2 Modelle zur Beschreibung duktiler Schädigung

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1 Modellierung von duktiler Schädigung in Metall-Matrix-Verbundwerkstoffen Dipl.-Ing. Thomas DRABEK Institut für Leichtbau und Flugzeugbau Technische Universität Wien Gusshausstrasse 27-29, A-1040 Wien Tel.: /31713, 1 Einleitung Im Rahmen unseres Forschungsprogramms wird das Verhalten von Materialien mit spröden Partikeln in einer duktilen Matrix auf der Mikroebene untersucht. Eine solche Materialpaarung ist in Schnellarbeitsstählen (Stahl-Matrix mit eingebetteten M x C y - Partikeln), aber auch in sogenannten Metall-Matrix-Verbundwerkstoffen (MMCs, z.b. Aluminium-Matrix mit eingebetteten SiC-Partikeln) zu finden. Auf der Mikroebene ist eine differenzierte Modellierung der beteiligten Materialien möglich, wodurch eine Aussage über das Gesamtverhalten des Verbundwerkstoffs durch Kenntnis der Materialkennwerte der einzelnen Komponenten gemacht werden kann. In der Literatur werden drei mögliche Versagensformen bei solchen Composites vorgestellt. Neben der Schädigung der duktilen Matrix und dem Brechen der spröden Partikeln kann es weiters zum Ablösen der Partikeln von der Matrix kommen. Meine Aufgabenstellung umfaßt die erste Versagensform, wobei das Endziel die Erforschung der Einflüsse von Partikelgröße und -anordnung auf die Matrixschädigung ist. Dieser Bericht beschäftigt sich mit der Modellierung duktiler Schädigung mit Hilfe der Finiten Elemente Methode. Nach einer kurzen Einführung in das Verhalten von geschädigten duktilen Materialien erfolgt die Erklärung verschiedener Schädigungsmodelle, welche in der Lage sind, das reale Verhalten duktiler Materialien abzubilden. Ohne entsprechende Vorkehrung führen solche Modelle jedoch oft zu falschen Ergebnissen, wenn ein Zustand erreicht wird, wo es zum Entfestigen des Materials kommt. Die Ergebnisse tendieren dabei zur Abhängigkeit von der gewählten Vernetzung, was durch Regularisierung mit sogenannten nicht-lokalen Ansätzen hintangehalten werden kann. Sämtliche Berechnungen wurden dabei in ABAQUS/Standard [1] durchgeführt. 2 Modelle zur Beschreibung duktiler Schädigung Die Vorgänge beim Duktilbruch in Metallen können in drei Stadien eingeteilt werden: Entstehung von Poren ( Keimbildung, Nukleation) Dabei kommt es zum Ablösen der Matrix von Mikroeinschlüssen, wodurch ein Hohlraum entsprechender Größe entsteht. Wachstum von Poren Bereits bestehende Poren sowie entstandene Poren vergrößern sich aufgrund des vorliegenden Spannungszustandes. Vereinigung der Poren ( Koaleszenz ) Durch die Vereinigung der Poren entstehen Mikrorisse, die sich wiederum zu Makrorissen zusammenschließen, wodurch es zum Versagen des Materials kommt.

2 In Abb. 1 ist dieser Vorgang schematisch angedeutet. Abbildung 1: Schematische Darstellung von Porenwachstum Dieser Mechanismus muß nun in einem entsprechenden Modell implementiert werden. Dabei werden die Poren nicht einzeln modelliert, sondern gedanklich über das Material verschmiert, womit man zu einer kontinuierlichen Beschreibung (homogenisiertes Modell) gelangt. Die hier vorgestellten Modelle können als Erweiterung der klassischen Plastizitätstheorie aufgefaßt werden, wobei auch hier zunächst zwischen linear-elastischem und elasto-plastischen Materialverhalten unterschieden wird. Die Erweiterung kann in Form einer zusätzlichen Funktion g in der Fließfunktion Φ = σ V σ F + g 1 = 0 (1) angeschrieben werden. Dabei beschreibt σ V die aktuelle Vergleichsspannung (z.b. von Mises-Vergleichsspannung) und σ F die aktuelle Fließspannung. Die Beschaffenheit der Funktion g ist nun in den Schädigungsmodellen unterschiedlich definiert. Es hat sich gezeigt, daß die hydrostatische Spannung σ H bzw. die Spannungsdreiachsigkeit ξ = σ H /σ V einen wesentlichen Einfluß auf die Schädigung von duktilen Materialien ausüben. Die folgenden Schädigungsmodelle wurden im Rahmen meines Projektes genauer untersucht und angewendet. Bei den nun vorgestellten Modellen handelt es sich um volumenbasierende Schädigungsmodelle (GTN-, Rousselier-Modell und Schädigungsindikator nach Gunawardena), die eine Modellierung einer Prozeßzone aus geschädigtem Material (Volumen) zulassen. Während der Schädigungsindikator nach Gunawardena auf Elementebene keine Aussage über den Verlauf der Entfestigung macht, wird die kontinuierliche Entfestigung des Materials in den beiden anderen Modellen automatisch mitberücksichtigt. 2.1 Der Schädigungsindikator nach Gunawardena Der Schädigungsindikator nach Gunawardena et al. [2] basiert auf den Arbeiten von Rice und Tracey [3], wo das Verhalten einer Pore in einem unendlichen ausgedehnten, starr-ideal plastischen Material unter dreiachsiger Beanspruchung untersucht wurde. Gunawardena stellt eine Beziehung zur Beschreibung einer kritischen äquivalenten plastischen Vergleichsdehnung ε pl V,kr = A exp ( 1.5ξ) (2) her, wobei der noch unbekannte Parameter A aus dem einachsigen Zugversuch bei einer Triaxialität ξ = 0.33 und der Bruchdehnung ε 0 ermittelt werden kann (siehe dazu Fischer et al. [4]). Eine solche experimentell ermittelte Versagenskurve, welche

