Tangentensteigung. Differenzialrechnung. Ableitung elementarer Funktionen. Erläuterungen

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1 Tangentensteigung 2 24 Differenzialrechnung Bedeutung der Ableitung Rechenregeln Tangenten- und Normalengleichung Kurvendiskussion Wachstumsprozesse Steigungswinkel der Tangente in? In der Schule lernt man: tan α = nennt man die erste Ableitung von an der Stelle. Beispiel: () =, gesucht ist der Steigungswinkel bei = 1. : Mit () = 2 ist tan () = (1) = 2also = 63,43. klaus_messner@web.de, Internet: Ableitung elementarer Funktionen Erläuterungen f(x) f (x) 0 1 sin cos cos sin % & % & ln 1 ist die Steigung der Tangente von im Punkt (genauer: der Tangens des Steigungswinkels)! ist eine waagrecht verlaufende Gerade. An jedem beliebigen Punkt ist die Steigung 0. Somit ist ( tan 0 0. An jedem beliebigen Punkt ist die Steigung 4, somit ist ( tan 4 1.

2 Tabelle mit Rechenregeln Erläuterung der Kettenregel Rechenregel f(x) f (x) Konstanter Faktor: + + Summenregel: Produktregel: Kettenregel: Die Quotientenregel kommt im G8-Abitur nicht mehr vor. Bei einer zusammengesetzten Funktion der Form +-müssen Sie erkennen lernen, welches die äußere und welches die innere Funktion ist. Bei ln ist ln ()außen und innen. Also ist = &. 2 = &. Bei Potenzfunktionen ist die Basis die innere Funktion. = sin / ( = 3 sin cos. Bei Exponentialfunktionen ist der Exponent die innere Funktion. () = % & () = 2% &. Übungen zum Ableiten Tangenten- und Normalengleichung ) % & 3) sin ln 2) = % & 4) () = en: 1) = 2x % & + % & % & + 2x 2) = %& 3) = cos ln & 4) ( = / & Gegeben ist die Funktion und ein Punkt 4 der auf dem Graphen von liegt. Gesucht ist die Gleichung der Tangente bzw. Normale an den Graphen von durch 4. Diese Fragestellung untersucht man in der Schule und leitet dort eine entsprechende Formel her. Es gilt: Tangentengleichung + Normalengleichung = 1 + = =

3 32 Rechenbeispiel Tangentengleichung Gesucht ist die Gleichung der Tangente im Punkt an den Graphen von + 2x 1. : Für = 1gilt = Mit = 2x = 4und 1 = 2folgt durch Einsetzen: x 2. Ergebnis: Die gesuchte Tangentengleichung lautet 4x Aufgaben Pflichtteile Aufgabe 1 (Pflichtteil 2006): (2 VP) Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion mit 7 sin 4. Aufgabe 1 (Pflichtteil 2007): (2 VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion mit = 1 + sin. Aufgabe 1 (Pflichtteil 2010): (2 VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion mit () = 2 3 % & und vereinfachen Sie so weit wie möglich. 34 en Aufgabe 1 (Pflichtteil 2006): sin 4 7 ( = 7 cos 4 8 = cos 4 Aufgabe 1 (Pflichtteil 2007): () = 1 + sin = sin cos Aufgabe 1 (Pflichtteil 2010): () = 2 3 % & = 3% & % & 1 = % & 3 3 Aufgaben Pflichtteile Aufgabe 4 (Pflichtteil 2008): Für eine ganzrationale Funktion h zweiten Grades gilt: ist Tiefpunkt und : 2 ein weiterer Punkt ihres Schaubilds. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h. Aufgabe 4 (Pflichtteil 2009): (4 VP) (4 VP) Das Schaubild der Funktion mit = / + 3x 3 besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt.

4 Aufgabe 4, Pflichtteil 2008 Aufgabe 4, Pflichtteil Ansatz: h ; + < + mit ;,<, R ist ein Tiefpunkt, d.h. h( 1) = 4und h ( 1) = 0. Mit h ( = 2; + < folgt:?.; < + = 4 und??. 2; + < = 0 Auch :(2 )liegt auf h, d.h. h 2 =???: 4; + 2< + =. Löse dieses Gleichungssystem mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren: ; < In der letzten Gleichung liest man 9; = 9ab und erhält ; = 1. Einsetzen in die zweite Gleichung: < = 0folgt < = 2. Einsetzen in die erste Gleichung: folgt = 3. Ergebnis: Der gesuchte Funktionsterm lautet: h() = Aufgabe 4, Pflichtteil 2009 Verwende die Tangentengleichung +. Bestimmung des Wendepunkts mit dem Kriterium = 0: Es folgt = und = Weiterhin gilt = = 1. Wegen ((( = 6 0ist = 1tatsächlich die -Koordinate des Wendepunkts. Es folgt: = 1 = 2und 1 = 2. Einsetzen in Tangentengleichung: Ergebnis: Die gesuchte Tangentengleichung lautet = 2 4. Wahlteil 2008 Analysis I 1 39 Die Aufgabe ist nur ausschnittsweise wiedergegeben Ein Tal in den Bergen wird nach Westen von einer steilen Felswand, nach Osten von einem flachen Höhenzug begrenzt. Der Querschnitt des Geländes wird beschrieben durch das Schaubild der Funktion mit 0,12 / + 0,7 3,12im Bereich 2,, dabei weist die positive -Achse nach Osten(1 LE entspricht 100m). a) Berechnen Sie die Stelle, an der die östliche Talseite am steilsten ist, und dann die Stelle, an der die westliche Talseite gleich steil ist.

