Effiziente und zuverlässige Finite-Elemente-Methoden zur Simulation des menschlichen Unterkiefers

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1 Berichte des IZWR, Band 1, 2003: c 2003 IZWR, FSU Jena Effiziente und zuverlässige Finite-Elemente-Methoden zur Simulation des menschlichen Unterkiefers Jens Lang TU Darmstadt, Fachbereich Mathematik, D Darmstadt, Germany Bodo Erdmann, Cornelia Kober, Peter Deuflhard Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik, D Berlin, Germany Hans-Florian Zeilhofer, Robert Sader Klinikum Rechts der Isar, D München, Germany Zusammenfassung: Die Technik der Computer-Tomographie erlaubt es, die individuelle Gestalt eines menschlichen Unterkiefers mit hoher Auflösung zu reproduzieren. Dabei gelingt insbesondere eine gute Trennung von kortikalem und spongiosem Knochengewebe. Zusammen mit dem anatomischen Wissen über Aufbau und Funktionsweise der Kaumuskulatur lassen sich mit Hilfe von Hochleistungsrechnern realistische Belastungssituationen an menschlichen Kiefern simulieren. Wir modellieren das Verhalten des Knochenmaterials linear-elastisch und lösen die resultierenden Elastitizitätsgleichungen mit einer adaptiven Finite-Elemente-Methode. Die Kontrolle des Diskretisierungsfehlers durch lokale Gitterverfeinerung und die Verwendung moderner Multilevel-Techniken garantiert die Zuverlässigkeit und Effizienz der Simulationen. 1. Einleitung Ein detailliertes Verständnis des mechanischen Verhaltens eines menschlichen Unterkiefers ist seit langer Zeit Gegenstand der medizinischen und biomechanischen Forschung. Genauere Kenntnis der Verzerrungen und Spannungen, zum Beispiel in gewöhnlichen Bisssituationen, erlaubt eine verbesserte Einschätzung der Erfordernisse in der Osteosynthese- und Implantationstechnik. Zur Berechnung der lokalen Spannungen stellen die Finite-Elemente-Methoden (FEM) im Bereich der Biomechanik ein bewährtes Hilfsmittel dar. Ziel dieser Arbeit ist es, den Vorteil von adaptiven FEM bei biomechanischen Simulationen aufzuzeigen. Aufgrund ihrer Zuverlässigkeit und Effizienz bezüglich der Rechenzeit finden adaptive Verfahren zunehmend Anwendung in modernen Simulationsprogrammen zur Lösung realer Probleme. Wegen der komplexen Geometrie und des komplizierten Zusammenspiels der Kaumuskeln stellt die Modellierung und Simulation des menschlichen Unterkiefers ein interessantes interdisziplinäres Problem dar. Diese Arbeit reiht sich in umfangreichere Untersuchungen zum Unterkiefer ein. Eine Beschreibung des Simulationskonzepts kann in [11] nachgelesen werden. Frühere FEM-Untersuchungen zum strukturellen Verhalten des menschlichen Kiefers finden sich etwa in Korioth et al. [13, 14] und Hart et al. [9]. Es gibt eine Menge aktueller Forschungsergebnisse zur Interaktion von menschlichem Kiefer mit Zahnimplantaten, z.b. [18]. Dabei fanden Techniken zur adaptiven Gittersteuerung allerdings noch keine Berücksichtigung. 49

