Zahnräder I. Vetr Martin , Bäck Wolfgang , wolfgang Kochbücher für Mechatroniker. 9.

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1 Zahnräder I Kochbücher für Mechatroniker 9. November 005 Vetr Martin , m.vetr@gmx.at Bäck Wolfgang 05508, wolfgang baeck@web.de

2 Zahnräder I Seite 1 1 Mechanik 1.1 Kinematik Die Kinematischen Beziehungen setzen die Drehgeschwindigkeiten von zwei Zahnrädern bzw. die Geschwindigkeit eines Zahnrades und einer Zahnstange in ein Verhältnis: Zahnrad - Zahnrad ω an = ω d ab ab ω an = d ab ω ab = iω ab () [i] = 1 (3) Zahnrad - Zahnstange (1) ω an = ẋ ω an = ẋ = iẋ [i] = 1 m (4) (5) (6) 1. Drallsatz Beim Drallsatz werden die Tangentialkräfte berechnet: I ω = F t d + M W elle δω (7) Beim Term δω handelt es sich um ein Geschwindigkeitsabhängiges Reibungsmodell 1.3 Impulsbilanz Translatorische Bewegung (Zahnstange) ( m + ) ( I k (i k 1 ) ẍ + δ + ) δ k (i k 1 ) ẋ = F (8) k k }{{}}{{} m δ Das Ersatzsystem ergibt sich dann zu m ẍ + δ ẋ = F (9)

3 Zahnräder I Seite 1.4 Leistungen P = F ẋ = Mω P verl = δ ẋ bzw. δ ω (10) (11) Geradverzahnung Die beiden Zahnräder einer Übersetzungsstufe sollten einander möglichst Teilerfremd sein. Involutfunktion inv(x) = tan(x) x (1) Die Involutfunktion funktioniert nur mit der Winkeleinheit Radiant! Betriebseingriffswinkel α w cos(α) a v = m (z 1 + z ) cos(α w ) ( α w = arccos m (z 1 + z ) cos(α) ) a v (13) (14) m z i a v α α w Modul Zähnezahl des Zahnrades i gewünschter Achsabstand Flankenwinkel Betriebseingriffswinkel Profilverscheibungsfaktoren x 1 & x a 0 = d 1 + d = m z1 + z x 1 + x = (inv(α w) inv(α)) (z 1 + z ) tan(α) (15) (16) a 0 Nullachsabstand d i Teilkreisdurchmesser x 1 + x Profilverschiebungssumme Der Nullachsabstand ist der Achsabstand ohne Profilverschiebung. Teilkreisteilung p = m π (17) p Teilkreisteilung Die Teilkreisteilung p ist der Abstand zweier aufeinanerfolgender Zahnflanken am Teilkreis.

4 Zahnräder I Seite 3 Fußkreisdurchmesser d f1 & d f d fi = d i + x i m h fp (18) h fp = m + c (19) c = m 4 (0) d fi d i h fp c Fußkreisdurchmesser des Zahnrades i Teilkreisdurchmesser des Zahnrades i Fußhöhe des Bezugsprofils Kopfspiel Grundkreisdurchmesser d b1 & d b = d i cos(α) (1) Grundkreisdurchmesser des Zahnrades i Wälzkreisdurchmesser d w1 & d w z i d wi = a v () z 1 + z (3) d wi Wälzkreisdurchmesser des Zahnrades i theoretischer Kopfkreisdurchmesser d a d ai = d i + m (1 + x i ) (4) d ai Kopfkreisdurchmesser des Zahnrades i (hier: Theoretischer K.) Der Kopfkreisdurchmesser muss kleiner sein als der theoretische Kopfkreisdurchmesser, da es sonst zu Materialdurchdringungen kommen würde. praktischer Kopfkreisdurchmesser d ai = a v d fj c (5) d ai Kopfkreisdurchmesser des Zahnrades i d fj Fußkreis des anderen Zahnrades (i j) Kopfhöhenänderung k k = 1 m (a 0 a v m (x 1 + x )) (6) k Kopfhöhenänderung a 0 Nullachsabstand a v gewünschter Achsabstand m Modul x 1 + x Profilverschiebungssumme In der Praxis werden jedoch nur negative Kopfhöhenänderungen (=Kopfkürzungen aka Rübe ab) ausgeführt.

