Ausbildungsseminar. Physik der Musikinstrumente. Das Klavier I, Klangabstrahlung von Membranen und Platten. Universität Regensburg.

Transkript

1 Ausbildungsseminar Physik der Musikinstrumente Das Klavier I, Klangabstrahlung von Membranen und Platten Universität Regensburg gehalten von Alexander Weber aus Regensburg November 2002

2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Aufbau des Klaviers Die Mechanik Klavierspielen Physik der Membrane Differentialgleichung Die rechteckige Membran Entartung Unterschied zur Saite: Runde Membran Reale Membrane Physik der Platte Chladnische Klangfiguren Die dünne Platte Die rechteckige Platte Aufgelegte Platte Freie Enden Die quadratische Platte Quadratische Platten mit festen Enden Holzplatten Klangabstrahlung Schallwellen Klangabstrahlung Multipolentwicklung Mehrere Punktquellen Ebene Quelle Klangabstrahlung einer ausgedehnten Platte Ausblick Anhang 24 Literatur

3 2 INHALTSVERZEICHNIS Danksagung Ich bedanke mich ganz herzlich bei Herrn Habermann von Piano Metz, der mir mit Rat und Tat bei der Vorbereitung dieses Vortrags zur Seite stand. Ohne mich zu kennen, stellte er mir Bücher über den Klavierbau und verschiedene Modelle zu Mechanik und Aufbau des Klaviers zur Verfügung, führte mir Resonanzeffekte und Missstimmungen an seinen Klavieren vor und gewährte mir Einblick in die Kunst des Klavierbaus.

4 3 1 Einleitung Klavier, - cf.[07] - das Wort stammt aus dem Lateinischen und bezeichnet seit 1800 Tasteninstrumente, deren Saiten durch Hämmer angeschlagen werden (Hammerklavier). Da laut und leise gespielt werden kann, wurde es lange auch Pianoforte oder Fortepiano genannt. Seit dem 19.Jahrhundert versteht man unter Klavier meist die aufrechte Form, das Pianino, im Gegensatz zur horizontalen Form, dem Flügel. Geschichtliches Musik ist ein Geschenk der Götter - heisst es bereits in den frühesten Mythen der Völker [09]. Archäologische Funde deuten darauf hin, dass bereits der Neanderthaler vor Jahren einfache Idiophone besaß. Felsmalereien aus den Zeiten der jüngsten Eiszeit zeigen Flöten und einen mit einem Bogen gespielten Musikstab, der als frühester Vorläufer des heutigen Klaviers gedeutet werden kann. Die Geschichte des Klaviers beginnt also vor ca Jahren. Etwa 970 v. Chr. gab es die erste Harfe und bereits 570 v. Chr. erforschte Pythagoras von Samos das Verhältnis von Klang und Zahl an einem einfachen Monochord [09]. Die Zither und das aus ihr entwickelte Psalterium, sowie das Hackbrett sind die nächsten Schritte in Richtung des heutigen Klaviers. Das Hackbrett zählte zwar schon im 16. Jahrhundert nicht mehr zu den instumenta ignobilia, den edlen Instrumenten, ist aber wohl das erste Instrument, dessen Saiten nicht gezupft, sondern mit Klöppeln angeschlagen wurde, und nimmt deshalb eine Sonderrolle in der Geschichte des Klaviers ein. Gegen Ende des 14. Jahrhunderts entstand das erste Clavichord. Das Clavichord ist das erste Saiteninstrument dessen Saiten durch eine Mechanik angeregt werden. Eine Weiterentwicklung des Clavichords sind die sogenannten Kielinstrumente Cembalo, Spinett und Virginal, bei denen die Saiten mittels einer Mechanik angezupft werden. Zur klassischen Zeit des Cembalobaus, dem 17. Jahrhundert, musste so mancher Rabe seine Federn lassen [09] stellte Pantaleon Hebenstreit das nach ihm benannte Pantaleon vor, das bereits über Oktaven verfügte. Das Pantaleon bestand aus zwei Resonanzböden und wurde mit Hämmern, nicht mehr mit Klöppeln angeschlagen. Das große Problem der Instrumente dieser Zeit war, dass kein fließender Übergang zwischen Laut und Leise möglich war. Erst Bartolomeo Cristofori, 1655 in Padua geboren, konnte mit seiner 1698 vorgestellten Mechanik das Problem lösen. Das Ergebnis war das Gravicembalo col piano e forte. Der Cembalobauer Gottfried Silbermann ( ) baute mit Cristoforis Mechanik die ersten Hammerklaviere und Hammerflügel, die er unter anderem Johann Sebastian Bach vorstellte. Dieser klagte jedoch über den Anschlag und blieb bis zu seinem Lebensende seinen Cembali treu [09]. Mitte des 18. Jahrhunderts war das Pianoforte in ganz Europa gefragt und viele Klavierbauer arbeiteten an den Details. So werden z.b. die Hämmer mit Filz anstelle von Leder bezogen. Unter den bekanntesten Klavierbauern war auch Sebastian Érard ( ), der Cristoforis Mechanik zu ihrer heutigen Form verfeinerte. In den folgenden hundert Jahren entstehen das Tafelklavier ( square pianoforte ), eine sehr kompakte Version des Flügels, und die ersten Pianinos. Der von dem deutschstämmigen Amerikaner Henry Steinway 1855 in einen großen Konzertflügel eingebaute gusseiserne Rahmen stellte einen weiteren Fortschritt in der Geschichte des Klavierbaus dar. Die bis dahin verwendenten Holzrahmen konnten den ungeheuren Belastungen von bis zu 30 Tonnen Zug von allen Saiten zusammen nicht standhalten [L2].

