Anschauliche Varianzanalyse

Transkript

1 Anschauliche Varianzanalyse Ein Multimedia gestütztes Lehrund Übungsbuch Uwe Oestermeier Beatriz Barquero Rolf Plötzner Instititut für Wissensmedien Tübingen

2

3 Vorwort Die Idee für die Veranschaulichung der Varianzanalyse ist aus unserer Unzufriedenheit mit der Darstellung der Varianzanalyse in gängigen Statistiklehrbüchern und den sich daraus ergebenden Verständnis-schwierigkeiten für die Studierenden der Verhaltens- und Sozialwissenschaften entstanden. Die in vielen Lehrbüchern zur Statistik vorwiegend verwendeten Formeln sind einerseits zwar sehr kompakt, andererseits aber auch sehr schwer zu verstehen. Dies gilt insbesondere für die Kennziffermethode, die in vielen Lehrbüchern den rechnerischen Kern der Varianzanalyse ausmacht. Diese Methode hat den Vorteil, dass sie mit wenigen Rechenschritten auskommt und entsprechend schnell mit Papier und Bleistift nachgerechnet werden kann. Für das Verständnis der Varianzanalyse ist diese Methode jedoch kontraproduktiv. Die Grundprinzipien der Varianzanalyse werden durch die Kennziffermethode eher verschleiert als erhellt. Sie verleitet Studierende dazu, die Formeln auswendig zu lernen und mechanisch ohne jedes Verständnis der zugrunde liegenden Prinzipien anzuwenden. Dank moderner Statistikprogramme spielen möglichst ökonomische Rechenverfahren in der praktischen Anwendung der Varianzanalyse sowieso keine Rolle mehr. Für die wenigen Varianzanalysen, die Studierende in der Statistikausbildung einmal im Leben von Hand durchrechnen, kommt es auf einige Rechenschritte mehr oder weniger nicht an. War die rechnerische Beherrschung der Varianzanalyse früher ein wichtiges Lernziel, so steht heute eher die Frage im Vordergrund, welche der zahlreichen Möglichkeiten, die moderne Statistikprogramme bieten, sachlich am angemessensten sind. Darüber hinaus gilt es unabhängig davon, ob mit Hand oder mit Computern gerechnet wird, die Fähigkeit zu erwerben, entscheiden zu können, ob die Varianzanalyse überhaupt das geeignete Verfahren für die Auswertung vorliegender Da-

4 Vorwort ten ist. Um diese Fragen beantworten zu können, ist ein Verständnis der Grundprinzipien der Varianzanalyse unabdingbare Voraus-setzung. Das vorliegende Buch und das damit verzahnte multimediale Computerprogramm VANOVA (Visual Analysis of Variance) sind das Ergebnis unseres Versuchs, die Grundprinzipien der Varianzanalyse und der mit ihr verbundenen Inferenzstatistik so klar und anschaulich wie möglich darzustellen. Im Mittelpunkt steht dabei die interaktive Visiualisierung zentraler Konzepte der Varianzanalyse, wie Abweichungen, Abweichungsquadrate, Quadratsummenbildung und -zerlegung, anhand kleiner nachvollziehbarer Datensätze. Ausgehend von einfaktoriellen Versuchsplänen werden schrittweise anspruchsvollere Versuchspläne bis hin zu Versuchsplänen mit Messwiederholung behandelt. Im Vordergrund stehen dabei immer die Grundformen der verschiedenen Versuchspläne sowie der ihnen zugehörigen Varianzanalysen. Mit der Varianzanalyse in Verbindung stehende Verfahren wie zum Beispiel die Durchführung von Einzelvergleichen und die Bestimmung von Effektstärken sind nicht Gegenstand des vorliegenden Buches. Im Buch finden sich jedoch zahlreiche Verweise auf uns geeignet erscheinende Literatur zu solchen Verfahren. Durch das Computerprogramm VANOVA werden zentrale Konzepte und übergeordnete Rechenschritte der Varianzanalyse auf der Grundlage bereits vorhandener Beispieldatensätze oder selbst eingegebener Datensätze in Form von Linien und Flächen geometrisch veranschaulicht. Die Ausprägungen von Konzepten lassen sich interaktiv verändern. Gleichzeitig können die Auswirkungen solcher Veränderungen auf andere Konzepte beobachtet werden. Dabei verdeutlicht die Zusammenschau der sich dynamisch verändernden Konzeptausprägungen die Verbindungen zwischen den Konzepten. Neben der Eingabe kleiner Beispieldatensätze gestattet VANOVA auch die Verarbeitung größerer Datensätze. Damit bleiben auch in praktischen Anwendungen varianzanalytischer Verfahren die Analysen nicht auf das Ablesen von Ergebnistabellen beschränkt sondern ermöglichen die Rekapitulation varianzanalytischer Grundprinzipien vor dem Hintergrund selbst erhobener Datensätze. Mit dem vorliegenden Buch wurde von uns kein Ersatz für gängige Statistiklehrbücher geschaffen. Vielmehr stellen wir uns vor, dass es in Ergänzung zu einem solchen Lehrbuch mit dem Ziel genutzt wird, nicht nur einen formalalgebraischen sondern vor allem einen anschaulich-konzeptuellen Zugang zu den Grundprinzipien der Varianzanalyse zu erhalten. Ebenso wenig bestand 4

5 der Ehrgeiz, mit VANOVA professionelle Programme zur statistischen Datenanalyse ersetzen zu wollen. VANOVA auf CD-ROM Das Computerprogramm VANOVA steht auf einer dem Buch beiliegenden CD-ROM zur Verfügung. Nach dem Einlegen der CD-ROM und der Auswahl des Unterordners für das gewünschte Betriebssystem (Windows, Mac OS 9 oder Mac OS X) kann das Programm VANOVA ohne weitere Installation gestartet werden. Der folgende Bildschirmausschnitt zeigt das Hauptfenster des Programms im Layout des Macintosh OS X Betriebssystems. Am oberen rechten Rand des Hauptfensters findet sich ein Auswahlmenü, das zu den Beispielen und Aufgaben führt, die in diesem Buch beschrieben sind. Innerhalb des Buches wird durch Marginalien mit der Bezeichnung VANOVA-Link auf dieses Auswahlmenü verwiesen. Nach dem Auswählen eines Beispiels kann interaktiv untersucht werden, wie sich die Werte der 5

6 Vorwort Varianzanalyse verändern, wenn einzelne Datenpunkte direkt mit der Maus verändert werden. Unter dem Menüpunkt Darstellung/Optionen finden sich eine Reihe von Darstellungsvarianten, die den Aufbau einer VANOVA verständlicher machen sollen. Unter dem Menüpunkt Schrittweise anzeigen kann eine VA- NOVA Schritt für Schritt aufgebaut werden. Zu jedem Schritt können durch Klicken auf das Lautsprechersymbol auditive Erläuterungen abgerufen werden. Weitere Möglichkeiten Einstellungen am Programm VANOVA vorzunehmen sind im Anhang beschrieben. Tübingen, im Sommer 00 Uwe Oestermeier Beatriz Barquero Rolf Plötzner 6

