Einführung in die Digitaltechnik

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1 Einführung in die Digitaltechnik Einführung in die Digitaltechnik 1. Was ist Digitaltechnik? 2. Die logischen Grundgatter 3. Schaltalgebra 4. Vom Problem zur Schaltung 5. Digitales Rechnen 6. Binäre Codes und Code-Umsetzer 7. Flipflops [ EDEMI ] 21:09:04

2 Was ist Digitaltechnik? Was ist Digitaltechnik? [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ vorwärts ] 1. Grundbegriffe 2. Gegenüberstellung von Analog- und Digitaltechnik 3. Warum gewinnt die Digitaltechnik an Bedeutung? 4. Weitere Informationsquellen 1. Grundbegriffe Die Digitaltechnik ist heute ein Teilgebiet der Technischen Informatik. Ihre Aufgabe ist es, Informationen zu verarbeiten und darzustellen. Für diesen Zweck bedient sie sich des eingeschränkten Zeichensatzes, um eine einfache physikalische Realisierung zu gewährleisten. Dafür werden zwei Wertigkeiten verwendet, die je nach Verwendungsbereich in unterschiedlicher Form dargestellt werden. Beispiel Anwendungsbereich Form Digitaltechnik "0" und "1" Ausagelogik "wahr" oder "falsch" Physik "low" oder "high" Die Begriffe der Digitaltechnik sind in der Regel englischen bzw. lateinischen Ursprungs. So ist das Wort digital aus dem lateinischen Wort "digitus" = Finger, was soviel bedeutet wie "mit Hilfe der Finger" sowie aus dem englischen Wort "digit" = Ziffer oder Stelle, was "in Ziffernform" bedeutet, hergeleitet. (1 von 3) :09:05

3 Was ist Digitaltechnik? 2.Gegenüberstellung von Analog- und Digitaltechnik Digitaltechnik Analogtechnik digitale Größen sind physikalische Größen, die innerhalb eines bestimmten Bereiches nur diskrete Werte annehmen können analoge Größen sind physikalische Größen, die innerhalb eines bestimmten Bereiches jeden Werte annehmen können Bei digitalen Größendarstellungen werden abzählbare Elemente verwendet. Ein einfaches Beispiel hierfür ist der Rechenrahmen. Bei ihm wird eine Zahl durch die Anzahl von Kugel dargestellt. Daraus folgt, daß bei der Darstellung der Zahlen keine physikalischen Grenzen gesetzt sind, da man mit der Vergrößerung der Anzahl der Kugeln auch eine höhere Genauigkeit erreicht. Bei elektronischen Digitalrechnern verwendet man anstatt der Kugeln elektrische Impulse, so daß für die Zahl 3 zum Beispiel durch 3 Impulse dargestellt wird. Für die Zahl 8 währen es dann 8 Impulse und bei der Zahl würde man Impulse benötigen. Hier ist die Unwirtschaftlichkeit dieses Systems zu sehen. Deshalb verwendet man auch zur Darstellung von Zahlen durch digitale Signale sogenannte Ziffern, engl. Codes. Digitale Größen bestehen aus abzählbaren Elementen und können mit hoher Genauigkeit dargestellt werden Größen nach dem Analogprinzip sind Werte, die in einem zulässigen Bereich jeden beliebigen Wert annehmen dürfen. Bei der analogen Größendarstellung benötigt man für die Darstellung von Größen die "Analogiegröße". Sie ist bei Analogrechnern die elektrische Spannung. Zur Darstellung der Zahl 2 benötigt man hier beispielsweise 2 Volt, für die Zahl 6,3 dann eine Spannung von 6,3 Volt und für die Darstellung der Zahl 8,256 eine Spannung von 8,256 Volt. Wenn man größere Zahlen darstellen will, muß man den Maßstab ändern, da man sonst in einen Bereich einer zu hohen Spannung kommt. Je genauer eine Analogiegröße gemessen wird, desto genauer ist die Darstellung der jeweiligen analogen Größe. Ein einfacher Analogrechner ist z.b. der Rechenschieber, der in den Schulen den Schülern vor der Einführung des Taschenrechners das Rechnen erleichtern sollte. Bei ihm gilt als Analogiegröße die jeweilige Länge. Die Genauigkeit häng vom genauen Ablesen ab. In der Meßtechnik hat die analoge Größendarstellung eine große Bedeutung, da sie den Vorteil großer Anschaulichkeit hat. Bei Zeigermeßinstrumenten, z. B. dem Voltmeter, ist die Analogiegröße der Winkel zwischen der Nullstellung des Zeigers sowie der Zeigerstellung beim Anzeigen eines Wertes. Bei der analog Zeigeruhr ist der Winkel als Analogiegröße (2 von 3) :09:05