5 4 2 AUFBAU DES KLAVIERS 2 Aufbau des Klaviers Abbildung 1: Die gesamte Mechanik eines Klaviers Die wesentlichen Teile eines Klaviers sind die folgenden: Die Mechanik (cf. 2.1), die die Saiten anschlägt (cf. Abb. 2 und 3). Die Besaitung ist in einem Graugussramen verspannt, der auf den Resonanzboden gepresst wird. Natürlich sind diese Komponenten in einem Gehäuse untergebracht. Dem Gehäusebau wird heute viel Aufmerksamkeit gewidmet, da das Gehäuse einen wesentlich Beitrag zur Klangqualität leistet. Beim Klavierbau kommen die folgende Materialien zum Einsatz [L2]: Raste: Fichte, Kiefer, Schichtholz Resonanzboden: hochwertige feinjährige Fichte Stimmstock: Rotbuche, Ahorn, Schichtholz Stege: Rotbuche mit Aufdoppelungen, Ahorn, Schichtholz Klaviatur: Fichte mit Kunststoff- oder Elfenbeinbelag Mechanik: Weissbuche, Ahorn, Birke, Schichtholz, teilweise auch Kunststoffe Gehäuse: Plattenwerkstoffe mit edlen Furnieren Gussplatte: Grauguss Hammerköpfe: unter Spannung verpresste Filztafeln aus langfasrigen Wollfäden Saiten: Stahl, Kupfer. Der Saitenzug beträgt ca N (entspricht 17 t) Leime: PVAC-, Kaurit-, Hut- und Knochenleime Überzug: Öle, Wachse, DD-, NC-Lacke, Polyesterlacke Tabelle 2 zeigt einen Ausschnitt aus der Mensur des glatten Pianobezuges (übernommen aus [08]). Die Länge der Saiten reicht von wenigen Zentimetern bis zu über einem Meter. Zu beachten ist, dass sich die Saiten in ihren Durchmessern nur um kleinste Nuancen unterscheiden. Tabelle2: Die Mensur des glatten Pianobezugs Ton c cis d dis e f fis g gis a ais h Saitenlänge 1205,2 1143,7 1085,3 1029,9 977,3 927, ,1 792,2 751,8 713,4 677 kleine Anschlagslänge ,7 128,8 122, ,4 99, ,2 84,7 Oktave Drahtstärke 1,1014 1,0955 1,0897 1,0839 1,0781 1,0724 1,0667 1,0610 1,0554 1,0498 1,0442 1,0386 Saitenlänge 97,5 92,5 87,8 83,3 79,1 75,1 71,2 67,6 64,1 60,8 57,7 54,8 vier- Anschlagslänge 6,6 6,1 5,7 5,3 4,9 4,6 4,2 3,9 3,6 3,3 3,1 2,9 gestrichene Drahtstärke 0,8528 0,8483 0,8438 0,8393 0,8304 0,8304 0,8260 0,8216 0,8172 0,8129 0,8086 Oktave Drahtstärke 52 fünf- Anschlagslänge 2,7 gestrichene Drahtstärke 0,8000 Oktave Alle Angaben in mm.

6 2.1 Die Mechanik Die Mechanik Abbildung 2: Die Mechanik eines modernen Klaviers Klavier Flügel Bezeichnung 1 1 Waagepunkt 2 Verbindungsschraube 3 3Hebelglied/ Hebelgliedschenkel 4 4Stoßzunge 5 5Hammernuss/ Hammerstielrolle 6 6 Hammerkopf 7 Hebelarme 7 Stoßzungenarm 8 Konterfänger 8 Auslösepuppe 9 13 Fänger 9 Hammerstiel 10 Hammernussfeder 10 Stellschraube 11 Bändchen 11 Repetierschenkel 12 Bändchendrähte 12 Repetierbändchen Dämpfer 14 Dämpferrahmen Bleigewichte zum Gewichten der Tasten 16 Dämpferlöffel 17 Dämpferarme 18 Stange des Fortepedals 19 Dämpferhebeglieder Nur wenn die Taste mit ausreichender Kraft gedrückt wird, überträgt sie genügend Impuls auf die Hebegliedeinheiten und damit auf den Hammer, so dass ein Ton erzeugt wird. Der Hammer wird mit Schwung gegen die Saite geworfen und kehrt danach sofort in seine Ausgangsposition zurück. Mit dem Drücken der Taste wird der Dämpfer von der Saite weg bewegt. Er geht erst in seine Ausgangsposition zurück, wenn die Taste wieder ausgelassen wird. Abbildung 3: Die Mechanik eines modernen Flügels

7 6 2 AUFBAU DES KLAVIERS 2.2 Klavierspielen Wie es der ursprüngliche Name Pianoforte schon sagt, lässt sich ein Klavier bzw. Flügel von pianissimo bis fortissimo kontinuierlich in jeder Lautstärke spielen. Drückt man eine Taste, klingt der Ton so lange, bis man sie wieder auslässt. Die Dämpfer erlauben es dem Pianisten auch hartes Stacatto zu spielen oder im Gegensatz dazu mit dem Dämpferpedal Klänge über mehrere Takte hin klingen zu lassen. Eine Besonderheit des Flügels ist das Sustenuto-Pedal. Durch Drücken des Sustenuto-Pedals werden die Dämpfer von allen gerade gedrückten Tasten fixiert, so dass der Pianist die Tasten auslassen kann, ohne damit die Töne zu beenden. Das Una-Corda-Pedal, nur im Flügel ist der Name berechtigt, verschiebt sämtliche Hämmer zu einer Seite, so dass sie nur noch zwei der drei Saiten pro Ton anschlagen. Der Ton wird so leiser, aber hält fast genau so lange wie ein lauter Ton, da der Resonanzboden mit der Zeit die dritte Saite zu Schwingungen anregt, die lange nachhalten [03]. Im Klavier, dagegen, bewirkt das Drücken des Dämpferpedals, dass sämtliche Hämmer um ein Stück auf die Saite zu bewegt werden, so dass der gespielte Ton leiser ist. Leider hält im Klavier der auf diese Weise gespielte Ton nicht so lange, da die drei Saiten schnell außer Phase laufen. Abbildung 4: Das Klavier ohne Deckplatten

