6.1.7 Die Elementarladung

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1 1 Vorlesung xerimentalhysik I am und J. Ihringer Die lementarladung Im Millikan Versuch zeigt die Beobachtung der Sinkgeschwindigkeit von Öltröfchen in einem geladenen Kondensator, daß sich bei kontinuierlicher rhöhung der Sannung das Bewegungsmuster der Tröfchen unstetig ändert. Man erkennt daraus, daß die Ladungen auf den Tröfchen offenbar kleine Vielfache einer lementarladung sind. uf die elektrostatisch aufgeladenen Tröfchen wirkt einerseits die Coulomb Kraft, andererseits die Schwerkraft. ntsrechende Wahl der Sannung am Kondensator bringt die Tröfchen bei Kräftegleichheit zum Schweben. Die Sannung U am Kondensator und der Plattenabstand d zeigen, wie aus den folgenden Gleichungen ersichtlich wird, die Ladung der Tröfchen mit Masse m. Formel nmerkung Kräfte auf das geladene Tröfchen: F C = q Coulomb-Kraft F S = m g Schwerkraft Das Tröfchen schwebt, wenn es kräftefrei ist: F C + F S = Die Summe der Kräfte ist Null, daraus folgt: Ladung des Tröfchens, wenn am Kondensator mit Plattenabstand d die Sannung U m g m g d q = = U anliegt. F C F S q Schema des Millikan Versuchs Tabelle 1 Zum Millikan Versuch Messung des Radius der Tröfchen mit Hilfe des Stokesschen Gesetzes Zur quantitativen Bestimmung von q nach dem Millikan Versuch fehlt noch die Masse m der Tröfchen. Bei nnahme von Kugelgestalt und bekannter Dichte ist also der Radius r der Teilchen zu bestimmen. Dieser wird, in einer klassischen nwendung des Stokesschen Gesetzes, aus der Sinkgeschwindigkeit v in Luft ermittelt. Bei Normaldruck ist die Reibungskraft F R roortional zur Sinkgeschwindigkeit v und dem Kugelradius r, es gilt also das Stokessche Gesetz im Medium der Viskosität η. Zur genauen Messung muß auch der uftrieb der Öltröfchen mit Dichte ρ Öl und Volumen V in Luft der Dichte ρ Luft berücksichtigt werden. Bei konstanter Sinkgeschwindigkeit bewegen sich die Tröfchen kräftefrei, aus dem Gleichgewicht der Kräfte folgt der Radius der Tröfchen.

2 2 Formel Mechanische Kräfte auf das Tröfchen: F R = 6πrηv Reibungskraft F = ρ g V uftriebskraft Luft nmerkung FS = ρ Öl g V Gewichtskraft Bei konstanter Sinkgeschwindigkeit gilt: F R + F + FS = Das Teilchen bewegt sich kräftefrei, die 6 π rηv ρ Luft g V + ρ g V = Summe der Kräfte ist Null r 2 4π V = r Öl 9ηv = 2g ( ρ ρ Öl 4π m = r ρ öl Luft ) Wird das Volumen des Tröfchens, in bhängigkeit vom Radius, eingesetzt, dann folgt: Radius r, daraus folgt die Masse des Tröfchens. Damit kann die Ladung aus dem Gleichgewicht von Coulomb- und Schwerkraft berechnet werden. Tabelle 2 Bestimmung des Radius der Tröfchen aus ihrer Sinkgeschwindigkeit. Die räzise Messung ergibt für das kleinste Vielfache aller Ladungen: e = (46) 1-19 C Betrag der lementarladung Versuch 1 Modell des Millikan Versuchs. ine Kugel aus Silberaier wird in einer "Potentialmulde" im Feld eines Plattenkondensators zum Schweben gebracht. Das zunächst homogene Feld zwischen den Platten des Kondensators wird bei geeigneter Position einer geerdeten Sitze so gestört, daß die geladene Kugel in Schwebe gehalten wird Dielektrizitätskonstante, Polarisation und Suszetibilität Dielektrika sind isolierende Stoffe. Bringt man ein Dielektrikum zwischen die Platten eines Kondensators, dann erhöht sich die Kaazität bezüglich C vak auf C = ε C vak Die Material abhängige Dielektrizitätskonstante ε zeigt das Verhältnis der durch inschieben des Stoffes erhöhten Kaazität zu der im Vakuum. Versuch 2 in Kondensator wird statisch aufgeladen und dessen Sannung mit einem lektrometer überrüft. Wird ein Dielektrikum eingebracht, dann sinkt die Sannung, wegen U = / C steigt also die Kaazität C. Bei entfernen des Dielektrikums steigt sie auf ihren ursrünglichen Wert.

