Die Ablaufplanung ist die Grundlage einer detaillierten prozeduralen Planung der Termin-, Kosten- und Leistungsziele in einem Projekt.

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3 Die Ablaufplanung ist die Grundlage einer detaillierten prozeduralen Planung der Termin-, Kosten- und Leistungsziele in einem Projekt. Sie ermöglicht die vorausschauende Entwicklung von Planungsalternativen sowie die Vorsorge vor Risiken durch Vorhalten von Zeit- und Kapazitätspuffern. Schwachstellen, z.b. hinsichtlich der Durchführungsdauer von Arbeitspaketen oder der Zuordnung von Einsatzmitteln, werden identifiziert und ermöglichen eine frühzeitige Korrektur der Projektstruktur. Die Ablaufplanung baut auf dem Projektstrukturplan auf und zerlegt bei Bedarf die dort enthaltenen Arbeitspakete in kleinere Einheiten, sog. Vorgänge, um Durchführungsdauern, benötigtes Personal, benötigte Maschinen und Anlagen etc. leichter schätzen und einplanen zu können. Die Zerlegung folgt demselben Prinzip wie beim Arbeitspaket, nämlich dass ein Vorgang ohne Unterbrechung durchgeführt werden kann und die Verwendung der Einsatzmittel in gleich bleibenden Mengen je Zeiteinheit möglich ist. Nach Terminierung aller zu erledigenden Arbeitspakete sowie der zugehörigen Vorgänge wird der Ablaufplan in den Terminplan überführt. Dieser stellt den Fahrplan des Projektes dar. Die Terminplanung liefert die zeitlichen Soll-Vorgaben und führt einen Vergleich mit den kontinuierlich während der Projektdurchführung erfassten Ist-Zeiten durch. Zur Unterstützung der systematischen Erzeugung, Berechnung und Optimierung von Ablaufplänen sowie der darauf aufbauenden Terminplanung hat sich bei komplexen Vorhaben die Netzplantechnik sehr bewährt. Sie ist ein graphentheoretisches Hilfsmittel, das in Zusammenwirken mit anderen Planungsinstrumenten ein erfolgreiches Projektmanagement ermöglicht. Nutzen der Netzplantechnik: - Systematisches Durchdenken, Planen und Steuern des Projektablaufs - Identifikation sachlogischer Schwachstellen in der Projektplanung - Berechnung zeitlicher Puffer und des kritischen Pfades - Eindeutiges Terminieren der Vorgänge - Informationsmedium für die Kooperation zwischen Projekt- und Linienmanagement.

4 Wie bereits in der vorherigen Lehreinheit dargestellt wurde, entwickelte Henry L. Gantt Ende des 19. Jahrhunderts erste Hilfsmittel für die Arbeitsplanung. Sie bezogen sich vorrangig auf die grafische Darstellung der gesamten Arbeitszeit produktiver Maschinen sowie der Ereignisse, die zu einer Minderung der Produktivität führten. Die Darstellung erfolgt in Form von Balkendiagrammen, sog. Gantt-Charts, in denen bei Bedarf zusätzlich Abhängigkeiten zwischen den Fertigungsvorgängen modelliert werden können (siehe Folie 11-18). Aufgrund des zunehmenden Umfangs der Projekte, der Dezentralisierung von Planungs- und Überwachungsfunktionen und der unzureichenden mathematischen Formalisierung der Planungsverfahren entstand in den 50er Jahren des vergangenen Jahrhunderts die Netzplantechnik. Die 1956 in den USA und Europa einsetzende Entwicklung, die aus der Elektrotechnik bekannte Netzwerktechnik auch bei der Planung und Durchführung größerer Projekte zu verwenden, resultierte 1957 in der von Walker und Kelley entworfenen Critical Path Method (CPM). Fast zeitgleich, jedoch unabhängig voneinander entstand im Auftrag der US-Navy im Rahmen des Polaris-Projektes die Program Evaluation and Review Technique (PERT) und in Frankreich die Metra-Potential-Methode (MPM). Die besondere methodische Herausforderung im Polaris-Projekt bestand darin, dass erhebliche Teile der Entwicklung sowie Fertigung der Baugruppen und Komponenten an Zulieferer vergeben werden mussten. Daher konnte der Zeitbedarf für die Bearbeitung von wesentlichen Arbeitspaketen nicht exakt geschätzt werden. Die Unsicherheit in der Schätzung wurde durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen repräsentiert (siehe Folie ff.). Im Gegensatz zu CPM und MPM ist PERT daher eine stochastische Netzplantechnik-Methode. Ausgehend von diesen Ansätzen wurden vielfältige verfeinerte und modifizierte Methoden entwickelt (siehe Schwarze 2001). Allen Varianten liegen jedoch ähnliche graphentheoretische Grundkonzepte zugrunde, die im Folgenden erläutert werden.

5 Die Netzplantechnik ist die zentrale formale Methode zur Erfassung, Aufbereitung, Darstellung und Überwachung der zahlreichen Planungsparameter, einflussgrößen und daten eines Projektes auf der Ebene von Vorgängen. Der Projektplaner sieht sich der Herausforderung gegenüber, das Vorhaben detailliert und gründlich zu durchdenken. In dieser Planungsphase gilt es, Schwachstellen in Struktur und Sequenz aufzudecken sowie wichtige Entscheidungen zur Zuordnung von Mitarbeitern und Sachmitteln vorzubereiten. Ein Vorteil der Netzplantechnik ist die systematische Differenzierung des zu planenden Projektes in Teilaufgaben, Arbeitspakete und schließlich Vorgänge sowie die Verkettung der Vorgänge in Verbindung mit den wesentlichen Ereignissen zu einem einheitlichen Ablaufplan. Der Netzplan enthält den aus Sicht des Planers vollständigen, auf die erfolgreiche Erreichung des Projektziels ausgerichteten und widerspruchsfreien Ablauf mit allen essentiellen Vorgängen, Ereignissen und Anordnungsbeziehungen. Mit Hilfe des prognostizierten Zeitbedarfs der Vorgänge kann die Vorwärts- und Rückwärtsterminierung des Netzplans vorgenommen werden, die die Ermittlung der kritischen und nichtkritischen Vorgänge ermöglicht. Die Folge der Identifikation kritischer Vorgänge ist der sogenannte kritische Pfad, der die Gesamtdauer des Projektes determiniert. Zudem werden zeitliche Engpässe im Projekt ausgewiesen. Nichtkritische Vorgänge verdeutlichen Zeitspannen (sog. Pufferzeiten), um die ein Vorgang zeitlich verschoben werden kann, ohne den Projektabschluss zu gefährden. Die Einbeziehung von Kosten, Personal- und Sachmittel-Kapazitäten in einer integrierten Netzplantechnik macht die Methode zu einem umfassenden Instrument zur Zeit-, Kosten- und Einsatzmittelplanung sowie zur Überwachung und Steuerung von Projekten (Reichert 1994).

