % Das Schaubild der Funktion und das ihrer Ableitung wird gezeichnet. &

23 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Wir lesen Funktionswerte der Ableitungsfunktion ab: Danach bedienen wir die Pfeiltasten. Wir sehen, dass die Ableitungsfunktion die Amplitude 2 hat. Die kleine Abweichung beruht darauf, dass die Ableitungsfunktion nur numerisch berechnet worden ist. 23 Wie können wir die Amplitude 2 bei der Ableitung veranschaulichen? Wir zeichnen zum Schaubild der Funktion f das von g(x) = sin x hinzu; das der Ableitung von f blenden wir derweil aus. (Ausblenden von Y 2, Details siehe S.16) Bei der Darstellung der Schaubilder wählen wir noch eine Vergrößerung: ( ) Wir erkennen, dass der Faktor 2 bei sin 2x gegenüber sin x eine Stauchung in Richtung der x-achse (Streckfaktor ½) bewirkt. Dabei wird z.b. die Steigung im Ursprung entsprechend vergrößert, also von 1 bei sin x auf 2 bei sin 2x. Daher muss auch bei der Ableitung dieser Faktor 2 auftreten. II. Visualisierung zur Produktregel Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) = x sin x. Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterms ein: Wir wählen die Standardeinstellung für trigonometrische Funktionen: Das Schaubild wird gezeichnet.

24 24 Wir bewegen mit den Pfeiltasten den Cursor hinter Y 2 und tragen die numerisch bestimmte Ableitungsfunktion von Y 1 dort ein. Für eine bessere Darstellung lassen wir das Schaubild von f dick zeichnen. Dazu bewegen wir den Cursor vor Y 1 und geben ein. Materialien zum neuen Lehrplan Das Schaubild der Funktion (dick) und das ihrer Ableitung wird gezeichnet. Wir setzen entsprechend der Produktregel die Ableitungsfunktion aus den beiden Summanden f 1 (x) = sin x bzw. f 2 (x) = x cos x zusammen, die wir als Y 3 bzw. Y 4 im Y= - Editor definieren. Wir zeichnen zunächst nur die Summanden Y 3 und Y 1 und blenden Y 1 und Y 2 aus. Dazu bewegen wir den Cursor hinter Y 1 bzw. Y 2 auf das Gleichheitszeichen und geben jeweils ein. Das Schaubild der beiden Summanden der Ableitungsfunktion wird gezeichnet. Die Ordinatenaddition der beiden Summanden ergibt das Schaubild der Ableitungsfunktion. Das weisen wir noch nach, indem wir Y 5 als Y 3 +Y 4 definieren. Y 5 lassen wir dick zeichnen. Dazu bewegen wir den Cursor vor Y 5 und geben ein. Wir blenden noch Y 2 wieder ein und Y 3 und Y 4 aus. Dazu bewegen wir den Cursor hinter Y 2 bzw. Y 3 bzw. Y 4 und geben jeweils ein. Das Schaubild der FunktionenY 1 und Y 1 wird gezeichnet. Nachdem das erste Schaubild gezeichnet wurde, arbeitet der Rechner weiter- erkennbar an dem wandernden Balken rechts oben - aber offenbar wird nur das erste Schaubild nochmals dick nachgezeichnet. Die numerisch bestimmte Ableitung stimmt also im Rahmen der Zeichengenauigkeit überein mit der durch die Produktregel bestimmten Ableitungsfunktion. III. Visualisierung zur Quotientenregel sin x Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) =, x 0. x

25 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterm ein: Für eine bessere Darstellung lassen wir das Schaubild von f dick zeichnen. Dazu bewegen wir den Cursor links neben Y 1 und geben ein. Wir wählen die Standardeinstellung für trigonometrische Funktionen und vergößern: Das Schaubild wird gezeichnet. Der Rechner ist allerdings nicht in der Lage, die Definitionslücke darzustellen, darauf muss gesondert hingewiesen werden. 25 Wir tragen wieder die numerisch bestimmte Ableitungsfunktion von Y 1 als Y 2 mit ein. Das Schaubild der Funktion (dick) und das ihrer Ableitung wird gezeichnet. Wir bilden entsprechend der Quotientenregel die Ableitungsfunktion, die wir als Y 3 im Y= - Editor definieren. 1! Wir blenden Y 1 aus. Dazu bewegen wir den Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y 1 und geben ein. Das Schaubild von Y 3 lassen wir dick zeichnen. Dazu bewegen wir den Cursor links neben Y 3 und geben ein. Die Schaubilder von Y 2 und Y 3 werden gezeichnet. Nachdem das erste Schaubild gezeichnet wurde, arbeitet der Rechner weiter - erkennbar an dem wandernden Balken rechts oben - aber offenbar wird nur das erste Schaubild nochmals dick nachgezeichnet. Die numerisch bestimmte Ableitung stimmt also im Rahmen der Zeichengenauigkeit überein mit der durch die Quotientenregel bestimmten Ableitungsfunktion.

