Lager B: Dynamische Tragzahl C = 53 kn (TB 14-2) Nominelle Lebensdauer L 10 = Umdrehungen Lebensdauer L 10h = Stunden

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1 Fachhochschule München Fachbereich 03 Prof. Dr. G. Knauer Ergebnisse zu Maschinenelemente II, Übungsaufgaben Hinweis: Die Lösungen und Tabellenverweise basieren auf Roloff/Matek, 12. Auflage. Gegenüber der aktuellen Auflage können sich Ergebnisse geringfügig unterscheiden. Außerdem sind Abweichungen bei den Querverweisen auf Tabellen möglich! 1. Wälzlager 1.1 Drehzahl n = 229,2 min -1 Äquivalente dynamische Lagerbeanspruchung P = 2,5 kn Nominelle Lebensdauer L 10 = Umdrehungen Lebensdauer L 10h = 3,6! 10 5 Stunden Lebensdauerfaktor f L = 8,94 Drehzahlfaktor f n = 0,53 Äquivalente statische Lagerbelastung P 0 = 2,5 kn Statische Kennzahl f S = Gewählt: Lager A 6310 Lager B 6309 Lager A: Dynamische Tragzahl C = 62 kn (TB 14-2) Nominelle Lebensdauer L 10 = Umdrehungen Lebensdauer L 10h = Stunden Lager B: Dynamische Tragzahl C = 53 kn (TB 14-2) Nominelle Lebensdauer L 10 = Umdrehungen Lebensdauer L 10h = Stunden Die Lager reichen nicht aus, da für Universalgetriebe lt. TB 14-6 eine Lebensdauer von Stunden erforderlich sind. 1.3 O-Anordnung: A = "1" B = "2" Bild Roloff/Matek Lager A: Radialkraft F ra = 10 kn e = 0,37 Axialfaktor Y A = 1,6 TB 14-2 Dynamische Tragzahl C = 57 kn Axialkraft F x = 5 kn Lager B: Radialkraft F rb = 3 kn e = 0,30 Axialfaktor Y B = 2 TB 14-2 Dynamische Tragzahl C = 32,5 kn Kraftverhältnisse: 2. Fall Bild Roloff/Matek Lager A: F aa / F ra = 0,575 > e

2 - 2 - Radialfaktor X A = 0,4 TB 14-3 Äquivalente dynamische Lagerkraft P A = 13,2 kn Nominelle Lebensdauer L 10 = Umdrehungen Lebensdauer L 10h = Stunden Lager B: Äquivalente dynamische Lagerkraft P B = F rb = 3 kn Nominelle Lebensdauer L 10 = Umdrehungen Lebensdauer L 10h = Stunden 1.4 Radialkraft je Lager F r = 30 kn NU-Lager, Bohrungskennzahl 10 d = 50 mm Äquivalente statische Lagerbeanspruchung P 0 = F r = 30 kn Statische Kennzahl (gewählt) f S = 1,0 für normalen Betrieb Statische Tragzahl C 0 = 41,5 kn (TB 14-2, Maßreihe 10) Nach Lagerkatalog: NU 1010 d = 50 mm D = 80 mm B = 16 mm 1.5 O-Anordnung: A = "1" B = "2" Bild Roloff/Matek Lager A: Dynamische Tragzahl C = 46,5 kn (TB 14-2) Lager B: Dynamische Tragzahl C = 32 kn (TB 14-2) Lager A und B: Axialfaktor Y = Y = 0,55 0,93 e = 1,14 (TB 14-3) für F a / F r < e (TB 14-3) für F a / F r > e (TB 14-3) Prüfen: F r / Y 1. Y = 0,55 Lager A: F aa = F aa /F ra = Lager B: F ab = F ab /F rb = 2. Y = 0,93 Lager A: F aa = F aa /F ra = Lager B: F ab = F ab /F rb = 10,36 1, ,76 1, kn > e Y A = 0,93 kn < e Y B = 0,55 kn < e Y B = 0,55 Damit: Y A = 0,93 Y B = 0,55