6 Der Netzplan ist die zweckmäßigste Art zur Darstellung von Vorgängen, die prozedural voneinander abhängig sind und ein gewisses Zeitintervall zur Bearbeitung benötigen. Es wird zwischen einer sequentiellen und parallelen Verknüpfung der Vorgänge in einem Netzplan unterschieden. Bei einer Sequenz von Vorgängen folgen zwei oder mehrere Vorgänge zeitlich aufeinander. Bei Parallelvorgängen erfolgt eine sog. UND-Verzweigung (siehe Folien und 11-17) und eine entsprechende UND-Zusammenführung. Die Reihenfolgebedingung besagt dabei, dass mehrere Vorgänge erst dann parallel bearbeitet werden können, wenn deren Vorgänger (vorhergehende Vorgänge) abgeschlossen sind. Für eine parallelisierte Bearbeitung müssen natürlich auch genügend Personal- und Einsatzmittel zur Verfügung stehen. Die grafische Darstellung eines Netzplans ist ein Anwendungsgebiet der Graphentheorie. In diesem Zusammenhang muss zwischen Darstellungs- und Ablaufelementen differenziert werden: Die Darstellungselemente Knoten und Pfeil sind reine Modellelemente aus der Graphentheorie; die Ablaufelemente Vorgang, Ereignis und Anordnungsbeziehung sind hingegen strukturgebende Ausdrucksmittel des Planers, um die Ablauforganisation im Projekt verbindlich festzulegen. Beispielsweise sind Meilensteine nach Folie 9-33 Ereignisse besonderer Art, die typischerweise Phasenübergänge kennzeichnen. Daher wird die erstellte Leistung zum Meilensteintermin intensiv geprüft, um eine Fehlerfortpflanzung zu verhindern. Je nach Netzplanart haben die Darstellungselemente unterschiedliche Bedeutungen (siehe Folie 11-8). Ausgehend von der oben auf der Folie aufgeführten Definition nach DIN ergeben sich zwischen der Netzplantechnik und dem Projektcontrolling (siehe Lehreinheit 12) Gemeinsamkeiten hinsichtlich des Aufgabenspektrums. Eine moderne Interpretation des Projektcontrollings versteht die Netzplantechnik als Werkzeug, das neben der Unterstützung der Ablauf- und Terminplanung auch der zielgerichteten Verfolgung des Arbeitswerts und des Projektfortschritts dient (Fiedler 2008; Koreimann 2005). Besonders bei der Durchführung lang andauernder und umfangreicher Projekte kann die Netzplantechnik wertvolle Unterstützung leisten, denn sie zwingt zur systematischen Planung und fördert die Zusammenarbeit der Projektbeteiligten (Burghardt 2007; Schelle et al. 2008).

7 Wie bereits erwähnt, kann die Graphentheorie als mathematische Grundlage der Netzplantechnik aufgefasst werden. Nach Neumann und Morlock (2002, S. 176f.) stellt die Graphentheorie die Elemente, Relationen und Begriffe zur grafischen Modellierung von Netzplänen bereit. Allgemein besteht ein Graph aus einer nichtleeren Menge von Knoten, die in Abhängigkeit vom verwendeten Netzplanverfahren einem Ereignis oder einem Vorgang entsprechen. Knoten werden als Kreise oder Kästchen dargestellt und durch Kanten verbunden. Die Kanten ungerichteter Graphen besitzen keine Orientierung. In der Netzplantechnik sind jedoch fast ausschließlich gerichtete Graphen anzutreffen. Hierbei werden Kanten als Pfeile gezeichnet und symbolisieren einen Vorgang oder eine Anordnungsbeziehung zwischen zwei Knoten. Unter einer Anordnungsbeziehung ist nach DIN eine quantifizierbare Abhängigkeit zwischen einem Ereignis oder einem Vorgang zu verstehen. Durch die Festlegung der Anordnungsbeziehungen können die inhaltlich-technischen Zusammenhänge definiert werden. Hierdurch wird beispielsweise festgelegt, wie die Folgebedingungen der Vorgänge sind (Normal-, Anfangs-, End-, Sprungfolge, siehe Folie sowie Folie ff.) und wie die minimalen bzw. maximalen Zeitabstände zwischen Vorgängen sein sollen (MINZ bzw. MAXZ, siehe Folie 11-18). Die Anordnungsbeziehungen determinieren auch, ob Vorgänge als voneinander unabhängig betrachtet werden können und somit (zumindest teilweise) parallel abgearbeitet werden können. Wege durch einen Netzplan führen entlang der Anordnungsbeziehungen von einem Start- zu einem Zielvorgang (Schelle et al. 2008; Schwarze 2001; Corsten und Corsten 2000). Bei der Ablaufmodellierung mit den im Folgenden dargestellten Netzplanarten ist darauf zu achten, dass keine Schleifen (Zyklen) im Ablauf entstehen. Sie sind unzulässig.

8 Netzpläne können in Vorgangspfeil- (VPN), Vorgangsknoten- (VKN) und Ereignisknoten-Netzpläne (EKN) untergliedert werden. Für diese drei Netzplanarten lassen sich weiterhin zwei Methodenklassen unterscheiden: 1) Bei deterministischen Netzplänen ist jeder Vorgang zwingend auszuführen, und die Basisinformationen zu den Elementen, wie beispielsweise die Dauer, liegen a priori ohne Unsicherheit bzw. ohne Schätzfehler vor. Typische Vertreter dieser Klasse sind wie erwähnt die Critical Path Method (CPM) als VPN- Netzplantechnik und die Metra-Potential-Methode (MPM) als VKN- Netzplantechnik. 2) Im Gegensatz zu den deterministischen Netzplänen können stochastische Netzpläne alternative Projektabläufe oder einen fluktuierenden Zeitverbrauch mit Hilfe von Zufallsvariablen und damit unter Zugrundelegung einer statistischen Verteilung abbilden. Typische Vertreter dieser Klasse sind die General Activity Networks (GAN) und die Graphical Evaluation and Review Technique (GERT) (Burghardt 2007). Auch die Program Evaluation and Review Technique (PERT) ist den stochastischen Netzplänen zuzuordnen, da der Zeitverbrauch zwischen Ereignissen in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen modelliert werden kann (siehe Folie 11-27). In der Literatur werden die Critical Path Method (CPM), die Metra-Potential-Methode (MPM) und die Program Evaluation Review Technique (PERT) als die drei wichtigsten Methoden der Netzplantechnik bezeichnet. Wie man im unteren Bereich der Folie ersehen kann, unterscheiden sie sich in erster Linie hinsichtlich ihrer formalen Darstellung und der Verwendung der grundlegenden Ablaufelemente. Darüber hinaus sind aufgrund der unterschiedlichen Methodenklassen die Berechnungsvorschriften verschieden.