2 50 J. Lang, B. Erdmann, C. Kober, P. Deuflhard, H.-F. Zeilhofer, R. Sader 2. Simulationskonzept 2.1. Das Modell Die strukturmechanische Simulation erfordert die Rekonstruktion der Geometrie des untersuchten Teiles, eine geeignete Beschreibung des Materialgesetzes und die Definition des Lastfalls. In unserem Problem liegt Knochengewebe vor, das eines der härtesten und steifesten Gewebe im menschlichen Körper darstellt. Knochen ist ein hoch komplexes, zusammengesetztes Material. Seine mechanischen Eigenschaften sind anisotrop, inhomogen und viskoelastisch. Makroskopisch betrachtet, lassen sich zwei Arten von Knochengewebe am menschlichen Unterkiefer unterscheiden: Im äusseren Bereich haben wir kortikales, im inneren spongioses Gewebe, vergleiche Abbildung 2.1 [15, 18]. Abb Die Knochenstruktur des menschlichen Unterkiefers ([19, 18]) Abb Die Trennung von kortikalem und spongiosem Knochengewebe in der Simulation Computertomographie-Daten (CT) sind die Grundlage unserer Simulationen am Kieferknochen. Dadurch kann die individuelle geometrische Gegebenheit sehr gut wiedergegeben werden, ebenso die Trennung zwischen kortikalem und spongiosem Gewebe, siehe Bild 2.2. Die CT-Daten liefern ein Bild der Dichte, aber keine Informationen über die anisotropen Materialgesetze. Hier beschränken wir uns auf den isotropen, inhomogenen, linear-elastischen Fall, der durch die Lamésche Differentialgleichung modelliert wird. Bei der Auswahl der Materialparameter verweisen wir auf die Ergebnisse aus [3] zum kortikalen Knochen. Viele Experimentatoren, z.b. [25], gehen bei spongiosem Gewebe von einem Zehntel der Steifheit des kortikalen Knochens aus. Bezüglich des elastischen Koeffizienten der Zähne nehmen wir einen Durchschnitt der in der Standardliteratur verfügbaren Werte an: E = 13.3 GPa, ν = in der Kortikales, E = 1.33 GPa, ν = in der Spongiosa, E = 16.0 GPa, ν = im Zahn. In Hinblick auf anisotrope Simulationen verweisen wir auf die Forschungsaktivitäten der Gruppe [10, 12]. Die Orientierung und Werte der auftretenden Muskelkräfte entnehmen wir den biomechanischen Experimenten von Moog [17]. Nach Moog kommt seitliches Beißen durch eine Kombination von Musc. Temporalis, Masseter-Pterygoidus-Schlinge und Gegenkräften an den Gelenkköpfen zustande, siehe Tabelle 2.1. Die FEM-Simulation erfordert eine Spezifikation der Kraftdichten [N/m 2 ] an Stelle von Kräften [N], wie bei Moog angegeben. Deshalb dividieren

3 Effiziente und zuverlässige Finite-Elemente-Methoden 51 wir die angegebenen Kräfte durch die Ansatzflächen der Muskeln und setzen somit eine konstante Kraftdichte für den jeweiligen Muskel an. Winkel zur Wert der Kraft Wert der Kraft alveolaren an der Angriffs- an der Aus- Ebene fläche [N] gleichsseite [N] Musc. temporalis Mass.-Pteryg.-Schlinge Gelenkköpfe Tabelle 2.1. Muskuläre Belastung in den Experimenten von Moog [17]. Besondere Modifikationen sind notwendig, um den Bisspunkt zu beschreiben, hier am ersten Prämolar, siehe Bild 4.2. Beim Beißen wird Nahrung die keinem linear-elastischen Materialgesetz gehorcht zwischen dem Unter- und Oberkiefer zerkaut. Die Kaubewegung wird dabei durch Muskelaktivitäten und Wechselwirkungen mit dem Kiefergelenk bewirkt. Ohne vereinfachende Annahmen müsste ein komplexes dynamisches Kontaktproblem modelliert werden, das auch den unteren Schädel in Betracht zieht. Die erste Vereinfachung, die auch bei Moog vorgenommen wurde, ist die Beschränkung auf eine statische Situation. Wir gehen ferner vom (schlimmst möglichen) Fall eines sehr harten, nicht deformierbaren Gegenstands aus, der gekaut wird, so dass der obere und untere Kieferknochen an der Bissstelle unbeweglich sind. Insbesondere haben in unserer Untersuchung die Zähne nur die Funktion, den Widerstand des Gegenstands bei der Kaubewegung auf den Unterkiefer weiterzuleiten. Unser Anliegen ist also nicht die genaue Simulation der Zähne, sondern vielmehr des Kieferknochens. So gehen wir von einem kleinen kubischen Gegenstand aus, der perfekt an den Zahnspitzen anliegt. Das entspricht einer Fixierung der Bewegung am Bisspunkt, was in unserer Rechnung durch die Annahme von homogenen Dirichlet-Randbedingungen eingeht Algorithmus und Software In unserer Simulation spielen zwei Software-Pakete eine wesentliche Rolle. Zum einen die Visualisierungssoftware Amira TM [23] für die Generierung von Volumengittern aus CT-Daten und die Darstellung der Resultate. Zum anderen das FEM-Programm Kaskade [1]. Beide Programme wurden am Zuse-Institut Berlin entwickelt. Die teilweise oder gar die volle automatische Aufbereitung von medizinischen Daten zu Gittermodellen, die in FEM-Codes verarbeitbar sind, ist immer noch eine große wissenschaftliche Herausforderung. Nach der halbautomatischen Segmentierung der CT-Daten erlaubt der Algorithmus zur Generierung von Oberflächen in Amira eine zufriedenstellende Rekonstruktion der individuellen Geometrie, siehe Bild 4.3 (oben links). Die Erzeugung von Volumengittern unmittelbar aus diesen Oberflächen führt zu praktisch unhandlichen, weil viel zu feinen Gittern, die auch noch in ihrer Qualität (z.b. stumpfe Winkel) numerisch ungünstig sein können. Daher folgen zunächst einige Vergröberungsschritte mit Glättung und interaktiven Gittermanipulationen, um die Gitterqualität zu verbessern. Zu diesem Zweck wurde ein Simplifizierungsalgorithmus der Computergraphik [8] angepasst, der insbesondere Überschneidungen vermeidet und günstige Winkel in den Oberflächendreiecken sicherstellt. Erst dann werden tetraedrische Volumengitter für die FEM-Rechnung erzeugt. Detaillierte Informationen zu diesem Vorgehen finden sich in [22, 24, 20]. Zur FEM-Simulation benutzen wir das Programm Kaskade ([6], [4]). Dieser Finite-Elemente-Code nutzt eine adaptive Steuerung der Gitterfeinheit, um eine Lösung von genügend hoher Genauigkeit zu berechnen. Diese kann dann mittels Amira visualisiert werden, vergleiche den Abschnitt 4.2.

