3. Codierung von Nachrichten

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1 3 Codierung von Nachrichten Folie 3. Codierung von Nachrichten 3. Information und Nachricht Information und Nachricht sind grundlegende Begriffe in der Informatik. Trotz ihrer alltäglichen Verwendung, wie z.b. sich Informationen verschaffen, Nachrichten hören, den Nachbarn verständigen, Informationen und Meinungen austauschen, ein Telegramm verschicken, Informationsgesellschaft, Informationszeitalter, sind Information und Nachricht schwierige Begriffe, für die es unterschiedliche Definitionen gibt und die je nach Anwendung in unterschiedlicher Bedeutung benutzt werden. Definition 3- Informationen sind Interpretationen von Nachrichten. Eine Nachricht versenden bedeutet den Transport von Informationen.

2 3 Codierung von Nachrichten Folie Nachrichten Allgemein formuliert sind Nachrichten Worte, bestehend aus Elementen (Zeichen, Buchstaben oder Ziffern genannt) einer vereinbarten, endlichen Menge. Eine solche Menge von Zeichen nennt man Alphabet. Alphabet: endliche Menge von Zeichen A = {a,...,a n }; A bin = {0,}; Binärziffern A dez = {0,,,9}; Dezimalziffern A morse = {,- }; Zeichen des Morsealphabets ohne Zwischenraum A a-num = {A,...,Z,0,,9,Sonderzeichen}; alphanumerisches Alphabet Worte: Folge verketteter, nicht notwendig verschiedener Zeichen. A = Menge der Worte der Länge n über A, n IN A * = Menge aller Worte über A Ein Wort a A * der Länge n, n IN, schreibt man auch als a = a a 2...a n. a i A bezeichnet das i-te Zeichen des Wortes a mit < i < n. In der Nachrichtenübertragung wird ein Signal aus einer Nachrichtenquelle mittels eines Senders über einen Kommunikationskanal geschickt und dann von einem Empfänger zur Nachrichtensenke geleitet (Allgemeines Kommunikationsmodell von Shannon und Weaver). Das Modell kann auf einen Großteil der Kommunikationsformen in der Nachrichtenübertragung angewendet werden.

3 3 Codierung von Nachrichten Folie 3 Beispiel: Verbale Kommunikation Gehirn Informationsquelle Sprachsystem (erzeugt Schalldruck = codiertes Signal) Transmitter (Sender) Luft Kanal Ohr mit Nervenbahnen Empfänger Gehirn des Kommunikationspartners Informationssenke Die folgende Abbildung verdeutlich das zuvor beschriebene Kommunikationsmodell. Nachrichtenquelle Sender Kanal Empfänger Nachrichtensenke Signalerzeugung Signalverarbeitung Codierung Decodierung Störung Quellencodierung Kanalcodierung Verarbeitungscodierung

4 3 Codierung von Nachrichten Folie Einführung in die Codierung Definition 3-2: Code Ein Code ist eine Vorschrift zur eindeutigen Zuordnung der Zeichen einer Menge A (Ausgangsmenge) zu denjenigen Zeichen einer Menge B (Zielmenge). Die Zuordnung muss nicht eindeutig umkehrbar sein; Zusammengesetzte Zeichen werden als Codewörter bezeichnet. Codierungsregeln legen fest, wie die Zielmenge bei bekannten Ausgangsmenge gebildet wird. Die Codierung dient: dem zweckmäßigen und einfachen Übertragen und Verarbeiten von Informationen, zur Darstellung der Informationen mit einer möglichst geringen Anzahl von Zeichen, dem Erzielen einer gesicherten Datenübertragung. Codes werden grundsätzlich in zwei Gruppen unterteilt: nicht-redundante Codes redundante Codes

5 3 Codierung von Nachrichten Folie 5 Definition 3-3: Redundanz Redundanz bezeichnet überflüssige Elemente in einer Nachricht, die keine zusätzliche Information liefern, sondern nur die beabsichtigte Grundinformation unterstützen. In der Datenverarbeitung wird dies dadurch erreicht, dass mehr Binärstellen verwendet werden, als zur Darstellung aller Elemente der Ausgangsmenge nötig wären. D.h. in einem redundanten Code existieren Codeworte, die nicht benutzt werden. Durch diese Redundanz ist es möglich, Fehler zu erkennen oder sogar zu korrigieren. Nicht-redundante Codes nutzen den zugrunde liegenden Zahlenbereich maximal aus.

