Automatische Generierung lesbarer Beweise für geometrische Sätze

7!, !" #$% & "'()* + '!! > 05 ;$ $?% 3 ;"?% 1 ;, 6 % &' % 8? + 02 ( )*+ " 51 $'8 6 $'A 0 BC%% 0 $', 3 D 005 C 0306 :,; !

!" #"$ % &' ( )*+! &'!% #!" #$%!" #$% & "'()* + &%,-. "$$/$'0"%",#1 $, # $& % # -%!+!. /010, *201123 4*205363 % *'7#.2###!"%!"$3 4$ #$% & "5 ()*26 %+6 8 '$ $ 9%&' :$ # ;' ' < # = 8'

Æ A BC A DC C C C C C A A BCBDECFE C F A C C F A A F C AC D A F C A F A AC F C C C C A C C AC C C C F F F C C F A C F F A C A C C F C F F C C A D F F C C C D F B A C C F C C F B C C F A A B A A A F A

Elementare Geometrie Wiederholung 3

Elementare Geometrie Wiederholung 3 Thomas Zink 10.7.2017 1.Schwerpunkt und Teilverhältnis, V13, Es seien A, B, C, D Punkte, die auf einer Geraden liegen, und so dass A B und C D. AB = λ CD λ = AB CD.

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel

Lösungen Übung 6 Aufgabe 1. a.) Idee: Gesucht sind p, q mit pq = 6 2 und p + q = 13. Dies entspricht genau der Situation im Höhensatz. Konstruktion: 1. Punkte A, B mit AB = 13 2. Gerade g AB mit dist(g,

Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? Haus der Vierecke. Dr.

Haus der Vierecke Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 40 Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Rhombus Rechteck Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? 2 / 40 Wir betrachten nur

Elementare Geometrie Vorlesung 12

Elementare Geometrie Vorlesung 12 Thomas Zink 31.5.2017 1.Die Winkelhalbierende Es seien s und t zwei Strahlen, die sich in einem Punkt O schneiden. Es sei (s, t) < 180 o. Die Winkelfläche besteht aus

Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Elemente der Mathematik - Sommer 06 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 8 Aufgabe 7 (8 Punkte). Ein Parallelogramm ist ein Rechteck ABCD mit Seiten a, b, c, d wie unten dargestellt, mit

Impressum !! "# $ $ )$ *# $ +,#-.. %/ #2 # #2 4 # /7# 3 #8189# : 4 # 0 $; !! $"!!%#!-")!#!

Impressum!! "# $ $ %& '(" )$ *# $ +,#-.. %/0 012 3#2 # #2 4 #2 3 250 06 0 /7# # 48#7 3 #8189# : 4 # 0 $; 01

Karoline Grandy und Renate Schöfer

Karoline Grandy und Renate Schöfer 1 Lemma 1 (Haruki) In einem Kreis seien zwei sich nicht schneidende Sehnen AB und CD gegeben. Außerdem wähle einen beliebiger Punkt P auf dem Kreisbogen zwischen A und

Herzlich Willkommen ! " $' #$% (!)% " * +,'-. ! 0 12" 12'" " #$%"& /!' '- 2! 2' 3 45267 2-5267

Page 1/1 Herzlich Willkommen! " #$%"&! " $' #$% (!)% " * +,'-. /!' '-! 0 12" 12'" 2! 2' 3 45267 2-5267 -26 89 : 9; ;/!!' 0 '6'!!2' 2(' '' ' &! =>! = / 5,?//'6 20%! ' 6', 62 '! @ @! &> $'( #'/

Seite 10 Aufgaben Zentrische Streckung 1 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag):

Seite 10 1 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden 2. Die Strecke ZC halbieren (das entspricht der Streckung mit k 0.5) C 3. Parallelverschieben CB // durch C B 4. AB //

