2 Funktionen. Inhalt. 2.1 Vorbemerkung

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1 2 Funktionen Inhalt 2.1 Vorbemerkung Funktionsbegriff Funktionen in Scilab Besondere mathematische Funktionen Summenzeichen Produktzeichen Betragsfunktion Ganzzahlfunktion Potenz-undWurzelfunktion Exponentialfunktionen Logarithmusfunktion Anwendung in Scilab Fazit Vorbemerkung Eine Funktion beschreibt gegenseitige Abhängigkeiten zwischen Variablen und sie ist eine wesentliche Grundlage in der Mathematik. Im Folgenden werden der Funktionsbegriff und einige spezielle Funktionen erläutert. Dazu zählen wir auch das Summen- und Produktzeichen für die fortgesetzte Addition und Multiplikation. Insbesondere das Summenzeichen wird häufig verwendet. Ferner sind die Logarithmusund die Exponentialfunktion, sowie zwei spezielle Funktionen, die Betragsfunktion und die Gauß-Klammer (Auf- und Abrundungsfunktion) von Bedeutung. In Kapitel 8 werden die rationalen Funktionen mit einer Variablen sowie Folgen und Reihen erläutert. Übersicht über die hier eingesetzten mathematischen Symbole: Summenzeichen Produktzeichen W. Kohn, R. Öztürk, Mathematik für Ökonomen, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015

2 22 2 Funktionen i, j Subskript, Index Betragsfunktion, Ganzzahlfunktion e Eulersche Zahl f (x),h(x),g(x) Funktionen von x f 1 (x) Umkehrfunktion F ( x, f (x) ) = 0 implizite Funktion e x, a x Exponentialfunktion zur Basis e bzw. a log a x Logarithmus von x zur Basis a lnx Logarithmus x zur Basis e, natürlicher Logarithmus x n Potenzfunktion n x Wurzelfunktion 2.2 Funktionsbegriff Eine Funktion dient zur Beschreibung der gegenseitigen Abhängigkeit mehrerer Faktoren. Sie ist eine Beziehung (auch Relation oder Abbildung genannt) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Mengen (x-wert oder Argument) genau ein Element der anderen Menge (y-wert oder Funktionswert) zuordnet. f : X Y Die Betrachtungsweise ist im Allgemeinen so festgelegt, dass man von den Elementen einer Menge x X ausgeht und ihre Beziehung zu den Elementen der anderen Menge y Y untersucht. Man bezeichnet hierbei die Menge X als Definitionsmenge D( f ) oder Urbildmenge der Abbildung f und die Menge Y als Wertebereich W( f ) oder Bildmenge. Beispiel 2.1. Das Hausnummernsystem stellt eine Abbildung dar. Die Menge X ist ein Haus in der Wertherstraße. Dies wird formal mit X = {x x ist ein Haus in der Wertherstraße} beschrieben (lies: Die Menge X für deren Elemente x gilt, x ist...).diemengey ist Y = {y y N} Dann ist f : X N ( {Häuser} {Nummer} ) die formale Beschreibung für das Hausnummernsystem. Im Beispiel 2.1 handelt es sich um eine eindeutige Abbildung, da jedem Element aus dem Wertebereich mindestens ein Element aus dem Definitionsbereich zugeordnet ist. Eine solche Abbildung wird auch surjektiv bezeichnet. Eine Abbildung

3 2.2 Funktionsbegriff 23 heißt injektiv, wenn verschiedenen Elementen des Definitionsbereichs unterschiedliche Elemente des Wertebereichs zugeordnet sind. Hierbei können Elemente aus dem Wertebereich ohne Urbild sein. Wenn beides vorliegt also surjektiv und injektiv dann wird die Abbildung bijektiv genannt. Eine solche Abbildung wird auch eineindeutig genannt. surjektiv nicht injektiv injektiv nicht surjektiv X Y X Y surjektiv und injektiv = bijektiv X Y Abb. 2.1: Surjektive, injektive und bijektive Abbildung In vielen Fällen können Funktionen zwischen den Elementen x D( f ) und den Elementen y in Form einer Gleichung geschrieben werden. y = f (x) für x D( f ) (2.1) Bei der Funktion in Gleichung (2.1) gehört zu jedem Element x des Definitionsbereichs D( f ) genau ein Element y des Wertebereichs W( f ). In dieser Schreibweise tritt auch deutlich die Abhängigkeit zwischen den veränderlichen Größen x und y hervor. Die Variable x kann innerhalb des Definitionsbereichs D( f ) beliebige Werte annehmen und wird deshalb als unabhängige Variable oder Argument bezeichnet. Hingegen ist mittels der Zuordnung f (x) der Wert von y eindeutig festgelegt, sobald x gewählt wird. Aus diesem Grund heißt y die abhängige Variable. Für den funktionalen Zusammenhang wird häufig eine dem Kontext entsprechende Bezeichnung gewählt. So ist es sinnvoll, die Bezeichnung K(x) für eine Kostenfunktion oder p(x) für eine Preis-Absatz-Funktion zu verwenden. Die Funktion wird in der analytischen Form als Gleichung unter Angabe des Definitionsbereichs der unabhängigen Variablen dargestellt. Die Funktionsgleichung