3 - 3 - Kraftverhältnisse: F ra /Y A = 6,45 kn F rb / Y B = 12,73 kn 1. Fall Bild Roloff/Matek F aa = 10,4 kn F ab = 0 kn Lager A: F aa / F ra = 1,29 > e Radialfaktor X A = 0,57 TB 14-3 Äquivalente dynamische Lagerkraft P A = 13,1 kn Nominelle Lebensdauer L 10 = 44, Umdrehungen Lebensdauer L 10h = Stunden Lager B: Äquivalente dynamische Lagerkraft P B = F rb = 7 kn Nominelle Lebensdauer L 10 = 95, Umdrehungen Lebensdauer L 10h = Stunden 1.6 Rechtes Lager: Schrägkugellager in Tandem-Anordnung Schrägkugellager 7209 B: Dynamische Tragzahl C = 36 kn (TB 14-2) Dynamische Tragzahl für die Tandemanordnung: C = 1,625 C Einzellager (TB 14-2 Fußnote 1) C = 58,5 kn Das Lagerpaar wird damit als Einzel-Schrägkugellager betrachtet: e = 1,14 (TB 14-3) F a / F r = 3,6 > e Radialfaktor X = 0,35 Axialfaktor Y = 0,57 Äquivalente dynamische Lagerkraft P = 12 kn Nominelle Lebensdauer L 10 = Umdrehungen Lebensdauer L 10h = 644 Stunden Linkes Lager: Rillenkugellager Dynamische Tragzahl C = 29 kn (TB 14-2) Äquivalente dynamische Lagerkraft P = F r = 5 kn Nominelle Lebensdauer L 10 = Umdrehungen Lebensdauer L 10h = Stunden Die nominelle Lebensdauer von 500 Stunden der gesamten Lagerung ist gewährleistet

4 Elastische Federn 2.1 Grundlinie b = n b 0 b = 350 mm Grundlinie b 1 = n' b 0 b 1 = 100 mm a) Biegespannung: Durchbiegung: c) Maximale Durchbiegung: Maximale Federungsarbeit: F 1 = N F 2 = N σ b1 = 335,9 N/mm 2 σ b2 = 503,8 N/mm 2 σ b zul = 684 N/mm 2 s 1 = 72 mm s 2 = 108 mm q 2 = 0,875 s max = 146,6 mm q 3 = 0,113 V = 9, mm 2 W = 2, N mm 2.2 a) Drehwinkel α = 70,7 Maximaler Drehwinkel α + 5 = 75,7 Biegespannung (ohne Berücksichtigung der Drahtkrümmung) σ i = N/mm 2 Spannungsbeiwert q = 1,1 (TB 10-4 mit D/d = 9) Biegespannung σ q = q σ i = N/mm 2 Dynamische Beanspruchung: Hubspannung σ ih = σ i2 - σ i1 < σ H Für α 1 = 70,7 ist σ i1 = N/mm 2 Für α 2 = 75,7 ist σ i2 = N/mm 2 Damit σ ih = 71 N/mm 2 Dauerhubfestigkeit: σ H = σ o zul - σ u σ u = σ i1 = 1019 N/mm 2 σ o zul = N/mm 2 (TB 10-5) σ H = 431 N/mm 2 > σ ich Überbeanspruchung ist nicht zu befürchten c) Länge des unbelasteten Federkörpers L K0 = 13,25 mm d) Innendurchmesser D i = D - d = 16 mm Bolzendurchmesser (Sollwert) d B = 0,8...0,9 D i = 12,8...14,4 mm < Istwert 15! Es besteht Klemmgefahr!

