Vorlesungsmanuskript zu. Lineare Algebra I. Werner Balser Institut für Angewandte Analysis. Wintersemester 2007/08

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1 Vorlesungsmanuskript zu Lineare Algebra I Werner Balser Institut für Angewandte Analysis Wintersemester 2007/08

2 Inhaltsverzeichnis 1 Vektorräume 5 11 Lineare Räume 5 12 Einfache Folgerungen aus den Axiomen 7 13 Unterräume 8 14 Lineare Hülle, lineare Unabhängigkeit 9 15 Erzeugendensystem und Basis Existenz von Basen in endlich-dimensionalen Räumen Dimension Wechsel des Skalarenkörpers Summe von Unterräumen 16 2 Matrizen Denition und elementare Eigenschaften Das Produkt von Matrizen Rechenregeln Zeilen- und Spaltenrang Elementare Operationen Normalform und Rang einer Matrix Zeilenstufenform und Rangberechnung Invertierbare Matrizen 28 3 Lineare Gleichungssysteme Das Gauÿsche Eliminationsverfahren Struktur der Lösungsmenge 32 2

3 33 Berechnen der inversen Matrix 33 4 Determinanten Gruppen und Permutationen Vorzeichen von Permutationen Denition der Determinante Rechenregeln für Determinanten Weitere Eigenschaften von Determinanten Entwicklungssätze 44 5 Euklidische und unitäre Räume Denition des Skalarprodukts Die Norm eines Vektors Orthogonalität und Winkel Orthogonalsysteme Beste Approximation, orthogonale Projektion und Fourierkoezienten 52 6 Lineare Abbildungen Denition und elementare Eigenschaften Kern und Bild Lineare Abbildungen und Basen Isomorphie und Dimension Der Dualraum, die duale Abbildung Die adjungierte Abbildung Längentreue Abbildungen Denite Endomorphismen Eigenwerte und Eigenvektoren 63 7 Lineare Abbildungen und Matrizen Die Darstellungsmatrix Basiswechsel Ähnliche Matrizen Hermitesche, normale und unitäre Matrizen 68 3

4 75 Charakteristisches Polynom 70 8 Normalformen und Denitheit von Matrizen Trigonalisierung Der Satz von Cayley-Hamilton Hauptachsentransformation Diagonalisierung normaler Endomorphismen Denite Matrizen 80 9 Ergänzungen Kegelschnitte Drehungen und Spiegelungen 85 4

5 Kapitel 1 Vektorräume 11 Lineare Räume Im Folgenden sei K ein Körper Wir können uns unter K entweder R oder C vorstellen, auÿer wenn wir ausdrücklich einen anderen Körper voraussetzen Die meisten der folgenden Resultate gelten aber genauso für einen beliebigen Körper K Wir nennen K auch den Skalarenkörper, und ein Element λ K heiÿt manchmal auch ein Skalar Die genaue Denition eines Körpers, und speziell von R und C, wird in der Vorlesung Analysis I gegeben Allgemeine Körper werden in der Vorlesung Algebra behandelt Denition 111 Eine Menge V, zusammen mit zwei Abbildungen + : V V V, (v, w) v + w, : K V V, (λ, v) λ v (= λ v), heiÿt ein linearer Raum oder ein Vektorraum über K, wenn folgende Axiome alle gelten: (V1) u, v, w V : u + (v + w) = (u + v) + w (Assoz-Ges der Addit) (V2) 0 V v V : v + 0 = v (Existenz eines Nullvektors) (V3) v V ṽ V : v + ṽ = 0 (Exist eines additiven Inversen) (V4) v 1, v 2 V : v 1 + v 2 = v 2 + v 1 (Kommutativges der Addition) (V5) v V λ, µ K : λ (µ v) = (λ µ) v (Assoz-Ges der Multiplik) (V6) v, w V, λ K : λ (v + w) = λ v + λ w (1 Distrib-Ges) (V7) v V, λ, µ K : (λ + µ) v = λ v + µ v (2 Distrib-Ges) (V8) v V : 1 v = v Ist dies der Fall, so heiÿen die Elemente von V auch Vektoren Für den Fall K = R spricht man auch von einem reellen, für K = C von einem komplexen Vektorraum Beispiel 112 Beachte für dieses Beispiel sowie die ganze Vorlesung, dass N = {1, 2, 3, } die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet Insbesondere ist 0 N, was in manchen Büchern und Vorlesungen anders sein kann, und wir schreiben N 0 = N {0} Die folgenden Mengen sind alle Vektorräume über K: 5

6 (a) Die Menge K n aller Spaltenvektoren der Länge n N mit Elementen in K, d h, die Menge aller x 1 x = x 2 = (x 1,, x n ) T, x n mit Zahlen x j K Dabei ist für x wie oben und einen zweiten Spaltenvektor y 1 y = y 2 = (y 1,, y n ) T y n sowie λ K Addition und Skalarmultiplikation deniert durch x 1 + y 1 x 2 + y 2 x + y =, λ x = x n + y n λ x 1 λ x 2 λ x n Für n = 1 ist K n praktisch gleich K Für n = 2 bzw n = 3 und K = R kann man x als Punkt der Ebene bzw des Raumes auassen und nennt deshalb auch allgemein die Zahlen x k die Koordinaten des Vektors x Beachte auch, dass die Schreibweise x = (x 1,, x n ) T ein Spezialfall der sogenannten Transposition einer Matrix ist, welche in Denition 231 noch genauer behandelt wird (b) Die Menge C[a, b] aller stetigen Funktionen auf einem festen abgeschlossenen Intervall [a, b], a b, mit Werten in K und der üblichen Addition und Multiplikation (c) Die Menge K[t] aller Polynome in einer Variablen t mit Koezienten in K Man liest das Symbol K[t] als K adjungiert t (d) Die Menge K n [t] aller Polynome vom Grad n mit Koezienten in K (e) Die Menge aller Funktionen auf einem festen, nicht-leeren Denitionsbereich D mit Werten in K, oder allgemeiner, mit Werten in einem festen aber beliebigen Vektorraum V über K (f) Kartesische Produkte von beliebig vielen Vektorräumen über K (g) Die Menge K J aller Abbildungen f einer nicht-leeren Menge J in K mit f(j) 0 höchstens für endlich viele j J Vergleiche hierzu auch Aufgabe 516 Falls K = R oder = C ist, hat ein Vektorraum V entweder nur ein Element, welches dann der Nullvektor sein muss, oder unendlich viele Elemente, da ja dann K selber bereits eine unendliche Menge ist; vergleiche dazu auch Aufgabe 125 Es gibt aber auch Körper mit endlich vielen, z B zwei, Elementen, und für solche Körper ist dann z B auch K n eine endliche Menge Solche Fälle spielen aber in dieser Vorlesung keine Rolle Aufgabe 113 Zeige, dass K n ein Vektorraum ist, d h, zeige dass für die oben denierten Verknüpfungen in K n alle Axiome eines Vektorraumes erfüllt sind Aufgabe 114 Begründe, warum die Menge der Polynome vom Grad n, bei festem n N, keinen Vektorraum bildet Aufgabe 115 Sei K ein Körper mit p 2 Elementen Berechne die Anzahl der Elemente von K n bzw K n [t], für n N, sowie von K[t] 6