BADEN-WÜRTTEMBERG Vektoren Geraden im Raum Lösungen Herausgegeben von Heinz Griesel Helmut Postel Friedrich Suhr Schroedel

ELEMENTE DER MATHEMATIK BADEN-WÜRTTEMBERG Vektoren Geraden im Raum Lösungen Herausgegeben von Heinz Griesel Helmut Postel Friedrich Suhr Schroedel Vektoren Geraden im Raum. Kartesisches Koordinatensystem

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am

Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie WiSe 2014/2015 am 23.1.2015 Bearbeiten Sie bitte zwei der drei folgenden Aufgaben! Falls Sie alle drei Aufgaben bearbeitet haben sollten, kennzeichnen

+,! %(! + )! " -.. ) %+ " / " & (, $. $ %

) * ) -.. ) /. 0). )12340 5))6 7489:;1238 55< 633373329:; ) 5= 0> ) * -./01-23) 4 2567-) 0 89/ :57 ;7 2?6;?0 @=) 2@- 6-/ =)? 27A3 = 79 @ @B67@ -AC@ @=7 =/ 55DE/05;FA?=) 5 2 E//5;FA=) C 4 ADA

Singer Singer Seriennummern - Produktionsdatum (c) 2019 Nähzentrum Braunschweig :00

Seriennummern - Produktionsdatum 611.000 to 913.999 1871 914.000 to 963.999 1872 964.000 to 1.349.999 1873 1.350.000 to 1.914.999 1874 1.915.000 to 2.034.999 1875 2.350.000 to 2.154.999 1876 2.155.000

Schneidstoff DIN. Typ. Beschichtung. Schneidenzahl. Seite. Werkstoffgruppe m/min. Stähle bis 850 N/mm2. Stähle bis. Stähle. bis 1400.

Einsatzempfehlung für -Fräser,, 5, 6, 8, 1, 1,5 16,, CF,5,89,157,188,65,9,19 CG,17,,5,6,88,116,1 CO,15,6,6,87,19,1,1,85,85 CP,,,81,11,18,75,6,51,51 CQ,1,,5,75,11,18,71,5,5 CR,17,9,71,98,157,9,5,5,5 CS,1,1,56,7,1,18,67,,

Technische Universität München Zentrum Mathematik

Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, ernhard Werner Projektive Geometrie SS 26 www-m.ma.tum.de/projektivegeometriess6 Lösungen zu Aufgabenblatt 3 (26-4-28)

Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung

Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung 1. Von einer Strecke AB mit dem Mittelpunkt M sind bekannt: A(/5) und M(-4/3). Berechnen Sie B.. Die Punkte A(3/7) und B(11/-1) sind gegenüberliegende Ecken eines

Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung

Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung. Von einer Strecke AB mit dem Mittelpunkt M sind bekannt: A(/5) und M(-4/3). Berechnen Sie B.. Die Punkte A(3/7) und B(/-) sind gegenüberliegende Ecken eines

Bernd Borchert. Univ. Tübingen WS 13/14. Vorlesung. Kryptographie. Teil

Bernd Borchert Univ. Tübingen WS 13/14 Vorlesung Kryptographie Teil 4 22.11.13 AES AES ist eine Blockchiffre in drei Varianten AES128, AES196 und AES256. Wichtigste Kennzahlen: Blocklänge bei allen drei

Endgültige Gruppeneinteilung Kohorte Innere-BP Sommersemester 2016 (Stand: )

A A1a 2197120 on on A A1a 2311330 on on on on on on on A A1a 2316420 on on A A1a 2332345 on on on on on on on A A1a 2371324 on on on on on on on A A1a 2382962 on on A A1a 2384710 on on on on on on on A

Flächeninhalt und Umfangslänge Wer findet den Zusammenhang?

Aufgabe 1: Zeichne in dein Heft einen Kreis mit beliebigem Radius r (aber bitte nicht zu klein), und konstruiere ein umbeschriebenes Dreieck. Deine Zeichnung könnte etwa so aussehen wie die nebenstehende

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Vielen Dank für Ihr Interesse an unseren juristischen Fachbüchern.