5 40 Die Formulierung am steilsten bedeutet, dass nach einem Wendepunkt auf der östlichen Seite gefragt ist. Diesen berechnen Sie mit dem GTR indem Sie bei Y 1 und bei Y 2 mit nderiv(y 1,X,X)eingeben. Die Graphen lassen Sie im -Intervall 4;6 und im -Intervall 4;6 zeichnen. Die Stelle des Hochpunkts von ist die Stelle des Wendepunkts von. Den Hochpunkt von bestimmen Sie mit 2ND CALC maximum. Sie erhalten 2mit = 1,12. Ergebnis: Der Wendepunkt liegt bei K 2 $1, Bei 2haben wir die Steigung 2 L 1,. Gesucht ist also eine Stelle auf der Kurve von an der die Steigung den Wert $1,hat, da wir auf der westlichen Hangseite nur negative Steigungen haben! Zeichen Sie mit dem GTR die Gerade $1,und bestimmen Sie mit 2ND CALC INTERSECTden Schnittpunkt mit. Sie erhalten $0,828. Ergebnis:An der Stelle $0,828hat die westliche Hangseite betragsmäßig dieselbe Steigung wie im Wendepunkt. Wahlteil 2010 Analysis I 2 = 1 cos π 42 Die Aufgabe ist nur ausschnittsweise wiedergegeben Gegeben sind die Funktionen und M durch 1 cos π und M = 4 ; R Ihre Schaubilder sind O P und O Q. Das Schaubild O Q beschreibt im Bereich 0 4die Seitenansicht einer Minigolfbahn, die eine Doppelwelle als Hindernis enthält (Längenangaben in Meter). Gespielt wird von links nach rechts. a) Beschreiben Sie, wie man O aus dem Schaubild der Kosinusfunktion erhalten kann. Wie hoch liegt der höchste Punkt der Bahn? b) An welcher Stelle der Bahn muss der Ball die größte Steigung überwinden? 43 a) Beschreibung wie man aus RSTU V W erhält Start mit cos Verkürzen der Frequenz auf das Intervall 0; 2 cosxx. Spiegelung an der -Achse cos Xx. Verschiebung um 1nach oben +1 cos X =.

6 44 a) Höchster Punkt der Bahn Lassen Sie sich den Graphen von Mmit dem GTR zunächst zeichnen. Mit 2ND CALC maximumberechnen Sie im Intervall 0,1;1, den höchsten Punkt mit Y 0,934 0,6066. Ergebnis:Der höchste Punkt der Minigolfbahn hat eine Höhe von etwa 61cm. 4 b) Stelle der größten Steigung Gesucht ist der maximale Wert von M. Dies berechnen Sie mit dem GTR indem Sie bei Y 2 den Ausdruck nderiv(y 1,X,X)eingeben und sich den Graphen der Ableitung zeichnen lassen. Das Maximum berechnen Sie im Intervall 0,2;0,7 mit 2ND CALC maximumund erhalten = 0,443und = 1,017. Ergebnis:Nach 44cm wird die höchste Steigung von etwa 101% überwunden. 46 Kurvendiskussion Definitions- und Wertebereich Hoch-, Tief- und Wendepunkte Symmetrien Untersuchung auf Monotonie Asymptoten und Polstellen Nullstellen 47 Definitionsbereich Alle Werte, für die definiert ist. Bei gebrochen rationalen Funktionen ggf. Nullstellen des Nenners ausschließen. Symbol: [ P Rechenbeispiel 1: Rechenbeispiel 2: ln = &. \ &. ] [ P = R^ nicht [ P = R ^ [ P = R 3, 3 klaus_messner@web.de

7 Wertebereich Funktionen im Überblick 48 Alle Werte, die annehmen kann. 49 sin cos Symbol: K P Rechenbeispiel 1: Rechenbeispiel 2: ln, K P = R = sin, K P = 1;1 Rechenbeispiel 3: Rechenbeispiel 4: =, K P = R ^ nicht K P = R = % &, K P = R^ 2π Steckbrief sin(x) sin : [ P = R K P = 1;1 Periode: π Symmetrie: Nullstellen: 2π 0 π/2 π 3π/2 Punktsymmetrie sin = sin Vielfache von X (ax, a Z) 2π 2π Steckbrief cos(x) cos : [ P R K P 1;1 Periode: π Symmetrie: Nullstellen: 2π 0 π/2 π 3π/2 Symmetrie zur y-achse cos cos 2π Ungeradzahlig Vielfache von `. 2a 1 `, a Z) -Funktion und Logarithmus Hoch- und Tiefpunkte 0 1 Steckbrief % & [ P = R; K P = R^ ln % = 1, lim & f %& = 0 [ P = R^; K P = R ln 1 = 0, ln % = 0 ln = lim & % = 1 Merke: Die %-Funktion ist immer positiv. Die Logarithmus-Funktion ist nicht definiert für 0. % & ln 1 = 0 ln Notwendiges Kriterium: 0 Mit 0bekommt man auch Sattelpunkte! Die Bedingung 0 reicht alleine nicht aus! Hinreichendes Kriterium: (( 0