5 Zahnräder I Seite 4 Profilüberdeckung ɛ α ɛ α = g a p e g ai = ( ( d ai ) 1 tan α w ) (7) (8) g a = g a1 + g a p e = mπ cos α (9) ɛ α Profilüberdeckung p e Eingriffsteilung am Grundkreis g a Eingriffslänge bestehend aus g ai Teilabschnitt der Eingriffslänge g a muss größer sein als p e, da sonst zweitweilig kein Zahn in Eingriff ist. Es muss also gelten ɛ α > 1 Spitzenbildungsbedingung für jedes Rad überprüfen: s a = d a ( s 0 d + ϑ 0 ϑ) > 0. m (30) s 0 = m π + x m tan(α) (31) ϑ 0 = inv(arccos( d b )) (3) d ϑ = inv(arccos( d b d a )) (33) Ist s a 0.m gilt der Zahn als spitz. Grenzzähnezahl/Unterschnitt z g = ha0 ρ a0 (1 sin(α)) xm m sin (α) (34) h a0 = m, ρ a0 = 0. m (35) z g Grenzzähnezahl Unterhalb der Grenzzähnezahl kommt es zu einem Unterschnitt. Grenzzähnezahl und Spitzwerden sind Eigenschaften, die eher das Ritzel betreffen. 3 Schrägverzahnung Profilverschiebung Die Profilverschiebung wird aus dem Diagramm a bestimmt (P1-P9). Basierend auf den Eigenschaften der Zähne wird über die Zähnezahl die Profilverschiebungssumme bestimmt (oberstes Diagramm). Für das zweite Diagramm müssen die mittlere Profilverschiebung und die mittlere Zähnezahl bestimmt werden: z avg = z 1 + z x avg = x 1 + x (36) (37)

6 Zahnräder I Seite 5 Mit diesen Werten kann man den Arbeitspunkt im Diagramm b bestimmen. Die bekannten Zähnezahlen z 1 und z zeichnet man ebenfalls ins Diagramm ein. Ähnlich zu den vorhandenen Linien L1 bis L17 wird nun eine Linie durch den Arbeitspunkt gezeichnet. Der Schnittpunkt mit der jeweiligen Zähnezahl ist die Profilverschiebung x 1 und x. Geometrie m n d i z i d i = z im n cos β Modul im Normalschnitt Teilkreisdurchmesser Zähnezahl (38) d ai = d i + m n (1 + x i ) (39) d ai Theoretischer Kopfkreisdurchmesser d fi = d i + x i m n h fp (40) d fi h fp Fußkreisdurchmesser Fußhöhe des Bezugsprofils h fp = m n + c (41) c Kopfspiel α t α n β d i α t = arctan tan α n cos β Eingriffswinkel am Teilzylinder Flankenwinkel im Normalschnitt Schrägungswinkel = d i cos α t Grundkreisdurchmesser Teilkreisdurchmesser (4) (43) Achsabstand a 0 a 0 = d 1 + d = m n cos β z 1 + z (44) Null-Achsabstand (keine Profilverschiebung) invα wt = invα t + (x 1 + x ) tan α n z 1 + z (45) α wt Eingriffswinkel am Wälzzylinder Die Umkehrfunktion der Involutfunktion ist nur iterativ Lösbar (z. B. mit dem Newton- Verfahren).

7 Zahnräder I Seite 6 Überdeckung ɛ i = z i π (dai ) 1 tan α wt (46) ɛ α = ɛ 1 + ɛ (47) ɛ α Profilüberdeckung ɛ β = b sin β m n π (48) ɛ β Sprungüberdeckung ɛ γ = ɛ α + ɛ β (49) ɛ γ Gesamtüberdeckung 4 Abschlussbemerkungen Die Verwendung dieses Dokumentes liegt in der persönlichen Verantwortung jedes einzelnen. Wir (die Autoren) übernehmen daher keine Verantwortung für Schäden die durch die Verwendung dieses Dokumentes entstehen. Sollte jemand gefallen an diesem Dokument finden, so ist er herzlich eingeladen uns (die Autoren) auf einen Kaffee am Schokimat einzuladen. Sollte jemand keinen gefallen an diesem Dokument finden, so ist er trotzdem herzlich eingeladen uns (die Autoren) auf einen Kaffee am Schokimat einzuladen.