MATHESTAFFEL 2009 Die Bearbeitungszeit für 20 Aufgaben beträgt 60 Minuten. Insgesamt gibt es 500 Punkte.

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1 MATHESTAFFEL 2009 Die Bearbeitungszeit für 20 Aufgaben beträgt 60 Minuten. Insgesamt gibt es 500 Punkte. 1 (20 Punkte) Sieben Gebiete Drei Kreise begrenzen sieben Gebiete. Wir verteilen die Zahlen von 1 bis 7 auf die sieben Gebiete, so dass in jedem Gebiet genau eine Zahl steht. Die Zahlen 1 und 2 sind schon platziert. Die anderen Zahlen müssen so platziert werden, dass die Summe der Zahlen innerhalb jedes Kreises dieselbe ist. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten. 2 1 Wie groß ist die Summe der Zahlen innerhalb eines Kreises? Gib alle möglichen Summen an! 2 (20 Punkte) Überlappen Ein DIN-A4-Blatt ist ein rechteckiges Stück Papier, dessen Höhe das 2-fache der Breite ist. Zwei DIN-A4-Blätter liegen übereinander wie in dieser Figur.

2 Wie viel Prozent der unteren Blattfläche wird durch das obere Blatt verdeckt? 3 (30 Punkte) Schachzüge mit dem Springer Wie viele Schachzüge sind mit dem Springer auf einem Standardschachbrett 8 8 möglich? Dabei sollen beispielsweise die Schachzüge c2-d4 und d4-c2 als zwei Züge gezählt werden a b c d e f g h Wie viele Schachzüge mit dem Springer auf einem Schachbrett gibt es? 4 (20 Punkte) Der Umfang der Dreiecke. In das Dreieck ABC wird das Dreieck DEF, das durch die Mitte der Seiten gebildet ist, gezeichnet. Darüber wird in dem Dreieck EF C das Dreieck IJH gezeichnet, dessen Ecken die entsprechenden Seitenmitten sind. Anschließend wird in dem Dreieck JHC das Dreieck KLM gezeichnet, dessen Ecken ebenfalls Seitenmitten sind, usw... Die Länge von AB beträgt 12 cm, die Länge von AC beträgt 8 cm und die Länge von BC beträgt 13 cm.

3 A E J K N C O M L I H D F B Wie groß ist der gesamte Umfang von allen eingezeichneten Dreiecken? 5 (30 Punkte) Die Summe der Nachbarn Ein Kreis ist in vier Bögen eingeteilt. An den Punkten, die die Bögen unterteilen, stehen die Zahlen 1, 2, 3 und 4. In die Mitte jedes Bogens schreibst du eine Zahl, nämlich die Summe der Zahlen, die an den Endpunkten des Bogens stehen. Dein Kreis ist damit in acht Bögen unterteilt. Dieses Verfahren wiederholst du; die Anzahl der Zahlen verdoppelt sich jedes Mal Wenn dort 32 Zahlen stehen, wie groß ist dann deren Summe? 6 (20 Punkte)

4 Der Kegel Ein Kegel mit Spitze T habe eine Grundfläche mit Radius 1. Der Grundfläche ist ein Quadrat ABCD einbeschrieben. Die Achse des Kegels bildet einen 45 Winkel mit den Linien T A, T B, T C und T D. Eine zur Grundfläche senkrechte Ebene durch AB schneidet den Kegel in einer krummen Linie (einer Hyperbel). T T D A A C B B Wie groß ist der Abstand des höchsten Punktes der krummen Linie zur Grundfläche? 7 (20 Punkte) Summe aufeinanderfolgender Zahlen Die Zahl 30 ist die Summe von vier aufeinanderfolgenden Zahlen ( ) und auch die Summe von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen ( ). Welches ist die kleinste Zahl größer als 30, die die Summe von vier aufeinanderfolgenden Zahlen und auch von fünf aufeinanderfolgenden Zahlen ist? 8 (20 Punkte) Die Bierdeckel Fünf gleich große, runde Bierdeckel liegen so nah beieinander, dass ihre Mittelpunkte ein gleichmäßiges Fünfeck bilden.