7 Aufgabe 116 (Vektoren und MAPLE) Begleitend zur Vorlesung werden wir das Computeralgebra- Paket MAPLE benutzen, das, wie auch viele andere solche Systeme, mit Vektoren aus K n, aber auch mit Polynomen symbolisch, d h formelmäÿig, rechnen kann Die Kommandozeilen > restart; > with(linearalgebra); > x := Vector([1, 2, 3]); > y := Vector([3, 2, 1]); > z := VectorAdd(x,y); berechnen die Summe der zuvor eingegebenen Vektoren x und y Finde einen Rechner, auf dem MAPLE in der Version 8 oder höher installiert ist, starte das Paket mit xmaple8 oder einem ähnlichen Kommando, gib dann obige Zeilen ein und beobachte, was passiert Dabei ist das erste Kommando > restart nicht unbedingt notwendig, aber immer angeraten, da es Reste von etwaigen früheren Befehlen beseitigt und das Programm sozusagen in den Ausgangszustand versetzt Der zweite Befehl ruft ein Programmpaket zum Thema lineare Algebra auf Es gibt auch noch ein zweites Paket mit dem Namen linalg, welches sich in etlichen Punkten von diesem hier aufgerufenen Paket unterscheidet 12 Einfache Folgerungen aus den Axiomen Im Folgenden bezeichnet V immer einen Vektorraum über K Allein mit Hilfe der Axiome kann man weitere Rechenregeln beweisen, die in jedem Vektorraum gelten müssen: Behauptung 121 In jedem Vektorraum V über K gelten folgende Aussagen: (a) Es gibt nur einen Nullvektor in V (b) Für alle v V gilt 0 v = 0; dabei steht links die Zahl 0, rechts der Nullvektor (c) Zu jedem v V gibt es nur ein additives Inverses ṽ, das wir im Folgenden auch mit v bezeichnen, denn es gilt auch v = ( 1) v für alle v V (d) λ v = 0 λ = 0 oder v = 0 (oder beides) (e) Die Gleichung v + x = w, mit v, w V, besitzt genau eine Lösung x V, nämlich x = w + ( v) (f) Die Gleichung α x = v, mit α K \ {0} und v V, besitzt genau eine Lösung, nämlich x = α 1 v Beweis: Zu (a): Vorausgesetzt sei 0 + v = 0 + v = v für alle v V ; zu zeigen ist 0 = 0 Durch Einsetzen von 0 bzw 0 für v folgt 0 = = = 0, und das war zu zeigen Zu (b): Sei w = 0 v gesetzt Mit Hilfe des zweiten Distributivgesetzes folgt w = (0 + 0) v = w + w Durch Addition eines additiven Inversen von w zu beiden Seiten der Gleichung folgt w = 0 Zu (c): Es gilt für jedes v V : v + ( 1) v = (1 1) v = 0 v = 0 nach (b) Also ist ( 1) v ein additives Inverses zu v Sei ṽ ein weiteres solches Dann folgt unter Verwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz der Vektoraddition: ṽ = ṽ + 0 = ṽ + v + ( 1) v = v + ṽ + ( 1) v = 0 + ( 1) v = ( 1) v Zu (d): Genauso wie bei (b) zeigt man, dass λ 0 = 0 für jedes λ K Sei jetzt λ v = 0, und sei o B d A angenommen, dass λ 0 ist Dann folgt 0 = λ 1 0 = (λ 1 λ) v = v, wobei die Axiome (V5) und (V8) verwendet wurden Die Beweise von (e) und (f) werden als Übungsaufgabe gestellt Aufgabe 122 Beweise die Aussagen (e) und (f) der obigen Behauptung 7

8 Bemerkung 123 Wir schreiben in Zukunft also immer v für das additive Inverse eines Vektors v Statt w + ( v), für v, w V, schreiben wir dann auch kurz w v und sprechen von der Dierenz der Vektoren w und v In einem Vektorraum V gibt es also neben der Addition und der Multiplikation mit Skalaren eine dritte, abgeleitete Operation, die Subtraktion Beachte aber, dass im Allgemeinen weder ein Produkt von Vektoren noch etwa gar ein Quotient deniert ist Aufgabe 124 (Allgemeine Distributivgesetze) Zeige: Für alle n N, λ, λ 1,, λ n v, v 1,, v n V gilt immer n n ( n ) n λ v k = λ v k, λ k v = λ k v k=1 k=1 k=1 k=1 K und Aufgabe 125 Zeige: In einem Vektorraum über R oder C gibt es entweder nur einen oder unendlich viele Vektoren Warum ist dies nicht richtig für allgemeine Körper K? 13 Unterräume Denition 131 Eine nichtleere Teilmenge U V heiÿt ein Unterraum oder Teilraum, falls U abgeschlossen bezüglich der Addition und der Multiplikation mit Skalaren ist, d h, falls gilt: (U1) v, w U : v + w U, (U2) v U λ K : λ v U Abstrakt ausgedrückt heiÿt das, dass die Restriktionen der Abbildungen + und von U U nach U abbilden Satz 132 Sei U ein Unterraum eines Vektorraums V über K Dann ist U selber wieder ein Vektorraum über K; d h also, in U sind alle Vektorraumaxiome (V1) (V8) erfüllt Beweis: Die Gültigkeit von (V1) und (V4) (V8) ist sofort klar, da nur die Menge der Vektoren verkleinert wurde Da aus (U2) für λ = 0 folgt, dass 0 U ist, gilt auch (V2), und für λ = 1 folgt aus (U2) auch (V3) Aufgabe 133 Zeige: V selber sowie die Teilmenge {0}, welche also nur aus dem Nullvektor besteht, sind immer Unterräume von V Man nennt diese beiden auch die trivialen Unterräume von V Zeige weiter, dass für ein v V die Menge aller Vielfachen {λ v : λ K} ebenfalls ein Unterraum ist Aufgabe 134 Zeige: Die Menge aller Polynome ist ein Unterraum des Vektorraums aller Funktionen mit Denitionsbereich K Aufgabe 135 Die Vektoren aus R 2 bzw R 3 kann man sich in natürlicher Weise als Punkte einer Ebene bzw des Raumes veranschaulichen Untersuche, welche Geraden in der Ebene bzw im Raum Unterräume sind Lemma 136 Seien U j, j J, Unterräume von V Dann ist auch ihr Durchschnitt U = j J U j ein Unterraum von V 8

9 Beweis: Die Gültigkeit von (U1) und (U2) für U ist unmittelbar klar auf Grund der Denition des Durchschnitts, aber wir müssen noch zeigen, dass U nicht leer ist Dies folgt aber, da nach Satz 132 jedes U j selber ein Vektorraum ist und somit den Nullvektor enthalten muss, und dieser ist dann auch Element des Durchschnitts U Aufgabe 137 Untersuche, ob die Vereinigung zweier Unterräume wieder ein Unterraum ist 14 Lineare Hülle, lineare Unabhängigkeit Denition 141 Gegeben seien eine beliebige Anzahl von Vektoren v j V, für j J Dabei soll erlaubt sein, dass auch einige der Vektoren v j gleich sind, und deshalb sprechen wir statt von der Menge besser von dem System der Vektoren (v j, j J) Ist J 1 J, so heiÿt (v j, j J 1 ) Teilsystem von (v j, j J) Gelegentlich werden wir auch Teilmengen von V als Systeme auassen, was ohne weiteres möglich ist, während umgekehrt ein System im allgemeinen keine Teilmenge von V ist Für endlich viele j 1,, j n J und Skalare λ 1,, λ n K heiÿt die Summe v = n λ k v jk (141) k=1 eine Linearkombination der (v j, j J) Der Nullvektor ist also immer eine Linearkombination, da ja alle λ k gleich 0 sein können Die Menge aller Linearkombinationen von (v j, j J) heiÿt die lineare Hülle dieser Vektoren, und wir schreiben für diese Menge in Zeichen L(v j, j J) Die Vektoren (v j, j J) heiÿen linear unabhängig, falls für beliebige Indizes j 1,, j n J und Zahlen λ 1,, λ n K die Gleichung n λ k v jk = 0 (142) k=1 nur dann gilt, wenn alle λ k = 0 sind Ist dies nicht so, d h, gilt (142) für mindestens eine Wahl von j 1,, j n J und λ 1,, λ n, die nicht alle gleich 0 sind, so heiÿen die Vektoren linear abhängig Bemerkung 142 Es ist bequem, statt (141) kürzer v = j J λ j v j (143) zu schreiben Dabei sollen die λ j alle aus dem Körper K sein, und es ist wichtig zu beachten, dass höchstens endlich viele dieser Skalare von 0 verschieden sein dürfen Wir stellen uns dabei vor, dass die rechts stehende Summe zwar formal unendlich viele Elemente enthalten kann, dass wir aber alle Terme mit λ j = 0 ignorieren können, sodass nur eine endliche Summe zu berechnen ist oder sogar nur die leere Summe übrig bleibt, welche per Denition immer den Nullvektor ergibt Mit dieser Kurzschreibweise zeigt sich dann die lineare Unabhängigkeit des Systems (v j, j J) dadurch, dass die Gleichung (143) für v = 0 nur dann bestehen kann, wenn alle λ j = 0 sind Es ist sinnvoll, auch ein leeres System zuzulassen, für welches also J = ist Dieses soll als linear unabhängig angesehen werden, und entsprechend der Konvention, dass eine leere Summe den Wert 0 haben soll, sehen wir den Nullvektor als die einzige Linearkombination des leeren Systems an Beispiel 143 Die Menge K[t] aller Polynome mit Koezienten in K ist ein Vektorraum über K Jedes Polynom p(t) = n j=0 a j t j ist oenbar eine Linearkombination des Systems der Monome (t j, j N 0 ) Nach dem sogenannten Identitätssatz für Polynome, der in der Vorlesung Analysis behandelt wird, ist p(t) = 0 für alle t K gleichwertig mit a 0 = = a n = 0 Dies bedeutet dasselbe wie die Aussage, dass die Monome linear unabhängig sind 9