7 Inhalt Vorwort 1 KAPITEL 1 Einleitung 5 Lehren und Lernen von Statistik 5 Typische Darstellungen der Varianzanalyse und ihre Verständnisprobleme 6 Warum die Varianzanalyse visualisieren? 7 Was wir mit diesem Buch wollen und was wir nicht wollen 9 Wie wir uns das Arbeiten mit diesem Buch vorstellen 10 Übersicht der Kapitel 10 KAPITEL Das Grundprinzip der Varianzanalyse 1 Das wissenschaftliche Experiment 1 Mittelwertsvergleiche und Varianzanalyse 16 Die Analyse der Varianzen - informell 17 Die Analyse der Varianzen - formal 0 Das Testen der Nullhypothese 4 Übungsaufgaben 5 Ausgewählte Literaturhinweise 5 vii

8 KAPITEL Eine Varianzanalyse selber zeichnen 7 Die Veranschaulichung der Varianzanalyse 7 Vorbereitungen treffen 8 Eine Skizze des Gesamtaufbaus 9 Die Datenpunkte und Faktorstufen zeichnen 0 Die Abweichungsquadrate zeichnen 1 Die Quadratsummen berechnen Die Varianzen bestimmen 4 Der Signifikanztest 5 Übungsaufgaben 6 KAPITEL 4 Einfaktorielle Varianzanalyse KAPITEL 5 Zweifaktorielle Varianzanalyse KAPITEL 6 KAPITEL 7 Varianzanalyse mit Messwiederholung Die Varianzanalyse im Allgemeinen Linearen Modell ANHANG VANOVA auf CD-ROM Lösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Autorenverzeichnis Sachwortverzeichnis Verzeichnis der verwendeten Symbole viii

9 KAPITEL 1 Einleitung In diesem Kapitel versuchen wir die Veranschaulichung der Varianzanalyse mit dem Computerprogramm VANOVA zu motivieren. Dazu werden zunächst die übliche Vorgehensweise in der Statistikausbildung und die damit verbundenen Verständnisprobleme auf Seiten der Studierenden skizziert. Daran anknüpfend wird anschließend erläutert, wie das Statistiklernen mit VANOVA helfen kann, solche Verständnisprobleme zu überwinden. Eine Übersicht der Inhalte der folgenden Teile dieses Buches schließt das Kapitel ab. Lehren und Lernen von Statistik Die Varianzanalyse gehört zum Kernbestand der Statistikausbildung für Sozialwissenschaftler/-innen und findet demgemäß breiten Raum in Lehrveranstaltungen und einschlägigen Lehrbüchern. Für die Studierenden führt kein Weg an dieser Materie vorbei, doch schon der erste Blick in die Lehrbücher lässt viele Studierende zurückschrecken: Formeln und Tabellen beherrschen die Gestaltung der Texte. Bei Studierenden, die sich oftmals bewusst gegen mathematisch geprägte Studiengänge entschieden haben, gilt insbesondere das Entziffern und Verstehen von Formeln als eine echte Hürde, die man durch Auswendiglernen eher zu umgehen denn zu nehmen versucht. Die Distanz zwischen den Autoren der Lehrbücher und den Leserinnen und Lesern könnte deshalb kaum größer sein. Auf der einen Seite stehen ausgewiesene Spezialisten mit langjähriger mathematischer Vorbildung, für die der Umgang mit Formeln zur Routine gehört und somit das Nachdenken und Verstehen eher ent- als belastet. Der britische Philosoph, Logiker und Mathematiker Alfred North Whitehead hat diese Vertrautheit mit Formeln wie folgt beschrieben:... by the aid of symbolism, we can make transitions in reason- 9

10 Einleitung ing almost mechanically by the eye, which otherwise would call into play the higher faculties of the brain. (Whitehead, 1911). Auf der anderen Seite stehen Studiernde, die zu einem nicht unerheblichen Teil froh sind, der Schulmathematik entronnen zu sein. Didaktisch und lernpsychologisch gesehen ist diese Ausgangssituation fatal. Eine zu große Distanz zwischen Lehrenden und Lernenden hat sich immer wieder als hinderlich erwiesen und die Erfahrung lehrt, dass die besten Tutoren gerade diejenigen sind, die sich der Schwierigkeiten der Aneignung des Stoffes noch bewusst sind. Leider wird sich an der generellen Diskrepanz zwischen Lehrenden und Lernenden wohl kaum etwas ändern lassen, denn es soll natürlich sichergestellt sein, dass den Studierenden echtes Expertenwissen vermittelt wird. Etwas vermindern kann man die Kluft aber, indem man sich verdeutlicht, wie elementar die Verständnisschwierigkeiten sein können. Typische Darstellungen der Varianzanalyse und ihre Verständnisprobleme Selbst so scheinbar nebensächliche Details in der Darstellung der Varianzanalyse, wie zum Beispiel die Summenschreibweise, können Probleme bereiten. Verschiedene Autoren verwenden verschiedene Notationsvarianten. Das Lehrbuch von Bortz (1999) etwa führt zu Beginn der Darstellung der Varianzanalyse ein Vereinfachung ein, und schreibt statt n m = 1 x m verkürzt x m, m da sich der Laufindex von 1 n im Kontext der Varianzanalyse aus der Zahl der Beobachtungsfälle ergibt. Andere Autoren wie zum Beispiel Howell (1997) deuten den Laufindex an vielen Stellen noch nicht einmal mehr an. Ob die Lesbarkeit der Formeln sich dadurch wirklich verbessert, kann hier dahingestellt bleiben. Diese Beispiel zeigen jedenfalls, dass die Autoren bemüht sind, möglichst kompakte Darstellungen zu finden, wobei die verschiedenen Darstellungsvarianten ihre Kompaktheit damit erkaufen, das auf Seiten der Leserinnen und Leser sehr viele Annahmen und Definitionen im Hinterkopf behalten werden müssen, um die Bedeutung der Formeln zu verstehen. Kennziffermethode Wesentlich größere Verständnisschwierigkeiten als solche bloßen Notationsvarianten bereitet die Kennziffernmethode, die in vielen Lehrbüchern den formalen Kern der Darstellung der Varianzanalyse ausmacht (z.b. Bortz, 10