5 Um welchen Winkel dreht sich ein sechster, gleichgroßer Bierdeckel, wenn er einmal um die ganze Figur rollt? 9 (20 Punkte) Die Zahlenmauer Die folgende Zahlenmauer muss so ausgefüllt werden, dass die Zahl, die auf einem Stein steht, stets das Produkt der beiden unmittelbar darunter stehenden Zahlen ist (ausgenommen Zahlen der untersten Reihe). z Wie viele End-Nullen hat die oberste Zahl z? 10 (20 Punkte) Die Preisübergabe Die Preisübergabe bei einem Mathematikwettbewerb verläuft folgendermaßen. Erst werden

6 alle Preise es sind mehr als 111 gleichmäßig auf 3 Körbe verteilt, wobei ein Preis übrig bleibt. Das Gewinnerteam bekommt den gesamten Inhalt eines Korbs, der übrigbleibende Preis wird unter dem Publikum verlost. Anschließend wird der Inhalt der übriggebliebenen 2 Körbe wieder auf 3 Körbe verteilt, wobei wieder ein Preis übrig bleibt. Das Team, das Zweiter geworden ist, bekommt nun den Inhalt eines Korbes, und der übriggebliebene Preis wird wieder unter dem Publikum verlost. Schließlich wird der Inhalt der übrigen 2 Körbe auf 3 Körbe verteilt, wobei wiederum ein Preis für das Publikum übrig bleibt. Die Teams, die Dritter, Vierter und Fünfter geworden sind bekommen jeweils den Inhalt eines Korbes. Wie viele Preise bekommt das Gewinnerteam mindestens? 11 (30 Punkte) Das Sechseck Die hier unten abgebildete Figur zeigt ein konvexes Sechseck, das einem gleichseitigen Dreieck einbeschrieben ist und das selbst aus 22 gleichseitigen Dreiecken besteht. Mit konvex ist gemeint, dass das Sechseck nur 120 Winkel hat. Wie groß ist der Umfang eines konvexen Sechsecks, das aus 111 Dreiecken mit Seitenlänge 1 cm gebildet werden kann? 12 (30 Punkte)

7 Das Gebäude Ein Gebäude, dessen Grundriss hier unten abgebildet ist, muss mit Überwachungskameras gesichert werden. Dies muss so geschehen, dass in jedem horizontalen Gang und jedem vertikalen Gang genau eine Kamera steht. Die möglichen Platzierungen für einen 4 4 Grundriss sind folgende: und für ein 5 5 Grundriss: Wie viele Platzierungen sind für den obigen 8 8 Grundriss möglich? 13 (20 Punkte) Das Spiegelkabinett In einem quadratischen Spiegelkabinett von 10 m 10 m befinden sich in einer Wand Öffnungen, die wir mit den Buchstaben A bis J bezeichnen. Die Öffnungen sind einen halben Meter breit und haben einen Zwischenabstand von einem halben Meter. Die drei anderen Wände und die Räume zwischen den Öffnungen sind komplett mit Spiegeln versehen. Nun wird ein Laserstrahl von der Ecke bei A mit einer Steigung von 50/59 losgeschickt.

8 A B C D E F G H I J Aus welcher Öffnung tritt der Laserstrahl aus? 14 (30 Punkte) Die Umkehrung Finde alle reellen Zahlen x zwischen 10 und 11, deren Dezimalbruchentwicklung nach dem Komma die gleiche ist wie die Dezimalbruchentwicklung des Kehrwertes 1 x. 15 (30 Punkte) Der kürzeste Weg Gegeben ist ein Körper, der aus vier Würfeln der Kantenlänge 1 wie in der Abbildung zusammengesetzt ist.

9 B A Bestimme die Länge des kürzesten Weges von A nach B auf der Oberfläche des Körpers. 16 (30 Punkte) Fähren Zwei Fähren eines Fährdienstes beginnen auf einem Fluss gleichzeitig die Überfahrt von direkt gegenüberliegenden Anlegestellen. Fähre 1 ist etwas schneller als Fähre 2. Fähre 1 legt von A ab, Fähre 2 von B. Die Boote begegnen sich 155 m von B entfernt und warten 12 Minuten an ihren Anlegestellen bis sie zurückfahren. Bei der Rückfahrt begegnen sie sich 85 m von A entfernt. Wie breit ist der Fluss? 17 (20 Punkte) Das Quadrat

10 Welchen Flächeninhalt hat das kleine (dunkle) Quadrat, wenn das große Quadrat die Seitenlänge 1 hat? 18 (30 Punkte) Die Oberfläche Zeichnet man von den vier Ecken eines Quadrats mit Seitenlänge 1 aus jedes Mal einen Kreisbogen, der die beiden benachbarten Eckpunkte verbindet, so entstehen in dem Quadrat neun Gebiete.