10 Aufgabe 144 Formuliere die obigen Begrie der Linearkombination und der linearen Unabhängigkeit noch einmal für den wichtigsten Spezialfall eines endlichen Systems (v 1,, v n ) von Vektoren in V Lösung: Da bei einer Linearkombination auch einige der Zahlen λ k = 0 sein dürfen, kann man o B d A so sagen: Für beliebige Skalare λ 1,, λ n K heiÿt n k=1 λ k v k eine Linearkombination von (v 1,, v n ) Das System (v 1,, v n ) heiÿt linear unabhängig, falls die Gleichung n λ k v k = 0 (144) k=1 nur gilt, wenn alle λ k = 0 sind Ist dies nicht so, d h, gilt (142) für mindestens eine Wahl von λ 1,, λ n, die nicht alle gleich 0 sind, so heiÿt das System linear abhängig Statt das System (v 1,, v n ) ist linear (un)abhängig soll es auch erlaubt sein zu sagen die Vektoren v 1,, v n sind linear (un)abhängig Aufgabe 145 Zeige: Ein System von unendlich vielen Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn jedes endliche Teilsystem linear unabhängig ist Aufgabe 146 Zeige: Ein System aus einem Vektor v V ist genau dann linear unabhängig, wenn v nicht der Nullvektor ist Zwei Vektoren v 1, v 2 sind genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist Behauptung 147 Für jedes System (v j, j J) aus V gelten immer folgende Aussagen: (a) Sind die Vektoren (v j, j J) linear unabhängig, und ist J 1 J, so ist auch (v j, j J 1 ) linear unabhängig (b) Gilt v j = 0 für ein j J, oder v j = v k für j, k J mit j k, so ist (v j, j J) linear abhängig (c) Ist J, und sind die Vektoren (v j, j J) linear unabhängig, so gibt es zu jedem v L(v j, j J) eindeutig bestimmte Skalare λ j K, j J, von denen höchstens endlich viele 0 sind, sodass (143) gilt (d) Wenn J mindestens zwei Elemente enthält, ist (v j, j J) genau dann linear abhängig, wenn es ein j 0 J gibt, für welches v j0 als Linearkombination der übrigen v j geschrieben werden kann Beweis: Zu (a): Folgt sofort aus der Denition der linearen Unabhängigkeit Zu (b): Setze J 1 = {j} im ersten bzw J 1 = {j, k} im zweiten Fall und wende Teil (a) sowie Aufgabe 146 an Zu (c): Jedes v L(v j, j J) kann per Denition als Linearkombination (141) dargestellt werden, und dies kann kurz in der Form (143) geschrieben werden, wobei von den möglicherweise unendlich vielen Skalaren λ j höchstens endlich viele von 0 verschieden sind Wenn auch eine zweite solche Darstellung für v mit Koezienten α j gilt, so folgt oenbar 0 = j J (λ j α j ) v j, was auf Grund der linearen Unabhängigkeit nur sein kann, wenn für alle j J gilt α j = λ j Zu (d): Genau dann ist (v j, j J) linear abhängig, wenn j J λ j v j = 0 gilt für eine Wahl von λ j K, wobei für mindestens ein j 0 J gilt λ j0 0 Diese Gleichung ist aber äquivalent zu was zu zeigen war v j0 = j J\{j 0} λ j λ j0 v j, Satz 148 Für ein System (v j, j J) ist die lineare Hülle L(v j, j J) ein Unterraum von V, und zwar genau der Durchschnitt aller Unterräume von V, welche alle v j enthalten 10

11 Beweis: Sei U der Durchschnitt aller Unterräume, welche alle v j enthalten Nach Lemma 136 ist U selber ein Unterraum, und nach Denition folgt, dass U alle Linearkombinationen der v j enthalten muss Also ist L(v j, j J) U Umgekehrt zeigt man schnell, dass L(v j, j J) selber ein Unterraum ist, und deshalb folgt L(v j, j J) = U Aufgabe 149 Zeige: Drei Vektoren in R 2 sind immer linear abhängig Finde zwei Vektoren in R 2, welche linear unabhängig sind 15 Erzeugendensystem und Basis Denition 151 Vektoren (v j, j J) aus V heiÿen ein Erzeugendensystem für V, falls jeder Vektor aus V eine Linearkombination der v j ist, d h, falls L(v j, j J) = V ist Wenn die (v j, j J) zugleich ein Erzeugendensystem und linear unabhängig sind, heiÿen sie auch eine Basis von V Oenbar ist das leere System Basis von V genau dann, wenn V nur aus dem Nullvektor besteht Ob es in einem allgemeinen Vektorraum eine Basis gibt, ist zunächst nicht klar und soll noch genauer untersucht werden In manchen Vektorräumen gibt es aber eine natürliche Basis: Behauptung 152 Im Vektorraum der Polynome sind die Monome eine Basis In K n entsprechen diesen Monomen die Spaltenvektoren 0 e k = 0 1 k, 0 1 k n, (151) 0 wobei der Pfeil andeuten soll, dass die einzige 1 an der Stelle Nr k steht Diese sind ebenfalls eine Basis, und wir nennen diese auch die kanonische Basis von K n Allgemeiner sind in K J wie in Beispiel 112 (g) diejenigen Funktionen, welche an einer Stelle j J den Wert 1 annehmen und sonst gleich 0 sind, eine Basis Beachte aber, dass dies nicht so ist, wenn wir die Menge aller Funktionen auf J mit Werten in K betrachten Aufgabe 153 Zeige die Richtigkeit der vorstehenden Behauptung Aufgabe 154 (Einheitsvektoren und MAPLE) MAPLE kennt die oben denierten Einheitsvektoren in K n Führe die Kommandos > restart; > with(linearalgebra); > x := UnitVector(1,5); > y := UnitVector(4,5); > z := VectorAdd(x,y,4,-1); 11

