Zweidimensionale Regression. Zweidimensionale Regression. Regressionsebene. Güte des Regressionsmodells. Vertrauensintervalle für die Koeffizienten

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN-WEIHENSTEPHAN MATHEMATIK UND STATISTIK INFORMATIONS- UND DOKUMENTATIONSZENTRUM R. Biometrische ud Ökoometrische Methode I WS / Regressiosebee Zweidimesioales Regressiosmodell Empirische Regressiosebee Schätzug der Regressioskoeffiziete Güte des Regressiosmodells Multiples Bestimmtheitsmaß Multipler Korrelatioskoeffiziet Streuug der Residue Vertrauesitervalle für die Koeffiziete Prüfug des Regressiosmodells Test der Regressioskoeffiziete Test des Bestimmtheitsmaßes Residueaalyse Kolliearität (Multikolliearität)

2 Preis - Motorleistug - Hubraum Zweidimesioales Regressiosmodell Leistug Hubraum Preis Hersteller Modell [kw] 3 [cm ] [DM] Audi A Audi A Audi A Audi A BMW 36i BMW 38i BMW 3i BMW 33i BMW 38i Meßwerte Tripel (x,x y ) i i i Lieares Modell y i $ %$ %$ %e i $, $, $ ubekate Parameter e i ormalverteilt mit E(e i) = ud Var(e i) = F, ukorreliert DM Regressiosebee i der Grudgesamtheit E(y)$ %$ %$ x Erwartugswerte E ) liege auf eier Ebee 5 9 kw Parameterschätzug Ubekate wahre Parameter werde durch empirische Parameter geschätzt cm^3 ˆ$ b, ˆ$ b ud ˆ$ b Schätzug der Erwartugswerte ŷ(x)b %b %b x ŷ Schätzwert für E(y)

3 Bestimmug der empirische Regressiosebee Bestimmug der empirische Regressioskoeffiziete y SQ(b,b,b ) j &ŷ i ) j &b &b ) 6 Miimum MSQ Mb & j &b &b ) y i y^ i x e^ i MSQ Mb & j MSQ Mb & j &b &b ) &b &b ) Gleichugssystem b y &b x ŷ(x)b %b %b x empirische Regressiosebee b SQ x %b SP x x SP yx b SP x x %b SQ x SP yx y i b %b %b %ê i ê i Schätzwert für ubekates e i Optimierugsbedigug SQ j ê i j &ŷ i ) 6 Miimum Gaußsches Prizip der kleiste Quadrate Lösug des Gleichugssystems eifacher i Matrixschreibweise Partielle (Multiple) Regressioskoeffiziete b b b Achseabschitt Steigug i x -Richtug Steigug i x -Richtug

4 Preis - Motorleistug - Hubraum Regressiosebee MTB > Regress DM kw. Regressio Aalysis The regressio equatio is DM = kw Costat kw S = 8 R-Sq = 97. R-Sq(adj) = 96.6% SQ Total SQ y SQ Regressio %SQ Rest SQ Regressio Multiples Bestimmtheitsmaß j (ŷ i &y) j (y%b ( & )%b ( &x )&y) b SQ x %b b SP x x %b SQ x b SP yx %b SP yx SQ Rest SQ Total &SQ Regressio SQ y SQ yx &b SQ yx MTB > Regress DM cm^3. Regressio Aalysis The regressio equatio is DM = cm^3 Costat cm^ Bestimmtheitsmaß B erklärte Variatio Gesamtvariatio SQ Regressio b SP yx %b SP yx r yŷ SQ Total SQ y Multipler Korrelatioskoeffiziet S = 543 R-Sq = 88.% R-Sq(adj) = 86.5% MTB > Regress DM kw cm^3. r yŷ SP yŷ SQŷSQ y SP yŷ SQ Regressio SQ y b SP yx %b SP yx SQ y Regressio Aalysis The regressio equatio is DM = kw +.88 cm^3 r yŷ b SP yx %b SP yx B SQ y Costat kw cm^ Streuug der Residue S = 373 R-Sq = 97.% R-Sq(adj) = 96.% s R MQ Rest SQ Rest SQ Rest, FG Rest &3 s R MQ Rest SQ Rest &3