26 26 6. Gebrochenrationale Funktionen: Pole, Asymptoten Materialien zum neuen Lehrplan Die möglichen Polstellen können wir als Nullstellen des Nenners bestimmen. Parallel dazu berechnen wir die Zählernullstellen. Nennernullstellen, die keine Zählernullstellen sind, liefern Polstellen. Bei gemeinsamen Nennernullstellen und Zählernullstellen prüfen wir, ob die Funktion dort stetig erweiterbar ist oder ob es eine Polstelle ist. Hier soll nur untersucht werden, wie wir Pole und Asymptoten darstellen können. 5x Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) =. 2 x 4 I. Pol und senkrechte Asymptote Wir betrachten die Stelle x 0 = 2. Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterms ein: Wir wählen die Standardeinstellung: Das Schaubild wird gezeichnet. Der Rechner verbindet alle Zeichenpixel miteinander geradlinig, daher wird die senkrechte Asymptote näherungsweise mitgezeichnet. II. Waagrechte Asymptote Wir bestimmen zunächst die Asymptoten mit Hilfe der Polynomdivision ohne Rechner. Wir erhalten 5 5 f ( x) = +. 2 x 2 Also hat die Asymptote die Gleichung y = 2,5. Wir fügen die Asymptote ein. Dazu rufen wir das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterm für Y 2, also 2.5 ein: 2.5 Wir lassen die Schaubilder zeichnen: Analog können schräge Asymptoten oder Näherungskurven gezeichnet werden.

27 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis 7. Einführung in die Integralrechnung 27 I. Flächenberechnung mit Unter- und Obersummen Wir nähern die Fläche unter der Normalparabel an durch Rechtecke unter bzw. über der Parabel. Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterm ein: Wir wählen einen passenden Ausschnitt mit Hilfe der Eingaben wie im Bild. Das Schaubild wird gezeichnet: Wir geben ein Programm ein, das Rechtecke im Bereich von a bis b mit der Schrittweite h von unten in die gesuchte Fläche einzeichnet. Anschließend geben wir einen Namen für das zu erstellende Programm ein, wir wählen den Namen INTA: I N T A (grüne Buchstabentasten ohne Taste drücken) Wir geben die Programmzeilen ein; jede Zeile mit abschließen. B A N H... A... I 1 N H 0... H 0 H H

28 28 Wir gehen nun in den Home-Bildschirm und löschen ihn: Nun speichern wir die Parameter: 0 A 1 B 5 N Wir zeichnen das Schaubild der Parabel: Falls nötig löschen wir den Bildschirm und zeichnen die Parabel neu: (ClrDraw) Materialien zum neuen Lehrplan Wir gehen zurück zum Home-Bildschirm: und rufen unser Programm auf: Das Programm läuft ab und zeichnet die gewünschten Rechtecke ein. Wir geben nun ein Programm ein, das den Flächeninhalt der gezeichneten Rechtecke berechnet. Anschließend geben wir einen Namen für das zu erstellende Programm ein, wir wählen den Namen INTB: I N T B Wir geben nebenstehende Programmzeilen ein. Jede Zeile mit abschließen: B A N H H A K H K 0 N 1 U U Wir gehen zurück zum Home-Bildschirm: und rufen das Programm auf: Es wird der berechnete Flächeninhalt ausgegeben, der außerdem noch in der Variablen U gespeichert ist: U

29 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Durch Eingabe größerer Werte von N lässt sich die Näherung verbessern. 29 Ein entsprechendes Programm INTC für die Obersumme ist nebenstehend wiedergegeben. Sein Aufruf im Homebildschirm liefert einen etwas zu großen Wert. Mit Hilfe von U und O erhalten wir mit wachsendem N eine Intervallschachtelung für den gesuchten Flächeninhalt. II. Flächen- bzw. Integralberechnung mit TI 83 Plus Befehlen Für die Integralberechnung hat der TI 83 Plus ein numerisches Verfahren eingebaut, das man entweder über die Grafik interaktiv oder im Homebildschirm verwenden kann. Wir verwenden es im Folgenden, um experimentell auf Zusammenhänge zwischen Differenzieren und Integrieren zu kommen. Wir stellen das Vorgehen am Beispiel der Normalparabel vor. Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterm ein (Abbildung Seite 26): Wir wählen einen passenden Ausschnitt und nehmen die Eingaben wie im Bild vor. Das Schaubild wird gezeichnet.

