1 Mathematische Grundlagen der Robotik

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1 Robotik - Formelsammlung (powered by LTEX) Seite von 8 Mathematische Grundlagen der Robotik. TI Taschenrechner Befehle [x, x ; x, x ] [ x x ] x x [...] Inverse Matrix [...] (ND CTLOG) T Transponierte Matrix [...] T. Matritzenrechnen.. Vektoren im Raum p B = x B x y B y z B z Transponierung: a T b = (a a... a n ).. Matrizen Multiplikation ( muss gleich viele Spalten haben wie B Zeilen hat). Übersicht Transponierte Matrix: T = [a T ik ] = [a ki] vertauschen der Zeilen mit Spalten Einheitsmatrix: I n = Determinante x Matrix x Matrix [ ] a a det = a a a a a a. a a a det a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. a a a Null ( = 0) - Wenn eine (n,n)-matrix ist, so wird = 0 unter einer der folgenden Bedingungen: Zwei Zeilen/Spalten sind linear abhängig (gleich oder ein Vielfaches der anderen). lle Elemente einer Zeile/Spalte sind Null. Silvano Ferretti, Sven rnold, rjen Visser. Januar 009

2 Robotik - Formelsammlung (powered by LTEX) Seite von 8.5 Inverse Matrix (Existiert nur wenn Matrix regulär: det 0) x Matrix: [ ] [ ] a b d b = = c d ad bc c a x Matrix: = a b c d e f g h i = ei fh ch bi bf ce fg di ai cg cd af det() dh eg bg ah ae bd.6 Basis Rotationsmatrizen Rotation um die x-chse 0 0 R x (θ) = 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ Rotation um die y-chse cosβ 0 sinβ R y (β) = 0 0 sinβ 0 cosβ Rotation um die z-chse cosα sinα 0 R z (α) = sinα cosα ufeinanderfolgende Rotationen Koordinatensysteme {}, {B}, {C} mit gleichem Ursprung Körperfestkoordinatensystem (Eulerwinkel) B p = B C R Cp p = B R Bp p = C R Cp C R = B R BC R Raumfestkoordinatensystem ( Roll-Gier-Nick Winkel) B p = B RB C R C R Cp p = B R Bp p = C R Cp C R = B C R B R.8 Konvention rctan : Θ = arctan( y x ) : Θ = + arctan( y Θ = arctan (y, x) = x ) : Θ = + arctan( y x ) 4: Θ = arctan( y x ) sin {}}{ θ = arctan( y, cos {}}{ x ) 4 θ = arctan( y x ) θ = + arctan( y x ) θ = + arctan( y x ) θ = arctan( y x ) 0 θ θ θ θ 0 für +y, +x für +y, x für y, x für y, +x θ = für x = 0, y > 0 θ = für x = 0, y < 0 θ = 0 für x = 0, y = 0 rctan mit TR: R P θ(x, Y ) CHTUNG: X und Y sind vertauscht!!!.9 Rücktransformation auf Winkel Raumfestes Koordinatensystem (X-Y-Z Roll-Gier-Nick Winkel) Rotationsmatrix: B R(α, β, γ) = r r r r r r r r r nsatz: cosβ = r + r sinβ = r Winkel: β = arctan( r, r + r ) α = arctan( r cosβ, r cosβ ) γ = arctan( r cosβ, r cosβ ) wenn β = 90 : α = 0, γ = arctan(r, r ) wenn β = 90 : α = 0, γ = arctan(r, r ) Körperfestes Koordinatensystem (Z-Y-Z Euler Winkel) Rotationsmatrix: B R(α, β, γ) = r r r r r r r r r nsatz: sinβ = r + r cosβ = r Winkel: β = arctan( r + r, r ) α = arctan( r sinβ, r sinβ ) γ = arctan( r sinβ, r sinβ ) wenn β = 0 : α = 0, γ = arctan( r, r ) wenn β = 80 : α = 0, γ = arctan(r, r ) Silvano Ferretti, Sven rnold, rjen Visser. Januar 009