8 Klassifizierung von Extrempunkten Wendepunkte 2 3 Andere Möglichkeit: (( h 0liefert einen Hochpunkt. (( i 0liefert einen Tiefpunkt. Vorzeichenwechsel bei von + nach - Hochpunkt Vorzeichenwechsel bei von -nach + Tiefpunkt Bei einem Sattelpunkt findet kein Vorzeichenwechsel der Steigung statt! Notwendiges Kriterium: = 0 Hinreichendes Kriterium: ((( 0 Häufige Formulierungen für Wendepunkte im Abitur: Stellen mit maximaler Steigung, stärkstem Gefälle, etc. Stelle mit dem stärksten Gefälle K K Stelle der stärksten Steigung K 4 Rechenbeispiel Untersuche / 2, auf Hoch-Tief-und Wendepunkte. (Hoch- und Tiefpunkte): ( = 3x x, (( = 6x, ((( = 6 ( & = 0 3x = 0 = 0oder = j / L 1,67 (( 0 = < 0 Hochpunkt Y4(0 0) (( j / = > 0 Tiefpunkt 64 1,67 2,31 j / L 2,31 Rechenbeispiel (Wendepunkte): ( 3x x, (( = 6x, ((( = 6 = 0 6x = 0 = j s L 0,83 ((( j s 0 Wendepunkt K 0,83 1,16 j s 1,16

9 Rechenbeispiel Prüfungsaufgabe 4 = 2 + cos π Geben Sie alle(!) Hoch-und Tiefpunkte der Funktion \ ^uvw x. & an. : Y y 2 + 4k 4, 6 y 4k \ /,a Z Diese Aufgabe war Teil der Abi-Prüfung 2007, Wahlteil Analysis I 2! Der kleinste Wert, den cos z annehmen kann ist 1, der größte Wert ist +1. \ Eingesetzt in ergibt sich = 4bzw. \ = \. ^ ^ / Man sieht also: Für cos z = 1ist ()maximal, d.h. alle Hochpunkte haben dieselbe -Koordinate, nämlich 4. Für cos z = 1wird ()minimal, d.h. alle Tiefpunkte haben dieselbe -Koordinate, nämlich \ /. Wir haben damit 6? \ / und Y? 4. 4 = 2 + cos π Tiefpunkte: Wann wird cos 1? Bei allen geradzahlig Vielfachen X, also bei 2aXmit a b. Somit muss z 2aX gelten und es folgt = 4a. Dies ist die -Koordinate aller Tiefpunkte! 0 π 2π 3X 4X cos X Ergebnis: Die Tiefpunkte liegen bei 6 y 4a \, / die Hochpunkte bei Y y 4a wobei a b cos π 2 Hochpunkte: Wann wird cos 1? Bei allen ungeradzahligvielfachen X, also bei 2a + 1 Xmit a b. Somit muss z 2a + 1 X gelten. Aufgelöst nach ergibt sich 2 2a + 1 4a + 2. Dies ist die -Koordinate aller Hochpunkte!

10 Zusammenhang und Zusammenhang und Ein Hochpunkt ist dadurch gekennzeichnet, dass die Ableitungsfunktion ihr Vorzeichen von +nach -wechselt. Die Steigung nimmt anfangs stark zu, wird immer flacher, ist Null im Hochpunkt, kehrt sich um und fällt dann immer mehr ab Wendepunkte liegen immer an den Extremstellen (Hoch- und Tiefpunkten) der Ableitung vor (Kriterium 0). Wenn gleichzeitig auch () = 0gilt spricht man von einem Sattelpunkt. Dies ist eine besondere Form eines Wendepunkts. Ein Tiefpunkt ist dadurch gekennzeichnet, dass die Ableitungsfunktion ihr Vorzeichen von nach + wechselt. Die Steigung fällt anfangs stark ab, wird immer flacher, ist Null im Tiefpunkt, kehrt sich um und wird dann immer steiler min () () - max () () Zusammenhang und Untersuchung auf Monotonie Einen Sattelpunkt hat man, wenn und beide gleichzeitig Null werden. In diesem Fall setzt die Kurve der Ableitung entweder von oben oder von unten auf der -Achse auf. + 0 () + () () () Mit der ersten Ableitung lässt sich auch feststellen, ob eine Funktion in einem Intervall [;;<](streng) monoton wächst oder (streng) monoton fällt. Grund: ()gibt die Steigung der Tangente in an. f (x)>0 streng monoton wachsend f (x) 0 monoton wachsend f (x)<0 streng monoton fallend f (x) 0 monoton fallend In [-2,;2,] ist f monoton fallend!