11 Warum die Varianzanlyse visualisieren? 1999; Zöfel, 199). Bei dieser Methode werden mathematische Eleganz, Abstraktheit und Kompaktheit in übergroßem Ausmaß zu Lasten der Verständlichkeit in den Vordergrund gerückt. Die Methode hat den unbestreitbaren Vorteil, mit wenig Rechenschritten auszukommen, weil sie aus einigen wenigen Zwischenergebnissen, den so genannten Kennziffern, alle anderen Ergebnisse ableitet. Diese Zwischenergebnisse beziehungsweise Kennziffern selbst haben jedoch nur den Zweck, Rechenschritte einzusparen und keine eigenständige Interpretation innerhalb der Varianzanalyse. Andere Lehrbücher kommen dementsprechend völlig ohne diese Kennziffern aus und benutzen statt dessen etwas längere Formeln, die die Quadratsummenbildung direkt wieder geben und somit die innere Logik der Varianzanalyse verdeutlichen (z.b. Howell, 1997). Die Kennziffernmethode stammt noch aus einer Zeit, in der Varianzanalysen mit der Hand gerechnet wurden und jeder Rechenschritt eine weitere potentielle Fehlerquelle darstellte. Da Statistikprogramme heute zur Selbstverständlichkeit geworden sind, ist diese Rechtfertigung für die Kennziffernmethode hinfällig geworden. Wohl niemand wertet seine Daten varianzanalystisch noch mit Papier und Bleistift aus, so dass in zeitgemäßen Darstellungen eher die Verständlichkeit denn die praktische Handhabbarkeit der Rechenvorschriften im Vordergrund stehen sollte. Warum die Varianzanlyse visualisieren? Es gibt es mehrere Möglichkeiten, die typischerweise vorliegenden Verständnisschwierigkeiten anzugehen. Ein viel versprechender Weg wäre zum Beispiel Studierenden die Aufgabe zu stellen, einfache Varianzanalysen selbst in einer Programmiersprache wie Pascal oder Basic zu implementieren. Die Programmierung erzwingt eine tiefgehende Beschäftigung mit der Materie und fördert das Verständnis der Formeln indem es eine Übersetzung kompakter mathematischer Formeln, wie zum Beispiel Summenausdrücke, in die Konstrukte einer Programmiersprache, wie zum Beispiel For-Repeat- Schleifen, verlangt. Leider scheitert dieser Vorschlag schon daran, dass Programmierkenntnisse im Gegensatz zur Abiturmathematik nicht generell vorausgesetzt werden können. Für den hier gewählten Weg der Veranschaulichung der Varianzanalyse durch die geometrische Interpretation der Grundbegriffe gilt diese Einschränkung nicht. Die graphische Darstellung knüpft an elementares geometrisches Schulwissen an und versucht jedem wichtigen Begriff der 11

12 Einleitung Varianzanalyse eine Verankerung in der Anschauung zu geben. Anschaulichkeit und Konkretheit gelten gemeinhin als Merkmale gelungener didaktischer Aufbereitung und bei der Varianzanalyse drängen sich solche Veranschaulichungen geradezu auf: Warum sollte man nicht Abweichungen, Abweichungsquadrate und deren Quadratsummen anschaulich als Linien und Flächen darstellen können? Tatsächlich bestand die Ursprungsidee von VANOVA darin, sich für das Selbststudium die Formeln der Statistiklehrbücher anhand geometrischer Skizzen zu verdeutlichen. Leider war das Lehrbuch von Bortz (1999), anhand dessen die ersten Schritte in dieser Richtung unternommen wurden, dafür denkbar ungeeignet. Die darin beschriebene Kennziffernmethode führte schnell zum Konflikt mit der Idee, Daten in Punkte, Mittelwerte in Linien, Abweichungen in Abstände, Quadrate in Flächen und Summenbildungen in Zusammenfassungen von Quadratflächen zu übersetzen. Die zentralen Rechengrößen beziehungsweise Kennziffern haben keine gleichermaßen nahe liegende geometrische Interpretation. Zudem führt die Kennziffernmethode zu nummerisch hohen Zwischenergebnissen, die auch dann sehr viel Platz auf dem Papier erfordern würde, wenn die ursprünglichen Abweichungen von Mittelwerten nur wenig Raum beanspruchen würden. Die Idee, die Kennziffernmethode geometrisch zu interpretieren, wurde deshalb schnell aufgegeben und stattdessen eine Visualisierung versucht, die sich nicht an der Ökonomie der Rechenschritte sonder an der inneren Logik der Varianzanalyse orientiert. Eine VANOVA greift dabei die geometrische Interpretation auf, die von vorneherein in den Grundbegriffen der Varianzanalyse angelegt ist. Sie visualisiert Faktorstufen als Stufen, Mittelwertsabweichungen als Abstand eines Punktes von einem Mittelwert und die Quadratur dieses Abstandes als geometrisches Quadrat. Die Summierung wird als Zusammenfügen von Teilflächen dargestellt, die Division durch Freiheitsgrade als Zerschneiden in Teilflächen. Die Verhältnisbildung von Fehler- und Treatmentanteilen wird schließlich durch eine Gegenüberstellung entlang einer Vergleichslinie visualisiert. Zumindest uns erscheint diese Umsetzung intuitiv und einfach nachvollziehbar zu sein. Ob diese Veranschaulichung wirklich zu einem besseren Verständnis der Varianzanlayse beiträgt, ist aber eine offene Frage. Vorschnelle Antworten verbieten sich von selbst, denn anhand der Visualisierung allein ist diese Frage gar nicht sinnvoll beantwortbar, da die visuelle Darstellung nur durch verbale Erläuterungen beziehungsweise Begleittexte verständlich wird. Das vorliegende Buch ist deshalb als ein Versuch zu betrachten, ob 1

13 Was wir mit diesem Buch wollen und was wir nicht wollen durch den Rückgriff auf Visualisierungen und unter weit gehendem Verzicht auf Formeln die Varianzanalyse leichter verständlich dargestellt werden kann. Was wir mit diesem Buch wollen und was wir nicht wollen VANOVA als Ergänzung Der hier vorliegende Versuch der Veranschaulichung der Varianzanalyse erhebt nicht den Anspruch traditionelle Einführungen überflüssig zu machen. Er ist eher als Ergänzung für diejenigen gedacht, die bereit sind, eine andere Zugangsweise kennen zu lernen und die vielleicht von sich selbst den Eindruck haben, dass die zugrunde liegende Mathematik sie überfordert. Tatsächlich lässt sich die Varianzanalyse nahezu vollständig auf die Grundrechenarten reduzieren, so dass zumindest die mathematischen Anforderungen sehr gering gehalten werden können. Trotzdem soll hier nicht der Eindruck erweckt werden, dass die Varianzanalyse nur anders dargestellt werden muss, um leicht verständlich zu werden. Wer von Visualisierungen erwartet, dass sie sich einem sofort erschließen und Betrachten, Begreifen und Merken eins sind, kann nur enttäuscht werden. Diese Erwartungshaltung ist bei so einem komplexen Gegenstandsbereich von vorneherein unrealistisch und führt deshalb auch zu einem Problem: Visualisierungen werden oftmals unter der Voraussetzung angeschaut, leicht verständlich zu sein, weshalb beim Lesen von Text-Bild-Kombinationen nur wenig Zeit auf die Visualisierungen verwandt wird. Wir warnen deshalb ausdrücklich davor, dieser Neigung zum oberflächlichen Betrachten der Visualisierungen nachzugeben. Zudem wäre es fatal, wenn der Eindruck entstünde, dass die traditionelle algebraische Behandlung durch die geometrische Interpretation überflüssig geworden ist. Ein echtes Verständnis ist unseres Erachtens erst dann erreicht, wenn die Bezüge zwischen den verbalen Erläuterungen, Formeln und Graphiken deutlich geworden sind und Lernende aus ihrem Verständnis der Grundprinzipien heraus bei gegebenen Datensätzen und Modellen gleichermaßen algebarische Berechungungen als auch geometrische Darstellungen der Varianzanalyse vornehmen können. Das Auswendiglernen von Formeln ist mit diesem Anspruch jedoch nicht vereinbar und gerade das, was mit diesem Buch verhindert werden soll. Wer von vorneherein möglichst leicht merkbare Formeln sucht, sollte auf andere Hilfen zurück greifen. 1