4 Was ist Digitaltechnik? 3. Warum gewinnt die Digitaltechnik an Bedeutung? Digitale Signale sind beim Übertragen und beim Speichern weniger störanfällig als analoge Signale. Durch Codierung sind viele verschiedene Anwendungen möglich. Die Informationen können mit Hilfe von digitalen Gattern, Mikroprozessoren oder Computer bearbeitet werden. Der technische Fortschritt bei der Miniaturisierung der Bauelemente der Digitaltechnik ermöglichen die Realisierung des hohen Aufwands. 4. Weitere Informationsquellen siehe EDEMI-Quellen [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ vorwärts ] (3 von 3) :09:05

5 Logische Grundschaltungen Die logischen Grundgatter [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ rückwarts ] [ vorwärts ] 1. Allgemeines 2. Wozu Verknüpfungsglieder? 3. AND - UND - Konjunktion 4. OR - ODER - Disjunktion 5. NOT - Nicht ODER - Negation 6. NAND - Nicht UND 7. NOR - Nicht ODER 8. EXOR - Exklusiv ODER - Antivalenz 9. EXNOR - Exklusiv Nicht ODER - Äquivalenz 1. Allgemeines Auch als Verknüpfungsglieder, Grundschaltungen bezeichnet. In einem allgemeinen System werden die logischen Eingangsvariablen A, B, C,... N so verknüpft, daß nur bei ganz bestimmten Wertkombinationen die Ausgangsvariable Y den Wert 1 annimmt (s. Bild). Blockschaltbild eines logischen Verknüpfungssystems (1 von 8) :09:07

6 Logische Grundschaltungen Dabei können die Eingangs- und Ausgangsvariablen grundsätzlich unterschiedlichen physikalischen Größen oder Zuständen entsprechen. Es gibt folgende Grundverknüpfungen: UND-Gatter ODER-Gatter NICHT-Gatter Aus diesen lassen sich alle weiteren Verknüpfungsglieder aufbauen : NAND-Gatter NOR-Gatter EXOR-Gatter EXNOR-Gatter 2. Wozu Verknüpfungsglieder? Verknüpfungsglieder dienen in der modernen Elektronik zur Datenverarbeitung und zur Digitalisierung. Sie ordnen die vielen eingegebenen Signale nach ganz bestimmten, festgelegten mathematischen Regeln einander zu. So stellen sie gewissermaßen für alle eingehenden Signale die "Weichen". Verknüpfungsglieder ermöglichen bestimmte Rechenoperationen, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, etc. Allgemein werden heute Schaltungen der Digitaltechnik mit elektrischen Bauteilen ausgeführt: Widerstände, Dioden, Transistoren, Kondensatoren, etc. Dadurch werden die Schaltungen mit sämtlichen Bauteilen zu unübersichtlich. Also ersetzt man Baugruppen wie FlipFlop durch vereinfachte Schaltsymbole. 3. AND - UND - Konjunktion (2 von 8) :09:07

7 Logische Grundschaltungen Schaltzeichen Prinzipschaltung Funktionsgleichung Beschreibung der Funktion Wahrheitstabelle A B Q Der Ausgang Q ist nur dann 1, wenn alle Eingänge 1 sind. Der Ausgang Q ist dann 0, wenn mindestens ein Eingang 0 ist. IC-Nr. der Schaltkreisfamilien TTL CMOS OR - ODER - Disjunktion Schaltzeichen (3 von 8) :09:07

8 Logische Grundschaltungen Prinzipschaltung Funktionsgleichung Beschreibung der Funktion Wahrheitstabelle A B Q Der Ausgang Q ist dann 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist. Der Ausgang Q ist nur dann 0, wenn alle Eingänge 0 sind. IC-Nr. der Schaltkreisfamilien TTL CMOS NOT - NICHT - Negation Schaltzeichen Prinzipschaltung Funktionsgleichung (4 von 8) :09:07