4 52 J. Lang, B. Erdmann, C. Kober, P. Deuflhard, H.-F. Zeilhofer, R. Sader 3. Adaptive Finite-Elemente-Methoden Unsere Simulation des menschlichen Unterkiefers wird durch die physikalischen Gesetze der linearen Elastizität im dreidimensionalen Raum bestimmt. Die entsprechenden stationären partiellen Differentialgleichungen lösen wir mit linearen Finite-Elemente-Methoden. Tetraedrische Gittermodelle des Unterkiefers gestatten eine getreue Wiedergabe der komplizierten Geweberänder. Die adaptive Gitterverfeinerung in Kaskade ermöglicht eine effiziente und zuverlässige Berechnung der Lösung. Dabei wird das Startgitter automatisch in den Regionen verfeinert, wo die gewünschte Genauigkeit noch nicht erreicht ist, vergleiche [6]. Diese adaptive Technik wird durch Fehlerschätzer kontrolliert, die eine Schätzung für den lokalen Diskretisierungsfehler in der berechneten Verschiebung liefern. Eine effiziente Implementierung [7] solcher adaptiven Gitterverfeinerung stellt besondere Anforderungen an die Datenstrukturen, ohne die sich die Komplexität der Daten nur schwer beherrschen lässt. Adaptive Verfahren spielen eine wichtige Rolle in der Modellierung und Simulation naturwissenschaftlicher Prozesse, da durch die Kontrolle des numerischen Fehlers die Größe des Modellierungsfehlers deutlich wird. Erst so kann eine Aussage über die Zuverlässigkeit der Modellierung getroffen werden. Verglichen mit Methoden, die nur auf uniform verfeinerten Gittern arbeiten, können adaptive Verfahren erheblich an Aufwand sparen. 4. Ergebnisse Bei den hier dargestellten Simulationen wurde der allgemein zugängliche Datensatz (CT) des weiblichen Visible Human eingesetzt, siehe [2] Schrittweise Gittervergröberung und -verfeinerung Die mittels Amira erzeugten Oberflächengitter des Unterkiefers, Bild 4.3 (oben links), besteht aus Punkten bzw Randdreiecken. Das Ergebnis einiger Vergröberungsschritte ist im Bild 4.3 (unten links) zu sehen. Das entsprechende Volumengitter besitzt Tetraeder bzw Punkte. Es dient als Startgitter (Stufe 0) in der adaptiven Rechnung. maximum deformation 5.1e e-05 5e e e e-05 adaptive 4.8e e-05 uniform 4.7e number of grid points Abb Adaptive gegen uniforme Gitterverfeinerung: Maximale Verschiebungen Im hier betrachteten Lastfall des lateralen Bisses wird das Gitter schrittweise von Stufe 0 bis nach Stufe 3 verfeinert, siehe Bild 4.3. Eine weitere Verfeinerung führt zu keinen signifikanten Veränderungen mehr.