5 Federsäule = Reihenschaltung a) Auswahl der Tellerfeder nach TB 10-6: Bolzen- = 16 mm nach Roloff/Matek S. 264: D i = mm; Sp = 0,3 mm Mindest-D i = 16,3 mm 2 Federsäulen mit Gesamtkraft N Je Federsäule N = Kraft auf Einzelteller Nach TB 10-6: Reihe A (B und C zu weich!) Ausgewählt: D e = 31,5 mm D i = 16,3 mm h 0 = 0,7 mm t = 1,75 annähernd lineare Kennlinie F 0,75 = N Abmessungen der Federsäule Hub je Teller s Einzelfeder = s 2 - s 1 Vorspannweg s 1 = 0,14 mm s 0,75 = 0,525 mm Federrate R = F 0,75 / s 0,75 R = N/mm für die Einzelfeder Federweg der Einzelfeder in einer Säule (F Einzelfeder = N) s Einzelfeder = 0,323 mm = s 2 s Einzelfeder = 0,183 mm Anzahl der Federn i = s Gesamt / s Einzelfeder i = 13,1 gewählt: i = 13 Ungespannte Säulenlänge L 0 = 31,85 mm Vorgespannte Säulenlänge L 1 = 30,03 mm Länge der belasteten Säule L 2 = 27,65 mm 2.4 Schubmodul (Drahtsorte C) G = N/mm 2 (TB 10-1) Zulässige Torsionsspannung τ zul = 700 Nmm 2 (TB 10-12) Zulässige Federkraft F zul = N Soll-Federrate R soll = 140 N/mm Zahl der federnden Windungen n' = 5,82 Gewählt: n' = 6 Gesamtzahl der Windungen n t = 8 Ist-Federrate R ist' = 135,8 N/mm Maximaler Drahtdurchmesser d max = 10,050 mm (Abmaß nach TB 10-2 a) Blocklänge L c = 80,4 mm Gesamt-Federweg s ges =L 0 -L c = 44,6 mm Blockkraft F c =R s ges = N Schubspannung bei Blocklänge τ c = 757 N/mm 2 Zulässige Blockspannung τ c zul = 790 N/mm 2 > τ c Summe der Mindestabstände S a = 8,25 mm Kleinste zulässige Federlänge L n =L c +S a = 88,65 mm Federweg s=l 0 -L n = 36,35 mm < s zul = 40 mm

6 Welle-Nabe-Verbindungen 3.1 a) Passung Bohrung/Welle Paßtoleranz P T = P Üg - P Ük Größtes Übermaß P Üg = Z g + G Glättung G = 12,8 µm Durchmesserverhältnis Q A = 0,526 Dehngrenze R p 0,2 = 305 N/mm 2 für St 60-2 (TB 1-4) Größte zulässige Fugenpressung p Fg = 114,34 N/mm 2 Hilfsgrößen K A = 9, mm 2 /N für St 37 K I = 3, mm 2 /N für Vollwelle aus Stahl Größtes Haftmaß Z g = 150 µm Größtes Übermaß P Üg = 163 µm Kleinstes Übermaß P Ük = Z k + G Rutschkraft in Umfangsrichtung F Rt =c B ν H F u = N mit c B = 1,3 (TB 3-6) Kleinste erforderliche Fugenpressung p Fk = 56,48 N/mm 2 Kleinstes Haftmaß Z k = 74 µm Kleinstes Übermaß P Ük = 87 µm Paßtoleranz P T = - 76 µm Bohrung 100 H7 A ub = 0 µm (TB 2-3) Toleranzfeld IT 7 T = 35 µm (TB 2-1) A ob =T+A ub = + 35 µm Passung P o =A ob -A uw P o = P Ük Negative Passungen! Mindestpassung P u = engste P u =A ub -A ow P u = P Üg Passung Abmaße der Welle Unteres Abmaß A uw =A ob -P o = µm Oberes Abmaß A ow =A ub -P u = µm Toleranzfeld T = 41 µm Gewählt IT 7: T = 35 µm (TB 2-1) Gewählt Toleranzfeldlage u: A uw = µm A ow = µm Passung P o = - 89 µm Drehmoment wird übertragen P u = µm Zulässige Fugenpressung wird nicht überschritten H7 Gewählte Passung 100 u7 Temperaturdifferenz Größtes vorhandenes Übermaß P Üg '=A ow -A ub = µm Längenausdehnungskoeffizient α A = K -1 (TB 12-6 Kleinstes notwendiges Einführspiel P sk = 50 µm Temperaturdifferenz ϑ = 190 K Fügetemperatur bei RT = 20 C ϑ A = 210 C