9 Logische Grundschaltungen Beschreibung der Funktion Der Ausgang Q ist dann 1, wenn der Eingang 0 ist. Wahrheitstabelle sind. Der Ausgang Q ist dann 0, wenn der Eingang 1 A Q ist. 0 1 IC-Nr. der Schaltkreisfamilien 1 0 TTL CMOS NAND - Nicht UND Schaltzeichen Prinzipschaltung Funktionsgleichung Beschreibung der Funktion Der Ausgang Q ist 0, wenn alle Eingänge 1 Wahrheitstabelle sind. Der Ausgang Q ist 1, wenn mindestens ein A B Q Eingang 0 ist IC-Nr. der Schaltkreisfamilien TTL CMOS (5 von 8) :09:07

10 Logische Grundschaltungen 7. NOR - Nicht ODER Schaltzeichen Prinzipschaltung Funktionsgleichung Beschreibung der Funktion Der Ausgang Q ist 1, wenn alle Eingänge 0 Wahrheitstabelle sind. sind. A B Q Der Ausgang Q ist 0, wenn mindestens ein Eingang 1 ist IC-Nr. der Schaltkreisfamilien TTL CMOS EXOR - Exklusiv ODER - Antivalenz (6 von 8) :09:07

11 Logische Grundschaltungen Schaltzeichen Prinzipschaltung Funktionsgleichung Beschreibung der Funktion Wahrheitstabelle A B Q Der Ausgang Q ist 1, wenn alle Eingänge unterschiedlich sind. Der Ausgang Q ist 0, wenn alle Eingänge gleich sind. IC-Nr. der Schaltkreisfamilien TTL CMOS EXNOR - Exklusiv Nicht ODER - Äquivalenz Schaltzeichen (7 von 8) :09:07

12 Logische Grundschaltungen Prinzipschaltung Funktionsgleichung Beschreibung der Funktion Wahrheitstabelle A B Q Der Ausgang Q ist 0, wenn alle Eingänge unterschiedlich sind. Der Ausgang Q ist 1, wenn alle Eingänge gleich sind. IC-Nr. der Schaltkreisfamilien TTL CMOS 74?? 4077 [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ rückwarts ] [ vorwärts ] (8 von 8) :09:07

13 Schaltalgebra Schaltalgebra [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ rückwarts ] [ vorwärts ] 1. Einleitung 2. Theoreme der Schaltalgebra 3. Gesetze der Schaltalgebra 4. Allgemeines 1.Einleitung Schaltalgebra ist eine Sonderform der Boolschen Algebra, die von dem englischen Mathematiker Boole entwickelt wurde. Sie befaßt sich mit formaler Beschreibung von digitalen Schaltnetzen (aus logischen Bauelementen aufgebaut) und sie dient der Berechnung und Vereinfachung der Digitalschaltungen (z.b. zur Bestimmung der Steueraufgaben und Rechenvorgängen). 2. Theoreme der Schaltalgebra " " = UND " " = ODER " "= NICHT 2.1 UND-Verknüpfung A 0 = 0 A 1 = A A A = A A = ODER-Verknüpfung A 0 = A (1 von 3) :09:07

14 Schaltalgebra A 1 = 1 A A = A A = NICHT-Verknüpfung A = 3. Gesetze der Schaltalgebra Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) Das Kommutativgesetz besteht entweder nur aus ODER oder aus UND Gliedern, dessen Variablen beliebig vertauscht werden können. Q = A B C = C B A Q = A B C = C B A Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz bzw. Zuordnungsgesetz) Das Assoziativgesetz ist dem Kommutativgesetz sehr ähnlich. Q = A (B C) = (A B) C Q = A (B C) = (A B) C Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) Das Distributivgesetz besteht aus UND und ODER Gliedern, es dient der Umformung der Gleichung (ausklammern und ausmultiplizieren), wodurch diese vereinfacht wird. Q = A (B C) = (A B) (A C) a.) A (A B) = A Q = A (B C) = (A B) (A C) b.) A (A B) = A DeMorgan Gesetze Die Schaltagebra wurde von dem englischen Mathematiker DeMorgan erweitert; er hat auch neue Gesetze aufgestellt. Es existieren zwei Gesetze, die sehr praktisch bei der Auflösung von negierten Ausdrücken sind. Diese sind besonders für NAND- und NOR- Verknüpfungen wichtig. _ Q = A B = A B Entspricht der Gleichung für die NAND-Verknüpfung (2 von 3) :09:07