30 30 Wir bestimmen im Grafikfenster den Flächeninhalt unter dem Schaubild für die Grenzen a = 0 und b = 1 und geben die untere Grenze 0 (Lower Limit) und obere Grenze 1 (Upper Limit) ein: 0 1 Materialien zum neuen Lehrplan Die betreffende Fläche wird schraffiert und ihr Inhalt ausgegeben. Um die Fläche im Home-Bildschirm zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor. Zunächst schalten wir in den Home-Bildschirm um und löschen ihn: Wir rufen die Funktion aus dem -Menu ab: Wir setzen die Parameter ein: 0 1 Der Flächeninhalt wird berechnet. III. Ein experimenteller Weg zum Hauptsatz Nun variieren wir die obere Grenze und erhalten dadurch eine Funktion der oberen Grenze, die allgemein den Flächeninhalt bei fester unterer Grenze angibt. Am einfachsten geht das im Grafikfenster. Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf;! und geben #"$ % & $'& ('& $#) bei Y 2 ein: *,+- 0 Y1 blenden wir aus, indem wir den Cursor mit den Pfeiltasten hinter Y1 setzen und eingeben. Wir wählen die Standardeinstellung:.0/ und stellen gleiche Einheiten für die Achsen ein:.01

31 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Wir stellen fest, dass das Schaubild der Funktion Y 2 sehr dem einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ähnelt. Eine kurze Experimentierphase zeigt, dass die Funktion folgende 1 Gleichung hat: F 3 ( x ) = x 3 31 Auf ähnliche Weise können wir weiteres Material sammeln und den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung vermuten. Natürlich müssen wir noch darauf eingehen, dass sich auch negative Werte für den Flächeninhalt ergeben und einen allgemeinen Integralbegriff einführen. IV. Stammfunktion Mit dem in II. erarbeiteten Verfahren können wir Stammfunktionen grafisch ermitteln. Gegeben sei die Funktion f mit f ( x) = sin x. Wir bestimmen eine numerisch berechnete Stammfunktion und stellen sie grafisch dar. Dazu rufen wir das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterms bei Y 1 ein: Dann geben wir den Befehl für eine Stammfunktion bei Y 2 ein: 0 Wir wählen die Standardeinstellung für trigonometrische Funktionen: Das Schaubild wird gezeichnet. Wir erhalten das Schaubild der Funktion F mit der Gleichung F x = 1 cos. ( ) x

32 32 8. Anwendungen der Integralrechnung Materialien zum neuen Lehrplan I. Flächenberechnung bei Flächen teils oberhalb, teils unterhalb der x-achse. Im Grafikbildschirm bzw. mit dem eingebauten Befehl ermöglicht der TI 83 Plus die Berechnung von Integralen (siehe Seite 29). Wir wenden beide Methoden bei der Berechnung der Fläche an, die von der x-achse, den Geraden x = -1, x = 2.3 und dem Schaubild der Funktion f mit f ( x) = x 3 4x eingeschlossen wird. Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterms bei Y 1 ein: 3 4 Wir wählen einen passenden Ausschnitt mit Eingaben wie im Bild. Das Schaubild wird gezeichnet. Wir bestimmen im Grafikfenster das Integral für die Grenzen a = -1 und b = 2.3. (Integralberechnung aufrufen) Wir geben die untere Grenze -1 und obere Grenze 2.3 ein: Das Integral wird visualisiert und sein Wert ausgegeben. Das ist aber nicht der gesuchte Flächeninhalt. Daher geben wir statt der Ausgangsfunktion die zugehörige Betragsfunktion ein. Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterms bei Y 1 mit Hilfe der - Funktion ein. Die -Funktion fügen wir aus dem Menü ein:!#"%$ 3 4 &