12 aus und nde insbesondere heraus, was die beiden Parameter 4 und 1 im letzten Kommando bedeuten Aufgabe 155 Sei (v j, j J) ein Erzeugendensystem für V Zeige: Falls ein j 0 J existiert, für welches v j0 eine Linearkombination der übrigen Vektoren v j ist, so ist auch (v j, j J \ {j 0 }) ein Erzeugendensystem von V Wir sagen dann auch, dass das Erzeugendensystem (v j, j J) verkürzbar ist Eine Basis eines Vektorraums kann also aus endlich, aber auch aus unendlich vielen Vektoren bestehen; dies ist wichtig für den nächsten Abschnitt Hier zeigen wir noch folgendes Resultat: Proposition 156 Für ein nicht-leeres Systems (v j, j J) von Vektoren in einem Vektorraum V über K sind folgende Aussagen äquivalent: (a) Die (v j, j J) bilden eine Basis von V (b) Die (v j, j J) sind ein unverkürzbares Erzeugendensystem von V ; d h, sie sind ein Erzeugendensystem von V, und für jede Teilmenge J 1 J gilt: Wenn (v j, j J 1 ) ebenfalls eine Erzeugendensystem von V ist, so folgt J 1 = J (c) Die (v j, j J) sind ein unverlängerbares linear unabhängiges System; d h, sie sind linear unabhängig, und für jede Obermenge J 1 J gilt: Falls (w j, j J 1 ) ein linear unabhängiges System ist, und falls w j = v j ist für alle j J, so folgt J 1 = J (d) Jeder Vektor v V lässt sich auf genau eine Weise als eine Linearkombination der (v j, j J) schreiben; d h, es gibt eindeutig bestimmte λ j K, j J, nur endlich viele 0, für welche (143) gilt Beweis: Wir zeigen: (a)= (b) = (c) = (d) = (a) Zu (a)= (b): Falls es ein j 0 J \ J 1 gäbe, dann müsste v j0 eine Linearkombination der (v j, j J 1 ) sein, also gäbe es λ j K, j J 1 mit v j0 = λ j v j j J 1 Setzt man λ j0 = 1 und λ j = 0 für j J \ (J 1 {j 0 }), so folgt λ j v j = 0, j J was der linearen Unabhängigkeit von (v j, j J) widerspricht Zu (b) = (c): Da das System (v j, j J) ein Erzeugendensystem für V {0} ist, kann es nicht nur aus dem Nullvektor bestehen Falls es linear abhängig wäre, wäre nach Behauptung 147 (d) ein v j0 eine Linearkombination der übrigen Vektoren v j, und nach Aufgabe 155 ergäbe sich ein Widerspruch zu (b) Also ist (v j, j J) linear unabhängig Wenn das System verlängerbar wäre, dann gäbe es einen Vektor v V, der nicht als Linearkombination von (v j, j J) geschrieben werden könnte, was aber ebenfalls (b) widerspräche Zu (c) = (d): Falls ein v V keine Linearkombination von (v j, j J) wäre, könnte man diesen Vektor zum System hinzufügen, ohne die lineare Unabhängigkeit zu verlieren Also ist jedes v eine solche Linearkombination, und aus Behauptung 147 (c) folgt, dass diese Darstellung eindeutig ist Zu (d) = (a): Klar ist, dass (v j, j J) ein Erzeugendensystem ist Da jeder Vektor, also auch der Nullvektor, nur auf eine Weise als Linearkombination darstellbar ist, folgt auch die lineare Unabhängigkeit 12

13 16 Existenz von Basen in endlich-dimensionalen Räumen Denition 161 Ein Vektorraum V über K heiÿt endlich-dimensional, falls er ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Vektoren besitzt; falls nicht, nennen wir ihn unendlich-dimensional Da das leere System aus endlich vielen Vektoren besteht und Erzeugendensystem des Vektorraums ist, welcher nur aus dem Nullvektor besteht, folgt dass dieser endlich-dimensional ist Aufgabe 162 Zeige: Der Vektorraum K[x] aller Polynome ist unendlich-dimensional Die Existenz einer Basis in einem endlich-dimensionalen Raum folgt aus dem nächsten Satz: Satz 163 (Basisauswahlsatz) Sei V {0} ein Vektorraum über K, und sei (v 1,, v m ) ein Erzeugendensystem von V, also insbesondere ist V endlich-dimensional Dann gibt es eine Teilmenge {j 1,, j n } {1,, m} so, dass (v j1,, v jn ) eine Basis von V ist Beweis: Falls das System (v 1,, v m ) linear unabhängig ist, dann ist es bereits eine Basis, und die Behauptung gilt für {j 1,, j n } = {1,, m} Falls nicht, ist einer der Vektoren v j eine Linearkombination der übrigen Durch Änderung der Numerierung können wir erreichen, dass dies für j = n zutrit, und mit Aufgabe 155 folgt, dass dann (v 1,, v m 1 ) ebenfalls Erzeugendensystem von V ist Durch Wiederholung dieses Schlusses ergibt sich die Behauptung in endlich vielen Schritten Aufgabe 164 Zeige, dass die Polynome (t 2 t + 1, t 2 + t, t 1, t) ein Erzeugendensystem für R 2 [t] sind, und wähle daraus ein Basis aus Bemerkung 165 (Basen in unendlich-dimensionalen Räumen) Auch in unendlich-dimensionalen Räumen gibt es immer eine Basis Der Beweis beruht auf dem sogenannten Zornschen Lemma, was zum Auswahlaxiom der Mengenlehre äquivalent ist In dieser und späteren Vorlesungen spielt die Existenz von Basen in unendlicher Dimension keine groÿe Rolle, und wir lassen deshalb den Beweis hier aus Aufgabe 166 (Basen und MAPLE) Finde heraus, welche MAPLE-Kommandos geeignet sind, um Basen von Unterräumen von K n zu nden 17 Dimension In jedem Vektorraum V {0} gibt es unendlich viele verschiedene Basen, wie sich aus dem folgenden Lemma ergibt: Lemma 171 (Austauschlemma) Sei V {0} Vektorraum über K, und sei (v j, j J) eine Basis von V Sei weiter v V \ {0}; also kann v in der Form (143) geschrieben werden, wobei nicht alle λ j = 0 sein können Wähle ein j 0 J mit λ j0 0 Dann ist auch das System, welches aus der Basis durch Ersetzen von v j0 durch v entsteht, wieder eine Basis von V Beweis: Für ein beliebiges w V wollen wir zeigen, dass die Gleichung w = α v + α j v j j J\{j 0} 13

14 durch eindeutig bestimmte Koezienten α, α j K erfüllbar ist, von denen höchstens endlich viele nicht verschwinden Durch Einsetzen von (143) kann diese Gleichung umgeschrieben werden in die Form w = α λ j0 v j0 + ( ) αj + α λ j vj j J\{j 0} Da (v j, j J) eine Basis von V ist, gibt es eindeutig bestimmte β j K mit w = j j β j v j, und da nach Voraussetzung λ j0 0 ist, können die Beziehungen β j0 = α λ j0 und β j = α j + α λ j für j J \ {j 0 } eindeutig nach α und α j aufgelöst werden Also ist das neue System ebenfalls eine Basis des Raumes V Aufgabe 172 Sei U ein Unterraum von C n, n 1, mit folgender Eigenschaft: Für jeden Vektor u = (u 1,, u n ) T U ist auch u = (u 1,, u n ) T in U enthalten Sei weiter (u 1,, u m ) eine Basis von U Zeige mit Hilfe des Austauschlemmas: Für jedes j = 1,, m kann man den Vektor u j entweder durch u 1 + u j oder durch u 1 u j ersetzen, ohne die lineare Unabhängigkeit des Systems zu verlieren Schlieÿe hieraus, dass es eine Basis von U gibt, welche nur aus reellen Vektoren u j besteht Aufgabe 173 Die Monome sind bekanntlich eine Basis von R[t] Untersuche, welches Monom durch das Polynom t 2 1 ersetzt werden kann, so dass wir weiterhin eine Basis von R[t] haben Satz 174 (Austauschsatz von Steinitz) Sei V {0} Vektorraum über K, und sei (v j, j J) eine Basis von V Sei weiter (w 1,, w m ) ein endliches linear unabhängiges System von Vektoren aus V Dann gibt es j 1,, j m J derart, dass das System, welches aus (v j, j J) durch Ersetzen von v jk durch w k, für 1 k m, entsteht, ebenfalls Basis von V ist Insbesondere sind die j k alle voneinander verschieden, sodass J mindestens m Elemente haben muss Beweis: Folgt aus dem Austauschlemma mit vollständiger Induktion über m: Für m = 1 ist nichts mehr zu zeigen Also sei angenommen, dass der Satz für ein m 1 richtig ist Für ein linear unabhängiges System (w 1,, w m, w m+1 ) wenden wir dann die Induktionshypothese auf (w 1,, w m ) an und können somit annehmen, dass es j 1,, j m J gibt, für welche (nach der Ersetzung) v jk = w k gilt für k = 1,, m Der Vektor w m+1 kann dann in der Form w m+1 = j J λ j v j geschrieben werden Wäre λ j = 0 für alle j J \ {j 1,, j m }, so wäre w m+1 eine Linearkombination der v jk = w k, was der linearen Unabhängigkeit des Systems (w 1,, w m, w m+1 ) widerspräche Also gibt es ein j m+1 J \ {j 1,, j m } mit λ jm+1 0 Anwendung des Austauschlemmas auf dieses j m+1 zeigt dann die Gültigkeit der Behauptung auch für m + 1 Korollar zu Satz 174 Sei V endlich-dimensional Dann haben zwei Basen von V immer die gleiche Anzahl von Elementen Beweis: Sei (v 1,, v n ) Basis von V, und sei (w 1,, w m ) linear unabhängig Dann folgt m n aus dem Austauschsatz Wenn (w 1,, w m ) ebenfalls eine Basis von V ist, kann man die Bezeichnungen vertauschen, und daraus ergibt sich die Behauptung 14