8 7 3 Physik der Membrane Abbildung 5: Kräfte auf ein rechteckiges Membranelement Als Vorbereitung der Schwingung einer Platte soll nun die Schwingung der Membran behandelt werden. Die Gleichungen der Membran können als Verallgemeinerung der Gleichungen für die gespannte Saite verstanden werden. Allerdings gibt es einen wesentlichen Unterschied zwischen Membran und Saite: die Reaktion auf eine punktförmige Kraft (cf ). Später können die Gleichungen für die Schwingung der Membran benutzt werden, um auf die Eigenschaften einer schwingende Platte zu schließen (cf. 3.2). Die genaue Behandlung der schwingenden Platte erfolgt in Abschnitt Differentialgleichung Der einfachste Fall ist eine rechteckige Membran der Länge L x und Breite L y mit konstanter Flächendichte σ und Oberflächenspannung T. In Abbildung 5 ist die Konstruktion der Kräfte auf ein rechteckiges Membranelement gezeigt. Das Element wird um ein kleines Stück dz ausgelenkt. Auf den Rand dx wirkt die Kraft T dx, auf dy wirken die vertikalen Komponenten T sin α dx und T sin β dx. Es kann die Kleinwinkelnäherung angewendet werden: ( ) z sin α tan α = y ( ) z sin β tan β = y Die Kraft in z-richtung auf das Element dxdy am Rand dx ist [ ( ) ( ) ] z z F y = T dx = T dx 2 z dy (2) y y+dy y y y2 Analog ergibt sich die Kraft auf den Rand dy: y+dy y F x = T dy 2 z dx (3) y2 Die gesamte Kraft in z-richtung ist F = F z + F y, somit erhält man als Bewegungsgleichung: ( 2 ) z T dxdy x z y 2 = σdxdy 2 z t 2 (1)

9 8 3 PHYSIK DER MEMBRANE bzw. 2 z t 2 = T ( 2 ) z σ x z y 2 = c 2 2 z (4) Gleichung (4) ist eine Wellengleichung für transversale Wellen, die sich mit der Geschwindigkeit c = ausbreiten. Sie kann durch einen Separationsansatz z(x, y, z) = X(x)Y (y)φ(t) gelöst werden. Die zweiten Ableitungen lauten: Gleichung (4) wird damit zu T σ 2 z x 2 = d2 X dx 2 Y φ (5) 2 z y 2 = d2 Y Xφ dy2 (6) 2 z t 2 = d2 φ XY (7) dt2 1 d 2 φ φ dt 2 = c2 d 2 X X dx 2 + c2 d 2 Y Y dy 2 (8) Die Gleichung kann nur erfüllt werden, wenn beide Seiten gleich einer Konstanten ω 2 sind. Man erhält zwei Gleichungen, 1 X d 2 φ dt 2 + ω 2 φ = 0 und (9) d 2 X dx 2 + ω2 c 2 = 1 d 2 Y Y dy 2, (10) mit der Lösung φ(t) = E sin(ωt) + F cos(ωt) für (9). In Gleichung (10) müssen wieder beide Seiten gleich einer Konstanten k 2 sein: d 2 ( ) X ω 2 dx 2 + c 2 k2 X = 0 (11) d 2 Y dy 2 + k2 Y = 0 (12) ω mit den Lösungen X(x) = A sin 2 c k 2 ω x + B cos 2 2 c k 2 x und Y (y) = C sin(ky) + D cos(ky). Im 2 Weiteren sollen diese Gleichungen für eine rechteckige Membran bestimmt werden Die rechteckige Membran Mit den Randbedingungen für eine rechteckige Membran z = 0 an x = 0 und x = L x, sowie z = 0 bei ω y = 0 und y = L y sieht man, dass B = 0 und A sin 2 c k 2 L 2 x = 0 sein müssen, woraus ω 2 c k 2 L 2 x = mπ; m N folgt. Damit wird X(x) = A sin mπx L x, m N. (13) Außerdem muss D = 0 sein und C sin kl y = 0 kl y = nπ; n N, was zu ( ) nπ Y (t) = C sin y, n N (14) L y

10 3.1 Differentialgleichung 9 Abbildung 6: Normale Moden der rechteckigen Membran führt. Als Lösung für z(x, y, t) erhält man damit: z mn = A sin mπx L x = sin mπx L x Die zugehörigen Frequenzen erhält man durch Auflösen von sin nπy L y (E sin(ωt) + F cos(ωt)) sin nπy L y (M sin(ωt) + N cos(ωt) (15) ω 2 c k 2 = mπ 2 L x nach ω: ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 mπ mπ nπ ω 2 = c 2 + k 2 c 2 = c 2 + c 2 (16) L x L x L y und schließlich: ν mn = 1 2 T m 2 σ L 2 + n2 x L 2 y m, n N (17) Quadratische Membran - Entartung: In einer quadratischen Membran ist L x = L y woraus ν mn = ν nm folgt. Man spricht von einer Entartung der mn-und nm-moden. Damit gibt es weniger Eigenfrequenzen, aber die Zahl der Eigenfunktionen ändert sich nicht. Unterschied zur Saite: Ein wichtiger Unterschied zwischen der Saite und der Membran ist die Reaktion auf eine punktförmige Kraft. Eine Saite, auf die an der Stelle x die Kraft F wirkt, wird um ein Stück h ausgelent, so dass T (h/x) und T (h/(l x)) zusammen F ergeben. Dagegen kann eine ideale Membran eine punktförmige Kraft nicht unterstützen. Unabhängig davon wie klein die Kraft auch sei, die Auslenkung geht theoretisch gegen unendlich. Abbildung 7 zeigt dies schematisch. Wirkt die Kraft F auf eine kleine Fläche mit Radius r, so wird die Auslenkung bei einer Membran mit Radius a : z = 2F T ln a r (18) Man sieht z für r Runde Membran Die Differentialgleichung für eine runde Membran erhält man, indem man in Gleichung (17) Polarkoordinaten einsetzt: 2 ( z 2 t 2 = z c2 r z r r ) z r 2 ϕ 2 (19)