14 Einleitung Wie wir uns das Arbeiten mit diesem Buch vorstellen Wünschenswert wäre es, wenn die Lernenden analog zum Rechnen von Hand eine VANOVA mit Stift und Papier zeichnen würden. Dies würde eine längere und intensivere Beschäftigung garantieren und damit auch ein tieferes Verständnis computergenerierter Visualisierungen fördern. Eine entsprechende Anleitung steht deshalb in Kaptiel "Eine Varianzanalyse selber zeichnen" zur Verfügung. Tatsächlich dauert es deutlich länger, eine VANO- VA zu zeichnen, als eine Varianzanalyse auf herkömmliche Art und Weise durchzurechnen, was aus Sicht der Lernenden kontraproduktiv erscheinen mag. Dies ist nur dann zu rechtfertigen, wenn dieser Mehraufwand durch ein leichteres und dauerhafteres Verständnis ausgeglichen wird. Folgende Gründe sprechen unseres Ermessens dafür: 1. Die Berechnung beziehungsweise Zeichnung ist keine Übungsaufgabe, die erst im Anschluss an das Durcharbeiten eines Einführungstextes erfolgt, sondern Bestandteil des Durcharbeitens selbst, da dabei Grundbegriffe der Varianzanalyse ihre konkrete anschauliche Bedeutung behalten können.. Viele Studierende haben Probleme, mathematische Definitionen und Formeln zueinander in Beziehung zu setzen. Auch herkömmliche Lehrbücher greifen deshalb immer wieder auf Veranschaulichungen zurück, um durch verschiedene Darstellungsformen verschiedene Zugangsweisen zu eröffnen.. In der Form eines interaktiven Computerprogramms stellen die Visualisierung gleichzeitig eine manipulierbare Benutzeroberfläche dar. Wer zum Beispiel die Auswirkungen verschiedener Beobachtungsdaten auf die Ergebnisse der Varianzanalyse studieren will, kann die Daten direkt mit der Maus variieren und erhält unmittelbar Rückmeldung über die Ergebnisse. Das lästige Eingeben neuer Werte und Befehle entfällt. Verallgemeinerungen wie zum Beispiel je größer die Unterschiede innerhalb einer Zelle, desto größer die Fehleranteile und desto kleiner der F-Wert können somit direkt vor Augen geführt werden. Übersicht der Kapitel In Kapitel wird das Grundprinzip der Varianzanalyse beschrieben. Ausgehend vom Aufbau experimenteller Versuchspläne werden die verschiedenen Varianzen vorgestellt, die im Zusammenhang mit solchen Versuchsplänen 14

15 Übersicht der Kapitel betrachtet werden. Darauf aufbauend werden anschließend die Analyse dieser Varianzen sowie die Logik des Signifikanztests beschrieben. Es kann zwar nicht schaden, sich vorab mit der Benutzeroberfläche von VA- NOVA spielerisch zu beschäftigen, aber der eigentliche Gewinn kann aus VANOVA erst gezogen werden, wenn ein Grundverständnis der in VANOVA vorgenommenen Veranschaulichungen sichergestellt worden ist. Deshalb enthält Kapitel eine Anleitung, wie eine VANOVA mit Stift und Papier gezeichnet werden kann. Erst am Ende von Kapitel sollte die computergenerierte Darstellung mit dem Beispiel dieses Kapitels vergleichend studiert werden. Kapitel 4??? Kapitel 5??? Kaptiel 6??? Kapitel 7??? Die nach jedem Kapitel angebotenen Übungsaufgaben enhalten jeweils besondere Problemstellungen für die Nutung des Programms VANOVA. Wer diese Aufgaben als Leitfaden benutzt, sollte vor der Gefahr gefeit sein, blind an verschiedenen Knöpfen des Programms zu drehen, ohne zu wissen, was daraus eigentlich gelernt werden soll. Die in den Übungsaufgaben benutzten Beispiele sind innerhalb des Computerprogramms nach Kapiteln und Aufgaben sortiert anhand eines Menüs abrufbar. 15

16 Einleitung 16

17 KAPITEL Das Grundprinzip der Varianzanalyse Die Varianzanalyse ist das wichtigste statistische Verfahren zur Analyse von Daten, die auf der Grundlage experimenteller Versuchspläne gewonnen werden. Ein Verständnis der Varianzanalyse setzt daher ein Verständnis des Aufbaus experimenteller Versuchspläne voraus. In diesem Kapitel wird eine Einführung in den Aufbau experimenteller Versuchspläne gegeben. Dabei werden nur diejenigen Aspekte experimenteller Versuchspläne aufgegriffen, deren Betrachtung für ein Verständnis des Grundpinzips der Varianzanalyse erforderlich ist. Leserinnen und Leser, die an darüber hinaus gehenden Informationen zu Forschungs- und Analysemethoden interessiert sind, seien auf die Auswahl weiterführender Literatur am Ende dieses Kapitels hingewiesen. Im Anschluss an die Beschreibung des Aufbaus experimenteller Versuchspläne werden die verschiedenen Varianzen vorgestellt, die im Zusammenhang mit solchen Versuchsplänen betrachtet werden. Darauf aufbauend werden abschließend die Analyse dieser Varianzen sowie die Logik des Signifikanztests in der Varianzanalyse beschrieben. Die in diesem Kapitel eingeführten Konzepte der Versuchsplanung und Prinzipien der Statistik werden in den folgenden Kapiteln immer wieder aufgegriffen und schrittweise anhand geometrischer Darstellungen veranschaulicht. Das wissenschaftliche Experiment Ein wichtiges Ziel wissenschaftlicher Unternehmungen ist das Erkennen und Beschreiben von Zusammenhängen zwischen verschiedenen Variablen. Zum 17

18 Das Grundprinzip der Varianzanalyse Beispiel könnten Pädagogen und Psychologinnen an der Frage interessiert sein, ob zwischen den im Unterricht eingesetzten Lehrmethoden und dem Lernerfolg der Schülerinnen und Schüler ein Zusammenhang besteht. So könnte der Einsatz bestimmter Lehrmethoden mit einer Verringerung, der Einsatz anderer Lehrmethoden mit einer Vergrößerung des Lernerfolgs der Schülerinnen und Schüler verbunden sein. Verursachungsbeziehungen unabhängige und abhängige Variablen Randomisierung Von besonderem Interesse sind Zusammenhänge, die Verursachungsbeziehungen darstellen. In solchen Beziehungen stellen Veränderungen einer Variablen die Ursache für Veränderungen einer anderen Variablen dar. Liegt zwischen den im Unterricht eingesetzten Lehrmethoden und dem Lernerfolg der Schülerinnen und Schüler eine - in dieser Lesart gerichtete - Verursachungsbeziehung vor, dann lassen sich Veränderungen im Lernerfolg ursächlich durch Veränderungen in der eingesetzten Lehrmethode erklären. Eine solche Erklärung schließt allerdings nicht aus, dass weitere Ursachen für eine Veränderung des Lernerfolgs verantwortlich sein können. Zum Beispiel könnte auch die Lehrperson, die den Unterricht durchführt, die von den Schülerinnen und Schülern aufgebrachte Lernzeit oder die Unterstützung der Schülerinnen und Schüler durch ihre Familienangehörigen die Ursache für eine Veränderung des Lernerfolgs sein. Wie lassen sich Verursachungsbeziehungen erkennen? Eine wichtige Methode, um Verursachungsbeziehungen zu identifizieren, ist die Durchführung wissenschaftlicher Experimente. Im einfachsten Fall wird innerhalb eines solchen Experiments eine Variable, eine sogenannte unabhängige Variable, durch die Versuchsleiterin oder den Versuchsleiter systematisch verändert und beobachtet, wie sich diese Veränderungen auf eine andere Variable, eine sogenannte abhängige Variable, auswirken. Mit dieser Namensgebung wird zum Ausdruck gebracht, dass die Ausprägung der beobachteten Variablen von der Ausprägung der systematisch veränderten Variablen abhängt. Zusätzlich muss darauf geachtet werden, dass die systematischen Einflüsse aller weiteren Variablen, der sogenannten Störvariablen, auf die abhängige Variable kontrolliert, das heißt, ihre Wirkungen ausgeschalten werden. Im Falle psychologischer Experimente schließt dies im Idealfall mit ein, dass die abhängige Variable an Gruppen von Personen beobachtet wird, die den verschiedenen Ausprägungen der unabhängigen Variablen zufällig zugeordnet werden. Eine solche Randomisierung schließt systematische Einflüsse von Störvariablen aus. In experimentellen Versuchsplänen wird eine unahhängige Variable, die von einer Versuchsleiterin oder einem Versuchsleiter kontrolliert wird, auch als 18

