Flüsse in Netzwerken. Zeitplan Zeitplan Netzwerke. Theorie & Algorithmen Gunnar W. Klau TU Wien

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1 Zeitplan 200 Flüsse in Netwerken Theorie & Algorithmen Gunnar W. Klau TU T6 T T8 Mi,..200 Di, Mi, Einführung, Netwerke, Flussprobleme, Wiederholung Maximale Flüsse, Max-Flow- Min-Cut-Theorem, Ford-Fulkerson, aber kein Preflow Push. Dafür Edmonds-Karp-Schranke, Anwendungen, kostenminimale Flüsse, Flussdekompositionstheorem, Anwendungen, Optimalitätskriterien, Algorithmen, (Ausgabe Übungsblatt 2). Zeitplan 200 Netwerke T9 T T T Di, Mi, Di, Mi, Di, Mi, Mi, Fr Heilige Drei Könige VL fällt aus (Konferen) Lösung von Übungsblatt 2, Aufgabe 1 (Gruppe B). Flüsse für Fortgeschrittene: polynomielle Algorithmen, (totale Unimodularität), ((Multicommodity flows)) Starke Zusammenhangskomponenten, Ausgabe Übungsblatt Übung 2: Flüsse in Netwerken I, Aufg. 2 Gruppe C, Aufg. Gruppe D Übung : Flüsse II + St. Zushgs.komp., Aufg. 1 Gruppe D, Aufg. 2 Gruppe E, Aufg., Gruppe F mündliche Prüfungen Netwerke Stromnet Telefonnet Warenfluss wischen Herstellern und Konsumenten Verkehr (Straßen, Züge, Flugeuge,...) Oft wollen wir Güter von einem Punkt u einem anderen schicken Ziel So viel/effiient/billig wie möglich 1

2 Netwerkoptimierung seit ca. 190 Definition: Ein (s-t-)netwerk N = (V, A, c, l, u, b) besteht aus einem gerichteten Graphen (V, A) mit n Knoten und m gerichteten Kanten (Bögen), den Kosten c: A R, den unteren Schranken l: A R 0, den oberen Schranken (Kapaitäten) u: A R 0 und der Überschuss-/Bedarfsfunktion b: V R. (wei ausgeeichneten Knoten, der Quelle s und der Senke t) b(v) > 0: Knoten mit Überschuss b(v) < 0: Knoten mit Bedarf b(v) = 0: Durchflussknoten Netwerkoptimierung Ein Fluss ist eine Funktion f: A R 0 mit den Eigenschaften 1. l(v,w) f(v,w) u(v,w) für alle v, w V Kapaitätsbeschr. 2. Flusserhaltung für alle v V Lemma 1: Für einen Fluss gilt v V b(v) = 0. Beweis: Tafel. Die Kosten eines Flusses f sind a A c(a)f(a). Ein Fluss f ist minimal, wenn kein Fluss g mit geringeren Kosten existiert. Netwerkoptimierung Minimales Kostenflussproblem: Finde minimalen Fluss im Netwerk. Speialfall 1: Kosten, aber keine Kapaitäten Kürester Weg von s nach t Sete b(s) = 1, b(t) = -1 und b(v) = 0 v V \ {s,t} Speialfall 2: Kapaitäten, aber keine Kosten Problem des maximalen s-t-flusses (Sende soviel Güter wie möglich von s nach t ohne die Kapaitätsgrenen u verleten.) Sete b(v) = 0 v V, c(a) = 0 a A. Füge usätlichen Bogen (t,s) ein mit Kosten c(t,s) = -1 und Kapaität u(t,s) =. Netwerkoptimierung Bindeglied wischen linearer und ganahliger Optimierung (Flussprobleme sind ganahlige lineare Programme, für die effiiente, kombinatorische Lösungsmethoden existieren). Dualitätssat hat hier die schöne Form des Max-Flow-Min- