Extremwertaufgaben. 3.0 Die Gerade mit der Gleichung x = k, 1 < k < 4 schneidet den Graphen der Funktion. im Punkt C und die Parabel

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1 Extremwertaufgaben 1. Aus einem Draht der Länge l = 72 cm soll ein Kantenmodell eines Quaders hergestellt werden, der eine quadratische Grundfläche und ein möglichst großes Volumen haben soll. Bestimmen Sie die Länge der Kanten des Quaders. 2. Aus einem rechteckigen Kartonblatt mit den Seiten 32 cm und 20 cm sollen an den Ecken kongruente Quadrate herausgeschnitten werden. Durch Aufklappen der entstehenden Rechtecke soll eine oben offene Schachtel mit maximalem Volumen entstehen. Berechnen Sie die Seite der herausgeschnittenen Quadrate und den Maximalwert des Volumens. 3.0 Die Gerade mit der Gleichung x = k, 1 < k < 4 schneidet den Graphen der Funktion f(x) = 1 3 x3 x 2 3x im Punkt C und die Parabel p(x) = x 2 + 4x 6 im Punkt D. Die Parallelen zur x-achse durch die Punkte C und D schneiden die y-achse in den Punkten F und E. Die Punkte C, D, E und F bestimmen das Rechteck CDEF. 3.1 Zeichnen Sie das Rechteck CDEF für den Sonderfall k = 2,5 in die untenstehende Zeichnung ein und zeigen Sie, dass sich die von k abhängige Maßzahl des Umfangs U(k) in der Form U(k) = 2 darstellen lässt. 3 (k 3 24k + 20)

2 ] [ 3.2 Bestimmen Sie, für welchen Wert von k 1;4 der Umfang des zugehörigen Rechtecks CDEF den absolut größten Wert annimmt. (Abitur 1997 A II) 4.0 Die Geraden mit den Gleichungen x = u und x = -u, 0 < u < 3 schneiden den Graphen der Funktion f(x) = 1 9 x4 2x in den Punkten P und Q. Zusammen mit dem Koordinatenursprung O bilden die Punkte P und Q das Dreieck OPQ. 4.1 Zeichnen Sie für den Fall u = 1,5 das Dreieck OPQ in untenstehende Zeichnung ein und zeigen Sie, dass für die von u abhängige Flächenmaßzahl A(u) des Dreiecks OPQ gilt: A(u) = 1 9 (u5 18u u) ] [ 4.2 Bestimmen Sie u 0;3 so, dass der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks OPQ den absolut größten Wert besitzt. Runden Sie dabei auf zwei Stellen nach dem Komma. (Abitur 1998 A II)

3 5. Die Zahl 10 ist so in zwei positive Summanden zu zerlegen, dass die Summe der Quadrate dieser Summanden einen absoluten Extremwert annimmt. Berechnen Sie die beiden Summanden und entscheiden Sie, welche Art von absolutem Extremum vorliegt. (Abitur 1999 A I) 6. Aus einer kreisförmigen Rasenfläche mit dem Radius r = 5 LE soll für ein Blumenbeet eine rechteckige Fläche mit den Seiten a und b so ausgestochen werden, dass dieses Rechteck dem Kreis einbeschrieben ist (siehe Skizze). Die von a abhängige Maßzahl des Flächeninhalts des Rechtecks wird mit A(a) bezeichnet. Berechnen Sie, wie lang die Seite a sein muss, damit die Größe g(a) = (A(a)) 2 (und damit auch A(a)) den absolut größten Wert annimmt und ermitteln Sie auch die absolut größte Flächenmaßzahl. Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. (Teilergebnis: g(a) = 100a 2 a 4 ) (Abitur 1999 A II) 7.0 Ein Kino hat bei einem Eintrittspreis von 10,00 DM durchschnittlich 200 Besucher. Man schätzt, dass bei einer Erhöhung des Eintrittspreises um 1,00 DM die ursprüngliche Besucherzahl um durchschnittlich 10 abnehmen wird, bei einer Erhöhung um 2,00 DM um 20, bei einer Erhöhung um 3,00 DM um 30 usw. (Zur Vereinfachung werden für die Berechnungen sämtliche Einheiten weggelassen.) 7.1 Die zu erwartenden Einnahmen in Abhängigkeit von der Preiserhöhung x lassen sich mithilfe einer differenzierbaren Funktion E beschreiben. Ermitteln Sie den Funktionsterm E(x). Geben Sie auch eine sinnvolle Definitionsmenge D E an, wenn man als Grundmenge R wählt. (Teilergebnis: E(x) = x 10x 2 ) 7.2 Berechnen Sie den Eintrittspreis so, dass die Einnahmen den absolut größten Wert annehmen. (Abitur 2001 A II)

4 8.0 Bei zylinderförmigen Behältern mit Höhe h und Radius r (Seitenansicht siehe nebenstehende Skizze) ist QR = 12 dm konstant. (Einheiten bleiben unberücksichtigt.) 8.1 Stellen Sie die Maßzahl des Volumens V(h) des Behälters in Abhängigkeit von der Höhe h dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D V der zugehörigen Funktion V an. (Mögliches Teilergebnis: V(h) = π ( h3 ) h) 8.2 Bestimmen Sie h ( h D V ) so, dass das Volumen den absolut größten Wert annimmt. Bestimmen Sie für diesen Fall auch den Radius r des Behälters sowie das maximale Volumen V max. (Abitur 2002 A II)

5 9. Der Kelch eines Eisbechers soll die Form eines auf der Spitze stehenden geraden Kreiskegels erhalten (siehe Skizze des Achsenschnittes; die Dicke der Glaswand werde vernachlässigt). Die Längenmaßzahl der Mantellinie s des Kegels beträgt 12. Stellen Sie die Volumenmaßzahl V(h) des Kegels in Abhängigkeit von der Kegelhöhe h dar und geben Sie die Definitionsmenge D V der Funktion V :h V(h) an. Weisen Sie nach, dass die Volumenmaßzahl V(h) für h 1 = 4 3 ihren absoluten größten Wert annimmt. Zeigen Sie außerdem, dass in diesem Fall die Längenmaßzahlen von Radius r 1 und Höhe h 1 des Kegels im Verhältnis 2 :1 stehen (Abitur 2000 AI). (Mögliches Teilergebnis: V(h) = π h3 ) h

6 10.0 Die dunkel gefärbte Fläche in der untenstehenden Skizze stellt den Rest einer längs eines Parabelstücks G g zersprungenen ehemals rechteckigen Glasplatte dar. Der zu diesem Parabelstück gehörende Funktionsterm lautet: g(x) = x mit D. 3 g = 0; 3 Aus dem Rest der Glasplatte soll eine achsenparallele Scheibe (hellgrau) so geschnitten werden, dass der Punkt P(a;g(a)) auf G g liegt Stellen Sie die Maßzahl A(a) der neuen Rechtecksfläche in Abhängigkeit von der Abszisse a des Punktes P dar. Geben Sie auch eine sinnvolle Definitionsmenge D A an. (Lage von P siehe Skizze!) (Mögliches Teilergebnis: A(a) = a 3 + 3a 2 8 ) 3 a Bestimmen Sie nun denjenigen Wert von a, für den der Flächeninhalt den größten Wert A max annimmt. Berechnen Sie auch A max. (Abitur 2003 AI)