19 Das wissenschaftliche Experiment Faktor und Faktorstufen Faktor oder Treatment (i.s. von Behandlung) bezeichnet. Die verschiedenen Ausprägungen, die eine unabhängige Variable aufweisen kann, werden als Faktor- oder Treatmentstufen (i.s. von Behandlungsarten) bezeichnet. Wird mit einem experimentellen Versuchsplan der Einfluss genau einer unabhängigen Variablen auf eine abhängige Variable untersucht, so wird von einem einfaktoriellen Versuchsplan gesprochen. Dementsprechend werden Versuchsplänen, mit denen gleichzeitig die Einflüsse mehrerer unabhängiger Variablen auf eine abhängige Variable untersucht werden, als mehrfaktorielle Versuchspläne bezeichnet. Um experimentell zu überprüfen, ob in unserem Beispiel eine Verursachungsbeziehung besteht, wären (1) die im Unterricht eingesetzten Lehrmethoden (= unabhängige Variable) systematisch zu verändern, () zu beobachten, wie sich jede einzelne Lehrmethode auf den Lernerfolg (= abhängige Variable) einer Gruppe von Schülerinnen und Schüler auswirkt, und () der systematische Einfluss von (Stör-) Variablen zu kontrollieren. Zum Beispiel wäre in diesem Fall zu kontrollieren, dass sämtliche Lehrmethoden stets von der gleichen Lehrperson im Unterricht eingesetzt werden. In Anlehnung an ein Beispiel von Bortz (1999, S. 8) wird im Folgenden davon ausgegangen, dass der Einfluss von vier Lehrmethoden für den Englischunterricht auf den Lernerfolg von Schülerinnen und Schülern mit Hilfe eines Experiments überprüft werden soll. Dabei wird der Lernerfolg der Schülerinnen und Schüler mit einem Englischleistungstest gemessen, in dem ein Testwert zwischen 0 und 10 erreicht werden kann. Um das Beispiel übersichtlich zu halten, wird jeder Lehrmethode aus einer Grundgesamtheit beziehungsweise Population von Schülerinnen und Schüler eine Stichprobe von nur fünf Schülerinnen und Schüler zufällig zugeordnet. Somit nehmen insgesamt 0 Schülerinnen und Schüler an dem Experiment teil. Die von den Schülerinnen und Schülern am Ende des Unterrichts erreichten Testwerte sowie die Summen und Mittelwerte der Testwerte jeder Gruppe von Schülerinnen und Schüler sind in Tabelle.1 wiedergegeben. Während unter der ersten Lehrmethode der im Mittel niedrigste Lernerfolg zu verzeichnen ist, wird unter der dritten Lehrmethode der im Mittel höchste Lernerfolg erzielt. Die Beobachtung solcher Unterschiede zwischen den untersuchten Gruppen liefert die Grundlage für die Entscheidung, ob zwischen den im Unterricht eingesetzten Lehrmethoden und dem Lernerfolg der Schülerinnen und Schüler eine Verursachungsbeziehung besteht oder nicht. 19

20 Das Grundprinzip der Varianzanalyse TABELLE.1: Testwerte unter jeder Lehrmethode Lehrmethode Lehrmethode Lehrmethode Lehrmethode Lehrmethode n Summe der Testwerte i = 1 y i Mittelwerte der Testwerte y 7 4 Mittelwertsvergleiche und Varianzanalyse Nullhypothese und Alternativhypothese Die experimentelle Überprüfung, ob eine Verursachungsbeziehung zwischen einer unabhängigen und einer abhängigen Variablen besteht, läuft damit auf den Vergleich von Mittelwerten hinaus, die in einem experimentellen Versuchsplan beobachtet werden können. Die Varianzanalyse ist demzufolge ein Verfahren zur Überprüfung von Unterschiedshypothesen. Grundlage einer solchen Überprüfung ist immer die Nullhypothese H 0, die besagt, dass die Mittelwertparameter µ 1... µ p der p Populationen, aus denen die untersuchten Stichproben entnommen wurden, identisch sind: H 0 : µ 1 =... = µ p. Im Gegensatz dazu besagt die Alternativhypothese H 1, dass sich mindestens zwei Mittelwertparameter voneinander unterscheiden: H 1 : µ i µ j, für i j. Im Beispiel wird die Nullhypothese überprüft, dass die Mittelwertparameter µ 1, µ, µ und µ 4 der Populationen, aus denen die vier Stichproben von Schülerinnen und Schülern entnommen wurden, identisch sind: H 0 : µ 1 = µ = µ = µ 4. Die Alternativhypothese lautet in diesem Fall, dass sich die mittleren Lernerfolge der Schülerinnen und Schüler unter mindestens zwei Lehrmethoden signifikant voneinander unterscheiden. 0