4 24 2 Funktionen (2.1) bezeichnet man dabei als explizite Funktionsform. Alsimplizite Funktion wird die Schreibweise y f (x)=0 F(x,y)=F ( x, f (x) ) = 0 fürd(f)=0 bezeichnet. Eine implizite Funktion besitzt nicht immer eine explizite Darstellung, also eine Funktionsform in der eine Variable auf der rechten Seite isoliert steht. Beispiel 2.2. Die Funktionen F(q)=2000 q = 0 fürq > 1 q 1 oder F(x,y)=y + x xy 2 = 0 fürx 0 können nicht explizit nach q,x oder y aufgelöst werden. Nicht jede Funktion kann als Gleichung geschrieben werden und nicht jede Gleichung ist eine Funktion! So können empirische Beobachtungen nur in Form einer Wertetabelle angegeben werden. Es handelt sich dann um eine diskrete Funktion, die nur punktweise definiert ist. Hingegen ist die Gleichung für den Einheitskreis 1 = x 2 + y 2 keine Funktion, da sie bis auf die Randpunkte jedem Wert von x zwei Werte von y zuordnet. Eine Funktion kann auch in verschiedene Intervalle ihres Definitionsbereichs durch unterschiedliche Funktionszweige beschrieben werden. Dann hat die Funktion die Form: f (x) für x D( f ) y = g(x) für x D(g) h(x) für x D(h) Die Teildefinitionsbereiche müssen dabei disjunkt (nicht überschneidend) sein. Beispiel falls x < 0 y = 0 falls x = 0 +1 falls x > 0 Eine eineindeutige Funktion lässt sich umkehren. Die Auflösung der Funktion nach der unabhängigen Variablen x heißt Umkehrfunktion. x = f 1 (y)=g(y)

5 2.3 Funktionen in Scilab 25 Beispiel 2.4. Die Funktion besitzt die Umkehrfunktion Beispiel 2.5. Die Funktion y = 3x + 2 x = y 2 3 fürx R für y R y = x 2 für x R + besitzt die Umkehrfunktion: Die Funktion x =+ y für y R + y = x 2 für x R besitzt hingegen keine Umkehrfunktion, da die Abbildung nur eindeutig ist. Für x = 2 und für x = 2 erhält man den gleichen Funktionswert. Man beachte, dass der Definitionsbereich (Wertebereich) einer Umkehrfunktion gleich dem Wertebereich (Definitionsbereich) der Ausgangsfunktion ist. Daher kann eine Umkehrfunktion nur für eineindeutige Funktionen existieren. Es werden hier nur einige spezielle reelle Funktionen behandelt. Bei diesen kann man zwischen so genannten algebraischen und transzendenten Funktionen unterscheiden. In algebraischen Funktionen ist die unabhängige Variable ausschließlich durch die elementaren Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Radizierung verknüpft. Von den algebraischen Funktionen interessieren hier insbesondere die rationalen und gebrochen-rationalen Polynome. Die transzendenten Funktionen können nicht mit den elementaren Operationen dargestellt werden. Die in der Ökonomie wichtigsten transzendenten Funktionen sind die Exponential- und die Logarithmusfunktionen. Sie werden in den Abschnitten und vorgestellt. y = a x für a > 0 und a 1, x R y = log a x für a > 0 und a 1, x R Funktionen in Scilab Funktionen können in Scilab leicht mit dem Befehlsmakro function [Rückgabewert]=Funktionsname(Variablen) Funktionsgleichung endfunction

6 26 2 Funktionen eingegeben werden. In dem folgenden Code-Beispiel sind die Funktionen aus den Beispielen 2.2 und 2.3 programmiert. // Kapitalwertfunktion function y=kapitalwert(q) y=2000*(q^10-1)/(q-1)-30000; endfunction // Berechnung des Kapitalwerts für q=1.01 kapitalwert(1.01) // q=1.01, 1.02,..., 1.1 q=linspace(1.01,1.1,10) // Berechnung der Kapitalwerte für q=1.01,..., 1.1 feval(q,kapitalwert) // Grafik plot(q,feval(q,kapitalwert)) // oder alternativ fplot2d(q,kapitalwert) // Funktion mit 2 Variablen function z=f(x,y) z=y+sqrt(x)-x*y^2; endfunction // Berechnung der Funktion an der Stelle x=1, y=1 F(1,1) feval(1,1,f) // Berechnung der Lösung für x, wenn y=1 ist y=1 fsolve(1,f) // Grafik der 3-dimensionalen Funktion fplot3d(-10:10,-10:10,f,20,30) // Funktion mit Teilbereichen function y=g(x) if x<0 then y=-1 elseif x==0 then y=0 else y=1 end endfunction