5 Preis - Motorleistug - Hubraum Vertrauesitervall für die Regressioskoeffiziete MTB > Regress DM kw cm^3. Regressio Aalysis b k &t bk #$ k #b k %t bk &" b k ±t bk &" The regressio equatio is DM = kw +.88 cm^3 Costat kw cm^ S = 373 R-Sq = 97.% R-Sq(adj) = 96.% Aalysis of Variace Preis - Motorleistug - Hubraum 95%-Vertrauesitervalle für die Koeffiziete b ±t b.95 Source DF SS MS F P Regressio Error Total Source DF Seq SS kw cm^3 665 Uusual Observatios Obs kw DM Fit StDev Fit Residual StResid R R deotes a observatio with a large stadardized residual b ±t b.95 b ±t b ± #$ # ± #$ &6.454#$ #8.8.95

6 Test der Regressioskoeffiziete Ertrag - Stickstoffdügug - Aussaatmege Testgröße: t b k &b ( k s bk MTB > Prit Ertrag N-Dueg Saat. Data Display H : $ $ ( Partialtests $ $ ( $ $ ( H : Ablehug vo H, we: $ k >$ ( k $ k <$ ( k t >t &3;&" t <&t &3;&" x ist i der Gleichug x ist i der Gleichug Row Ertrag N-Dueg Saat $ k $ ( k Testgröße: t >t &3;&"/ Test des Bestimmtheitsmaßes F MQ Regressio MQ Rest SQ Regressio / SQ Rest /(&3) (&3)B (&B) Ertrag [dt/ha] 6 5 Aussaatmege [Körer/m²] H : H : B bzw. $ $ B> bzw. $ w $ Ablehug vo H, we: Stickstoffdügug [kg/ha] F >F,&3;&"

7 Ertrag - Stickstoffdügug - Aussaatmege Regressio Ertrag - Stickstoffdügug - Aussaatmege Residueaalyse MTB > Regress Ertrag N-Dueg Saat; SUBC> Fits Fits; SUBC> SResiduals StRes; SUBC> DW; SUBC> Brief 3. Regressio Aalysis The regressio equatio is Ertrag = N-Dueg +.69 Saat Costat N-Dueg Saat S =.83 R-Sq = 93.% R-Sq(adj) = 9.9% Aalysis of Variace Source DF SS MS F P Regressio Error Total Source DF Seq SS N-Dueg 7.6 Saat 48.3 N-Dueg Ertrag Fit StDev Fit Residual St Resid Durbi-Watso statistic =.96 Grafische Residueaalyse Residual Frequecy - - Normal Plot of Residuals Normal Score Histogram of Residuals Residual Residueplots Residual Residual I Chart of Residuals Observatio Number Residuals vs. Fits Fit Durbi-Watso-Test auf Autokorrelatio der Residue 3.SL=3.367 X= SL=-3.36 " = 5% k = k = k = 3 dwu dwo dwu dwo dwu dwo = 9, k = : dw u =.63, dw o =.7 dw =.96 dw o =.7 <.96 <.3 = 4! dw o, also keie Autokorrelatio

8 Ertrag - Stickstoffdügug - Aussaatmege Residueaalyse Shapiro-Wilk-Test auf Normalverteilug der Residue Shapiro-Wilk-Test Kolliearität (Multikolliearität) MTB > Prit y x_ x_. Data Display Row y x_ x_ Probability Average:.777 StDev:.857 N: StRes Rus-Test auf Zufälligkeit der Residue W-test for Normality R:.9767 P-Value (approx): > y MTB > Rus StRes. Rus Test 38 x_ StRes K =.8 44 The observed umber of rus = 4 The expected umber of rus = Observatios above K 4 below * N Small -- The approximatio may be ivalid The test is sigificat at.964 Caot reject at alpha = x_ 44

9 Kolliearität (Multikolliearität) MTB > Regress y x_ x_. Regressio Aalysis The regressio equatio is y = x_ x_ Costat x_ x_ S =. R-Sq = 9.% R-Sq(adj) = 88.4% Aalysis of Variace Source DF SS MS F P Regressio Error Total Source DF Seq SS x_ 347 x_ 49 MTB > Correlatio y x_ x_; SUBC> NoPValues. Correlatios (Pearso) y x_ x_.948 x_