Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge für die mathematische Kompetenzentwicklung Erfahrungen aus Langzeitprojekten

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1 Chancen und Risiken digitaler Werkzeuge für die mathematische Kompetenzentwicklung Erfahrungen aus Langzeitprojekten Prof. Dr. Regina Bruder FB Mathematik, AG Didaktik T³ - Tagung Bielefeld

2 Überblick 1. Vision und Mehrwert eines rechnergestützten MU, Rechnerpotenzial einer Aufgabe 2. Projekterkenntnisse auch zu Risiken und Nebenwirkungen des Technologieeinsatzes (Hessen, CAliMERO, TIM, CIMS) 3. Unterrichtskonzept Projekt CAliMERO (Niedersachsen), 4. Zusammenfassung und Ausblick

3 Welches Potenzial zur mathematischen Kompetenzentwicklung bietet computergestütztes Lernen im MU? - Reduktion schematischer Abläufe (Befreiung von kognitiver Last) - Unterstützung beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge - Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge - Verständnisförderung mathematischer Zusammenhänge Entscheidend: Ausprobieren, Verstehen, Delegieren und Kontrollieren ist möglich.

4 Rechner als (sinnvolles) Kontrollwerkzeug 1. Bestimmen Sie die Funktionsvorschriften 2.Geben Sie zu den folgenden Graphen mehrere Funktionsterme an. Dabei sollen zwei Funktionsterme durch Verschiebung der Sinusfunktion nach rechts und zwei durch Verschiebung nach links entstanden sein.

5 Material zur Erarbeitung exponentiellen, beschränkten und logistischen Wachstums CIMS nach Jahnke, Cornelsen Nach ihrer Erfindung haben Mobiltelefone eine schnelle Verbreitung gefunden. Besonders erstaunlich ist wie die Tabelle zeigt die Entwicklung in Finnland, das bei einer Einwohnerzahl von im Jahr 1999 bereits Mobilfunkteilnehmer hatte. Die Entwicklung soll durch eine Funktion beschrieben werden, um dann begründet Prognosen für die Zukunft aufstellen zu können. Im ersten Teil soll die Entwicklung durch verschiedene Funktionsklassen modelliert werden.

6 Material zur Erarbeitung exponentiellen, beschränkten und logistischen Wachstums CIMS nach Jahnke, Cornelsen Nach ihrer Erfindung haben Mobiltelefone eine schnelle Verbreitung gefunden. Besonders erstaunlich ist wie die Tabelle zeigt die Entwicklung in Finnland, das bei einer Einwohnerzahl von im Jahr 1999 bereits Mobilfunkteilnehmer hatte. Die Entwicklung soll durch eine Funktion beschrieben werden, um dann begründet Prognosen für die Zukunft aufstellen zu können. Im ersten Teil soll die Entwicklung durch verschiedene Funktionsklassen modelliert werden. a)bestimmen Sie als Näherungsfunktionen je eine ganzrationale, eine trigonometrische und eine exponentielle Funktion. Optional: Wählen Sie x als die Zeit ab 1990 in Jahren und f(x) als die Anzahl der Mobiltelefone in Tausenden. b)nehmen Sie begründet Stellung, warum die erhaltenen Funktionen die Entwicklung des Mobiltelefonbestandes in der Zukunft nicht sinnvoll beschreiben.

7 Logistisches Wachstum erkunden (beschränktes Wachstum, Einführung der Kapazität K ) Während beim exponentiellen Ansatz die Verbreitung der Handys anfänglich gut beschrieben wird, wird mit dem Ansatz des beschränkten Wachstums die spätere Entwicklung, nämlich das Abflachen, sinnvoll erfasst. Das logistische Wachstum führt diese beiden Eigenschaften zusammen. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:. K A Bt () A [ K A] e c K t

8 Logistisches Wachstum erkunden Während beim exponentiellen Ansatz die Verbreitung der Handys anfänglich gut beschrieben wird, wird mit dem Ansatz des beschränkten Wachstums die spätere Entwicklung, nämlich das Abflachen, sinnvoll erfasst. Das logistische Wachstum führt diese beiden Eigenschaften zusammen. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:. Bt () K A A [ K A] e c K t Erläutern Sie anhand des Termes, dass K wieder die Kapazität darstellt. Untersuchen Sie, welche Bedeutung der Parameter A hat. Bestimmen Sie die Funktion B(t). Verwenden Sie dafür die Bestände in den Jahren 1990 und 1998.

9 *Vision* für GTR-Einsatz: Rechnernutzung als selbstverständliches und individuell freigestellt unterschiedlich eingesetztes Werkzeug insbesondere zur Entwicklung von Modellierungs- und Problemlösekompetenzen; - Rechner als Werkzeug zum besseren Mathematikverstehen (Nutzung von Darstellungswechseln, Explorieren mit Parametervariation oder Fallunterscheidungen, Vernetzungen, Simulation) - Rechner als Kontrollinstrument: Stimmt das? und Reflexionsanlass: Was ist das Gemeinsame? Warum ist das so? Gilt das immer?...

10 Sprachliche Anforderungen wachsen: Durch die Funktionsgleichung y=x²+bx+2 ist für jedes b eine Parabel gegeben. a) Erstellen Sie für b= die Graphen in einem gemeinsamen KS. Beschreiben Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Parabeln. b) Bestimmen Sie die Werte von b, für welche die Parabel die x-achse einmal, zweimal, keinmal schneidet. c) Untersuchen Sie, ob es Werte gibt, für welche die Parabel die Gerade y=2x+1 berührt. Quelle: Klett 2003

11 Mathematik als Mathematisierungsmuster erlernen Gegeben ist eine Menge von Punkten gesucht ist eine geeignete analytische Beschreibung (Funktionsterm) Wo kommt das vor? Wie macht man das? - aus Messreihen neue Zusammenhänge finden (Gesetze) - aus Daten Entwicklungsverläufe prognostizieren - Approximation, Regression...mit Bild- Wissen über bestimmte Funktionstypen! Und im Unterricht? - genetisch: Welche Möglichkeiten gibt es, analytisch beschreibbare Kurven durch Punkte zu legen?

12 Welche Möglichkeiten gibt es, analytisch beschreibbare Kurven durch drei gegebene Punkte zu legen?

13 Paradigmenwechsel im Technologie-Einsatz: Rechnereinsatz und Rechnerpotenzial beschreiben vor dem Hintergrund variabler Lehr- und Lernmöglichkeiten zur individuellen Verständnisförderung von grundlegenden mathematischen Zusammenhängen, weniger mit dem Ziel ganz neue Lerninhalte zu erschließen. Lehrer-Demonstration (applets) und Schüler-Exploration (z.b. mit interaktiven Arbeitsblättern) bauen aufeinander auf und ergänzen sich

14 Explorationen zum bestimmten Integral

15 Konkretisierung: Mehrwert durch GTR ab Kl.7 im MU: Vertieftes Gleichungs- und Funktionsverständnis wird möglich, aber auch gefordert - studieren der geometrischen Effekte algebraischer Umformungen und Parametervariationen (dynamisches heuristisches Hilfsmittel) Wir lassen eine Gerade gegen eine Parabel antreten: x² - 4x +3 = 0 x² = 4x - 3

16 Wir lassen eine Gerade gegen eine Parabel antreten f(x)= x² r(x)= x² - 4x + 3 g(x)= 4x -3

17 Konkretisierung: Mehrwert durch GTR ab Kl.7 im MU: Vertieftes Gleichungs- und Funktionsverständnis wird möglich, aber auch gefordert studieren der geometrischen Effekte algebraischer Umformungen und Parametervariationen (dynamisches heuristisches Hilfsmittel) Wir lassen eine Gerade gegen eine Parabel antreten: x² - 4x +3 = 0 x² = 4x - 3 ermöglicht unterschiedliche, auch experimentelle Zugänge zu einem Problem und verschiedene Lösungswege

18 Beispielaufgabe: Volleyball Beim Aufschlag steht die Volleyballspielerin 9 m von dem 2,20 m hohen Netz entfernt. Ihr Aufschlag wird gefilmt und anschließend durch die folgende Zuordnungsvorschrift beschrieben: y = 0,069 x² + 0,67 x + 2 x Entfernung des Balles vom Aufschlagpunkt (am Boden gemessen) in m. y Flughöhe des Balles in m.

19 Beispielaufgabe: Volleyball y = 0,069 x² + 0,67 x + 2 a) In welcher Höhe befindet sich der Ball beim Aufschlag? b) In welcher Höhe überquert der Ball das Netz? c) Für x = 12,1 ist y = 0. Was bedeutet dieses Ergebnis? d) Die Spielerin möchte ihren Aufschlag verbessern und trainiert deshalb eine neue Technik. Der Ball fliegt nun weiter. Wie verändert sich dann der Faktor a vor dem x² in der Zuordnungsvorschrift y = a x² + 0,67 x + 2?