33 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis Damit können wir im Grafikfenster den gesuchten Flächeninhalt bestimmen. Wir geben die untere Grenze -1 und obere Grenze 2.3 ein: Die Fläche wird schraffiert und ihr Inhalt ausgegeben. 33 Um die Fläche im Home-Bildschirm zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor. Zunächst schalten wir in den Home-Bildschirm um und löschen ihn: Wir rufen die Funktionen bzw. aus dem -Menü ab und setzen die Parameter ein:! " # 3 $ 4 " % & " & 1 & 2.3 %' Der Flächeninhalt wird berechnet. Dafür braucht der Rechner mit seinem numerischen Verfahren eine Weile, damit eine passable Genauigkeit erzielt wird. II. Fläche zwischen zwei Kurven. Wir bestimmen den Flächeninhalt zwischen den Schaubildern der Funktionen f und g mit f ( x) = x 3 6x 2 + 9x und g( x) = 0,5x 2 + 2x. Wir rufen das Y=-Fenster auf und geben die Funktionsterme ein: ( " # 3 $ 6" )+* 9 ".5 " )+* 2 " Wir wählen einen passenden Ausschnitt, mit Eingaben wie im Bild. - Das Schaubild wird gezeichnet. Wir bestimmen zunächst die Schnittpunkte der Kurven. Den am weitesten links gelegenen Schnittpunkt (0 0) können wir hier ablesen. Den am weitesten rechts gelegenen berechnen wir folgendermaßen:

34 34 Mit den -Befehlen werden dabei die zu schneidenden Kurven ausgewählt. Es folgt eine Schätzung (Guess) für die Schnittstelle: 3 Materialien zum neuen Lehrplan Der betreffende Schnittpunkt wird berechnet. Wir lesen ab: S(3,5 0,875). Wir können die Schnittstelle für die weitere Berechnung abspeichern. Dazu schalten wir in den Home-Bildschirm A und speichern den berechneten X-Wert z.b. in A : Die Fläche zwischen den beiden Kurven können wir nun berechnen, indem wir das Integral über den Betrag der Differenzfunktion Y 1 -Y 2 bestimmen : 0 A Der Flächeninhalt beträgt rund 4,88. II. Volumenberechnung von Drehkörpern Analog wie Flächen mit Hilfe von Rechtecken kann man Drehkörper durch Zylinderscheiben annähern. Aus diesem Vorgehen können wir für das Volumen eines Drehkörpers mit Randfunktion f über dem Intervall [a;b] bekanntlich die Formel herleiten: V = π f ( x) 2 dx Diese Formel können wir mit dem TI 83 Plus ohne weiteres anwenden. Gegeben sei die Funktion f mit f ( x) = sin x, 0 x π. Ihr Schaubild wird um die x-achse gedreht. Das dabei entstehende Volumen soll berechnet werden. Wir löschen den Home-Bildschirm: und geben die Berechnungsformel ein: 0 Das numerisch berechnete Ergebnis wird ausgegeben. b a

35 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis 9. Näherungsverfahren 35 I. Numerische Ableitung Der TI 83 Plus kann keine symbolischen Berechnungen durchführen. Insbesondere kann er die Ableitung nur numerisch berechnen. Eine numerische Ableitung kann man durch Ersetzen der Ableitung durch den Differenzenquotient erhalten. Für betragsmäßig hinreichend kleines h stellt der Ausdruck f ( ) ( x + h) f ( x) f s x = h eine Näherung für die Ableitung von an der Stelle x dar. 3 Wir betrachten zu der Funktion f mit f ( x) = 0,1x x das Schaubild der Funktion f s mit einigen Werten von h und zum Vergleich die vom Rechner gezeichnete Kurve der Ableitungsfunktion. Zuerst löschen wir den Home-Bildschirm und geben dann zwei kleine Zahlen für h in die Variablen H und K ein : 0.1 H 0.01 K Wir rufen das Y=-Fenster auf und geben die Funktionsterme ein: H H K K Wir wählen die Standardeinstellung: Es entstehen zwei parabelartige Kurven, die so dicht beieinander liegen, dass man sie kaum unterscheiden kann. Sie sind offenbar gute Näherungen für die Ableitungsfunktion. Wir fügen nun noch die Ableitung hinzu, die der Rechner numerisch berechnet. Zuerst den Cursor nach Y 4 bewegen: Wir lassen sie aber nur mit unserer Approximation für H zeichnen. Dazu blenden wir Y 1 und Y 3 aus, indem wir den Cursor auf das Gleichheitszeichen hinter Y 1 bzw. Y 3 bewegen und eingeben. Wir zeichnen die Schaubilder der beiden Ableitungsfunktionen: Wir sehen fast keinen Unterschied. Trotz der numerischen Berechnung können wir mit Hilfe der näherungsweise bestimmten Ableitungsfunktion viele Problemstellungen bearbeiten.