3 den Zusammenhang zwischen kritischer äquivalenter plastischer Vergleichsdehnung und der Triaxialität ξ beschreibt, ist in Abb. 2 aus Hönle et al. [5] ersichtlich. ε pl V,kr Abbildung 2: Experimentell ermittelte Versagenskurve aus [5] Um nun auch die Belastungsgeschichte des Materials zu berücksichtigen, wird das Inkrement eines Schädigungsindikators dd = dεpl V ε pl V,kr (ξ) (3) durch das Verhältnis des Inkrements der äquivalenten plastischen Vergleichsdehnung dε pl V zur kritischen äquivalenten plastischen Vergleichsdehnung εpl V,kr bei der aktuellen Triaxialität ξ beschrieben. Die Berechnung des Schädigungsindikators D erfolgt durch Integration D = ε pl V 0 exp ( 3 2 ξ) 1.65ε 0 dε pl V, (4) wobei im Materialpunkt lokales duktiles Versagen auftritt, wenn der Schädigungsindikator den Wert 1 erreicht hat. Im Bereich 0 < D < 1 kann allerdings keine Aussage über den Einfluß der (zunehmenden) Schädigung auf die Steifigkeit des Materials gemacht werden, eine Erweiterung des Modells zur Modellierung der Schädigung bedarf daher zusätzlicher Annahmen (z.b. schlagartiger Steifigkeitsverlust bei D = 1, dieses Modell wird im folgenden als erweiterter Schädigungsindikator bezeichnet). 2.2 Das Gurson-Tvergaard-Needleman-Modell (GTN) Das GTN-Modell stellt Eigenschaften in Form von konstitutiven Gleichungen für ein Modellmaterial zur Verfügung, wenn das reale Material als elasto-plastisches Material mit Poren und poreninduzierenden Einschlüssen aufgefaßt werden kann. Das Kernstück des GTN-Modells ist die Fließbedingung Φ = σ2 V σ 2 F ( + 2q 1 f q2 σ H cosh 2σ F ) 1 q 3 f 2 = 0, (5) wobei die Koeffizienten q 1, q 2 und q 3 Materialkennwerte darstellen. Der in der ursprünglichen Version des Modells von Gurson [6] enthaltene Porenvolumsanteil f

