Stochastisches Denken.... zum Glück gibt s Mathe! Wilfried Herget Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg

Transkript

1 Stochastisches Denken... um Glück gibt s Mathe! Wilfried Herget Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Wilfried Herget, Main

2 Reepte Regeln Rechnen mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen mathematisch modellieren mathematische Darstellungen verenden mit Mathematik symbolisch/technisch umgehen mathematisch kommuniieren Wilfried Herget, Main

3 700 Verunglückte Kinder nach Alter 2005 verunglückte Kinder nach Alter Fußgänger, Fußgänger, männlich, Anahl < Alter Wilfried Herget, Main

4 Verunglückte Kinder nach Alter 2005 verunglückte Kinder nach Alter Radfahrer, Radfahrer, männlich, Anahl < Alter Wilfried Herget, Main mathematik lehren 69/995, S. 4 7

5 600 Verunglückte Kinder nach Alter 2005 verunglückte Kinder nach Alter Fußgänger/Radfahrer, - männlich, Anahl < Alter Fußgänger Radfahrer Wilfried Herget, Main mathematik lehren 69/995, S. 4 7

6 Wilfried Herget, Main

7 Merkürdige Würfel... Dieter von Zeleski

8 Riemer-Würfel... Riemer Würfel, Wolfgang Riemer, Klett, Stuttgart 988

9 Wenn man mit einem Würfel häufig ürfelt ird eine Zahl öfter kommen? Warum b. arum nicht? Wenn ja, elche? Wilfried Herget, Main

10 Stochastisches Denken entickeln Vor-Einstellungen der Schülerinnen und Schüler aufgreifen einfache, aber informative Experimente hin u tragfähigen und dauerhaften stochastischen Grundvorstellungen (Peter Bender) Wilfried Herget, Main

11 Einer der großen Vorteile der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der, dass man lernt, dem ersten Anschein u misstrauen. Pierre-Simon de Laplace

12 Lehrer Lämpel hat egen überraschenden Frühlingseinbruchs leider keine Zeit, die Stochastik-Klassenarbeit ausführlich u korrigieren. Lettes Jahr hat er in einer ähnlichen Notlage die Noten einfach mit einem Spielürfel ausgeürfelt aber leider gab es dabei ungefähr ein Drittel Fünfen und Sechsen und entsprechend viel Ärger mit der Klasse, den Eltern, der Schulleitung. Daher vergibt er die Noten nach einem neuen Verfahren: Für jede der 30 Arbeiten irft er 4-mal eine Müne, ählt, ie oft dabei Wappen gefallen ist, addiert dau und notiert dieses Ergebnis als Note. Wie ird die Klassenarbeit ausfallen? Wird es dieses Mal eniger Ärger geben? Wilfried Herget, Main mathematik lehren 85/998, S. 4 7

13 Erartungsmuster für den Notenspiegel Anahl Wappen Note Gemeinsam erarteter Notenspiegel Proentualer Anteil Wilfried Herget, Main

14 Experiment Der gan persönliche Notenspiegel Wurf- Nr. Georfene Münseitenfolge Note Wurf- Nr. Georfene Münseitenfolge Note Wilfried Herget, Main

15 Zusammentragen der Einelergebnisse Anahl Wappen Note Summe Gesamt-Notenspiegel (proentualer Anteil) Prognose für die nächste Klassenarbeit Wilfried Herget, Main

16 Häufigkeiten als sehr gute Informationen Ziel: Bestmögliche Prognose Wahrscheinlichkeit Reihe Wilfried Herget, Main

17 Wahrscheinlichkeit als bestmögliche Prognose Schätung Relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Voraussage Entickeln von tragfähigen Grundvorstellungen, die eit über das konkrete Beispiel hinaus von prinipieller Bedeutung sind! Wilfried Herget, Main

18 Wilfried Herget, Main Elementar-Ereignisse: (,,,), (,,,),, (,,,) 4-mal Werfen einer Müne Alle diese 6 Elementar-Ereignisse sind gleich ahrscheinlich sog. Laplace-Modell Systematisches Aufählen aller Möglichkeiten Wirklich??? Wirklich!

