6. Klasse TOP 10 Mathematik 06 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G

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1 6. Klasse TOP 0 Mathematik 06 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik 6. Klasse: Die 0 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Übungen des Kompakt-Überblicks verwenden. 6/ Rechnen mit Brüchen: Überblick G Ü L 6/ Rechenfertigkeiten im Bruchrechnen G Ü L 6/3 Rechnen mit Dezimalbrüchen G Ü L 6/ Rechenfertigkeiten mit (Dezimal-)Brüchen G Ü L 6/5 Prozentbegriff, relative Häufigkeit G Ü L 6/6 Flächenformeln G Ü L 6/7 Volumen G Ü L 6/8 Prozentrechnung G Ü L 6/9 Schlussrechnung G Ü L 6/0 Geltende Ziffern (nicht im neuen Lehrplan) G Ü L 6/K Kompakt-Überblick zum Grundwissen Ü L G=Grundwissen, Ü=Übungen, L=Lösungen

2 6. Klasse TOP 0 Grundwissen 6 Rechnen mit Brüchen: Überblick 0 Bedeutung Beispiel: 3 : Der Nenner (unten) nennt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wird, der Zähler 3 (oben) zählt, wie viele solche Teile man nimmt. Insbesondere ist also ein Ganzes gleich vier Viertel ( = ), zwei Ganze gleich acht Viertel ( = 8) usw. Ferner kann man schreiben: = usw. Bruchzahlen stehen für den Wert des entsprechenden Quotienten; ein Bruchstrich kann also immer durch ein Divisionszeichen ersetzt werden und umgekehrt. Beispiele: 3 : = Gegebenenfalls Klammern setzen: = ( + 3) : 8 8 Kürzen Der Wert eines Bruches bleibt unverändert, wenn man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. Beispiel: Mit 5 kürzen: 5 = 3 0 Zum Kürzen benötigt man also gemeinsame Teiler (siehe unten). Erweitern Der Wert eines Bruches bleibt unverändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Beispiel: Mit erweitern: = 8 7 Gemischte Zahlen Oft empfiehlt es sich, gemischte Zahlen in sog. unechte Brüche umzuwandeln, z. B. = 5 + = oder = 6 + = 7 (Zwischenschritt im Kopf) bzw. umgekehrt: 9 = 9 : = 7 Addition/Subtraktion Erweitern auf den Hauptnenner (gemeinsames Vielfaches), dann Zähler addieren bzw. subtrahieren; am Schluss kürzen, wenn möglich. Beispiel: = 8 7 = 7 Multiplikation Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner; kürzen! Beispiel: 7 = = = Ganze Zahlen direkt in den Zähler! Beispiel: = = = Division Multiplikation mit dem Kehrbruch. Beispiel: : = = Ganze Zahlen direkt in den Nenner! Beispiel: : = = Doppelbrüche Doppelbrüche schreibt man als Quotienten (Division durch Kehrbruch). Beispiel: 7 Teilbarkeit = 7 : = 7 = 8 7 Dabei kommt also der Nenner des Nenners (hier die ) in den Zähler. Für das Kürzen ist es wichtig, die Teilbarkeit von Zähler und Nenner schnell zu sehen. Man erkennt die Teilbarkeit durch an den Endziffern 0,,, 6, 8, die Teilbarkeit durch 5 an der Endziffern 0, 5, die Teilbarkeit durch 3 daran, dass die Quersumme durch 3 teilbar ist (z. B. hat Quersumme + + = 6 und ist somit durch 3 teilbar).

3 6. Klasse TOP 0 Grundwissen 6 Rechenfertigkeiten im Bruchrechnen 0 Addition/Subtraktion: Wie findet man den Hauptnenner? Als Hauptnenner benötigt man ein gemeinsames Vielfaches der Nenner, auf das man erweitern kann. Manchmal sieht man schnell ein solches gemeinsames Vielfaches; Beispiel: 5 und 0 haben als gemeinsames Vielfaches die 30, also z. B. + 3 = = Ein gemeinsames Vielfaches ist immer das Produkt der beiden Nenner (aber es ist dann nicht immer das bequemste). Beispiel: 5 und 7 haben 5 7 = 05 als gemeinsames Vielfaches (man muss also den ersten Bruch mit 7 und den zweiten mit 5 erweitern), z. B. = 8 5 = Sieht man den gemeinsamen Nenner nicht direkt, kann man eine Primfaktorzerlegung (eventuell im Kopf) machen und für den Hauptnenner alle benötigten Primfaktoren zusammensammeln. Beispiel: 5 und 36: Primfaktorzerlegungen: 5 = 3 5, 36 = 3 3. Man beginnt jetzt für die Ermittlung des Hauptnenners mit einem der beiden Nenner, z. B. 5 = 3 5, und betrachtet jetzt den anderen Nenner; hier ist z. B. vom Nenner 36 = 3 3 eine 3 schon da, man braucht also nur noch die zweite 3 und die beiden Faktoren, also schreibt man weiter: Hauptnenner= = 80. Vor der Hauptnenner-Suche kann man manchmal durch Kürzen Arbeit sparen, z. B. 8 7 =, dann braucht man nur den Hauptnenner 6 und findet als Ergebnis Gemischte Zahlen bei Addition/Subtraktion Entweder verwandelt man die gemischten Zahlen zuerst in Brüche und rechnet dann weiter. Beispiel: 3 = 7 9 = 35 8 = 7 = Oder man addiert/subtrahiert die Ganzen und die Bruchteile einzeln. Beim Ergebnis man dann eventuell noch ein Ganzes aus dem Bruchteil zu den Ganzen ziehen; beim Subtrahieren muss man eventuell vorher ein Ganzes zu den Bruchteilen ziehen, z. B = = = = 3 0 = = Gemischte Zahlen bei Multiplikation/Division Stets umwandeln in Brüche! Beispiel: 3 = 5 = = 5 = Bruchteil von [Nach Gefühl, z. B. 3 von 6 = 6 : 3 = 6 3 = 8 (zuerst ein Viertel, also :, dann mal 3), oder besser:] von heißt mal, also als Produkt schreiben, z. B. 3 von 65 = = = 95 = 8 3 Vergleichen von Brüchen Bringt man die Brüche auf den gleichen Nenner, so kann man die Zähler vergleichen. Beispiel (Vergleich von und ): = Bei gemeinsamem Zähler dagegen ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat. Beispiel: > = (Verständlich: Wenn eine Torte in 7 gleich große Stücke geteilt wird 7 8 und solche Stücke genommen werden, hat man mehr, als wenn die Torte in 8 gleich große Stücke geteilt wird). Weiterhin gelten die von den ganzen Zahlen bekannten Regeln Rechnen mit negativen Zahlen, Beispiel: 3 5 = 7 7 = 3 = 3 = Punkt vor Strich, Beispiel: = = + 3 = 7 = Rechenvorteile, Beispiel: = = = 5 (Kommutativgesetz) Berechnung von Potenzen, Beispiel: 6 ( 3 ) = 6 = 6 6 =