36 36 Materialien zum neuen Lehrplan II. Newtonverfahren. Falls es keine exakten Verfahren zur Nullstellenberechnung gibt dies haben wir bislang im Schulunterricht weitgehend vermieden, ist aber bei vielen Aufgabenstellungen der Fall können wir trotzdem prinzipiell beliebig gute Näherungen berechnen. Ein gut brauchbares, schnelles Verfahren stammt von Newton. Es geht von der Idee aus, die gegebene Funktion in der Nähe der gesuchten Nullstelle durch die Tangente an einer Stelle x 0 (Startwert) nahe bei der Nullstelle linear zu approximieren. Durch Wiederholung des Verfahrens gelangt man so zu der Iterationsvorschrift f ( xn ) xn + 1 = xn, n = 0,1,2,... f '( x ) 3 Wir führen das Newtonverfahren am Beispiel der Funktion f mit ( x) x 2 2 Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterm ein: n f = + x durch. Mit dem Schaubild verschaffen wir uns einen Überblick : Wir wählen den Startwert x 0 = 2. Wir schalten um in den Home-Bildschirm und löschen ihn : Wir geben den Startwert ein: 2 Wir geben nun die Iterationsvorschrift ein; dabei geben wir ANS für x n ein, denn dann setzt der Rechner die zuletzt ausgegebene Zahl ein: Die erste Näherung wird berechnet. Jetzt wird es einfach, denn wir brauchen nur noch wiederholt zu drücken, dann wird immer wieder die letzte Eingabe wiederholt.

37 Brandt: Mathematik unterrichten mit TI-83 und TI-83 Plus in Klassenstufe 12 und 13 Analysis So können wir die Genauigkeit weiter erhöhen. Wir sehen, wie gut das Newtonverfahren konvergiert. Schon nach wenigen Schritten steht das Ergebnis. 37 Wir machen noch die Probe : Natürlich ist das Ergebnis nur im Rahmen der Rechengenauigkeit Null. Wir können das Verfahren leicht wiederholen, ohne die Iterationsvorschrift neu einzugeben, denn der TI 83 Plus hat einen Eingabespeicher. Wir geben dazu einen neuen Startwert ein, z.b. 1 und drücken dann so lange bis die Iterationsvorschrift wieder erscheint. Nun können wir durch wiederholtes Betätigen der mit einer anderen Folge die Nullstelle approximieren. Taste III. Numerische Integration: Keplersche Fassregel und Simpsonverfahren Zur näherungsweisen Berechnung von Integralen ist die Rechteckmethode eher von theoretischem Wert, für praktische Zwecke konvergiert sie zu langsam. Wesentlich schneller ohne wesentlich größeren Rechenaufwand ist ein Verfahren, das auf Kepler zurückgeht und in seiner Verallgemeinerung auch Simpsonverfahren genannt wird. Die Keplersche Fassregel lautet: b a f b a 6 a + b + 2 ( x) dx f ( a) + 4 f f ( b) Wir wenden die Formel auf das Integral π sin x dx an. 0

38 38 Wir rufen das Fenster zur Eingabe des Funktionsterms auf und geben den Funktionsterm ein: Materialien zum neuen Lehrplan Wir schalten um in den Home-Bildschirm und löschen ihn: Dann geben wir die Integrationsgrenzen a und b ein: 0 A B Und schließlich die Keplerformel: B A 6 A A B 2 B Zum Vergleich der numerisch vom TI 83 Plus berechnete Wert: A B Wir sehen trotz der großen Intervalllänge eine gute Übereinstimmung. Die Keplerregel liefert natürlich nur eine grobe Näherung, die wir folgendermaßen verbessern können. Wir unterteilen den Integrationsbereich [a;b] in n Teilintervalle und wenden auf jeden Teil die Keplerregel an. Da wir dazu auch noch jeweils die Intervallmitten brauchen, haben wir insgesamt 2n Teilintervalle mit den Stützstellen a=x 0,x 1,..., x 2n =b. b a Die Breite h jedes Teilintervalls ist dann h =. Damit ergibt sich die Simpsonregel: 2n b h f ( x) dx [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 4 f ( x3) + 2 f ( x4 ) f ( x2n )] 3 a Diese Regel realisieren wir in einem kleinen Programm.!" Anschließend geben wir einen Namen für das zu erstellende Programm ein, wir wählen den Namen INTSIMP. I N T S I M P (grüne Buchstabentasten ohne Taste drücken)