9 Literaturanalysen zeigen, dass CPM der bedeutendste Vertreter der Vorgangspfeil- Netzpläne ist. Wie bereits beim historischen Abriss auf Folie 11-4 erwähnt, wurde die Methode 1957 vom amerikanischen Chemiekonzern DuPont de Nemours in Zusammenarbeit mit der Remington Rand Corp. entwickelt, um große Investitionsvorhaben sowie Instandhaltungsarbeiten bei Chemieanlagen systematisch zu planen und zu überwachen. Heutzutage wird das Verfahren auch in der Automobilindustrie sowie der Luft- und Raumfahrtindustrie gerne für die Planung von F&E-Projekten sowie Investitionsvorhaben genutzt. CPM ist vor allem in angelsächsischen Ländern verbreitet. Die Methode ist vorgangsorientiert und verwendet Pfeile zur Darstellung von Vorgängen. Jeder Vorgang muss eineindeutig durch zwei Ereignisse berandet ( eingerahmt ) sein. Gleichzeitig drücken die Pfeile Anordnungsbeziehungen zwischen den als Knoten dargestellten Ereignissen aus. Die Knoten verknüpfen das Ende eines Vorgangs mit dem Anfang eines neuen Vorgangs. Eine Verknüpfung der Pfeile erfolgt entsprechend der Reihenfolge der Vorgänge im Projektablauf (Schwarze 2001; Schelle et al. 2008). Die Vorgangsdauer in [Zeiteinheit] steht unter dem Pfeil bzw. in Pfeilrichtung betrachtet rechts neben dem Pfeil.

10 Vorgangspfeil-Netzpläne wurden zunächst für die Modellierung der Reihenfolge von Tätigkeiten in großen Investitionsvorhaben konzipiert. Die Reihenfolgebedingung besagt, dass ein oder mehrere Vorgänge erst dann beginnen können, wenn deren Vorgänger (vorhergehende Vorgänge) abgeschlossen sind (Altrogge 1996). Beim Zeichnen eines Vorgangspfeil-Netzplans sollten die fünf im Bild dargestellten Regeln beachtet werden. Zusätzlich ist darauf zu achten, dass der Ablaufplan mit genau einem Ereignis beginnt und endet. Mit der Vorgangspfeil-Netzplantechnik ist es mitunter in komplexen Projekten nicht möglich, die Ablauforganisation alleine durch die Verknüpfung von Ereignisknoten eindeutig wiederzugeben. Zur grafischen Darstellung von tatsächlich gegebenen Abhängigkeiten, die allerdings keine wirklichen Vorgänge mit einer bestimmten Dauer sind, muss in solchen Fällen ein sog. Scheinvorgang verwendet werden. Scheinvorgänge werden durch einen gestrichelten Pfeil repräsentiert. Sie stellen i.d.r. die Synchronisation von parallelen Vorgängen mit gemeinsamen Anfangs- und Endereignissen her und haben die Dauer Null (Reichert 1994). Zudem darf es keine zwei Vorgänge im Plan geben, die dieselben Anfangs- und Endereignisse haben. Um diese Regel einzuhalten, stellen Scheinvorgänge ein wichtiges Ablaufelement in Vorgangspfeil-Netzplänen dar.

11 Shtub et al. (2005, S. 401 ff.) leiten die Modellierungsregeln für CPM-Netzpläne direkt an dem zugrundeliegenden gerichteten Graphen ab. Knoten des gerichteten Graphen repräsentieren Ereignisse des Netzplans. Ein Pfeil verbindet genau zwei Knoten miteinander und repräsentiert somit genau einen Vorgang des Netzplans. Es gelten dabei folgende Regeln (Shtub et al. 2005): 1. Jeder Vorgang wird durch genau einen Pfeil im Netzplan repräsentiert. 2. Keine zwei Vorgänge besitzen dieselben Anfangs- und Endereignisse. 3. Beim Hinzufügen eines neuen Vorgangs zum Netzplan muss untersucht werden, welche Vorgänge unmittelbar beendet sein müssen, bevor dieser Vorgang starten kann (Vorgänger-Beziehungen), welche Vorgänge unmittelbar auf diesen Vorgang folgen (Nachfolger-Beziehungen) und welche Vorgänge parallel (zeitgleich, synchron) zu diesem Vorgang ausgeführt werden. Shtub et al. (2005) zeigen einen Beispielprozess, bestehend aus den fünf Vorgängen A, B, C, E und F, der im Bild mithilfe der aus der 9. Übung bekannten Business Process Model and Notation (BPMN) gezeichnet wurde. BPMN ist eine grafische Spezifikationssprache, die meist in der Ablaufoptimierung Anwendung findet. Sie stellt Symbole zur Verfügung, mit denen Arbeitsabläufe modelliert und dokumentiert werden können (White 2004). Unter Beachtung der gegebenen Vorgänger-Nachfolger-Beziehungen kann der CPM- Netzplan im Beispiel nur korrekt gezeichnet werden, indem ein zusätzliches Endereignis für den Vorgang B eingefügt wird. Dieses Ereignis wird jeweils mit einem Scheinvorgang mit den Anfangsereignissen der Vorgänge E und F verknüpft.