4 6. Klasse TOP 0 Grundwissen 6 Rechnen mit Dezimalbrüchen 03 Bedeutung Ebenso wie die Einer- (E), Zehner- (Z), Hunderterstelle (H) bei den natürlichen Zahlen hat man bei den Dezimalzahlen nach dem Komma die Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t) usw., z. B. bei 73,506: H Z E z h t Eine 0,7-l-Flasche ist also eine 7 -l-flasche, 0 7 3, 5 0 6,09 Euro also Euro und 9 Cent (= Euro). 00 Addition/Subtraktion Stellenweise; eventuell Endnullen (im Kopf) anhängen. Beispiel: 0,73 0,3 = 0,73 0,30 = 0,3 Multiplikation Ohne Berücksichtigung des Kommas multiplizieren; das Ergebnis erhält so viele Dezimalen (Nachkommastellen) wie die beiden Faktoren zusammen haben. Beispiel: 0,00 0, = 0,000 (5 Dezimalen) Division Komma von Dividend und Divisor um gleich viele Stellen nach rechts verschieben, so dass der Divisor eine natürliche Zahl wird. Beim anschließenden Dividieren auf Komma und eventuelle Periode achten. Beispiel: 0,00 : 0, = 0, : = 0, Multiplikation/Division bei Stufenzahlen Bei Stufenzahlen (0, 00, 000, usw.) ist nur eine Kommaverschiebung notwendig. Beispiele: 0,3 0 =,3; 0,3 000 = 30 3 : 000 = 0,03 Runden von Dezimalzahlen Ist die erste wegzulassende Ziffer eine 0,,,3 oder, so wird abgerundet, andernfalls aufgerundet. Beispiele: 0,39 auf Hundertstel gerundet ergibt 0,3. 0,39 auf Tausendstel gerundet ergibt 0,35. 0,5 auf Zehntel gerundet ergibt 0,3. Rechentricks Stellen schieben bei der Division Beispiel: 0, = = 0,6 (bei Division Komma in die gleiche Richtung verschieben) 0,3 3 Stellen schieben bei der Multiplikation Beispiel: 0, = 30 = 60 (bei Multiplikation Komma in entgegengesetzte Richtung verschieben) Multiplikation mit 0,5 Weil 0,5 =, halbiert man die Zahl, z. B. 68 0,5 = 3 Multipliktion mit 0, Weil 0, =, dividiert man durch 0 (Kommaverschiebung), z. B. 68 0, = 6,8 0 Division durch 0,5 Weil : 0,5 wie : wie gerechnet wird, verdoppelt man, z. B. 6 : 0,5 = 6 = 5 Division durch 0, Ebenso wie im vorigen Beispiel oder direkt sieht man die Kommaverschiebung um eine Stelle nach rechts, z. B. 6 : 0, = 60 ( in 6 geht 0, 60-mal )

5 6. Klasse TOP 0 Grundwissen 6 Rechenfertigkeiten mit (Dezimal-)Brüchen 0 Punkt vor Strich Falls Klammern keine andere Reihenfolge vorschreiben, gilt: Hoch vor Punkt vor Strich Beispiel: , 3 = ,008 = 70 3,6 = 56, Ansonsten wird der Reihe nach gerechnet. Bei mehreren Klammern werden innere Klammern zuerst berechnet. Was man noch nicht rechnen kann, schreibt man unverändert an. Brüche und Dezimalbrüche gemischt Rechnen mit Brüchen geht immer, mit Dezimalbrüchen nur dann, wenn keine unendlichen periodischen Dezimalbrüche vorkommen. Umwandlung Dezimalbruch Bruch Brüche ohne Periode: Beispiel: 0,8 = = 6 5 ( So viele Nachkommastellen, so viele Nullen ; eventuell kürzen) Die Umwandlung von Brüchen mit Periode kommt selten vor und erfordert besondere Tricks. ( ueb6.pdf) Besondere Dezimalbrüche weiß man auswendig: = 0,5 = 0,3 = 0,5 = 0, = 0,5 = 0, = 0, = 0,6 = 0,5 = 0, = 0,5 = 0, = 0, = 0,75 3 = 0,6 3 = 0,375 3 = 0,3 3 = 0, = 0,8 usw. Beachte: ist nicht 0,3, sondern 0, ! 3 Umwandlung Bruch Dezimalbruch 7 Fasse den Bruch als Quotienten (Divisionsaufgabe) auf, z. B. = 7 : = 0,583 Wenn man Glück hat, kann man statt dessen manchmal auf den Nenner 0, 00, 000, 7... erweitern, z. B. 0 = = 0,35 Negative Zahlen Auch für die rationalen Zahlen (d. h. positive und negative Brüche sowie die Null) gelten weiterhin die von den ganzen Zahlen (d. h. 0, ±, ±, ±3,... ) bekannten Regeln: Multiplikation/Division ( minus mal minus ist plus usw.), z. B. ( 0,) ( 0,3) = +0,06 Addition/Subtraktion ( das vor der Zahl stehende Vorzeichen gibt an, ob es Plus- oder Minuspunkte sind ), z. B.,3 0,77 =,07 Vergleichen von Rechenausdrücken. Für positive Zahlen gilt: Dividiert man durch eine kleinere Zahl, so wird das Ergebnis größer, z. B. 7 : 0, < 7 : 0,0 Subtrahiert man eine kleinere Zahl, so wird das Ergebnis größer, z. B. 7 0, < 7 0,0 Dividiert man durch eine Zahl, die kleiner ist als, so wird das Ergebnis größer als der Dividend, z. B. 7 : 0, = 35 > 7

6 6. Klasse TOP 0 Grundwissen 6 Prozentbegriff, relative Häufigkeit 05 Prozentbegriff Merke: % = 6. Also: 6 % = = 0, % = 7 = 0, % = 00 = ( Ganzes) 00 Bruchteile werden oft mit Nenner 00 geschrieben, da man sich dann den Anteil an Ganzen (= 00 %) gut vorstellen kann und leichter Vergleiche ziehen kann. Beispiel: 00 der 500 der Bewohner von A-Dorf gehen sonntags zur Kirche, in B-Dorf sind es 300 von 800. A-Dorf: 00 = B-Dorf: 300 = = 0,0 = 0 % (d. h. 0 von 00 Personen sind Kirchgänger), = 0,375 = 37,5 % (also in B-Dorf ein geringerer Anteil) Umwandlung Dezimalbruch Prozent Verschiebe das Komma um zwei Stellen, z. B. 0,5 = 5 %, 0,7 = 0,70 = 70 %, 0,3 =,3 %, 0,008 = 0,8 %,, = 0 %. Umwandung Bruch Prozent Schreibe (falls möglich) den Bruch mit Nenner 00 (erweitere), z. B. = 50 = 50 %, = 0 = 0 %, = 0 = 0 % Wandle sonst den Bruch in einen Dezimalbruch um (dividiere), z. B. = : 3 = 0, = 33,33... % = 33 %, 7 = 7 : 5 = 0,6 = 6,6 % = 6 % Berechnung des Prozentsatzes Schreibe wie in obigem Beispiel mit den Kirchgängern den Bruchteil ( das, was einen interessiert, wie viel % es sind, geteilt durch das, was als Ganzes die 00 % darstellt.) Berechnung Prozentsatz vom Ganzen Schreibe die Prozentzahl als Bruch oder Dezimalbruch und berechne Bruchteil von... (siehe grund6.pdf), z. B. 80 % von 800 = 80 von 800 = Absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit Die Anzahl, wie oft ein bestimmtes Merkmal o. ä. vorliegt, heißt absolute Häufigkeit. Der Bruchteil, wie oft das Merkmal unter der Gesamtzahl vorliegt, heißt relative Häufigkeit. Absolute Häufigkeit Also: Relative Häufigkeit = Gesamtzahl. Beispiel: In 00 Versuchen mit einem Würfel wird 30-mal die Sechs gewürfelt. Dann ist 30 die absolute Häufigkeit der Sechs; die relative Häufigkeit ist 30 = 5 %. 00 Wiederholt man ein Zufallsexperiment (z. B. Würfeln) sehr oft, so pendelt sich die relative Häufigkeit bei einem festen Wert ein, da bei einer großen Zahl von Versuchen eventuelle Glücks- oder Pechsträhnen nicht ins Gewicht fallen (Gesetz der großen Zahlen). -Felder-Tafel Bei einer Aufteilung der Gesamtzahl nach mehreren Merkmalen kann man eine -Felder- Tafel erstellen. Beispiel: Von 30 Schülern sind Mädchen, 8 Buben. Von den Mädchen sind 9 Pferdeliebhaber, von den Buben nur 6. -Felder-Tafel mit absoluten Häufigkeiten: 9 3 Mädchen 6 Buben 8 Pferde Nicht Pferde gesamt Felder-Tafel mit relativen Häufigkeiten: 30 % 0 % Mädchen 0 % 0 % 0 % Buben 60 % Pferde Nicht Pferde gesamt 50 % 50 % 00 % Da sich die Zahlen in jeder Zeile und Spalte jeweils addieren, kann man die fehlenden Zahlen in den übrigen Feldern ergänzen.