7 11.0 Aus einem fünfeckigen Brett soll ein rechteckiges Stück herausgesägt werden (siehe Skizze unten). Dabei soll der Punkt P auf der Strecke [CD] liegen. (Abitur 2004 AI) 11.1 Stellen Sie die Flächenmaßzahl A(a) des Rechtecks in Abhängigkeit von der Streckenlänge a dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D A der Funktion A an. (Mögliches Teilergebnis: A(a) = 1 ) 2 (a2 2a 80) 11.2 Berechnen Sie nun denjenigen Wert von a, für den die Rechtecksfläche den größten Wert annimmt. Berechnen Sie auch, wie groß in diesem Fall der Abfall in Prozent bezogen auf die Fläche des Fünfecks ist Eine Fachoberschule beschließt ein Denkmal zu errichten. Es soll die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche haben. Es soll gelten, dass die Summe aus dem Umfang der Grundfläche und der Pyramidenhöhe 28 dm ergibt. (Abitur 2003 AII) 12.1 Bestimmen Sie das Volumen V(s) der Pyramide in Abhängigkeit von der Länge s einer Quadratseite und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D V an. (Teilergebnis: V(s) = 4 ) 3 (s3 7s 2 ) 12.2 Berechnen Sie s so, dass das Pyramidenvolumen maximal wird. Geben Sie auch diesen maximalen Wert V max an.

8 13.0 Der Querschnitt des abgebildeten, oben offenen Kanals ist begrenzt durch zwei Viertelkreisbögen und durch eine Strecke der Länge s 0. Die Höhe des Kanals ist h. (Abitur 2005 AI) 13.1 Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Querschnittsfläche A(h) in Abhängigkeit von der Höhe h, wenn der Umfang (2 Viertelkreisbögen und Strecke s) 5 LE beträgt. Ermitteln Sie die größtmögliche geometrisch sinnvolle Definitionsmenge der Funktion A(h). (Mögliches Teilergebnis: A(h) = 5h 1 ) 2 h2 π 13.2 Bestimmen Sie h so, dass die Querschnittsfläche A den größten Wert besitzt. Berechnen Sie diesen Wert. Beschreiben Sie für diesen Fall die Form der Querschnittsfläche A Gegenüber einem Würfel der Kantenlänge x sind die Kanten der Bodenfläche eines Quaders um 3 LE größer, seine Höhe um 3 LE geringer. (Abitur 2006 AI) 14.1 Bestimmen Sie das Volumen V(x) des Quaders in Abhängigkeit von x und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D V an. (Mögliches Teilergebnis: V(x) = (x 2 9)(x + 3) ) 14.2 Berechnen Sie die Kantenlänge x des Würfels so, dass Quader und Würfel gleiches Volumen haben.

9 15.0 In einem dreieckigen Dachgiebel soll symmetrisch zur Mittelachse (y-achse) ein rechteckiges Fenster eingebaut werden. Das Fenster soll auf einem Sims der Höhe 1 LE aufsitzen und mit den oberen Ecken an den Dachgiebel heranreichen (siehe Skizze): (Abitur 2007 AII) 15.1 Stellen Sie den Flächeninhalt A(a) des Fensters in Abhängigkeit von a (siehe Skizze) dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge der Funktion A an. (Mögliches Teilergebnis: A(a) = 10a 1,5a 2 ) 15.2 Bestimmen Sie nun a so, dass der Flächeninhalt des Fensters den größten Wert annimmt. Ermitteln Sie auch Breite und Höhe dieses Fensters Ein Doppelrundbogenfenster (siehe Zeichnung) wird von drei Seiten eines Rechtecks sowie von zwei Halbkreisen (jeweils Radius r) begrenzt. Der Umfang des Fensters beträgt 10 m. (Auf Einheiten wird in der Rechnung verzichtet!) (Abitur 2008 AII) 16.1 Stellen Sie den Flächeninhalt A(r) des Fensters in Abhängigkeit vom Radius r der Halbkreise dar und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D A an. (Teilergebnis: A(r) = 20r (3π + 8) r 2 ) 16.2 Berechnen Sie auf drei Nachkommastellen genau denjenigen Wert von r, für den der Flächeninhalt des Fensters seinen größten Wert annimmt. Wie viel Prozent des Inhalts nimmt in diesem Fall der rechteckige Teil des Fensters ein?

10 17.0 Eine zylinderförmige Trommel (siehe Skizze) besitzt die Gesamtoberfläche 2400 π cm 2. Der Klang der Trommel hängt auch von der Oberfläche und dem Volumen ab. Die Boden- und Deckfläche der Trommel sind mit Fell bespannt. Durch die erhältlichen Fellgröße ergibt sich, dass ein Radius von 12 cm bis 30 cm möglich ist. Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Einheiten durch. (Abitur 2009 AI) 17.1 Stellen Sie eine Gleichung für das Volumen V(r) der Trommel in Abhängigkeit von r auf. (Ergebnis: V(r) = π (1200r r 3 )) 17.2 Berechnen Sie r so, dass das Volumen der Trommel den größten Wert (und damit die Trommel den tiefsten Ton) annimmt Die Gebührenordnung des Paketdienstes Paket Ahoi enthält folgende Klausel: Bei Päckchen in Zylinderform darf die Summe aus der Höhe h des Zylinders und dem Durchmesser d des Grundkreises 100 cm nicht überschreiten. Auf Einheiten wird im Folgenden verzichtet. (Abitur 2009 AII) 18.1 Berechnen Sie das Volumen V(d) eines solchen Päckchens, wenn die in der Gebührenordnung erwähnte Summe genau 100 cm beträgt. Geben Sie auch eine geeignete Definitionsmenge an. (Mögliches Teilergebnis: V(d) = π (25d 2 1 ) 4 d3 ) 18.2 Bestimmen Sie nun die Maße desjenigen zylinderförmigen Päckchens, das dabei maximales Volumen aufweist.

11 19.0 Ein Schildkrötenbesitzer baut für seine Landschildkröte ein Terrarium mit einem quaderförmigen lichtdurchlässigen Dach der Länge 2a, der Breite a und der Höhe h. Dieses wird auf ein geeignetes Fundament gesetzt. Die lichtdurchlässige Oberfläche soll 4 m 2 betragen. Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Einheiten durch. (Abitur 2010 AI) 19.1 Bestimmen Sie das Volumen V(a) des Daches in Abhängigkeit von a. (Mögliches Ergebnis: V(a) = 4 ) 3 a 2 3 a Bestimmen Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D V der Funktion V für den in 19.1 gegebenen Sachzusammenhang Ermitteln Sie a so, dass das Volumen des Daches den größten Wert annimmt. Berechnen Sie hierfür auch die zugehörige Höhe h Eine Biogasanlage besteht aus einem zylinderförmigen, oben offenen Grundkörper, das Dach der Höhe h ist kegelförmig (siehe untenstehende Skizze des Querschnitts). Die Mantellänge s des Kegels beträgt 15 m. Die folgenden Rechnungen werden ohne Einheiten durchgeführt. (Abitur 2010 AII) 20.1 Stellen Sie die Maßzahl V des Volumens der gesamten Biogasanlage in Abhängigkeit von der Höhe h dar und geben Sie eine im gegebenen Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge der Funktion V(h) an. (Mögliches Teilergebnis: V(h) = (375h 5 ) 3 h3 ) π 20.2 Berechnen Sie h so, dass das Volumen den absolut größten Wert annimmt. Runden Sie dabei nicht. Bestimmen Sie auf den nächsten ganzzahligen Wert gerundet den Wert V max des maximalen Volumens.