7 a) Vorspannkraft im Gewinde bei Anziehdrehmoment M A = Nm F V = N entspricht der Einpreßkraft F e Größter Fugendurchmesser D 1 = 100 mm Kleinster Fugendurchmesser D 2 =D 1 -C l F = 90,5 mm mit Kegelverhältnis C = 0,1 Mittlerer Fugendurchmesser D mf = 95,25 mm Kegelneigungswinkel α/2 = 2,86 Reibungswinkel ρ = 5,71 tan (α+ρ) = 0,15 Fugenpressung bei F e p F = 81,61 N/mm 2 Übertragbares Drehmoment T R = Nm Rutschkraft F R = N Haftsicherheit ν H =T R /T = 1,84 > ν erf = 1,5 Haftsicherheit genügt c) Durchmesserverhältnis Q A = 0,529 Sicherheit gegen plastische Verformung ν PA = 1 Dehngrenze R p 0,2 = 230 N/mm 2 für GS 45 (TB 1-4) Grenzfugenpressung p F grenz = 94,4 N/mm 2 > p F = 81,61 N/mm 2 Es ist nicht mit plastischen Verformungen in der Nabe zu rechnen d) Durchmesserverhältnis Q I = 0 Sicherheit gegen plastische Verformung ν PI = 1 Dehngrenze R p 0,2 = 265 N/mm 2 für St 50-2 (TB 1-4) Grenzfugenpressung p F grenz = 132,5 N/mm 2 > p F = 81,61 N/mm 2 Es ist nicht mit plastischen Verformungen in der Welle zu rechnen 3.3 Anwendungsfaktor K A = 1,1 für leichte Stöße (TB 3-5) Paßfederhöhe h = 8 mm (TB 12-2) Tragende Paßfederhöhe h =0,45 h = 3,6 mm Paßfederbreite b = 10 mm (TB 12-2) Anzahl der Paßfedern n = 1 Tragfaktor ϕ = 1 Zugfestigkeit des Nabenwerkstoffs R m = 300 N/mm 2 für GG-30 (TB 1-4) Sicherheit gegen Bruch der Nabe ν B = 3,5 (TB 12-1 Zulässige Flächenpressung der Nabe p zul = 85,7 N/mm 2 Tragende Paßfederlänge l 12,2 mm Paßfederlänge l=l +b = 22,2 mm Gewählt: l = 23mm

8 Anwendungsfaktor K A = 1,8 für starke Stöße (TB 3-5) Aussen- D = 78 mm (TB12-3 a) Innen- d = 72 mm (TB 12-3 a) Mittlerer d m = 75 mm Länge des Keilwellenprofils L = 65 mm lt. Zeichnung Tragende Keilhöhe h =0,4 (D-d) = 2,4 mm Anzahl der Keile n = 10 (TB 12-3 a) Vorhandene mittlere Flächenpressung p m = 71,8 mm Streckgrenze des Nabenwerkstoffs R e = 520 N/mm 2 für GS-52 (TB 1-4) Sicherheit gegen Fließen des Nabenwerkstoffs ν F = 1,5 4 = 6 (TB 12-1 b und Fußnote 1) Zulässige Flächenpressung der Nabe p zul = 86,7 N/mm 2 > p m Die zulässige Flächenpressung wird nicht überschritten 3.5 Anwendungsfaktor K A = 1,8 für starke Stöße (TB 3-5) Mittlerer = Teilkreis- d m = d 5 = 18,5 mm (TB 12-4 a) d 1 = 17,3 mm (TB 12-4 a) d 3 = 20 mm (TB 12-4 a) Tragende Keilhöhe h = 0,5 (d 3 -d 1 ) = 1,35 mm Anzahl der Keile n = z = 33 (TB 12-4 a) Zugfestigkeit des Nabenwerkstoffs R m = 180 N/mm 2 für G-AlSi12 (TB 1-4) Sicherheit gegen Bruch des Nabenwerkstoffs ν B = 4,5 (TB 12-1 Zulässige Flächenpressung der Nabe p zul = 40 N/mm 2 Tragende Länge des Profils l t 21,8 mm 4. Zahnradgetriebe 4.1 a) Teilkreis Ritzel d 1 = 144 mm Teilkreis Rad d 2 = 336 mm Nullachsabstand a d = 240 mm Grenzprofilverschiebung x 1 grenz = (14-z 1 )/17 = 0,118 c) Herstelleingriffswinkel inv α = 0,0149 Profilverschiebungssumme x 1 +x 2 = 0,3 Zähnezahlsumme z 1 +z 2 = 40 Betriebseingriffswinkel inv α w = 0,02035 (aus inv-gleichung) α w = 22,1 Betriebswälzkreis Ritzel d w1 = 146,05 mm Betriebswälzkreis Rad d w2 = 340,77 mm Betriebsachsabstand a = 243,41 mm d) Kopfkreis Ritzel d a1 = 168,00 mm Kopfkreis Rad d a2 = 135,30 mm Grundkreis Ritzel d b1 = 360,00 mm Grundkreis Rad d b2 = 315,70 mm Profilüberdeckung ε α = 1,53