3 Robotik - Formelsammlung (powered by LTEX) Seite von 8.0 Transformations Matrix.0. ufbau (RotationsMatrix und Verschiebung in einer Matrix) r r r o ab Transformationsmatrix: T = r r r o ab x = bei Ortsvektor r r r o ab x = 0 bei Feiem Vektor x.0. Multiplikation Transformations Matrix über mehrere Koordinatensysteme: 0 nt = 0 T T... n n T; B T Transformationsmatrix von Koordinatensystem nach B.0. Punkte in verschiedenen Koordinatensystemen B P = B T P P = B T BP = B T BP. Jacobi Matrix (erklärt durch Beispiel) Die Jacobi-Matrix eines Roboterarms beschreibt die bbildung von Gelenkgeschwindigkeiten auf die Lineargeschwindigkeit des TCP und die zeitlichen Änderungen der Orientierung des End-Effektors bezogen auf ein Referenzkoordinatensystemk z.b. auf das Basiskoordinatensystem O auf. In der Positionsbeschreibung werden alle Parameter die einen Einfluss auf den Greifer haben aufgestellt und dann für die Jakobi-Matrix nach diesen Partiell abgeleitet. Für die Jacobi Matrizen empfehlen sich Kurzschreibweisen c = cos(θ + θ ) s = sin(θ + θ ).. Vorwärtskinematik Geg: Gelenkkoordinaten und Geschwindigkeiten: q; ẋ Ges: Geschwindigkeit des Endeffektors: Ẋ = [ẋẏż α β γ] T Lsg: Jacobi-Matrix = Ẋ = J(q) q Positionsbeschreibung [ ] [ des Endeffektors: ] xe d cosθ = + l cos(θ + θ ) und Φ y e d sinθ + l sin(θ + θ ) e = θ + θ Jacobi-Matrix: J = x e θ y e θ Φ e θ x e d y e d Φ e d x e θ y e θ Φ e θ d sin(θ ) l sin(θ + θ ) cos(θ ) l sin(θ + θ ) = d cos(θ ) + l cos(θ + θ ) sin(θ ) l cos(θ + θ ) 0.. Rückwertskinematik Geg: Geschwindigkeiten des Endeffektors: ẋ Ges: Gelenkgeschwindigkeiten: q Lsg: Jacobi-Matrix = q = J ẋ Singularität: Die Jacobi-Matrix kann in singulären Stellungen nicht invertiert werden (d.h. die Determinante von J ist 0) und der Roboter kann in bestimmten Richtungen keine Bewegungen vornehmen. Mehr: Skript-Kinematik (S. ff) & UB5 Bahnplanung (ufg. )) Silvano Ferretti, Sven rnold, rjen Visser. Januar 009

4 Robotik - Formelsammlung (powered by LTEX) Seite 4 von 8. Denavit-Hartenberg blauf:. Gelenke nummerieren in aufsteigender Reihenfolge. Starten in der Basis mit Nummer null.. Jeden chskörper mit Koordinatensystem belegen.. Die z i -Koordinatenachse muss mit der i+ Gelenkachse zusammenfallen. 4. Die x i -chse liegt entlang der Normalen zwischen der z i und z i -chse und zeigt vom Gelenk i zum Gelenk i+. 5. y i -chsen vervollständigen mit der Rechten-Hand-Regel. (x:daumen, y:zeigfinger, z:mittelfinger) 6. Festlegen der DH-Parameter (siehe DH-Parameter) und eintragen in DH-Tabelle. 7. DH-Matrizen berechnen und miteinander mulitplizieren. nmerkung Koordinatensysteme: z i -chse muss grundsätzlich mit Bewegungsachse des zugehörigen chskörper zusammenfallen. Bei Rotationsgelenken gilt die Rechte-Handregel für Drehungen. Ursprung des Koordinatensystems im Schnittpunkt der Bewegungsachsen. DH-Parameter: Linklänge a i (Fixwert): Linkdrehung α i (Fixwert): Link Offset d i (Variable): Gelenkwinkel θ i (Variable): Für z i - und z i -chse wird die gem. Normale mit Länge a i in x i -Richtung gemessen. Drehwinkel um x i -chse bis z i - und z i -chse in gleiche Richtung zeigen. bstand von x i - und x i -chse entlang der z i -chse. Drehwinkel um z i -chse bis x i - und x i -chse in gleiche Richtung zeigen. DH-Tabelle: Gelenk Nr. Linklänge a i Linkdrehung α i Link Offset d i Gelenkwinkel θ i i i+... DH-Matrizen: cos(θ i ) sin(θ i )cos(α i ) sin(θ i )sin(α i ) a i cos(θ i ) i i T = sin(θ i ) cos(θ i )cos(α i ) cos(θ i )sin(α i ) a i sin(θ i ) 0 sin(α i ) cos(α i ) d i Beispiel: 0 nt = n i= i i T (θ i ) = 0 T T... n n T α i = Linkdrehung a i = Linklänge [chsenabstand] d i = Offset Θ i = Gelenkwinkel Silvano Ferretti, Sven rnold, rjen Visser. Januar 009