12 21.0 Eine Schokoladenfirma will eine neue Praline auf den Markt bringen. Die Länge und die Breite der Praline beträgt jeweils x cm. Die weiteren Größenverhältnisse sind den folgenden Abbildungen zu entnehmen. Aus verpackungstechnischen Gründen gilt für die Summe aus Höhe h, Breite und Länge 8 cm. Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Einheiten durch. (Abitur 2011 AI) 21.1 Stellen Sie eine Gleichung für das Volumen V(x) der Praline in Abhängigkeit von x auf und geben Sie eine im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge an. (Teilergebnis: V(x) = 0,75x 3 + 3x 2 ) 21.2 Berechnen Sie x so, dass das Volumen der Praline den absolut größten Wert annimmt. Berechnen Sie hierfür auch die Höhe h der Praline Der Gepäckraum eines Flugzeuges kann im Querschnitt mithilfe der Funktion p(x) = 0,5x 2 3,125 beschrieben werden. Das Gepäck soll dabei in Containern mit rechteckiger Querschnittsfläche untergebracht werden (vgl. Abbildung). Die Längeneinheit ist Meter und kann bei den Berechnungen weggelassen werden. (Abitur 2011 AII) 22.1 Stellen Sie eine Gleichung für die Querschnittsfläche A(x) der Container in Abhängigkeit von x auf und bestimmen Sie eine im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge. (Teilergebnis: A(x) = x 3 + 6,25x ) 22.2 Berechnen Sie x so, dass die Querschnittsfläche der Container den größten Inhalt annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall auch die Breite und Höhe der Container.

13 23.0 Bei einem Quader ABCD mit der Seitenlänge a wird von der Ecke D ausgehend je eine Strecke der Länge x mit 0 < x < a in Richtung A bis zum Punkt E und in Richtung C bis zum Punkt F abgetragen. Dann wird das Quadrat längs EF so gefaltet, dass das Dreieck FDE senkrecht zum ursprünglichen Quadrat steht. Die hochstehende Ecke D bildet mit den Punkten A, B, C, F und E eine Pyramide mit fünfeckiger Grundfläche. (Abitur 2013 AI) 23.1 Fertigen Sie eine Skizze des Quadrates ABCD mit den in 23.0 gegebenen Punkten und Strecken an Stellen Sie das Volumen V a(x) der entstehenden Pyramide in Abhängigkeit von x dar. Die Höhe der Pyramide h ist gegeben durch h = 2. 2 x (Mögliches Ergebnis: V a (x) = 2 ) 12 ( 2a2 x x 3 ) 23.3 Bestimmen Sie x so, dass das Volumen der Pyramide den absolut größten Wert annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall und mit a = 3 Volumen und Höhe der Pyramide Eine Schule veranstaltet eine Projektwoche zum Thema Work-Life-Balance. Zum Abschluss erhalten alle Teilnehmer je einen Relax-Ball, der in einer zylinderförmigen Schachtel verpackt ist. Von dieser ist bekannt, dass sie eine Oberfläche von 180 cm 2 besitzt. Bei der Rechnung wird auf Einheiten verzichtet. (Abitur 2013 AII) 24.1 Zeigen Sie, dass für das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit vom Zylinderradius r gilt: V(r) = π r r Nach Informationen des Verbraucherschutzes kann eine Verpackung dann als unzulässig deklariert werden, wenn die Füllmenge vom Fassungsvermögen einer Verpackung um mehr als 30% abweicht. Prüfen Sie, ob eine Verpackung dieser Anforderung gerecht wird, wenn die Schachtel mit r = 3,1 cm einen Ball mit dem Durchmesser von 60 mm enthält. Runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

14 25.0 Der Querschnitt eines Abflusskanals ist begrenzt durch ein Rechteck und einen Halbkreis mit Radius r. Alle Angaben sind in Meter. Auf Einheiten wird in der Rechnung verzichtet. (Abitur 2014 AI) 25.1 Zeigen Sie, dass sich die Maßzahl A(x) der Querschnittsfläche des Kanals in Abhängigkeit von x durch A(x) = ( 2 + 0,5π )x 2 2πx + 2π darstellen lässt Die Strecken [ AB], [ BC], [ DE] und [ EF] besitzen in der Summe höchstens eine Länge von 12 m. Weisen Sie nach, dass dann für die sinnvolle maximale Definitionsmenge D A der Funktion A :x! A(x) gilt : D A = 2;4. ] ] 25.3 Bestimmen Sie x so, dass die zugehörige Querschnittsfläche maximalen Inhalt annimmt Nun sei x = 4. Der Kanal ist bis 1 m unter der Oberkante gefüllt. Berechnen Sie, wie viel Prozent der Querschnittsfläche des Kanals ausgelastet sind Die Graphen der reellen Funktionen p und q mit p(x) = x und q(x) = 1 und 2 x2 2 [ ] D p = D q = 2;2 bilden die nebenstehend abgebildete Fläche. Darin einbeschrieben ist das Rechteck ABCD, dessen Eckpunkte auf den Graphen der Funktionen p und q liegen. (Abitur 2014 AII)

15 26.1 Bestimmen Sie die Maßzahl A(a) der Fläche des Rechtecks in Abhängigkeit von a und geben Sie eine sinnvolle maximale Definitionsmenge D A an. (Mögliches Teilergebnis: A(a) = 3a 3 +12a ) 26.2 Bestimmen Sie a so, dass die zugehörige Fläche maximalen Inhalt annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall die Maßzahlen für die Fläche, Breite und Länge des Rechtecks Auf einem Campingplatz möchte der Pächter in einem Zelt ein Kino einrichten. Als Projektionsfläche dient eine Seitenwand, welche durch die Parabel G p und der x-achse begrenzt wird. Am Boden hat das Zelt eine Spannweite von 20 m. Bei den folgenden Rechnungen wird auf Einheiten verzichtet. (Abitur 2015 AI) 27.1 Bestimmen Sie den Funktionsterm p(x) der Parabel G p. (Mögliches Ergebnis: p(x) = 0,08x ) 27.2 Es ist beabsichtigt, eine Leinwand von 7 m x 4 m anzubringen, wobei sich die Unterkante der Leinwand in einer Höhe von 3 m befindet. Untersuchen Sie durch Rechnung, ob dies an der Seitenwand möglich ist Ein Filmverleih rät dem Pächter zu einer Leinwand bei einer Unterkante in 3 m Höhe (siehe Skizze 27.0) Stellen Sie die Maßzahl A(u) des Flächeninhalts der Leinwand auf und bestimmen Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D A der Funktion A :u! A(u). (Mögliches Teilergebnis: A(u) = 0,16u 3 +10u ) Ermitteln Sie u so, dass A(u) den absolut größten Wert annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall Höhe, Breite und Flächeninhalt der Leinwand. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