7 6. Klasse TOP 0 Grundwissen 6 Flächenformeln 06 Rechteck: A = l b ( Länge mal Breite ) Dreieck Im Dreieck nennt man den Abstand eines Eckpunktes von der gegenüber liegenden Seite a die Höhe h a Bemerkungen: h a a Je nach Sichtweise kann man die Grundlinie (und entsprechend die Höhe senkrecht darauf zum dritten Eckpunkt) anders wählen: A = a h a h a ( Grundlinie mal Höhe geteilt durch ) a Höhe: Verlängere die Grundlinie Überhängende h b b c h c Oft ist leicht zu sehen, dass das Dreieck ein halbes Rechteck ist: Parallelogramm Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die jeweils gegenüber liegenden Seiten parallel sind. Diese sind dann auch gleich lang. Der Abstand zweier solcher Seiten heißt Höhe h. Trapez Ein Trapez ist ein Viereck, in dem zwei Seiten parallel sind. Der Abstand dieser Seiten a und c heißt Höhe h. Die Länge der eingezeichneten Mittellinie m ist der Mittelwert von a und c: m = a+c g h h a g c m Die Formel A = m h ist leicht mit der nebenstehenden Zerlegung zu sehen. A = b h b = = c h c A = g h ( Grundlinie mal Höhe ) A = a+c h = = m h m h Andere Formen kann man oft in diese Grundformen zerlegen oder mit diesen Grundformen ergänzen. Beispiel: Drachenviereck mit den Diagonalen e = cm und f = 3 cm Ein Drachenviereck ist ein achsensymmetrisches Viereck, bei dem die Symmetrieache durch zwei Ecken geht. Die Diagonalen heißen e und f. Die Fläche kann man z. B. durch Ergänzung zu einem Rechteck bestimmen. Hier wird als Beispiel eine andere Methode (Zerlegung) vorgeführt. Zerlegung in des linke und rechte Dreieck, jeweils mit Grundlinie f und Höhe e e f e. Fläche eines Dreiecks: A = f e. Fläche des Drachenvierecks (zwei Dreiecke): A = f e = e f Hier (e = cm, f = 3 cm): A = 3 cm = 3 cm.

8 6. Klasse TOP 0 Grundwissen 6 Volumen 07 Zur Messung des Volumens (Rauminhalts) zählt man im Prinzip, wie oft in einen Körper (z. B. Kofferraum eines Autos) die gewählte Volumeneinheit (z. B. Würfel mit dm Kantenlänge, der dm 3 ) passt. Einheiten In den dm 3 -Würfel passen 0 Schichten zu je 0 0, also = 000 cm 3 - Würfel. Also: dm 3 = 000 cm 3 Ebenso: cm 3 = 000 mm 3 m 3 = 000 dm 3 km 3 = (000m) 3 = m 3 Man kann also jeweils die Einheit selbst durch die umgerechnete gewünschte Einheit ersetzen und dabei Klammern setzen, d. h. der Einheiten- Umrechnungsfaktor wird ebenfalls hoch 3 genommen. Einheiten mit Liter: Liter ist dm 3 : l = dm 3 hl = 00 l = 00 dm 3 ml = l = dm3 = cm 3 Beispiel: m 3 3 cm 3 = 000 dm 3 + 0,03 dm 3 = 000,03 l Quader Würfel h a a b a a V = a b h = Grundfläche Höhe Beim Einsetzen die Daten in die gleiche Einheit umwandeln! Ist das Ergebnis in l (Liter) oder hl gewünscht, empfiehlt es sich, vorher in dm umzuwandeln. Beispiel: Aquarium, dm lang, 5 cm breit, cm hoch. Volumen: V = dm,5 dm, dm = 3, dm 3 = 3, l. V = a a a = a 3 Beachte: a 3 bedeutet nicht Multiplikation mit 3, sondern, wie oft der Faktor a dasteht; Beispiel: Kantenlänge cm. Volumen: V = ( cm) 3 = cm 3 = 6 cm 3.

9 6. Klasse TOP 0 Grundwissen 6 Prozentrechnung 08 Prozent Dezimalbruch ( grund65.pdf) % =, also Kommaverschiebung um zwei 00 Stellen, oft gleich im Kopf! Wie viel sind 0 % von 8 Euro? von heißt mal, hier: 0,0 8 Euro = 9,60 Euro Wie viel % sind 0 von 600 Personen? Prozentsätze sind Bruchteile, hier: 0 = 0, = 0 % % = 0,6 3 % = 0,03 0 % =,0 Berechnung des Grundwerts X. Beispiel: 0,3 % von X sind 6 mm Mit Ansatz: 0,003 X = 6 mm, also muss man umgekehrt zur Berechnung des Grundwerts durch den Prozentsatz dividieren: X = 6 mm : 0,003 = 000 mm. Oder mit Schlussrechnung: ( grund69.pdf) 0,3 % 6 mm 0, % mm 00 % 000 mm = m Erhöhung um... % Beispiel: Jemand erhält,5 % Zins auf 80 DM. Wie groß ist sein neues Guthaben? Zunächst könnte man die Aufgabe in Teilschritten lösen:,5 % von 80 = 0,05 80 =..., das kommt zum bisherigen Guthaben dazu. Man könnte das neue Guthaben also so berechnen: ,05 80 = ( + 0,05) 80 =,05 80 = 3. Mit Taschenrechner (TR) geht es also schneller auch in einem Schritt: Den Prozentsatz als Dezimalbruch plus berechnen wir im Kopf und tippen gleich,05 in den TR! Wir merken uns: Erhöhung um,5 % bedeutet Multiplikation mit,05; Erhöhung um 0 % bedeutet Multiplikation mit,; Erhöhung um 6 % bedeutet Multiplikation mit,6; Erhöhung um 0 % bedeutet Multiplikation mit,. Beispiel: Nach einer Lohnerhöhung von, % erhält Herr X. 855,6 Euro Lohn. Wie viel verdiente er vorher? 855,6 Euro Lohn vorher,0 = 855,6 Euro, also Lohn vorher = = 830 Euro.,0 [Oder mit Schlussrechnung: 0, % 855,6 Euro, usw.] Erniedrigung um... % Ebenso merken wir uns: Erniedrigung um 3 % bedeutet Multiplikation mit 0,97 (= 0, 03); Erniedrigung um 0 % bedeutet Multiplikation mit 0,9. Beispiel: Jemand erhält % Skonto auf 070 DM. Der ermäßigte Preis beträgt dann 0, DM = 08,60 DM. (Wir sehen sofort: Der Preis beträgt dann noch 98 % = 0,98 vom ursprünglichen, schreiben also gleich 0,98). Denke in Verhältnissen! Beispiel : Durch Wärme ändert sich die Länge einer Eisenschiene um 0, %. Wie verhalten sich neue und alte Länge zueinander? l neu = l alt,00, also l neu =,00. l alt Beispiel : Durch Wärme ändert sich das Volumen einer Luftmenge von 0,65 m 3 auf 0,78 m 3. Wie viel Prozent mehr sind das? V neu = V alt 0,78 m3 =,0, also 0 % Zunahme. 0,65 m

10 6. Klasse TOP 0 Grundwissen 6 Schlussrechnung 09 Zwischen zwei Größen x und y gibt es oft (aber nicht immer) Zusammenhänge, wie man aus bekannten Daten auf weitere schließen kann. Beispiel x ist die gekaufte Menge, y der Preis. Je mehr man kauft, desto größer ist der Preis. Genauer: Zum -fachen (3-fachen) x-wert (Menge) gehört der -fache (3-fache) y-wert (Preis). Solche Zusammenhänge heißen direkt proportional. Beispiel für eine Schlussrechnung (Dreisatz): Becher Joghurt kosten,96 Euro. Wie viel kosten 6 Becher? Man schreibt die gesuchte Größe (hier den Preis) auf die rechte Seite und überlegt zuerst, wie viel Becher kostet: Becher,96 Euro Becher,96 Euro 6 Becher,96 6 Euro=,9 Euro Manchmal kann man auch eine Tabelle schreiben und die x-werte direkt vergleichen:,5 x (Anzahl Becher) 6 also... =,96,5 =,9. y (Preis in Euro),96...,5 Beispiel x ist der Inhalt eines Bechers Joghurt und y ist die Anzahl der Becher, um insgesamt 3 kg Joghurt zu bekommen. Je mehr in einem Becher enthalten ist, desto geringer ist die Stückzahl der benötigten Becher. Genauer: Zum -fachen (3-fachen) x-wert gehört der -fache ( -fache) y-wert. Solche Zusammenhänge heißen indirekt proportional. 3 Beispiel für eine Schlussrechnung: Wenn man 5 Becher zu 00 g benötigt, wie viele Becher zu 50 g würden dann für die gleiche Gesamtmenge benötigt werden? Schreibe wieder die gesuchte Größe (hier die Anzahl der Becher) auf die rechte Seite und führe zuerst den Schluss auf die Einheit durch ( wenn es nur g-becher gäbe, bräuchte man 00-mal so viele ): 00 g-becher 5 Stück g-becher 5 00 Stück 50 g-becher 5 00 Stück = Stück 50 Bemerkungen Manchmal ist es günstig, die Brüche erst am Schluss auszurechnen, da man dann kürzen kann. Auch bei der Prozentrechnung bietet sich manchmal der Dreisatz an. Beispiel: Nach einer Preissenkung um 30 % kostet eine Ware 0,0 Euro. Wie viel hat sie vorher gekostet? Überlege: Der alte Preis (00 %) wird um 30 % vermindert, also bleiben 70 % übrig. 70% 0, 0 Euro % 0,0 70 Euro 00% 0, Euro