3 Kondensator in Luft Kondensator mit Dielektrikum U = C vak 1 U = ε C vak Tabelle Sannung bei konstanter Ladung im Kondensator in Luft und mit Dielektrikum Die bnahme der Sannung bei unveränderter Ladung bzw. Ladungsdichte σ auf den Platten zeigt, daß die Feldstärke im Kondensator auf / ε abgesenkt wird. Offensichtlich vak entsteht im Dielektrikum ein Feld ol vak durch Ladungen auf dessen Oberfläche, das dem des Plattenkondensators entgegengerichtet ist. Die Ladungen σ werden durch Polarisation der tome oder Moleküle des Dielektrikums im Feld des Kondensators erzeugt: vak σ σ vak ε ol bbildung 1 Ladungsdichten und Feldstärken im Plattenkondensator mit Dielektrikum Mit dem Zusammenhang zwischen Ladung und Feldstärke im Plattenkondensator gilt dann: = σ vak = Feldstärke im Vakuum ε = ol σ ε = vak + ol vak ε σ σ σ = = ε ε ε Tabelle 4 Feldstärken und Ladungsdichten im Dielektrikum Von den Oberflächenladungen des Dielektrikums erzeugte Feldstärke, zur äußeren entgegengerichtet ffektive Feldstärke im Dielektrikum, Suerosition der Felder von den Ladungen auf den Platten und den induzierten Ladungen auf der Oberfläche des Dielektrikums

4 Polarisation und elektrische Diole Zur Berechnung der Kaazität im Kondensator mit Dielektrikum wurden sowohl für die Leiterlatten als auch für den Isolator Oberflächenladungen angesetzt. Zwischen beiden gibt es aber einen wichtigen Unterschied: Freie Ladungen, wie die an der Oberfläche der leitenden Kondensatorlatten, gibt es in Isolatoren nicht. Die Ladungstrennung in Isolatoren besteht in der rzeugung oder usrichtung von olaren Bausteinen. Polare Baugruen sind elektrische Diole, auf die in einem homogenen elektrischen Feld ein Drehmoment wirkt, das sie in Richtung der Feldstärke dreht. Beschleunigungen, die eine Translation bewirken, treten keine auf. In inhomogenen Feldern variiert dagegen die Dichte der Feldlinien: uf den Diol wirken dann beschleunigende Kräfte, weil seine unterschiedlich geladenen nden in Gebieten unterschiedlicher Feldstärken liegen. = l lektrisches Diolmoment, Ladung Vektor zwischen den Ladungen l ±, Im homogenen elektrischen Feld wirkt auf einen elektrischen Diol ein Drehmoment: l F = T = = l Tabelle 5 Drehmoment auf einen elektrischen Diol im homogenen Feld Die Feldstärke Pol im Isolator wird von der Flächenladung σ auf dem Dielektrikum erzeugt. Die Flächenladung entsteht aus atomaren Diolen. Zur Verbindung der makroskoischen Feldstärken mit den atomare Diolen wird die vektorielle Polarisation eingeführt, ihr Betrag zeigt einerseits die Flächenladung σ auf dem Dielektrikum, andererseits ist er die Summe der atomaren Diolmomente: P = σ P = P = σ = ε ol d d = = d V, d, V P = n n Der Betrag der Polarisation zeigt die Flächenladung auf dem Dielektrikum Deshalb erzeugt die Polarisation im Dielektrikum die Feldstärke Die Polarisation ist -formal- ein auf die Volumeneinheit bezogenes elektrisches Diolmoment Oberfächenladung auf dem Dielektrikum ol Fläche, bstand, Volumen im Plattenkondensator Die Polarisation ist die Summe der atomaren Diolmomente nzahl der Diolmomente in einer Volumeneinheit Tabelle 6 Definition der Polarisation und ihre Verbindung zu Diolen auf atomarer Skala