20 Konkretisierung: Mehrwert durch GTR ab Kl.7 im MU: Vertieftes Gleichungs- und Funktionsverständnis wird möglich, aber auch gefordert studieren der geometrischen Effekte algebraischer Umformungen und Parametervariationen (dynamisches heuristisches Hilfsmittel) Wir lassen eine Gerade gegen eine Parabel antreten: x² - 4x +3 = 0 x² = 4x - 3 ermöglicht unterschiedliche, auch experimentelle Zugänge zu einem Problem und verschiedene Lösungswege Initiiert Hypothesenbildung, unterstützt Verallgemeinerungsleistungen

21 Logarithmus einfach nur ein heruntergekommener Exponent Den Ausdruck log(x) schreibt man, wenn log 10 (x) gemeint ist. Berechne im Kopf (i) log(1000) (ii) log(0,01) (iii) log(1) (iv) log( ) (v) log(10-8 ) (vi) log(10) Gib die Funktion f(x)=log(x) in den TI- ein, betrachte Wertetabelle und Graph. Gib an: Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Symmetrie, Asymptoten.

22 Logarithmus a) Gib folgende Funktionen ein: 2 3 f ( x) log( ) f ( x) log( ) f ( x) log( ) 1 x 2 x b) Betrachte Wertetabelle und Graph. Beschreibe geometrisch: Wie gehen die Graphen von f 2 und f 3 aus dem Graphen von f 1 hervor? Wie müsste man die Funktionsterme f 2 (x) und f 3 (x) folglich auch schreiben können? Überprüfe, indem Du die von Dir vermuteten Funktionsterme eingibst und vergleichst, ob Tabelle/Graph mit den gegebenen Funktionstermen übereinstimmen. c) Forme die folgenden Terme entsprechend um: log( x 4 ) log( 6 0,5 x ) log( x ) 3 x d) Formuliere an Hand der Ergebnisse von a) und b) eine möglichst allgemeine Regel.

23 Nachhaltiges Lernen von Mathematik mit Rechnereinsatz: Rechnerpotenzial einer Aufgabe Wie kann ein Rechner (CAS/GTR) in einer Aufgabe genutzt werden? 0 Rechnereinsatz nicht erlaubt bzw. nicht sinnvoll möglich 1 - Rechner übernimmt Kontrollfunktion in einfachen Berechnungen bzw. für Begründungen 2 - Rechnereinsatz reduziert formalen Rechen- bzw. Konstruktionsaufwand; die Aufgabe wäre aber auch noch ohne Rechnereinsatz lösbar

24 Nachhaltiges Lernen von Mathematik mit Rechnereinsatz Rechnerpotenzial einer Aufgabe Wie kann ein Rechner (CAS/GTR) in einer Aufgabe genutzt werden? 0 Rechnereinsatz nicht erlaubt bzw. nicht sinnvoll möglich 1 - Rechner übernimmt Kontrollfunktion in einfachen Berechnungen bzw. für Begründungen 2 - Rechnereinsatz reduziert formalen Rechen- bzw. Konstruktionsaufwand; die Aufgabe wäre aber auch noch ohne Rechnereinsatz lösbar 3 Rechner unterstützt experimentelle Situationen, Prüfen von Vermutungen u.ä. 4 - die Aufgabe ist wegen der Quantität der Daten bzw. Komplexität der Modellierung ohne TR/TC nicht mehr (effektiv) lösbar

25 Nachhaltiges Lernen von Mathematik mit Rechnereinsatz Rechnerpotenzial einer Aufgabe Wie kann ein Rechner (CAS/GTR) in einer Aufgabe genutzt werden? 0 Rechnereinsatz nicht erlaubt bzw. nicht sinnvoll möglich 1 - Rechner übernimmt Kontrollfunktion in einfachen Berechnungen bzw. für Begründungen 2 - Rechnereinsatz reduziert formalen Rechen- bzw. Konstruktionsaufwand; die Aufgabe wäre aber auch noch ohne Rechnereinsatz lösbar 3 Rechner unterstützt experimentelle Situationen, Prüfen von Vermutungen u.ä. 4 - die Aufgabe ist wegen der Quantität der Daten bzw. Komplexität der Modellierung ohne TR/TC nicht mehr (effektiv) lösbar 5 - durch die Verwendung des TR/TC werden neue mathematische Zusammenhänge erkundet

26 Überblick 1. Vision und Mehrwert eines rechnergestützten MU, Rechnerpotenzial einer Aufgabe 2. Projekterkenntnisse auch zu Risiken und Nebenwirkungen des Technologieeinsatzes (Hessen, CAliMERO, TIM, CIMS) 3. Unterrichtskonzept Projekt CAliMERO (Niedersachsen), 4. Zusammenfassung und Ausblick