11 Wie groß ist der Flächeninhalt des mittleren, in der Abbildung grau gekennzeichneten Gebietes? 19 (30 Punkte) Regen Fünf Menschen sprechen über das Wetter der vergangenen fünf Tage. A, B, C und D stellen jeweils zwei Behauptungen auf, Person E stellt eine Behauptung auf. A: Montag hat es geregnet. Dienstag auch. B: Die Behauptungen von A sind nicht beide wahr. Mittwoch hat es geregnet. C: Eine Behauptung von B ist nicht wahr. Donnerstag hat es geregnet. D: Eine Behauptung von C ist nicht wahr. Freitag hat es geregnet. E: Eine Behauptung von D ist nicht wahr. Insgesamt sind das neun Behauptungen. Höchstens zwei davon sind nicht wahr. An welchen Tagen (Mo, Di, Mi, Do, Fr) hat es geregnet? 20 (30 Punkte) Die Ecke Die Winkelhalbierende CP des Innenwinkels an der Ecke C des Dreiecks ABC ist gleich lang wie die Winkelhalbierende AQ des Außenwinkels an der Ecke A und ebenfalls gleich lang wie die Seite AC.

12 C A P B Q Wie groß ist Winkel BAC (in Grad)?

13 MATHESTAFFEL 2009 Ausarbeitung 1 Wir benennen erst die Gebiete wie folgt: 2 a b c 1 d e Aus der Tatsache, dass die Summe im linken Kreis und im oberen Kreis dieselbe sein muss, folgt, dass a + b + c + 1 = b + c + d + 2 vereinfacht wird zu a = d + 1. Das ergibt folgende Möglichkeiten: d = 3, a = 4 oder d = 4, a = 5 oder d = 5, a = 6 oder d = 6, a = 7. Aus der Tatsache, dass die Summe im rechten Kreis und im oberen Kreis dieselbe sein muss, folgt ebenso, dass e = b + 1. Das ergibt folgende Möglichkeiten: b = 3, e = 4 oder b = 4, e = 5 oder b = 5, e = 6 oder b = 6, e = 7. Die überlappenden Kombinationen d = 3, a = 4 und b = 4, e = 5 können nicht gleichzeitig auftreten, weil der Wert 4 nur einmal vergeben werden kann. Auf diese Weise bleiben lediglich folgende Kombinationen übrig: Die Kombination von d = 3, a = 4 mit b = 5, e = 6. Dann ist c = 7 und wir bekommen eine Verteilung, die den Bedingungen entspricht, mit der Summe 17. Die Kombination von d = 5, a = 6 mit b = 3, e = 4 ist das Spiegelbild und ergibt dieselbe Summe. Die Kombination von d = 3, a = 4 mit b = 6, e = 7. Dann ist c = 5 und wir bekommen eine Verteilung, die den Bedingungen entspricht, mit der Summe 16. Die Kombination von d = 6, a = 7 mit b = 3, e = 4 ist das Spiegelbild und ergibt dieselbe Summe.

14 Die Kombination von d = 4, a = 5 mit b = 6, e = 7. Dann ist c = 3 und wir bekommen eine Verteilung, die den Bedingungen entspricht, mit der Summe 15. Die Kombination von d = 6, a = 7 mit b = 4, e = 5 ist das Spiegelbild und ergibt dieselbe Summe. 2 Die beiden kleinen, in der Figur gekennzeichneten Dreiecke sind offfensichtlich kongruent mit den Kathetenlängen 1 und x. 1 x x y 1 Einerseits gilt y = x+ 2 andererseits folgt aus dem Satz des Pythagoras, dass x 2 = y Wenn wir die erste Gleichung in die zweite einsetzen, dann erhalten wir x 2 2x = y 2 = x 2 + 1, also 2x 2 = 1, also x = Die Höhe des Dreiecks ist also 1 der Höhe 4 des Rechtecks, und die zwei Dreiecke oben und unten ergeben 1 des Flächeninhaltes des 4 Rechtecks. 3 Da die Anzahl der Schachzüge mit dem Springer abhängig ist von der Ausgangsposition des Springers, kannst du die Ausgangsposition in fünf Klassen einteilen. Siehe untenstehende Abbildung: 8 A B C C C C B A 7 B C D D D D C B 6 C D E E E E D C 5 C D E E E E D C 4 C D E E E E D C 3 C D E E E E D C 2 B C D D D D C B 1 A B C C C C B A a b c d e f g h