6 3 Codierung von Nachrichten Folie 6 Codes nicht redundante Codes redundante Codes Zeichencodes Zahlencodes fehlererkennende Codes fehlerkorrigierende Codes ASCII-Code Gray-Code 2-aus-5- Codes Hamming- Code Fernschreibe- Code Aiken- Code gerade/ungerade ergänzte Codes Gruppen- Code Morse-Code BCD-Code Abbildung 3.: Überblick über verschiedene Codes

7 3 Codierung von Nachrichten Folie Zahlencodes Numerische Zeichen (Zahlen) müssen nicht unbedingt durch die Stellenschreibweise des Dualsystems (Polyadisches Zahlensystem) dargestellt werden. In der Digitaltechnik ist es oftmals günstiger, Dezimalzahlen Ziffer für Ziffer zu codieren und diese verschlüsselten Dezimalzahlen zu verarbeiten. Von den Zahlencodes sind die Tetradischen Codes die am häufigsten verwendeten Codes: Codierung eines beliebigen numerischen Zeichens (einer Ziffer) stets durch 4 bit; Anwendung vorrangig zur Darstellung dezimaler Ziffern; Vier Bit zur Darstellung der Dezimalziffern werden als Tetrade bezeichnet; 4 Bit ermöglichen 2 4 =6 Binärkombinationen; Darstellung der Dezimalzahlen 0-9 durch 0 Tetraden; die nicht benötigten sechs Tetraden werden Pseudotetraden genannt; Darstellung einer mehrstelligen Dezimalzahl eine Tetrade pro Dezimalstelle;

8 3 Codierung von Nachrichten Folie 8 Die wichtigsten Tetradischen Codes sind im Folgenden zum besseren Vergleich in einer Tabelle dargestellt. In der zweiten Zeile sind jeweils die Stellenwerte angegeben. Hex. Dual BCD Aiken 3- Exzess Gray keine keine Pseudo tetraden Pseudo Symme tetraden trielinie Pseudo- A tetraden B C Pseudo D 3 0 tetraden E Pseudo- Pseudo F 5 9 tetraden tetraden Tabelle 3.: Tetradische Codes

9 3 Codierung von Nachrichten Folie 9 Die Codes sind hinsichtlich ihrer Eignung für diverse Anwendungen auf die folgenden Merkmale hin zu überprüfen. Je mehr Merkmale auf einen Code zutreffen, desto vielseitig anwendbar wird er. Bewertbarkeit: Komplementierbarkeit: Konvertierbarkeit: Symmetrie: Additionsregeln, Übertragsbildung:

10 3 Codierung von Nachrichten Folie 0 Die Addition läuft bei allen Zahlencodes nach dem selben Grundprinzip ab (vgl. Abbildung 3.): Summanden Beginn in Tetraden zerlegen & niedrigstwertige auswählen aktuelle Tetraden tetradenweise Addition bis alle addiert duale Addition Überprüfung & Korrektur Übertrag nächst höhere Tetrade auswählen tetradenweise Addition Fertig Endergebnis als Tetraden Abbildung 3.2:Addition bei Zahlencodes (nach DIN 6600)

11 3 Codierung von Nachrichten Folie 3.4. BCD-Code (Binary Coded Decimal Code) Der BCD-Code ist so aufgebaut, dass jede Dezimalziffer 0-9 einfach als Dualzahl geschrieben wird. Die Stellenwerte der Tetraden entsprechen demzufolge genau denen des Dualsystems, nämlich (von links nach rechts gelesen): 2 3 =8, 2 2 =4, 2 =2, 2 0 =. Aufgrund dieser Stellenwertigkeit wird der BCD- Code auch Code genannt. Beispiel: Die vierstelligen Dezimalzahl 968 lautet im BCD-Code folgendermaßen: Eine Komplementbildung ist ohne weiteres nicht möglich. Die Verfeinerung des Prozesses "Überprüfung & Korrektur" sieht für den BCD-Code wie folgt aus: ja Summe =PT? nein ja Übertrag nein +0II0 keine Korrektur Abbildung 3.3: Verfeinerung des Prozesses "Überprüfung & Korrektur" für den BCD-Code

12 3 Codierung von Nachrichten Folie 2 Tritt bei der dualen Addition ein Übertrag in die nächst höhere Tetrade auf oder entspricht das Additionsergebnis einer Pseudotetrade (PT), so muss eine Korrekturaddition (+6 0 bzw ) durchgeführt werden. Beispiel: Addition im BCD-Code Übertrag. Summation: Pseudotetrade: Tetraden-Übertrag: Korrektur: Übertrag 2. Summation: =