15 Aufgabe 175 Zeige: Genau dann gilt dim V =, wenn es ein abzählbar-unendliches System (v j, j N) in V gibt, welches linear unabhängig ist Denition 176 Als Dimension eines Vektorraumes V über K denieren wir falls V unendlich-dimensional ist, dim V = n N 0 falls V eine Basis aus n Vektoren besitzt Insbesondere ist dim V = 0 genau dann, wenn V nur aus dem Nullvektor besteht Aufgabe 177 (Dimension und MAPLE) Finde selber die Funktion der Kommandos > Dimension bzw > Dimensions heraus Aufgabe 178 Finde die Dimension der Vektorräume K n, K n [t] und K[t] Korollar zu Satz 174 Ist U ein Unterraum von V, so folgt dim U dim V Ist sogar dim U = dim V <, so folgt U = V Beweis: Falls U unendlich-dimensional ist, gibt es wegen Aufgabe 175 ein abzählbar-unendliches System (u j, j N) in U, welches linear unabhängig ist, und dies ist selbstverständlich auch in V linear unabhängig Also gilt die Behauptung in diesem Fall Im anderen Fall sei (u 1,, u m ) eine Basis von U, also insbesondere dim U = m Für dim V = ist nichts mehr zu zeigen, also sei n = dim V < vorausgesetzt Mit dem Austauschsatz von Steinitz folgt dann m n, und bei Gleichheit muss (u j, j N) bereits Basis von V sein, woraus U = V folgt Aufgabe 179 Finde ein Beispiel eines Vektorraumes V über K, welcher einen echten Unterraum U V besitzt, so dass dim U = dim V ist Aufgabe 1710 Sei n N, und sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über K Zeige: (a) Für m > n sind m Vektoren in V immer linear abhängig (b) Für m < n sind m Vektoren in V kein Erzeugendensystem von V (c) Falls n Vektoren in V linear unabhängig oder ein Erzeugendensystem sind, so bilden sie bereits eine Basis von V Sozusagen komplementär zum Basisauswahlsatz ist der folgende Ergänzungssatz, der auch oft angewandt werden kann: Satz 1711 (Basisergänzungssatz) Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über K, sei 0 m < n, und sei (v 1,, v m ) ein linear unabhängiges System in V Dann kann man Vektoren v m+1,, v n so wählen, dass (v 1,, v n ) eine Basis von V ist Beweis: Wähle irgendeine Basis (w 1,, w n ) von V und wende den Austauschsatz von Steinitz an! Aufgabe 1712 Ergänze den Vektor v = ( 1 1 ) R 2 zu einer Basis von R 2 15

16 Aufgabe 1713 Seien n N und D eine Menge mit n Elementen Zeige: Der Vektorraum aller Abbildungen von D nach K hat die Dimension n 18 Wechsel des Skalarenkörpers Jeder Vektorraum über C ist oenbar auch Vektorraum über R, denn dazu muss die Multiplikation mit Skalaren nur auf R eingeschränkt werden Hinsichtlich der Dimension gilt folgendes: Satz 181 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über C, wobei auch n = zugelassen sei Fasst man V als Vektorraum über R auf, so hat V die Dimension 2 n, wobei 2 = sein soll Beweis: Sei dim V = (über C) Dann gibt es ein linear unabhängiges System (v j, j N) Dieses System bleibt linear unabhängig, wenn wir V über R betrachten, und deshalb gilt die Behauptung in diesem Fall Im anderen Fall sei (v 1,, v n ) eine Basis von V (über C) Wir zeigen, dass das System (v 1,, v n, i v 1,, i v n ) Basis von V über R ist Dazu sei ein v V betrachtet Mit λ j = α j + i β j, α j, β j R, gilt die Gleichung v = n j=1 λ j v j genau dann, wenn ( n ) ( n ) v = α j v j + β j i v j, j=1 j=1 und das war zu zeigen Wenn V Vektorraum über R ist, kann man zunächst ein v V nicht mit einer komplexen Zahl multiplizieren Man kann aber V in kanonischer Weise vergröÿern und so zu einem Vektorraum über C machen; dies geschieht analog zur Konstruktion der komplexen Zahlen: Satz 182 (Komplexizierung) Sei V ein Vektorraum über R Dann ist auch V V = {(v 1, v 2 ) : v 1, v 2 V } ein Vektorraum über R, und wir können jedes v V mit (v, 0) V V identizieren, so dass V ein Unterraum von V V wird Für α, β R, und (v 1, v 2 ) V V sei (α + i β) (v 1, v 2 ) = (α v 1 β v 2, β v 1 + α v 2 ) gesetzt Dann wird V V zu einem Vektorraum über C, wobei die Paare (0, v) gerade den Vektoren i v = i (v, 0) entsprechen Aufgabe 183 Beweise den obigen Satz! 19 Summe von Unterräumen Denition 191 Sei V ein Vektorraum über K,und seien A und B beliebige Teilmengen von V Wir denieren A + B = {a + b : a A, b B} (191) als die Summe von A und B Besteht A nur aus einem einzigen Vektor a, so schreiben wir statt A + B auch a + B Beachte, dass man sich die Menge a + B als die Translation oder Verschiebung von B um den Vektor a vorstellen kann Ist U ein Unterraum von V sowie v V, so heiÿt die Menge v + U auch eine lineare Mannigfaltigkeit in V, und wir sagen, dass die Dimension dieser linearen Mannigfaltigkeit gleich der von U ist 16

