Einführung in die mathematische Logik

Transkript

1 roseminar Maschinelles Beweisen SS 2000 Einführung in die mathematische Logik Ein Crashkurs über die Grundlagen wichtiger Logiken und Beweiskalküle Uwe Bubeck 13. Juli 2000 Logik-1

2 Einführung in die mathematische Logik Einleitung und Motivation Logik-2

3 Motivation Logik ist der Anfang aller Weisheit Mr. Spock Umgangssprache: Unschärfen, Mehrdeutigkeiten ungeeignet zur exakten Wissensrepräsentation Korrektheit logischer Ableitungen führt zu glaubwürdigen neuen Erkenntnissen roblem der korrekten Modellierung Logik-3

4 Einschränkungen Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten Hermann Weyl Hilfsmittel der Mathematik versus praktisches Werkzeug Notation nicht für automatische Beweissysteme konzipiert Tatsächliche Beweisführung häufig schwierig Einschränkungen für maschinelle Handhabbarkeit Unentscheidbarkeit und Unvollständigkeit Logik-4

5 Historischer Überblick Aristoteles ( v. Chr.): Syllogismus Jeder Grieche ist ein Mensch Jeder Mensch ist sterblich -> Jeder Grieche ist sterblich Boole ( ): Aussagenlogik als Algebra Frege ( ): rädikatenlogik ussel ( ): Antinomien, Typisierung Church ( ): Lambda-Kalkül Gödel ( ): Unentscheidbarkeit Gentzen ( ): Sequenzenkalkül : Erste maschinelle Beweise 1963ff: Unifikation und esolution 1970ff: rolog 1985ff: Beweisen in nichtklassischen Logiken Logik-5

6 Einführung in die mathematische Logik Logische Grundlagen Logik-6

7 Syntax formaler Systeme Beispiel: Syntaxbaum Implikation Konjunktion Umschalten Disjunktion Negation hase abgelaufen Keine Autos mehr Fußgängertaste Besonderheit der Implikation falsch wahr und falsch falsch per Definition Strukturelle Induktion Beispiel: sind φ und ψ Formeln, dann auch (φ ψ) Logik-7

8 Axiome und Inferenzregeln Axiome: Menge grundlegender Sätze als wahr vorgegeben Angabe über Axiomschemata Beispiel: Gesetz der ausgeschlossenen Mitte φ φ Für φ kann eine beliebige Formel eingesetzt werden Metasprache Objektsprache Schemata auch für Inferenz- und Ableitungsregeln Bekanntes Beispiel: Modus onens φ, φψ ψ Logik-8

9 Einführung in die mathematische Logik Beweise und Modelle Logik-9

10 Beweise Beweis: Eine Folge von Formeln φ 1.. φ n mit der zu beweisenden Zielformel φ n = ψ und einer Menge Γ von Voraussetzungen. Für jedes φ i muß gelten: φ i ist ein Axiom oder φ i ist in den Annahmen Γ enthalten oder φ i ist eine Ableitung aus vorangegangenen Beweisschritten. Annahme Beweisbaum Axiom Inferenz Inferenz Axiom Beweise sind syntaktische Umformungen Mechanisierbarkeit roblem: Auswahl der Beweisschritte Zielformel Logik-10

11 Interpretationen und Modelle Interpretation als Beziehung zwischen Syntax und Semantik x:( y:(x+1=y)) Interpretation Natürliche Zahlen sind unbeschränkt Interpretation als Zuordnung eines Wahrheitsgehaltes x:( y:(x+1=y)) Grundmenge M natürliche Zahlen rimzahlen wahr falsch Interpretationen häufig induktiv festgelegt Interpretation A ist Modell von φ, wenn φ in A wahr ist Logik-11

12 Wichtige Systemeigenschaften Entscheidbarkeit: algorithmisch entscheidbar, ob eine beliebige Formel ein Satz ist Optimalsituation für automatisches Beweisen Semi-Entscheidbarkeit: Entscheidungsalgorithmus terminiert i. a. nur für Sätze oder unerfüllbare Formeln eine Erfüllbarkeit nicht maschinell nachweisbar! Sätze erfüllbare Formeln unerfüllbare Formeln Vollständigkeit: jede wahre Formel ist beweisbar Korrektheit: jede beweisbare Formel ist wahr Logik-12

13 Schematische Darstellung Beschreibung in natürlicher Sprache Formalisierung Syntax Formale Sprache Modellierung Semantik Wahrheitsgehalt Wahre Formeln (Automatisches) Beweisen Vollständigkeit Korrektheit Kalkül Ableitung Beweisbare Formeln Logik-13

14 Einführung in die mathematische Logik Aussagenlogik Logik-14

15 Aussagenlogik Verknüpfungen: Negation und Implikation Weitere durch Makros (Abkürzungen) oder Ableitungsregeln Beispiel Disjunktion: φ ψ ( φ) ψ ( φ) ψ φ ψ Induktive Syntaxdefinition Jedes Atom ist eine aussagenlogische Formel Sind φ und ψ Formeln, dann auch ( φ) und (φψ) Ableitungsregel: Modus onens Axiomschemata: Hilbert-Kalkül φ (ψφ) (φ(ψρ)) ((φψ)(φρ)) ( ( φ)) φ Logik-15