13 3 Codierung von Nachrichten Folie Aiken-Code Beim Aiken-Code handelt es sich um einen symmetrischen Code. Ungerade Dezimalziffern sind genauso wie beim BCD- Code durch eine in der niedrigstwertigen Binärstelle gekennzeichnet. Die Binärstellen des Aiken-Code haben (von links nach rechts gelesen) die Stellenwerte 2, 4, 2,. Deshalb wird der Aiken-Code auch Code genannt. Aufgrund der symmetrischen Struktur dieses Codes kann das Komplement einfach durch bitweise Invertierung eines Codewortes gebildet werden. Die Verfeinerung des Prozesses "Überprüfung & Korrektur" sieht wie folgt aus: ja Summe =PT? nein ja Übertrag nein -0II0 +0II0 keine Korrektur Abbildung 3.4: Verfeinerung des Prozesses "Überprüfung & Korrektur" für den Aiken-Code

14 3 Codierung von Nachrichten Folie 4 Hierbei wird überprüft, ob das Ergebnis der dualen Addition einer Pseudotetrade (PT) entspricht. Ist dies der Fall, so muss überprüft werden, ob ein Übertrag vorlag. Falls ein Übertrag entstanden ist, wird die Zahl 00 2 (6 0 ) subtrahiert, ansonsten wird diese Zahl addiert. Falls ein Übertrag in die nächst höhere Tetrade entsteht, wird dieser auf jeden Fall bei der dualen Addition der nächst höheren Tetrade berücksichtigt. Beispiel: Addition im Aiken-Code Übertrag. Summation: Pseudotetrade: Tetraden-Übertrag: Korrektur: Übertrag 2. Summation: =

15 3 Codierung von Nachrichten Folie Exzess-Code Der 3-Exzess-Code entsteht aus der Addition der Zahl 00 2 zu den Worten des BCD-Codes. Hierbei handelt es sich ebenfalls um einen symmetrischen Code, der jedoch im Gegensatz zum BCD- oder Aiken-Code keine Stellenwertigkeit aufweist. Das Komplement kann einfach durch bitweise Invertierung eines Codewortes gebildet werden. Bei der Addition zweier Dezimalzahlen im 3-Exzess-Code, muss nicht geprüft werden, ob eine Pseudotetrade erzeugt wurde. Lediglich das Auftreten eines Übertrages muss kontrolliert werden (vgl. folgende Abb.). Der gegebenenfalls entstandene Übertrag wird auf jeden Fall bei der dualen Addition der nächst höheren Tetrade berücksichtigt. ja Übertrag nein +00II -00II Abbildung 3.5: Verfeinerung des Prozesses "Überprüfung & Korrektur" für den 3-Exzess-Code Beispiel: Addition im 3-Exzess-Code Übertrag. Summation: Tetraden-Übertrag: Korrektur: Übertrag 2. Summation: =

16 3 Codierung von Nachrichten Folie Gray-Code Der Gray-Code findet weniger Einsatz in arithmetischen Operationen, sondern wird hauptsächlich für die Analog-Dital- Umsetzung benutzt. Der Gray-Code ist ein einschrittiger Code, d.h. beim Übergang von einem Codewort auf das nächstfolgende ändert sich stets nur ein einziges Bit (Binärstelle). Daher können während der Übergänge keine Zwischenwerte auftreten. Der von E. Gray entwickelte Code wurde von Glixon so geändert, dass bei einem Übergang von dezimal 9 nach 0 sich ebenfalls nur eine Binärstelle ändert, und der Code damit zyklisch wird. Dezimalzahl ursprünglicher Gray-Code zyklischer Code nach Glixon

17 3 Codierung von Nachrichten Folie Abbildung 3.6: Winkelscheibe mit Glixon-Code