Leseprobe Vielen Dank für Ihr Interesse an unseren juristischen Fachbüchern. Auf den nachfolgenden Seiten finden Sie einen Auszug Ihres gewünschten JVP-Exemplars als Leseprobe. Sie können die komplette

Tipps Geometrie II. Aktualisiert: 29. Januar 2016 vers EG EF = P A. q 1 q. P B =

Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Tipps Geometrie II Aktualisiert: 9. Januar 016 vers..0.0 Ähnliche Dreiecke 1. Zweimal Strahlensatz beim Scheitelpunkt A ergibt DB = 15.. Wende zweimal den zweiten

Ebene und. Gerade, 2. Punkte A, B, C,..., die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear.

16 3 Das Axiomensystem Motiviert von den Elementen des Euklid, wollen wir jetzt ein modernes Axiomensystem für die Ebene Geometrie aufstellen. Zum ersten Mal wurde das um 1900 von David Hilbert geleistet,

Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus

Der Satz von Ceva & Satz von Menelaus Fast Viktor 21. November 2007 Inhaltsverzeichnis Sätze und ihre Beweise Satz von Menelaus Satz von Ceva Winkelhalbierendenschnittpunkt Höhneschnittpunkt Winkelhalbierendenschnittpunkt

Einleitung. Notation. In meiner Ausarbeitung nutze ich folgende Notationen:

Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 Notation 2 Satz 2.45 3 Beweis 3 Satz 2.46 8 Beweis 8 Satz 2.47 9 Beweis 9 Weitere Eigenschaft des Dreiecks 10 Beweis 11 Aufgaben 13 Aufgabe 1 13 Aufgabe 2 14 Literaturverzeichnis

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

A B C DB E C F D B CB C F AA DB FF C D B E C F D B CB C F AA DB D DB C DD B E C F D B CB C F AA DB D B B B B AF C B

A B C DB E C F D B CB C F AA DB FF C D B E C F D B CB C F AA DB D DB C DD B E C F D B CB C F AA DB D B B B B AF C B C DD F BE C F D B CB C F AA DB B F D B CBC DB C D F AA DB FF C D B B B B B AB D F D BC

Seite 10 Aufgaben Zentrische Streckung 1 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag):

Seite 10 1 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 2. Die Strecke ZC halbieren (das entspricht der Streckung mit k = 0.5) C 3. Parallelverschieben CB // durch C B 4. AB // durch B A 5. AE // durch A E 6.

Musterlösungen Klausur Geometrie

Musterlösungen Klausur Geometrie Aufgabe 1 (Total: 8 Punkte). Seien A, B, C die Eckpunkte eines nichtentarteten Dreiecks in der euklidischen Ebene. Seien D, E, F derart gewählt, dass folgende Teilverhältnisse

Projektive Geometrie

Technische Universität München Fakultät für Mathematik Klausur Projektive Geometrie Modul MA3203 8. August 203, 3:00 4:30 Uhr Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert Martin von Gagern Musterlösung Aufgabe.

Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz

Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P

Alte Sätze neu entdeckt (2) Folgerungen aus dem Satz von Ceva (Satz des Menelaos)

1) Begründe, möglicherweise durch einen Widerspruchsbeweis, dass auch der Kehrsatz des Satzes von Ceva wahr ist, d.h. in Kurzform (mit den vorherigen Bezeichnungen): AD DB @ BE EC @ CF FA 1 Y AE, BF, CD

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 2

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 2 Aufgabe. Sei R ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit. Setze K := R R\{0}/ mit der Äquivalenzrelation definiert durch (a, b) (a, b ) genau dann, wenn

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik

TEHNISHE UNIVERSITÄT MÜNHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Martin von Gagern Geometriekalküle WS 00/ Lösungen zu Aufgabenblatt 5 (5. Dezember 00) Präsenzaufgaben Aufgabe 6. Kegelschnitte