27 Potenziale des Technologieeinsatzes aber auch Risiken und Nebenwirkungen aber was passiert, wenn herkömmlichem Unterricht einfach ein Rechner aufgesetzt wird? Ergebnisse aus Schülerbefragungen nach Rechnereinsatz (Hessenprojekt SII 2004/5) Mathematikweltbild und Wertschätzung von Mathematik Keine Veränderung, Klassenspezifisch Kommunikationsunterstützung: Leichter positiver Trend! Wahrnehmung der Gestaltung des Unterrichts: Schwache negative Tendenz Selbstbild und Selbsteinschätzung: Negative Tendenz!

28 Wie erleben die Schüler/innen den Rechnereinsatz? (SII, N=198) Aus den Schülertagebüchern: -Wunsch, mit dem Rechner Mathematik besser zu verstehen und nach Notenverbesserung -Sorge, dass mathematische Fertigkeiten verlernt werden könnten und Angst vor dem Nichtverstehen der Technik - Eine zu Beginn von Kl.11 vorherrschende Skepsis löste sich weitgehend auf. - Trügerische Sicherheit bekam nach der Klassenarbeit oft einen herben Dämpfer: Leistungsstand sinkt im Mittel (von 6,02 auf 5,85 Punkte max: 15 Punkte) - Erleichterung mathematischer Anwendungen - Kontrollfunktion wird genutzt Kritik: Unübersichtliche Menüführung... Wunsch nach Ausgewogenheit zwischen traditionellem und CAS-Unterricht

29 Lehrereinschätzungen zu den Vorteilen des Technologieeinsatzes Zentrale Inhalte können besser verdeutlicht werden Wichtiges wird schneller verstanden Hilfsmittel zur grafischen Darstellung und Bearbeitung von Funktionenscharen Eigenverantwortlichkeit und Präsentationsfähigkeit gestärkt Kontrollmöglichkeit für Ergebnisse, Näherungen Förderung leistungsstarker Schüler durch komplexe Aufgaben (wurde aber selten realisiert)

30 Probleme in den eingesetzten Lehr- und Lernmaterialien Zu wenig Zieltransparenz (Arbeitsblätter, Stationen) Welchen Mehrwert hat eine mathematische Bearbeitung einer Aufgabe? Lernpotential des Rechnereinsatzes noch nicht ausgeschöpft Schwerpunkt: Größeres Funktionenrepertoire

31 Was kommt neu dazu? Bsp.: CAliMERO Band 7 S. 8 Werkzeugkompetenz! Wissensspeicher anlegen mit Maschinensprache Es müssen einige rechnerspezifische Begriffe erlernt werden, aber erst dann, wenn sie benötigt werden (kein Vorratslernen! Reduziert die Akzeptanz!) Problem: Klassisches Mathematikangebot darf nicht ersetzt werden durch eine Maschinensprache mit weit geringerer Halbwertszeit der Relevanz für die Lernenden als die mathematischen Wissenselemente, die zumindest nicht veralten!

32 -Verführung, bestimmte Aufgaben einzusetzen, weil der Rechner existiert Problem in einigen Unterrichtsmaterialien: Worin besteht der kompetenzorientierte Zugewinn und mathematische Sinnzuwachs durch den Rechnereinsatz??

33 Probleme des MU im Projekt in Verbindung mit dem Rechnereinsatz, die jedoch nicht ursächlich mit dem Rechnereinsatz zusammen hängen: - Schwerpunkt der Lernanforderungen im Grundaufgabenbereich - sehr wenig offene Aufgaben und Binnendifferenzierung - Geringe Vielfalt in den Aufgabentypen Wenig Verbalisierung von Lösungswegen Folgerung: Voraussetzung und Lernschwerpunkt: Unterscheiden und Erkennen von Termstrukturen als Mathematisierungsmuster

34 und es gibt Widerstände gegen Rechnereinsatz im MU Widerstände in der Gesellschaft: -Zeitungsmeldungen von Professoren, die über schlechte Testergebnisse zum Studienbeginn klagen -Befürchtungen von Eltern, dass die Chancen im Studium erfolgreich zu sein, sinken Bedenkenswertes: Als Gründe für den Studienabbruch in mathematikintensiven Studienfächern (insb. auch Informatik) wird vonseiten der Universitäten fehlendes Können im logischen Schließen und mangelnde Stringenz in der Argumentation und im Umgang mit Begriffen angesehen.