18 3 Codierung von Nachrichten Folie 8 Zusammenfassung Merkmal BCD Code Aiken Code 3-Exzess Code Gray-Code Bewertbarkeit Komplementbildung, d.h. Subtraktion gut, da die Codes Stellenwerte aufweisen schwierig, da eine Umrechnung notwendig ist einfache Umrechnung durch Vertauschen von en und 0en in jeder Stelle, da symmetrische Codes schlecht, da die Codes keine Stellenwerte aufweisen findet hier keine Anwendung Konvertierbarkeit direkt identisch Fallunterscheidung nötig => ggf. Korrekturaddition einfach immer 00 2 subtrahieren aufwendig Symmetrie Addition nicht vorhanden schwierig, da das Auftreten von sechs unterschiedlichen Pseudo-Tetraden erkannt werden muss vorhanden einfach, da die Korrektur nur vom Übertrag abhängt nicht vorhanden schwierig, Code wird jedoch i.d.r. nicht für Arithmetik genutzt

19 3 Codierung von Nachrichten Seite Zeichencodes Die Aufgabe alphanumerischer Codes ist die Darstellung und Übertragung von Buchstaben und Ziffern. Hierzu werden in der Praxis auch Zeichen mit besonderer Bedeutung, also Sonderzeichen, gezählt. Der Symbolumfang beträgt daher üblicherweise mindestens: 26 Buchstaben 5 Satzzeichen 0 Sonstige 5 Symbole Hieraus ergibt sich eine erforderliche Wortlänge von mindestens ld [5] 5,6 => 6 Bit.

20 3 Codierung von Nachrichten Seite 20 Aus den unterschiedlichen Anforderungen und Möglichkeiten der Datenübertragung in Netzen der Telekommunikation wurden mehrere internationale Normen entwickelt. Je nach historischem Stand der Technik und vorrangiger Aufgabe entstanden Codes von verschiedenem Umfang: Bezeichnung des Codes Fernschreibcode CCITT Nr. 2 (5 Spurlochstreifencode, 932) 26 Buchstaben bzw. Zahlen&Sonderzeichen + 2 Umschalten + Zwischenraum + Lochstreifentransport CCITT Nr. 5 ISO-7-Bit-Code 28 Zeichen (US)ASCII (American Standard Code for Information Interchange) EBCDIC-Code (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) Wortlänge 5 bit 7 bit 8 bit IBM-Zeichensatz für den PC 8 bit

21 3 Codierung von Nachrichten Seite Fernschreibecode Der Fernschreibecode oder Lochstreifencode ist der älteste der genannten Codes. K O M M U M 3 U H R Klartext. Informat.spur 2. Informat.spur Transportlochung 3. Informat.spur 4. Informat.spur 5. Informat.spur Nummer des Code- Worts Informationsstellen Trans port und Takt Zwischenraum Umschaltung Zahl Buchst. Buchstaben Codierte s Symbol Ziffern und Sonderzeichen 2 T A - 2 B? 3 C M 4 D + 5 E 3 6 F

22 3 Codierung von Nachrichten Seite 22 7 G 8 H 9 I 8 0 J Klingel K ( 2 L ) 3 M. 4 N, 5 O 9 6 P 0 7 Q 8 R 4 9 S ' 20 T 5 2 U 7 22 V = 23 W 2 24 X / 25 Y 6 26 Z + 27 < < Buchstabe 30 Zahl&Sonderz. 3 Zwischenraum 32 Tabelle 3.2: Lochstreifencode, CCITT-Code Nr. 2.

23 3 Codierung von Nachrichten Seite ASCII Der ASCII- (American Standard Code for Information Interchange), oder auch CCITT-Code Nr. 5 genannt, hat die zur Zeit weltweit größte Bedeutung für rechnerinterne Darstellung und für die Datenübertragung. Auf der Basis des ursprünglich für den englischsprachigen Raum konzipierten Codes wurden auch zahlreiche Varianten entwickelt, die innerhalb der Sonderzeichen auch andere Codierungen zulassen wie etwa Codierung der Umlaute der deutschen Sprache. Die folgende Tabelle zeigt die Bedeutung der einzelnen Steuerzeichen, Tabelle 3.4 die Zuordnung der Codeworte zu den Symbolen. NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF alle Leit. NUL Start Of Heading Start Of TeXt End Of TeXt End Of Transm ENQuiry ACKnowledged BELI BackSpace Horizontal Tab Line Feed VT FF CR SO SI DLE DCI XON DC3 XOF NAK Vertical Tab Form Feed Carriage Return Shift Out Shift In Data Link Space Device Control XON protocol Device Control 3 XOFf protocol Not AcKnow. SYN ETB CAN EM SUB ESC FS GS RS US DEL SYNchron. Idle End Transm. Block CANcel End of Medium SUBstitute ESCape File Separator Group Separator Record Separator Unit Separator DELete Tabelle 3.3: ASCII: Abkürzungen und Vollnamen der Steuerzeichen.