16 28.0 Das Dreieck ABC in untenstehender Abbildung rotiert um die y-achse und dabei entsteht ein Kegel. Der Punkt A ist der Ursprung des Koordinatensystems und der Punkt B liegt im I. Quadranten auf der Parabel G q mit q(x) = x 2 + 8x und x!. (Abitur 2015 AII) 28.1 Stellen Sie eine Gleichung V(r) für das Volumen des Kegels auf, wobei r = BC der Radius des Kegels ist. (Mögliches Ergebnis: V(r) = 1 ) 3 πr πr Ermitteln Sie die maximale sinnvolle Definitionsmenge D V der Funktion V :r! V(r) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes B so, dass das Kegelvolumen seinen absolut größten Wert annimmt und berechnen Sie das maximale Kegelvolumen Ein Planschbecken soll entsprechend folgender Skizze hergestellt werden, wobei der Boden und die Wand luftgefüllte Hohlkammern mit einer Dicke von 10 cm sind. Die Summe aus Radius R und Höhe h soll konstant 90 cm betragen. (Abitur 2016 AI) 29.1 Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf, welche die Maßzahl des Volumens des mit Luft gefüllten Teils des Planschbeckens in Abhängigkeit von R beschreibt. (mögliches Ergebnis: V(R) = π 10R R 8000 ) ( ) 29.2 Mit der Vorgabe 10 < R 55 soll die Funktion V :R! V(R) den absolut größten Wert annehmen. Berechnen Sie für diesen Fall die maximale Füllhöhe des Planschbeckens.

17 30.0 Ein symmetrischer Trinkjoghurtbecher in der Form eines Fasses besitzt das Volumen V = 1. Hierbei ist d jeweils der Durchmesser des Deckels und des 12 π h ( 2D2 + d 2 ) Bodens und D der maximale Durchmesser des Bechers auf halber Höhe (alle Längen in cm gemessen). Weiterhin soll D 10 % größer sein als d. Der Becher soll so konstruiert sein, dass ein 13 cm langer Strohhalm genau um 3 cm aus dem Becher herausragt, wenn er diagonal im Becher liegt (siehe Abbildung). (Abitur 2016 AII) 30.1 Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf, die die Maßzahl des Bechervolumens in Abhängigkeit von der Höhe h beschreibt. (mögliches Ergebnis: V(h) = 57 ) 200 π ( h3 +100h) 30.2 Mit der Vorgabe 5 h 9 soll der Becher für eine kostenlose Probe das geringste Volumen aufweisen. Berechnen Sie für diesen Fall die Höhe h in cm und das zugehörige Volumen in cm 3 auf eine Nachkommastelle gerundet Einer Halbkugel mit Radius R = 10 cm soll ein Zylinder mit Radius r und Höhe h einbeschrieben werden (siehe Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. (Abitur 2017 AI) 31.1 Ermitteln Sie die Maßzahl V(h) des Volumens des Zylinders in Abhängigkeit von der Höhe h und geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion V :h! V(h) an, wenn die Höhe h mindestens 6 cm betragen soll. (Mögliches Teilergebnis: V(h) = hπ (100 h 2 ) ) 31.2 Berechnen Sie h so, dass V(h) den absolut größten Wert annimmt und untersuchen Sie, ob das maximale Volumen V max des Zylinders mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens beträgt.

18 32.0 Ein Designstudio hat eine Nachttischleuchte entworfen. Diese besteht aus einem halbkugelförmigen Schirm mit Radius r = 12 cm und einem Leuchtenfuß in der Form eines geraden Kreiskegels mit der Höhe h und dem Durchmesser b in der Grundfläche (siehe Skizze). Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. (Abitur 2017 AII) 32.1 Bestimmen Sie die Maßzahl V(h) des Volumens des Fußes der Leuchte in Abhängigkeit von h. ( ) (Mögliches Ergebnis: V(h) = π ) 3 h3 +144h 32.2 Aus technischen Gründen wird für die Funktion V :h! V(h) als Definitionsbereich D V = [2;8] gewählt. Bestimmen Sie die Höhe h des Leuchtenfußes so, dass die Maßzahl seines Volumens den absolut größten Wert annimmt. Nach Auffassung der Designer würde dann die Leuchte die ansprechendsten Proportionen besitzen Ein Bastler möchte sich mithilfe folgender Bauanleitung das Grundgerüst für einen zylinderförmigen Abfallkorb mit Höhe h und Radius r (alle Längen in Meter gemessen) aus Draht bauen (siehe Skizze). (Abitur 2018 AI) Für das Vorhaben kauft er sich Draht mit der Länge 6 m. Die Einzelteile werden selbst hergestellt und zusammengelötet. Die Dicke des Drahts ist zu vernachlässigen. Bei Berechnungen kann auf Einheiten verzichtet werden Bestimmen Sie die Maßzahl V(r) des Volumens des Abfallkorbes in Abhängigkeit von r. (Mögliches Ergebnis: V(r) = π 3 ) 2 r2 r 3 2πr 3

19 33.2 Aus praktischen Gründen wird für die Funktion V :r! V(r) als Definitionsmenge [ ] D V = 0,1;0,2 gewählt. Berechnen Sie den Radius r des Abfallkorbs für den Fall, dass die Maßzahl des Volumens ihren absolut größten Wert annimmt. Runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen Auf der Außenwand eines neuen Hallenbades soll dessen Logo, eine Welle, abgebildet werden. Der Architekt möchte ein großes Fenster in Form eines rechtwinkligen Dreiecks (siehe Skizze ΔPQR ) innerhalb der Welle anbringen. (Abitur 2018 AII) Das Fenster soll am Punkt P(2/0) beginnen. Seine Breite soll mindestens 5 m und höchstens 10 m betragen. Der Punkt R soll auf der oberen Begrenzungslinie (Graph G w) der Welle liegen, welche durch die Funktion w :x! 0,01x 3 + 0,15x 2 beschrieben wird. Bei Berechnungen kann auf Einheiten verzichtet werden Zeigen Sie, dass die Maßzahl A der Fläche des Fensters abhängig von der x-koordinate des Punktes Q durch die Funktionsgleichung A(x) = 0,005( x 4 +17x 3 30x 2 ) beschrieben wird und geben Sie für die Funktion A einen Definitionsbereich D A an, der den Vorgaben von 34.0 entspricht Der Architekt möchte das Hallenbad möglichst hell gestalten. Aus diesem Grund soll die Fläche des Fensters möglichst groß sein. Bestimmen Sie die x-koordinate des Punktes Q, für welche die Maßzahl der Fläche A maximal wird. Berechnen Sie für diesen Fall Breite, Höhe und Fläche des Fensters. Ermitteln Sie den prozentualen Anteil der Fensterfläche an der Logofläche, wenn diese 36 m 2 beträgt. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. PQ