12 Der hier dargestellte Netzplan beschreibt beispielhaft ein Projekt zur Konstruktion, Fertigung und Montage einer Maschine durch einen Auftragsfertiger. Ausgehend von der Liste der Arbeitsvorgänge, ihrer geschätzten Dauer sowie der zu berücksichtigenden Vorgänger-Nachfolger-Beziehungen kann ein Netzplan mit Hilfe der Critical Path Method (CPM) aufgestellt werden. Der Projektplaner ist insbesondere an der Gesamtprojektdauer interessiert, er möchte aber auch wissen, welche maximalen Pufferzeiten zwischen Ereignissen bestehen (siehe kritischer Pfad, Folie 11-15). Dazu werden für jedes Ereignis der frühest mögliche Zeitpunkt (siehe Vorwärtsterminierung, Folie 11-13) und der spätest mögliche Zeitpunkt (siehe Rückwärtsterminierung, Folie 11-14) für das Eintreten berechnet. Der Projektbeginn wird normalerweise durch das Ereignis mit der Nummer eins im Netzplan gekennzeichnet. Das Projektende wird hingegen durch den Knoten mit dem spätest möglichen Zeitpunkt (für das Eintreten eines Abschlussereignisses) repräsentiert.

13 Die Vorwärtsterminierung ist ein Verfahren zur Bestimmung der frühest möglichen Zeitpunkte für das Eintreten der Ereignisse im Vorgangspfeil-Netzplan. Für die nachfolgende Beschreibung des Verfahrens wird vorausgesetzt, dass die Ereignisse im Netzplan beginnend mit eins lückenlos aufsteigend nummeriert sind. Das heißt, für jeden Vorgang mit dem Anfangsereignis i und dem Endereignis j gilt immer i < j. Insgesamt gibt es n Ereignisse. Schritt 1: Setze den frühest möglichen Zeitpunkt für das Eintreten des Ereignisses i = 1 (Zeitpunkt des Projektbeginns) gleich Null bzw. einem vorgegebenen Wert t 0, d.h. FZ(1) = 0 bzw. FZ(1) = t 0. Fahre fort mit dem nächsten Knoten j = i + 1. Schritt 2: Für alle in Ereignis j mündenden Vorgänge bestimmt man den frühest möglichen Zeitpunkt des Vorgängerereignisses i plus die Dauer des Vorganges zwischen den Ereignissen i und j. Als frühest möglicher Zeitpunkt für das Eintreten des Ereignisses j wird der größte dieser Werte gewählt: FZ(j) = max{fz(i) + D(i,j)} Schritt 3: Wiederhole Schritt 2 für alle Nachfolgerereignisse bis das Zielereignis i = n erreicht ist. Bemerkung: Sind die Ereignisse beliebig nummeriert, dann wählt man in jedem Schritt ein Ereignis, für das bereits für alle Vorgängerereignisse ein frühester Zeitpunkt bestimmt wurde.

14 Die Rückwärtsterminierung ist das komplementäre Verfahren zur Bestimmung der spätest möglichen Zeitpunkte für das Eintreten der Ereignisse im Vorgangspfeil- Netzplan. Schritt 1: Setze den spätest möglichen Zeitpunkt für das Eintreten des Ereignisses n (Zeitpunkt des Projektendes) gleich dem frühest möglichen Zeitpunkt für das Eintreten dieses Ereignisses: SZ(n) = FZ(n) Schritt 2: Für alle von Ereignis i < n abgehenden Vorgänge bestimmt man den spätest möglichen Zeitpunkt für das Eintreten des Nachfolgerereignisses j n minus die Dauer des Vorganges zwischen den Ereignissen i und j. Als spätest möglicher Zeitpunkt für das Eintreten des Ereignisses i wird der kleinste dieser Werte gewählt: SZ(i) = min{sz(j) D(i,j)} Schritt 3: Wiederhole Schritt 2 für alle Vorgängerereignisse bis das Startereignis i = 1 erreicht ist.

15 Die gesamte Pufferzeit GP ist definiert als Zeitspanne zwischen frühest und spätest möglichem Zeitpunkt für das Eintreten eines Ereignisses i: GP(i) = SZ(i) FZ(i). Der kritische Pfad ist definiert als Pfad im Netzplan, der das Anfangsereignis 1 sowie das Endereignis n einschließt und ausschließlich solche Ereignisse beinhaltet, deren Gesamtpufferzeit gleich Null ist. Hierbei sind Scheinvorgänge zwingend mit einzuschließen. Beim Berechnen eines Netzplans mittels Vorwärts- und Rückwärtsterminierung ergibt sich mindestens eine durchgehende Folge von Ereignissen auf dem kritischen Pfad. Im beispielhaft modellierten Projekt ergibt sich der kritische Pfad zwischen den Ereignissen Alle Vorgänge auf dem kritischen Pfad sind prinzipiell zeitkritisch. Jede zeitliche Verspätung dieser Vorgänge führt zu einer Verzögerung des Projektendtermins. In dem dargestellten Beispiel besitzt lediglich Ereignis 5 eine Differenz zwischen frühest und spätest möglichem Zeitpunkt für das Eintreten. Das bedeutet, dass in diesem Fall der vorgelagerte Vorgang zur Vormontage von Baugruppe A um maximal vier Zeiteinheiten verzögert der verlängert werden kann, ohne den Projektendtermin zu gefährden.

16 Die Metra-Potential-Methode (MPM) wurde 1958 von der Unternehmensgruppe Metra entwickelt und erstmals beim Bau des Kreuzfahrtschiffs Le France eingesetzt. Dieses Verfahren ist für die Planung großer F&E-Projekte sowie Investitionsvorhaben in der Industrie weit verbreitet. So wurde MPM bspw. von der Electricité de France zur Terminplanung für den Bau des ersten französischen Atomkraftwerkes eingesetzt. Ursprünglich wurden meist nur Anfangs- und Normalfolgen formuliert. Mit MPM lassen sich jedoch auch andere Anordnungsbeziehungen leicht abbilden und in die Berechnung des kritischen Pfades bzw. von Pufferzeiten einbeziehen (siehe Folie 11-18). MPM bildet die Grundlage für deterministische Planungsalgorithmen, die heutzutage in diversen Softwaresystemen implementiert sind. Anders als bei CPM stehen bei MPM nicht die im Projekt eintretenden Ereignisse, sondern die Vorgänge im Vordergrund der grafischen Ablaufmodellierung. Dabei werden die durchzuführenden und zu kontrollierenden Vorgänge als Knoten im Netzplan modelliert und in Form rechteckiger Kästchen visualisiert. Die Knoten bieten Möglichkeiten zur Aufnahme weiterer Informationen über das Projektgeschehen, z.b. hinsichtlich der frühesten und spätesten Anfangs- und Endzeitpunkte des jeweils betrachteten Vorgangs, der erwarteten Dauer sowie Pufferzeiten. Hierfür finden sich unterschiedliche Darstellungselemente (vgl. Landau et al. 2004; Schelle et al. 2008). Ereignisse werden nicht explizit abgebildet. Sie können jedoch ohne Weiteres als Scheinvorgang mit der Dauer Null eingefügt werden. Dies ist insbesondere für Meilensteine zu empfehlen.