9 - 9 - Konstruktion der Eingriffslinie mit Eingriffswinkel α = 20. Die Kopfkreise d a1 und d a2 schneiden die Eingriffsstrecke aus. Die Länge der Eingriffsstrecke AE = 54 mm. Mit der Eingriffsteilung p e = π m cos α = 35,4 mm ergibt sich die Profilüberdeckung zu ε α = AE/p e = 1, Zähnezahlsumme z 1 +z 2 = 66 Herstelleingriffswinkel inv α = 0,01490 Betriebseingriffswinkel α w = 22,64 (aus Achsabstandsgleichung) Profilverschiebungssumme x 1 +x 2 = 0,638 (aus umgeformter inv-gleichung) Profilverschiebung des Ritzels x 1 = 0,638 da x 2 = Normalmodul m n = 2,5 mm Stirnmodul m t = 2,588 mm mit ß = 15 Nullachsabstand a d = 85,41 mm Herstelleingriffswinkel im Normalschnitt α n = 20 Herstelleingriffswinkel im Stirnschnitt α t = 20,65 Betriebseingriffswinkel inv α wt = 0,02351 (aus inv-gleichung) α wt = 23,15 Betriebsachsabstand a = 86,92 mm 4.4 a) Übersetzung i = n 1 /n 2 = 4,81 mit n 1 /n 2 = z 2 /z 1 für Antrieb Ritzel Zähnezahlverhältnis u = z 2 /z 1 = 4,81 Teilkreis Ritzel d 1 = 24 mm Teilkreis Rad d 2 = 115,5 mm Grundkreis Ritzel d b1 = 22,55 mm Grundkreis Rad d b2 = 108,53 mm c) Herstelleingriffswinkel inv α = 0,01490 Betriebseingriffswinkel inv α w = 0, aus inv-gleichung α w = 22,03 Wälzkreis Ritzel d w1 = 24,33 mm Wälzkreis Rad d w2 = 117,02 mm Betriebsachsabstand a = 70,68 mm d) Kopfkürzung k = -0,075 Kopfkreis Ritzel d a1 = 28,86 mm Kopfkreis Rad d a2 = 118,5 mm Fußkreis Ritzel d f1 = 22,26 mm Fußkreis Rad d f2 = 111,75 mm Profilüberdeckung ε α = 1,42