4 wurde von T vergaard und Needleman [7] durch eine stetige Funktion f ersetzt. Mit Hilfe dieses modifizierten Porenvolumsanteils f soll der oberhalb eines bestimmten kritischen Porenvolumsanteils f kr beschleunigte Tragfähigkeitsverlust abgebildet werden. Dieser Porenvolumsanteil ist jener, bei dem der Mechanismus der Hohlraumvereinigung einsetzt. Die Änderung des Porenvolumsanteils resultiert zum einen aus dem Wachstum vorhandener Poren und zum anderen aus der Entstehung neuer Poren. 2.3 Das Rousselier-Schädigungsmodell Das Schädigungsmodell nach Rousselier [8] besitzt wie das GTN-Modell einen zusätzlichen Term in der Fließfunktion ( ) Φ = σ V σ F + σ 1 f D σh exp = 0, (6) um eine Kontraktion der Fließfläche zu ermöglichen. Beim Parameter D (welcher nicht mit einem Schädigungsindikator zu verwechseln ist) handelt es sich um eine Integrationskonstante, welche bei der Herleitung des Rousselier-Modells entsteht. In den meisten Fällen jedoch wird der Parameter D auf einen Wert in der Größenordnung zwischen 1.5 und 2 gewählt (d.h. unabhängig vom betrachteten Material) und der zweite Materialkennwert σ 1 wird dementsprechend kalibriert. Die dritte und letzte Materialkonstante stellt die anfängliche Porenvolumsdichte f 0 dar. σ 1 3 Netzabhängigkeiten Ein großes Problem bei der Implementierung von Schädigungsmodellen, die eine Kontraktion der Fließfläche und damit Entfestigung verursachen, in einem Finiten Elemente Code stellt die Netzabhängigkeit der Ergebnisse dar. Betrachtet man das Kraft- Deformations-Diagramm in Abb. 3, so ist ersichtlich, daß ab einem bestimmten Bereich, dem sogenannten nachkritischen Bereich, keine eindeutige Zuordnung zwischen Kraft und Deformation mehr gegeben ist, da das Material entweder elastisch entlasten oder aber auf der gezeichneten Kurve unter Deformationszunahme bleiben kann. Es kommt dabei zum Typwechsel des zugrundeliegenden Differentialgleichungssystems vom elliptischen zum hyperbolischen Typ. Man spricht daher auch vom Verlust der Elliptizität des Differentialgleichungssystem und man kann bei einer solchen Finiten Elemente Berechnung nicht mehr darauf vertrauen, daß die Genauigkeit der Berechnung durch Verfeinerung des FE-Netzes erhöht werden kann. Eigene Tests zur Untersuchung der Netzabhängigkeit wurden mit den vorgestellten Schädigungsmodellen durchgeführt, wobei hier Vergleiche des Rißfortschritts und des Kraft-Verschiebungs- Diagramms bei drei FE-Netzen mit unterschiedlicher Anzahl von Elementen ausgeführt wurden. Die Berechnung erfolgte mit 2D-Elementen (ebener Verzerrungszustand) und die Anzahl der Elemente betrug etwa 2.500, und Zur Spannungskonzentration wurde ein Loch im Modell vorgesehen, beim verwendeten Material handelt es sich um Aluminium (Al2618-T4). In Abb. 4 sind alle drei deformierten Netze dargestellt, wobei die geschädigten Elemente (Prozeßzone) entfernt wurden.

5 Abbildung 3: Vor- und nachkritischer Bereich im Last-Deformations-Diagramm aus Baaser [9] detail Elemente Elemente Elemente Abbildung 4: Vergleich des Rißfortschritts bei drei verschiedenen FE-Netzen (GTNModell) Man erkennt, daß bei einer höheren Anzahl von Elementen, die Form der Prozeßzone ähnlich erscheint, die Prozeßzone wird jedoch immer nur von einer Elementreihe gebildet, egal wie groß dieses Element gewählt wurde. Betrachtet man weiters die Kraft-Verschiebungs-Diagramme in Abb. 5, so ist daraus ersichtlich, daß der Riß umso schneller vorangetrieben wird, je feiner das FE-Netz gewählt wurde (erkennbar durch die Reihenfolge der sinkenden Kraft-Verschiebungs-Kurven, beginnend mit dem feinsten FE-Netz). Bei den Berechnungen mit dem erweiterten Schädigungsindikator als auch mit dem Rousselier-Modell waren diese lokalen Effekte ebenfalls ersichtlich. 4 Nicht-lokaler Ansatz Im Gegensatz zum lokalen Ansatz, wo für jeden Integrationspunkt des Finiten Elementes aufgrund des Spannungszustandes und des Schädigungsmodells für sich alleine entschieden wird, ob er geschädigt ist oder nicht, werden beim nicht-lokalen Ansatz auch die benachbarten Integrationspunkte in diese Entscheidung miteinbezogen. Dies erfolgt durch eine Mittelung, wobei eine Gewichtung durch das Inte-