11 10 3 PHYSIK DER MEMBRANE Abbildung 7: Reaktion auf eine punktförmige Kraft Ein Separationsansatz, z(r, ϕ, t) = R(r)φ(ϕ)e iωt führt zu den Gleichungen: d 2 R dr 2 und + 1 r dr dr + ( ω 2 c 2 m2 r 2 ) (20) d 2 φ dϕ 2 + m 2 φ = 0 (21) φ = Ae ±imϕ löst Gleichung (21). Gleichung (20) wird von Besselfunktionen gelöst. 3.2 Reale Membran - Einfluss von Steifigkeit und Luft Biege- und Schubmodul erhöhen im Allgemeinen die Frequenz der Membran, die umgebende Luft bzw. der Luftwiderstand erniedrigen die Frequenz. Nur wenn die Membran ein Volumen vergleichbarer Größe einschließt, werden durch den Luftdruck die Eigenfrequenzen erhöht. Schwingt dagegen die Membrane in einem offenen Luftvolumen, werden die Frequenzen erniedrigt; die tiefen Frequenzen werden dabei am meisten erniedrigt. Abbildung 8: Schwingungsmoden des Resonanzbodens eines Flügels

12 11 4 Physik der Platte Abbildung 9: Chladni, seine Zeichnungen und Versuchsaufbau Zunächst sollen die Chladnischen Klangfiguren vorgestellt werden. In den nächsten Abschnitten wird dann die entsprechende Theorie abgeleitet, so dass die Figuren verstanden werden können. Die Klangfiguren eines Flügels, wie in Abbildung 8 gezeigt, kann man allerdings nur schwer berechnen. 4.1 Chladnische Klangfiguren Ernst Florenz Friedrich Chladni, , hat mit Schmirgelpulver die Knotenlinien einer schwingenden Platte sichtbar gemacht. Abbildung 9 zeigt Chladni, Zeichnungen seiner Beobachtungen und den originalen Versuchsaufbau. Die folgenden Klangfiguren [L5] zeigen die Knotenlinien von Platten, die mit unterschiedlicher Frequenz in der Mitte angeregt wurden. ν = 142, 2Hz ν = 1225, 0Hz ν = 1450, 2Hz ν = 3139, 7Hz ν = 5875, 5Hz ν = 387, 8Hz ν = 649, 6Hz ν = 2845, 0Hz ν = 3215, 0Hz ν = 7770, 0Hz 4.2 Die dünne Platte Eine Platte kann als zweidimensionaler Stab oder Membran mit Steifigkeit behandelt werden. Sie kann Druck,- Schub,- Torsions- und Biegewellen übertragen. Im Folgenden bezeichnen

13 12 4 PHYSIK DER PLATTE ρ ˆ= Dichte der Platte ν ˆ= Poisson-Verhältnis h ˆ= Dicke der Platte ɛ ˆ= Young s Modul L x / L y ˆ= Plattenabmessungen Die Geschwindigkeit einer longitudinalen Welle (Druckwelle) in einer Platte beträgt ɛ c L = ρ(1 ν 2 ) (22) Die Herleitung der Differentialgleichung für die Schwingungen einer Platte würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Man benötigt weite Teile der Elastizitätstheorie [04] und kann nach der Behandlung aufwendiger Tensorgleichungen doch nur für homogene Materialien exakte Lösungen angeben [02]. So sei die Differentialgleichung für eine homogene Platte hier nur angegeben: 2 z t 2 + ɛh 2 12ρ(1 ν 2 ) 4 = 0 (23) Eine harmonische Lösung ist z = Z(x, y)e iωt (24) Setzt man diese Lösung in (23) ein, erhält man : wobei 4 Z 12ρ(1 ν2 )ω 2 ɛh 2 Z = 4 Z k 2 Z = 0 (25) 12ω ρ(1 k 2 ν2 ) = = h ɛ 12ω c L h. (26) Allerdings sind Biegewellen dispersiv, die Geschwindigkeit hängt von der Frequenz ab: v(ν) = ω k = ωhc L 12 = 1.8νhc L (27) Die Frequenz ist proportional zu k 2 : Dabei hängt k von den Randbedingungen ab. ν = ω 2π = hc Lk 2 (28) 4.3 Die rechteckige Platte Jedes Ende einer rechteckigen Platte kann drei verschiedenen Randbedingungen unterliegen: es kann frei, aufgelegt oder fixiert sein. Es gibt also 27 verschiedene Kombinationen von Randbedingungen. Im Folgenden sollen nur die Fälle behandelt werden, bei denen alle Enden der Platte den gleichen Randbedingungen gehorchen. Hauptsächlich wird auf den Fall der fest fixierten Enden eingegangen, da dieser auch im Klavier vorliegt (cf. 4.5). Für die beiden anderen Fälle werden die Lösungen nur angegeben.