7 2.4 Besondere mathematische Funktionen Summenzeichen 2.4 Besondere mathematische Funktionen 27 Das Summenzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Addition. a i = a 1 + a a n (2.2) In der Gleichung (2.2) bezeichnet man i als Summationsindex, der hier mit Eins beginnt und jeweils um eins hochgezählt wird bis die Obergrenze n erreicht ist. Der Index i kann mit jeder ganzen Zahl beginnen und enden. Beispiel x i = x 2 + x 1 + x 0 + x 1 i= 2 Mit negativen Indizes werden in der Ökonomie oft Werte aus der Vergangenheit, mit positiven Indizes zukünftige Werte und mit dem Index Null der Wert der Gegenwart bezeichnet. Das Summenzeichen ist nützlich, um größere Summen übersichtlich darzustellen, deren Wert zu berechnen ist. Es gelten die folgenden Rechenregeln, die sich aus den Rechengesetzen ergeben: Gleiche Summationsgrenzen a i + b i = (a i + b i ) Additive Konstante Beispiel 2.7. (a i + c)= a i + nc 10 ( ai + 4 ) 10 =(a 1 + 4)+...+(a )= a i

8 28 2 Funktionen Multiplikative Konstante ca i = c Beispiel 2.8. Es wird der Index als Variable verwendet. Um eine Verwechselung mit den imaginären Zahlen zu vermeiden, wird der Index k gewählt. Summenzerlegung 4 3k 2 = 3 k=1 a i = a i 4 k 2 = 3 ( ) = 90 k=1 m a i + i=m+1 a i für m < n Beispiel 2.9. Es werden für die Variablen a i folgende Werte angenommen: 5 a i = a 1 = 2,a 2 = 1,a 3 = 2,a 4 = 2,a 5 = 3 3 a i + 5 a i = = 10 i=4 Das Summenzeichen kann auch doppelt oder mehrfach hintereinander auftreten. Zwei Summenzeichen treten zum Beispiel hintereinander auf, wenn in einer Tabelle alle Werte addiert werden sollen. Die Zeilen einer Tabelle werden in der Regel mit i indiziert und die Spalten einer Tabelle mit j. Die Werte in den Tabellenfeldern werden dann mit a ij bezeichnet (siehe Tabelle 2.1). Tabelle 2.1: Zweidimensionale Tabelle mit Randsummen a 11 a 1 j a mj=1 1m a 1 j a i1 a ij a mj=1 im a ij a n1 a nj a mj=1 nm a nj n a i1 n a ij n a n mj=1 im a ij Wie in der oben stehenden Tabelle ersichtlich, können mit der Doppelsumme alle Werte der Tabelle addiert werden. Dabei ist es egal, ob erst die Zeilen und dann die Spalten addiert werden oder umgekehrt. m m m m a 1 j + a 2 j + + a nj = j=1 j=1 j=1 a ij j=1

9 2.4 Besondere mathematische Funktionen 29 a i1 + a i2 + + a im = j=1 m a ij = m j=1 m j=1 a ij a ij Lediglich die Reihenfolge der Summation ist unterschiedlich. Nach dem ersten Kommutativgesetz führt dies zu keiner Ergebnisänderung. Beispiel j=1 3 (b ij + i j)=(b )+(b )+(b ) +(b )+(b )+(b ) 2 3 = 18 + b ij j=1 Übung 2.1. Berechnen Sie folgende Ausdrücke für x = 5,2,1,2 und y = 1,2,3,4: 4 x i 4 x i y i 4 ( xi + 3 ) Übung 2.2. Berechnen Sie die folgenden Summen: 5 5 ( 1 (n 1) 2 (n + 2) k 1 ) k + 1 n=2 Übung 2.3. Ist die Doppelsumme gleich der Summe 2 2 x ij j=1 2 x i j=1 k=1 2 x j?

10 30 2 Funktionen Produktzeichen Das Produktzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Multiplikation. n a i = a 1 a 2 a n Das Produktzeichen wird wie das Summenzeichen zur übersichtlicheren Darstellung von größeren Produkten verwendet. Es gelten die folgenden Rechenregeln, die sich leicht aus den elementaren Rechenoperationen ableiten lassen: Gleiche Produktgrenzen n n n a i b i = a i Multiplikative Konstante n n c a i = c n b i a i Anmerkung: Im Text wird das Produktzeichen soweit es eindeutig ist durch einen kleinen Freiraum ersetzt. a b = ab Übung 2.4. Berechnen Sie folgende Ausdrücke für x = 5,2,1,2: 4 x i 5 i 4 2x i Übung 2.5. Schreiben Sie das Doppelprodukt aus. 2 2 j=1 x ij Betragsfunktion Die Betragsfunktion liefert von einer reellen Zahl deren vorzeichenlosen Zahlenwert. { x für x 0 x = x für x < 0 Anschaulich kann der Betrag x als der Abstand auf der Zahlengeraden zwischen 0 und x interpretiert werden. Beim Rechnen mit Beträgen ist Folgendes zu beachten. Für x 0 gilt: x y = x y

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