15 Schaltalgebra _ Q = A B = A B Entspricht der Gleichung für die NOR-Verknüpfung 4. Allgemeines In der Schaltalgebra existieren nur zwei Konstanten, "0" und "1", sowie eine Reihe von Variablen, denen man die Werte "logisch 1" und "logisch 0" zuordnen kann. Ist ein Schalter offen, so nimmt die Variable den Wert "0" an. Ist ein Schalter geschlossen, so nimmt die Variable den Wert "1" an. Die Vereinfachungsregeln gleichen zum Teil denen der bekannten Algebra; Die Operationen " " und " " spielen in der Schaltalgebra eine ähnliche Rolle, wie die Operationen "*" und "+" aus der Zahlenalgebra (Punktrechnung, hier: UND, geht vor Strichrechnung, hier: ODER). Es läßt sich jede beliebige Schaltung aus NICHT, UND und ODER zusammensetzen. Aus NAND oder NOR läßt sich ebenfalls jede beliebige Schaltung aufbauen. Vorrangregeln Auch in der Schaltalgebra kann eine bestimmte Reihenfolge der durchzuführenden Operationen vereinbart werden. Diese lauten : 1.) Negation oder Inversion (NICHT - Verknüpfung) 2.) Konjunktion (UND - Verknüpfung) 3.) Disjunktion (ODER - Verknüpfung) Klammersetzung NOR - Verknüpfung: keine Klammern erforderlich UND - Verknüpfung: keine Klammern erforderlich ODER - Verknüpfung: Klammern unbedingt erforderlich (damit die Bedeutung der Gleichung erhalten bleibt). Klammern sind vor allem dann zu setzen, wenn die De Morganschen Gesetze auf NAND- oder NOR- Verknüpfungen angewendet werden. [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ rückwarts ] [ vorwärts ] (3 von 3) :09:07

16 SCHALTUNGSSYNTHESE (Schaltungsvereinfachung) Vom Problem zur Schaltung (Schaltungssynthese oder -vereinfachung) [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ rückwarts ] [ vorwärts ] 1. Allgemeines 2. ODER-Normalform 3. KV-Diagramme 4. Beispiele 1.Allgemeines Die Schaltungssynthese (Schaltungsvereinfachung) dient dazu, eine beliebige Schaltung möglichst einfach und mit möglichst wenigen bzw. nur mit bestimmten Schaltungsgliedern aufzubauen. Hierfür ist die Kenntnis von KV-Diagrammen und der Schaltalgebra Voraussetzung. 2. ODER-Normalform Eine Vollkonjunktion ist eine UND-Verknüpfung, in der jede Variable einmal negiert oder nichtnegiert vorkommt. A C Eine ODER-Normalform besteht aus einer oder mehreren Vollkonjunktionen, die durch ODER verknüpft sind. ( B) (A ) ( ) Es gibt auch eine UND-Normalform, auf die hier aber nicht näher eingegangen wird, da man diese durch die Schaltalgebra in eine ODER-Normalform umformen kann. (1 von 5) :09:08

17 SCHALTUNGSSYNTHESE (Schaltungsvereinfachung) 3.KV-Diagramme KV-Diagramme (Karnaugh und Veitch) dienen der übersichtlichen Darstellung und der Vereinfachung von ODER-Normalformen. Ein KV-Diagramm hat immer so viele Plätze, wie Vollkonjunktionen möglich sind. (2 Variablen = 4 Vollkonjunktionen = 4 Plätze) (3 Variablen = 8 Vollkonjunktionen = 8 Plätze) (4 Variablen =16 Vollkonjunktionen =16 Plätze) Jede vorkommende Variable wird in negierter und nichtnegierter Form an den Rand des KV- Diagramms geschrieben. Das Vorhandensein einer Vollkonjunktion wird durch eine 1 in das entsprechende Kästchen angegeben. Sind Vollkonjunktionen benachbart, können sie als Päckchen zusammengefaßt werden. Variablen, die in einem Päckchen negiert und nichtnegiert auftreten, entfallen. Die Päckcheninhalte werden mit ODER verbunden und ergeben so die vereinfachte Gleichung. (Z = B) Regeln und Hinweise zu KV-Diagrammen: Um eine größtmögliche Vereinfachung zu erhalten, sollten die Päckchen so groß wie möglich sein. Wenn ein Päckchen so viele Vollkonjunktionen beinhaltet, wie Vollkonjunktionen möglich sind, hat es den Wert 1 (durch Schaltalgebra beweisbar). 2 Variablen: 3 Variablen: Ein Päckchen darf 2 oder 4 benachbarte Vollkonjunktionen haben. Die dritte Variable erhält die untere Diagrammseite Vollkonjunktionen, die am rechten und linken Rand sind, können ebenfalls zu Päckchen zusammengefaßt werden. 4 Variablen: Die vierte Variable erhält die rechte Diagrammseite Vollkonjunktionen, die am oberen und unteren Rand sind, können ebenfalls zusammengefaßt werden. 5 Variablen: Das untere Stockwerk bekommt die fünfte Variable in negierter und das obere in nichtnegierter Form zugewiesen. Benachbart sind nun auch Felder, die übereinander liegen. (2 von 5) :09:08