15 Von einer Position Typ A sind zwei Züge möglich, von der Position von Typ B sind 3 möglich, von Typ C aus 4, von Typ D aus 6 und von Typ E aus 8. Es sind also insgesamt = 336 Schachzüge möglich. 4 Die Länge von DF ist gleich der von AE, die Länge von IH ist gleich der von EJ und die Länge von ML ist gleich der von JK usw. Die gesamte Länge der rechten Seiten der grauen Dreiecken ist gleich der Länge von AC, nämlich 8 cm. Genauso ist die gesamte Länge der linken Seiten gleich der Länge von BC, nämlich 13 cm. Schließlich ist die gesamte Länge der oberen Seiten gleich der Länge von AB, also 12 cm. Der gesamte Umfang der grauen Dreiecke ist also gleich dem Umfang des Dreiecks ABC, nämlich 33 cm. 5 Die Summe der Zahlen in der Mitte eines Bogens ist stets das Doppelte der Summe der Zahlen an den Endpunkten des Bogens. Jeder Endpunkt wird zwei Mal gebraucht. Eine Ausführung des Verfahrens verdreifacht also die Summe. So ist beispielsweise = 20 das Doppelte von = 10, und = 30. Wir müssen das Verfahren drei Mal wiederholen, um 32 Zahlen zu bekommen. Danach ist die Summe = Die erste Abbildung hier unten zeigt eine Draufsicht des Kegels. Hier ist M der Mittelpunkt des Kreises, und V der Fußpunkt der Senkrechten von M auf AB. Es ist deutlich, dass die Länge von MV gleich ist, da die Länge von ME gleich 1 ist. Die zweite Abbildung ist eine Seitenansicht. Hier ist die Linie V H die Seitenansicht der Hyperbel mit H als höchstem Punkt. Es ist klar, dass die Länge von VH gleich der ist von EV, und somit ist der Unterschied der Längen von EM und V M 1 und 2, also ist der Abstand 1 2. A D T H E V M E V M B C 7 Die Summe vier aufeinanderfolgender Zahlen, beginnend mit m ist m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3) = 4 m + 6. Die Summe fünf aufeinanderfolgender Zahlen, beginnend mit n ist n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4) = 5 n+10. Wir suchen also natürliche Zahlen m und

16 n mit 4 m = 5 n + 4. Hieraus geht hervor, dass 5 n und damit n ein Vielfaches von 4 ist, also n = 4 k, wobei k eine natürliche Zahl ist: Die Summen müssen dann beide 20 k + 10 ergeben. Die in der Aufgabenstellung als Beispiel gegebenen Reihen ergeben sich für k = 1. Mit k = 2 erhält man die Summe 50 = = Wir benennen die Mittelpunkte der fünf festen Bierdeckel und den Mittelpunkt des losen sechsten Bierdeckels in seiner Anfangsstellung wie auch in der Stellung, die entsteht, wenn er soweit gerollt ist, dass er den nächsten Bierdeckel berührt. Y X D E C A B Die Winkel des Fünfecks betragen alle 108. Also auch speziell EDC = 108. Da das Dreieck CDX gleichseitig ist, ist CDX = EDY = 60. Daraus folgt, dass XDY = 132 ist. Das ist der Winkel des Bogens der Berührpunkte um D. Er ist in der Abbildung dick eingezeichnet. Dies ist der Winkel, um den der Kreis mit Mittelpunkt X um D gedreht wird, ohne selbst abzurollen. Nun rollt der Kreis um X zusätzlich auf dem dick eingezeichneten Bogen ab, so dass sich der Drehwinkel verdoppelt. Somit erhalten wir insgesamt einen Winkel von = = Das folgende Diagramm zeigt die Anzahl des Faktors 5 auf jedem Platz:

