Bewertungs praktiker

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1 Bewertungs praktiker F a c h i n f o r m a t i o n e n z u B e w e r t u n g s f r a g e n 2 Juni Beiträge Dr. Michael Hierzenberger Der White-Test als Gütekriterium bei der Bestimmung von Betafaktoren Eine empirische Untersuchung am Fallbeispiel der österreichischen Verbund AG 50 Die Ermittlung von Betafaktoren nimmt im Rahmen von Unternehmensbewertungen eine maßgebliche Rolle ein. Der White-Test bietet dem Praktiker hierbei eine einfache Möglichkeit, die Effizienz von Betafaktoren bei Anwendung des gewöhnlichen Marktmodells explizit zu kontrollieren. Das Potenzial dieses Tests, theoretische Anforderung und praktische Umsetzung zu vereinen, wird an einem Fallbeispiel des größten österreichischen Elektrizitätsunternehmens, der Verbund AG, dargestellt. WP StB Stefan Schöniger / Michael Stange, CFA Ermittlung des richtigen Börsenkurses bei der Festlegung einer Barabfindung 58 Bei der Bemessung einer Barabfindung im Rahmen aktien- oder umwandlungsrechtlicher Strukturmaßnahmen stellt nach höchstrichterlicher Rechtsprechung der Börsenkurs einer Aktiengesellschaft regelmäßig die Untergrenze dar. In der Bewertungspraxis wird hierzu oftmals auf den Mindestpreis nach WpÜG- Angebotsverordnung zurückgegriffen. Der Beitrag befasst sich mit den Fragen, ob diese Mindestpreise anhand öffentlich zugänglicher Daten nachgerechnet werden können und wie bei Abweichungen zwischen dem Mindestpreis nach WpÜG-Angebotsverordnung und den öffentlich zugänglichen Daten vorgegangen werden soll. WP StB CVA Dipl.-Kfm. Andreas Creutzmann Net Asset Value in Theorie und Praxis 64 In der deutschen Literatur gibt es wenig Beiträge, die sich mit der Bewertungsmethode des Net Asset Value (NAV) auseinandersetzen. Bei börsennotierten Immobiliengesellschaften kommt diese Bewertungsmethode weit überwiegend zur Anwendung. Der Beitrag zeigt, wo der NAV eingesetzt werden kann und grenzt den NAV vom Ertragswertverfahren ab. Dabei werden Vor- und Nachteile der Bewertungsmethode gezeigt und praktische Anwendungsfragen diskutiert. Editorial 49 Rechtsprechung: Aktuelle Rechtsprechung zur Unternehmensbewertung 70 BETA-FAKTOREN 74 Börsenmultiples 75 AUS DER IACVA 76 Persönlich 80 Kooperationspartner

2 Dr. Michael Hierzenberger Der White-Test als Gütekriterium bei der Bestimmung von Betafaktoren Eine empirische Untersuchung am Fallbeispiel der österreichischen Verbund AG Dr. Michael Hierzenberger (*1981) promovierte 2009 an der Universität Graz im Bereich der Unternehmensbewertung. Er leitet das Controlling und ist Geschäftsführer eines Tochterunternehmens bei einem mittelgroßen österreichischen Energieversorgungsunternehmen. Daneben absolviert er aktuell den 2. Teil des CVA-Examens. I. Einleitung Durch den Betafaktor erfolgt im CAPM die Berücksichtigung des unternehmensspezifischen systematischen Risikos im Zuge der Bestimmung der geforderten Eigenkapitalrendite. Diese Rendite übt als (Bestandteil des) Diskontierungszins(es) für die erwarteten Cashflows maßgeblichen Einfluss auf die Höhe des Unternehmenswerts aus. Betafaktoren werden in der Praxis zumeist auf Grundlage historisch realisierter Aktienrenditen des zu bewertenden Unternehmens bzw. vergleichbarer Unternehmen ( Peer-Group ) ermittelt. Hierfür wird in der Praxis das Marktmodell angewandt: Die Aktienrendite wird gegen einen gewählten Marktindex regressiert. Der Steigungskoeffizient der ermittelten Regressionsgeraden entspricht dem Betafaktor. Diese Vorgehensweise setzt die Erfüllung von Annahmen voraus, welche in der täglichen Bewertungspraxis noch von vielen Bewertungsprofessionals zu oft unberücksichtigt bleiben. 