14 4.3 Die rechteckige Platte Aufgelegte Platte Die Amplitude beträgt: Z = A sin (m + 1)πx L x Die zugehörigen Frequenzen sind [ (m ) 2 ( ) ] n + 1 ν mn = 0.453c L h + Hier sind n und m die Anzahl der Knotenlinien in x- bzw. y- Richtung. L x sin (n + 1)πy L y (29) L y (30) Freie Enden Schon Rayleigh beschrieb das Lösen einer rechteckigen Platte mit freien Enden als sehr schwieriges Problem. Er stellte ein Näherungsverfahren vor, das von Ritz verfeinert wurde und nunmehr sehr gut mit den Messungen übereinstimmt. Die beiden Extremfälle einer rechteckigen Platte sind der dünne Stab und die quadratische Platte. Die Frequenzen eines dünnen Stabes mit freien Enden sind: ν n = 0.113h L 2 ɛ ( , 5 2,..., (2n + 1) 2) (31) ρ Die n-te Mode hat n + 1 Knotenlinien senkrecht zur Achse des Stabes. Viele Moden einer rechteckigen Platte kann man sich anhand der Moden eines Stabes herleiten. Man erwartet, dass die (m,0)-moden Knotenlinien parallel zu einem Seitenpaar haben, wärend die (0,n)-Moden Knotenlinien zu dem anderen Seitenpaar haben. Allerdings sind die Knotenlinien gebogen, so dass die Platte eine Art Sattelfläche bildet. Interessant ist die Entwicklung der Mischung zweier Moden, wenn man das Verhältnis aus Länge und Breite gegen eins gehen lässt. Die Abbildung 11 zeigt die Mischung der (2,0)- und (0,2)-Moden für Platten mit verschiedenen Verhältnissen von Länge zu Breite. Man sieht, wie der Übergang zur quadratischen Platte zu einer Mischung der Moden führt, die aber nunmehr nicht, wie bei der Membran, entartet sind (cf. 4.4 ). Abbildung 10: Die ersten 10 Moden einer quadratischen isotopen Platte mit freien Enden. Die untere Zahl gibt die Frequenz relativ zur (1,1)-Mode an

15 14 4 PHYSIK DER PLATTE Abbildung 11: Mischung der (2,0)- und (0,2)-Moden an Platten mit verschiedenen L x /L y 4.4 Die quadratische Platte Abbildung 10 zeigt die ersten 10 Moden einer quadratischen Platte mit freien Enden. Den Verlauf der Knotenlinien kann man verstehen, wenn man sich die graphische Konstruktion in Abbildung 13 ansieht. Wie in Abschnitt erläutert, sind bei der quadratischen Membran die (n,m)- und (m,n)-moden entartet, was zu einer Mischung der Moden bei gleichbleibender Frequenz führt. Im Gegensatz dazu hebt die Steifigkeit der Platte diese Entartung auf. Es kommt zu einer Frequenzaufspaltung zwischen (n,m)+(m,n) und (n,m)-(m,n). In Abbildung 12 sieht man, dass eine Ringmode, z.b. (2,0)+(0,2), eine höhere Frequenz besitzt als eine Kreuzmode (2,0)-(0,2). Wie man Abbildung 13 entnehmen kann, unterstützen sich im Fall der Kreuzmoden die Bewegungen der (0,2)- und (2,0)-Biegebewegungen auf Grund der Elastizität der Platte, die proportional zum Poisson-Verhältnis ist. Man nennt diese Wechselwirkung daher auch Poisson- Wechselwirkung. Dagegen laufen im Fall der Ringmode (2,0)+(0,2) die Bewegungen der (2,0)- und (0,2)-Moden in entgegengesetzter Richtungen, was einer erhöhten Steifigkeit der Platte entspricht. Die Poisson-Wechselwirkung hebt damit die Entartung auf, die z.b. in einer idealen Membran ohne Steifigkeit vorhanden ist (gestrichelte Linie in Abb. 12 ). Die mathematische Ursache hierfür liegt in dem Auftreten von Ableitungen 4. Ordung in Gleichung (23). Abbildung 12: Normierte Frequenzen der (2,0)- und (0,2)-Moden in Abhängigkeit des Längen- Breiten- Verhältnisses der Platte

16 4.5 Quadratische Platten mit festen Enden 15 Abbildung 13: Graphische kostruktion der Knotenlinien für eine quadratische isotope Platte: a) (2,0)- (0,2); b) (2,0)+(0,2); c) (2,1)-(1,2); d) (2,1)+(1,2) 4.5 Quadratische Platten mit festen Enden Die ersten acht Moden einer quadratischen Platte mit festen Enden sind in Abbildung 14 dargestellt. Die Nomenklatur unterscheidet sich in den verschiedenen Büchern. Hier bezeichnen die Moden die Anzahl der Knotenlinien in x- bzw. y-richtung, ohne die Knotenlinien an den Enden zu zählen (wie auch in [01]). Die (0,0)-Mode hat eine Frequenz von ν 00 = c Lh L, wobei h die Dicke und L die Seitenlänge der Platte 2 sind. c L = ɛ ist die longitudinale Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die wichtigsten Unterschiede zur ρ(1 ν 2 ) quadratischen Platte mit freien Enden sind: 1. ν 11 (fest) 10ν 11 (frei) 2. Bei der freien Platte existieren drei weitere Moden unter der (1,1)-Mode der festen Platte, 3. Die Frequenzen der Ring- und Kreuzmoden der festen Platte unterscheiden sich nur um ca. 5%, der Durchmesser der Ring-Knotenlinie der festen Platte ist kleiner als bei der freien Platte Abbildung 14: Knotenlinien einer quadratischen Platte mit festen Enden