21 Die Analyse der Varianzen - informell t-test Ist die Nullhypothese auf der Grundlage von genau zwei Gruppen beziehungsweise für genau zwei Mittelwertparameter zu überprüfen, so steht dafür der t-test für unabhängige Stichproben zur Verfügung. Bei Betrachtung von mehr als zwei Gruppen könnte die Nullhypothese damit durch mehrmalige Anwendung des t-tests überprüft werden, wobei die Mittelwerte der einzelnen Gruppen jeweils paarweise miteinander verglichen würden. Ein solches Vorgehen würde jedoch die Gefahr mit sich bringen, dass einige dieser t-tests zufällig signifikant werden, da bei Anwendung jedes einzelnen t- Tests die Nullhypothese mit einer (Irrtums-) Wahrscheinlichkeit von 5% fälschlicher Weise verworfen beziehungsweise die Alternativhypothse mit einer (Irrtums-) Wahrscheinlichkeit von 5% fälschlicher Weise angenommen wird. Somit würde der Überprüfung der Nullhypothese über alle möglichen paarweisen Mittelwertsvergleich hinweg eine viel größere Irrtumswahrscheinlichkeit zugrunde liegen, als die üblichen 5% oder 1%. Die Varianzanalyse kann als eine Verallgemeinerung des t-tests für den Fall von mehr als zwei Gruppen aufgefasst werden. Ist die Nullhypothese für genau zwei Gruppen zu überprüfen, so führen einfaktorielle Varianzanalyse und t-test für unabhängige Gruppen zu den gleichen Ergebnissen. Die Analyse der Varianzen - informell Die in experimentellen Versuchsplänen beobachteten Daten liefern die Grundlage für die Entscheidung, ob die Nullhypothese beibehalten werden kann oder verworfen werden muss. Da in einem Experiment immer nur Stichproben der interessierenden Populationen untersucht werden können, lassen sich die Mittelwertparameter µ i, auf die in der Nullhypothese Bezug genommen wird, nicht unmittelbar bestimmen. Vielmehr müssen diese Parameter geschätzt werden, ausgehend von den Mittelwerten y i in den untersuchten Stichproben. experimenteller Fehler Aufgrund zufälliger Einflüsse bei der Auswahl der Stichproben sowie vorkommender Messfehler werden solche Schätzungen immer mehr oder weniger fehlerbehaftet sein. Um eine Entscheidung darüber fällen zu können, ob die Nullhypothese beibehalten werden kann oder verworfen werden muss, muss eine Abschätzung dieses experimentellen Fehlers vorgenommen werden. Wie kann eine solche Abschätzung erfolgen? In Anlehnung an Czienkowski (1996) spielen wir im Folgenden vier Gedankenexperimente durch, die zu einer solchen Abschätzung führen. 1

22 Das Grundprinzip der Varianzanalyse Im ersten Fall nehmen wir an, dass wir ein ideales Experiment durchführten, das frei von experimentellen Fehlern wäre, und dass die Nullhypothese wahr wäre. Dann wären alle Messwerte gleich, sowohl innerhalb einer untersuchten Gruppe als auch über alle Gruppen hinweg. Darüber hinaus wären alle Mittelwerte in den untersuchten Gruppen gleich und würden den Messwerten entsprechen. In diesem Fall wäre also keine Variabilität zu beobachten. Im zweiten Fall nehmen wir wieder an, dass wir ein ideales Experiment durchführten. Allerdings sei die Nullhypothese diesmal falsch. Dann wären wieder alle Messwerte innerhalb einer untersuchten Gruppe gleich. Es gäbe allerdings mindestens zwei Gruppen, deren Messwerte sich unterscheiden würden, da ansonsten die Annahme einer falschen Nullhypothese nicht erfüllt wäre. Damit gäbe es auch mindestens zwei Mittelwerte in den untersuchten Gruppen, die sich unterscheiden würden. Während in diesem Fall wieder keine Variabilität innerhalb der untersuchten Gruppen beobachtet werden könnte, würde eine Variablität zwischen den Gruppen (-mittelwerten) vorliegen. Dabei wäre diese Variabilität zwischen den Gruppen ausnahmslos auf das im (idealen) Experiment realisierte Treatment zurückzuführen. Im dritten Fall nehmen wir nun an, dass wir ein reales Experiment durchführten und dass die Nullhypothese wieder wahr wäre. Aufgrund des experimentellen Fehlers würden wir nun erwarten, dass sich die Messwerte innerhalb der untersuchten Gruppen unterscheiden. Damit würden sich im Allgemeinen auch die Mittelwerte in den untersuchten Gruppen unterscheiden, und das, obwohl die Nullhypothese wahr wäre. Die Variablität sowohl innerhalb der untersuchten Gruppen als auch zwischen den Gruppen wäre in diesem Fall also ausnahmslos auf den experimentellen Fehler zurückzuführen. Im vierten und letzten Fall nehmen wir schließlich an, dass wir ein reales Experiment durchführten und dass die Nullhypothese falsch wäre. Aufgrund des experimentellen Fehlers würden wir wieder erwarten, dass sich die Messwerte innerhalb der untersuchten Gruppen unterscheiden. Damit würden sich auch die Mittelwerte in den untersuchten Gruppen unterscheiden, zumal die Nullhypothese als falsch angenommen wurde. Während in diesem Fall die Variablität innerhalb der untersuchten Gruppen wieder ausnahmslos auf den experimentellen Fehler zurückzuführen wäre, müsste die Variabilität zwischen den Gruppen auf den gemeinsamen Einfluss des experimentellen Fehlers und des im Experiment realisierten Treatments zurückgeführt werden.

23 Die Analyse der Varianzen - informell Abbildung.1 veranschaulicht die in den vier Gedankenexperimenten beschriebenen Konstellationen im Überblick. Dabei entspricht die Veranschaulichung des vierten Gedankenexperiments dem Beispiel aus Tabelle.1. Gedankenexperiment 1 Gedankenexperiment Gedankenexperiment Gedankenexperiment 4 Testwert Testwert Testwert Testwert Lehrmethode 1 Lehrmethode Lehrmethode Lehrmethode 4 y y y y ABBILDUNG.1: Eine Veranschaulichung der vier Gedankenexperimente. Wie kann die Verflechtung des Einflusses des experimentellen Fehlers und der Wirkung des im Experiment realisierten Treatments entflochten werden? Die Variabilität innerhalb der Gruppen wird zur Abschätzung des Einflusses des experimentellen Fehlers herangezogen. Wie im Folgenden gezeigt wird, lässt sich auf dieser Grundlage auch die Wirkung des im Experiment realisierten Treatments abschätzen. Quellen der Variabilität Die Gesamtvariabilität der Messwerte, die in einem experimentellen Versuchsplan beobachtet werden kann, sollte sich aus zwei Quellen zusammen setzten: (1) aus der Variabilität innerhalb der untersuchten Gruppen, die sich ausnahmslos auf den Einfluss des experimentellen Fehlers zurückführen lassen sollte, und () aus der Variabilität zwischen den untersuchten Gruppen, die sich auf den gemeinsamen Einfluss des experimentellen Fehlers und des im Experiment realisierten Treatments zurückführen lassen sollte.

24 Das Grundprinzip der Varianzanalyse Werden diese beiden Quellen der Variabilität wie folgt zueinander ins Verhältnis gesetzt, Variabilität zwischen den Gruppen Variabilität innerhalb der Gruppen Wirkung des Treatments + experimenteller Fehler experimenteller Fehler dann ergäbe sich für den Fall, dass die Nullhypothese wahr wäre und damit keine Wirkung des Treatments vorläge, ein Verhältnis in der Nähe von 1. Für den Fall, dass die Nullhypothese falsch wäre, ergäbe sich mit zunehmend größer werdender Wirkung des Treatments ein immer größeres Verhältnis. Die Analyse der Varianzen - formal Um die Nullhypothese testen zu können, müssen die verschiedenen Quellen der Variabiltät zunächst formal gefasst werden. Im Mittelpunkt dieser Formalisierung steht das Konzept der Varianz. Im Folgenden wird von einem einfaktoriellen Versuchsplan ausgegangen, in dem insgesamt p Gruppen von jeweils n Personen untersucht werden. Insgesamt nehmen damit p n Personen an der Untersuchung teil. = N Die Varianz s i ist definiert als das Verhältnis, das sich ergibt, wenn die Summe der quadrierten Abweichungen der individuellen Messwerte vom (Gesamt-) Mittelwert durch die Freiheitsgrade (vgl. Exkurs.1) geteilt wird: p n ( y ij y) s j = 1i = 1 = ( N 1) Quadratsummenzerlegung Aufgrund der Division der Quadratsumme im Zähler durch die Freiheitsgrade (N - 1) kann die Varianz als eine Art mittleres Abweichungsquadrat aufgefasst werden. Die Gesamtquadratsumme QS gesamt lässt sich in zwei Quadratsummen zerlegen: in die Quadratsumme zwischen den Gruppen QSzwischen, die auch als Treatmentquadratsumme bezeichnet wird, und in die Quadratsumme innerhalb der Gruppen QS innerhalb, die auch als Fehlerquadratsumme bezeichnet wird: QS gesamt = QS zwischen + QS innerhalb p n p ( y i j y) = n y j y j = 1 i = 1 j = 1 ( ) + ( y ij y j ) p n j = 1i = 1 4