5 5 Diole auf atomarer Skala bbildung 2 Die Oberflächenladungen auf Dielektrika entstehen aus atomaren Diolen, deren Ladungen sich im Inneren des Materials aufheben. Der große Zylinder reräsentiert das Dielektrikum, die kleinen die Diole auf atomarer Skala. Versuch Kraft auf einen Wasserstrahl. in statisch geladener Stab induziert Diole im Wasser, diese streben zum geladenen Stab. Versuch 4 Kraft auf Luftblasen in Öl. ine in einem Ölbad befindliche Sitze wird aufgeladen. Im Öl entstehen Diole, die zur Sitze streben. Die Luftblasen stören dabei, sie werden von der Sitze weg gedrängt Die dielektrische Suszetibilität Die Möglichkeit, durch ein äußeres Feld die atomaren Diole auszurichten, hängt vom Material ab. in Maß für die mfindlichkeit des Materials gegenüber dem effektiven Feld ist die dielektrische Suszetibilität χ. Sie ist mit der Dielektrizitätskonstanten ε verknüft: P = ε χ Definition der Suszetibilität χ ol ol ol P = = χ ε = χ = ε 1 vak ( ε ) = ε = 1 Tabelle 7 Die dielektrische Suszetibilität Folgt aus Def. Polarisation Folgt aus Def. ffektive Feldstärke Zusammenhang zwischen der Dielektrizitätskonstanten und der Suszetibilität Versuch 5 Be- und ntladen eines Kondensators mit unterschiedlichen Materialien als Dielektrikum: Leer, Plastik, BaTiO Die dielektrische Verschiebung ine beim Übergang vom Vakuum in das Dielektrikum stetige Größe erhält man durch Definition der dielektrischen Verschiebung (htt:// D = ε ( ol ) Dielektrische Verschiebung, sie verläuft stetig beim Übergang vom Vakuum in das Dielektrikum

6 Stoffklassen mit unterschiedlichen elektrischen igenschaften Dielektrische Stoffe, Verschiebungsolarisation In dielektrischen Stoffen wird die Polarisation nur durch vom Feld induzierte Diole erzeugt. In den neutralen tome werden durch das elektrische Feld die Schwerunkte von ositiver und negativer Ladung verschoben. Dieser Mechanismus wird deshalb als Verschiebungsolarisation bezeichnet. Die Größe des ffekts ist charakteristisch für das Material. Die Verschiebungsolarisation folgt dem Feld unmittelbar, sie folgt sogar den schnell wechselnden Feldern einer Lichtwelle und ist damit für den Brechungsindex verantwortlich. Die molekularen Diolmomente sind mit der molekularen Polarisierbarkeit α zur Feldstärke roortional. us ihnen folgt die makroskoische Suszetibilität χ bzw. die Dielektrizitätskonstante ε. In Materialien hoher Dichte wirkt auf die Teilchen im Innern des Dielektrikums die effektive Feldstärke eff. Das ist in der Clausius Mosotti Beziehung berücksichtigt. P = ε χ Makroskoische Polarisation und Suszetibilität Die makroskoische Polarisation ist die Summe aller mikroskoischer Polarisationen bei n Diolen in der Volu- P = n meneinheit Mikroskoische Polarisation und molekulare Polarisierbarkeit = α Setzt man die auf unterschiedlichen Größenskalen formulierte Polarisationen gleich, dann folgt: n α = ε χ ε χ Die makroskoische Suszetibilität ist roortional zur α = n molekularen Polarisierbarkeit Die Teilchenzahl wird durch die vogadrokonstante N, N N ρ n = = die Masse M mol eines mols und das Molvolumen V mol Vmol M mol ausgedrückt. s folgt die Beziehung für Dielektrika geringer Dichte in der folgenden Tabelle. Tabelle 8 Makroskoische und molekulare Polarisierbarkeit bei Verschiebungsolarisation Molekularer Diol Feldrichtung bbildung Schema der ntstehung der Diole bei Verschiebungsolarisation. Man beachte, 14 daß in Wirklichkeit der Durchmesser für den Kern ca. 1 m, für die lektronenhülle ca. 1 1 m beträgt