35 Folgerungen für das CAliMERO - Projekt Folgerungen für CAliMERO ab 2005 Gemeinsame Entwicklung eines Unterrichtskonzeptes zur didaktisch sinnvollen und von den Lehrkräften (und Schülern) akzeptierten Rechnerintegration Modulare Materialentwicklung zur Umsetzung des Unterrichtskonzeptes mit Orientierung am bestehenden Kerncurriculum Besondere Berücksichtigung von mathematischem Basiswissen (rechnerfreie Fertigkeiten wachhalten auch aus SI, Entscheidungen zum Umfang händischer Fertigkeiten)

36 Überblick 1. Vision und Mehrwert eines rechnergestützten MU, Rechnerpotenzial einer Aufgabe 2. Projekterkenntnisse auch zu Risiken und Nebenwirkungen des Technologieeinsatzes (Hessen, CAliMERO, TIM, CIMS) 3. Unterrichtskonzept Projekt CAliMERO (Niedersachsen), 4. Zusammenfassung und Ausblick

37 Kurzinformation zum Projekt CAliMERO Computer - Algebra im Mathematikunterricht: Entdecken, Rechnen, Organisieren = CAliMERO Schulversuch zum Einsatz CAS-fähiger Taschencomputer im Mathematikunterricht ab Klasse 7 in Niedersachsen seit 2005 fünfjähriger Schulversuch Beginn im Schuljahr 2005 / 2006 mit 29 Klassen durchläuft zweimal gesamte Sekundarstufe I von Klasse 7 bis 10 6 niedersächsische Gymnasien beteiligt

38 Unterrichtskonzept CAliMERO Unterrichtseinstiegsvarianten Mind map Kopfübung Kopfübung TC-Hilfen, Wissensspeicher Übungskonzept 8 Aufgabentypen (-) (-) Kopfübung Checkliste, Basiswissen, Rechnerfreie Fertigkeiten Test

39 Einsatz des TC im MU in den Projektklassen Wie stark wurde der TC im Unterricht eingesetzt? PC 4% ohne E- Hilfsmittel 43% TC 53% N = 404 Unterrichtsstunden

40 Das Unterrichtskonzept von CAliMERO Zieltransparenz sichern mit Mind Map und Checkliste -Wie kann man den Überblick behalten und wissen, was wichtig ist, wenn Zeit in Erkundungen investiert wird und in Themenfeldern vernetzt gelernt wird? Ich kann -lineare von nicht linearen Funktionen unterscheiden -einen Term aufstellen zu zwei geg. Punkten einer Geraden -die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmen -

41 Rechnerfrei verfügbares Grundwissen und Grundkönnen Begleitende Aufgaben ohne Rechnereinsatz sind auch nötig für einen verständigen Umgang mit GTR (bestenfalls Computer als Kontrollinstrument): z.b.: Einüben von abrufbaren Vorstellungen über den prinzipiellen Verlauf von Basisfunktionen (Hyperbeln, Parabeln, Exponentialfunktion, Wurzelfunktion, Winkelfunktionen...) und Polynomfunktionen und grundlegende Termstrukturen erkennen und unterscheiden a + b = c, a b = c, a b c

42 Was auch zum Abitur noch ohne Rechner gekonnt werden sollte... Dreisatz, auch Maßstab Maßstab 1: cm werden gemessen Wie viele km sind das in der Natur? Prozent- und Zinsrechnung Jemand erhält am Jahresende 450 Zinsen. Das Guthaben wurde mit 3% verzinst. Wie viel Geld wurde zum Jahresbeginn eingezahlt, das diese Zinsen gebracht hat? Gleichungen: Gib jeweils die Lösungsmenge im Bereich der reellen Zahlen an! a) 6x - 1 = 2x + 15 b) 0 = (a + 3) (a - 4) g) 2a 3b = -11 und c) 2y = 81 d) sin x - 11 = 7 4a = 8b - 32 e) 3r 3-17 = 2r f) z 2 2z - 8 = 0 Freie Bilder zeichnen Schaubild einer Wurzelfunktion, Exponentialfunktion, Parabel und Hyperbel Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche zeichnen

43 Basiskompetenzen aus der Mittelstufe: Ein- und Ausklammern, binomische Formeln als Strukturelemente (Zerlegungsprinzip) Mit einfachen Bruch- und Wurzeltermen (und Potenzen) Operationen ausführen Kennen und Umformen verschiedener Darstellungsformen ineinander (auch als heuristische Hilfsmittel); Einsetzung als Substitutionsmethode; Gewinnen von Probierlösungen verbal beschreiben können