11 Formulierung im Abitur Symmetrie 64 6 In den Abi-Aufgaben findet man Formulierungen wie zeigen Sie, dass die Funktion im Intervall [a;b] stets zunimmt, bzw. analog, stets abnimmt. Nun wissen Sie, dass Sie in einem solchen Fall > 0bzw. < 0im betrachteten Intervall (oder auch für die gesamte Funktion) nachweisen müssen. Kriterium für Achsensymmetrie zur y-achse: Kriterium für Punktsymmetrie zum Ursprung: Rechenbeispiele Rechenbeispiele Untersuche jeweils auf Achsensymmetrie: \ + 2x 1 = / : : = \ = / = \ + 2x 1 = = / () ist achsensymmetrisch () ist nicht achsensymm. Erkenntnis: Ganzrationale Funktionen sind achsensymmetrisch, wenn im Funktionsterm nur gerade Potenzen vorkommen! Untersuche jeweils auf Punktsymmetrie: j + / 2x / : : j + / 2 / j / + 2x / ist punktsymmetrisch zum ist nicht punktsym- Ursprung metrisch zum Ursprung Erkenntnis:Ganzrationale Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn im Funktionsterm nurungerade Potenzen vorkommen!

12 Symmetrie Rechenbeispiel Achsensymmetrie zur Achse 9: Verschiebe um 9 parallel zur - Achse: M, 9 Test, ob M $ M gilt. Untersuche auf Achsensymmetrie zur Achse = 2. : Verschiebe um 2 Einheiten nach links und erhalte Punktsymmetrie zum Punkt 4: Verschiebe f zurück in den Ursprung M, ; $ < Teste, ob $M M $ gilt. M = = M = = = M Ergebnis: ()ist symmetrisch zur Achse = 2. Aufgaben Aufgabe 1 8 cos Ist die Funktion &. symmetrisch zur -Achse? 7 uvw & 2. Prüfen Sie die Funktion cos auf Punktsymmetrie zum Ursprung. 3. Begründen Sie, dass Funktion sin punktsymmetrisch zum Punkt ist. 4. Überprüfe, ob = 4 %,j &. s&^] cos 3 achsensymmetrisch ist zur Achse = 3. Es gilt &. 7 uvw &. Da cos symmetrisch zur -Achse ist, gilt cos cos. Zusammen mit erhält man: &. 7 uvw & &. 7 uvw &. Ergebnis: ist symmetrisch zur -Achse. 8 cos

13 Aufgabe 2 cos Aufgabe 3 = sin Es gilt cos cos, Beachte, dass cos cos ist. Außerdem gilt cos. Wie man sieht ist. cos Durch Verschieben der Sinus-Funktion um 2Einheiten nach rechts und um 3Einheiten nach oben erhält man den Funktionsterm = sin Da die Sinus-Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss () punktsymmetrisch zum Punkt 4(2 3) sein. Ergebnis: ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Aufgabe 4 Wahlteil 2010 Analysis I Die Aufgabe wird ausschnittsweise wiedergegeben 4%,j &. s&^] cos $ 3 4%,j &/. cos $ 3 Verschiebung um 3 nach links (also in die -Achse) liefert: M, 3 4%,j&. cos. Nun ist M $ 4%,j &. cos $ 4%,j&. cos M Das bedeutet, dass Msymmetrisch zur -Achse ist und somit ist achsen- Symmetrisch zur Achse 3. 4%,j &. s&^] cos $ 3 Auf einem Gelände befindet sich ein geradliniger, 00 m langer Lärmschutzwall. Das Profil seines Querschnittes wird beschrieben durch die Funktion mit &.^ 2 und 0( und ()in Meter). a) Wie breit ist der Wall an seinem Fuß? Zeigen Sie, dass der Wall einen symmetrischen Querschnitt besitzt. Der Wall soll begrünt werden. Um Erosion zu vermeiden, sollte das maximale Gefälle der Böschung nicht größer als 100% sein. Ist dies beim gegebenen Querschnitt der Fall? (4 VP)

14 76 Breite des Walls Breite des Walls = Abstand zwischen den Nullstellen. Die Berechnung mit dem GTR mit 2ND CALC zeroliefert 6,32bzw. 6,32. Damit gilt 12,6. Ergebnis:Der Wall ist am Fuß 12,6m breit. Symmetrie Es gilt zur -Achse. & Schaubild von &.^ 2 2.^ &.^ 2und damit ist symmetrisch 77 Wahlteil 2010 Analysis I 1 Stärkstes Gefälle Das stärkstes Gefälle entspricht dem Minimum der ersten Ableitung (also dem Minimum der Steigung). Den Graphen von lassen Sie sich mit dem GTR nach Eingabe von nderiv(y 1,X,X)bei Y 2 anzeigen und berechnen mit 2ND CALC minimum die Stelle des stärksten Gefälles im Intervall [2;]. Sie erhalten = 2,81und 0,871was einem Gefälle von 87,1% entspricht. Ergebnis:Das maximale Gefälle des Walls beträgt 87,1%. Ein Gefälle von 100% wird somit nirgendwo erreicht. 78 Asymptoten Asymptotensind Näherungsgeraden, denen sich der Kurvenverlauf einer Funktion annähert. Es gibt waagrechte, senkrechte und schiefe Asymptoten. Senkrechte Asymptoten nennt man auch Polstellen. Mathematische Hilfsmittel zur Berechnung von Asymptoten: Limes und Polynomdivision. Hinweis:Im G8-Abitur werden schiefe Asymptoten und Polynomdivision nicht mehr verlangt. 79 Waagrechte Asymptoten Wie findet man waagrechte Asymptoten? Bilde lim & f Gilt lim & f ; > so hat eine waagrechte Asymptote bei ;. Gilt lim & f bzw. lim & f. oder lim & f so hat keine waagrechte Asymptote. Hier werden die Funktionswerte beliebig groß bzw. beliebig klein.