1 Der nachfolgende Beitrag widmet sich der Darstellung, wie die Forderung nach Homoskedastizität der Störvariable des Marktmodells explizit berücksichtigt werden kann, um effiziente Betafaktoren zu ermitteln. Die Darstellung erfolgt nach einer kurzen Erläuterung der theoretischen und methodischen Anforderungen in Kap. II einfach nachvollziehbar am Fallbeispiel der Verbund AG in Kap. III. II. Theoretische Grundlagen 1. Betafaktor Der Betafaktor misst die Veränderung der (historischen) Einzelrendite des Wertpapiers bei Veränderung der (historischen) Marktrendite. Der Betafaktor entspricht dem Quotienten der Kovarianz zwischen der Rendite eines Wertpapiers i und der Rendite des Marktportefeuilles m und der Varianz der Rendite des Marktportefeuilles m: 2 β i = Cov(R i, R m ) σ 2 m Mit: β i Betafaktor von Unternehmen i Cov(R i, R m ) Kovarianz von Wertpapierrendite i und Marktrendite m σ 2 m Varianz der Marktrendite m 2. Marktmodell Die Ermittlung des Betafaktors erfolgt in der Praxis durch Anwendung des Marktmodells, einer einfachen linearen Regression der Aktienrenditen auf die Marktrenditen: 3 R it = α i + β i R mt + u it mit: R it R mt α i β i u it Wertpapierrendite in Periode t Rendite des Marktportefeuilles in Periode t Konstante der Regressionsgeraden Steigung der Regressionsgeraden (Betafaktor) Störvariable des Regressionsmodells für Wertpapier i in Periode t Dem Marktmodell liegen vier Prämissen zugrunde, welche kumulativ erfüllt werden müssen: 4 i) Der Erwartungswert der Störvariable u it ist 0. ii) Die Varianz der Störvariable u it ist konstant (Homoskedastizität). iii) Die Störvariablen u it von zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten sind nicht korreliert. iv) Die Störvariable u it ist normalverteilt. Die Prüfung der Voraussetzung ii) ist Gegenstand der nachfolgenden empirischen Untersuchung in Kap. III, wobei die Prüfung derselben in diesem Beitrag durch Anwendung des White-Tests erfolgt. 3. White-Test Zur Durchführung des White-Tests werden die Residuen des Marktmodells quadriert und auf die Rendite sowie die quadrierte Rendite des 50 BewertungsPraktiker Nr. 2/2013

3 Marktindex regressiert ( Hilfsregression ). 5 Es wird somit getestet, ob die unabhängige Variable (Marktrendite) einen systematischen Einfluss auf die Störvariable u it des Marktmodells ausübt. Die Teststatistik ermittelt sich durch Multiplikation von R² der Hilfsregression mit der Anzahl der verwendeten Datenpunkte (N) der Hilfsregression. 