44 Aufgabenset zum Thema Scheitelpunkt von Parabeln In den ersten drei Aufgaben ist jeweils der Scheitelpunkt der quadratischen Funktionen gesucht: 1. f(x) = (x-3)²+7 2. f(x) = 3(x+5)²+4 3. f(x) = 0,5x²-6 Grundaufgabe 4. Die Normalparabel wird um 2 Einheiten nach rechts und um 6,5 Einheiten nach unten verschoben. Wie lautet die Scheitelpunktform der neuen Parabel? ( -, x, x ) 5. Bernd hat zu dem abgebildeten Graphen den Funktionsterm aufgestellt. Sein Ergebnis ist f(x) = 2(x-5)²+2 Erkläre, was Bernd falsch gemacht hat.... ( x, x, x )

45 Aufgabenset zum Thema Scheitelpunkt von Parabeln In den ersten drei Aufgaben ist jeweils der Scheitelpunkt der quadratischen Funktionen gesucht: 1. f(x) = (x-3)²+7 2. f(x) = 3(x+5)²+4 3. f(x) = 0,5x²-6 4. Die Normalparabel wird um 2 Einheiten nach rechts und um 6,5 Einheiten nach unten verschoben. Wie lautet die Scheitelpunktform der neuen Parabel? 5. Bernd hat zu dem abgebildeten Graphen den Funktionsterm aufgestellt. Sein Ergebnis ist f(x) = 2(x-5)²+2 Erkläre, was Bernd falsch gemacht hat Die Flugbahn eines Balles wird durch eine Parabel beschrieben. Was bedeuten in dieser Situation der Streckfaktor und der Scheitelpunkt? Welche Werte kann der Streckfaktor hier annehmen? ( -, x, - ) 7. Die Normalparabel wurde so verschoben, dass sie die x-achse an den Stellen 1 und 5 schneidet. Wie lautet die neue Funktionsgleichung? ( x, -, - ) 8. Gib die Gleichung von zwei möglichst unterschiedlichen Parabeln an, deren Scheitelpunkt im Punkt S(0/3) liegt. ( -, -, x )

46 Aufgabenset zum Thema Scheitelpunkt von Parabeln In den ersten drei Aufgaben ist jeweils der Scheitelpunkt der quadratischen Funktionen gesucht: 1. f(x) = (x-3)²+7 2. f(x) = 3(x+5)²+4 3. f(x) = 0,5x²-6 4. Die Normalparabel wird um 2 Einheiten nach rechts und um 6,5 Einheiten nach unten verschoben. Wie lautet die Scheitelpunktform der neuen Parabel? 5. Bernd hat zu dem abgebildeten Graphen den Funktionsterm aufgestellt. Sein Ergebnis ist f(x) = 2(x-5)²+2 Erkläre, was Bernd falsch gemacht hat Die Flugbahn eines Balles wird durch eine Parabel beschrieben. Was bedeuten in dieser Situation der Streckfaktor und der Scheitelpunkt? Welche Werte kann der Streckfaktor hier annehmen? 7. Die Normalparabel wurde so verschoben, dass sie die x-achse an den Stellen 1 und 5 schneidet. Wie lautet die neue Funktionsgleichung? 8. Gib die Gleichung von zwei möglichst unterschiedlichen Parabeln an, deren Scheitelpunkt im Punkt S(0/3) liegt.. 9. Welchen Einfluss haben die Parameter a und d in der Funktionsgleichung f(x)=a(x-d)²+0,1 auf die Anzahl der Nullstellen? ( x, -, - ) 10. In der Abbildung ist der Graph der quadratischen Funktion f(x)=0,5(x-3)²-1 dargestellt. Leider wurde vergessen, die Koordinatenachsen einzuzeichnen und zu beschriften. Ergänze sie. ( -, -, (x) )

47 Unterrichtskonzept CAliMERO Unterrichtseinstiegsvarianten Mind map Kopfübung Kopfübung TC-Hilfen, Wissensspeicher Lernprotokoll Übungskonzept 8 Aufgabentypen (-) (-) Kopfübung Checkliste, Basiswissen, Rechnerfreie Fertigkeiten Test

48 Beispiel für ein Lernprotokoll (Potenzfunktionen Erstverständnis ) Auf der folgenden Abbildung siehst du die Graphen verschiedener Funktionen. Entscheide, bei welchen der Funktionen es sich um Potenzfunktionen handelt. Bestimme die Gleichung einer Potenzfunktion f(x)= ax^b, die durch folgende Punkte läuft: P(-1,5/ -22,78) und Q(2,5/ 292,97). Entscheide (begründet!) welche der folgenden Zusammenhänge durch eine Potenzfunktion modelliert werden können. a) Das Volumen eines Würfels in Abhängigkeit von seiner Kantenlänge a. b) Pauls Ersparnisse vermehren sich jährlich um 4%. c) Der Flächeninhalt einer zentrisch gestreckten Figur in Abhängigkeit vom Streckfaktor. Lisa hat die Funktion f(x)=x 1/3 in ihren Taschenrechner eingegeben und wundert sich, dass der Graph eine Gerade ist.