18 SCHALTUNGSSYNTHESE (Schaltungsvereinfachung) Mehr als 5 Variablen: Bei mehr als fünf Variablen ist es sinnvoller, zwei oder drei Variablen durch eine zu ersetzen und dann schrittweise zu vereinfachen. 4. Beispiele Um die gewünschte Funktion zu erhalten, sollte man die folgenden sechs Punkte befolgen: 1. Beschreibung der Funktion der gesuchten Schaltung (Vollständig und widerspruchsfrei) 2. Festlegung der Ein- und Ausgangsvariablen und deren Anfangszustände 3. Erstellen der Wertetabelle 4. Vereinfachung der ODER-Normalform mit Hilfe eines KV-Diagrammes. 5. Eventuell Vereinfachung und Umformung mit Hilfe der Schaltalgebra 6. Aufbau der Schaltung Wir zeigen dies anhand eines Beispiels: 4.1. Beschreibung der Funktion der gesuchten Schaltung (Vollständig und widerspruchsfrei) Ein Fahrstuhl soll fahren, wenn drei Zustände erfüllt sind. Diese Zustände sind, daß der Knopf gedrückt ist, daß die Tür geschlossen ist und daß der Fahrstuhl nicht überladen ist Festlegung der Ein- und Ausgangsvariablen und deren Anfangszustände Variable A ist logisch 1, wenn der Knopf gedrückt ist. Variable B ist logisch 1, wenn die Tür geschlossen ist. Variable C ist logisch 0, wenn der Fahrstuhl nicht überlastet ist. Der Fahrstuhl fährt los, wenn die Variable Z logisch 1 ist. Die Variable Z ist logisch 1, wenn die Variablen A und B logisch 1 sind und wenn die Variable Z logisch 0 ist Erstellen der Wertetabelle Fall C B A Z (3 von 5) :09:08

19 SCHALTUNGSSYNTHESE (Schaltungsvereinfachung) Die ODER-Normalform, die aus dieser Wertetabelle entsteht ist: Z = (A Β ) 4.4 Vereinfachung der ODER-Normalform mit Hilfe eines KV-Diagrammes. Z A B C C 4.5 Eventuell Vereinfachung und Umformung mit Hilfe der Schaltalgebra Hier ist keine Vereinfachung möglich, wohl aber eine Umformung. Z = A Β = Jetzt kann die Schaltung nur aus NOR-Gliedern aufgebaut werden. 4.6 Aufbau der Schaltung Schaltung aus Grundgliedern: Z = (A Β ) Schaltung aus NOR-Gliedern: Z = [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ rückwarts ] [ vorwärts ] (4 von 5) :09:08

20 SCHALTUNGSSYNTHESE (Schaltungsvereinfachung) (5 von 5) :09:08

21 Digitales Rechnen Digitales Rechnen [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ rückwarts ] [ vorwärts ] 1. Allgemeines 2. Dezimalsystem 3. Duales/binäres Zahlensystem 1. Addition 2. Komplementbildung 3. Subtraktion durch Addition des Komplements 4. Multiplikation/Division 4. Hexadezimalsystem 5. Tabelle als Orientierungshilfe 1. Allgemeines Die heute gebräuchlichen Zahlensysteme werden Positionssysteme bzw. Stellenwertsysteme genannt. Mit diesen Systemen sind die mathematischen Rechenoperationen ohne weiteres durchführbar (Dies ist z.b. nicht mit den römischen Zahlen möglich.). Diese Stellenwertsysteme gehen auf die Inder zurück, von denen sie über den vorderen Orient zu uns kamen. Hauptsächlich verwendete Zahlensysteme sind: Dezimalsystem Dualsystem (Binärsystem) Hexadezimalsystem Sie werden als Stellenwertsysteme bezeichnet, weil in diesen Systemen jedem Zahlenwert außerdem ein Stellenwert zugeordnet ist. Bei der Dezimalzahl 3752 gibt z.b. die 5 durch ihre Stellung an, daß es sich um 5 Zehner handelt. 2. Dezimalsystem (1 von 6) :09:09