25 Die Analyse der Varianzen - formal ABBILDUNG.: Eine Veranschaulichung der Quadratsummenzerlegung QS gesamt QS zwischen QS innerhalb EXKURS.1: Das Konzept der Freiheitsgrade Der rechnerische Zusammenhang zwischen Quadratsummen und Varianzen ist einfach: Man erhält die Varianzen, indem man die Quadratsummen durch die Freiheitsgrade dividiert. Weniger offensichtlich zu beantworten sind die Fragen, worum es sich bei den Freiheitsgraden überhaupt handelt und warum durch die Freiheitsgrade dividiert wird. Um die erste Frage beantworten zu können, sollte man sich den Unterschied zwischen der Anzahl von Alternativen und den Freiheitsgraden verdeutlichen. Wenn man zwischen einem Apfel und einer Birne zu wählen hat, dann besteht die Freiheit, sich gegen genau eine der beiden Alternativen zu entscheiden. In diesem Fall ist der Freiheitsgrad gleich 1, obwohl zwei Alternativen vorhanden sind. Wenn nur eine Birne vorrätig ist, dann lässt die Situation überhaupt keine Wahl zu. Damit besteht auch nicht die Freiheit, sich gegen eine Alternative zu entscheiden. In diesem Fall ist der Freiheitsgrad somit gleich Null. Bei drei - oder allgemein N - Alternativen liegen entsprechend zwei - oder allgemein (N - 1) - Freiheitsgrade vor. Die zweite Frage lässt sich auch anders formulieren. Quadratsummen und Varianzen sind zwei verschiedene Streuungsmaße. Warum ist das Streuungsmaß Varianz besser geeignet, als das Streuungsmaß Quadratsumme? Eine Antwort darauf lautet, dass die Freiheit der Versuchsleiterin oder des Versuchsleiters, unterschiedlich genau zu messen beziehungsweise zu klassifizieren, keinen Einfluss darauf haben sollte, ob die beobachteten Mittelwertsunterschiede signifikant werden oder nicht. Zum Beispiel wurde in dem obigen Beispiel die Schulleistung auf einer Skala von 1 bis 10 gemessen. Man hätte die Ergebnisse aber auch in nur drei Kategorien einteilen können. Je nach zugrunde liegendem Kategoriensystem kommt es zu unterschiedlichen Streuungsmöglichkeiten. Je feiner die Kategorien und je genauer die Messungen sind, desto größer ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass Unterschiede gefunden werden. Die Division der gefundenen Quadratsummen durch die Anzahl der möglichen Kategorien gleicht somit die a priori vorgegebene Wahrscheinlichkeit aus, Unterschiede allein aufgrund der gewählten Messmethoden und Kategoriensysteme zu finden. Das hier vorgestellte statistische Verfahren heißt also zu Recht Varianz- und nicht Streuungs- oder Quadratsummenanalyse. In Walker (1940) wird die Grundidee der Freiheitsgrade anhand einfacher geometrischer Beispiele eingeführt und anschließend in Hinblick auf n-dimensionale Geometrien verallgemeinert. Außerdem wird die historische Entstehung der Varianzanalyse nachgezeichnet und erklärt, warum die Grundbegriffe der Varianzanalyse geometrischer Natur sind. 5

26 Das Grundprinzip der Varianzanalyse Entsprechend lassen sich die Gesamtfreiheitsgrade zerlegen: df gesamt = df zwischen + df innerhalb ( N 1) = ( p 1) + p( n 1) Mittlere Abweichungsquadrate Werden die Quadratsummen zwischen und innerhalb der Gruppen durch die zugehörigen Freiheitsgraden dividiert, so ergeben sich die mittleren Abweichungsquadrate zwischen und innerhalb der Gruppen: s zwischen σˆ zwischen = = p n ( y j y) j = ( p 1) s innerhalb σˆ innerhalb = = p n j = 1 i = 1 ( ) y i j y j p( n 1) Quadratsummen df Varianzen ABBILDUNG.: Eine Veranschaulichung der mittleren Abweichungsquadrate Dabei stellt das mittlere Abweichungsquadrat zwischen den Gruppen eine Schätzung für die Varianz zwischen den Gruppen in der Population dar (vgl. Exkurs.), die sich auf den gemeinsamen Einfluss des im Experiment realisierten Treatments und des experimentellen Fehlers zurückführen lässt: s zwischen σˆ zwischen = = σˆ Treatment + σˆ Fehler Das mittlere Abweichungsquadrat innerhalb der Gruppen stellt dagegen eine Schätzung für die (Fehler-) Varianz innerhalb der Gruppen in der Population dar: s innerhalb σˆ innerhalb = = σˆ Fehler Obwohl sich das mittlere Abweichunsquadrat zwischen den Gruppen auf den gemeinsamen Einfluss des im Experiment realisierten Treatments und des 6

27 Die Analyse der Varianzen - formal experimentellen Fehlers zurückführen lässt, wird es oft als Treatmentvarianz (in der Stichprobe) bezeichnet. Das mittlere Abweichungsquadrat innerhalb der Gruppen wird oft als Fehlervarianz (in der Stichprobe) bezeichnet. Werden beide Varianzschätzungen zueinander ins Verhältnis gesetzt, σˆ zwischen σˆ innerhalb = σˆ Treatment σˆ Fehler σˆ Fehler dann ergäbe sich für den Fall, dass die Nullhypothese wahr wäre, wieder ein Verhältnis in der Nähe von 1. Für den Fall, dass die Nullhypothese falsch wäre, ergäbe sich mit zunehmend größer werdender Wirkung des Treatments wieder ein immer größeres Verhältnis. Für den Fall, dass die Nullhypothese zutrifft, stellen die Varianzen σˆ zwischen und σˆ innerhalb also zwei unabhängige Schätzungen für die Fehlervarianz in der Population dar. σ Fehler Da diese Varianzen aber nur Schätzungen für die entsprechenden Varianzen in den Populationen darstellen, aus denen die untersuchten Gruppen stam- EXKURS.: Populationsparameter und Stichprobenkennwerte Ein wichtiges Ziel wissenschaftlicher Unternehmungen ist das Beschreiben von Verursachungsbeziehungen, die für eine bestimmte Gesamtmenge oder Grundgesamtheit von Personen, wie zum Beispiel alle Schülerinnen und Schüler, Gültigkeit besitzen. Eine solche Grundgesamtheit wird auch als Population bezeichnet. In der Regel wird die interessierende Population aber zu groß sein, um vollständig untersucht werden zu können. Vielmehr wird zumeist nur eine sehr kleine Teilmenge der Population an einer Untersuchung teilnehmen. Diese Teilmenge bildet die Stichprobe. Wie sich eine Variable in einer untersuchten Stichprobe verteilt, wird durch statistische Kennwerte beschrieben. Im Falle normalverteilter Variablen sind zwei wichtige Stichprobenkennwerte das arithmetische Mittel y und die Varianz s einer Variablen. Stichprobenkennwerte werden in der Regel in lateinischen Buchstaben notiert. Die entsprechenden Kennwerte für die Population, wie zum Beispiel das arithmetische Mittel µ und die Varianz σ einer Variablen, werden als Populationsparameter bezeichnet. Sie werden in der Regel in griechischen Buchstaben notiert. Da die eigentlich interessierenden Populationsparameter im Allgemeinen unbekannt sind, können sie auf Grundlage der Stichprobenkennwerte lediglich geschätzt werden. So stellt zum Beispiel das arithmetische Mittel y in der Stichprobe einen erwartungstreuen Schätzer für das arithmetische Mittel µ in der Population dar, aus der die Stichprobe entnommen wurde: werden der Population unendlich viele Stichproben entnommen und wird für jede Stichprobe das arithmetische Mittel berechnet sowie anschließend das arithmetische Mittel dieser Mittelwerte bestimmt, so entspricht das Ergebnis dem arithmetischen Mittel in der Population. Dass ein Stichprobenkennwert einen erwartungstreuen Schätzer für einen Populationsparameter darstellt, wird in manchen Fällen durch die Dach-Notation zum Ausdruck gebracht: y = µˆ. 7