17 16 4 PHYSIK DER PLATTE 4.6 Holzplatten Holz besitzt unterschiedliche mechanische Eigenschaften in Abhängigkeit der Orientierung. Die Eigenschaften in radialer Richtung (R) unterscheiden sich von denen in tangentialer Richtung (T ) und beide unterscheiden sich von Eigenschaften in Richtung entlang des Stammes (S). Es existieren daher drei Elastizitätsmodule ɛ i und sechs Poissonverhältnisse v ij, die allerdings voneinander abhängen: v ij ɛ i = v ji ɛ j, i, j = R, T, S. (32) Die meisten Platten, die in Instrumenten Verwendung finden, sind parallel zum Stamm gesägt, wodurch nur die Konstanten ɛ S, ɛ R, v SR und v RS = v SR ɛ R /ɛ S von Bedeutung sind. Da für Holz ɛ S > ɛ R ist, wird man bei einer quadratischen Holzplatte nicht das gleiche Knotenlinien-Bild wie in Abbildung 10 finden. Um die gleichen Bilder wie bei einer quadratischen homogenen Platte zu erreichen, muss das Verhältnis von Länge zu Breite der Holzplatte wie folgt sein: L x L y = 4 ɛs ɛ R. (33) Durch geeignete Substitution der entsprechenden Konstanten können die Gleichungen der obigen Abschnitte auch auf Holzplatten angewendet werden. Es ist also nicht verwunderlich, dass die Klangfiguren eines Klaviers, dargestellt in Abbildung 15, von denen der vorherigen Abschnitte abweichen. Darüberhinaus hängen natürlich die Klangfiguren auch vom Ort der Anregung ab. Es ist kaum möglich eine bestimmte Mode an einer ihrer Knotenlinien anzuregen. Daher wurde im Klavierbau die Form und Lage des Stege laufend verändert. Heute ist die Anordnung nahezu physikalisch optimal. Abbildung 15: Klangbild des Resonanzbodens eines Klaviers

18 17 5 Klangabstrahlung 5.1 Schallwellen in Luft Der Mensch ist in der Lage Schall in einem Frequenzbereich von 20Hz bis ca. 20kHz wahrzunehmen, jedoch hört man unterhalb von 100Hz und oberhalb von 10kHz sehr schlecht. Die menschliche Stimme liegt in einem Frequenzbereich von Hz. Schallwellen haben in den meisten Medien transversale und longitudinale Komponenten, so dass ihre Beschreibung sehr kompliziert wird. In Luft breiten sich jedoch nur longitudinale Wellen aus, da Luft keinerlei Widerstand gegen Scherung leistet. Die Differentialgleichung für Schallwellen in Luft lautet in einer Dimension: (eine exakte Herleitung findet man z.b. in [01]) 2 p t 2 = c2 2 p x 2 (34) mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c 2 = K ρ = γp a ρ, (35) p bezeichnet den Druck. Lösungen von Gleichung (34) sind von der allgemeinen Form p(x, t) = f 1 (x ct) + f 2 (x + ct) (36) Mit p a = const. = nkt und Gleichung (35) ergibt sich die Schallgeschwindigkeit bei endlicher Temperatur zu: T c(t ) = c(t 0 ). (37) T 0 Bei Normalbedingungen ist c 343ms 1. Eine mögliche Lösung von Gleichung (34) ist p = Ae ikx e iωt + Be ikx e iωt, (38) mit k = ω c. A und B sind Konstanten. Betrachtet man eine Welle in +x-richtung (A = 1 und B = 0)wird Gleichung (38) zu p = e ikx e ikω cos( kx + ωt) (39) Ist u die Teilchengeschwindigkeit der Moleküle, so ist p = ρcu, (40) d.h. der akustische Druck und die Teilchengeschwindigkeit in Ausbreitungsrichtung sind bei ebenen Wellen in Phase. Man führt eine eigene Größe für den Wellenwiderstand ein: In Luft bei Normalbedingungen und der Temperatur T in C ist z = p = ρc (41) u ρc 428(1 0, 0017 T )kg m 2 s 1 (42) Gleichung (34) kann wie folgt für drei Dimensionen verallgemeinert werden: 2 p t 2 = c2 2 p (43)

19 18 5 KLANGABSTRAHLUNG Diese Gleichung ist durch einen Separationsansatz zu lösen. Eliminiert man die zeitabhängige Größe e iωt aus Gleichung (43), so erhält man die Helmholtz-Gleichung: 2 p + k 2 p = 0 (44) Sie wurde nach Helmholtz benannt, der bereits 1870 Interferenzen des Schalls untersuchte [L4]. Eine Lösung der Helmholtz-Gleichung ist z.b. ( A p = r e ikr + B ) r eikr e iωt, (45) die Summe einer einlaufenden und auslaufenden Kugelwelle. Für die Teilchengeschwindigkeit erhält man 5.2 Klangabstrahlung Multipolentwicklung u = A ( ) e ikr ωt (46) rρc ikr Die einfachste Schallquelle ist eine Punktquelle als Grenzfall einer pulsierenden Kugel. Man denke sich eine infinitesimal kleine Kugel mir Radius a, die mit einer Frequenz ω ihre Größe ändert. Die Amplitude des Flusses ist: Q = 4πa 2 v(a). (47) v(a) bezeichnet die radiale Geschwindigkeit der Oberfläche. Ein solches Objekt erzeugt eine Kugelwelle, wie in den Gleichungen (45) und (46) in Abschnitt 5.1 beschrieben. Man erhält für den Druck und die Teilchengschwindigkeit am Ort r: und p(r) = A r e ikr (48) v(r) = A ( 1 i ) e ikr (49) ρcr kr Setzt man hier Gleichung (47) ein und betrachtet den Fall ka 1, so wird Gleichung (48) zu p(r) = iωρ 4πr Qe ikr (50) Diese Gleichung hängt nun nicht mehr vom Radius der Quelle ab, sondern nur noch von der Quellstärke Q der Punktquelle. Die abgestrahlte Leistung ist p2 2ρc integriert über eine Kugelfläche: P = ω2 ρq 2 8πc Bei gegebener Quellstärke nimmt die abgestrahlte Leistung mit dem Quadrat der Frequenz zu! (51)