49 Aufgaben offener formulieren: Aufgabe 18 zum Üben (Problemlösen) (Calimero, Band 5, s. 26) Einem Rechteck mit den Seitenlängen 9 cm und 5 cm wird ein Parallelogramm P einbeschrieben, indem von jedem Eckpunkt des Rechtecks aus im Uhrzeigersinn eine gleich lange Strecke x abgetragen wird. Bestimme die Länge von x so, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms möglichst klein ist. Hinweis: Den Flächeninhalt des Parallelogramms erhältst du, indem du vom Flächeninhalt des Rechtecks den Flächeninhalt der vier Dreiecke subtrahierst. x x 5 cm x x 9 cm Oder alternativ (offener): Untersuche den Flächeninhalt des Parallelogramms.

50 Lösungsmöglichkeiten: Rein algebraisch : Einen Term zur Bestimmung des Flächeninhaltes über die Teilflächen bilden: 45-(x(5-x)+x(9-x))=45-(5x-x²+9x-x²)=2x²-14x+45 Eine Parabel erkennen, zeichnen=> Extrema bestimmen => interpretieren x x x 5 cm x 9 cm

51 Durch Experimentieren : Die Konstruktion der Figur ist vom Lehrer vorgegeben. Die Veränderung des Flächeninhaltes des Parallelogramms bei der Veränderung der Variable x ist zu beobachten. Beobachtungen schriftlich festhalten => eine Lösung vorschlagen.

52 Durch Experimentieren + weitere algebraische Analyse Dem Schüler reicht die verbale Beschreibung der Beobachtung nicht, er versucht zu untersuchen, in welcher Weise sich die Abhängigkeit (x, F(x)) gestaltet. a. Schüler kann die beiden Größen x und F(x) speichern und in eine Tabelle übertragen=> die Datenpunkte grafisch darstellen=> erkennen, dass die Punkte auf einer Parabel liegen=> den tiefsten Punkt der Parabel bestimmen (anhand der Tabelle oder auf dem Graph) => unterschiedliche Ergebnisse (je nach Einstellung der WINDOW- Parameter oder der Schrittweite in der Tabelle) diskutieren b. Manche Schüler/innen können die Frage nach der Gleichung der Parabel z.b. ausgehend von einem allgemeinen Ansatz untersuchen. Sie bestimmen die Koordinaten dreier Punkte und lösen das entsprechende Gleichungssystem (CAS), die Parabelgleichung finden=> zur Scheitelpunktform umformen=> den minimalen Flächeninhalt bestimmen.

53 Blütenaufgabe - Wachstum Wassermelonen wachsen anfangs so schnell, dass sich ihre Masse täglich um 13% vermehrt. Aufgabe 1: Eine bestimmte Wassermelone wiegt 1,3 kg. Wie schwer ist sie 5 Tage später? Aufgabe 2: Ein andere Wassermelone wiegt zur Zeit 3,5 kg. Was hat sie vor einer Woche gewogen? Aufgabe 3: Stelle die Gleichung einer Funktion auf, die die Anzahl der Tage (x) der Masse (y) der Melone zuordnet. Dabei soll die bekannte Ausgangsmasse (A) mit berücksichtigt werden. Aufgabe 4: Bestimme die Anzahl der Tage, nach denen sich die Masse einer Wassermelone verdoppelt hat. Aufgabe 5: Die Dichte einer Wassermelone ist in etwa genauso groß wie die von Wasser. Vergleiche das Wachstum der Größe einer Wassermelone mit dem Wachstum ihrer Masse!

54 Aufgabe 4: Bestimme die Anzahl der Tage, nach denen sich die Masse einer Wassermelone verdoppelt hat. 2 1,3 = 1,3 1,13 x

55 Eine Dokumentation zu einer anwendungsorientierten Aufgabe sollte vier Teile umfassen: 1. Worum geht es? Beschreibung der Realsituation im Realmodell 2. Welche mathematischen Werkzeuge zur Bearbeitung (Mathematisierung) wurden ausgewählt? Gibt es Alternativen? 3. Welche Resultate wurden bei Anwendung dieser Instrumente erzielt? (ggf. für die Nachvollziehbarkeit das verwendete Rechnerwerkzeug (Fenster) angeben) 4. Wie lassen sich die erzielten Resultate im Kontext der Aufgabenstellung interpretieren? Sind die Anforderungen der Aufgabenstellung damit erfüllt?