6 Kraft-Verhältnis RF2/RF2,max steigende Anzahl von Elementen El El El Verschiebungs-Verhältnis U 2 /U 2,max Abbildung 5: Kraft-Verschiebungs-Diagramm bei drei verschiedenen FE-Netzen (GTN-Modell, Netzgeometrie lt. Abb. 4) grationsvolumen und dem Abstand zum betrachteten Integrationspunkt erfolgt. Anfangs wurden sämtliche Integrationspunktvariablen für diese Mittelung herangezogen, es hat sich jedoch herausgestellt, daß es ausreichend ist, nur eine Feldvariable (z.b. die Schädigungsvariable) für die Mittelung zu verwenden, wie in Bažant [10] sowie in Pijaudier Cabot und Bažant [11] nachgelesen werden kann. Die nun folgenden Erklärungen beinhalten die Vorgehensweisen von Tvergaard und Needleman [12], welche die Porenvolumsrate f im GTN-Modell zur Mittelung heranziehen. Dabei wird der Porenvolumsanteil f nicht lokal (x) = 1 W (x) ˆV f lokal (ˆx) w (x ˆx) d ˆV (7) durch die lokale Porenvolumsrate f lokal, das Materialvolumen d ˆV und durch eine Gewichtungsfunktion [ 1 w (z) = 1 + ( z L welche wiederum vom Abstand zweier Integrationspunkte z = ( z T z ) 1/2 ) 8 ] 2, (8) mit z = x ˆx (9) abhängig ist, beschrieben. Zur Normierung ist noch der Faktor W (x) = w (x ˆx) d ˆV (10) ˆV in Glg. 7 notwendig. Die Funktion w(z) sowie eine schematische Andeutung der Vektoren z, x und ˆx sind in Abb. 6 dargestellt. Dabei ist auch ein neuer Parameter L eingeführt worden, welcher Auskunft darüber gibt, in welchem Umkreis die benachbarten Integrationspunkte berücksichtigt werden. Damit kann die sogenannte charakteristische Länge l c = 2L, (11)

7 wie sie in der Literatur genannt wird, definiert werden. x x z w(z) z/l Abbildung 6: Schematische Darstellung der verwendeten Vektoren z, x, ˆx (links) sowie der Gewichtungsfunktion w(z) (rechts) Eine vollständige Eliminierung der Netzabhängigkeit mit Hilfe des nicht-lokalen Ansatzes konnte in Tvergaard und Needleman [12] aufgezeigt werden. Eigene Untersuchungen ergaben vergleichbare Ergebnisse, dabei wurden wieder die gleichen Netze mit verschiedener Anzahl von Finiten Elementen, wie anfangs in Kapitel 3 schon durchgeführt wurde, verwendet. Die charakteristische Länge l c war in diesem Fall etwa 70% des Lochdurchmessers. In Abb. 7 wird die Ausbildung der Prozeßzonen beim lokalen und nicht-lokalen Ansatz gegenübergestellt. Es ist eindeutig ersichtlich, daß beim lokalen Ansatz die Prozeßzone von nur einer Elementreihe gebildet wird, was beim nicht-lokalen Ansatz nicht der Fall ist und somit eine Netzunabhängigkeit erreicht wurde. (a) Abbildung 7: Vergleich der Prozeßzone beim lokalen und nicht-lokalen Ansatz. (a) Lokal. (b) Nicht-lokal Es zeigte sich eine deutliche Verbesserung beim Vergleich der Ausbildung der Prozeßzone trotz unterschiedlicher Anzahl von Elementen. Ein wesentlicher Fortschritt konnte durch die Regularisierung jedoch in der Kraft-Verschiebungs-Kurve in Abb. 8 erzielt werden. (b)

8 Kraft-Verhältnis RF2/RF2,max El El El Verschiebungs-Verhältnis U 2 /U 2,max Abbildung 8: Kraft-Verschiebungs-Diagramm bei drei verschiedenen FE-Netzen mit nicht-lokalen Ansatz (Netzgeometrie lt. Abb. 4) 5 Anwendung Zwei Einheitszellen-Berechnungen einer Aluminium-Matrix (Al2618-T4) mit SiC- Fasern und unterschiedlicher Faseranordnung wurden mittels des nicht-lokalen Rousselier-Modells durchgeführt. Die Faser-Volumsfraktion betrug in beiden Fällen 5.34%. Eine reine Zugbelastung in y-richtung (quer zur Faserrichtung) und periodische Randbedingungen wurden dabei verwendet. Die charakteristische Länge l c betrug etwa 5% der Einheitszellenbreite. Bei der Mittelung der Schädigungsvariable am Rand der Einheitszelle wurde die Periodizität ebenfalls mitberücksichtigt. Die unterschiedliche Rißausbreitung kann an Hand der Porenvolumsfraktion in Abb. 9 entnommen werden. Das unterschiedliche globale Verhalten ist in Abb. 10 ersichtlich. (a) Abbildung 9: Verteilung der Porenvolumsfraktion. (a) Versetzte Fasern. (b) Ausgerichtete Fasern. (b)