20 1. V Quader = a 2 b Umriss des Quaders = 8a + 4b = 72 Lösungen b = 18 2a V = a 2 (18 2a) = 18a 2 2a 3 a ]0;9[ Bestimmung des maximalen Volumens: dv(a) = 36a 6a 2 36a 6a 2 = 0 6a(6 a) = 0 a = 0 und a = 6 da d 2 V(a) = 36 12a d2 V > 0 und d2 V < 0 da 2 da 2 da 2 a=0 a=6 Maximum für a = 6 Die Funktion V(a) hat im Bereich ]0;9[ nur einen relativen Hochpunkt, also tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf a = 6 ist absolutes Maximum; Der Quader hat die Kanten a = 6 cm und b = 6 cm und sein Volumen beträgt 216 cm V Quader (a) = (32 2a) (20 2a) a = (640 40a 64a + 4a 2 ) a = 4a 3 104a a a ]0;10[ 3.1 Bestimmung des maximalen Volumens: dv(a) = 12a 2 208a a 2 208a = 0 a = 4 und a = 13 1 da 3 d 2 V(a) = 24a 208 d2 V < 0 da 2 da 2 a=4 Maximum für a = 4 Die Funktion V(a) hat im Bereich ]0;10[ nur einen relativen Hochpunkt, also tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf a = 4 ist absolutes Maximum; Die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate beträgt 4 cm und das maximale Volumen beträgt (32 2 4) (20 2 4) 4 cm 3 = 1152cm 3 U(k) = 2 (k + (p(k) f(k)) = 2 (k + ( k 2 + 4k k 3 + k 2 + 3k 2 3 )) = 2 ( 1 3 k 3 + 8k 20 3 ) = 2 3 (k 3 24k + 20)

21 3.2 du(k) dk (nur k = = 2 3 (3k2 24) 2 3 (3k2 24) = 0 (3k 2 24) = 0 k = ± 8 8 im Definitionsbereich) d 2 U(k) = 2 dk 2 3 (6k) = 4k d2 U = 4 8 < 0 dk 2 k= 8 Maximum für k = 8 Da die Funktion U(k) nur einen relativen Extrempunkt hat, nämlich ein Maximum, tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum der Funktion U(k). 4.1 A(u) = 1 2 2u f(u) = 1 2 2u (1 9 u4 2u 2 + 9) = 1 9 (u5 18u u) 4.2 da(u) = 1 du 9 (5u4 54u ) 1 9 (5u4 54u ) = 0 (5u 4 54u ) = 0 Substitution : z = u 2 5z 2 54z + 81 = 0 z 1 = 9 z 2 = 9 5 Resubstitution : u 2 = 9 u 1 = 3 u 2 = 3 u 2 = 9 5 u = 9 3 u 5 4 = 9 5 (u 1, u 2 und u 4 sind nicht im Definitionsbereich) d 2 A(u) = 1 du 2 9 (20u3 108u) d2 A 10,73 < 0 du 2 u= 9 5 Maximum für u = 9 5 Die Funktion A(u) hat im Intervall ] 0;3[ nur einen Extrempunkt (Hochpunkt), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum.

22 5. 1. Summand: x und 2. Summand: 10 x Summe s(x) der Quadrate dieser Summanden: s(x) = x 2 + ( 10 x) 2 = x x 10 + x 2 = 2x x +10 D s = 0; 10 ds(x) dx = s (x) = 4x x 2 10 = 0 x = s (x) = 4 s ( ) = 4 > 0 Minimum für x = 2 2 Die Funktion s(x) hat nur einen Extrempunkt (Minimum), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Minimum auch das absolute Minimum. Für die Summanden ergibt sich: x 1 = 10 x 2 2 = = A = a b Mit dem Satz von Pythagoras (im rechtwinkligen Teildreieck) folgt: b = (2r) 2 a 2 = 4r 2 a 2 A(a) = a 4r 2 a 2 (A(a)) 2 = g(a) = a 2 (4r 2 a 2 ) ] [ mit r = 5 : g(a) = 100a 2 a 4 D g = 0;10 dg(a) da = 200a 4a 3 200a 4a 3 = 0 4a(50 a 2 ) = 0 a 1 = 0 a 2 = 50 a 3 = 50 a 1 und a 3 sind nicht im Definitionsbereich d 2 g(a) = a 2 d2 g = = 400 < 0 da 2 da 2 a= 50 Maximum für a = 50 Die Funktion g(a) hat im Definitionsbereich nur ein Extrema (Hochpunkt), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum für g(a) und damit auch für A(a). Absolut größter Flächeninhalt: A( 50) = = 50 Geometrische Interpretation: Das Rechteck mit der absolut größten Flächenmaßzahl 50 ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 50.

23 7.1 Besucherzahl z in Abhängigkeit von x: z(x) = x Eintrittspreis p in Abhängigkeit von x: p(x) = 10 + x Einnahmen: E = z p E(x) = (200 10x)(10 + x) = 10x x Definitionsmenge: z(x) x 0 x 20 [ ] D E = 0; de(x) = E (x) = 20x x +100 = 0 x = 5 dx E (x) = 20 E (5) = 20 < 0 Maximum für x = 5 Die Funktion E(x) hat im Definitionsbereich nur einen Extrempunkt (Maximum), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum. Berechnung der größten Einnahmen: p(5) = = 15 Die größten Einnahmen ergeben sich bei einem Eintrittspreis von 15 DM. 8.1 Volumenmaßzahl V des Zylinders: V = r 2 π h Mit dem Satz von Pythagoras ergibt sich: (2r) 2 + h 2 = r 2 = 144 h 2 r 2 = 36 h2 4 V(h) = (36 h2 h3 ) π h = ( h) π Definitionsmenge: V(h) muss größer Null sein ( h h) π > 0 h 4 ( h2 +144) > 0 h > 0 und h > 0 h 2 < 144 h < < h < 12 ] [ wegen h > 0 gilt : D V = 0;12

24 8.2 dv(h) dh = ( 3 4 h2 + 36) π ( 3 4 h2 + 36) π = 0 ( 3 4 h2 + 36) = 0 h 2 = 48 h 1 = 48 = 4 3 h 2 = 48 = 4 3 h 2 ist nicht im Definitionsbereich d 2 V(h) = 6 dh 2 4 h π d2 V = 6 dh π < 0 a=4 3 Maximum für h = 4 3 Die Funktion V(h) hat im Definitionsbereich nur einen Extrempunkt (Maximum), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum. Berechnung des größten Volumens: (4 3)3 V(4 3) = ( ) π = 96 3 π 522,37 4 Für den zugehörigen Radius gilt: r 2 = 36 (4 3)2 4 r = 24 = 2 6 = = = 24 r = ± V Kegel = 1 3 (r2 π ) h Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich: r 2 + h 2 = s 2 Mit s = 12 folgt r 2 = 144 h 2 V(h) = 1 3 π (144 h2 ) h = 1 3 π ( h3 +144h) Definitionsmenge: V(h) muss größer 0 sein h > 0 h 2 > 144 h < < h < 12 D V = 0;12 ] [ (da h > 0) dv(h) dh = 1 3 π ( 3h2 +144) 1 3 π ( 3h2 +144)= 0 3h = 0 h 2 = 48 h = 48 = 4 3 h 1 = 4 3 h 2 = 4 3 ( D V ) d 2 V(h) = 1 dh 2 3 π ( 6h) d2 V = 1 π ( 6 4 3) < 0 dh 2 3 h=4 3 Maximum für h = 4 3 Die Funktion V(h) hat im Definitionsbereich nur einen Extrempunkt (Maximum), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum. Es gilt : r 1 2 = 144 h 1 2 r 2 = 4 6 nicht möglich,da r > 0) Verhältnis: r 1 2 = = 96 r 1 = 96 = 4 6 r 1 = 4 6 h = 6 3 = 2 3 = 2 3 1

25 10.1 A(a) = (3 a) g(a) = (3 a) (a ) = a 3 + 3a a + 8 D A = 0; da(a) da = 3a 2 + 6a 8 3 3a 2 + 6a 8 3 = 0 6 ± 36 4 ( 3) ( 8 a 1/2 = 3 ) 6 a 1 = 2 3 a 2 = 4 3 d 2 A(a) da 2 = 6a + 6 d2 A da 2 (2 3 ) = > 0 d2 A da 2 a= 4 3 = < 0 Minimum für a = 2 3 T(2 3 ;7,259) Maximum für a = 4 3 H(4 3 ;7,407) Der Vergleich des y-wertes des relativen Hochpunktes H mit den Randwerten 10 A(0) = 8 und A( = 7,046 ergibt das absolute Maximum der in D A stetigen 3 ) Funktion für a = 0. Es gilt: A max = A(0) = Berechnung des Funktionsterms der Geraden DC, auf der der Punkt P liegt: y = mx + t m = = 1 2 D(6;6) einsetzen : 6 = t t = 9 y = 1 2 x + 9 A Rechteck = (10 a) ( 1 2 (10 a) + 9) = (10 a) (1 2 a + 4) = 1 2 a2 + a + 40 = 1 2 (a2 2a 80) Definitionsmenge: D A = [ 0;4] (da P auf der Strecke CD liegen soll)

26 11.2 da(a) da = 1 2 (2a 2) 1 (2a 2)= 0 2a 2 = 0 a = 1 2 d 2 A(a) = 1 da d2 A = 1 da < 0 a=1 Maximum für a = 1 Die Funktion A(a) hat im Definitionsbereich nur einen Extrempunkt (Maximum), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum (auch klar, da der Graph G A der Funktion A eine nach unten geöffnete Parabel ist). Berechnung der Fläche des Fünfecks: A 1 = 6 2 = 12 A 2 = = 4 A 3 = 10 4 = 40 A Fünfeck = = 56 FE Fläche des Rechtecks: A(1) = 1 2 ( ) = 1 ( 81) = 40,5 2 Berechnung des Abfalls: A Rechteck = 40,5 A Fünfeck 56 0,7232 A Abfall = 15,5 A Fünfeck 56 = 0, ,68 % des Fünfecks sind Abfall;

27 12.1 Es soll gelten: 4s + h = 28 h = 28 4s Für die Volumenmaßzahl V der Pyramide gilt: V = 1 3 s2 h V(s) = 1 3 s2 (28 4s) = 4 3 (s3 7s 2 ) Definitionsmenge : 1 3 s2 (28 4s) > s > 0 und s 2 > 0 s < 7 und s > 0 D V = ] 0;7[ (da s > 0) 12.2 dv(s) ds = 4 3 (3s2 14s) 4 3 (3s2 14s) = 0 (3s 2 14s) = 0 3s(s 14 3 ) = 0 s 1 = 0 ( D V ) s 2 = 14 3 d 2 V(s) ds 2 = 4 3 (6s 14) d2 V ds 2 s= 14 3 = 4 3 ( ) < 0 Maximum für s = 14 3 Die Funktion V(s) hat im Definitionsbereich nur einen Extrempunkt (Maximum), somit tritt keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens im angegebenen Bereich auf und damit ist das relative Maximum auch das absolute Maximum. Berechnung des größten Pyramidenvolumens: V max = V( 14 3 ) = 4 3 ((14 3 )3 7( 14 3 )2 ) = 67, Für die Flächenmaßzahl A der Querschnittsfläche gilt: A= 1 2 h2 π + sh Für die Umfangsmaßzahl gilt: hπ +s=5 s=5-hπ A(h)= 1 2 h2 π + (5 hπ ) h = 1 2 h2 π + 5h Sinnvolle Definitionsmenge: 5-hπ 0 h 5 π D = 0; 5 A π

28 13.2 da(h) = hπ + 5 hπ + 5 = 0 h = 5 dh π Skizze: die Funktion ist in D h streng monoton steigend absolutes Maximum am Rand h= 5 π Maximale Querschnittsfläche: A max = A( 5 π ) = 25 2π 3,98 h max = 5 π s min = 5 5 π π = 0 Der flächengrößte Querschnitt ist halbkreisförmig 14.1 V(x) = (x + 3)(x + 3)(x 3) = (x 2 9)(x 3) = x 3 3x 2 9x + 27 ] [ Sinnvolle Definitionsmenge: D V = 3; 14.2 x 3 = x 3 + 3x 2 9x 27 3x 2 9x 27 = 0 x 1/2 = 9 ± ( 27) = 9 ± x 1 = 3 2 (1+ 5) (x 2 = 3 2 (1 5)) D V Würfel und Quader haben für x = 3 2 (1+ 5) gleiches Volumen 15.1 Der rechte obere Eckpunkt P a des Rechtecks liegt auf der Geraden g mit den Punkten A(8/0) und B(0/6) g:y=mx+t m= = 3 4 P a (a / 3 4 a + 6) g :y = 3 4 x + 6 Flächeninhalt A(a) des rechteckigen Fensters: A(a)=2a ( 3 4 a + 6 1) = 2a ( 3 4 a + 5) = 3 2 a2 +10a Sinnvolle Definitionsmenge: a>0 3 4 a + 5 > 0 a < 20 3 D A = 0; 20 3