6 Die Rechentechnik soll an nachfolgendem Musterbeispiel gezeigt werden (siehe Tab. 1). Für das Musterbeispiel ergeben sich der nachfolgende Betafaktor sowie das angeführte Bestimmtheitmaß (R²) (siehe Tab. 2). Folgende Residuen sind z.b. bei Nutzung des Datenanalysetools Regression in MS-Excel bekannt (siehe Tab. 3). Unter Verwendung der oben angeführten Residuen der Beta-Regression wird nachfolgende Datentabelle für die Durchführung des White- Tests erstellt (siehe Tab. 4, S.52). MS-Excel gibt nun unter Verwendung obiger Datentabelle und z. B. neuerlicher Anwendung des Datenanalysetools Regression zur Erstellung der Hilfsregression nachfolgende Parameter aus (siehe Tab. 5, S. 52). Tab. 1: Musterbeispiel: Index- und Aktienrenditen Beta-Regression X Y Periode Indexrendite X Aktienrendite Y 1 3,50% 2,80% 2 2,00% 3,00% 3-0,40% -0,10% 4 3,50% 4,30% 5 1,12% -2,00% 6-3,00% -5,00% 7-0,10% -1,20% 8 2,00% 2,50% 9-1,20% -2,00% 10 1,00% -4,00% Tab. 2: Musterbeispiel: Betafaktor und Bestimmtheitsmaß Marktmodell (Beta-Regression) Beta R² 67.27% Tab. 3: Musterbeispiel: Residuen Beobachtung Residuen der Beta-Regression 1-0,41% 2 1,70% 3 1,65% 4 1,09% 5-2,18% 6 0,05% 7 0,17% 8 1,20% 9 0,76% 10-4,03% BewertungsPraktiker Nr. 2/

4 Tab. 4: Musterbeispiel: Basisdaten für die multiple Hilfsregression Hilfsregression X X Y Beobachtung Indexrendite X quadrierte Indexrendite X quadrierte Residuen der Beta-Regression 1 3,50% 0,12% 0,00164% 2 2,00% 0,04% 0,02889% 3-0,40% 0,00% 0,02713% 4 3,50% 0,12% 0,01199% 5 1,12% 0,01% 0,04766% 6-3,00% 0,09% 0,00002% 7-0,10% 0,00% 0,00028% 8 2,00% 0,04% 0,01439% 9-1,20% 0,01% 0,00582% 10 1,00% 0,01% 0,16246% Tab. 5: Musterbeispiel: Regressions-Statistik der multiplen Hilfsregression Regressions-Statistik (MS-Excel) der Hilfsregression Multipler Korrelationskoeffizient 0,452 Bestimmtheitsmaß (R²) 0,204 Adjustiertes Bestimmtheitsmaß -0,023 Standardfehler 0,0005 Beobachtungen (N) 10 Tab. 6: Musterbeispiel: White-Teststatistik White (manuelle Berechnung) White-Teststatistik (R² x N) 2,040 Die Berechnung der White-Teststatistik muss in MS-Excel nun manuell erfolgen (siehe Tab. 6). N x R² sei asymptotisch χ 2 -verteilt, wenn Homoskedastizität angenommen wird. Sofern die ermittelte Teststatistik nun größer als der kritische Wert lt. χ 2 -Tabelle ausfällt, ist die Nullhypothese des Vorliegens von Homoskedastizität zu verwerfen und es ist von Heteroskedastizität auszugehen. Der Autor empfiehlt für Problemstellungen in der Praxis, vergleichbar zu jener in Kap. III dieses Beitrags, mit dem Grenzwert χ 2 2;0.95 ~ 6 zu rechnen. Bezogen auf das dargestellte Musterbeispiel mit einer Testgröße von < 6 bedeutet dies nun, dass die Nullhypothese des Vorliegens vom Homoskedastizität nicht zu verwerfen ist. Hingegen wäre die Folge der Feststellung von Heteroskedastizität, dass der ermittelte empirische Betafaktor zwar noch als erwartungstreu und konsistent, jedoch nicht mehr als effizient und somit varianzminimal, hinsichtlich des wahren Betas, gilt. Hieraus folgt, dass der auf Grundlage der geschätzten Parameter in der Praxis üblicherweise durchgeführte t-test zur Signifikanzprüfung von Beta keine zuverlässigen Aussagen mehr ermöglicht. Im Vorfeld einer rechnerischen Überprüfung kann auch eine optische Analyse Anhaltspunkte liefern, ob Homoskedastizität angenommen werden kann oder nicht. Hierfür ist es erforderlich, entweder die (standardisierten) Residuen des Regressionsmodells grafisch darzustellen oder die Regressionsgerade selbst durch die Messpunkte zu legen. Bei der Darstellung der Residuen sollten bei Annahme von Homoskedastizität diese konstant-symmetrisch um die X-Achse streuen. Bei Verwendung der Regressionsgeraden müssten die Differenzen zwischen der Geraden und den tatsächlichen Messpunkten konstant über die Gerade bleiben. Ein Musterbeispiel für eine solche optische Analyse bei Ver- 52 BewertungsPraktiker Nr. 2/2013