24 3 Codierung von Nachrichten Seite 24 Bit-Nr Steuerzeic hen Codierte Symbole Ziffern & Sonderzeichen Buchstaben & Sonderzeichen NUL DEL SP P ` p SOH DC! A Q a q STX DC2 " 2 B R b r ETX DC3 # 3 C S c s EOT DC4 $ 4 D T d t ENQ NAK % 5 E U e u ACK SYN & 6 F V f v 0 7 BEL ETB ' 7 G W g w BS CAN ( 8 H X h x HT EM ) 9 I Y i y LF SUB n : J Z j z 0 VT ESC + ; K [ k { FF FS, < L \ l 0 3 CR GS - = M ] m } 0 4 SO RS. > N ^ n ~ 5 SI US /? O _ o DEL Tabelle 3.4: CCITT-Code Nr. 5, auch ASCII genannt. 0 0

25 3 Codierung von Nachrichten Seite EBCDIC Der EBCDI-Code (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) wurde von IBM entwickelt. Er erfüllt ähnliche Aufgaben wie der ASCII-Code, verfügt jedoch über deutlich mehr Steuerzeichen für die Steuerung innerhalb von Rechnersystemen NUL DEL DS SP SOH DC SOS / a j A J STX DC2 FS SYN b k s B K S ETX TM c l t C L T PF RES BYP PN d m u D M U HT NL LF RS e n v E N V LC BS ETB UC f o w F O W 6 0 DEL IL ESC EOT g p x G P X CAN h q y H Q Y RLF EM i r z I R Z SMM CC SM! : 0 VT CU CU2 CU3. $, # 0 0 FF IFS DC4 < % 0 CR IGS ENQ NAK ( ) - ' 0 SO IRS ACK + ; > = SI IUS BEL SUB /? " Tabelle 3.5: EBCDI-Code (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code). Der IBM-Zeichensatz des PC's basiert auf dem ASCII-Code, verfügt allerdings über zahlreiche Erweiterungen sowohl zur Darstellung national relevanter Symbole als auch zur Erstellung einfacher Grafiken bestehend aus verschiedenen Linien. Diese Blockgrafik ist als Vorstufe zur heute verbreiteten Fenstertechnik (Windows) zu sehen. Ihr Vorteil liegt dabei in der einfachen Erstellung und kompakten Speicherung anwendungsbezogener Tabellen oder Fenster.

26 3 Codierung von Nachrichten Seite Redundante Codes 3.6. Grundbegriffe Bei der Übertragung von Informationen über einen Kanal können diese verfälscht werden (s.o.). Die Redundanz kann genutzt werden, um Codeworte gegen Verfälschungen bei der Übertragung oder Speicherung zu sichern. Die Redundanz sollte dabei so klein wie möglich, aber auch so groß wie nötig gehalten werden, um die Anforderungen an den Code sicherzustellen. Hierbei wird zwischen der Fehlererkennung und der Fehlerkorrektur unterschieden. Redundanz: Bezeichnet M die Anzahl der in einem Code dargestellten Zeichen (Elemente der Ausgangsmenge ) und N die maximal mögliche Anzahl von Codewörtern (alle Elemente der Zielmenge), so berechnet sich die Redundanz R des Codes wie folgt: R = ld N - ld M mit [R] = bit N = 2 n ; n = Stellenanzahl der Codeworte (Codewortlänge) R = n - ld(m) bit oder auch Ausgangsalphabet genannt

27 3 Codierung von Nachrichten Seite 27 Beispiel: Ausgangsm enge (M Symbole) Zielmenge (N Codewörter) <unbenutzt> grün 0 0 gelb 0 0 <unbenutzt> 0 rot 0 0 <unbenutzt> 0 rotgelb 0 <unbenutzt> Für obiges Beispiel gilt: R = (ld N - ld M) bit R = (ld 8 - ld 4) bit R = (3-2) bit Die Redundanz des Beispielcodes beträgt also bit. Entropie: Die oben aufgeführt Formel für die Redundanz gilt allerdings nur, wenn alle Codeworte mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. Nun treten Codewörter nicht immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf, d.h. der Sender emittiert bestimmte Codewörter häufiger als andere. Damit weisen die Codewörter auch eine unterschiedlichen Informationsgehalt H i auf. Ein Codewort trägt um so mehr Information, je seltener es emittiert wird, der Informationsgehalt H i eines Codewortes z i steigt also mit abnehmender Auftrittswahrscheinlichkeit p(z i ) des Codewortes.