29 15.2 da(a) = 3a +10 3a +10 = 0 a = 10 da 3 d 2 A(a) = 3 d2 A(a) = 3 < 0 Maximum für a= 10 da 2 da 2 a= Da A(a) im Bereich 0; 20 3 nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf a= 10 3 absolutes Maximum Höhe dieses Fensters: h max = = 5 2 Breite dieses Fensters: b max = = A Fenster = 4r b + r 2 π 16.2 Umfang Fenster: U=b+4r+b+2rπ 2b+4r+2rπ = 10 b = 5 2r rπ A(r) = 4r (5 2r rπ ) + r 2 π = 20r 8r 2 4r 2 π + r 2 π = = 20r 8r 2 3r 2 π = 20r (8 + 3π )r 2 5 Sinnvolle Definitionsmenge: D A = 0; 2 + π da(r) dr = 20 2(8 + 3π )r 20 2(8 + 3π )r = 0 2(8 + 3π )r = 20 r = π 0,574 d 2 A(r) = 2(8 + 3π ) d2 A(r) dr 2 dr 2 r=0,574 < 0 Maximum für r=0,574 5 Da A(r) im Bereich 0; 2+π nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf absolutes Maximum für r=0,574 A(0,574)=20 0,574-(8+3π ) (0,574) 2 5,739 A Rechteck = 4 0,574 (5 2 0,574 0,574 π ) 4,704 A Rechteck = 4,704 0,8197 (81,97%) A max 5,739

30 17.1 V Trommel = r 2 πh O Trommel = 2rπh + 2r 2 π V(r) = r 2 π ( 1200 r 2rπh + 2r 2 π = 2400 π h = 2400 π 2r2 π = 1200 r 2rπ r r) = 1200rπ r 3 π = π (1200r r 3 ) 17.2 dv(r) = π (1200 3r 2 ) dr π (1200 3r 2 ) = r 2 = 0 r 2 = 400 r 1 = 20 (r 2 = 20) D Nachweis Maximum: d 2 V(r) = π ( 6r) d2 V(r) < 0 Maximum für r = 20 dr 2 dr 2 r=20 Da V(r) im Bereich [12;30] nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf absolutes Maximum für r = V Zylinder = r 2 πh = d 2 2 πh = 1 4 d2 πh h + d = 100 h = 100 d 18.2 V(d) = 1 4 d2 π (100 d) = π (25d d3 ) Definitionsmenge: D V =]0;100[ dv(d) dd = π (50d 3 4 d2 ) π (50d 3 4 d2 ) = 0 50d 3 4 d2 = 0 d( d) = 0 (d 1 = 0) D V d = 0 d = Nachweis Maximum: d 2 V(d) = π (50 3 dd 2 2 d) d2 V(d) < 0 Maximum für d = 200 dd 2 3 d= Da V(d) im Bereich ]0;100[ nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf absolutes Maximum für d = h = = 100 3

31 19.1 V = 2a a h = 2a 2 h O = 2 (2a h + a h) + 2a a = 6ah + 2a 2 6ah + 2a 2 = 4 6ah = 4 2a 2 h = 2 3a 1 3 a V(a) = 2a 2 ( 2 3a 1 3 a) = 4 3 a 2 3 a h > 0 2 3a 1 3 a > 0 2 a2 > 0 a 2 < 2 2 < a < a 19.3 D a = 0; 2 dv(a) da = 4 3 2a2 dv(a) = 0 4 da 3 2a2 = 0 a 2 = 2 3 (a 1 = 2 3 ) D a 2 = 2 3 Nachweis Maximum: d 2 V(a) da 2 = 4a d 2 V(a) < 0 a = 2 da 2 a= Nachweis absolutes Maximum: ist Maximum Da V(a) im Bereich 0; 2 nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf a = 2 3 ist absolutes Maximum h = = m ( 0,54 m) V = V Zylinder + V Kegel = r 2 π 4 3 h r2 π h = 5 3 r2 πh s 2 = r 2 + h 2 r 2 = 225 h 2 V(h) = 5 3 (225 h2 ) π h = (375h 5 3 h3 ) π Sinnvolle Definitionsmenge: r 2 > h 2 > 0 h 2 < 225 h < 15 ] [ D V = 0;15

32 20.2 dv(h) dh = (375 5h2 ) π dv(h) dh = h2 = 0 h 2 = 75 (h 1 = 5 3) D h 2 = 5 3 Nachweis Maximum: d 2 V(h) = 10hπ d2 V(h) dh 2 Nachweis absolutes Maximum: Da V im Bereich 0; V Praline = A Querschnittsfläche x dh 2 h=5 3 < 0 h = 5 3 ist Maximum ] [ nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf absolutes Maximum für h = 5 3 V max = V(5 3) 6801, VE A Querschnittsfläche = A Trapez + A Dreieck A Trapez = x + 0,5x h A Dreieck = 1 2 0,5x 3 4 h A Querschnittsfläche = x + 0,5x h ,5x 3 4 h = 3 16 xh xh = 3 8 xh V Praline = 3 8 xh x = 3 8 x2 h x + x + h = 8 2x + h = 8 h = 8 2x V(x) = 3 8 x2 (8 2x) = 3x 2 0,75x 3 Sinnvolle Definitionsmenge: 8 2x > 0 x < 4 D = ] 0;4[

33 21.2 V (x) = 2,25x 2 + 6x V (x) = 0 2,25x 2 + 6x = 0 x( 2,25x + 6) = 0 (x 1 = 0) D x 2 = 8 3 Skizze von V : x = 8 3 ist Maximum Da V im Bereich ] 0;4[ nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf x = 8 3 ist absolutes Maximum h = = 8 3 Für x = 8 3 ergibt sich eine Höhe von A(x) = 2 x ( p(x)) = 2x ( 0,5x 2 + 3,125) = x 3 + 6,25x Sinnvolle Definitionsmenge: p(x) = 0 0,5x 2 3,125 = 0 x 2 = 6,25 x 1 = 2,5 x 2 = 2,5 ] [ D A = 0;2, A (x) = 3x 2 + 6,25 3x 2 + 6,25 = 0 x 2 = (x 1 1,44) D x 2 1,44 Skizze von A : x = 1,44 Maximum Da A im Bereich 0;2,5 ] [ nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf x = 1,44 absolutes Maximum Breite der Container: 2 1, 44 2,88 m Höhe der Container: p(1,44) 0,5 1, ,125 2,09 m Die Breite der Container beträgt ca. 2,88 m und die Höhe ca. 2,09 m.

34 V = 1 3 G h G = a x2 h = 2 2 x (gegeben) V a (x) = 1 3 a2 1 2 x2 V a (x) = 2 6 ( 2a2 3x 2 ) 2 2 x = 2 6 x a2 1 2 x2 = 2 6 a2 x 1 2 x3 V a (x) = 0 2a 2 3x 2 = 0 x 2 = 2 3 a2 (x 1 = 2 3 a) D x 2 = 2 3 a Skizze von V a : Maximum für x = 2 3 a Da im Bereich ] 0;a[ nur ein Extremum (Maximum) auftritt, gibt es in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens x = 2 a absolutes Maximum 3 a = 3: x = 6 h = = 3 V 3( 6) = V Zylinder = r 2 π h O Zylinder = 2r 2 π + 2rπh 2rπh= 180 2r 2 π h = 90 rπ r V(r) = r 2 90 π rπ r = 90r r 3 π ( ( ) ) 3 = 2 3

35 24.2 V(3,1) = 90 3,1 3,1 3 π 185,41cm V Ball = 4 3 r 3 π = π 113,10cm 3 185,41cm 3! 100% 113,10cm 3! x% 113,10 100% x = = 60,1% 185, 41 Die Füllmenge weicht vom Fassungsvermögen um 39,1% ab. Verpackung wird den Anforderungen des Verbraucherschutzes nicht gerecht. A Kanal = x 2x r2 π r = 2x 4 = x 2 2 A(x) = x 2x (x 2)2 π = 2x ( x2 4x + 4) π = 2x x2 π 2xπ + 2π = (2 + 0,5π )x 2 2xπ + 2π 25.2 x x 12 2x x aus 25.1 gilt : r = x 2 x > 2 (wegen r > 0) ] ] D A = 2;4 A (x) = ( 4 + π )x 2π ( 4 + π )x 2π = 0 x = 2π 4 + π Skizze von A : ( 0,88) Minimum für x = 2π 4 + π Absolutes Maximum muss am rechten Rand liegen x = A(4) = π 8π + 2π = π π 8 0, ,1% π Die Querschnittsfläche des Kanals ist zu 79,1% ausgelastet.