22 Digitales Rechnen Jedes Zahlensystem hat verschiedene Nennwerte. Alle Zahlen setzen sich aus diesen Nennwerten zusammen. Das Dezimalsystem hat die Nennwerte 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Die Anzahl der Nennwerte entspricht der Basis (der Grundzahl) des jeweiligen Systems, also ist die Basis im Dezimalsystem 10. Die Basis 10 kam wahrscheinlich dadurch zustande, daß man sich an den 10 Fingern orientierte. Stellenwerte: 10 0 = = = Die Zahl 3752 setzt sich also zusammen aus: 2* * * * Duales Zahlensystem Die Nennwerte im dualen Zahlensystem sind 0 und 1. Somit ist die Basis 2. Stellenwerte : 2 0 = = = 4... Das duale Zahlensystem hat eine praktische Bedeutung in der EDV, da sich die Zeichen 0 und 1 in die elektronischen Signale ein und aus umsetzen lassen. Beispiel: Die binäre Zahl entspricht der dezimalen 45, denn: 1* * * * * *2 0 = = 45 Die Dezimalzahl 45 kann man mit folgender Rechnung ins Dualsystem umrechnen: 45 ist ungerade => = : 2 = 22 ist gerade => 0 22 : 2 = = 10 ist ungerade => 1 10 : 2 = 5 ist ungerade => = 4 4 : 2 = 2 ist gerade => 0 2 : 2 = 1 ist ungerade => 1 Es ergibt sich die duale Zahl (2 von 6) :09:09

23 Digitales Rechnen 3.1 Addition von dualen Zahlen Das Addieren dualer Zahlen ist dem Addieren im Dezimalsystem sehr ähnlich. Es wird stellenweise addiert, entsteht ein Übertrag, geht dieser auf die nächste Stelle. Es gelten dabei folgende Regeln: = = = 0, Übertrag 1 Beispiel : 14+6 Dezimalsystem Duales Zahlensystem (Übertrag) Komplementbildung Das Komplement einer n-stelligen Zahl ist deren Ergänzung zum Wert der Basis. So ist z.b. das Komplement der dezimalen Zahl 6 die Zahl 4, denn 10 1 = 10 (Basis ist 10, Ziffer 6 ist einstellig), und die Ergänzung von 6 zu 10 ist 4. Das Komplement der dualen Zahl 101 (entspricht der dezimalen 5) ist die Zahl 11 (entspricht dezimaler 3), da 2 3 = 8 ist, und die Ergänzung von 5 zu 8 der 3 entspricht. Das Dualzahlkomplement kann leicht gebildet werden, indem man die auf die volle Stellenzahl erweiterte Zahl bitweise invertiert und eine 1 addiert. Aus 101 wird invertiert 010: Das Komplement entspricht der negativen Zahl, also im Dezimalsysten wäre es die Subtraktion Möchte man eine Subtraktion (A - B) ausführen, kann man folgendermaßen vorgehen: a. man bildet das Komplement von B (3 von 6) :09:09

24 Digitales Rechnen b. man addiert dieses Komplement zu A c. man vernachlässigt die n+1-stelle Beispiel: 12-7 im Dualen Zahlensystem = = Komplement von 0111 ist n+1-stelle vernachlässigt erhält man = Multiplikation / Division Auch die Multiplikation / Division ist der im Dezimalsystem ähnlich. Man beachte folgende Regeln: 1 * 1 = 1 1 * 0 = 0 1 / 1 = 1 0 / 1 = 0 Beispiele: Multiplikation: Dezimalsystem Dualsystem 5 * * (Übertrag) Division: Dezimalsystem Dualsystem (4 von 6) :09:09