5 Abb. 1: Schematische Darstellung Homoskedastizität und Heteroskedastizität Homoskedastizität (Beispiel) Heteroskedastizität (Beispiel) wendung der Regressionsgeraden ist in Abb. 1 abgebildet. Die ausschließliche Durchführung einer optischen Analyse ist in der Praxis aber oft nicht ausreichend zuverlässig, da die in den Schaubildern dargestellten Strukturen in dieser Klarheit kaum feststellbar sein werden und optische Analyseergebnisse somit überwiegend subjektiv sind. III. Empirische Untersuchung am Fallbeispiel der Verbund AG Als Datenbasis für die empirische Untersuchung wurde die diskrete Aktienrendite der Verbund AG (ISIN: AT ), der größte österreichische Stromversorger und -erzeuger, sowie als Proxy für die Marktrendite der DAX ausgewählt. Die Untersuchungen verwenden sowohl tägliche als auch wöchentliche Renditen des Gesamtzeitraums bis Die Kursentwicklung der Verbund AG sowie des DAX in diesem Zeitraum ist in Abb. 2 dargestellt Ermittlung Betafaktor für Gesamtzeitraum Auf Grundlage der dargestellten Datenbasis wurden zunächst die Betafaktoren der Verbund AG auf Grundlage von täglichen (d) und wöchentlichen (w) Renditen für den Gesamtzeitraum bis ermittelt. Die Ergebnisse sind in Tab. 7, S. 54 dargestellt. Ohne die Durchführung von weitergehenden Tests hinsichtlich der Erfüllung der Forderung nach Homoskedastizität und bei Verwendung von R² und t als einzigem Gütekriterium würde der Schluss nahe liegen, den Betafaktor von 0,54 bis 0,58 festzusetzen. Abb. 2: Kursentwicklung DAX und Verbund AG ( ) 8, , , , /3/2011 4/3/2011 7/3/ /3/2011 1/3/2012 4/3/2012 7/3/ /3/ DAX Verbund AG BewertungsPraktiker Nr. 2/

6 Tab. 7: Beta der Verbund AG für Gesamtzeitraum w d ø Beta R² t Tab. 8: White-Teststatistik für Gesamtzeitraum w d White-Teststatistik White-Test Um nun explizit zu prüfen, ob von Homoskedastizität der Störvariable u it ausgegangen werden kann, wurde wie oben beschrieben der White-Test durchgeführt, dessen Ergebnisse in Tab. 8 dargestellt werden. Die White-Teststatistik für die Stichprobe mit den wöchentlichen Renditen erfüllt die Anforderung zur Beibehaltung der Nullhypothese (Homoskedastizität) lt. Chi-Quadrat-Tabelle (< 6). Dagegen ist dies bei den täglichen Renditen nicht der Fall und es ist von Heteroskedastizität in dieser Stichprobe auszugehen. 3. Sub-Zeiträume: Analyse der Residuenvarianz und Betaermittlung Um zu analysieren, wie sich die festgestellte Heteroskedastizität bei den täglichen Renditen auf die Effizienz des ermittelten Betafaktors auswirkt, wurden die Betafaktoren für die täglichen und zusätzlich auch für die wöchentlichen Renditen für zwei definierte Sub-Zeiträume, das Geschäftsjahr 2011 und 2012, ermittelt. Hierdurch soll analysiert werden, ob auch in den Subzeiträumen Heteroskedastizität vorliegt. Falls dem nicht so ist, könnte auf jene Zeiträume für die Betaschätzung zurückgegriffen werden, in welchen die Forderung nach Homoskedastizität erfüllt ist, um eine effiziente Betaschätzung vornehmen zu können. Die ermittelten Betafaktoren sowie die zugehörigen Gütekriterien R², t und White-Statistik sind in den Abb. 3 und 4 dargestellt. Wie in Abb. 3 