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Martin von Gagern Projektive Geometrie WS 2/ Lösungen zu Aufgabenblatt 3 (7. November 2) Aufgabe 2. Satz von Desargues

Praktikum Einführung in die Mathematik 1 WS 2010/2011 Blatt 2 Lösungen

Praktikum Einführung in die Mathematik 1 WS 2010/2011 Blatt 2 Lösungen 27. bis 29. Oktober 2010 (1) Lösung von Aufgabe (1) : ad (a) : Die Aussage 2n + 1 < 2 n wird durch Induktion über n für alle n gezeigt.

MATHEMATIK-WETTBEWERB 2007/2008 DES LANDES HESSEN

MATHEMATIK-WETTBEWERB 2007/2008 DES LANDES HESSEN 2. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A 1. a) L = { 6; 6; 7} (x 6) (x + 6) = 0 oder (x 7) = 0 b) L = {2; 8} (x 3 7) = 1 (oder (x 3 8) (x 8) = 0) c) L = {...

! " #$ % & ' (( % )#* "+ ), "$$$ - . )/ * %789#89$$!+9$

! " #$ % & ' (( % )#* "+ ), "$$$ -. )/ * 01221 3'4 %/) 56%789#89$$!+9$ : $! "#$% "#$&'$()*!# +", +$, +-, +%, +&,!./ 012.32 4 5 6 782 9. 2 :$$64;"#$- 5 6=? 12 ;2 @.7A ;$() $! ; "! :$ + 1 ;" 8 $)?.

Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn

Geometrie: I. Vorkenntnisse Übungenn Übung 1: Konstruiere ein Dreieck mit Hilfe folgender Angaben: Grundseite c = 10 cm, Höhe h = 4 cm, Winkel γ = 60. 6 Ist die Konstruktion eindeutig? Kann man das Dreieck

45. Österreichische Mathematik-Olympiade

45. Österreichische Mathematik-Olympiade Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger 1. Juni 014 Aufgabe 1. Man bestimme alle Lösungen der Gleichung a = b (b + 7) mit ganzen Zahlen a 0 und b 0. W.

Aufgaben Geometrie Lager

Schweizer Mathematik-Olympiade Aufgaben Geometrie Lager Aktualisiert: 26. Juni 2014 Starter 1. Zwei Städte A und B liegen auf verschiedenen Seiten eines Flusses. An welcher Stelle muss eine Brücke rechtwinklig

% & '&()* * +,(---.- / & &0!1

!!" #$!"##$ % & '&()* * +,(---.- / & &0!1 +,(-- / +,(--1&2 3 4+56-#7-"##8 9 & %&! &&/! 9- Inhaltsverzeichnis V % % & '$(%% )! * +$!,, # %!-,!.& %!- / 0$ %!1 /! 0$ 0#0!1 /, 0$ '0!2 // 0$!3 /- 0$ & %!3 /1

ABC DB DE F F EB BE C EF CF E F F F FF C EF E

D F F ABC DB DE F F EB BE C EF CF E F F F FF C EF E E FF C F B A F E CC F E D E C D F A E B A F E CC F E E F E E A C F E E F E EEF E C D F C F E E E A F E EEF E C D F B F EB E F F F C EF C F F A C F E

1. Dreiecksungleichungen Es seien a, b, c > 0 die Seiten eines Dreiecks. Dann gelten die Dreiecksungleichungen:

1 Mariazell 009 Czakler Geometrische Ungleichungen Ungleichungen im Dreieck 1. Dreiecksungleichungen Es seien a, b, c > 0 die Seiten eines Dreiecks. Dann gelten die Dreiecksungleichungen:. Die x-y-z-transformation

Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck. Haus der Vierecke. Dr. Elke Warmuth. Sommersemester 2018

Haus der Vierecke Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 39 Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Rhombus Rechteck Sehnenviereck Tangentenviereck 2 / 39 Wir betrachten nur konvexe Vierecke:

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik

Aufgabe 50. Projektivspiegelung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Martin von Gagern Projektive Geometrie WS 2010/11 Lösungen zu Aufgabenblatt 12 (24.