25 Digitales Rechnen 14 : 4 = 3, : 100= 11, Hexadezimalsystem Da die duale Darstellung von größeren Zahlen sehr viel Platz beansprucht, fasst man im Hexadezimalsystem (auch Sedezimalsystem genannt) jeweils 4 Bits zu einer Ziffer zusammen. Dafür werden die Nennwerte 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F verwendet, die als sedezimale Ziffern bezeichnet werden. So wird z.b. die Dualzahl folgendermaßen ins Hexadezimalsystem umgewandelt : F 9 C 5 = F9C5 Es gibt folgende Möglichkeit eine Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl umzuwandeln: Man dividiert die entsprechde Zahl fortlaufend durch 16 und wandelt die Divisionsreste nach der Tabelle am Ende dieses Dokument um. Die Sedezimalzahl zu Dezimalzahl ergibt sich also so: : 16 = 3996 Rest : 16 = 249 Rest : 16 = 15 Rest 9 15 : 16 = 0 Rest 15 Die Zahl entspricht also F9C5 im Hexadezimalsystem. 5. Tabelle dezimal dual hexadezimal (5 von 6) :09:09

26 Digitales Rechnen A B C D E F [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ rückwarts ] [ vorwärts ] (6 von 6) :09:09

27 Binäre Codes Binäre Codes und Code-Umsetzer [ EDEMI ] [ Inhalt ] [ rückwarts ] [ vorwärts ] 1. Historische Einordnung 2. Erklärung des Begriffes "binär" 3. Erklärung des Begriffes "code" 4. Binäre Codes Code 2. Aiken Code 3. Exzeß 3 Code 5. Subtraktion in Tetradencodes 6. ASCII Code 7. Elementarvorrat 8. Ungesicherte Codes 9. Fehlererkennende Codes 10. Fehlerkorrigierende Codes 11. Codes mit Prüfbit 12. Anhang 1. Worterläuterungen 2. Aufgaben 3. Tabelle zu Beispielen von Binär Codes 1. Historische Einordnung Der Mathematiker George Boole( ) war der Begründer der mathematischen Logik. Seiner Ansicht nach ist eine Aussage "wahr" oder "falsch", oder sie wird "negiert" etwas anderes kann es nicht geben! Alle anderen Aussagen müssen darauf zurückzuführen sein. Diese algebraische Beschreibung logischer Probleme wurde nach ihren Entwickler Boole benannt, die "Boolsche Algebra" gliedert sich heutzutage in folgende Punkte: 1. Mengenalgebra 2. Aussagenalgebra und symbolische Logik 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung 4. Schaltalgebra Erst viel später, nachdem Schaltungen auf binäre Basis (0,1) bereits existierten, erkannte man in der (1 von 10) :09:10

28 Binäre Codes "Boolschen Algebra" das allgemeine mathematische Beschreibungsmittel zum Entwurf von Schaltungen. 2. Erklärung des Begriffes "binär" Das Wort "binär" bedeutet auch zweiwertig, dual oder bivalent. Es bezeichnet die Eigenschaften einer Speicherzelle, einen von zwei Werten anzunehmen. Datenverarbeitungssysteme (DV-Systeme) bestehen aus elektronischen Bauelementen; diese elektronischen Bauelemente können nur zwei verschiedene Zustände annehmen, deshalb werden Sie auch binäre oder duale Bauelemente genannt. Es gib eine ganze Reihe von Darstellungsmöglichkeiten für diesen zweiwertigen Zustand. Der Strom fließt oder fließt nicht (elektrischer Leiter) Der Strom fließt nach links oder rechts (geschlossener Leiter) Es liegt eine positive oder negative Spannung an (Halbleiter) Ein Magnetfeld besteht oder besteht nicht (Magnetspeicher) Alle zweiwertigen Zustände haben eines gemeinsam: sie können in kurzer Zeit die Form verändern, da sich im Idealfall elektrische oder magnetische Felder bzw. Licht mit einer Geschwindigkeit von km/sec bewegen. Daraus läßt sich die hohe Geschwindigkeit folgern, mit der die Rechner heutzutage arbeiten. Um den zweiwertigen Zustand auch außerhalb des Rechners darzustellen, verwendet man das binäre Zahlensystem. Dabei werden die beiden Ziffern 0 und 1 als jeweiliger Ausdruck für einen der beiden möglichen Werte verwendet. 3. Erklärung des Begriffes "code" Ein Code dient zur Übertragung von Informationen in einer Zeichenart zu einer anderen Zeichenart. Das bedeutet eine formale Änderung, wobei der Inhalt der Information unverändert bleibt. Als Code wird in diesem Zusammenhang häufig auch ein bestimmter Zeichenvorrat bezeichnet, wie z.b. der ASCII-Code oder der EBCDI-Code. 4. Binär Codes (binary codes) Der binär Code ist auch bekannt als binäre Verschlüsselung oder Dualcode. Dieser Code basiert auf zweiwertiger Basis, also nur zwei verschiedene Zeichen. Zur Darstellung ausreichend großer Mengen unterschiedlicher Zeichen werden Kombinationen von Binärzeichen (sogenannte Bitmuster) gebildet. (2 von 10) :09:10