15 80 Waagrechte Asymptoten Bei gebrochen rationalen Funktionen kann man waagrechte Asymptoten schnell erkennen! Zählergrad größer Nennergrad: keine waagrechten Asymptoten. Zählergrad kleiner Nennergrad: waagrechte Asymptote bei 0 (das ist die -Achse). Zählergrad = Nennergrad: waagrechte Asymptote bei = ;/< wobei ;und < die höchsten Koeffizienten sind. lim = ± & f lim = 0 & f lim & f = ; < 81 Rechenbeispiele Untersuche &.^j&^/, M & ^ \&. &^ /& &.^, h j& &.^&/ und a 7&^ auf waagrechte Asymptoten. & : In und Mbetrachte die führenden Koeffizienten (also diejenigen bei den höchsten Exponenten): &.^j&^/ ˆ&. &^ bzw. M & ^ Š& &.^. Daran erkennt man lim & ±f = \ = bzw. lim & ±f M = / 82 Rechenbeispiele Bei h j& ist der Zählergrad höher als der Nennergrad, &.^&/ daher ist lim h = ±. & ±f Bei a = 7&^ ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad & und es folgt lim & ±f a = 0. Ergebnis: ()hat eine waagrechte Asymptote bei =, M() bei =, h()hat keine waagrechte Asymptote und a() / hat die -Achse als waagrechte Asymptote. 83 Polstellen Polstellen können an den Nullstellen des Nenners auftreten, müssen aber nicht! hat bei eine Polstelle, wenn eine Nullstelle des Nenners ist und der Zähler nicht gleichzeitig 0 oder wird. Es gibt Polstellen mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel(VZW). = 1 2 2

16 Lücken statt Polstellen Vorzeichenuntersuchung 84 8 Der pathologische Fall tritt dann ein, wenn bei eine Nullstelle des Nenners vorliegt aber auch der Zähler Null wird. Die Funktion & & hat bei 2eine Nullstelle des Nenners, aber auch des Zählers. Damit wäre = 2 2 2, aber dies ist nicht definiert! hat bei 2eine Definitionslückeaber keine Polstelle! Lücke 2 Annäherung von links: Annäherung von rechts: h : lim & & > : lim & & Man stellt also das Vorzeichen vor und nach der Polstelle fest, indem man einen etwas kleineren und einen etwas größeren -Wert als einsetzt. In der Regel kann jedoch der GTR verwendet werden! Beachte:Schließe diejenigen aus den Kandidaten für Polstellen aus, bei denen der Zähler 0oder wird! Rechenbeispiel Rechenbeispiel Untersuche &.^ auf Polstellen. &. : Nullstellen des Nenners: 1; 1 In beiden Fällen wird der Zähler nicht 0oder, somit handelt es sich um Polstellen. Vorzeichenuntersuchung der Polstelle bei 1 Annäherung von links: < 1: lim & &.^ &. = Annäherung von rechts: > 1: lim & &.^ &. = + für nahe 1und < 1(z.B. = 0,9) wird der Nenner negativ! für nahe 1und > 1(z.B. = 1,1) sind Zähler und Nenner positiv! Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei = 1. Analog: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei = 1.

17 Wahlteil 2009 Analysis I 1 a) 88 Die Aufgabe wird ausschnittsweise wiedergegeben. Gegeben ist eine Funktion mit 6 &. s.. Geben Sie sämtliche Asymptoten des Schaubilds von an. Geben Sie die Nullstellen von an. Skizzieren Sie das Schaubild von samt Asymptoten für 7 7. Weisen Sie nach, dass genau eine Extremstelle besitzt. (6 VP) 89 Asymptoten: Wegen lim & ƒf 6 ist die Gerade 6eine waagrechte Asymptote von. Polstellen:Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen von. (Beachte: An diesen Stellen wird der Zähler nicht gleichzeitig 0!) Die Nullstellen des Nenners sind: 4und 4. 6 $ 100 $ 16 Nullstellen:Über 2ND CALC ZEROberechnen Sie die Nullstellen mit dem GTR: 4,48; $3,4; / 3,4; \ 4, Extremstellen:Zu 6 &. s. = setze = 0. Unter Beachtung der Kettenregel folgt ( = / = 0 = 0. Wir bilden noch die zweite Ableitung, um festzustellen, ob es sich an der Stelle = 0wirklich um einen Extrempunkt handelt. (( = / \ = / \ Wegen (( < 0(GTR) haben wir bei = 0einen Hochpunkt und dies ist die einzige Extremstelle von. 91 Wachstumsprozesse Natürliches Wachstum Größenbeschränktes Wachstum Differenzialgleichungen klaus_messner@web.de