ersichtlich, schwankt der ermittelte Betafaktor je nach gewähltem Renditeintervall (d/w) und Berechnungszeitraum (2011, 2012, 11/12) zwischen 0,51 und 0,61. Insbesondere die Stichproben für den Subzeitraum 2011 sowie den Gesamtzeitraum , jeweils auf Basis von täglichen Renditen, weisen sehr hohe White-Teststatistiken aus und bei beiden ist von Abb. 3: Betafaktor und White-Statistik für Sub- und Gesamtzeiträume w 2011-w 2012-d 11/12-w 2011-d 11/12-d Beta White-Statistik BewertungsPraktiker Nr. 2/2013

7 Abb. 4: Parameter zur Modellgüte nach Sub- und Gesamtzeiträumen w 2011-w 2012-d 11/12-w 2011-d 11/12-d R² White-Statistik t(beta) Heteroskedastizität der Störvariable auszugehen. Zugleich weisen diese beiden Modelle auch die geringsten Betafaktoren auf. Um die festgestellte Heteroskedastizität zu veranschaulichen, sind die Residuen des Modells 11/12-d in Abb. 5 und 6, S. 56, sowie jene des Modells 2012-w (Anm.: Das Modell mit der geringsten White-Statistik) in Abb. 7, S. 56 und Abb. 8, S. 57, dargestellt. Die modellspezifischen Darstellungen unterscheiden sich hierbei nach der X-Achse: Bei Abb. 5 und 7 (siehe S. 56) sind hierauf die DAX-Renditen aufgetragen, bei den Abb. 6, S. 56, und Abb. 8, S. 57, die durch das Marktmodell prognostizierten Aktienrenditen. Bei näherer Betrachtung der grafisch dargestellten Streuungen der Residuen kann festgestellt werden, dass, wie oben unter II.3 bereits vermerkt, eine ausschließliche grafische Analyse hinsichtlich des Vorliegens von Homoskedastizität oft nicht zu eindeutigen Ergebnissen führt. Sie sollte vielmehr nur als Ergänzung für weitergehende statistische Analysen, z.b. der Durchführung des White-Tests, verstanden werden. Die in der Praxis dominierende Orientierung an R² und/oder t als (einzig) entscheidende Gütemaßstäbe bei der Beurteilung von ermittelten Beta- Abb. 5: Heteroskedastizität der Störvariablen des Modells 11/12-d, mit x = DAX 7% (x = DAX) 5% 3% 1% -1% -3% -5% -7% -7% -5% -3% -1% 1% 3% 5% 7% BewertungsPraktiker Nr. 2/

8 Abb.6: Heteroskedastizität der Störvariablen des Modells 11/12-d, mit x = prognostizierte Aktienrendite 7% (x = prognostizierte Aktienrendite) 5% 3% 1% -1% -3% -5% -7% -7% -5% -3% -1% 1% 3% 5% 7% Abb. 7: Homoskedastizität der Störvariablen des Modells 2012-w, mit x = DAX 7% (x = DAX) 5% 3% 1% -1% -3% -5% -7% -7% -5% -3% -1% 1% 3% 5% 7% faktoren führen im vorliegenden Sachverhalt zu Interpretationsschwierigkeiten. Denn einerseits erwies sich R² in fünf von sechs Modellen als konstant um rd. 0,2 schwankend und andererseits steigt t mit zunehmender White-Teststatistik an (vgl. Abb. 4 auf S. 55), wodurch t selbst als Prüfkriterium bei den Modellen 2011-d und 11/12- d unbrauchbar wird. Ohne Durchführung des White-Tests wäre der Schluss nahe gelegen, den Betafaktor zwischen 0,54 und 0,58 auf Grundlage des verwendeten Gesamtzeitraums anzunehmen. Die Analyse der Subzeiträume, zunächst ohne Würdigung der ermittelten White-Teststatistiken, könnte weitergehend zum Schluss führen, den Betafaktor in einer Bandbreite zwischen 0,51 und 0,61 anzunehmen. Nur unter expliziter Berücksichtigung der White-Teststatistik und der damit verbundenen Identifikation des Problems der Heteroskedastizität in zwei der ermittelten Modelle kommt man zum Ergebnis, dass ein effizienter Betafaktor zwischen 0,58 und 0,61 angenommen werden sollte. 56 BewertungsPraktiker Nr. 2/2013