17 Zur Erläuterung der oben dargestellten Grundregeln sollen einfache Beispiele aus der Projektplanung bei einem Auftragsfertiger dienen, die an das CPM-Beispiel von Folie angelehnt sind: Eine sequentielle Beziehung ohne Verzweigung ist der häufigste Fall in einem Vorgangsknoten-Netzplan. Ein nachfolgender Vorgang folgt auf einen vorhergehenden Vorgang. Der Nachfolger kann erst beginnen, wenn der Vorgänger abgeschlossen ist. Z.B. kann erst mit dem Auftragen des Schutzanstriches begonnen werden, wenn die Endkontrolle erfolgreich verlaufen ist. Eine UND-Verzweigung zwischen einem Vorgänger und mehreren Nachfolgern ist dann erforderlich, wenn die Vorgänge parallel ausgeführt werden können und diese sich nicht gegenseitig beeinflussen. Z.B. kann nach der Vorfertigung der Eigenteile und der Beschaffung von Fremdmaterial die Vormontage verschiedener Baugruppen zur gleichen Zeit durchgeführt werden. Eine UND-Verzweigung führt immer zu einer UND-Zusammenführung. Z.B. erfolgt nach der parallel ausgeführten Vormontage einzelner Baugruppen die Endmontage aller Baugruppen zu einem Produkt. Parallelvorgänge, bestehend aus einer UND-Verzweigung und einer anschließenden UND-Zusammenführung, können beispielsweise auch projektübergreifende Controlling-Vorgänge repräsentieren, die zu Beginn des Projektes begonnen werden und während des gesamten Projektes nebenläufig zu allen anderen Vorgängen durchgeführt werden. Wie bereits auf der vorherigen Folie angedeutet wurde, lassen sich Meilensteine, die zum Beispiel aus dem Projektstrukturplan übertragen werden sollen, in einem MPM- Netzplan als Scheinvorgänge mit der Dauer Null einfügen.

18 Wie bereits in Lehreinheit 10 erläutert wurde, ist es in der Praxis häufig notwendig, Vorgänge teilweise überlappend auszuführen bzw. abzuarbeiten, beispielsweise bei der simultanen Produkt- und Prozessentwicklung. Zudem muss es möglich sein, zeitliche Mindest- und Höchstabstände zwischen einzelnen Vorgängen zu definieren, die ein Projektteam oder mitarbeiter einzuhalten hat. Anordnungsbeziehungen ermöglichen dem Projektplaner sowohl die Synchronisationsbedingungen von Vorgängen festzulegen als auch zeitliche Abstände zwischen Vorgängen vorzugeben. Die Anordnungsbeziehungen werden in Form von Pfeilen zwischen den Vorgängen gezeichnet und legen die sachlogische Reihenfolge fest, in der die Vorgänge innerhalb eines Projektes bearbeitet werden. Die Pfeilspitze gibt die Richtung des Bearbeitungsablaufs an. Es lassen sich Normalfolge (NF), Anfangsfolge (AF), Endfolge (EF) und Sprungfolge (SF) unterscheiden (siehe Folien ff.). Bei minimalem Zeitabstand (MINZ) stehen Typ (NF, AF, EF oder SF) und Zeitwert oberhalb, bei maximalem Zeitabstand (MAXZ) unterhalb des Pfeils. Die Abbildung enthält neben der normgerechten (DIN 69900) Darstellung noch eine freie Darstellung nach Schelle et al. (2008), die leichter zu verstehen ist.

19 In sachlich begründeten Fällen kann wie bereits in der Lehreinheit 10 erwähnt eine Anordnungsbeziehung zwischen zwei Vorgängen sowohl mit einem minimalen als auch mit einem maximalen Zeitabstand versehen werden. Die oben dargestellte Abbildung verdeutlicht zwei mögliche Kombinationen aus MINZ und MAXZ bei positiven oder negativen Zeitabständen für eine Normalfolge sowie die erlaubten Grenzen, innerhalb derer sich der Nachfolger befinden darf ohne gegen die Anordnungsbeziehung zu verstoßen. In dem ersten Beispiel sind die Vorgänge A und B in einer Normalfolge mit MINZ = 3 und MAXZ = 7 angeordnet. MINZ und MAXZ definieren den erlaubten Bereich für die früheste und späteste Anfangszeit des Nachfolgers B. So ist zwischen dem Ende von Vorgang A und dem Beginn von Vorgang B eine minimale Wartezeit von drei Zeiteinheiten einzuhalten. Der Vorgang B muss allerdings spätestens sieben Zeiteinheiten nach dem Ende von Vorgang A beginnen. Für negative minimale und maximale Zeitabstände verhält es sich analog, wie in dem zweiten Beispiel zu sehen ist: Der negative minimale Zeitabstand definiert die maximale Vorziehzeit des Nachfolgers, d.h., in dem Beispiel dürfte Vorgang B frühestens fünf Zeiteinheit vor dem Ende von Vorgang A beginnen. Der negativem maximale Zeitabstand definiert die minimale Vorziehzeit, d.h., der Nachfolger B muss spätestens eine Zeiteinheit vor dem Ende von Vorgang A beginnen. Durch Wahl gleicher Zeitabstände für MINZ und MAXZ erreicht man, dass beide Vorgänge (Vorgänger und Nachfolger) unverrückbar aneinander gebunden werden. In diesem Fall sind die minimale und die maximale Wartezeit (für positive Zeitabstände) bzw. die minimale und die maximale Vorziehzeit (für negative Zeitabstände) identisch (Schelle et al. 2008). Minimale und maximale Zeitabstände lassen sich folglich beliebig kombinieren, so dass sich dem Projektplaner eine Vielzahl an Gestaltungsmöglichkeiten bietet. Die Bedingung MINZ MAXZ ist bei gleichen Anordnungsbeziehungen in jedem Fall einzuhalten. Darüber lassen sich minimale und maximale Zeitabstände für unterschiedliche Anordnungsbeziehungen definieren, bspw. ein minimaler Zeitabstand für eine Anfangsfolge und ein maximaler Zeitabstand für eine Endfolge. Hierbei ist jedoch Vorsicht geboten, da leicht Widersprüche auftreten können. Sie sind durch entsprechende Korrekturmaßnahmen zu beseitigen).