11 6. Klasse TOP 0 Grundwissen 6 Geltende Ziffern 0 Vorbemerkung: Das Thema Geltende Ziffern ist zwar im neuen Lehrplan nicht mehr enthalten. Wegen der Bedeutung für das Fach Physik ist es hier jedoch in den Grundwissens- Katalog aufgenommen. Was versteht man unter geltenden (auch: gültigen, zuverlässigen) Ziffern? Beispiele: 50, geltende Ziffern (Wert zwischen 50,35 und 50,5) 50 3 geltende Ziffern (Wert zwischen 509,5 und 50,5) 5 0 geltende Ziffern (Wert zwischen 50,5 0 = 505 und 5,5 0 = 55) 5 0 geltende Ziffer (Wert zwischen,5 0 = 50 und 5,5 0 = 550) Endnullen sind geltende Ziffern, Vornullen sind keine geltenden Ziffern: 0,0005 geltende Ziffern 0, geltende Ziffern Rechnen mit ungenauen Größen Beispiel: Jemand läuft eine Strecke von,0 km in 50, s. geltende Ziffern geltende Ziffern (relativ ungenau) (relativ genau) Mittlere Geschwindigkeit: v = s,0 km = t 50, s = 000 m 50, s = 3,9895 m; s das zeigt der Taschenrechner an bzw. kann man errechnen; aber so übergenau darf man z. B. im Physik-Unterricht das Endergebnis nicht angeben, denn:,0 war ein gerundeter Wert (tatsächlicher Wert zwischen,95 und,05), 50, war ein gerundeter Wert (tatsächlicher Wert zwischen 50,35 und 50,5). Die Geschwindigkeit beträgt also höchstens v max =,05 km 50,35 s =,07 m s, mindestens,95 km v min = 50,5 s = 3,80 m. s Sinnvoll ist es also, für die mittlere Geschwindigkeit einen gerundeten Wert von 3,9 m anzugeben. s geltende Ziffern Faustregel Das Ergebnis hat so viele geltende Ziffern wie die am wenigsten genau gemessene Größe. Beispiel s = 00 m (3 g. Z.), t = 89 s ( g. Z.), v =... =,5 m s ( g. Z.) (Nachrechnen!) Manchmal bietet es sich an, in eine andere Einheit umzuwandeln; muss man z. B. das Taschenrechner-Ergebnis 83,33333 m (= 0, km) mit geltenden Ziffern angeben, so schreibt man,8 0 m oder eben bequemer 0,8 km.

12 6. Klasse Übungsaufgaben 6 Rechnen mit Brüchen: Überblick 0. Welches der folgenden Diagramme stellt den Wert des Bruchs dar? 8 A B C D. (a) Berechne: 5 : 6 (b) Kürze: 96 (c) Bringe auf den angegebenen Nenner: 6 =... (d) Verwandle in eine gemischte Zahl: 0 3 (e) Verwandle in einen Bruch: 5 3 (f) Addiere: 5 3 (g) Subtrahiere: 3 (h) Multipliziere: 5 3 (i) Dividiere: 5 3 (j) Welcher der Doppelbrüche stellt eine natürliche Zahl dar: 3. Berechne: 3 5 oder 3 5 oder 3 (a) (b) : ( 5 3 ) (c) (d) : 3 3 : 8 7. Ergänze folgende Tabelle mit Teilbarkeitsregeln: Teilbarkeit durch erkennbar an Beispiel 66 ist teilbar durch 3 66 ist nicht teilbar durch 3 wegen Quersumme aus letzten zwei Ziffern gebildete 66 ist... Zahl ist durch teilbar 5 65 ist... 6 Teilbarkeit durch und durch 3 3 ist... 9 durch 9 teilbare Quersumme 6 ist ist Manfred schreibt: 6 = = = = 363 = 33 Was meinst du dazu? 6. Ein Elefant fraß in der ersten Woche seines Futtervorrats. In der zweiten Woche fraß 3 er vom Rest. Danach waren noch 300 kg Futter übrig. Veranschauliche die Situation durch eine Zeichnung. Wie viel Futter war anfangs vorhanden?

13 6. Klasse Übungsaufgaben 6 Rechenfertigkeiten im Bruchrechnen 0. Berechne: (a) (b) (c) (d) (e) Gegeben ist die Rechnung 5. Zeige, dass die Rechnung mit dem Nenner 5 zwar das richtige Ergebnis liefert, die Rechnung mit einem anderen Hauptnenner aber einfacher ist! 3. Berechne: (a) (b) (c) :. Vergleiche: (a) 8 8 und (b) 3 von 8 7 und 5 von 7 (c) 7 8 : 9 und 7 8 : 7 5. Welche Fehler wurden hier gemacht? Verbessere! 6 Anton: : = 6 : 3 = 6 = Berta: = +8 = + = = 6 3 Cäsar: 8 6 = 8 6 = Berechne: (a) (b) ( 7 0 ) ( 0 ) (c) 5 ( ) (d) (e) 7 [ ( 3 )3] ( 5 6 ) ( 6 5 )

14 6. Klasse Übungsaufgaben 6 Rechnen mit Dezimalbrüchen 03. Berechne: (a) 7,7 + 0,3 (b) 8,7,87 (c), 0, (d) 0,8 : 0,3 (e) 0,3 : 0,6 (f) 0,03 : 00 (g) 0,03 00 (h) Mit welcher Zahl muss man 0,03 multiplizieren, um 30 zu erhalten? (i) Durch welche Zahl muss man 0,03 dividieren, um 0,3 zu erhalten? (j) Welche Zahl muss man durch 0,03 dividieren, um 000 zu erhalten?. Berechne: (a) 5,5 0, : 0, (b) (,08 + 9,) 6,99 (c) (9 0,8 0,70) : (0,6 + 0,5) (d) Ist 0, 3 0, 3 größer oder kleiner oder gleich im Vergleich zu 0, 3 0,3? (e) Ergänze zu : 0,3 + x = 0,0 + x = 3. Erkläre (z. B. durch Einzeichnen auf einer Skala), warum,7 größer als,08 ist. Welche Zahl liegt in der Mitte zwischen diesen beiden Zahlen?. µm ist m. Auf welcher Stelle steht dann die Ziffer bei der Angabe von µm in m in der Kommaschreibweise? 5. Formuliere, wie man bequem die Multiplikation mit 0,0 und die Division durch 0,0 ausführt. 6. Berechne : 9000 als Dezimalbruch und runde anschließend (a) auf Hundertstel (b) auf Tausendstel.

15 6. Klasse Übungsaufgaben 6 Rechenfertigkeiten mit (Dezimal-)Brüchen 0. Brüche und Dezimalbrüche (a) Welches Diagramm gehört zu welchem Dezimalbruch? 0,3; 0,; 0,3; 0,5 (b) Stelle folgende Zahlen auf einem Zahlenstrahl (Einheit 6 cm) dar: ;,3; ; 0,6;,6; Berechne: (a) : Mache bei dieser Teilaufgabe zusätzlich vorher eine Überschlagsrechnung! (b) : 0, (,0 ) 3 0 (c) 7653 ( 9 0, 0,3) 0 3. Wie viele min sind,75 h?. Berechne: (a), (,5,7) (b) 8 + ( 3 0,3) ( + 0,) 5. Vergleiche: (a) ,5 3 und ( 5 )3 (b) Wie ändert sich das Ergebnis von,7,6, wenn statt,5 eine kleinere Zahl,5 steht? Um wie viel ändert sich der Ergebnis, wenn statt,5 die Zahl, steht? Schreibe beide Ergebnisse auch als (periodischen) Dezimalbruch. 6. Studiere die Umwandlung von Dezimalbrüchen mit Periode an folgendem Beispiel: 0,8 =,8 : 0 = 8 99 : 0 = 7 99 : 0 = Verwende diesen Trick, um 0,38 in einen Bruch zu verwandeln!