5 Effiziente und zuverlässige Finite-Elemente-Methoden 53 In Abbildung 4.1 zeigen wir die maximalen Beträge der Verschiebung für adaptive sowie für uniforme Gitterverfeinerung. Sie treten auf im linken Muskelfortsatz am Ansatz des Musc. Temporalis. Der Vergleich macht deutlich, dass die adaptive Methode bei hohen Genauigkeitsanforderungen viel effizienter ist als die uniforme. "biting point" Abb Stufe 3 der adaptiven Verfeinerung mit einer 1000-fach verstärkten Darstellung der durch den lateralen Biss deformierten Geometrie. Die ursprüngliche Gestalt ist transparent abgebildet. Bild 4.2 zeigt einen Vergleich des originalen undeformierten Kiefers mit dem deformierten (1000-fach verstärkte Darstellung) Spezifische Kennwerte Kaskade berechnet die dreidimensionale Verschiebung und die sechs Elemente des Spannungsund Verzerrungstensors. Diese werden zur Ermittlung einiger charakteristischer Kenngrößen verwendet, die wir im Weiteren darstellen. Wegen der nur hilfsweisen Bedeutung der Zähne in unserer Simulation werden sie bei der Visualisierung der Daten nicht dargestellt. Die Von-Mises-Spannung repräsentiert den Torsionsanteil der Verzerrungs-Energie-Dichte bei isotropen Materialien. Sie gibt ein gutes Maß für die Fließgrenze von isotropen, dehnbaren Materialien. Zahlreiche Experimente, z.b. [5], zeigen, dass kortikaler und auch spongioser Knochen ein Kriechverhalten ähnlich wie Metall oder Keramik aufweisen, siehe auch [5]. Somit ist die Berechnung der Von-Mises-Spannung, wenngleich auch nur im isotropen Fall, von großer Aussagekraft. Die Abbildungen 4.4 und 4.5 zeigen den Unterschied zwischen den Ergebnissen auf dem groben Startgitter und auf dem verfeinerten Gitter (Stufe 4). In beiden Rechnungen liegt das Maximum der Spannung am Muskelfortsatz auf der Arbeitsseite, wohingegen in den Kondylen trotz

6 54 J. Lang, B. Erdmann, C. Kober, P. Deuflhard, H.-F. Zeilhofer, R. Sader Abb Linke Spalte: 3 Schritte der Gittervergröberung mittels Amira, links unten: Startgitter (Stufe 0) für FEM, rechte Spalte: Stufe 1, 2 und 3 im adaptiven Verfeinerungsprozess von Kaskade.

7 Effiziente und zuverlässige Finite-Elemente-Methoden 55 der angenommenen Gelenkkräfte nahezu das Minimum erreicht wird, was in Übereinstimmung mit den Experimenten von Moog [17] ist. Die Veränderung des Spannungsmaximums von 2,81MPa auf dem Grobgitter zu einem Wert von 4,34MPa auf dem verfeinerten Gitter zeigt die Bedeutung des angepassten Gitters für die berechneten Werte. Experimente und Simulationen in [21] legen die Vermutung nahe, dass die Interpretation der Volumendehnung größere Aussagekraft bei der Vorhersage lokaler Schädigung des Knochens hat als die von Spannungen. Deshalb untersuchen wir ebenfalls die Auswirkung der adaptiven Gitterverfeinerung auf die Dehnung, siehe Abbildungen 4.6 und 4.7. Der Vergleich der Resultate von Stufe 0 und Stufe 4 ergibt ein ähnliches Verhalten wie bei der Von-Mises-Spannung. Beide Berechnungen zeigen zwar ein qualitativ ähnliches Ergebnis, jedoch eine signifikante Veränderung in den quantitativen Werten. Abb Von-Mises-Spannung (Berechnung Stufe 0), maximum: 2.81e+06. Abb Von-Mises-Spannung (Berechnung Stufe 4), maximum: 4.34e+06. Abb.4.6. Dehnung (Berechnung Stufe 0). Abb.4.7. Dehnung (Berechnung Stufe 4) Fazit Diese Arbeit zeigt in erster Linie den Einfluss von adaptiven Finite-Elemente-Techniken auf die Resultate biomechanischer Simulationen. Als Beispiel wurde der Lastfall eines lateralen Bisses betrachtet. Bei adaptiver Verfeinerung stellt man ein konvergentes Verhalten in der Verschiebung nach drei Schritten fest. Bei der Berechnung einiger charakteristischer Kenngrößen, wie der Von-Mises-Spannung oder der Dehnung, beobachten wir qualitativ gleichwertige Resultate