20 In der Darstellung wurde das aus Folie bereits bekannte CPM-Beispiel zur Konstruktion, Fertigung und Montage einer Maschine durch einen Auftragsfertiger erneut aufgegriffen und mit Hilfe der Metra-Potential-Methode in einen Vorgangsknoten-Netzplan überführt. Wie man leicht sieht, repräsentieren im Gegensatz zum Vorgangspfeil-Netzplan die Knoten in einem MPM-Netzplan die Arbeitsschritte im Projekt, die in sachlogischer Reihenfolge miteinander verknüpft sind. Der Netzplan wurde aus Gründen der Vereinfachung so aufgestellt, dass ausschließlich Normalfolgen mit einem minimalen Zeitabstand von Null auftreten. Dieser Zeitabstand ist über der Anordnungsbeziehung explizit angegeben. Ferner wurden die Meilensteine zu Projektbeginn und zum Projektende aus Platzgründen weggelassen. Wie erwähnt, enthält ein Knoten im Graphen folgende Variablen: - Knotennummer - Vorgangsbezeichnung - Dauer - Frühester Anfangszeitpunkt - Spätester Anfangszeitpunkt - Frühester Endzeitpunkt - Spätester Endzeitpunkt - Gesamte Pufferzeit.

21 Grundregel: Ein Vorgang kann frühestens anfangen, wenn alle seine unmittelbaren Vorgänger beendet sind. Der früheste Anfangszeitpunkt ergibt sich damit als maximaler frühester Endzeitpunkt dieser Vorgänger unter Berücksichtigung des minimalen Zeitabstandes MINZ. Das grundsätzliche Vorgehen ist wie folgt: Schritt 1: Bestimme den frühestmöglichen Anfangszeitpunkt des Startvorgangs 1. Falls kein anderer Wert vorgegeben ist, setze für den Startvorgang FAZ(1) = 0. Schritt 2: Berechne den frühesten Endzeitpunkt des Startvorgangs 1, indem die Dauer des Vorgangs zu dem frühesten Anfangszeitpunkt addiert wird: FEZ(1) = FAZ(1) + D(1) Schritt 3: Suche den Vorgang i+1, dessen FAZ(i+1) und FEZ(i+1) noch nicht bestimmt wurden und für dessen Vorgänger FAZ und FEZ bereits vorliegen. Schritt 4: Bestimme aus den frühesten Endzeitpunkten aller Vorgänger den maximalen Wert. Dieser Wert determiniert den frühesten Anfangszeitpunkt FAZ(i+1) sowie den frühesten Endzeitpunkt FEZ(i+1) des Vorgangs i+1 nach den im Bild für die vier Anordnungsbeziehungen angegebenen Rekursionsgleichungen. Schritt 5: Wiederhole die Schritte 3 bis 4 solange, bis für alle Vorgänge FAZ und FEZ bestimmt wurden.

22 Grundregel: Ein Vorgang muss spätestens zu dem Zeitpunkt beendet sein, an dem seine unmittelbaren Nachfolger beginnen sollen. Der späteste Endzeitpunkt eines Vorgangs ergibt sich damit als minimaler spätester Anfangszeitpunkt dieser Nachfolger. Das Vorgehen ist wie folgt: Schritt 1: Bestimme den spätest möglichen Endzeitpunkt für das Projekt. Falls kein anderer Wert vorgegeben ist, setze für den Zielvorgang SEZ(n) = FEZ(n). Schritt 2: Berechne den spätesten Anfangszeitpunkt für den Zielvorgang, indem die Dauer vom spätesten Endzeitpunkt subtrahiert wird: SAZ(n) = SEZ(n) D(n) Schritt 3: Suche den Vorgang i < n, dessen SAZ(i) und SEZ(i) noch nicht bestimmt wurden und für dessen Nachfolger SAZ und SEZ bereits berechnet wurden. Schritt 4: Bestimme den minimalen spätesten Anfangszeitpunkt der Nachfolger des Vorgangs i. Dieser Wert determiniert den spätesten Anfangszeitpunkt SAZ(i) sowie den spätesten Endzeitpunkt SEZ(i) des Vorgangs i nach den im Bild für die vier Anordnungsbeziehungen angegebenen Rekursionsgleichungen. Schritt 5: Wiederhole die Schritte 3 bis 4 solange, bis für alle Vorgänge SAZ und SEZ bestimmt wurden.

23 Unter Pufferzeit versteht man allgemein die Zeitspanne, um die ein Vorgang zeitlich verschoben werden kann oder um die seine Ausführungszeit ausgedehnt werden kann, ohne zu einer Verlängerung der gesamten Projektdauer zu führen (Landau et al. 2004). Die gesamte Pufferzeit (GP) markiert die Zeitspanne zwischen frühester und spätester Lage eines Vorgangs. Die gesamte Pufferzeit wird folglich unter der Annahme berechnet, dass sich die Vorgänger in frühester, die Nachfolger in spätester Lage befinden. Für Netzpläne, in denen ausschließlich Normalfolgen mit einem minimalen Zeitabstand von Null auftreten, lässt sich die gesamte Pufferzeit eines Vorgangs bei allen Rechenschritten vereinfacht als Differenz zwischen dem spätesten und dem frühesten Endzeitpunkt bzw. zwischen dem spätesten und dem frühesten Anfangszeitpunkt des Vorgangs ausdrücken: GP(i) = SAZ(i+1) FEZ(i) = SEZ(i) FEZ(i) = SAZ(i) FAZ(i). Für Netzpläne mit beliebigen Anordnungsbeziehungen und Zeitabständen muss die gesamte Pufferzeit eines Vorgangs abhängig von der Anordnungsbeziehung, also sachlogisch mit den richtigen Bezugspunkten, nach den hier für minimale Zeitabstände exemplarisch dargestellten Regeln berechnet werden. Besitzt ein Vorgang mehr als einen Nachfolger, so werden die freien Pufferzeiten für alle Nachfolger sachlogisch berechnet und das Minimum aus allen Berechnungen gewählt (Schelle et al. 2008).