9 Abb. 8: Homoskedastizität der Störvariablen des Modells 2012-w, mit x = prognostizierte Aktienrendite 7% (x = prognostizierte Aktienrendite) 5% 3% 1% -1% -3% -5% -7% -7% -5% -3% -1% 1% 3% 5% 7% IV. Fazit Neben Liquiditätsanalysen der Aktien dominiert in der Praxis aktuell die Orientierung an R² und t, um die Güte von ermittelten Betafaktoren zu beurteilen. Dies kann zu Fehlinterpretationen führen, wie in obigem Fallbeispiel dargestellt wurde, da die Güte der t-statistik (u.a.) von der Erfüllung der Annahme über Homoskedastizität der Störvariablen abhängig ist. R² hat sich im vorliegenden Fallbeispiel als kein geeigneter Gütemaßstab herausgestellt, da bei fünf von sechs Modellen R² konstant nahe bei rd. 0,2 war. Im Fallbeispiel der Verbund AG wirkt sich dies in der Form aus, als dass die ersten Berechnungen bezogen auf den Gesamtzeitraum (Kap. III.1: Beta i.h.v. 0,54 und 0,58) als auch weitergehende Analysen von Subzeiträumen (Kap. III.3: Beta i.h.v. von 0,51 bis 0,61) ohne expliziter Berücksichtigung der White-Teststatistik tendenziell zu niedrige Betafaktoren bzw. ein zu großes Werteintervall ergeben hätten, welche nicht effizient wären. Erst bei expliziter Berücksichtigung der White-Teststatistik wurde der Wertebereich für ein effizientes Beta i.h.v. 0,58 bis 0,61 ermittelt (Kapitel III.3). Um die in der Fallstudie dargestellten Informationsgewinne durch Anwendung des White-Tests erzielen zu können, sind die bei den gängigen Tabellenkalkulationsprogrammen wie MS-Excel oder speziellen Statistikprogrammen durchzuführenden Mehrarbeiten als vernachlässigbar einzustufen, wie das unter II.3 dargestellte Musterbeispiel basierend auf MS-Excel schon bei bloßer Durchsicht erahnen lässt. Unter Berücksichtigung des maßgeblichen Einflusses eines ermittelten Betafaktors auf Unternehmensbewertungsergebnisse sollte dieser geringe Mehraufwand in der Berechnung durch den Praktiker in Kauf genommen werden. 1 Vgl. hierzu den Beitrag von Stellbrink/Brückner, Beta-Schätzung: Schätzzeitraum und Renditeintervall unter statistischen Gesichtspunkten, BewP 3/2011 S Vgl. Mandl/Rabel, Unternehmensbewertung, 1997, S. 297; Fischer, Finanzwirtschaft für Fortgeschrittene, 2002, S Vgl. Koller/Goedhart/Wessels, Valuation Measuring and Managing the Value of Companies, 2010, S Vgl. zusammenfassend Hierzenberger, Price Regulation and Risk The Impact of Regulation System Shifts on Risk Components, 2010, S. 13 ff. 5 White, Econometrica 48/4, 1980, S Eckey/Dreger, Ökonometrie. Grundlagen Methoden Beispiele, 2011, S. 111 ff. 7 An dieser Stelle gilt es anzumerken, dass der gegenständliche Beitrag ausschließlich das Ziel hat, am Bsp. der Verbund AG darzustellen, wie sich die Verwendung des White-Tests bei der Bestimmung von Betafaktoren in der Praxis auswirken kann. Es ist nicht das Ziel des Autors in diesem Beitrag einen adäquaten Betafaktor für die Verbund AG zu ermitteln, weshalb auch sonstige Einflussgrößen auf die Betabestimmung (Marktindex, Schätzperiode, Renditeintervall, log-renditen, Ausreißeranalysen, Verschuldungsgradänderungen, etc.) vereinfachend unberücksichtigt bleiben. Die Datierung der X-Achse erfolgt in Abb. 2, S. 53, nach englischer Formatvorlage. BewertungsPraktiker Nr. 2/