17 Und das folgende Diagramm zeigt die Anzahl des Faktors 2 auf jedem Platz: Wir sehen, dass 70-mal der Faktor 5 in z vorkommen und mindestens genauso oft der Faktor Bezeichne die gesamte Anzahl der Preise mit p 0, mit m 0 die Anzahl der Preise pro Korb in der ersten Runde, usw. Dann muss gelten: p 0 = 3 m p 1 = p 0 m 0 1 = 3 m p 2 = p 1 m 1 1 = 3 m Daraus folgt, dass 2 m 1 = 3 m und 2 m 0 = 3 m und somit m 0 = 9 4 m gelten muss. Weil m 0 eine natürliche Zahl ist, muss es eine natürliche Zahl k geben mit m 2 = 4 k + 3. In diesem Fall ist m 0 = 9 k + 8 und p 0 = 27 k Die kleinste Zahl größer 111 in dieser Form ist 133, und das erhält man für k = 4. Das Gewinnerteam bekommt dann m 0 = 44 Preise. 11

18 Jedes solcher Sechsecke kann man aus einem gleichseitigen Dreieck durch das Abschneiden von drei Stücken, die selbst auch gleichseitige Dreiecke sind, erzielen. Umgekehrt kann man aus solch einem Sechseck wieder ein gleichseitiges Dreieck machen, indem man drei gleichseitige Dreiecke hinzufügt. Wenn wir die Längen der Seiten von den abgetrennten Stücken mit a, b und c und die des großen Dreiecks n mit bezeichnen, dann muss gelten: n 2 a 2 b 2 c 2 = 111 und außerdem a + b < n, a + c < n und b + c < n. Das ergibt zwei Lösungen: n = 12, a = 4, b = 4, c = 1 (und Vertauschungen) n = 12, a = 5, b = 2, c = 2 (und Vertauschungen) Beide Lösungen ergeben den Umfang Wir fragen uns, auf wie viele Weisen die Kameras für einen Grundriss desselben Typs zu platzieren sind. Benenne die Anzahl. In der letzten Reihe muss eine Kamera stehen und zwar entweder in der letzten Spalte, wie in der linken Abbildung, oder in der vorletzten Spalte, wie in der rechten Abbildung. Im ersten Fall müssen n 1 Kameras auf einem (n 1) (n 1) Grundriss derselben Sorte verteilt werden. Das kann auf F (n 1) Arten geschehen. Im zweiten Fall kann der Platz rechts unten nur bewacht werden, wenn eine Kamera in der letzten und eine in der vorletzten Reihe steht. Es müssen dann noch n 2 Kameras auf einem (n 2) (n 2) Grundriss derselben Sorte verteilt werden. Das kann auf F (n 2) Arten geschehen. Aus der oben genannten Schlussfolgerung geht hervor, dass F (n) = F (n 1) + F (n 2) gelten muss. Die Abbildungen in der Aufgabestellung zeigen, dass F (5) = F (4) + F (3) = = 8. Die folgenden Werte sind somit F (6) = F (5) + F (4) = = 13, F (7) = F (6) + F (5) = = 21 und F (8) = F (7) + F (6) = = 34. Dies sind die berühmten Fibonacci-Zahlen. 13 Anstatt den Lichtstrahl zu spiegeln ist es einfacher ihn hindurch gehen zu lassen, dann das Kabinett mit seinem Spiegelbild aufzufüllen wie in der folgenden Zeichnung gezeigt:

19 A B C D E F G H I J A B C D E F G H I J Der durchgehende Lichtstrahl hat die Gleichung y = 50 x; er verlässt das Spiegelkabinett, 59 falls y = 2 10 m ist. Das ist der Fall für x = m = 23, 6 m. Das bedeutet, dass nach 50 3-facher Spiegelung der Strahl in einem Abstand von 3,60 m zur Anfangsecke austritt. Da dies zwischen 3,5 und 4 Metern liegt, entspricht dies Öffnung D. Bemerkung: Man könnte natürlich auch zunächst das ganze erste Spiegelkabinett an der Winkelhalbierenden y = x spiegeln. Dann hat der Strahl die Steigung 59. Weiteres Vorgehen 50 wie oben liefert dann obiges Ergebnis, das man vielleicht dann weniger formal sondern eher visuell ermitteln kann. 14 Weil x größer als 1 ist, liegt 1 zwischen 0 und 1. Da x zwischen 10 und 11 liegt, ist x 10 x die Zahl zwischen 0 und 1 mit derselben Dezimalbruchentwicklung. Es muss also 1 = x 10 x gelten. Daraus folgt x 2 10x 1 = 0. Mit der p-q-formel erhalten wir nun die zwei Lösungen , wobei 5 26 negativ ist liegt tatsächlich zwischen 10 und So wie die unten stehende Abbildung zeigt, gibt es einen Weg der Länge 3 2, indem drei Mal eine Seitenfläche diagonal überquert wird, erst vorne, dann auf der Seite, zum Schluss hinten.