20 5.2 Klangabstrahlung 19 Abbildung 16: Einfache Dipolquelle, für dz 0, Q bleibt das Dipolmoment µ = Q dz konstant. Als nächstes ist ein Dipol zu betrachten, der aus zwei einfachen Punktquellen der Stärke ±Q im Abstand lim dz 0 besteht. Nach Abbildung 16 wird Gleichung (50) zu: ( ) ( iωρ e ikr + ) p = e ikr Q (52) 4π r + r Betrachtet man r + als Funktion von z, mit r + = r d cos θ und analog r = r + d cos θ, so wird im Grenzübergang dz 0 Gleichung (52) zu einem Differential: ( ) p = 2e ikr+ Qdz µ Qdz = iωρ 4π ω 2 ρ 4πcr z r + ( ikr ) e ikr µ cos θ (53) Hier ist µ das Dipolmoment, das bei Q und dz 0 konstant bleibt. Im Fernfeld (kr 1) kann 1/ikr gegenüber 1 vernachlässigt werden. Die abgegebene Leistung ist dann P = 1 p 2 2 ρc r2 sin θdθdφ = ω4 ρµ 2 24πc 3 (54) Die Leistung wächst mit der vierten Potenz der Frequenz! Für niedrige Frequenzen ist daher ein Dipol sehr ineffektiv. Der nächste Schritt ist die Spiegelung des Dipols zu einem Qadrupol. Dies kann auf zwei unterschiedliche Weisen geschehen. Entweder spiegelt man senkrecht zur Dipolachse und erhält einen longitudinalen Qadrupol, alle Quellen liegen hierbei auf einer Geraden, oder man spiegelt parallel zur Dipolachse und erhält einen lateralen Quadrupol. Nun liegen die Quellen gleicher Phase in den entgegengesetzten Ecken eines Quadrats. Ein Analogon ist eine schwingende Sphäre, die abwechselnd einen prolaten und oblaten Spheroiden bildet. Die Druckverteilung findet man durch Differenziation der Gleichung (53) nach z für einen axialen oder nach x für einen lateralen Quadrupol. Der Druck ist im Fernfeld bei einer Quellstärke Q für eine Monopol-, Dipol- oder Qadrupolquelle gegeben als: p m = ik ( ) ρcq e ikr (55) 4πr p d = k 2 ( ρcqdz 4πr p q = ik 3 ( ρcqdzdx 4πr ) cos(r, z)e ikr (56) ) cos(r, z) cos(r, x)e ikr (57) Für einen axialen Quadrupol muss man in Gleichung (57) x durch z ersetzen.

21 20 5 KLANGABSTRAHLUNG Abbildung 17: Eine schwingende Ebene Mehrere Punktquellen Für die weitere Diskussion ist es hilfreich, anfangs einfache Kombinationen von Punktquellen zu betrachten, die nicht notwendiger Weise nahe aneinander liegen. Betrachtet man zwei Monopole gleicher Stärke, die den Abstand d einschließen (analog Abb. 16) im Fernfeld (r d), so ist der Druck ungefähr ( ) iωρq ( p e ikr e 1 2 ikd cos θ ± e 1 2 ikd cos θ). (58) 4πr Das Plus steht für Quellen in Phase, das Minus für gegenphasige Quellen. Das Absolutquadrat des Druckes ist ( ) 2 ( ) ( ) ωρq cos p = 2πr sin 2 kd cos θ (59) 2 wobei cos 2 mit Plus, sin 2 mit Minus geht. Die Leistung ergibt sich zu P = 1 ( p 2 ) r 2 sin θdθdφ 2 ρc [ 1 ± = ω2 ρq 2 4πc ] sin kd. (60) kd Aus Gleichung (59) ergibt sich, dass die Winkelverteilung der akustischen Intensität (p 2 /ρc) sehr kompliziert wird, falls kd nicht klein im Verhältnis zu 1 ist. Gleichung (60) zeigt, dass man im fale des Plus für kd 1 die doppelte Leistung eines Monopols erhält Ebene Quelle Es gibt wohl keine Instrumente, bei denen sich etwas wie eine ebene Platte auf und ab bewegt, aber nur für diesen Fall lassen sich einige einfache und generelle Ergebnisse erzielen. Man denke sich ein Gebiet S, wie in Abildung 17, das sich mit der Frequenz ω senkrecht zur Ebene mit der Geschwindigkeitsverteilung u( r ) auf und ab bewegt. Ein kleines Flächenelement ds an r verursacht eine kleine Volumenänderung u( r ) ds. Der Druck dp, der von diesem Flächenelement in großer Entfernung r verursacht wird, ist dp( r) = iωρ 2πr e ik r r u( r )ds. (61)