56 Was muss notiert werden? Ergebnis der Sitzung einer CIMS-Arbeitsgruppe vom (GSB, IEG, CPG, Süderelbe) Man wird nicht alle Einzelfälle erörtern können, gewisse Prinzipien lassen sich aber formulieren: 1.Man muss den mathematischen Zusammenhang, den man mit dem Rechner bearbeiten will, in mathematisch sauberer Form notieren. Das ist z.b. eine Gleichung, ein lineares Gleichungssystem, eine Funktionsgleichung etc. 2.Diese mathematische Formulierung muss so weit auf dem Papier umgeformt werden, bis man sie direkt in den Rechner eingeben kann. 3.Es ist nicht generell nötig, in der Darstellung der Ergebnisse auf den Einsatz des Rechners hinzuweisen. Ausnahme: Es wird in der Aufgabenstellung explizit gefordert (z.b. wenn bei mehreren Alternativen deutlich werden soll, in welcher Art genau der Rechner benutzt wurde).

57 4.Überflüssig ist die Beschreibung der Knöpfe, die man gedrückt hat ("und dann habe ich das Zeichen für gedrückt und dann..."). Allerdings kann es hilfreich sein, wenn jemand auf ein offenbar unsinniges Resultat kommt, die TC- Eingabe sozusagen Faksimile wiederzugeben, sodass man als Lehrkraft gezielter den Fehler analysieren kann. 5.Es wird die korrekte und fachgerechte Verwendung von Formalismen und Schreibweisen verlangt. Die Darstellung muss ausführlich, vollständig, verständlich und kleinschrittig sein. Sie soll im Prinzip für jeden Mitschüler mit durchschnittlichem mathematischen Verständnis nachvollziehbar sein. 6.Das Skizzieren von Graphen in einem sinnvollen Ausschnitt mit sachangemessenen Beschriftungen ist ein wichtiger Teil der Dokumentation des Bearbeitungsweges. Erwartet und damit bewertet werden kann es jedoch nur, wenn es in der Aufgabenstellung explizit gefordert wird.

58 Überblick 1. Vision und Mehrwert eines rechnergestützten MU, Rechnerpotenzial einer Aufgabe 2. Projekterkenntnisse auch zu Risiken und Nebenwirkungen des Technologieeinsatzes (Hessen, CAliMERO, TIM, CIMS) 3. Unterrichtskonzept Projekt CAliMERO (Niedersachsen), 4. Zusammenfassung und Ausblick

59 Differenzierungspotenzial (auch durch Rechnereinsatz) Welche unterschiedlichen Möglichkeiten gibt es, einen der Aufgabe zugrunde liegenden Sachverhalt auszudrücken? Werden diese unterschiedlichen Möglichkeiten auch durch den Rechnereinsatz realisiert? (z.b. Wertgleichheit von Termen überprüfen mittels geometrischer Interpretation, Wertetabelle, Graph) Welche unterschiedlichen Lösungswege sind bei der Aufgabe möglich? Eröffnet der Rechnereinsatz bei der Aufgabe zusätzliche Lösungswege für die Schüler? Liefert der Rechner insbesondere Möglichkeiten zum Ausprobieren, zum Experimentieren? Sind verschiedene Bearbeitungsniveaus der Aufgabe möglich?

60 Langfristiger Kompetenzaufbau mit GTR/CAS binnendifferenziert : - Zielklarheit sichern (Mind map, Checkliste) - Selbstregulation fördern, Kontrollmöglichkeiten bieten - Arbeiten mit niedrigschwelligen Aufgaben mit aufsteigenden Teilaufgaben in der Schwierigkeit und Offenheit (Blütenmodell) für selbständige oder Partnerarbeit - Arbeiten mit eingangsoffenen Aufgaben (Trichtermodell) in heterogenen Kleingruppen mit gegenseitiger Unterstützung Keine Lösungswege mit dem Rechner vorschreiben, aber Muster und klare Orientierungen geben für Erwartungsbilder an die Dokumentation (Berücksichtigung der Vielfalt kognitiver Stile) - Werkzeugkompetenz unterstützen (TC-Hilfen) - Basiswissen ausweisen und Lerngelegenheiten zum Wachhalten

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