20 B A Die Begründung dafür, dass es keinen kürzeren Weg gibt, ist komplizierter da man einige Fallunterscheidungen zu machen hat, was hier aber wegen der Kürze der Zeit nicht verlangt war. 16 Eine Lösung besteht darin, das Verhältnis der Geschwindigkeiten zu betrachten. Die Wartezeit am Kai spielt keine Rolle, man kann die Uhr dann sozusagen anhalten. Bezeichne b für die Breite des Flusses in Metern. Im Moment des ersten Treffens hat das erste Boot b 155 Meter zurückgelegt und das zweite Boot 155 Meter. Das Verhältnis der Geschwindigkeiten ist also b 155. Im Moment des zweiten Treffens hat das erste Boot 2b 85 Meter 155 zurückgelegt und das zweite Boot b + 85 Meter. Das Verhältnis der Geschwindigkeiten ist. Da konstante Geschwindigkeiten vorausgesetzt sind, erhält man die Gleichung: also 2b 85 b+85 Da b > 0, muss b = 380 sein. (b 155) (b + 85) = 155 (2b 85) oder b 2 380b = 0 17 Nicht nur die Strecken AB und AD haben die Länge 1 sondern auch die Strecke AE. Nach Pythagoras hat die Strecke AC die Länge 2. Damit ist die Länge von CE 2 1.

21 C B E G D A C H F E Gleichermaßen haben nicht nur F E und F G die Länge 2 1, sondern auch die Strecke F H. Nach Pythagoras hat damit die Strecke F C die Länge 2 ( 2 1) = 2 2. Damit beträgt die Länge von CH Der Flächeninhalt des kleinen Quadrates ist somit (3 2 2) 2 = Der höchste der vier Schnittpunkte hat den Abstand 1 zu den beiden untersten Eckpunkten des Quadrates und bildet mit ihnen ein gleichseitiges Dreieck. Siehe hierzu die linke Abbildung. y z y z x z y z y Die Höhe des Dreiecks ist und dessen Flächeninhalt Ein entsprechendes Kreissegment mit Winkel 60 hat den Flächeninhalt 1 π. Somit kommen wir zu folgenden Glei- 6

22 chungen: x + 2y + z = 2 π = π 3 3 4, x + 3y + z = π, x + 4y + 4z = 1. 4 Ziehen wir die erste Gleichung von der zweiten und der dritten ab, dann erhalten wir: y + z = 1 12 π , 2y + 3z = 1 3 π Noch ein Mal abziehen ergibt z = π und y = π und also x = π Wir erstellen ein Schema. Wir nennen die neun Behauptungen A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2 und E. Für eine Behauptung Xn bedeutet, dass sie wahr ist, und XnJ, dass sie falsch ist. Es gibt nun die folgenden Möglichkeiten: EJ D1N, D2J C1J, C2J B1N, B2J A1J, A2J B1J, B2N A1N A2N D1J, D2N C1J, C2N B1N B2N C1N, C2J B1J, B2J A1N A2N EN D1J, D2J C1J, C2N B1N B2N C1N, C2J B1N, B2J A1N A2N Man sieht, dass jede Zeile abgesehen von der ersten mehr als zwei unwahre Aussagen enthält. Also sind nur B1 und D1 falsch, d.h. es hat an allen fünf Tagen geregnet. 20 Aus der Gleichschenkeligkeit von ACP folgt, dass P AC = CP A. Beide Winkel sind in der untenstehenden Abbildung mit α bezeichnet. Ferner sei CBA = β, QAB = ξ, BQA = η und BCP = P CA = γ.

23 C γ γ A α α β ξ ξ P B η Q Dann erhält man folgende Gleichungen : 2α + γ = π α + 2γ + β = π η = 2γ β = ξ + η α + 2ξ = π Aus der 3. Gleichung folgt 2α + γ = π α + 2γ + β = π β = ξ + 2γ α + 2ξ = π und dann aus der 3.Gleichung 2α + γ = π α + 4γ + ξ = π α + 2ξ = π

24 Hieraus folgt 2α + γ = π α + 8γ = π und somit 15α = 7π. Dies ergibt im Bogenmaß α = 7 π, β = 6 π, γ = 1 π, ξ = 4 π, η = im Gradmaß α = 84, β = 72, γ = 12, ξ = 48 und η = π,