16 6. Klasse Übungsaufgaben 6 Prozentbegriff, relative Häufigkeit 05. Ergänze in den Tabellen die Brüche, Dezimalbrüche und Prozentsätze: (a) Merke auswendig: Bruch 3 Dezimalbruch 0,6 0,6 Prozentsatz 0 % 5 % (b) Ergänze außerdem:. Berechne: 5 Bruch 6 Dezimalbruch 0,999 9,99 Prozentsatz 8, % 0,5 % (a) 6 % von Euro (b) 80 % von 800 Schülern (c) 0 % von 50 % von 50 Euro (d) Wie viel % sind Euro von 6 Euro? 3 (e) Wie viel % bedeckt ein m mal 3,5 m großer Teppich von einem m mal,5 m großen Zimmerboden? (f) Wie viel % sind, Euro von, Euro? (Runde sinnvoll) 3. Gib die relativen und absoluten Häufigkeiten der Brillenträger in den Klassen 6 a und 6 b an; vergleiche; zeichne je ein Kreisdiagramm! Klasse 6 a: 3 Schüler, 0 Brillenträger.. Erstelle eine 6-Felder-Tafel mit absoluten Häufigkeiten: Klasse 6 b: 5 Schüler, 8 Brillenträger 8 Schülerinnen und 6 Schüler wählen eine Sportart. Buben und Mädchen möchten Schwimmen, zwei Fünftel der übrigen Fußball spielen und der Rest laufen. Beim Fußball sind nur Mädchen, dagegen beim Schwimmen nur Buben. 5. Erstelle eine -Felder-Tafel mit relativen Häufigkeiten: Die Schultaschen von Schülern erscheint zu schwer; sie werden nach unnötigem Ballast untersucht; tatsächlich wird bei allen ein an diesem Schultag nicht benötigtes Buch und/oder ein nicht erlaubtes Spielzeug gefunden. 7 haben beides dabei, außerdem 6 zwar kein Spielzeug, aber das unnötige Buch. 6. Gegeben sind vier undurchsichtige Beutel A, B, C, D, die mit roten und weißen Kugeln gefüllt sind: Beutel A B C D Zahl der weißen Kugeln Gesamtzahl der Kugeln Bei welchem Beutel sind die Chancen am größten, bei blindem Ziehen einer Kugel eine rote Kugel zu erhalten?

17 6. Klasse Übungsaufgaben 6 Flächenformeln 06 Hinweis: Dieses Blatt sollte nach Möglichkeit so ausgedruckt oder mittels Kopierer so vergrößert werden, dass diese Länge als cm erscheint: Dazu muss eventuell beim Ausdrucken mit dem adobe acrobat reader keine Seitenanpassung eingestellt werden, damit der Ausdruck in einer Größe von 00 % erscheint.. Berechne die Flächeninhalte: (a) (b) (c) (d) 0,6 cm cm 5 mm,5 cm cm, cm 90 3 cm, cm. Finde eine Formel für die Fläche einer Raute mit den Diagonalen e und f! Eine Raute (auch Rhombus genannt) ist ein Viereck, in dem alle Seiten gleich lang sind. Diese sind dann auch immer parallel, so dass die Raute ein spezielles Parallelogramm ist. Außer mit der Formel für die Parallelogramm-Fläche kann man die Fläche einer Raute auch mit Hilfe der Diagonalen e und f bestimmen, die sich senkrecht halbieren. 3. Gegeben ist die nebenstehende Karte, die stark vereinfacht Schleswig-Holstein im Maßstab : zeigt. Nähere das Flächenstück durch ein Parallelogramm mit etwa gleicher Fläche, entnimm der Karte die entsprechenden Maße, rechne im Maßstab um und berechne damit die ungefähre Fläche von Schleswig- Holstein! f e Kiel Hamburg Lübeck 9 mm. rot weiß rot Berechne den prozentualen Anteil (auf ganze Prozent gerundet) der roten Farbe des nebenstehenden Wappens! 5. Berechne die Oberfläche des Zelts (einschließlich Boden)!,8 m,5 m,5 m, m 6. Gegeben ist ein Parallelogramm mit AB = CD = cm und Höhe 5 cm. Die Seite [AB] ist durch den Mittelpunkt M in zwei gleich große Teile geteilt. Wie muss man die Seite [CD] teilen, damit die entstehenden Flächenstücke I, II und III (siehe Skizze) gleich groß sind? D A L K I II III M B C

18 6. Klasse Übungsaufgaben 6 Volumen 07. Berechne das Volumen (alle Maße in mm): Wie viele Liter passen in eine 5 cm lange,,5 cm breite und 8 cm hohe Packung Orangensaft? Wie viele Hektoliter passen in einem würfelförmigen Tank mit m Seitenlänge? Wie viele Packungen Saft kann man damit befüllen? 3. Verwandle in die angegebene Einheit: (a) 35,07 cm 3 =... mm 3 =... l (b) 35,07 cm =... mm (c) 35,07 cm =... mm (d) cl =... m 3. Welche Breite hat ein 5 m langes, m tiefes Schwimmbecken, das l Wasser fasst? 5. Eine oben offene würfelförmige Schachtel hat ein Volumen von 8 Flächeninhalt des Schachtel-Kartons! l. Berechne den 6. Der Wetterbericht kündigt starken Regen von 70 Liter pro m an. (a) Wie hoch steht dann das Wasser in einer (vorher leeren) Wanne? (b) Wenn das Wasser auf ein Gartenhäuschen mit einer Dachfläche von 6 m fällt und in einer Regentonne gesammelt wird, die eine Grundfläche von 0,5 m hat, wie hoch müsste die Tonne dann mindestens sein?

19 6. Klasse Übungsaufgaben 6 Prozentrechnung 08. Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz (a) In einer Klasse singen Schüler im Chor, das sind ca. 39 % der Schüler dieser Klasse. Schreibe einen Rechenausdruck auf, mit dem die Zahl der Schüler dieser Klasse berechnet werden kann, und führe eine Überschlagsrechnung durch! (b) Die Polizei stellt bei einer Überprüfung von 00 Fahrrädern fest, dass 35 % davon verkehrsunsicher waren. Von diesen wurden wegen defekter Bremsen beanstandet. Wie viele Räder waren 7 das? (c) Wie viel % sind 7 kg von 00 kg?. Erhöhter/erniedrigter Grundwert (a) Eine Ware kostet mit 6 % Mehrwertsteuer 36,8 Euro. Schreibe einen Rechenausdruck auf, mit dem der Preis ohne MWSt berechnet werden kann. (b) Beim Braten von Fleisch gehen ca. 5 % des Gewichtes beim Erhitzen verloren. Wie viel Fleisch muss eingekauft werden, wenn nach dem Braten 80 g vorliegen sollen? 3. Ein Auto setze 0 % der in einer Tankfüllung Benzin steckenden Energie in Bewegung um, nämlich 600 MJ (Energie-Einheit Megajoule ). Der Rest geht z. B. durch Wärme über die Abgase verloren. Wie viele MJ sind das?. Was ist günstiger: Verzinsung eines Bank-Guthabens zwei Jahre lang mit je 3 % (mit Zinseszins, d. h. nach einem Jahr wird der Zins zum Guthaben dazugezählt und im zweiten Jahr mitverzinst), oder % im ersten Jahr und % im zweiten Jahr (ebenfalls mit Zinseszins)? 5. Die Masse eines herumliegenden Beton-Steins beträgt nach Schätzung des Maurers 0 kg, nach Schätzung des Architekten 6 kg. Ergänze die Sätze: Die Schätzung des Maurers liegt... % unter der Schätzung des Architekten. Die Schätzung des Architekten war... % größer als die des Maurers. 6. Verhältnisse (a) Zu einem Fest kommen % mehr Personen als die Veranstalter erwartet haben. Was weiß man dann über das Verhältnis der tatsächlichen Anzahl n zur geschätzten Anzahl n? (b) Die Körpergröße eines Kindes hat im Laufe eines Jahres von x alt auf x neu zugenommen, wobei x neu =,08. Um wie viel Prozent ist es gewachsen? x alt

