Endliche Automaten. Einführung in den Themenbereich. Karin Haenelt

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1 Endliche Auomaen Einführung in den Themenbereich Karin Haenel

2 Inhal Informelle Einführung: Was sind endliche Auomaen? Absrake Auomaen Endliche absrake Auomaen Beispiele T ypen endlicher Auomaen Definiionen Akzeporen, Transdukoren deerminisisch, nich-deerminisisch, sochasisch Absrake Auomaen als mahemaische Srukuren Endliche absrake Auomaen Einordnung endlicher Auomaen Auomaenheorie: Ar des Speichers Theorie formaler Sprachen: Srukurelle Komplexiä 2

3 Informelle Einführung Absraker Auoma ein absraker Auoma is ein mahemaisches Modell für einfache Maschinen/Programme, die besimme Probleme lösen beschreib nich einen besimmen Auomaen, sondern gemeinsame Grundprinzipien einer Klasse von Auomaen Grundlegende Komponenen Zusände Eingabesymbole Zusandsübergänge: reagier auf Eingaben durch Übergang in einen anderen Zusand Zusände Eingabe des Ausgabe Auomaen 3

4 Informelle Einführung Endlicher absraker Auoma Ein absraker Auoma is ein endlicher Auoma, wenn die Anzahl der Zusände, der Eingaben u. der Ausgaben endlich is Komponenen der Modelle endliche Menge von Zusänden (Q) inerne Konfiguraionen, in denen sich ein Sysem befinden kann zeiliche Ordnung (δ) definier die möglichen Sequenzen von Zusänden endliche Menge von Eingaben (Σ) endliche Menge von Ausgaben (Reakionen) ( ) Sysem zeig abhängig vom akuellen Zusand eine besimme Reakion und geh in einen Folgezusand über 4

5 Endliche Auomaen: Beispiele Kippschaler und Lexikon Schaler Sar drücken drücken aus an an aus aus an Lexikon 0 d 1 e 2 m 3 n r s 4 s drücken e n d e m n r s f 4 f f 5

6 Typen endlicher Auomaen Akzeporen Auomaen ohne Ausgabe Transdukoren Auomaen mi Ausgabe i p q i o p : q deerminisisch jedem Paar [p,i] is ein Paar [o,q] eindeuig zugeordne nich-deerminisisch einem Paar [p,i] können mehrere mögliche Paare [o,q] zugeordne sein sochasisch jedem Paar [p,i] is für ein Paar [o,q] ein Wahrscheinlichkeismaß zugeordne p p p o i o 1 i o 2 i o 1 /w 1 i o 2 /w 2 i q q 1 q 2 q 1 q 2 6

7 Typen endlicher Auomaen Beispiele 0 S 1 Akzepor q2 a 3 d 4 6 deerminisisch S 1 [ʃ] [] Transdukor q2 a 3 [a] ε [] 4 d 0 nich-deerminisisch S 1 2 a 3 d 4 5 S 0 S a [ʃ] [] q2 a 3 [a] d [] [] 4 6 ε ε S/1 1 d/.65 4 /1 q 2 a/1 3 /.35 6 sochasisch /1 5 0 S/1 1 /1 [ʃ] 7 d/.65 4 /1 q 2 a/1 3 [] [] [a] /.35 [] 6 /1 ε /1 ε 5 7 7

8 Inhal Informelle Einführung: Was sind endliche Auomaen? Absrake Auomaen Endliche absrake Auomaen Beispiele T ypen endlicher Auomaen Definiionen Akzeporen, Transdukoren deerminisisch, nich-deerminisisch, sochasisch Absrake Auomaen als mahemaische Srukuren Endliche absrake Auomaen Einordnung endlicher Auomaen Auomaenheorie: Ar des Speichers Theorie formaler Sprachen: Srukurelle Komplexiä 8

9 Definiionen Absrake Auomaen als mahemaische Srukuren: Hisorie David A. Huffman (1954), George H. Mealy (1955) und Edward F. Moore (1956) unersuchen Schalkreise beschrieben voneinander unabhängig den konvenionellen deerminisischen Auomaen in ähnlichen Varianen Huffman enwickele den Begriff des absraken Auomaen Mealy und Moore führen absrake Auomaen als mahemaische Srukuren ein. 9