/-010 2% 3%.-&"(2#( 4#5% 6077## 7 8$$04%27.0& 905$0& :0;+

! "#$%&'() *+,-#.(! "#$%&'() *+,-#.( // /011#)1.#) 234#5: 61$03#7 8$("(1$5% 5 15#9($(-:1$5%4 # 90.+;(. 5 6. [?.] I.!"#$%&'(&) *&#+,-& "$./0-/1/

! " #$ % &'( ) * +! " # $ % # " & ' # ( )! " # $ % &$ & 2 " '! * (# ' 3# " ' ' " "-,4 '!, '% ",!!, -. /! ! + (. ) #" % (. ) #5 %% (!.

%&' ()**" ! " #$ % &'( ) * +! " # $ % # " & ' # ( )! " # $ % &$ & ' ()*"+,#-.-,#-,#- "/ $,#-0 "/1 2 " '! * (# ' 3# " ' ' " "-,4 '!, '% ",!!, -. /!! + (. ) #" % (. ) #5 %% (!. ) #6# % &, -./0"# " ( "' (%

Die Kreispotenz und die Sätze von Pascal und Brianchon

1 Die Kreispotenz und die Sätze von Pascal und Brianchon 26. September 2007 1 Kreispotenz Zur Konstruktion der Potenzlinie zweier Kreise k 1 und k 2, die sich nicht schneiden, wähle man sich einen Hilfskreis

Technische Universität München Zentrum Mathematik

Technische Universität München Zentrum Mathematik Michael Strobel Geometriekalküle WS 217/18 http://www-m1.ma.tum.de/geometriekalkuelews1718 Lösungen zu Aufgabenblatt 7 (29. Februar 217) Aufgabe 1. Abstand

Archimedes. Auszug aus Über den Schwerpunkt ebener Flächen (um 250 v.c.)

Archimedes Auszug aus Über den Schwerpunkt ebener Flächen (um 250 v.c.) Quelle: Archimedes: Die Quadratur der Parabel und Ueber das Gleichgewicht ebener Flächen oder ueber den Schwerpunkt ebener Flächen.

1.12 Einführung in die Vektorrechung

. Einführung in die Vektorrechung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors Skalare Multiplikation und Kehrvektor 3 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 3 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Wintersemester Maschinenbau und Kunststofftechnik. Informatik. Tobias Wolf Seite 1 von 11

Kapitel 11 Zeichenverarbeitung Seite 1 von 11 Zeichenverarbeitung - Jedem Zeichen ist ein Zahlencode zugeordnet. - Dadurch wird ermöglicht, zwischen verschiedenen Systemen Texte auszutauschen. - Es werden

Überblick über die Änderungen im Anhang I durch die Delegierte Verordnung (EU) Nr. 2017/xxxx der Kommission (unverbindliche Fassung)

Überblick über die Änderungen im Anhang I durch die Delegierte Verordnung (EU) Nr. 2017/xxxx der Kommission (unverbindliche Fassung) Mit der Delegierten Verordnung (EU) Nr. 2017/xxxx der Kommission vom

Basis Dreieck 2. x = = y. 14 = y. x = = y. x = x = 28. x = 45. x = x = = 2.1+x y = 2.

3.6 m 1.69 m 6 m 1.69 m Seiten 9 / 10 / 11 1 Vorbemerkung: Alle abgebildeten Dreiecke sind ähnlich (weil sie lauter gleiche Winkel haben). Also gilt jeweils: 2 kurze Seite Dreieck 1 kurze Seite Dreieck

Hans Walser! Magische Symmetrie!!