28 3 Codierung von Nachrichten Seite 28 H i = ld p(z i bit ) = ld p ( ( z ))bit i Der durchschnittliche Informationsgehalt pro Codewort ergibt sich zu: H = N i= p(z ) H i i = N i= p(z ) ld i p(z i bit ) Er wird auch als Entropie der Quelle bezeichnet. Die maximale Entropie ergibt sich, wenn die Codewörter z i mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten, also mit /N: N N Hmax = ld bit = ld N = N N N i= N ( ) bit = ld( N) N bit = ld( N) bit n bit i= mit der Stellenzahl N = 2 n. Der Informationsgehalt H i eines Codewortes z i entspricht i.d.r. nicht seiner tatsächlichen Wortlänge L i (in bit). 2 Dadurch ergibt sich auch eine von H verschiedene mittlere Wortlänge L des gegebenen Codes: L = N i= p (z ) L i i i Aus der Differenz von L und H ergibt sich die Redundanz R zu: R = L H Die relative Redundanz r wird definiert als: R r = H 2 Dies liegt nicht allein an der Tatsache, dass H i meist keiner ganz-rationalen Zahl entspricht, sondern auch daran, dass den Codeworten beispielsweise zur Fehlererkennung weitere Stellen angefügt werden.

29 3 Codierung von Nachrichten Seite 29 Beispiel: Geben sei folgender Code mit den Worten Z = {auto, baum, circus, dach, ente, flasche, gipfel, hut} mit den zugehörigen Auftrittswahrscheinlichkeiten: p auto = , p baum = , p circus = 0, p dach = , p ente = 0.5, p flasche = 0.25, p gipfel = 0.25, p hut = Die Entropie H berechnet sich zu: N ( zi) Hi = p( zi) H = p i= = 4 0,0625 ld = ( zi) [ 0,25 ld( 6) + 0,5 ld( 2) + 0,25 ld( 8) ] = 2,25bit N i= 0,0625 ld p bit ,5 ld bit 0, ,25 ld 0,25 bit Wenn zur Zeichendarstellung genau 3 bit benutzt werden, folgt die Redundanz R = L H mit L N = p i= = ( z ) [( 4 0, , ,25) 3] = 3bit i Li bit bit und H = 2,25 bit (s.o.) zu: R = L H = 3 bit 2,25 bit = 0,75 bit Die relative Redundanz r ergibt sich zu: R 0,75bit r = = = 0,25 = H 2,25bit 25%

30 3 Codierung von Nachrichten Seite Fehlererkennende Codes Die im folgenden betrachteten Verfälschungen sind gleichbedeutend mit Fehlern in den einzelnen Binärstellen der übertragenen bzw. gesicherten Codeworte. Ändert nur eine Binärstelle des betrachteten Codewortes seinen Signalwert (also statt einer eine 0 oder umgekehrt), so liegt ein Einzelfehler vor. Sind zwei Binärstellen verfälscht, so entspricht dies einem Doppelfehler bzw. einer Fehleranzahl von zwei usw. Um eine einfache Fehlererkennung zu gewährleisten, muss dem Codewort mindestens ein zusätzliches Bit hinzugefügt werden. Durch Hinzufügen eines solchen Parity-Bits lässt sich jeder Code zu einem fehlererkennenden Code ergänzen. Hierbei gibt es zwei verschiedene Verfahrensweisen:. Gerade Ergänzung Parity-Bit (even parity) :=, falls #Einsen = ungerade ; 0, falls #Einsen = gerade 2. Ungerade Ergänzung Parity-Bit (odd parity) :=, falls #Einsen = gerade ; 0, falls #Einsen = ungerade Der Empfänger bildet die Quersumme jedes empfangenen Codewortes. Wurde das Codewort fehlerfrei übermittelt, so ergibt sich bei der Verwendung einer geraden Ergänzung die Quersumme 0 (modulo 2).

31 3 Codierung von Nachrichten Seite 3 Beispiel: Gewicht Ungerades Gerades Dualcode Parity-Bit Parity-Bit Gewicht Bei diesem Code gibt es 6 zulässige Codeworte (Nutzworte) bei 32 möglichen Codeworten und damit auch 6 ungenutzten Codeworte, die auf einen Fehler hindeuten, so genannte Pseudoworte. Allgemein gilt bei einem k-stelligen Code, der durch ein Parity-Bit auf die Wortlänge n = k+ ergänzt wurde, dass die Anzahl der Symbole M = 2 k = 2 n- beträgt. Bei diesem Code werden alle Einzelfehler, kein Doppelfehler, alle Dreifachfehler, allgemein alle ungeradzahligen Fehler, aber keine geradzahligen Fehler erkannt.