24 Die freie Pufferzeit (FP) ist die Zeitspanne, um die ein Vorgang gegenüber seiner frühesten Lage verschoben werden kann, ohne die früheste Lage anderer Vorgänge zu beeinflussen (DIN , Teil 1, Netzplantechnik-Begriffe, August 1987). Die freie Pufferzeit eines Vorgangs kann genutzt werden, ohne die frühestmöglichen Anfangszeitpunkte der Nachfolger oder das Projektende zu gefährden. Der Vorgänger hält sozusagen Sicherheitsabstand zu den Nachfolgern. Für Vorgänge, die in einer Normalfolge ohne minimalen Zeitabstand angeordnet sind, lässt sich die freie Pufferzeit eines Vorgangs vereinfacht als Differenz zwischen dem frühesten Anfangszeitpunkt des Nachfolgers und dem frühesten Endzeitpunkt des Vorgangs ausdrücken: FP(i) = FAZ(i+1) FEZ(i). Für Netzpläne mit beliebigen Anordnungsbeziehungen und Zeitabständen muss die freie Pufferzeit eines Vorgangs abhängig von der Anordnungsbeziehung, also sachlogisch mit den richtigen Bezugspunkten, nach den hier für minimale Zeitabstände exemplarisch dargestellten Regeln berechnet werden ähnlich wie die gesamte Pufferzeit (siehe Folie 11-23). Besitzt ein Vorgang mehr als einen Nachfolger, so werden die freien Pufferzeiten für alle Nachfolger sachlogisch berechnet und das Minimum aus allen Berechnungen gewählt (Schelle et al. 2008). Grundsätzlich gilt, dass Vorgänge auf dem kritischen Pfad eine freie Pufferzeit von Null besitzen (FP=0). Die gesamte Pufferzeit von Vorgängen, die in den kritischen Pfad münden, entspricht deren freien Pufferzeit (GP=FP) (Schelle et al. 2008). Für die hier dargestellten Beispiele haben die Vorgänge i eine freie Pufferzeit von Null (FP=0). D.h., würde der früheste Endzeitpunkt eines Vorgängers i um x [Zeiteinheit] hinausgeschoben werden, so müsste auch der früheste Anfangszeitpunkt des Nachfolgers i+1 um denselben Zeitwert x verschoben werden.

25 Die Vorgangsfolge kennzeichnet den kritischen Pfad im dargestellten Netzplan. Auf dem kritischen Pfad liegen alle Vorgänge, bei denen die früheste und späteste Lage übereinstimmen. Wer sie verschiebt, verändert unweigerlich den Projektendtermin. In der Vorgangskette 4-6 haben beide Vorgänge jeweils einen gesamten Puffer von vier Zeiteinheiten. Dieser Puffer steht jedoch nur einmal zur Verfügung. Wird bspw. Vorgang 4 zeitlich verschoben und braucht den gesamten Puffer von vier Zeiteinheiten vollständig auf, so ist der Puffer für Vorgang 6 nicht mehr verfügbar. Es würde sich ein neuer kritischer Pfad ergeben, sollte z.b. Vorgang 6 um mehr Zeiteinheiten verschoben werden, als der gesamte Puffer dieses Vorgangs umfasst. Bei Vorgang 3 beträgt der gesamte Puffer sogar 28 Zeiteinheiten. Vorgang 3 könnte folglich um 28 Zeiteinheiten verzögert werden, ohne den Fertigstellungstermin zu gefährden. Neben der gesamten und freien Pufferzeit gibt es weitere Arten von Pufferzeiten: Die unabhängige Pufferzeit (UP) ist die Zeitspanne, um die ein Vorgang verschoben werden kann, wenn sich seine Vorgänger in spätester und seine Nachfolger in frühester Lage befinden. Die freie Rückwärtspufferzeit (FRP) ist die Zeitspanne, um die ein Vorgang gegenüber seiner spätesten Lage verschoben werden kann, ohne die späteste Lage anderer Vorgänge zu beeinflussen. Ist MINZ = 0, so ist die Angabe der Anordnungsbeziehung ausreichend, der Zeitabstand muss nicht notiert werden (Schelle et al. 2008).

26 Zur Unterstützung der systematischen Erzeugung, Berechnung und Optimierung von Ablaufplänen sowie der darauf aufbauenden Terminplanung hat sich bei komplexen Vorhaben die Netzplantechnik sehr bewährt. Sie ist ein graphentheoretisches Hilfsmittel, das in Zusammenwirken mit anderen Planungsinstrumenten das systematische Durchdenken, Planen und Steuern des Projektablaufs, die Identifikation sachlogischer Schwachstellen in der Projektplanung, Berechnung zeitlicher Puffer und des kritischen Pfades, das eindeutige Terminieren der Vorgänge und damit ein erfolgreiches Projektmanagement ermöglicht. In der Netzplantechnik wird zwischen Vorgangspfeil- (VPN), Vorgangsknoten- (VKN) und Ereignisknoten-Netzplänen (EKN) unterschieden. In der Projektmanagement- Praxis werden meist die Critical Path Method (CPM) für VPN-, die Metra-Potential- Methode (MPM) für VKN- und die Program Evaluation Review Technique (PERT) für EKN-Netzpläne verwendet. Anordnungsbeziehungen ermöglichen dem Projektplaner sowohl die Synchronisationsbedingungen von Vorgängen festzulegen, d.h. Vorgänge teilweise überlappend auszuführen bzw. abzuarbeiten, als auch zeitliche Mindest- und Höchstabstände zwischen einzelnen Vorgängen vorzugeben, die ein Projektteam oder mitarbeiter einzuhalten hat. Anordnungsbeziehungen werden in Form von Pfeilen zwischen den Vorgängen gezeichnet und legen die sachlogische Reihenfolge fest, in der die Vorgänge innerhalb eines Projektes bearbeitet werden sollen. Minimale und maximale Zeitabstände lassen sich im Prinzip beliebig kombinieren, so dass sich dem Projektplaner eine Vielzahl an Gestaltungsmöglichkeiten bietet. Dabei möglicherweise auftretende Widersprüche müssen vom Projektplaner durch planerische Korrekturmaßnahmen aufgehoben werden (siehe Übung 11). Mit Hilfe der frühesten und spätesten Anfangs- und Endzeitpunkte der Vorgänge werden die Pufferzeiten berechnet, um die ein Vorgang zeitlich verschoben werden kann oder um die seine Ausführungszeit ausgedehnt werden kann, ohne zu einer Verlängerung der gesamten Projektdauer zu führen.