Hans Walser Magische Symmetrie www.walser-h-m.ch/hans Magisches Quadrat ungerader Seitenlänge Magisches Quadrat ungerader Seitenlänge Magisches Quadrat ungerader Seitenlänge 65 65 65 Median in der Mitte

Euklides: Stoicheia (Euklids Elemente)

Euklides: Stoicheia (Euklids Elemente) Buch IV. Erklärungen. 1. Die Ecken einer gradlinigen Figur, der eine andere gradlinige Figur einbeschrieben ist, liegen auf je einer Seite der Figur, der sie einbeschrieben

9. Geometrische Konstruktionen und Geometrische Zahlen.

9. Geometrische Konstruktionen und Geometrische Zahlen. Die Dreiteilungsgleichnung. Das Problem der Dreiteilung des Winkels wurde von Descartes vollständig gelöst. Dies ist in der Geometrie von Descartes

26. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Saison 1986/1987 Aufgaben und Lösungen

26. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Saison 1986/1987 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 26. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg

Inhaltsverzeichnis. Schlüssel

Inhaltsverzeichnis Übersicht... Seite 4 Active Safety aktiver Kopierschutz.... Seite 5 Artikelnummer Definition.... Seite 7 Schlüssel SEA-Normal... Seite 8 Schlüssel SEA-2 mit Modulreide... Seite 9 Schlüssel

Vorlesung Winter 2009/2010 Elementare Geometrie

Vorlesung Winter 2009/2010 Elementare Geometrie 1 Homothetien Es sei Z E ein Punkt der Ebene. Es sei λ 0 eine reelle Zahl. Die zentrale Homothetie mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor λ ist folgende

Im Bsp. vorher haben wir die Zahl 8 7

Im Bsp. vorher haben wir die Zahl 8 7 2 2 (1 + 2 2 ) 3 betrachtet. Die Zahl liegt in einer iterierten ( zweifachen ) quadratischen Erweiterung von Q, nämlich in Q( 2)( 3). Diese Erweiterung ist aber in

3. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1963/1964 Aufgaben und Lösungen

3. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1963/1964 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 3. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen

Durchflussmessgeräte SITRANS F

SITRANS F O delta p - Drosselgeräte Anwendungsbereich Geeignet für nichtaggressive und aggressive Gase, Dämpfe und Flüssigkeiten; -60 bis +00 C. Aufbau Zwei Fassungsringe mit auswechselbarer Messscheibe

Bearbeitung. Umweltberatung & Freilandforschung Losheim am See

Bearbeitung Umweltberatung & Freilandforschung Losheim am See !" #$% &''%((! & + &, &'''-.!" &/01 &/223"3# ('4 (5$6 e c or a t U m w e l t b e r a t u n g & F r e i l a n d f o r s c h u n g!! !"#$ %&'!(#"!

Technische Universität München Zentrum Mathematik

Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Bernhard Werner Projektive Geometrie SS 2016 www-m10.ma.tum.de/projektivegeometriess16 Lösungen zu Aufgabenblatt 11

+++++++++++++++++++++++++++++++#

!"!#$ %& ' ' ( * +++++++++++++++++++++++++++++++#!"#++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++# $%"&+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++$

40. Österreichische Mathematik-Olympiade Kurswettbewerb Lösungen

40. Österreichische Mathematik-Olympiade Kurswettbewerb Lösungen TU Graz, 29. Mai 2009 1. Für welche Primzahlen p ist 2p + 1 die dritte Potenz einer natürlichen Zahl? Lösung. Es soll also gelten 2p + 1

4.18 Buch IV der Elemente

4.18 Buch IV der Elemente Buch IV behandelt die folgenden Konstruktionsaufgaben: Buch IV, Einem Kreis ein Dreieck mit vorgegebenen Winkeln einschreiben. Buch IV, 3 Einem Kreis ein Dreieck mit vorgegebenen

3.6 Einführung in die Vektorrechnung

3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................

49. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Landesrunde) Klasse 11 Lösungen 1. Tag

49. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Landesrunde) Klasse 11 Lösungen 1. Tag c 010 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 491131 Lösung 6 Punkte

47. Österreichische Mathematik-Olympiade Landeswettbewerb für Anfänger/innen Lösungen

47. Österreichische Mathematik-Olympiade Landeswettbewerb für Anfänger/innen Lösungen 16. Juni 016 Aufgabe 1. Man bestimme alle natürlichen Zahlen n mit zwei verschiedenen positiven Teilern, die von n

8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie. Das Erlanger Programm.

8. Kleinsche Geometrie I: Hyperbolische Geometrie Nach den bisherigen Ergebnissen müssen wir uns nun um die Gruppe PSL 2 C kümmern. Das Studium dieser Gruppe wird uns in dieser Vorlesung zu einem neuen

3.1.1 Satz: (sws) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie ï

3 Dreiecke 3.1 Grundlegende Sätze (zum Teil bewiesen in den Übungen) 3.1.1 Satz: (sws) Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie ï 2 1 bereinstimmen in zwei Seiten und dem dazwischenliegenden Winkel. 3.1.2

Technische Universität München Fakultät für Mathematik. Klausur. Geometriekalküle. Modul MA März 2017, 08:30 09:30 Uhr

Technische Universität München Fakultät für Mathematik Klausur Geometriekalküle Modul MA2203 2. März 207, 08:30 09:30 Uhr Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert Musterlösung Aufgabe. Wahr oder Falsch Entscheiden

Beweisen mithilfe von Vektoren

330 9 Abstände und Winkel zwischen Geraden und Ebenen Beweisen mithilfe von Vektoren In den vorherigen Abschnitten sind Vektoren dazu benutzt worden, Geraden und Ebenen im Raum zu beschreiben und ihre

Kapitel I. Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie... 5 Einleitung Affine Ebenen... 7

Inhaltsverzeichnis Prolog. Die Elemente des Euklid... 1 1. Euklid 2. Axiome 3. Über die Sprache der Geometrie Kapitel I. Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie... 5 Einleitung... 5 1. Affine Ebenen...

Unverbindlicher Überblick über die Änderungen der Anhänge 1 und 2 Güterkontrollverordnung (GKV; SR )

Unverbindlicher Überblick über die Änderungen der Anhänge 1 und 2 Güterkontrollverordnung (GKV; SR 946.202.1) Die Änderungen resultieren aus Vereinbarungen der internationalen Exportkontrollregime und

Wie bearbeitet man einen Übungszettel?

Wie bearbeitet man einen Übungszettel? Tipps: Mathematik lernt man nur durch Selbermachen: Übungsaufgaben müssen selbst bearbeitet werden. Das Nachvollziehen einer Lösung reicht nicht aus. Der Weg ist

! " # $! %&' () * +, - +, *, $! %.' ()* +, (( / * +, * +, 0112

! " # $! %&' () * +, - +, *, $! %.' ()* +, (( / * +, * +, 0112 + $ 3! " 4 5 6 78 12 0119 + ( $! %.' () * +, 5! ) + +":(: *" 4+ ' ; < 4 " : 3 %: +! %! " + ( =:6

Sekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A b) Strecken Sie das Dreieck ABC (Streckfaktor: -1/ Streckzentrum Z) (3 Punkte)

SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2013 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60

1. Winkel- und Seitensymmetralen (Südpolsatz) 2. An und Inkegelschnitte. 3. Zweite und erste Steinergerade

Übungen zu GeoGebra F. Hofbauer Auf den folgenden Seiten sind Konstruktionsübungen zu finden, die mit einer dynamischen Geometriesoftware (Geogebra) durchgeführt werden können. Man kann auf diese Weise

zur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am

Nachklausur zur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am 12.7.17 Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg.1 Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Punkte Bearbeiten Sie bitte drei der vier folgenden