22 5.2 Klangabstrahlung 21 Ist r in Richtung (θ, φ) und r in Richtung ( π 2, φ ), kann man über die ganze Ebene integrieren. Außerhalb von S ist u = 0 p(r, θ, φ) = iωρ 2πr e ikr e ikr sin θ cos(φ φ ) u( r )r dφ dr (62) S Das Integral hat die Form einer räumlichen Fouriertransformation der Geschwindigkeitsverteilung, wie es bereits Rayleigh feststellte. Im einfachen Fall eines runden Kolbens mit Radius a kann das Integral einfach genähert werden (die Geschwindigkeit u ist über die gesamte Fläche konstant): p 1 e ikr 2J 1 (ka sin θ) iωρua2 2 r ka sin θ J 1 ist die Besselfunktion erster Ordnung. Der letzte Bruch ist nahezu 1 für alle θ, wenn ka 1, so dass das Strahlungsbild in dem Bereich 0 θ < π 2 bei niedrigen Frequenzen nahezu isotrop ist. Für hohe Frequenzen ist der Bruch nur gleich 1, wenn θ = 0 ist und der Bruch wird Null, wenn das Argument der Besselfunktion ca wird, also für θ = sin (64) ka Klangabstrahlung einer ausgedehnten Platte (63) In der Praxis hat man meistens mit ausgedehnten vibrierenden Objekten zu tun, aber ihre Behandlung ist sehr schwierig. Dennoch kann man manche Einsicht gewinnen, indem man sich einfache Situationen klarmacht. Man stelle sich eine unendlich ausgedehnte Platte vor, über die eine Biegewelle der Frequenz ω läuft. Die Geschwindigkeit v p (ω) hängt, wie in Abschnitt 4 dargestellt, von der Dicke der Platte und ihren elastischen Eigenschaften ab, sowie von der Frequenz, da eine Platte mit Steifigkeit dispersiv ist (Gleichung (27)). Die Platte liege in der x y-ebene bei z = 0 und die Welle breite sich in +x-richtung aus. Die Geschwindigkeit der Plattenoberfläche in z-richtung ist dann u(x, 0) = u p e ikpx e iωt (65) mit k p = ω v p (66) In der Luft über der Platte seien alle physikalischen Größen entlang der y-achse konstant, so dass sich der akustische Druck und die Teilchengeschwindigkeit als Funktionen von x und z schreiben lassen. Beide genügen der Wellengleichung 2 p x p z 2 = 1 2 p c 2 t 2, (67) mit Lösungen der Form p(x, z) = ρcu(x, z) = Ae i(kxx+kzz) (68) k x und k z sind die Komponenten des Wellenvektors k senkrecht und parallel zur Platte. Eine Zeitabhängigkeit der Form e iωt wird vorausgesetzt. Die akustische Teilchengeschwindigkeit der Luft muss mit der senkrechten Bewegung der Platte (u p ) bei z = 0 übereinstimmen. Es folgt k x = k p ; A = u p (69)

23 22 5 KLANGABSTRAHLUNG Setzt man diese Ergebnisse in Gleichung (68) und Gleichung (68) dann in Gleichung (67) ein, findet man Aus dieser Gleichung lassen sich wichtige Schlüsse ziehen: ( kz 2 = ω2 1 c 2 k2 p = ω 2 c 2 1 ) vp 2. (70) Ist v p < c wird k z imaginär, d.h. die akustische Störung in z-richtung fällt exponentiell ab, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle auf der Platte kleiner ist als die Schallgeschwindigkeit in Luft. Es breitet sich keine Welle aus. Ist dagegen v p > c wird eine Schallwelle abgestrahlt, deren Ausbreitungsrichtung einen Winkel θ mit der Platte einschließt. θ ist gegeben durch: tan θ = k z v 2 p = k x c 2 1 (71) Da aber v p mit der Frequenz wächst, gibt es eine untere kritische Frequenz, die gerade noch zur Schallausbreitung führt. Für diese kritische Frequenz stimmt die Geschwindigkeit der Welle auf der Platte mit der Schallgeschwindigkeit überein, weshalb sie Koinzidenzfrequenz heisst. Bei einer komplizierten Verteilung von Wellen auf einer Platte, wie dies bei vielen Instrumenten der Fall ist, werden ausreichend hohe Frequenzen in die unterschiedlichsten Richtungen abgestrahlt. Darunter fallen natürlich auch stehende Wellen, sowie die verschiedenen Schwingungsmoden aus Abschnitt 4, die wiederum aus Wellen mit entgegengesetzter Richtung zusammengesetzt werden können. Mit diesen Vorstellungen kann man sich die in Abbildung 18 gezeigte Klangcharakteristik eines Flügels begreiflich machen.

24 5.2 Klangabstrahlung 23 Abbildung 18: Klangverteilung eines Flu gels.( offen, geschlossen) 5.3 Ausblick Die Berechnung von Schwingungen von Platten ist heute sehr wichtig geworden. Man denke an den Flugzeugbau und die Konstruktion von Geba uden. Hier spielen Vibrationen und ihre Da mpfung eine entscheidende Rolle. Leider ko nnen die physikalischen Probleme meist nur numerisch berechnet werden. In [10] findet man einen detaillieten Einblick in die Probleme und ihre Lo sungsmethoden.

25 24 LITERATUR 6 Anhang Literatur [01] Neville H. Fletcher, Thomas D. Rossing: Physics of Musical Instruments. New York: Springer, 1998 [02] Philip M. Morse: Vibration and Sound.2nd. edition. New York: Mc. Graw-Hill Book Company, 1948 [03] Gabriel Weinrich: Die Physik der Musikinstrumente. Spektrum [04] A. I. Lur e: Three Dimensional Problems Of Theory of Elasticity. London: Interscience Publishers 1964 [05] Paul A. Tipler: Physik. 3.Auflage, Berlin: Spektrum, 1994 [06] Gerthsen, Vogel: Physik. 17.Auflage, Berlin: Springer, 1993 [07] Duden, das neue Lexikon. 3.Auflage, Mannheim: Dudenverlag, 1996 [08] Herbert Junghans: Das Musikinstrument, Band 4 Der Piano- und Flügelbau. 7.Auflage, Frankfirt/Main: Erwin Bochinsky [09] Nikolaus W. Schimmel: Pianofortebau - Ein Kunsthandwerk. Braunschweig: GUD, 2000 [10] Jerzy Myskowski: Nichtlineare Probleme der Plattentheorie. Braunschweig: Vieweg, 1969 [L2] [L3] [L4] [L5] [L6] [L7] [L8] [L9] ( ) htm ( ) htm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [L10] ( ) [L11] ( )