18 92 Natürliches/exponentielles Wachstum Natürliches Wachstum wird in der Regel durch eine Exponentialfunktion ausgedrückt: Dabei ist Œ = ; Œ der Zeitpunkt der Messung bzw. der Beobachtung. Œ der gemessene Wert bzw. Bestand. der Anfangsbestandzum Zeitpunkt Œ 0. ; der Wachstumsfaktor bzw. die Zerfallsrate. Die Funktion (Œ) wird Wachstumsfunktion genannt. 93 Die Wachstumskonstante Eine allgemeine Exponentialfunktion ist bei Berechnungen schlecht handhabbar, daher wandelt man diese um in eine %-Funktion. Die %-Funktion macht weniger Arbeit, da sie beispielsweise beim Ableiten erhalten bleibt. Setzt man ; % y, so wird Œ ; zu Œ = % y. Aus dem Ansatz ; % y lässt sich das a durch Auflösen bestimmen und es gilt a = ln (;). Man nennt a die Wachstumskonstante, falls a i 0bzw. Zerfallskonstante, falls a < 0 ist. 94 Ableitung aus einer Messreihe Vorgelegt ist eine Messreihe der folgenden Form: Gegeben ist also eine Reihe von Messwerten, die zu bestimmten Zeitpunkten ermittelt wurde. Fragen: t Messwert a 0 a 1 a 2 a 3 Lässt sich hier ein Bildungsgesetz herleiten? Handelt es sich um natürliches Wachstum? Kann man Messwerte zu späteren Zeitpunkten voraussagen? 9 Natürliches Wachstum feststellen t Messwert a 0 a 1 a 2 a 3 Ž Ž Ž Ž Wenn der Quotient Ž 3 aufeinanderfolgender Messwerte über die gesamte Messreihe (für alle ) annähernd konstant bleibt, so handelt es sich um natürliches Wachstum und wir können als Bildungsgesetz die Formel Œ % y verwenden. Dabei ist a ln Ž für ein beliebig gewähltes Ž und = ; der Anfangsbestand zu Beginn der Messung. Einen besseren Wert für a erhält man, wenn man den Mittelwert Ž aller Ž bildet und a = ln (Ž )setzt.

19 Rechenbeispiel des Rechenbeispiels Die Temperatur eines Gegenstands wird jede Minute gemessen, woraus sich folgende Messreihe ergibt: t in Minuten Temperatur in C 10 7,2,18 3,72 2,68 Nach welcher Gesetzmäßigkeit fällt die Temperatur? Wie hoch ist die Temperatur nach Minuten? Wie lange dauert es, bis die Temperatur erstmals unter 0, C gefallen ist? t in Minuten Temperatur in C 10 7,2,18 3,72 2,68 Bilde aufeinanderfolgende Quotienten: Ž, 0,72; Ž = j,7, L 0,719; Ž / = /, j,7 = 0,718; Ž \,s7 /, 0,72 Die Quotienten sind annähernd gleich, daher gehen wir von natürlichem Wachstum aus. Mit ; 0,72, a ln ; L 0,328und ; 10 folgt: Œ 10%,/7j des Rechenbeispiels Kenngrößen Temperatur nach Minuten: 10%,/7j j = 0,193 C. Wann wird Œ < 0,? 10%,/7j < 0, %,/7j < 0,0 0,328Œ < ln 0,0 Œ > ln 0,0 0,328 9,12 :10 ln : 0,328 Der Gegenstand braucht etwa 9,12Minuten, um auf 0, C abzukühlen. Wichtige Kenngrößen beim natürlichen Wachstum sind die Halbwertszeit Œ und die Verdopplungszeit Œ. Übliche Fragestellungen in diesem Zusammenhang: Wie lange dauert es bis sich eine Bakterienkultur verdoppelt hat? Wie lange braucht ein radioaktiver Stoff bis er zur Hälfte zerfallen ist? Wie lange dauert es, bis ein Kondensator zur Hälfte entladen ist?

20 100 Kenngrößen Ausgehend von den Ansätzen Œ + Œ Œ und Œ + Œ 2 Œ leitet man in der Schule (durch Auflösen nach Œ bzw. Œ ) Formeln für die Halbwertszeit und die Verdopplungszeit her: Œ ln 2 a Œ ln 2 a Wie man sieht ergeben sich beide Kenngrößen direkt aus der Wachstumskonstanten a. 101 Umgang mit Prozentangaben Häufig werden Zu- oder Abnahmen in Prozent angegeben. Beispiel Kapitalverzinsung: Ein Kapital O wird jährlich zu Prozent verzinst. Nach Ablauf eines Jahres wächst das Kapital an auf: O O O = O Der Wachstumsfaktor ; ergibt sich wie folgt: ; = 1 + ; = für Wachstum für Zerfall 102 Rechenbeispiel Wegen a ln(;), lässt sich hieraus a angeben: a = ln 1 + a = ln bei Wachstum bei Zerfall Nach einem Jahr sind etwa 2,3%des chemischen Element Cäsium zerfallen. 1. Bestimme die Wachstumskonstante a und die Halbwertszeit Œ. 2. Nach welcher Zeit sind mindestens 90% zerfallen? ; 1,/ = 0,977 a = ln ; L 0,0233 Œ 29,78,// 2. Hier gilt es zwei Hürden zu überwinden! Erstens fehlt scheinbar die Angabe eine Anfangsbestands. Zweitens rechnet die Wachstumsformel mit Beständen und nicht mit bereits zerfallenem Material! Wenn 90%(des Anfangsbestands) zerfallen sein sollen, dann bleiben noch 10%nicht zerfallenes Material übrig (gerechnet wird mit Beständen).