4. Kongruenz ohne Parallelen.

4. Kongruenz ohne Parallelen. Den Griechen war bald klar, dass es bei einer solchen fundamentalen Frage, wie der nach der Existenz eines Pentagons, nicht mehr um noch so clevere geometrische Tricks gehen

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen :

Seite I Einige interessante elementargeometrische Konstruktionen Ausgehend von einigen bekannten Sätzen aus der Elementargeometrie lassen sich einige hübsche Konstruktionen herleiten, die im folgenden

30. Satz des Apollonius I

30. Satz des Apollonius I Das Teilverhältnis T V (ABC) von drei Punkten ABC einer Geraden ist folgendermaßen definiert: Für den Betrag des Teilverhältnisses gilt (ABC) = AC : BC. Für das Vorzeichen des

Erste Schnittpunktsätze und Anfänge einer Dreiecksgeometrie

Christoph Vogelsang Matr.Nr. 66547 Nils Martin Stahl Matr.Nr. 664 Seminar: Geometrie Dozent: Epkenhans Wintersemester 005/006 Erste Schnittpunktsätze und Anfänge einer Dreiecksgeometrie Ausarbeitung der

30. Mathematik Olympiade 4. Stufe (Bundesrunde) Klasse 10 Saison 1990/1991 Aufgaben und Lösungen

30 Mathematik Olympiade 4 Stufe (Bundesrunde) Klasse 10 Saison 1990/1991 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 30 Mathematik-Olympiade 4 Stufe (Bundesrunde) Klasse 10 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen

Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006. Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev. Geometrie

Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin Geometrie Aufgabe G.1 Berechne die Innenwinkelsumme eines n-ecks. Aufgabe G.2 Zeige, dass

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.

Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten

Aufgabe G.1: Definitionen, Begriffsbildungen

Aufgabe G.1: Definitionen, Begriffsbildungen a) Der Begriff Dreieck sei definiert. Definieren Sie den Begriff Innenwinkel eines Dreiecks. (2 Punkte) b) Definieren Sie den Begriff Inneres eines Winkels

Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 5B am 24. Mai 2018

Vierte Schulareit Mathematik Klasse 5B am 4. Mai 018 KORREKTURVORLAGE Version 1.0 (13:41 evt. Noch Fehlerchen) Aufgae 1. (P) Zahlenmengen AG 1.1 Kreuzen Sie diejenige Menge an, zu welcher die Zahl 5 10

Mathematik Name: Klassenarbeit Nr. 2 Klasse 9a Punkte: /30 Note: Schnitt:

Aufgabe 1: [4P] Erkläre mit zwei Skizzen, vier Formeln und ein paar Worten die jeweils zwei Varianten der beiden Strahlensätze. Lösung 1: Es gibt viele Arten, die beiden Strahlensätze zu erklären, etwa:

Einige Sätze über Kegelschnitte.

Einige Sätze über Kegelschnitte. Von L. KLUG in Budapest. In seinen Beiträgen zur Geometrie der Lage gibt v. Staudt in No. 389 einen forcierten Beweis des Satzes No. 3 dieser Note. Th. Reye hält in seiner

6. Die Gruppe der Euklidischen Kongruenztransformationen

6. Die Gruppe der Euklidischen Kongruenztransformationen Eine Fahne in der euklidischen Ebene besteht aus einem Tripel (P, g, H), wobei P ein Punkt, g eine Halbgerade mit Anfangspunkt P, und H eine Halbebene

Geometrie von Flächen und Algebraischen Kurven Der Satz von Pascal

Geometrie von Flächen und Algebraischen Kurven Der Satz von Pascal Laura Hinsch November 005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 Algebraische Kurven 1 3 Singularitäten 3 4 Der Satz von Pascal 5 i 1 Einleitung