36 26.1 A(a) = 2a p(a) q(a) 26.2 A (a) = 9a ( ) = 2a a a2 + 2 D A = ] 0;2[ (da 1,5a > 0) ( ) = 3a 3 +12a = 2a 1,5a a = 0 a 2 = 4 3 (a 1 = 4 3 ) D A a 2 = 4 3 Skizze von A : a = 4 3 HOP Da A im Bereich ] 0;2[ nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf absolutes Maximum für a = 4 3 ; A 4 3 = Breite : Länge : 1, = p(x) = a (x x s ) 2 + y s p(x) = a (x 0) = ax p(10) = 0 100a + 8 = 0 a = 0,08 p(x) = 0,08x p(3,5) = 0,08 3, = 7,02 eine Leinwand mit 7 m x 4 m ist möglich

37 A(u) = 2u ( p(u) 3) = 2u ( 0,08u ) = 0,16u 3 +10u 0,08u > 0 0,08u = 0 u 2 = 62,5 u 1 = Skizze von ( 0,08u 2 + 5) : u 2 = D A = 0; A (u) = 0,48u ,48u = 0 u 2 = u 1 = u 2 = Da A eine nach unten geöffnete Parabel, ergibt sich für u = das absolute Maximum für A. D A A ,43 m2 Breite : 2u 9,13 m Höhe : p(u) 3 3,33 m 28.1 V(r) = 1 3 r2 π q(r) = 1 3 r2 π ( r 3 + 8r) = 1 3 r 4 π r 3 π 28.2 r 2 + 8r > 0 und r > 0 r 2 + 8r = 0 r(r 8) = 0 r 1 = 0 r 2 = 8 Skizze von ( r 2 + 8r) : D V = ] 0;8[

38 28.3 V (r) = 4 3 r 3 π + 8r 2 π V (r) = r2 π (r 6) = 0 (r 1 = 0) D V r 2 = 6 Skizze vonv : 29.1 V = R 2 πh (R 10) 2 π h Maximum für r = 6 Da V im Bereich 0;8 ] [ nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf absolutes Maximum für r = 6 V max = π π = 144π 452,39 B(6 /12) R + h = 90 h = 90 R ( ) ( ) = V(R) = R 2 π (90 R) (R 10) 2 π 80 R ( ) = π 90R 2 R 3 80R 2 R R + 20R R = = π 10R R 8000 V (R) = π ( 20R +1700) V (R) = 0 20R = 0 R = 85 Skizze von V : G V sms in ] 10;55] absolutes Maximum für R = 55 h = = 35 Maximale Füllhöhe beträgt = 25 cm.

39 30.1 V = 1 12 πh ( 2D2 + d 2 ) = 1 12 πh 2 (1,1d)2 + d 2 = 1 πh 3,42d2 12 d 2 + h 2 = 100 d 2 = 100 h V(h) = 1 12 πh 3,42(100 h2 ) = π (100h h3 ) V (h) = π (100 3h2 ) V (h) = h 2 = 0 h 2 = Skizze von V : h 1 = D h 2 = absolutes Minimum für h = 9 cm V(9) 153,1 cm V Zylinder = r 2 πh r 2 + h 2 = 10 2 r 2 = 100 h 2 V(h) = (100 h 2 )πh = π (100h h 3 ) Sin nvolle Definitionsmenge : 100 h 2 > h 2 = 0 h 1 = 10 h 2 = 10 Skizze : D V = [ 6 :10[ (h soll mindestens 6 cm sein)

40 31.2 V (h) = π (100 3h 2 ) V (h) = h 2 = 0 (h 1 5,77) D V h 2 5,77 Skizze von V : 32.1 h = 5,77 Maximum Da V im Bereich 6;10 [ [ nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf absolutes Maximum für h = 5,77 V max = V(5,77) 1209,2 cm ,2 2094,4 0,58 V Halbkugel = R 3 π 2094,4 cm 3 Das maximale Volumen des Zylinders nimmt mehr als die Hälfte des Halbkugelvolumens ein. V Kegel = b 2 πh 2 b 2 + h 2 = r 2 b 2 2 = r 2 h 2 V(h) = 1 3 ( r2 h 2 )πh = 1 3 π (144h h3 ) 32.2 V (h) = 1 3 π (144 3h2 ) V (h) = h 2 = 0 (h 1 = 48) D V h 2 = 48 Skizze von V : h = 48 Maximum Da V im Bereich 2;8 [ ] nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens ein h = 48 absolutes Maximum

41 33.1 V = r 2 πh = 4h + 4r + 4 2πr 4h = 6 4r 8πr h = 1,5 r 2πr V(r) = r 2 π 1,5 r 2πr ( ) ( ) = π 1,5r 2 r 3 2πr 3 ( ) = 3πr 1 r 2πr V (r) = π 3r 3r 2 6πr 2 ( ) ( ) = 0 (r 1 = 0) D V 1 r 2πr = 0 r 2 0,137 3πr 1 r 2πr Skizze von V : Maximum für r = 0,137 m Da V im Bereich 0,1;0,2 [ ] nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf r = 0,137 absolutes Maximum 34.1 A Dreieck = 1 g h g = x 2 h = w(x) 2 A(x) = 1 2 (x 2)( 0,01x3 + 0,15x 2 ) = 1 2 ( 0,01x4 + 0,17x 3 0,3x 2 ) = D A = 7;12 = 0,005( x 4 +17x 3 30x 2 ) [ ] 34.2 A (x) = 0,005( 4x x 2 60x) ( ) = 0 A (x) = 0 4x x 2 60x = 0 x 4x x 60 (x 1 = 0) D A 4x x 60 = 0 (x 2 = 1,31) D A x 3 = 11,44 Skizze von A : x = 11,44 Maximum Da A im Bereich 7;12 [ ] nur ein Extremum (Maximum) besitzt, tritt in diesem Bereich keine weitere Änderung des Monotonieverhaltens auf x = 11, 44 absolutes Maximum Breite :11,44 2 = 9,44 Meter Höhe : w(11,44) = 4,66 Meter Fläche : A(11,44) = 21,99 m 2 21,99 36 = 0, ,08%