28 Das Grundprinzip der Varianzanalyse men, muss bestimmt werden, wie wahrscheinlich es ist, auf der Grundlage eines bestimmten experimentellen Versuchsplans ein bestimmtes Verhältnis zu erhalten. Das Testen der Nullhypothese F-Wert Werden zwei unabhängige Schätzungen für die Populationsvarianz ins Verhältnis gesetzt, so führt dies zum F-Wert F = σˆ zwischen σˆ innerhalb mit den Zählerfreiheitsgraden df Zähler = (p -1) und den Nennerfreiheitsgraden df Nenner = p (n - 1). VANOVA-Link:.1 Würde eine sehr große Anzahl Experimente mit gleich vielen und gleich großen Gruppen beziehungsweise Stichproben durchgeführt, für jedes Experiment der F-Wert berechnet und festgehalten, wie oft jeder F-Wert vorkommt, so ergäbe sich eine Stichprobenkennwerteverteilung, die als F-Verteilung bezeichnet wird: ABBILDUNG.4: Verhältnisbildung von Varianz zwischen und innerhalb der Gruppen sowie F-Verteilung In der Praxis werden solche Stichprobenkennwerteverteilungen mit Hilfe von Computerprogrammen bestimmt. 8

29 Übungsaufgaben Von besonderer Bedeutung ist in diesem Zusammenhang die F-Verteilung, die sich ergibt, wenn die Nullhypothese wahr ist. Eine solche F-Verteilung gibt unmittelbar darüber Auskunft, wie wahrscheinlich es bei wahrer Nullhypothese ist, auf der Grundlage eines experimentellen Versuchsplans mit einer bestimmten Anzahl von Gruppen sowie einer bestimmten Anzahl von untersuchten Personen pro Gruppe einen bestimmten F-Wert zu erhalten. Ein F-Wert, der mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 5% - bei einer gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% - beziehungsweise 1% - bei einer gewählten Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% - beobachtet werden kann, wird bei wahrer Nullhypothese als so unwahrscheinlich angesehen, dass er als signifikant bezeichnet wird. Als Folge davon wird die Nullhypothese zurückgewiesen und die Alternativhypothese angenommen. In Abbildung.4 entsprechen die genannten Irrtumswahrscheinlichkeiten F- Werten, durch die die oberen 5% beziehungsweise 1% der Fläche der F-Verteilung abgeschnitten werden. Übungsaufgaben Aufgabe 1 VANOVA-Link:. Spielen Sie die auf den Seiten 17 bis 19 beschriebenen vier Gedankenexperimente mit Hilfe von VANOVA selber einmal durch. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit den Darstellungen in Abbildung.1. Ausgewählte Literaturhinweise Bortz, J. (1999). Statistik für Sozialwissenschaftler (5. Aufl.). Berlin: Springer Verlag. Bortz, J. & Döring, N. (00). Forschungsmethoden und Evaluation für Human- und Sozialwissenschaftler (. Aufl.). Berlin: Springer Verlag. Czienskowski, U. (1996). Wissenschaftliche Experimente: Planung, Auswertung, Interpretation. Weinheim: Psychologie Verlags Union. Graziano, A. M. & Raulin, M. L. (000). Research methods - A process of inquiry (4th ed.). Boston, MA: Allyn and Bacon Publishers. 9

30 Das Grundprinzip der Varianzanalyse Hays, W. L. (1994). Statistics (5th ed.). Forth Worth, TX: Harcourt Brace College Publishers. Herzog, T. (1996). Research methods in the social sciences. New York, NY: Harper Collins College Publishers. Huber, O. (000). Das psychologische Experiment: Eine Einführung (. Aufl.). Bern: Huber Verlag. 0

31 KAPITEL Eine Varianzanalyse selber zeichnen In diesem Kapitel wird Schritt für Schritt beschrieben, wie die verschiedenen Konzepte einer Varianzanalyse in VANOVA visualisiert werden. Dabei wird nicht auf das Computerprogramm VANOVA zurück gegriffen. Vielmehr werden die Visualisierungen von Hand erstellt, mit dem Ziel, ein Verständnis für die Gestaltung und Bedeutung der verschiedenen Visualisierungen zu vermitteln. Die Leserinnen und Leser sind eingeladen, die Visualisierungen auf Grundlage des Textes zunächst selbst von Hand nach zu zeichnen und anschließend mit Hilfe von VANOVA zu überprüfen. Die Veranschaulichung der Varianzanalyse Eine VANOVA veranschaulicht die Grundprinzipien der Varianzanalyse, indem sie Daten in Punkte, Mittelwerte in Linien und Abweichungsquadrate, Quadratsummen sowie Anteile von Quadratsummen in Flächen übersetzt. Sie kommt deshalb fast vollständig ohne Formeln aus. Diese Geometrisierung soll die algebraische Behandlung, wie man sie in gängigen Statistiklehrbüchern findet, jedoch nicht ersetzen sondern ergänzen. Wir empfehlen mindestens einmal eine Varianzanalyse von Hand zu zeichnen, um den Aufbau einer VANOVA nachvollziehen zu können. Dieses zugegebenermaßen aufwändige Verfahren bietet gegenüber der Anwendung von Formeln verschiedene Vorteile. Beim Zeichnen können durch den visuellen Vergleich von Flächenanteilen ganz beiläufig Plausibilitätsprüfungen vorgenommen werden, während Rechenfehler bei herkömmlichen Analysen leicht unentdeckt bleiben. Für das Verständnis der Varianzanalyse ist es jedoch entscheidend, dass sich durch den Zeichenvorgang die einzelnen Schritte der Varianzanalyse und deren jeweilige Voraussetzungen besser 1