29 Binäre Codes Grundlage für dieses Bit ist der Inhalt 0 oder 1; für die Darstellung einer Dezimalzahl sind mindestens 4 Bit nötig. Mit 4 Bit können 2 4 = 16 Zeichen verschlüsselt werden, also auch die Dezimalzahlen 0-9. Diese Kombinationen werden auch als Tetraden bezeichnet. Die restlichen Kombinationen der Dezimalzahlen bezeichnet man als Pseudotetraden. Im Folgenden werden einige binär Codes näher erklärt Code Der Code ist zum Umschreiben von Dezimalzahlen in Binärzahlen geeignet. Bei ihm werden die Dezimalzahlen 0-9 in das Dualsystem verschlüsselt. Erfolg in der Dezimalzahl ein Zehnerübertrag, so muß in der Binärzahlrechnung als Korrektur 0110 addiert werden. Beispiel : = Tetraden für = Tetraden für nein nein ja ja = Zehnerübertrag = Korrekturtetrade = Tetraden für Aiken Code Der Aiken Code ist für elektronische Zähler sehr gut geeignet. Doch wie beim Code existieren beim Addieren komplizierte Sonderregeln. Eine interessante Eigenschaft des Aiken Codes ist, daß bei ungeraden Dezimalzahlen die letzte Binärstelle eine 1 und bei geraden Dezimalzahlen die letzte Binärstelle ein 0 hat, wobei die erste Binärstelle bei den Werten 0-4 das Zeichen 0 und bei den Werten 5-9 das Zeichen 1 hat. Beim Aiken Code bewirkt ein Dezimalübertrag auch einen Tetradenübertrag. Beispiel: 1101 = Aiken Tetrade für = Aiken Tetrade für = Aiken Pseudotetrade und Übertrag = Korrekturtetrade (-6) = 2 Aiken Tetrade für 13 (3 von 10) :09:10

30 Binäre Codes 4.3. Exzeß 3 Code Der Exzeß-3-Code hat keine Stellenbewertung für die Dezimalziffern 0-9. Die verschiedenen Kombinationen aus 0 und 1 sind den Dezimalzahlen nur zugeordnet, deshalb wird der Exzeß-3-Code auch als ein Zuordnungscode bezeichnet. Der Exzeß-3-Code ist durch einfache Korrekturen zum Rechnen geeignet. Erfolg bei einer Addition einer Dezimalstelle ein Zehnerübertrag, so entsteht auch in der binären Rechnung ein Übertrag. Daraus folgt, daß als Korrektur 0011 (3) zum Ergebnis addiert werden muß. Falls kein Übertrag stattfindet, so muß den dem Ergebnis als Korrektur 1101 (-3) zu addiert werden. Beispiel: = Exzeß-3 Tetraden für = Exzeß-3 Tetraden für = Exzeß-3 Korrekturtetraden = Exzeß-3 Tetraden für Subtraktion in Tetradencodes Bei Aiken-Code und Exzeß-3-Code erfolgt die Subtraktion mit Hilfe der Komplementbildung. Die Komplementbildung erfolgt durch eine einfaches Vertausch von 1 und 0. Beispiel : = 3 im Aiken-Code = = -14 (Komplementbildung = = +Übertrag = Korrekturtetrade(-6) = ASCII Code Der ASCII-Code (American Standart Code for Information Interface) ermöglicht nicht nur die Verschlüsselung von Dezimalzahlen, sondern auch von Texten und Zeichenketten. Diese Darstellung nennt man auch alphanumerische Darstellung. Mit jeweils 8 Bit = 1 Byte werden die alphanumerischen Zeichen verschlüsselt, d.h. es können 2 8 = 256 verschiedene Zeichen verschlüsselt werden. Der ASCII- Code verwendet 128 Zeichen, Großbuchstaben, Kleinbuchstaben, Ziffern und Sonderzeichen, sowie (4 von 10) :09:10

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