21 104 Das liefert den Ansatz: 0,1 0 = 0 %,//. Nun kürze (0): 0,1 = %,// 0,0233Œ ln 0,1 Œ ln 0,1 0, ,82 ln : 0,0233 Nach etwa 99Jahren sind mindestens 90%des Materials zerfallen. Sie sehen: Den Anfangsbestand haben wir gar nicht gebraucht! 10 Beschränktes Wachstum Reale Wachstumsvorgänge werden in der Regel durch äußere Umstände nach oben bzw. nach unten begrenzt. Man spricht von beschränktem Wachstum. Die Formel für natürliches Wachstum wird um die Schranke š erweitert und man hat folgenden Ansatz: Œ š % y Œ š + % y beschränktes Wachstum beschränkter Zerfall Anmerkung: % y œ ist für wachsendes Œ eine Nullfolge! 106 Beschränktes Wachstum š ist dabei die obere oder untere Schranke der das Wachstum zustrebt. Der Anfangsbestand ist nicht wie bei natürlichem Wachstum sondern 0 = š ± % y = š ± Folglich ist 0 = š der Anfangsbestand bei beschränktemwachstum und 0 = š + der Anfangsbestand bei beschränktem Zerfall. Die Wachstumskonstante a hat dieselbe Bedeutung wie beim natürlichen Wachstum, taucht in der Formel aber mit negativem Vorzeichen auf! 107 Herleitung der Wachstumsformel Die Wachstumsformel entsteht aus der Formel des natürlichen Wachstums wie folgt durch Spiegeln und verschieben:

22 Rechenbeispiel Œ = 10 2%, 108 Rechenbeispiel: Ein beschränkter Wachstumsprozess ist gegeben durch Œ 10 2%,, wobei Œ in Minuten gemessen wird. 1. Bestimme den Anfangsbestand und den Bestand nach einer Stunde. 2. Welche Schranke š beschränkt das Wachstum? 3. Wann hat der Bestand 90%von š erreicht? Setze Œ 0und erhalte 0 = 10 2%, 8. Dies ist der Anfangsbestand. Der Bestand nach einer Stunde ist 60 = 10 2%, s 9, Entweder liest man die obere Schranke direkt mit š 10ab oder man lässt Œ gehen und erhält ebenfalls š = lim Œ = 10, da %, für Œ eine Nullfolge ist. f 3. Wenn š = 10ist, dann sind 90%davon 9. Die Frage ist also: Für welches Œ wird (Œ) = 9? %, 1 = 2%, ln 0, = 0,02 Œ Œ ln 0, 0,02 34,68 10,: 1 :2,ln : 0,02 Nach etwa 34,7 Minuten werden 90% des Maximal-bestands erreicht. 111 Wahlteil 2008 Ana I 3.1 Die Aufgabe ist nur ausschnittsweise wiedergegeben Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum Zeitpunkt Œ wird beschrieben durch die Funktion mit Œ %, ;Œ 0(Œ in Minuten, (Œ)in Liter) a) Zu welchem Zeitpunkt ist der Behälter zur Hälfte gefüllt? Zeigen Sie, dass die Flüssigkeitsmenge im Behälter stets zunimmt. Bestimmen Sie die mittlere Flüssigkeitsmenge während der ersten Stunde. Aus Sicherheitsgründen darf die Flüssigkeitsmenge höchstens 8%des Fassungsvermögens betragen. Wird diese Vorschrift zu jeder Zeit eingehalten? Begründen Sie Ihre Antwort. (6 VP)

23 Teilaufgabe a) Teilaufgabe a) Œ %, 112 Wann ist der Behälter zur Hälfte gefüllt? Das maximale Fassungsvermögen des Behälters beträgt 1200l folglich ist eine der Gleichung Œ 600gesucht. Es folgt: %, = 800%, 0, %,. Damit ist Œ 69,31. Ergebnis: Der Behälter ist nach ca. 69 Minuten halb voll. Behauptung W ist streng monoton wachsend Wenn Œ > 0für alle Werte von Œ gilt, so bedeutet dies, dass an jeder Stelle eine Tangente mit positiver Steigung besitzt, d.h. dass streng monoton wachsend ist. 113 Es gilt: Œ 800 0,01 %, 8%, > 0da die %-Funktion für alle Œ positiv ist. Ergebnis: ist streng monoton wachsend. Mittlere Flüssigkeitsmenge Die mittlere Flüssigkeitsmenge während der ersten Stunde ist s gegeben durch Ÿ Œ Œ. Den Wert berechnen Sie mit s dem GTR nach Eingabe von MATH fnint(y 1,X,0,60) 60 ENTER Ergebnis:Die mittlere Flüssigkeitsmenge innerhalb der ersten Stunde beträgt etwa 398,4l. 114 Teilaufgabe a) Sicherheitsvorschriften 8%des Fassungsvermögens von 1200l sind 1020l. Die Frage ist also, ob für alle Œ > 0stets Œ < 1020gilt. Da streng monoton wachsend ist, lassen Sie einfach Œ gehen und schauen sich dabei die Funktionswerte an. Es folgt lim f Œ = lim f %, 1000 da für Œ der Ausdruck %, eine Nullfolge ist. Das bedeutet, dass für alle Zeiten die Füllmenge unterhalb der Sicherheitsgrenze von 1020l bleibt. Ergebnis: Die Sicherheitsvorschriften werden stets eingehalten. 11 Differenzialgleichungen Eine Differenzialgleichungist eine Gleichung in der sowohl als auch Ableitungen (auch höhere) von vorkommen. Wachstumsprozesse können durch Differenzialgleichungen wiedergegeben werden. Es gilt folgender Zusammenhang: Œ = a Œ Œ = a š Œ für natürliches Wachstum für beschränktes Wachstum