32 3 Codierung von Nachrichten Seite 32 Ein weiterer fehlererkennender Code, der auf der Überprüfung einer geraden Anzahl en fundiert, ist der 2-aus-5-Code. Bei diesem Anordnungscode 3 bedeutet "2 aus 5", dass der Code 5 Binärstellen aufweist, wobei in jedem Codewort jeweils nur 2 Binärstellen den Wert haben. Eine analoge Bedeutung kommt dem -aus-0-code zu, wie die nachfolgende Tabelle zeigt. Ziffern 5 Code Ziffern Code Die Redundanz R ergibt sich (unter der Annahme, dass alle Codewörter mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten) zu: R = ( ) Bit =.678 Bit R = ( ) Bit = Bit Allgemein bezeichnet ein n-aus-m-code einen m-stelligen Code, in dem jedes Codewort genau n en beinhaltet. m Die verkürzte Schreibweise lautet: n 3 Den einzeln Binärstellen ist - abgesehen von Ausnahmen - kein bestimmter Stellenwert zuzuordnen.

33 3 Codierung von Nachrichten Seite Fehlerkorrigierende Codes Beim Entwurf fehlererkennender und fehlerkorrigierender Codes wird davon ausgegangen, dass bei einem voll ausgenutzten Code eine Verfälschung in einem Nutzwort ein neues Nutzwort erzeugt. Daher müssen zusätzliche Codeworte eingefügt werden. In einem Code der sowohl Nutzworte als auch Pseudoworte enthält, unterscheiden sich die Nutzworte voneinander in einer bestimmten Anzahl von Binärstellen (Stellendistanz d) 4. Beispiel: Z = 0 Z 2 = d(z, Z 2 ) = 2 Definition 3-4: Hammingdistanz Die kleinste Stellendistanz d min aller Nutzworte eines Codes wird Hammingdistanz h genannt. Sie ist ein Maß für die Fehlersicherheit eines Codes. 4 Die Pseudoworte unterscheiden sich zwar auch in einer bestimmten Anzahl von Binärstellen, aber diese Stellendistanz ist für die weiteren Betrachtung nicht relevant.

34 3 Codierung von Nachrichten Seite 34 Der Begriff der Hammingdistanz kann durch die nachfolgende Abbildung verdeutlicht werden: Coderaum eines 3-stelligen Codes; Codeworte, die sich nur in einer Stelle unterscheiden, sind direkt mit einer Linie verbunden; Die Stellendistanz zwischen zwei beliebigen Nutzworten entspricht im allgemeinem der Anzahl Kanten von dem einem zu dem anderen Nutzwort: 000 => 0, 0 u. 0 : Stellendistanz = => : Stellendistanz = 3 Seien 000, 0, 0, 0 gültige Codeworte => Hammingdistanz h = 2 (d.h. zwischen zwei gültigen Codeworten liegt mindestens ein ungültiges);

35 3 Codierung von Nachrichten Seite 35 h= h=2 h=3 Nutzwort Pseudowort Hammingdistanz h = (alle Codeworte werden genutzt) => Eine Fehlererkennung ist nicht möglich. Hammingdistanz h=2 => Eine Fehlererkennung ist möglich (Einzelfehler-Pseudowort). Hammingdistanz h=3 => Eine Fehlererkennung ist möglich (Einzelfehler und Doppelfehler). Allgemein gilt für die Anzahl der mit Sicherheit erkennbaren Fehlern: = h F e Anmerkung: Es gibt auch Codes, bei denen d nicht durchweg gleich ist. Bei ihnen gibt es also Nutzworte, die sich von einem benachbarten Nutzwort in mehr Stellen unterscheiden als von anderen. Deshalb ist die Differenzierung zwischen d und h im allgemeinen Fall notwendig.