20 6. Klasse Übungsaufgaben 6 Schlussrechnung 09. Handelt es sich bei den folgenden Größen um eine direkte oder indirekte Proportionalität: (a) Die Menge Wasser in einer Mineralwasserflasche und die Zahl der Flaschen, die benötigt werden, um 600 Schulkindern je einen halben Liter Mineralwasser zu bieten. (b) Die Menge Wasser in einer Mineralwasserflasche und die Zahl der Schulkinder, die mit 00 Flaschen so versorgt werden können, dass jeder einen halben Liter erhält.. Ein Getränkemarkt verkauft für ein Fest 55 Kisten Cola für 5,50 Euro. Wie viel muss man für 77 Kisten zahlen, wenn es keinen Rabatt gibt? 3. Ein Getränkemarkt verkauft für ein Fest 55 Kisten Cola für 5,50 Euro. Wie viele Kisten erhält man für 00 Euro? (Aufschreiben des Rechenausdrucks genügt, ausrechnen ist nicht verlangt.). Die Aufräumarbeiten nach einem Fest können von Leuten in 3 werden. Stunden erledigt (a) Wie viele müssten zusätzlich helfen, um die Arbeit in h zu schaffen? (b) Sie werden zunächst von Leuten begonnen. Nach 3 Stunden gehen Helfer (um den letzten Zug zu erreichen). Wie lange müssen die verbleibenden Leute insgesamt arbeiten? 5. In ein Schwimmbecken gelangen durch 6 gleiche Zuleitungen in fünf Stunden 600 m 3 Wasser. Berechne, wie lange es dauert, das ganze Becken (000 m 3 ) mit nur Zuleitungen zu füllen. 6. Herr X. spendet 8 % seines Lottogewinns, nämlich 66 Euro, für den Bau eines Spielplatzes. Wie viel ist danach vom Lottogewinn noch übrig?

21 6. Klasse Übungsaufgaben 6 Geltende Ziffern 0 Vorbemerkung: Siehe grund60.pdf!. Auf einer Karte im Maßstab :5 000 misst man eine Streckenlänge von 5,7 cm. Gib die wahre Länge mit sinnvoller Genauigkeit an!. Die Angaben Bayern hat , Bremen Einwohner stellen gerundete Zahlen dar. Wie wurde vermutlich gerundet? Wie viele geltende Ziffern haben diese Angaben jeweils? Wie viel Prozent macht die Einwohnerzahl Bremens von der Einwohnerzahl Bayerns aus? 3. Fuhr man im Jahr 880 mit dem Zug um 5.7 Uhr in Dillingen ab, so erreichte man München (3 km) um 9.5 Uhr. Berechne die durchschnittliche Reisegeschwindigkeit in m/s und in km/h (Ergebnis nach der Faustregel für geltende Ziffern)!. (a) Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit Länge 0, m und Breite,3 m (Ergebnis mit sinnvoller Genauigkeit)! (b) Ein Trapez mit parallelen Seiten der Längen 9,3 cm und,7 cm habe den Flächeninhalt, cm. Berechne die Höhe (runde sinnvoll)! 5. Gegeben ist die Formel G = g b und B = 0,0 m! B. Berechne den Wert mit g = 7 m, b = 0,055 m 6. Jemand möchte den Preis eines rechteckigen Grundstücks schätzen; er weiß, dass der Quadratmeter exakt 30 Euro kostet, kann aber die Länge nur durch Abschreiten mit 0 Schritten und die Breite mit 5 Schritten bestimmen, wobei er annimmt, dass die Schrittlänge 0,8 m beträgt. In welchem Bereich liegt also die Schrittlänge? In welchem Bereich liegt der Preis des Grundstücks? Wie gibt man nach der Faustregel den Preis an?

22 6. Klasse Übungen 06 Kompakt-Überblick zum Grundwissen K 5. Rechnen mit Brüchen (siehe auch grund6.pdf): Rechenfertigkeiten im Bruchrechnen (siehe auch grund6.pdf): Rechnen mit Dezimalbrüchen (siehe auch grund63.pdf): (0,7 + 0,03) (, 0,9). Rechenfertigkeiten mit (Dezimal-)Brüchen (siehe auch grund6.pdf) (a) Zuletzt als Bruch zu schreiben: 0,003 : 0,5 (b) Zuletzt als Dezimalbruch zu schreiben: (c) Was ist größer: oder 0,03? 3 (d) Punkt vor Strich: ( 8 : 3) (0,5 : + : ) (e) Negative Zahlen: (,3 7,5) : ( 00) 5. Prozentbegriff, relative Häufigkeit (siehe auch grund65.pdf) Erstelle eine -Felder-Tafel mit absoluten Häufigkeiten: Von insgesamt etwa 000 befragten Personen (davon 00 unter 30 Jahre) gaben 3 % in einer Umfrage an, dass nach ihrer Meinung zu einem gelungenen Heiratsantrag dazu gehört, dass der Mann vor der Frau auf die Knie fällt (dies meinten sogar 3 % der unter 30-Jährigen). 6. Flächenformeln (siehe auch grund66.pdf) Auf einer Cornflakes-Packung befindet sich nebenstehende (vereinfacht und verkleinert dargestellte) Ernährungspyramide. Jedes Stockwerk ist,5 cm hoch; die waagrechten Stücke sind,7, 3,, 5, bzw. 6,8 cm lang. Berechne die Flächen der einzelnen Stockwerke! Stimmen die von der Firma in der Abbildung angegebenen Prozentsätze für die Flächenanteile? 9 5 % Süßigkeiten 0 % Milch, Fleisch 35 % Obst, Gemüse 0 % Getreideprodukte 7. Volumen (siehe auch grund67.pdf) Gegeben ist ein Quader mit quadratischer Bodenfläche (Seitenlänge cm) und 0,8 Liter Inhalt. Zu berechnen ist die Oberfläche der Quaders. 8. Prozentrechnung (siehe auch grund68.pdf) (a) Ein Würfel zeigte zu % die Augenzahl 3, nämlich -mal. Wie oft wurde er geworfen? (b) Wie viel % sind von 7,5 Liter? (c) Gemessen werden 30 m, tatsächlich sind es m. Wie viel % beträgt der Fehler? (d) Nach einer Erhöhung um,5 % beträgt der Lohn 576,5 Euro. Wie viel Euro betrug die Erhöhung? 9. Schlussrechnung (siehe auch grund69.pdf) Nach Ende eines Fußballspiels müssen die Zuschauer mit U-Bahn-Zügen vom Stadion zur Innenstadt befördert werden. Bei 3000 Personen und Einsatz von Zügen mit je Wagen dauert es 5 min, bis der Bahnsteig leer ist. Wie lange dauert es bei 7500 Personen? Wie lange dauert es, wenn dann Züge mit je 6 Wagen eingesetzt werden? 0. Geltende Ziffern (siehe auch grund60.pdf/nicht im Lehrplan) Werden 0,0 km in,0 s zurückgelegt, so sind das (sinnvoll gerundet)... km h.

23 6. Klasse Lösungen 6 Rechnen mit Brüchen: Überblick 0. 8 =, daher ist B richtig. (A wäre 8, C wäre 6 = 3, D wäre 8 = ).. (a) 5 : 6 = 37 3 = 37 6 (b) = 7 (mit 6 gekürzt) 96 6 (c) = 3 = 9 6 (d) 0 = (e) 5 3 = 3 (f) (g) = 3 = (h) (i) (j) = 3 : 5 5 = 5 = 5 stellt eine natürliche Zahl dar, dagegen die anderen nicht: = 3 5 = 5 =, 3 = 3 : = 3. (a) = 6 5 = = 3 6 = (b) : ( 5 3 ) = 5 = 3 + : ( 5 ) = 3 + : = 3 + = 5+6 = 3 = (c) = = (d) 7 : : 8 7 = = 7 7 : 9 8 = = 3 3 = 3 3. Teilbarkeit durch erkennbar an Beispiel Endziffer 0,,, 6, 8 66 ist teilbar durch 3 Quersumme durch 3 teilbar 66 ist nicht teilbar durch 3 aus letzten zwei Ziffern gebildete 66 ist nicht teilbar durch, da Zahl ist durch teilbar 66 nicht durch teilbar ist 5 Endziffer 0, 5 65 ist teilbar durch 5 6 Teilbarkeit durch und durch 3 3 ist nicht teilbar durch 6 9 durch 9 teilbare Quersumme 6 ist teilbar durch 9 (Quersumme 9) 0 Endziffer 0 35 ist nicht teilbar durch 0 5. M.s Rechnung ist zwar richtig, aber viel zu kompliziert, da man für die Multiplikation keinen gemeinsamen Nenner braucht und da M. ganz am Anfang mit hätte kürzen können. Bequemer: = = Futtervorrat nach einer Woche: X Futtervorrat nach der zweiten Woche: X X X Man erkennt, dass genau die Hälfte des Vorrats aufgebraucht ist. Also waren anfangs 600 kg vorhanden.