24 Differenzialgleichungen Rechenbeispiel Œ = a Œ 116 Der Ausdruck š Œ wird Sättigungsmanko genannt. Formulierungen in Abi-Aufgaben: Der aktuelle Bestand ist proportional zur momentanen Änderungsrate. natürliches Wachstum. Der aktuelle Bestand ist proportional zum Sättigungsmanko. beschränktes Wachstum Die Herleitung von Differenzialgleichungen wird im Abi nicht verlangt. Sie müssen aber anhand eines vorgegebenen Wachstumsgesetzes feststellen können, um welche Art von Wachstum es sich handelt. Setze hierzu das Wachstumsgesetz in die DGL ein und teste, ob diese erfüllt ist. Wenn ja, so handelt es sich um die betreffende Wachstumsform. 117 Beweise, dass es sich bei folgendem Wachstumsgesetz um natürliches Wachstum handelt: Œ 2%,. : Œ 2%, Œ = 0,2%, Setze nun und in die DGL für natürliches Wachstum ein und teste, ob die DGL erfüllt wird: ( Œ = a Œ : 0,2%, 0,1 2 %, 0,2%, Da es hier zu keinem Widerspruch kommt ist die DGL offenbar erfüllt. Œbeschreibt demnach tatsächlich natürliches Wachstum. 118 Übungsaufgabe Eine Bakterienkultur hat zu Beginn der Beobachtung einen Bestand von 3.000Bakterien. Nach 20Stunden werden 0.000Bakterien gemessen. Bei dieser Bakterienkultur ist die Vermehrungsrate proportional zum momentanen Bestand. Gemessen wird in Stunden. 1. Welche Art von Wachstumsprozess liegt vor? 2. Wie lautet das Wachstumsgesetz? 3. Nach welcher Zeit ist die Bakterienkultur auf Bakterien angewachsen? 4. Bestimme die Verdopplungszeit. Ergebnisse: 1. Natürliches Wachstum 2. Œ 3000%,\ 3. Œ 12,73(Stunden) 4. Œ 4,927(Stunden) Art des Wachstums Aus der Formulierung proportional zum momentanen Bestand ist ersichtlich, dass es sich um natürliches Wachstum handelt. 2. Wachstumsgesetz Für natürliches Wachstum gilt Œ e y. 3000, der Anfangsbestand, ist in der Aufgabe vorgegeben. Es fehlt nur noch die Wachstumskonstante a. Wegen ( kann man e y jetzt nach a auflösen. Der GTR liefert a 0,1407. Es folgt: Œ = 3000e,\.

25 Œ = 3000e,\ Wahlteil 2008 Ana I Zeitpunkt für Bakterien Löse den Ausdruck e,\ nach Œ auf und erhalte Œ 12,73. Ergebnis:Die Bakterienkultur ist nach etwa 12,7Stunden auf Bakterien angewachsen. 4. Verdopplungszeit Es gilt Œ y,\ 4,927. Ergebnis: Die Bakterienkultur verdoppelt sich etwa alle Stunden. 121 Die Aufgabe ist nur ausschnittsweise wiedergegeben Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum Zeitpunkt Œ wird beschrieben durch die Funktion mit Œ %, ;Œ 0 (Œ in Minuten, (Œ)in Liter) b) In einem anderen Behälter mit einem Zufluss und einem Abfluss befinden sich zu Beginn ebenfalls 200 Liter Flüssigkeit. Einerseits fließen pro Minute 10 Liter zu, andererseits beträgt die momentane Abflussrate 1%des jeweiligen Inhalts pro Minute. Dieser Vorgang wird durch die Differenzialgleichung Œ ; < Œ beschrieben. Geben Sie ; und < an. Zeigen Sie, dass eine dieser Differenzialgleichung ist. 122 Teilaufgabe b) Die momentane Änderungsrate ist gegeben durch ( Œ =Zufluss-Abfluss. Anhand der Aussagen im Text gilt folglich ( Œ 10 0,01 Œ. Diese Gleichung hat die Form ( Œ = ; < Œ, also ist ; = 10und < = 0,01. Ergebnis: ; = 10und < = 0,01. Behauptung: W genügt der angegebenen Differenzialgleichung Setze einfach Œ für Œ ein und teste ob ( Œ herauskommt. Wenn ja, dann ist eine dieser Differenzialgleichung. Es folgt 10 0, %, %, 8%, Œ, was zu beweisen war. 123 Abi Aufgaben zur Übung Weitere Abi-Aufgaben, die sich mit dem Thema Wachstum beschäftigen: 2009 Analysis I 3 Fieberkurve 2006 Analysis I 3 Konzentration eines Medikaments 200 Analysis I 3 Fischbestand