7 7 Stoffklasse Molekulare Polarisierbarkeit α und Feldstärke Molekulare Polarisierbarkeit α und makroskoische Dielektrizitätskonstante ε: Dielektrika geringer Dichte Jedes Teilchen sieht die Vakuum Feldstärke, z.b. in Gasen α M 1 ( ε 1) = α N = ρ ε Dielektrika hoher Dichte Die Teilchen sehen ein effektives Feld im Innern des Dielektrikums = α ff Clausius Mosotti Beziehung ε 1 M N = α ε + 2 ρ ε 1 < ε < 1 Tabelle 9 Makroskoische Dielektrizitätskonstante ε und molekulare Polarisierbarkeit α in Dielektrika Parelektrische Stoffe, Orientierungsolarisation In diesen Materialien sind olare Moleküle vorhanden, die durch das äußere Feld ausgerichtet werden, z. B. in Wasser, lkoholen, Säuren. Der usrichtung wirkt die Wärmebewegung störend entgegen. Während die Verschiebungsolarisation dem Feld unmittelbar folgt, hinkt die Orientierungsolarisation dem Feld nach, um so mehr, je höher viskos das Medium ist. Bei allen Stoffen liefert aber die Verschiebung der Ladungsschwerunkte, wie in den Dielektrika, einen zusätzlichen nteil zur Polarisation. In arelektrischen Stoffen wird bei genügend hohen Feldstärken die Sättigung erreicht, wenn nahezu alle Diole ausgerichtet sind. Tyisch für diese Stoffklasse ist die von der Temeratur abhängige Suszetibilität, die durch das Curie Gesetz beschrieben wird. Stoffklasse Polarisierbarkeit 1 ~ T Curie Gesetz für die Suszetibilität Parelektrisch P Sättigung χ = n( α + ) kt 2 1 < ε < 1 Tabelle 1 Polarisierbarkeit in Stoffen mit Orientierungsolarisation (arelektrische Stoffe).

8 Ferroelektrische Stoffe Ferroelektrika sind kristalline Materialien, in denen es ermanente Diole gibt, die in einzelnen Bereichen schon ausgerichtet sind. In diesen Domänen genannten Bereichen klaen die Diole bei Wirkung eines äußeren Feldes um, allerdings verhaken sich immer einige Domänen. Die Polarisation hängt deshalb nicht nur von der Feldstärke ab sondern auch davon, ob die Feldstärke von höheren oder niederen Werten angefahren wird. Diese igenschaft bezeichnet man als Hysterese. Ferroelektrika sind Stoffe, in denen die Dielektrizitätskonstante die höchsten Werte erreicht. Oberhalb der Curie Temeratur verschwindet die sontane Polarisation, die damit verbundene Änderung der kristallinen Struktur zeigt, daß es keine ausgerichteten olaren Bausteine mehr gibt. P Dielektrizitätskonstante Ferroelektrika Hysterese < ε 5 1 < 1 Restolarisation Bei Materialien mit Hysterese gibt es, nach vorangegangener Polarisation im Feld, eine ermanente Restolarisation auch ohne Feld. In lektret genannten Materialien wird diese igenschaft genutzt, sie sind das elektrische Pendant zum Permanentmagneten. lementarzelle des BaTiO Kristalls bei T > T C. Die Schwerunkte der ositiven und negativen Ladungen liegen in einem Punkt, makroskoisch erscheint die Struktur isotro. Bei T < TC verschiebt sich der Schwerunkt der negativen gegenüber dem der ositiven Ladung. Die Zelle wird zum elektrischen Diol, der sich im Feld ausrichten kann. Tabelle 11 Kristallbau im Bariumtitanat. tome an den cken: Ba 2+, auf den Flächenmitten O 2-, in der Würfelmitte Ti 4+.

9 9 Versuch 6 Hysterese am BaTiO Versuch 7 lektret: Zunächst warm, dann kalt: In der Kälte bleiben die elektrischen Momente ermanent Piezoelektrischer und yroelektrischer ffekt Bei einigen Kristallen, Turmalin, uarz und Seignette Salz, bewirkt mechanischer Druck Ladungen an den Oberflächen. s gibt olare Baugruen, bei denen im Gleichgewicht die Coulombkräfte zwischen den Diolen durch elastische Kräfte ausgeglichen werden, so daß der ganze Kristall makroskoisch feldfrei ist. Bei Druck wird die Länge des Bauteils geändert. Dadurch wird auch das Gleichgewicht der Ladungen gestört und es entsteht ein elektrisches Feld auf makroskoischer Skala. Bei Umkehrung dieses ffekts bewirkt ein elektrisches Feld eine Längenänderung. Darauf beruht die Wirkungsweise elektro-mechanischer ktoren zur Längenverstellung. Piezoeffekt: ~ l Pyroelektrischer ffekt: ~ T Die Oberflächenladung ist zur Längenänderung roortional Die Oberflächenladung ist zur Temeraturänderung roortional Versuch 8 Das Gewicht bestimmt die Sannung am Piezokristall Versuch 9 nwendung: Gasanzünder Die bei diesen ffekten entstehenden Ladungen werden allerdings nach einiger Zeit durch die nlagerung von Ionen aus der Umgebung ausgeglichen. Versuch 1 Hüfender Grieß: Die Längenänderung bei Betrieb eines Seignettesalz-Kristalls mit Wechselsannung wird sichtbar. Umkehrung des ffekts: Dieser ufbau dient als Mikrohon.