17 Satz 192 Seien U 1 und U 2 Unterräume eines Vektorraumes V über K Dann sind auch U 1 + U 2 und U 1 U 2 Unterräume von V, und es gilt dim(u 1 + U 2 ) + dim(u 1 U 2 ) = dim U 1 + dim U 2, auch falls einige der Räume unendlich-dimensional sind Beweis: Dass der Durchschnitt von Unterräumen ebenfalls Unterraum ist, ist in Lemma 136 gezeigt worden Seien jetzt u, ũ U 1 + U 2 Dann gibt es nach Denition Vektoren u 1, ũ 1 U 1 und u 2, ũ 2 U 2 mit u = u 1 + u 2 und ũ = ũ 1 + ũ 2 Also folgt u + ũ = (u 1 + ũ 1 ) + (u 2 + ũ 2 ) = û 1 + û 2, mit û 1 U 1, û 2 U 2, und somit ist u + ũ U 1 + U 2 Für α K ist α u = α u 1 + α u 2, und daraus folgt genauso α u U 1 + U 2 Um die Dimensionsgleichung zu erhalten, bemerken wir zunächst, dass (U 1 U 2 ) (U 1 + U 2 ) gilt Wenn also einer der beiden Unterräume U j unendlich-dimensional ist, dann gibt es dort eine Folge von linear unabhängigen Vektoren, und somit ist auch U 1 + U 2 unendlich-dimensional, und dann gilt die Gleichung Seien jetzt beide Unterräume endlich-dimensional Dann ist auch U 1 U 2 endlichdimensional, und wir wählen eine Basis (v 1,, v ν ) von U 1 U 2 (beachte, dass der Durchschnitt auch nur aus dem Nullvektor bestehen kann, sodass diese Basis auch leer sein kann, was ν = 0 entspricht Mit dem Basisergänzungssatz können wir weitere Vektoren u 11,, u 1µ1 und u 21,, u 2µ2 so wählen, dass (v 1,, v ν, u 11,, u 1µ1 ) bzw (v 1,, v ν, u 21,, u 2µ2 ) Basis von U 1 bzw U 2 ist Wir zeigen nun, dass (v 1,, v ν, u 11,, u 1µ1, u 21,, u 2µ2 ) Basis von U 1 +U 2 ist (woraus die Behauptung durch Abzählen der Basisvektoren folgt): Jeder Vektor aus U 1 +U 2 ist von der Form u = u 1 +u 2, und u j ist Linearkombination der gewählten Basis von U j Also ist das angegebene System ein Erzeugendensystem von U 1 + U 2 Für die lineare Unabhängigkeit setzen wir an ν µ 1 µ 2 0 = α j v j + β k u 1k + γ l u 2l = v + u 1 + u 2 j=1 k=1 Dann ist v + u 1 U 1 und u 2 U 2 Wegen u 2 = v + u 1 folgt aber, dass v + u 1 U 2, also sogar im Durchschnitt U 1 U 2 ist Daher muss gelten β k = 0 für k = 1,, µ 1 Wegen der linearen Unabhängigkeit von (v 1,, v ν, u 21,, u 2µ2 ) folgt dann aber, dass auch alle α j und γ l verschwinden müssen l=1 Denition 193 Seien U 1 und U 2 Unterräume eines Vektorraumes V über K, und sei U 1 U 2 = {0} Dann nennen wir die Summe U 1 + U 2 auch eine direkte Summe und schreiben U 1 U 2 In diesem Fall gilt also die Gleichung dim(u 1 U 2 ) = dim U 1 + dim U 2, und zu jedem u U 1 U 2 gibt es genau ein Paar u 1 U 1 und u 2 U 2 mit u = u 1 + u 2 Entsprechend denieren wir die Summe U U m endlich vieler Unterräume U 1,, U m von V als die Menge aller u = u u m mit u j U j, 1 j m, und nennen die Summe direkt und schreiben dann U 1 U m, wenn für u j U j die Gleichung 0 = u u m nur dann bestehen kann, wenn u 1 = = u m = 0 ist Beachte auch die Analogie zur linearen Unabhängigkeit Aufgabe 194 Untersuche, wann die Summe zweier eindimensionaler Unterräume von V eine direkte Summe ist Aufgabe 195 Sei m N, seien U 1,, U m Unterräume eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V über K, und sei U = U U m Zeige: Genau dann ist diese Summe direkt, wenn folgendes gilt: Sind (u (j) 1,, u(j) s j ) Basen für U j, für jedes j = 1,, m, so ist das System (u (1) 1,, u(1) s 1, u (2) 1,, u(2) s 2,, u (m) 1,, u (m) s m ), also sozusagen die Vereinigung dieser Basen, eine Basis für U 17

18 Aufgabe 196 Sei m N, seien U 1,, U m Unterräume eines Vektorraumes V über K, und sei U = U U m Zeige: Genau dann ist diese Summe direkt, wenn es zu jedem u U eindeutig bestimmte u j U j gibt, für welche u = u u m ist Aufgabe 197 Sei m N, seien U 1,, U m Unterräume eines Vektorraumes V über K, und sei U = U U m Zeige, dass U die lineare Hülle der Vereinigung aller U j ist Aufgabe 198 Finde selbst eine mögliche Denition für die Summe, bzw die direkte Summe, einer beliebigen Anzahl von Unterräumen eines Vektorraums 18

19 Kapitel 2 Matrizen 21 Denition und elementare Eigenschaften Denition 211 Seien n, m N Eine Abbildung {1,, m} {1,, n} K, (j, k) a jk (211) kann man sich als ein rechteckiges Zahlenschema a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn veranschaulichen Dieses Schema heiÿt eine m n-matrix, oder eine Matrix vom Typ m n Die Zahlen a jk heiÿen die Elemente von A, und wir schreiben manchmal auch kurz A = [ a jk ] Die m 1-Matrizen s k = heiÿen die Spalten von A, die 1 n-matrizen a 1k a 2k a mk, 1 k n, z j = [ a j1, a j2,, a jn ], 1 j m, werden die Zeilen von A genannt Also hat eine Matrix vom Typ m n gerade m Zeilen und n Spalten Im Fall n = m sprechen wir von einer quadratischen Matrix Die Menge der m n-matrizen wird auch mit K m n bezeichnet Zwei Matrizen A und B vom gleichen Typ m n werden addiert, indem man zu jedem Element von A das an der gleichen Stelle stehende Element von B hinzuzählt Anders ausgedrückt heiÿt das: A = [ ] [ ] a jk, B = bjk = A + B = [ ] a jk + b jk Eine Matrix A wird mit einem Faktor λ C multipiziert, indem man jedes ihrer Elemente mit λ malnimmt Satz 212 Für n, m K ist K m n mit den oben eingeführten Verknüpfungen ein Vektorraum über K der Dimension n m 19

20 Beweis: Da diese Matrixmenge eigentlich Abbildungen der Form (211) sind, ist die Vektorraumeigenschaft klar wegen Beispiel 112 Da der Denitionsbereich der Abbildungen n m Elemente umfasst, folgt die Behauptung mit Aufgabe 1713 Aufgabe 213 Seien n, m N Gib eine Basis in K m n an und vergleiche mit der kanonischen Basis in K n Wie sieht der Nullvektor in K m n aus? Wir bezeichnen diesen auch als Nullmatrix Aufgabe 214 (Eingabe von Matrizen in MAPLE) MAPLE kennt auch Matrizen Die Befehlsfolge > restart; > with(linearalgebra); > A := Matrix(3, 3, [ [1, 0, 1], [0, 1, 1], [2, -1, 1] ]); > B := Matrix(3, 3, [ [1, 1, 2], [0, 1, 1], [0, 1, 1] ]); > C := Matrix(2, 3, [[1,1,1], [1, -1, 0]]); deniert z B drei Matrizen A, B, C, mit welchen dann auch gerechnet werden kann; siehe dazu die noch folgenden Aufgaben Untersuche selber, ob man die Angabe der Zeilen- und/oder Spaltenzahl auch weglassen kann, und was geschieht, wenn die eingegebenen Zeilen zu kurz oder zu lang, zu wenige oder zu viele sind Aufgabe 215 Entscheide, welche der folgenden Matrizen addiert werden können, und berechne gegebenenfalls ihre Summe [ ] [ ] [ ] A =, B =, C =, D = [ 1 2 ] [ ] 1, E =, F = [ 1 2 ] 2 Multipliziere alle diese Matrizen mit dem Faktor λ = 2 Aufgabe 216 (Matrixaddition mit MAPLE) Die folgende Sequenz von MAPLE-Kommandos addiert die entsprechenden Matrizen: > restart; > with(linearalgebra); > A := Matrix(3, 3, [ [1, 0, 1], [0, 1, 1], [2, -1, 1] ]); > B := Matrix(3, 3, [ [1, 1, 2], [0, 1, 1], [0, 1, 1] ]); > C := Matrix(2, 3, [[1,1,1], [1, -1, 0]]); > A1 := Add(A,B); > A2 := Add(A,C); > A3 := Add(A,B,2,3); Finde heraus, welche Bedeutung die optionalen Parameter 2 und 3 im letzten Kommando haben Finde auch einen Weg, wie man mit Hilfe von MAPLE eine Matrix mit einer Zahl multipliziert 20

