Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen 7

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN - WEIHENSTEPHAN WS 00/01 MATHEMATIK UND STATISTIK, INFORMATIONS- UND DOKUMENTATIONSZENTRUM Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen 7 1. MTB > Retrieve 'H:\STUDENT\MINITAB\FAMILIE.MTW'. Retrieving worksheet from file: H:\STUDENT\MINITAB\FAMILIE.MTW Worksheet was saved on 12/17/1996 a) MTB > Correlation 'Ersparn.' 'Eink.'. Correlations (Pearson) Correlation of Ersparn. and Eink. = b) Die multiple Korrelation kann man über das Bestimmtheitsmaß ablesen (B = r ) oder über die Korrelation zwischen y und den Schätzwerten berechnen. MTB > Name c5 = 'FITS1' MTB > Regress 'Ersparn.' 2 'Eink.' 'Verm.'; SUBC> Fits 'FITS1'; Ersparn. = Eink Verm. Constant Eink Verm S = R-Sq = 82.1% R-Sq(adj) = 70.2% Regression Error Total Eink Verm MTB > Correlation 'Ersparn.' 'FITS1'. Correlations (Pearson) Correlation of Ersparn. and FITS1 = Kontrolle: r = = = 82.1% = B = R-Sq.

2 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 7 Seite 2 c) Den Anteil der gesamten erklärten Variation in y gibt der Quotient: SQ Regression / SQ y = B (= Bestimmtheitsmaß) an. Bei der multiplen Regression wird dieser erklärte Anteil auf die Einflußgrößen aufgeteilt, d.h. jede Hinzunahme einer neuen Variablen erklärt i.a. (siehe auch d) einen weiteren Teil der Variation in y. Dabei spielt die Reihenfolge der Aufnahme der Einflußgrößen eine wichtige Rolle. Den (zusätzlichen) Anteil der erklärten Variation in y von jeder einzelnen Einflußgröße gibt der Quotient: SEQ_SQ Regressor / SQ y an. Man beachte im folgenden zweidimensionalen Regressionsmodell die Reihenfolge der Einflußvariablen x 1und x 2 im Vergleich zum Regressionsmodell in a). Die beiden Outputs unterscheiden sich lediglich durch die verschiedenen SEQ_SQ. MTB > Regress 'Ersparn.' 2 'Verm.' 'Eink.'; [... ] Regression Error Total Verm Eink i) Anteil der von x (Einkommen) allein erklärten Variation (siehe Regressionsmodell in 1 b): SEQ_SQ Eink. / SQ y = / = = %. Dieser Anteil entspricht dem Bestimmtheitsmaß im eindimensionalen Fall mit x 1 allein, da dann der erklärte Anteil SEQ_SQ Eink. = SQ Regression ist. MTB > Regress 'Ersparn.' 1 'Eink.'; Ersparn. = Eink. Constant Eink S = R-Sq = 31.2% R-Sq(adj) = 14.1% Regression Error Total

3 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 7 Seite 3 ii) Anteil der von beiden Variablen zusammen erklärten Variation (vgl. die beiden zweidimensionalen Regressionsmodelle in b) und c): SQ Regression / SQ y = / = = % Dies ist das Bestimmtheitsmaß B = R-Sq im multiplen Fall. iii) Anteil der von der Variablen x erklärten Variation, nachdem die Variable x bereits 2 1 aufgenommen wurde (vgl. multiples Regressionsmodell in b): SEQ_SQ Verm. / SQ y = / = = % Dies ist die Differenz der Bestimmheitsmaße % %. iv) Anteil der von der Variablen x erklärten Variation, nachdem die Variable x bereits 1 2 aufgenommen wurde (vgl. multiples Regressionsmodell in c). SEQ_SQ Eink. / SQ y = / = = % Dies ist die Differenz der Bestimmheitsmaße = % %. Der Wert 63.1% ist der Anteil der von x allein erklärten Variation in y beim multiplen Modell in c): 2 SEQ_SQ Verm. / SQ y = / = = % d) Wenn die beiden Einflußgrößen Vermögen und Einkommen untereinander hoch korreliert sind, kann bei Aufnahme einer der beiden wenn die andere schon im Modell ist keine zusätzliche Variation erklärt werden. Der SEQ_SQ-Wert wäre für die zweite Einflußgröße sehr klein. Bei einer Korrelation von (betragsmäßig) 1 wäre der SEQ_SQ-Wert der zweiten Variablen 0. Auch eine Vertauschung der Reihenfolge würde zu keiner zusätzlichen erklärten Variation der zweiten Variablen führen. Die zweite Variable steckt praktisch voll in der ersten und umgekehrt. Falls zwei Einflußgrößen unkorreliert sind, erklärt jede Größe i.a. einen gewissen Teil der Variation, unabhängig davon, ob die andere in der Gleichung ist oder nicht. Die Reihenfolge der Aufnahme unkorrelierter Größen ist also egal. e) Partieller F-Test: F 0 erkärte Variation der letzten r Regressoren / r unerkärte(rest )VariationdesvollenModells / (nm1) Für n = 6, r = 1 und m = 2 folgt: F 0 SEQ_SQ letzterregressor /1 SQ Rest /(621) MTB > InvCDF 0.95; SUBC> F 1 3. SEQ_SQ Verm. MQ Rest Inverse Cumulative Distribution Function F distribution with 1 DF in numerator and 3 DF in denominator P( X <= x) x