36 3 Codierung von Nachrichten Seite 36 Die Korrektur eines Codes wird nur dann möglich, wenn das fehlerhafte Codewort eindeutig einem gültigem Nutzwort (NW) des Coderaumes zugeordnet werden kann. Der Korrekturraum und Korrekturradius zwischen zwei Nutzworten wird in nachfolgenden Abbildung beispielhaft für eine Hammingdistanz von h = 4 gezeigt. 3 Fehleranzahl 2 NW NW2 Einzelfehler, d.h. an genau einer Stelle wurde das Codewort verfälscht => Richtige Korrektur zum nächsten Nutzwort möglich. Doppelfehler => Eindeutiges Erkennen, aber keine Korrektur, keine eindeutige Zuordnung zum richtigen Codewort möglich (verfälschtes Codewort liegt auf der Schnittlinie beider Korrekturräume). Dreifachfehler => Korrektur würde zu einem falschen Codewort führen (verfälschte Codewort liegt nicht mehr im Korrekturraum des zugehörigen Nutzwortes).

37 3 Codierung von Nachrichten Seite 37 => Der zum Korrekturraum gehörende Korrekturradius r k stets h kleiner als die halbe Hammingdistanz h: r k < 2 Die Anzahl korrigierbarer Fehler errechnet sich ganz allgemein wie folgt: F k h bei = 2 h bei 2 ungeradem geradem h h Aus dem Vergleich von F e und F k folgt, dass bei einem Code mindestens doppelt so viele Fehler erkannt wie korrigiert werden können. Es gilt: F e 2 F k Bedeutung der minimalen Hammingdistanz d min eines Codes: d min = : d min = 2: d min = 3: d min = 4: d min = 5: Eindeutigkeit Einzelfehlererkennung Doppelfehlererkennung / Einzelfehlerkorrektur Dreifachfehlererkennung / Einzelfehlerkorrektur Vierfachfehlererkennung / Doppelfehlerkorrektur

38 3 Codierung von Nachrichten Seite Codeumsetzer Bisher wurden einige Codes zur Verschlüsselung vorgegebener Informationen wie beispielsweise Buchstabenfolgen oder Dezimalzahlen dargelegt. In diesem Kapitels soll abschließend noch die Überführung bereits codierter Informationen in einen anderen Code betrachtet werden. Dies geschieht mittels eines Codeumsetzers, der die binärcodierten Informationen eines Codes in einen anderen Code 2 umsetzt. Beispiel: Umsetzung des BCD-Codes in den 7-Segment-Code Code : BCD, Binärcode, rechnerinterner Verarbeitungscode Code 2: 7-Segment-Code, hardwarebezogener "Ansteuerungscode" für bestimmte Datensichtgeräte Der 7-Segment-Code wurde zur Ansteuerung von sieben Segmenten (z.b. mechanische Klappen oder LEDs) entwickelt, die auf Grund ihrer Anordnung die Darstellung der zehn Ziffern sowie einiger Buchstaben erlauben. Aus der Codegegenüberstellung (vgl. Tab) können nun die Vorschriften zur Umsetzung des BCD-Codes in den 7-Segment- Code abgeleitet werden. In diesem Beispiel soll eine LED der 7- Segment-Anzeige aufleuchten, wenn sie mit einer logischen 0 angesteuert wird. Die folgende Abbildung zeigt die Anordnung der Segmente S - S7. S S3 S2 S4 S6 S5 S7

39 3 Codierung von Nachrichten Seite 39 Dezimalziffer 7-Segment-Code BCD-Code S S2 S3 S4 S5 S6 S7 X 3 X 2 X X Implementierung mittels Hardware: Schritt : Festlegen der Richtung, hier ist nur die Umsetzung des BCD-Codes in den 7-Segment-Code sinnvoll; Schritt 2: Aufstellen der Funktionsterme für jedes der 7 Segmente mittels einer Funktionsgleichung oder eines KV-Diagrammes => S = f(x 3, X 2, X, X 0 ) S2 = f(x 3, X 2, X, X 0 )... S7 = f(x 3, X 2, X, X 0 ) Schritt 3: Vereinfachung der Funktionsterme: Entweder jeder für sich alleine betrachtet oder unter Berücksichtigung gemeinsamer Ausdrücke (Funktionsbündel 5 ); Schritt 4: Fertigung der Schaltung; 5 Dies ergibt ggf. Vorteile für die spätere hardwaremäßige Realisierung.

40 3 Codierung von Nachrichten Seite 40 Das Prinzip der Implementierung mittels Hardware verdeutlicht die folgende Abbildung. input: X 3 a Xb 2 Xc dx 0 S S3 S2 Decoder S4 S6 S5 S7