24 6. Klasse Lösungen 6 Rechenfertigkeiten im Bruchrechnen 0. (a) Nenner: = 3, 6 = 63 = Schreiben wir zuerst die 3 an, so fehlen von den Primfaktoren der 6 noch die 7 und die zweite 3, also Hauptnenner = = = 5. Für das Erweitern erkennt man, dass von der = 3 auf 5 = noch 3 7 = fehlt, also die mit zu erweitern ist. Also: + 5 = + 0 = (b) Betrachtung der Nenner, 6 und 5: Die steckt in der 6 schon als Primfaktor drin, von der 5 = 3 5 ist die 3 schon als Primfaktor in der 6 vorhanden, es fehlt also nur noch die 5, also Hauptnenner = 6 5 = = = = (kürzen!) (c) = = 3 6 (d) = = 53 0 (e) 5 6 = 5 3 = 35 9 = 6 = = 80, also = 8 5 = 33 = (kürzen!) In diesem Beispiel wäre der Nenner 60 bequemer gewesen: = 6 5 = (a) = (b) = 5 9 = = = = 5 5 (c) 5 3 : = 67 3 : 3 = 67 3 = 67 3 = 5 = (a) (b) von 8 < von 7, denn von 8 = = 58 = 90, = 9 05 (c) 7 8 : < 7 8 :, denn 9 7 größer, bei Subtraktion der größeren Zahl erhält man das kleinere Ergebnis. 5. Anton: Bei Division muss man zuerst die Multiplikation mit dem Kehrbruch schreiben, dann erst kürzen! 6 : = 6 = = Berta: Bei Summen/Differenzen muss man zuerst ausrechnen oder mit Distributivgesetz ausklammern. Also: 6+8 = = oder = (3+) = 3+ = ( 3) 3 9 Cäsar: Man muss zuerst die gemischte Zahl umwandeln in einen Bruch: 8 6 = 9 = 6 9 = 98 = 3. Man könnte sich auch klar machen, dass 8 eigentlich eine Summe ist, und das Distributivgesetz verwenden: 8 6 = (8+ ) = = 3+ = (a) 7 = 8 = (b) ( 7 ) ( ) = (c) 5 ( ) = 5 ( ) = 5 + = + 0 = = 3 (d) = (7 7) = = 5 (Ausklammern mit Distributivgesetz) (e) 7 [ 3 + ( )3] ( 5) ( ) = = 7 [ 8 + ( ) ( ) ( )] ( 5) ( 6) ( 6) = = 7 [ 8 + ( )] ( 5 6 6) = 7 [ 7 ] ( 6 ) = 5 = 7 [ = ] ( 6 ) = 7 [ ] ( 6 5 = = = ) = 7 ( ) = =

25 6. Klasse Lösungen 6 Rechnen mit Dezimalbrüchen 03. (a) 7,7 + 0,3 = 7,7 (b) 8,7,87 = 8,70,87 = 6,83 (c), 0, = 0, (d) 0,8 : 0,3 = 80 : 3 =,5 (e) 0,3 : 0,6 = 3, : 6 = 0,53 (f) 0,03 : 00 = 0,000 3 (g) 0,03 00 =,3 (h) 0,03 x = 30, also x = 30 : 0,03 = : 3 = (i) 0,03 : x = 0,3, also x = 0,03 : 0,3 =,3 : 3 = 0, (j) x : 0,03 = 000, also x = 000 0,03 =,3. (a) 5,5 0, : 0, = 0,660 : 0, = 6,6 (b) (,08 + 9,) 6,99 =,8 6,99 =,9 (c) (9 0,8 0,70) : (0,6 + 0,5) = (7, 0,7) :, = 6,5 :, = 65 : = 5,90 (d) 0, 3 0, 3 = 0,6 0, 0, 0, = 0,6 0,008 = 0,59 ist größer als (>) 0, 3 0,3 = 0,6 0,6 = 0 (e) 0,3 + 0,877 = 0,0 + 0,956 = 3.,7 (also 7 8 ) liegt auf dem Zahlenstrahl weiter rechts als,08 = : 0 00,08,7 0 3 Mitte zwischen,7 und,08: Nach Gefühl mit dem Zahlenstrahl (die beiden Zahlen liegen 0,6 auseinander) oder als Mittelwert findet man:,7+,08 =,78 : =,39. 5 µm = 0, m, also steht die auf der fünften Stelle nach dem Komma, der Hunderttausendstel-Stelle. 5. Eine Zahl wird mit 0,0 multipliziert, indem man das Komma zwei Stellen nach links verschiebt, z. B. 0,0 = 0, Eine Zahl wird durch 0,0 dividiert, indem man das Komma zwei Stellen nach rechts verschiebt; die Zahl wird dadurch 00-mal so groß; Beispiel: : 0,0 = : 9000 =,3 5 (a) Gerundet auf Hundertstel:,3 (b) Gerundet auf Tausendstel:,35

26 6. Klasse Lösungen 6 Rechenfertigkeiten mit (Dezimal-)Brüchen 0. (a) Erstes Diagramm: 3 0 = 0,3 Zweites Diagramm: = 0,5 Drittes Diagramm: 6 = 3 = 0,3 Viertes Diagramm: 5 = 0, 6 (b) 0 0,6 3 0,6,3. (a) : = 000 Exakt: : = = = 08 (b) : 0, (,0 ) = : 00 (,0 0,05) = 96 = 3 = 8 = (c) 7653 ( 9 0, 0,3) = 0 = 7653 ( 5 0, 0,3) = 7653 (0,5 0, 0,3) = = ,75 h = 3 60 min = 0 min + 5 min = 65 min. (a), (,5,7) =, (,) =,+, =,0, = 6,76 (b) + ( 0,3) ( + 0,) = 8 3 = + ( 3 ) (,5 + 0,) = = 0 + ( 9 ) ( 0,85) = = ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = = = = = 758 = (a) Wegen 0,5 > = 0, ist ,53 > ( 5 )3. Es ist ,5 3 = ( )3 = = 5 und ( 5 )3 = = = 7 8 = (b) Mit dem kleineren Nenner wird der Bruch größer. Zieht man von,7 eine größere Zahl ab, so wird das Ergebnis kleiner. Es ist,7,6 = 7 6 = 5 3 = 9 = 9 : 30 = 0,63 und, ,7,6 = 7 6 = 9 80 = 39 = 39 : 70 = 0,5578., Das Ergebnis wird um 9 39 = 33 7 = 6 = 8 kleiner ,38 = 3,8 : 0 = : 0 = 35 9 : 0 = = 7 8

27 6. Klasse Lösungen 6 Prozentbegriff, relative Häufigkeit 05. (a) B D. 0,5 0,3 0,6 0,5 0,75 0, 0, 0,6 0,8 0,6 0, 0,05 % (b) Bruch Dezimalzahl 0,83 0,999 9,99 0,8 0,005 % , , 0,5. (a) 0,6 =,9 (b) 0,8 800 = 60 (e) Flächen in m : 3,5 = 7,,5 = 8, also 7 8 = 0, ,7 % (f),, (c) 0, 0,5 50 = 0 (d) = = 0,5 =,5 % 6 8 = 0,38 = 38, 8 % 3. 6 a: Absolut 0, relativ 0 = 0,35 = 3,5 %. 3 6 b: Absolut 8, relativ 8 = 3 = 3% Also in 6 b geringfügig höherer Anteil, obwohl absolut gesehen die kleinere Anzahl. 6 a 0 von = =,5 6 b 8 von = = 5, 0 Brille Brille. S=Schwimmen, F=Fußball, L=Lauf, M=Mädchen, B=Buben, gesamt = 5 Erster Schritt: M 8 B 6 S F L gesamt 5 Also für die anderen Sportarten 5 = 0, davon Fußball, also 6. 5 Zweiter Schritt: M 8 B 6 S F L gesamt Nun werden zuerst die S- und F-Spalte ergänzt (Summe: + =... ) Dritter Schritt: M 8 0 B 6 S F L gesamt Zuletzt wurden die M- und B-Zeilen entsprechend betrachtet. 5. Zunächst nimmt man die Einteilung so vor, dass die Spalten/Zeilen mit Merkmal nicht Merkmal beschriftet werden, hier also Buch nicht Buch und Spielzeug nicht Sp.. Da bei allen etwas gefunden wurde, steht im nicht-nicht-feld die 0. Absolute Häufigkeiten: 7 6 Buch dabei 3 0 nicht Buch Sp. nicht Sp. gesamt Anteile der roten Kugeln: Relative Häufigkeiten: 7 = 9,6 % 6 3 = 5 % Buch = 5,83 % 0 nicht B. Sp. nicht Sp. gesamt 8 = 3 = 75 % 6 = 00 % A: = 3 7 = 33,3 % B: = 30 % C: = 0,35 = 35 % D: 3 = 0,375 = 37,5 % Also ist bei D die Chance am größten.