10 Definiionen Mahemaische Srukur Eine Srukur S is eine Zusammenfassung einer Menge und ausgewähler ineressaner Eigenschafen dieser Menge Relaionen, Funkionen und/oder ausgezeichnee Elemene die Eigenschafen definieren eine Srukur auf der Menge Darsellung als Tupel S = (Menge, Relaion 1,, Relaion o, ausgezeichnees Elemen 1,.., E p ) Beispiel (N, +,, 0,1) Name dieser Beispielsrukur in der absraken Algebra: Semiring Semiringe spielen in der Theorie endlicher Auomaen eine grundlegende Rolle 10

11 Definiionen Deerminierer absraker Auoma Mengenheoreische Definiion (Version: Sarke 1.1) deerminierer absraker Auoma (Sarke 1969: 22) A = (X, Y, Z, γ) heiß deerminierer absraker Auoma, falls a) X, Y, Z beliebige nichleere Mengen sind, und b) γ eine auf Z X definiere Funkion is, deren Were in Y Z liegen. Inerpreaion X Menge der Eingabesymbole Y Menge der Ausgabesymbole Z Menge der Zusände Z X a b 0 Y Z Y Z A 1 B 1 11

12 Definiionen Deerminierer absraker Auoma Mengenheoreische Definiion (Version: Sarke 1.2 = Version Mealy 1955) deerminierer Mealy-Auoma (Sarke 1969: 22) Ein deerminierer Auoma A = (X, Y, Z, γ) heiß deerminierer Mealy-Auoma, falls für alle x X, z Z, γ(z,x) = [λ(z,x),δ(z,x)] is, wobei λ die Ergebnis und δ die Überführungsfunkion von A is. Inerpreaion X Menge der Eingabesymbole Y Menge der Ausgabesymbole Z Menge der Zusände λ(z,x ) a b 0 A B δ(z,x ) a b

13 Definionen Nichdeerminisischer und sochasischer Auoma Mengenheoreische Definiion nichdeerminisischer Auoma (Sarke 1969: 121) B = (X, Y, Z, h) heiß nich-deerminisischer Auoma, falls a) X, Y, Z nichleere Mengen sind, und b) h eine eindeuige Abbildung von Z X in P*(Z Y) is. (Sarke 1969: 121) sochasischer Auoma (Sarke 1969: 211) C = (X, Y, Z, H) heiß sochasischer Auoma, wenn a) X, Y, Z beliebige nichleere Mengen sind, und b) H eine auf Z X definiere Funkion is, die diskree Wahrscheinlichkeismaße über Y Z als Were H(z,x) ha 13

14 Definiionen Endlicher Auoma Mengenheoreische Definiion endlicher deerminierer Auoma (Sarke 1969: 25) Ein deerminierer Auoma A = [X,Y,Z,δ,λ] heiß X-endlich, Y- endlich bzw. Z-endlich bzw. (X,Y)-endlich usw., wenn die jeweils angegebenen Mengen endlich sind. (X,Y,Z)-endliche Auomaen bezeichnen wir schlechhin als endlich (X,Y,Z)-endliche nichdeerminisische Auomaen endlich. (X,Y,Z)-endliche sochasische Auomaen endlich. 14

15 Definiionen Mengenheoreische Noaion endlicher Auomaen eine Sandardnoaion EA = (Q,q 0,F,Σ,,R,δ,σ,ρ) p,q Q Zusände q 0 Q Sarzusand F Q Endzusände i Σ Eingabesymbole o Ausgabesymbole w R Gewiche δ(p,i) = q σ(p,i,q) = o Zusandsübergangsfunkion Ausgabefunkion ρ(p,i,o,q) = w Gewichungsfunkion Gewich p w / i Ausgabesymbol o Zusand Folgezusand Eingabesymbol q 15

16 Inhal Informelle Einführung: Was sind endliche Auomaen? Absrake Auomaen Endliche absrake Auomaen Beispiele T ypen endlicher Auomaen Definiionen Akzeporen, Transdukoren deerminisisch, nich-deerminisisch, sochasisch Absrake Auomaen als mahemaische Srukuren Endliche absrake Auomaen Einordnung endlicher Auomaen Auomaenheorie: Ar des Speichers Theorie formaler Sprachen: Srukurelle Komplexiä 16

17 Einordnung endlicher Auomaen Auomaenheorie Klassifikaion von Algorihmen nach der Ar des Speichers klassifizier Algorihmen nach der Ar des Speichers, der für die Implemenierung zum Merken von Zwischergebnissen gebrauch wird Spezialisierungen Auoma Turingmaschine linear beschränker Auoma Kellerauoma (Push Down Auomaon) endlicher Auoma Speicher unendlich großer Speicher endlich großer Speicher Kellerspeicher (Sack) kein zusäzlicher Speicher 17