21 22 Das Produkt von Matrizen Denition 221 Wir setzen für a 1,, a n, b 1,, b n C b 1 [ ] a1,, a n = b n n a j b j j=1 Das heiÿt: Für eine Zeile und eine Spalte gleicher Länge ist jeweils ein Produkt deniert, und das Ergebnis dieser Operation ist ein Skalar Allgemein denieren wir: Wenn A und B Matrizen sind, und wenn die Zeilen von A dieselbe Länge wie die Spalten von B haben, dann ist das Produkt A B die Matrix C = [ ] c jk, für die c jk gerade das Produkt der j-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B ist Mit anderen Worten: Ist a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1s a 21 a 22 a 2n A =, B = b 21 b 22 b 2s, a m1 a m2 a mn b n1 b n2 b ns so ist A B = [ c jk ] mit c jk = n a jν b νk, 1 j m, 1 k s ν=1 Aufgabe 222 Zeige für A, B, C wie oben: Die k-te Spalte von C ist gleich dem Produkt von A mit der k-ten Spalte von B, die j-te Zeile von C ist das Produkt der j-ten Zeile von A mit B Aufgabe 223 Berechne die Produkte folgender Matrizen: [ ] , [ ] [ a b 2 a + b ] Lösung: Das Ergebnis ist [ 0 3 ] bzw [ a b + a a a + 2 b ] Aufgabe 224 (Matrixmultiplikation mit MAPLE) MAPLE kann auch Matrizen multiplizieren: > restart; > with(linearalgebra); > A := Matrix(3, 3, [ [1, 0, 1], [0, 1, 1], [2, -1, 1] ]); > B := Matrix(3, 3, [ [1, 1, 2], [0, 1, 1], [0, 1, 1] ]); > C := Matrix(2, 3, [[1,1,1], [1, -1, 0]]); > V1 := VandermondeMatrix([1,2,3,4]); 21

22 > V2 := VandermondeMatrix([a,b,c,d]); > A3:=MatrixMatrixMultiply(A,B); > A4:=MatrixMatrixMultiply(A,C); > A4:=MatrixMatrixMultiply(C,A); > A5:=MatrixMatrixMultiply(V1,V2); Wie steht es mit der Gültigkeit des Kommutativgesetzes bei der Matrixmultiplikation? Beachte, dass MAPLE auch mit Matrizen umgehen kann, deren Elemente nicht Zahlen sondern Variablen sind, und dass das System auch sogenannte Vandermondesche Matrizen kennt, die später noch eine Rolle spielen werden Beispiel 225 Für gilt oenbar A = A X = [ ] [ ] 0 0 x 11 x 12, X =, X A = [ ] x11 x 12 x 21 x 22 [ x12 0 x 22 0 und daraus folgt A 2 = A A = 0 Das bedeutet, dass eine Matrixgleichung A X = B im Allgemeinen keine Lösung haben wird, und wenn doch, braucht die Lösung nicht eindeutig bestimmt zu sein Weiter sieht man, dass für Matrizen A und X die Produkte A X und X A beide deniert sein können, aber im Allgemeinen verschieden ausfallen Mit anderen Worten heiÿt das, dass für die Matrixmultiplikation im Allgemeinen kein Kommutativgesetz gilt ], Aufgabe 226 Berechne und vergleiche A B und B A für [ ] 0 0 A =, B = 1 0 [ ] 23 Rechenregeln Denition 231 Für eine beliebige m n-matrix a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn heiÿt A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn die zu A konjugiert komplexe Matrix Weiter nennen wir a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 A T =, a 1n a 2n a mn 22

23 welche die Zeilen von A als Spalten enthält und umgekehrt, die transponierte Matrix oder kurz die Transponierte zu A Für eine quadratische Matrix a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn heiÿen die Zahlen a 11,, a nn die Diagonalelemente von A Falls a jk = 0 ist für alle k < j, d h, wenn alle Elemente unterhalb der Diagonalen verschwinden, dann heiÿt A eine obere Dreiecksmatrix Falls dagegen a jk = 0 ist für alle k > j, dann sprechen wir von einer unteren Dreiecksmatrix Falls sogar beides gilt, d h, falls alle Elemente auÿer evtl den Diagonalelementen verschwinden, dann heiÿt A eine Diagonalmatrix Wenn A eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen λ 1,, λ n ist, schreiben wir manchmal A = diag [λ 1,, λ n ] Die n n-matrix I = , also die Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente alle gleich 1 sind, heiÿt Einheitsmatrix Wenn man das sogenannte Kronecker-Delta { 0 für j k δ jk = 1 für j = k einführt, kann man sagen, dass I die Elemente δ jk hat Aufgabe 232 (Matrizen und MAPLE) Finde MAPLE-Kommandos zur Berechnung der transponierten Matrix sowie zur einfachen Eingabe von Diagonalmatrizen und der Einheitsmatrix, welche in Englisch identity matrix heiÿt und deshalb in dieser Vorlesung auch mit I bezeichnet wird In der Literatur ist aber auch das Symbol E üblich Satz 233 (Rechenregeln für Matrizen) Für feste Zahlen n, m, r, s N gelten die folgenden Aussagen: (a) A K m n, B K n r, λ K = λ (A B) = (λa) B = A (λb) (b) A K m n, B, C K n r = A (B + C) = A B + A C (c) A, B K m n, C K n r = (A + B) C = A C + B C (d) A K m n, B K n r, C K r s = (A B) C = A (B C) (e) A K m n, I = [δ jk ] K n n = A I = A (f) I = [δ jk ] K n n, A K n r = I A = A (g) A, B K m n = (A + B) T = A T + B T (h) A K m n, B K n r = (A B) T = B T A T Aufgabe 234 Beweise den oben stehenden Satz Aufgabe 235 Zeige: Wenn man eine Matrix A passender Gröÿe von rechts bzw links mit einer Diagonalmatrix Λ = diag[λ 1,, λ n ] multipliziert, so erhält man das Produkt, indem man die k-te Spalte bzw Zeile von A mit dem Faktor λ k malnimmt 23

24 24 Zeilen- und Spaltenrang Denition 241 Sei A K m n Die lineare Hülle der Zeilen bzw Spalten von A heiÿt Zeilenraum bzw Spaltenraum von A; die Dimension dieser Räume heiÿt Zeilenrang bzw Spaltenrang von A Beispiel 242 Für eine Matrix, deren erste Spalten die ersten s Vektoren der kanonischen Basis von K m sind, während evtl weitere Spalten nur noch Nullen enthalten, liest man ab dass ihr Zeilen- und Spaltenrang beide gleich s sind Im Folgenden soll gezeigt werden, dass die Werte von Zeilen- und Spaltenrang für beliebige Matrizen immer übereinstimmen Aufgabe 243 Zeige: Für jede Matrix A K m n ist der Spaltenrang von A höchstens gleich n, der Zeilenrang höchstens gleich m Finde einfache Beispiele dafür, dass diese Abschätzungen scharf sind Aufgabe 244 Finde den Zeilen- und Spaltenrang der Einheitsmatrix Aufgabe 245 Zeige: Für A K m n und x K n ist A x ein Vektor des Spaltenraums, also eine Linearkombination der Spalten von A Finde selber eine analoge Aussage für die Zeilen von A 25 Elementare Operationen Denition 251 Sei n N, n 2 Jede der folgenden drei Arten von quadratischen n-reihigen Matrizen heiÿt eine Elementarmatrix der Gröÿe n: (a) Für λ K \ {0} und 1 j n sei E j (λ) die Diagonalmatrix, deren j-tes Diagonalelement gleich λ ist, während die übrigen Diagonalelemente gleich 1 sind (b) Für 1 j < k n sei P jk = P kj die Matrix, welche aus der Einheitsmatrix durch Vertauschen der j-ten und k-ten Spalte entsteht (c) Für 1 j, k n, j k, sei E jk die Matrix mit Einsen überall auf der Diagonalen und einer zusätzlichen Eins in der Position (j, k), sowie Nullen in allen übrigen Positionen Aufgabe 252 Seien n 2 und A K n m Zeige, dass die Multiplikation von links mit Elementarmatrizen der Gröÿe n folgenden Zeilenoperationen für A entspricht: (a) E j (λ) A entsteht aus A durch Multiplikation der Elemente in der j-ten Zeile mit dem Faktor λ (b) P jk A entsteht aus A durch Vertauschen der Zeilen Nr j und k (c) E jk A entsteht aus A durch Addition der Zeile Nr k zur Zeile Nr j Benutze Regel (h) aus Satz 233, um herauszunden, welche Wirkung eine Multiplikation von rechts mit Elementarmatrizen der Gröÿe m hat Denition 253 Für eine Matrix A heiÿt jede der Operationen, welche nach Aufgabe 252 der Multiplikation von links bzw rechts mit einer Elementarmatrix passender Gröÿe entspricht, eine elementare Zeilen- bzw Spaltenoperation für A Beachte, dass jede solche Operation umkehrbar ist Wenn eine Matrix B aus A durch endlich viele dieser elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen entsteht, dann heiÿt B äquivalent zu A 24