4 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 7 Seite 4 F = = F 0 1,3;0.95 Die Nullhypothese, daß y unabhängig von x ist, kann auf = 5% nicht verworfen wer- 2 den. Die Aufnahme des Vermögens in die Regressionsgleichung bringt also keine signifikante Verbesserung des Modells. Entsprechend zeigt der t-test des partiellen Regressionskoeffizienten für das Vermögen im Regressionsmodell in b) keine Signifikanz auf dem 5%-Niveau (t 0 = 2.92 bzw. p-wert = > 0.05). f) Es muß zunächst die dreidimensionale Regression von y auf x, x und x durchgeführt werden. MTB > Regress 'Ersparn.' 3 'Eink.'-'Kinder'; Ersparn. = Eink Verm Kinder Constant Eink Verm Kinder S = R-Sq = 86.3% R-Sq(adj) = 65.7% Regression Error Total Eink Verm Kinder Die Testgröße für den partiellen F-Test lautet: F = / = Diese ist nicht 0 größer als die 95%-Fraktile der F-Verteilung bei einem Zähler- und zwei Nennerfreiheitsgraden F = Die Aufnahme liefert also keine signifikante Verbesserung. 1,2;0.95 Der partielle t-test für x liefert mit p = auch keinen signifikanten Einfluß. 3

5 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 7 Seite 5 2. a) MTB > MatrixPlot 'RohEK' 'RindGV'-'Hack'; SUBC> Symbol RohEK RindGV 21 7 SchwGV GesAK FamAK 11 5 Kart Rueben Futter KuhGV MTB > Correlation 'RohEK' 'RindGV'-'Hack' Hack Correlations (Pearson) RohEK RindGV SchwGV GesAK FamAK Kart. Rueben Futter KuhGV RindGV SchwGV GesAK FamAK Kart Rueben Futter KuhGV Hack Cell Contents: Correlation P-Value

6 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 7 Seite 6 b) MTB > Regress 'RohEK' 9 'RindGV'-'Hack'; SUBC> Constant; SUBC> Brief 2. RohEK = RindGV SchwGV GesAK FamAK Kart Rueben Futter KuhGV Hack Constant RindGV SchwGV GesAK FamAK Kart Rueben Futter KuhGV Hack S = R-Sq = 74.4% R-Sq(adj) = 71.5% Regression Error Total RindGV SchwGV GesAK FamAK Kart Rueben Futter KuhGV Hack Das Bestimmtheitsmaß von B = 74.4% ist auf 5%-Niveau signifikant von 0 verschieden. Signifikanten Einfluß auf das Roheinkommen haben die Rinder-Großvieheinheiten, die Gesamt-Arbeitskräfte, die Familien-Arbeitskräfte und der Hackfruchtanteil.

7 Biometrische und Ökonometrische Methoden I Lösungen zu Aufgabenblatt 7 Seite 7 c) MTB > Regress 'RohEK' 9 'Hack' 'KuhGV' 'Futter' 'Rueben' & CONT> 'Kart.' 'FamAK' 'GesAK' 'SchwGV' 'RindGV'; SUBC> Constant; SUBC> Brief 2. RohEK = Hack KuhGV Futter Rueben Kart FamAK GesAK SchwGV RindGV Constant Hack KuhGV Futter Rueben Kart FamAK GesAK SchwGV RindGV S = R-Sq = 74.4% R-Sq(adj) = 71.5% Regression Error Total Hack KuhGV Futter Rueben Kart FamAK GesAK SchwGV RindGV Das Bestimmtheitsmaß sowie die Regressionskoeffizienten und deren p-werte bleiben unverändert. Die sequentiellen SQ-Werte ändern sich durch die unterschiedliche Reihenfolge der Predictor-Variablen, da diese teilweise korreliert sind.