5 Robotik - Formelsammlung (powered by LTEX) Seite 5 von 8 Kinematik, Kräfte & Dynamik. Kräfte τ n = 0 J T n 0F n 0 F n = [0 F x,n 0 F y,n 0 F z,n 0 M x,n 0 M y,n 0 M z,n ] T zumbeispiel : τ τ τ = J F x F y F z Silvano Ferretti, Sven rnold, rjen Visser. Januar 009

6 Robotik - Formelsammlung (powered by LTEX) Seite 6 von 8 Wichtige Formeln sin (b) + cos (b) = tan(b) = sin(b) cos(b). Funktionswerte für Winkelargumente deg rad sin cos tan deg rad sin cos deg rad sin cos deg rad sin cos Periodizität cos(a + k ) = cos(a) sin(a + k ) = sin(a) (k Z). Quadrantenbeziehungen sin( a) = sin(a) cos( a) = cos(a) sin( a) = sin(a) cos( a) = cos(a) sin( + a) = sin(a) cos( + a) = cos(a) sin ( a) = sin ( + a) = cos(a) cos ( a) = cos ( + a) = sin(a).4 dditionstheoreme sin(a ± b) = sin(a) cos(b) ± cos(a) sin(b) cos(a ± b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) tan(a ± b) = tan(a)±tan(b) tan(a) tan(b).5 Doppel- und Halbwinkel sin(a) = sin(a) cos(a) cos(a) = cos (a) sin (a) = cos (a) = sin (a) cos ( ) a = +cos(a) sin ( ) a = cos(a).6 Summe, Differenz und Produkte sin(a) + sin(b) = sin ( ) ( a+b cos a b ) sin(a) sin(b) = sin ( ) ( a b cos a+b ) cos(a) + cos(b) = cos ( ) ( a+b cos a b ) sin(a) sin(b) = (cos(a b) cos(a+b)) cos(a) cos(b) = sin ( ) ( a+b cos a b ) cos(a) cos(b) = (cos(a b)+cos(a+b)) sin(a) cos(b) = (sin(a b) + sin(a + b)) tan(a) ± tan(b) = sin(a±b) cos(a) cos(b).7 Differentialrechnung a = 0 [a = const.] x = sin(x) = cos(x) cos(x) = sin(x) tan(x) = cos (x) (u + v w) = u + v u (au) = au [a = const.] (uv) = u v + uv ( u v ) = vu uv v (u(v(y(x)))) = u (v)v (y)y (x) Silvano Ferretti, Sven rnold, rjen Visser. Januar 009

7 Robotik - Formelsammlung (powered by LTEX) Seite 7 von 8 4 Symbole und Theorie 4. Darstellung kinematischer Gelenke 4. Bewegungsarten Silvano Ferretti, Sven rnold, rjen Visser. Januar 009

8 Robotik - Formelsammlung (powered by LTEX) Seite 8 von 8 4. PTP-Synchron synchron PTP Synchron PTP Vollsynchron PTP 4.4 Übersicht von Skript und Übungen Silvano Ferretti, Sven rnold, rjen Visser. Januar 009