27 Ereignisknoten-Netzpläne (EKN) ähneln den Vorgangspfeil-Netzplänen hinsichtlich ihrer graphischen Darstellung. So verwendet PERT als bekannteste EKN-Methode ebenso wie das zuvor dargestellte CPM-Verfahren Knoten zur Modellierung von Ereignissen, die Vorgänge beranden. Vorgänge sind bei PERT-Netzplänen jedoch nicht explizit angegeben und können lediglich aus den Anordnungsbeziehungen abgeleitet werden. Die Zeitdaten zur Ausführung eines Vorgangs werden am jeweiligen Pfeil zur Angabe der Anordnungsbeziehung vermerkt. Die unzureichende Berücksichtigung von Vorgängen erschwert das operative Controlling (Schelle et al. 2008). So findet PERT tendenziell als Instrument auf höheren Führungsebenen Anwendung (Corsten und Corsten 2000). Trotz der in der Praxis weit verbreiteten rein deterministischen Terminplanung für ein Projekt (siehe CPM- sowie MPM-Vorwärts- und Rückwärtsterminierung, Folien f. und f.) muss der Planer berücksichtigen, dass die Eindeutigkeit der Zeitdaten nicht sichergestellt ist. Die Ausführungsdauern der Vorgänge sind i.d.r. nur Erwartungswerte und die Ergebnisse der Terminplanung mit Unsicherheiten bzw. Schätzfehlern behaftet. Bei stochastischen Ereignisknoten-Netzplänen, wie PERT, wird die mit der Zeitschätzung verbundene Unsicherheit durch eine sog. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(t) berücksichtigt. Die Dichtefunktion beschreibt, wie die zu 1 normierte Wahrscheinlichkeitsmasse über dem Zeitintervall verteilt ist. Der Erwartungswert der Verteilung entspricht dem Massenschwerpunkt. Bei PERT wird als Dichtefunktion eine sog. Beta-Verteilung f (t) mit dem Vorfaktor 1/B(t o,t p,, ) verwendet. Zur Parametrisierung wird eine Dreizeitenschätzung durchgeführt. Das heißt, der Planer schätzt die minimale bzw. optimistisch geschätzte Zeit t o, die zwischen den korrespondierenden Ereignissen verstreicht, die wahrscheinlichste oder nach bestem Wissen geschätzte Zeit t w sowie die maximale bzw. pessimistisch geschätzte Zeit t p. Die Schätzwerte t o und t p gehen direkt in die Parametrisierung der Beta-Verteilung ein. Aus der Dreizeitenschätzung lässt sich der zu erwartende Zeitverbrauch t sowie die zu erwartende Standardabweichung t mit Hilfe der unter der Anordnungsbeziehung angegebenen Formeln berechnen. Der Erwartungswert t wird ebenso für die Parametrisierung der Beta-Verteilung benötigt. Die vollständigen Formeln sind rechts unten im Bild wiedergegeben. Je nach Schätzwerten können sich symmetrische (a), rechts- (b) oder linksschiefe (c) Dichtefunktionen ergeben (siehe links unten im Bild).

28 Im Bild wird das aus den Folien und bereits bekannte Beispiel zur Konstruktion, Fertigung und Montage einer Maschine durch einen Auftragsfertiger erneut aufgegriffen und in einem Ereignisknotennetzplan auf der Basis von PERT dargestellt. Die frühest und spätest möglichen Zeitpunkte für das Eintreten der Ereignisse lassen sich analog zum Verfahren bei Vorgangspfeil-Netzplänen mittels Vorwärts- und Rückwärtsterminierung (siehe dazu Folien und 11-14) auf Basis der zu erwartenden Vorgangsdauern t ermitteln. Im Beispiel ergibt sich der kritische Pfad zwischen den Ereignissen Summiert man den zu erwartenden Zeitverbrauch der kritischen Vorgänge, so erhält man unter der Annahme der Unabhängigkeit eine Schätzung der gesamten Projektdauer. Die Varianz der Projektdauer lässt sich nach demselben Verfahren durch die Quadratsumme der Standardabweichungen t entlang des kritischen Pfads schätzen. Eine Diskussion der Vor- und Nachteile dieses Verfahrens sowie weitergehende Berechnungsvorschriften finden sich in Shtub et al. (2005). Für numerisch genaue Berechnungen der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der gesamten Projektdauer T anhand der parametrisierten Beta-Verteilungen f (t) sämtlicher Vorgänge müssen i.d.r. Monte-Carlo-Rechnungen durchgeführt werden. Hierbei werden Zufallsexperimente hinsichtlich der Ausführungsdauern der Vorgänge durch die Erzeugung von geeigneten Zufallszahlen auf einem Computer simuliert.

29 Statt aufwendigen Monte-Carlo-Rechnungen lässt sich bei PERT-Netzplänen eine einfache analytische Methode zur Schätzung der Projektdauer unter Unsicherheit verwenden, die auf den Konvergenzaussagen des Zentralen Grenzwertsatzes basiert. Allerdings können hierbei u.u. recht große Schätzfehler auftreten. Der Zentrale Grenzwertsatz besagt u.a., dass die Summe von unabhängig verteilten Zufallsvariablen annähernd einer Gauß schen Normalverteilung folgt, sofern die Anzahl der Zufallsvariablen hinreichend groß und die Varianz der Zufallsvariablen endlich ist. Es sei angenommen, dass in dem Projekt, das durch den auf der vorherigen Folie dargestellten Ereignisknotennetzplan modelliert wurde, die genannten Bedingungen erfüllt sind. Mit Hilfe der analog zum Verfahren bei Vorgangspfeil-Netzplänen berechneten frühest und spätest möglichen Zeitpunkte für das Eintreten der Ereignisse kann zunächst der kritische Pfad des Ereignisknotennetzplans rein deterministisch anhand der Erwartungswerte t ermittelt werden. Das Ergebnis wurde bereits auf der vorherigen Folie angegeben. Die zu erwartende Gesamtdauer und die zu erwartende Gesamtstandardabweichung lassen sich anhand der Verteilungen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen entlang des kritischen Pfads berechnen. Diese Berechnungen basieren auf den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie, die besagen, dass der Erwartungswert der Summe einer beliebigen Menge von unabhängigen Zufallsvariablen gleich der Summe ihrer Erwartungswerte und die Varianz der Summe gleich der Summe der einzelnen Varianzanteile sind. Mit Bezug auf den Zentralen Grenzwertsatz kann schließlich die Normalverteilung verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die zu erwartende Gesamtdauer T des Projekts kleiner gleich einem gegebenen Wert ist. Die Variable Z ist hier definiert als die standardnormalverteilte Größe mit einem Erwartungswert = 0 und einer Varianz 2 = 1. Der jeweilige Wahrscheinlichkeitswert für einen gegebenen Z-Wert kann in entsprechenden Wahrscheinlichkeitstabellen abgelesen werden, bspw. in Shtub et al. (2005), S. 455.

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