28 6. Klasse Lösungen 6 Flächenformeln 06. (a) Parallelogramm: A = g h = 5 mm cm = 5 0 mm = 50 mm =,5 cm (b) Dreieck: A = a h a =,5, cm = 0,9 cm (c) Dreieck mit Grundlinie c = cm= 5 cm und darauf senkrechter Höhe h c = cm= 5 cm: A = c h 3 3 c = cm = 5 cm = cm (d) Trapez mit Mittellinie m = 0,6+, cm=,5 cm und Höhe h = 0,9 cm: A = m h =,5 0,9 cm =,35 cm. Betrachtet man die Raute als halbes Rechteck, so sieht man die Formel A = e f e f 3. Maßstab: cm Karte entsprechen cm = 0 km Natur. (Lexikon: 5770 km ) Kiel Hamburg Lübeck Bei nebenstehendem Parallelogramm, bei dem ungefähr gleich viel Land außerhalb des Parallogramms liegt wie innerhalb des Parallelogramms fehlt, misst man als Grundlinie (auf der Karte senkrecht in Nord- Süd-Richtung verlaufend),8 cm und als Höhe (Abstand der beiden Parallelen in West-Ost-Richtung gemessen) 3,5 cm.,8 cm Karte =,8 0 km = km Natur, 3,5 cm = 3,5 0 km = 0 km Natur. Also Parallelogrammfläche A = g h = 0 km = 5680 km 6000 km. Rote Fläche: Zwei Trapeze mit parallelen Seiten a = 3, cm und c = 3,6 cm und Höhe h = cm, also A rot = a+c h = 3,+3,6 cm = 6,8 cm. Das gesamte Wappen kann z. B. zerlegt werden (siehe Skizze) in ein Rechteck (3, cm lang und 3 cm breit) und ein Dreieck (Grundlinie 3 cm und Höhe 0,6 cm): A ges = 3, 3 cm + 3 0,6 cm = 9,6 cm + 0,9 cm = 0,5 cm. Prozentualer Anteil: Arot A ges = 6,8 = 68 : 05 = 0, % 0,5 5. Boden: Rechteck,8,5 m =,5 m. Zwei rechteckige Dachflächen:,5,5 m = 7,5 m Zwei dreieckige Seitenflächen:,8, m =,6 m Gesamte Oberfläche:,5 m + 7,5 m +,6 m =, 6 m 6. Fläche des Parallelogramms: A = 5 cm = 60 cm Also müssen die Stücke I, II, III je 0 cm groß sein. Das Dreieck II hat Höhe h = 5 cm. Damit A = KL h = KL 5 cm= 0 cm ist, muss die Dreiecksgrundlinie KL = 8 cm sein. Somit bleiben cm 8 cm = cm für die oberen Begrenzungslinien der Stücke I und III. I und III sind Trapeze mit gleicher Fläche 0 cm, gleicher Höhe 5 cm und gleicher Grundseite AM = MB = 6 cm. Also muss auch die andere Parallelseite oben gleich lang sein, also je cm. Somit wird die Seite [CD] im Verhältnis :8: geteilt.

29 6. Klasse Lösungen 6 Volumen 07. Man kann den Körper z. B. zerlegen in zwei Quader, aus denen jeweils ein Stückchen herausgeschnitten ist: Oberer Quader: V 3 = 3 3 cm 3 = 9 cm 3 Oder man kann sich den Körper aus lauter cm 3 - Würfeln aufgebaut denken und die Würfel zählen: Unterer Quader: V = cm 3 = 8 cm 3 Oben herausgeschnitten: V = cm 3 = cm 3 Unten herausgeschnitten: V = cm 3 = cm 3 Gesamtes Volumen: V = 8 cm 3 cm cm 3 cm 3 = 3 cm 3. Packung: V = 5,5 8 cm 3 = 00 cm 3 = 00 ml= 0, l Tank: V = ( m) 3 = 8 m 3 = 8000 dm 3 = 8000 l= 80 hl Anzahl Packungen: 8000 l : 0, l= (a) 35,07 cm 3 = mm 3 = 0,03507 dm 3 = 0,03507 l (b) 35,07 cm = 350,7 mm (c) 35,07 cm = 3507 mm (d) cl = 00 l = 0,0 l = 0,0 dm3 = 0,000 0 m 3 Man zählt 3 Würfel, also V = 3 cm 3.. Um mit Litern bequem rechnen zu können, wandle in die Einheit dm um! V = a b h; dm 3 = 50 dm b 0 dm; dm 3 = 5000 dm b; b = : 5000 dm = 0 dm. Das Schwimmbecken ist also m breit. 5. V = a 3, d. h. 8 dm3 = a 3, also a = dm. Da die Schachtel oben offen ist, hat sie fünf quadratische Flächen, also A = 5a = 5 ( dm) = 5 dm. 6. (a) Die Größe der Wanne spielt keine Rolle für die Wasserstandshöhe. Denkt man sich die Wanne m lang und m breit, so hat sie eine Grundfläche von G = m = 00 dm. 70 l = 70 dm 3 = G h = Grundfläche mal Höhe, also h = 70 dm 3 : 00 dm = 0,7 dm= 7 cm= 70 mm. (b) Auf 6 m fallen 6 70 l= 0 l = 0 dm 3 = 0, m 3. Wieder mit der Formel Grundfläche mal Höhe hat man: 0, m 3 = 0,5 m h, also h = 0, : 0,5 m=, : 5 m= 0,8 m = 8 cm.

30 6. Klasse Lösungen 6 Prozentrechnung 08. (a) 39 % von der Gesamtzahl n sind, also 0,39 n =. Somit: n = = 0 = 30. 0,39 0, Ein alternativer Lösungsweg mit Schlussrechnung (Dreisatz): 39% Schüler % Schüler 39 00% = 30 Schüler 39 0 (b) von 35 % von 00 = 0,35 00 = (c) = 3 = 3 % (a) Erhöhung um 6 % heißt Multiplikation mit,6. Also muss umgekehrt dividiert werden: 36,8 Euro,6 (komplizierter mit Schlussrechnung: 6 % 36,8 Euro... ) (b) Erniedrigung um 5 % heißt Multiplikation mit 0,75. Also muss umgekehrt dividiert werden: 80 g = 80 g : 3 = 0 g. 0, % 600 MJ 0 % 300 MJ Rest: 60 % 900 MJ. Bei zweimaliger Erhöhung um 3 % wird jeweils mit,03 multipliziert, also mit,03,03 =,0609. Bei % im ersten Jahr und % im zweiten Jahr ist mit,0,0 =,0608 zu multiplizieren. Also ist das erste Angebot geringfügig günstiger. [Man sieht dies auch schön, wenn man das Ganze durchrechnet mit einem Startguthaben von 00 Euro.] 5. Die Schätzungen unterscheiden sich um 6 kg. Im ersten Satz ist die Schätzung des Architekten der Grundwert, der als 00 %-Wert die Richtschnur darstellt. Also: 6 kg 00 %, kg %, 6 kg 6 % = 37,5 % 6 6 (oder direkt 6 = 3 = 0,375 = 37,5 %). 6 8 Die Schätzung des Maurers liegt 37,5 % unter der Schätzung des Architekten. Im zweiten Satz ist die Schätzung des Maurers der Grundwert. Also: 0 kg 00 %, 6 kg 60 %. Die Schätzung des Architekten war 60 % größer als die des Maurers 6. (a) n =, n, also n n =,. (b) Das Kind ist um 8, % gewachsen.