25 Aufgabe 254 Wir wollen im Folgenden jede Hintereinanderausführung von endlich vielen elementaren Zeilen- oder Spaltenoperationen als erlaubt bezeichnen Überprüfe durch eine Kombination von Operationen des Typs (a),(c), dass auch die Addition eines Vielfachen einer Zeile bzw Spalte zu einer anderen Zeile bzw Spalte eine erlaubte Operation ist Aufgabe 255 (Elementare Operationen mit MAPLE) Finde selber die Befehle in MAPLE, welche den oben eingeführten elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen entsprechen Denition 256 (Äquivalenzrelationen) Sei eine nicht-leere Menge X gegeben Eine Teilmenge R X X heiÿt eine Relation auf X Wir sagen dass ein x 1 X zu einem x 2 X in Relation steht, wenn das Paar (x 1, x 2 ) zu R gehört Eine solche Relation auf X heiÿt eine Äquivalenzrelation, falls für beliebige x, x 1, x 2, x 3 X gilt: (R) (x, x) R (Reexivität) (S) (x 1, x 2 ) R = (x 2, x 1 ) R (Symmetrie) (T) (x 1, x 2 ) R und (x 2, x 3 ) R = (x 1, x 3 ) R (Transitivität) Statt (x 1, x 2 ) R schreiben wir auch x 1 x 2 und sagen in Worten: x 1 ist äquivalent zu x 2 Für x X sei A x = { x X : x x } Wir nennen ein solches A x eine Äquivalenzklasse Ein beliebiges Element einer Äquivalenzklasse heiÿt auch ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse Aufgabe 257 Zeige: Ist auf X eine Äquivalenzrelation gegeben, so bilden die Äquivalenzklassen A x eine Zerlegung von X; d h, aus A x A y folgt A x = A y, und x X A x = X Aufgabe 258 Zeige: Auf der Menge K m n aller Matrizen fester Gröÿe hat der oben eingeführte Begri der Äquivalenz die drei Eigenschaften einer Äquivalenzrelation Satz 259 Der Spaltenrang einer Matrix ist invariant gegenüber elementaren Spaltenoperationen; der Zeilenrang einer Matrix ist invariant gegenüber elementaren Zeilenoperationen Beweis: Es genügt, die Aussage für Spalten zu beweisen, da dann durch Übergang zur transponierten Matrix auch die für Zeilen folgt Sei A eine Matrix mit den Spalten a 1,, a n K m, und sei U = L(a 1,, a n ) der Spaltenraum von A Das Vertauschen von Vektoren in (a 1,, a n ) ändert nichts daran, dass diese Spaltenvektoren ein Erzeugendensystem für U sind, und gleiches gilt für Multiplikation einer Spalte mit einem von 0 verschiedenen Faktor Wir wollen nun dasselbe zeigen für den Fall der Ersetzung der Spalte a k durch die Summe a k + a j, für j k: Jeder Vektor u U kann dargestellt werden als u = n ν=1 α ν a ν Setzt man { α ν (ν j) β ν = α j α k (ν = j) so folgt Dies war zu zeigen β k (a k + a j ) + ν k β ν a ν = α k (a k + a j ) + (α j α k ) a j + ν j,k α ν a ν = u Lemma 2510 Seien A, B so, dass das Matrixprodukt B A deniert ist Dann ist der Spaltenrang von B A nicht gröÿer als der von A 25

26 Beweis: Sei C = B A Sind a 1,, a n bzw c 1,, c n die Spalten von A bzw C, so gilt nach Aufgabe 222 c k = B a k für 1 k n Nach den Rechenregeln für Matrizen folgt aus 0 = n k=1 λ k a k die Gleichung 0 = n k=1 λ k c k Daraus schlieÿen wir: Wenn ein Teilsystem der Spalten von A linear abhängig ist, so ist dasselbe Teilsystem der Spalten von C ebenfalls linear abhängig Also kann der Spaltenrang von C nicht gröÿer sein als der von A Aufgabe 2511 Gib ein Beispiel für Matrizen A, B, für die der Spaltenrang von B A echt kleiner als der von A ist Satz 2512 Der Spaltenrang einer Matrix ist invariant gegenüber elementaren Zeilenoperationen; der Zeilenrang einer Matrix ist invariant gegenüber elementaren Spaltenoperationen Beweis: Zeilenoperationen entsprechen der Multiplikation von links mit Elementarmatrizen Also kann der Spaltenrang wegen Lemma 2510 bei Zeilenoperationen nicht zunehmen Da Zeilenoperationen reversibel sind, folgt sogar, dass der Spaltenrang bei elementaren Zeilenoperationen gleich bleibt Die Aussage für den Zeilenrang folgt wieder durch die Betrachtung der transponierten Matrizen 26 Normalform und Rang einer Matrix Satz 261 (Normalform unter Äquivalenz) Jede Matrix A K m n ist äquivalent zu einer Matrix der Form [ ] I 0 B =, 0 0 wobei I eine Einheitsmatrix der Gröÿe s mit 0 s min{m, n} ist, während die Nullen für Nullmatrizen entsprechender Gröÿe stehen; dabei ist zu beachten, dass s = 0 so zu interpretieren ist, dass B die Nullmatrix ist, während für s = n bzw s = m einige der Nullmatrizen in B als leer anzusehen sind Beweis: Die Umformung von A auf die Form B geschieht durch Anwenden des folgenden Algorithmus, in dem die nach jeder Umformung enstandene Matrix der Einfachheit halber weiterhin mit A bezeichnet sein soll: (a) Falls A die Nullmatrix ist, ist B = A, also s = 0, und der Algorithmus ist beendet (b) Falls A nicht die Nullmatrix ist, so können wir durch evtl Vertauschen von Zeilen und/oder Spalten erreichen, dass anschlieÿend a 11 0 ist Danach können wir die erste Zeile oder Spalte mit einem Faktor multiplizieren, so dass sogar a 11 = 1 gilt (c) Im Fall a 11 = 1 können wir Vielfache der ersten Zeile von allen folgenden subtrahieren, so dass danach a j1 = 0 ist für alle j = 2,, m Danach können wir Vielfache der ersten Spalte von allen folgenden subtrahieren, so dass danach a 1k = 0 ist für alle k = 2,, n Beachte, dass dabei die Elemente der ersten Spalte nicht mehr verändert werden (d) Falls m = 1 oder n = 1 ist, ist der Algorithus beendet Sonst wenden wir dieselben Schritte sinngemäÿ auf die kleinere Matrix a 22 a 2n a m2 a mn an; diese Schritte verändern die erreichte Form der ersten Zeile und Spalte von A nicht 26