18 Einordnung endlicher Auomaen Auomaenheorie Endliche Auomaen haben kein Gedächnis Mengen der Zusände, der Eingabesignale, der Ausgabesignale sind endlich kein Gedächnis zur Speicherung durchlaufener Zusände: Übergang von Zusand zur Zei in Zusand zur Zei +1 nur abhängig von Zusand zur Zei und Eingabe im Zusand zur Zei Vorhergehende Zusände nur dadurch wirksam, dass sie über eine besimme Eingabe in den akuellen Zusand geführ haben, und dieser akuelle Zusand ein besimmes Ergebnis repräsenier. Sar B B u Bu c Buc h Buch 18

19 Einordnung endlicher Auomaen Theorie formaler Sprachen mi endlichen Auomaen is die Klasse der regulären Sprachen erkennbar und generierbar Sprachklassen nach srukureller Komplexiä (Chomsky-Hierarchie) Sprachklasse Hierarchie Grammaik Regelforma Auoma rekursiv aufzählbare Sprachen Typ 0 allgemeine Regelgrammaik α β α ε Turing- Maschine konexsensiive Typ 1 konexsensiive α1a α 2 α1βα 2 linear Grammaik β ε beschränker Sprachen Auoma konexfreie Typ 2 konexfreie A α Kellerauoma Sprachen Grammaik reguläre Typ 3 reguläre A wb Endlicher Sprachen Grammaik rechslinear A w Auoma A Bw A w A, B nonerminale Symbole linkslinear α Keen aus Terminalen und Non Terminalen w erminale Keen 19

20 Äquivalenzen: Endliche Auomaen, reguläre Sprachen, reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke de([mnrs] ssen ) sind äquivalen spezifizieren Endliche Auomaen Reguläre Sprachen d 0 1 e 2 m 3 n r s s 4 5 e 6 n 7 akzepieren {dem, den, der, des, dessen} 20

21 Lieraur Hopcrof, John E. Rajeev Mowani und Jeffrey D. Ullman (2001). Einführung in die Auomaenheorie, Formale Sprachen und Komplexiä. Pearson Sudium engl. Original: Inroducion o Auomaa Theory, Languages and Compuaion. Addison- Wesley. Hopcrof, John E. und Jeffrey D. Ullman (1988). Einführung in die Auomaenheorie, formale Sprachen und Komplexiäsheorie. Bonn u. a.: Addison-Wesley, 1988 (engl. Original Inroducion o auomaa heory, languages and compuaion). [Anm.: Diese Fassung enhäl die Beweise] Huffman, D. A. (1954). The synhesis of sequenial swiching circuis. J. Franklin Ins. 257: 3-4, S und Lawson, Mark V. (2005). Finie auomaa. In: Hrisu-Varsakelis, D. und W.S.Levine (Hg).: Handbook of neworked and embedded Conrol Sysems. Lawson, Mark V. (2004). Finie Auomaa. In: D. Hrisu-Varsakelis and W. S. Levine (eds.): Handbook of neworked and embedded conrol sysems Mealy, George H. (1955). A mehod for synhesizing sequenial circuis. Bell Sysem Technical Journal 34:5, Moore, Edward F. (1956). Gedanken experimens on sequenial machines. In: Auomaa Sudies, S , Princeon: Princeon Universiy Press Sarke, Peer H. (1969). Absrake Auomaen. VEB Deuscher Verlag der Wissenschafen: Berlin (älere, aber sehr gue mahemaische Darsellung) 21

22 Copyrigh 2009 Karin Haenel. All righs reserved. The German Urheberrech shall be applied o hese slides. In accordance wih hese laws hese slides are a publicaion which may be quoed and used for non-commercial purposes, if he bibliographic daa is included as described below. Please quoe correcly. If you use he presenaion or pars of i for educaional and scienific purposes, please include he bibliographic daa (auhor, ile, dae, page, URL) in your publicaion (book, paper, course slides, ec.). Deleion or omission of he fooer (wih name, daa and copyrigh sign) is no permied Bibliographic daa. Karin Haenel (2010). Endliche Auomaen. Einführung in den Themenbereich. Kursfolien hp://konex.fraunhofer.de/haenel/kurs/folien/haenel_fsa-inrov4.pdf Any furher use requires he prior permission in wriing from he auhor. For commercial use: No commercial use is allowed wihou wrien permission from he auhor. In case you are ineresed in commercial use please conac he auhor. Cour of Jurisdicion is Darmsad. 22

23 Versionen v , v V V V V V