9 Kraft-Verhältnis RF2/RF2,max ausgerichtete Fasern versetzte Fasern Verschiebungs-Verhältnis U 2/U 2,max Abbildung 10: Die globale Kraft-Verschiebungs-Beziehung von beiden Faseranordnungen 6 Zusammenfassung Zusammenfassend kann gesagt werden, daß sich die drei vorgestellten und bereits vollständig implementierten Schädigungsmodellen in ihrer nicht-lokalen Version sehr gut für die Modellierung duktiler Schädigung eignen. Die drei Modelle können in ihrer ursprünglichen Form (lokale Version) aufgrund der vorliegenden Netzabhängigkeit nicht bedenkenlos angewendet werden. In der Literatur sind jedoch gut erprobte Werkzeuge zur Eliminierung dieser Netzabhängigkeit bei Schädigungsmodellen mit kontrahierender Fließfläche aufgelistet. Das von mir gewählte Verfahren der nicht-lokalen Methode wurde für die vorgestellten Modelle erfolgreich angewendet. Beim nicht-lokalen Ansatz ist jedoch das Einführen eines zusätzlichen Kennwerts, der sogenannten charakteristischen Länge, notwendig. Diese beschreibt die Dicke der Prozeßzone bei der Schädigung des Materials und ist aus Versuchen zu ermitteln. Da das Original-Gurson-Modell in ABAQUS/Standard vorhanden ist, konnte die Erweiterung nach Tvergaard und Needleman mit einigen Zusatzroutinen hinzugefügt werden. Eine Implementierung des nicht-lokalen Ansatzes war jedoch aufgrund der beschränkten Zugänglichkeit der Feldvariablen nur mit größerem Aufwand möglich, wodurch für alle drei Modelle eine eigene Materialroutine (UMAT) in ABAQUS programmiert wurde. Aufgrund der Mittelung im nicht-lokalen Ansatz nach jedem Inkrement der FE-Berechnung kommt es zur deutlichen Erhöhung der Rechenzeit, wodurch nur 2d-Modelle für Testzwecke herangezogen wurden. Um jedoch den Einfluß von Partikelanordnung und -größe auf die Matrixschädigung beobachten zu können, sind im weiteren 3d- Modelle erforderlich, wodurch nochmals mehr Rechenleistung gefragt ist. Literatur [1] Hibbitt and Karlsson and Sorensen Inc.: ABAQUS/Standard V.6.2.; Pawtucket RI, [2] Gunawardena S.R., Jansson S., Leckie F.A.: Transverse Ductility of Metal Matrix Composites in Failure Mechanisms in High Temperature Composite Mate-

10 rials (Eds. K.Haritos, G.Newaz, S.Mall); AD Vol.22/AMD Vol.122, pp , ASME, New York, NY, [3] Rice J.R., Tracey D.M.: On the Ductile Enlargement of Voids in Triaxial Stress Fields; J.Mech.Phys.Sol. 17, pp , [4] Fischer F.D., Kolednik O., Shan G.X., Rammerstorfer F.G.: A Note on Calibration of Ductile Failure Damage Indicators; Int.J.Fract. 73(4), pp , [5] Hönle S., Dong M., Mishnaevsky L., Schmauder S.: FE-Simulation of Damage Evolution and Crack Growth in Two Phase Materials in Proceedings of the Second European Conference on Mechanics of Materials (Eds. A. Bertram et al.); pp , Magdeburg, [6] Gurson A.L.: Continuum Theory of Ductile Rupture by Void Nucleation and Growth: Part I Yield Criteria and Flow Rules for Porous Ductile Media; J.Engng.Mater.Technol. 99, pp. 2 15, [7] Needleman A., Tvergaard V.: An Analysis of Ductile Rupture Modes at a Crack Tip; J.Mech.Phys.Sol. 35(2), pp , [8] Rousselier G.: Ductile Fracture Models and their Potential in Local Approach of Fracture; Nucl.Engng.Design 105, pp , [9] Baaser H.: Dreidimensionale Simulation duktiler Schädigungsentwicklung und Rißausbreitung; Doctoral Thesis, TU Darmstadt, Darmstadt, FRG, [10] Bažant Z.P.: Why Continuum Damage is Nonlocal: Micromechanics Arguments; J.Engng.Mech. 117, pp , [11] Pijaudier Cabot G., Bažant Z.P.: Nonlocal Damage Theory; J.Engng.Mech. 113(10), pp , [12] Tvergaard V., Needleman A.: Nonlocal Effects in Ductile Fracture by Cavitation Between Larger Voids; in Computational Plasticity: Fundamentals and Applications (Eds. D.R.J.Owen, E.Oñate, E.Hinton), pp ; Pineridge Press, Swansea, UK, 1995.