8 56 J. Lang, B. Erdmann, C. Kober, P. Deuflhard, H.-F. Zeilhofer, R. Sader auf Grob- und Feingitter. Quantitativ liegen aber noch erhebliche Abweichungen vor. Für die medizinische Anwendung sind qualitativ zuverlässige Ergebnisse gefragt, wie sie hier nur adaptiv berechnet werden konnten. Eine adaptive Methode wie Kaskade berechnet Lösungen auf Feingittern effizient, weil sie im Gegensatz zu uniform verfeinernden Verfahren nur soviel zusätzliche Punkte ins Ausgangsgitter legt, wie für die Gewährleistung der gewünschten Genauigkeit notwendig ist. Literatur [1] [2] National Library of Medicine. The Visible Human Project, research/visible/visible human.html, [3] R.B. Ashman, W.C. Van Buskirk: The elastic properties of a human mandible. Adv. Dent. Res. 1 (1987), pp [4] F. Bornemann, B. Erdmann, R. Kornhuber: Adaptive multilevel-methods in three space dimensions, Int. J. Num. Meth.in Eng, Vol. 36, (1993), pp [5] S. Bowman, T. Keaveny, L. Gibson, W. Hayes, T. McMahon: Compressive Creep Behaviour of Bovine Trabecular Bone. J. Biomech., 27 (1994), pp [6] P. Deuflhard, P. Leinen, H. Yserentant: Concepts of an Adaptive Hierarchical Finite Element Code. IMPACT Comp. Sci. Eng. 1 (1989), pp [7] B. Erdmann, J. Lang, R. Roitzsch: KASKADE-Manual, Technical Report TR 93-05, Konrad-Zuse-Zentrum Berlin (ZIB), [8] M. Garland, P.S. Heckbert: Surface Simplification Using Quadratic Error Metrics, in Computer Graphics (Proc. SIGRAPH 97), pp [9] R.T. Hart, V.V. Hennebel, N. Thongpreda, W.C. van Buskirk, R.C. Anderson: Modeling the Biomechanics of the Mandible: A Three-Dimensional Finite Element Study. J. Biomechanics, 25 (1992), pp [10] C. Kober, R. Sader, H. Thiele, H.-J. Bauer, H.-F. Zeilhofer, K.-H. Hoffmann, H.-H. Horch: The Influence of Anisotropic Microstructure of Bone on Macroscopic FEM-Simulation of the Human Mandible. ACAS 99, Augustusburg [11] C. Kober, R. Sader, H. Thiele, H.-J. Bauer, H.-F. Zeilhofer, K.-H. Hoffmann, H.-H. Horch: A Modular Software Concept for the Individual Numerical Simulation (FEM) of the Human Mandible. Biomed. Technik 45 (2000), pp [12] C. Kober, R. Sader, H.-F. Zeilhofer, S. Prohaska, S. Zachow, P. Deuflhard: Anisotrope Materialmodellierung im menschlichen Unterkiefer, 8. Workshop Die Methode der Finiten Elemente in der Biomedizin, Biomechanik und angrenzenden Gebieten der Universität Ulm, [13] T.W. Korioth, D. P. Romilly, A. G. Hannam: Three-Dimensional Finite Element Stress Analysis of the Dentate Human Mandible. Am. J. of Physical Anthropology 88 (1992), pp

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