10 a) Umfangsgeschwindigkeit v t = 6,28 m/s K 350 N = 0,08 (TB 15-18) Lastkorrekturfaktor f f = 2,73 für Q 7 Dynamikfaktor K v = 1,22 Herstellungsbedingte Flankenlinienabweichung f ma = f Hß = 13 µm mit c = 1 (TB c) Flankenlinienabweichung durch Verformung f sh = 6,5 µm (Erfahrungswert TB a) Wirksame Flankenlinienabweichung vor dem Einlaufen F ßx = 15 µm Einlaufbetrag y ß = 2 µm (TB 15-20) Wirksame Flankenlinienabweichung nach dem Einlaufen F ßy = 13 µm Breitenfaktor K Hß = 2,5 Zahnhöhe Ritzel (d a1 -d f1 )/2 = 3,3 mm (Kopfkürzung!) Zahnhöhe Rad (d a2 -d f2 )/2 = 3,375 mm Ritzel N F = 0,906 Rad N F = 0,904 Ritzel K Fß = 2,29 Rad K Fß = 2,29 Gesamtüberdeckung ε γ = ε α = 1,4 Geradverzahnung, d.h. ε ß = 0 Eingriffssteifigkeit c γ = 20 N/(mm µm) Faktor q H = 1,96 (TB Eingriffsteilungs-Abweichung Ritzel f pe = 10 µm Eingriffsteilungs-Abweichung Rad f pe = 10 µm Einlaufbetrag y α 1 (TB c) F th /b = 208 N/mm 2 Stirnfaktor K Hα = 0,88 Wenn K Hα < 1,0, dann wird K Hα = K Fα = 1,0 gesetzt! Gesamtbelastungseinfluß Zahnfuß K F ges = 2,79 Gesamtbelastungseinfluß Zahnflanke K H ges = 1,75 Umfangskraft F t = N Formfaktor Ritzel Y Fa1 = 2,12 (TB a) Formfaktor Rad Y Fa2 = 2,25 (TB a) Spannungskorrekturfaktor Ritzel Y Sa1 = 1,98 (TB Spannungskorrekturfaktor Rad Y Sa2 = 1,88 (TB Überdeckungsfaktor Y ε = 0,778 Schrägenfaktor Y ß = 0 Geradverzahnung Örtliche Zahnfußspannung Ritzel σ F01 = 148,5 N/mm 2 Örtliche Zahnfußspannung Rad σ F02 = 149,6 N/mm 2 Zahnfußspannung Ritzel σ F1 = 414,3 N/mm 2 Zahnfußspannung Rad σ F2 = 417,4 N/mm 2 c) Zahnfuß-Biegedauerfestigkeit σ F lim = 410 N/mm 2 (TB 15-16) Lebensdauerfaktor Y NT = 1 (TB a) Dauerfestigkeit Größenfaktor Y X = 1 (TB d) Spannungskorrekturfaktor Y ST = 2 Relative Stützziffer Y δ rel T = Relativer Oberflächenfaktor Y R rel T = 1,0 (Vereinfachung) Zulässige Zahnfußspannung σ HP = 574 N/mm 2 Dauerfestigkeit ist für Ritzel und Rad gegeben

11 a) Berechnung der Kraftfaktoren siehe Aufgabe 4.5! Dynamikfaktor K v = 1,22 Breitenfaktor K Hß = 2,5 Stirnfaktor K Hα = 1,0 Gesamtbelastungseinfluß Zahnflanke K H ges = 1,75 Umfangskraft F t = N/mm 2 Teilkreisdurchmesser Ritzel d 1 = 24 mm Zähnezahlverhältnis u = 4,81 Schrägungswinkel ß b = 0 cos ß b = 1 Stirneingriffswinkel α t = α n = 20 Betriebseingriffswinkel α wt = 22,03 Berechnung siehe Aufgabe 4.4 Zonenfaktor Z H = 2,37 Elastizitätsfaktor Z E = 189,9 Stahl-Stahl Überdeckungsfaktor Z ε = 0,93 (TB15-25 c) Schrägenfaktor Z ß = 1 Geradverzahnung Nennwert für die Flankenpressung σ H0 = 774,5 N/mm 2 Auftretende Flankenpressung σ H = 1 355,4 N/mm 2 c) Dauerfestigkeitswert σ H lim = N/mm 2 Lebensdauerfaktor Z NT = 1,22 für 10 Std. entspr Lastwechsel (TB d) Schmierstoffaktor Geschwindigkeitsfaktor Rauheitsfaktor Z L Z v Z R = 1,0 siehe Hinweis Roloff/Matek Zulässige Flankenpressung σ HP = 1314 N/mm 2 < σ H! Festigkeitsanforderung ist nicht erfüllt!