16 Aussagenlogische Beweise Interpretation über Wahrheitswerte Vollständigkeit und Korrektheit Entscheidbarkeit (betrachte Wahrheitstafeln) Möglichkeiten für (automatisches) Beweisen beweistheoretisch (syntaktisch): Hilbert-Kalkül: Auswahl der Schritte schwierig Sequenzenkalkül: gut mechanisierbar modelltheoretisch: Wahrheitstafeln: nur für einfache Formeln esolution: oft sehr effizient; Vorverarbeitung Logik-16

17 Sequenzenkalkül Sequenzen: Ausdrücke Γ mit Bedeutung: Vorbedingungen Γ ={Γ 1... Γ n } implizieren Nachbedingungen ={ 1... n } Gentzen Ziel: intuitive Beweise verwendet vor allem Ableitungsregeln Beweis eines Satzes φ Sequenzenbaum mit Wurzel φ Ableitungsregeln erzeugen Baum von der Wurzel aus. Blatt Γ wird Verzweigung mit n neuen Blättern Γ i i Γ Γn n N. Γ Beweis erfolgreich, wenn alle Äste abgeschlossen durch das aussagenlogische Axiom : Ax. Γ, φ φ, Logik-17

18 Logik-18 Sequenzenkalkül: Beispiel Folgeschritte oft vorausbestimmt oder wenige Alternativen Beweiser muß weniger Möglichkeiten durchprobieren Erweiterung auf rädikatenlogik möglich ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ), (, ), (,,, ), (,,, ), (, ), (, ), (,,

19 Einführung in die mathematische Logik rädikatenlogik Logik-19

20 rädikatenlogik rädikatenlogik ausdrucksstärker als Aussagenlogik Beispiel: wenn n ungerade ist, dann ist 2n gerade Unzureichend: Ausdruck der Form n_ungerade2n_gerade Mit uantifizierung: n:(ungerade(n)gerade(verdopple(n)) Erweiterung der Aussagenlogik um uantifizierungen für alle ( ) bzw. es existiert ein ( ) Konstanten (a,b,...) Variable (x,y,...) Funktionssymbole (f,g,...) rädikatsymbole (,,...) uantifizierungen erlaubt über Variable (rädikatenlogik erster Stufe) Funktionen und rädikate (zweite Stufe) Logik-20

21 rädikatenlogik: Syntax, Interpretation Induktive Definition wohlgeformter Formeln Jede Variable ist ein Term Ist f ein k-stelliges Funktionensymbol, und sind τ 1,..., τ k Terme, dann ist auch f(τ 1,..., τ k ) ein Term Ist ein k-stelliges rädikatsymbol, und sind τ 1,..., τ k Terme, dann ist (τ 1,..., τ k ) eine (atomare) Formel Sei x Variable, und seien F und G Formeln. Dann sind auch F, (F G) und (F G) sowie x:f und x:f Formeln Interpretation prädikatenlogischer Formeln: Grundmenge und passende Funktionen und rädikate festlegen Interpretationsprozeß verläuft gemäß Schachtelung der Formel uantoren: Elemente der Grundmenge überprüfen Logik-21

22 rädikatenlogik: Axiome, Inferenz Unterscheidung: gebundene und freie Variablen Zwei zusätzliche Axiome ( x:φ(x)) φ[x/t] φ[x/t] ( x: φ(x)) Vorsicht: freie Variable dürfen dabei nicht gebunden werden Beispiel jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger : x:( y:(x+1=y)) wird zu der falschen Aussage y:(y+1=y) eine natürliche Zahl ist gleich ihrem Nachfolger Außerdem Generalisierung als weitere Inferenzregel ψ φ( v) ψ ( x : φ( x)) φ( v) ψ ( x : φ( x)) ψ Logik-22

23 Einführung in die mathematische Logik Ausblick Zusammenfassung Logik-23

24 Ausblick Typisierte rädikatenlogik Beispiel: x:string( y:integer(länge(x)=y)) vermeide sinnlose Einsetzungen: Effizienz Mehrwertige Logik Einführung zusätzlicher Wahrheitswerte Beispiel: {falsch, undefiniert, wahr} Modale Aussagenlogik notwendigerweise, möglicherweise Beispiel: Beschreibung intelligenter Agenten Temporale Aussagenlogik immer, irgendwann Beispiel: Kommunikationsprotokolle Logik-24

25 Zusammenfassung Logiken unterschiedlicher Ausdrucksstärke Mächtigkeit versus maschinelle Handhabbarkeit Sorgfältige Auswahl. Standard: rädikatenlogik rinzipielle Grenzen Entscheidbarkeit Verschiedene Beweisverfahren Zusammenhang Syntax und Interpretation Logik-25

26 Definitionen-1 Formales System: System, welches über eine formale Sprache mit der Möglichkeit zur Deduktion (logische Folgerung) verfügt. Logische und nichtlogische Komponente. Axiome: otentiell unendliche Menge grundlegender Sätze, die zu Beginn als wahr vorgegeben und in Beweisen oder Deduktionen benutzt werden. Logik-26

27 Definitionen-2 Interpretation: Stellt die Beziehung zwischen Syntax der formalen Sprache und Semantik bezüglich der nichtlogischen Systemkomponente her. Syntaktisch korrekten Formeln wird dabei eine Aussage über ihren Wahrheitsgehalt zugeordnet (z.b. ein Wahrheitswert). Modell: Sind sowohl die System-Axiome als auch die Formel φ innerhalb einer Interpretation A wahr, so ist A ein Modell für φ, in Zeichen A =φ. Logik-27