19 4-mal Werfen einer Müne Baum der Elementar-Ereignisse Modell: 4 Münürfe nacheinander Jeder einelne Münurf hat 2 Ausgänge, die gleich ahrscheinlich sind Die einelnen Münurfe sind voneinander unabhängig Wahrscheinlichkeit 2 für jede Baumvereigung Wilfried Herget, Main

20 Wilfried Herget, Main mal Werfen einer Müne /6 /6 4/6 6/6 4/6 = P(genau 4 Wappen) = P(genau 3 Wappen) = P(genau 2 Wappen) = P(genau Wappen) = P(genau 0 Wappen)

21 Noten Zugehörige Wahrscheinlichkeiten ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 Graphische Veranschaulichung Note Note 2 Note 3 Note 4 Note 5 Wilfried Herget, Main

22 4-mal Werfen einer Müne eigenes Vermuten gemeinsames Erartungsmuster eigenes Experimentieren eigenes und gemeinsames Reflektieren gemeinsame mathematische Modellbildung Wilfried Herget, Main

23 Lehrer Lämpel hat egen überraschenden leider keine Zeit, die Stochastik-Klassenarbeit ausführlich u korrigieren. Diesmal ill er die Noten nach einem neuen Verfahren ermitteln: Für jede der 30 Arbeiten irft er 2-mal einen Würfel, addiert die Augenahlen und und??? Wie könnte er hieraus die jeeilige Note bestimmen? Entickeln Sie einen Vorschlag dafür! Und dann natürlich die Frage: Wie ird ohl die Klassenarbeit ausfallen? Wilfried Herget, Main

24 Die Wahrscheinlichkeit von Augensummen Jemand bietet dir ein Würfelspiel an. Dau sollen ei Würfel gleicheitig georfen und die Augensumme geählt erden. Du darfst dir vorher aussuchen, ob du mit der Augensumme 5, 6, 7, 8 (Ereignis A) oder mit allen übrigen Augensummen (Ereignis B) geinnen möchtest. Begründe, ob du eine der beiden Geinnmöglichkeiten bevorugen ürdest. Wilfried Herget, Main Bildungsstandards Mathematik: konkret, 2006

25 Entscheidend dabei ist, ie diese Beispiele im Unterricht behandelt erden: die ausführliche Auseinandersetung mit den Vor-Einstellungen der Schülerinnen und Schüler die ausführliche Auseinandersetung mit den Ergebnissen der selbst gestalteten, beusst beobachteten und sorgfältig ausgeerteten Experimente der Wechsel ischen Einelarbeit, Gruppenarbeit und Klassengespräch das erlebte Spannungsfeld ischen eigenen Experimenten, eigener und gemeinsamer Reflexion und gemeinsamer mathematisch-abstrahierender Modellbildung. Wilfried Herget, Main mathematik lehren 85/998, S. 4 7

26 Stochastisches Denken entickeln Der Unterricht lebt von ausgeählten Experimenten, die echte Fragen beantorten. Vor Durchführung der Experimente erden die Erartungen der Lernenden festgehalten. Grundvoraussetungen erden formuliert und präisiert. Darauf aufbauend erden (mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung) Prognosen für Versuchsausgänge begründet. Schließlich erden diese Prognosen mit den Versuchsergebnissen und den ursprünglichen Erartungen verglichen. Wilfried Herget, Main mathematik lehren 85/998, S. 4 7

27 Brückenschläge intuitive Vorstellungen aufgrund von Erfahrungen beusste Beobachtung formal-mathematische Beschreibung modellbildende Reflexion Umgangssprache Fachsprache verständiges Erschließen kompetentes Anenden mathematischer Begriffe und Verfahren (Günter Schmidt) Wilfried Herget, Main

28 Zillinge iehen Auf dem Tisch liegen verdeckt 6 Karten, und ar 3 Damen, 2 Buben und König. Man ieht nacheinander ei Karten. Stimmen sie überein, dann hat man geonnen. Wird man in diesem Spiel ohl oft geinnen? Probiert es u eit aus und überlegt. Wilfried Herget, Main Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek I

29 Eine Würfelentscheidung Daniela und ihr jüngerer Bruder Jörg streiten sich häufig darum, er von ihnen den Müll runtertragen muss. Deshalb schlägt Daniela Jörg vor, einen Würfel entscheiden u lassen: Du darfst dreimal ürfeln. Ist eine Sechs dabei, trage ich den Müll runter, sonst machst du das. Jörg erscheint die Sache fair. Probiert es u eit aus und überlegt, as ihr von Danielas Vorschlag haltet. Wilfried Herget, Main Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek I

30 Der Mensch ist da Mensch, o er spielt. Friedrich von Schiller Wilfried Herget, Main

31 mathematik lehren, Heft 85 (997) Friedrich Verlag, PF , 3097 Seele Büchter, A.; Henn, H.-W.: Elementare Stochastik Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls Springer, Berlin 2005 Herget, W.; Jahnke, T.; Kroll, W.: Produktive Aufgaben für den MU in der Sek I Cornelsen, Berlin 200/2007 Wilfried Herget, Main

32 Herget/Lehmann (Hg.): Neue Materialien für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe mit dem TI-83/-89/-92. Schroedel, Hannover 2002 Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Exponential- und Winkelfunktionen Stochastik Gleichungen Wilfried Herget, Main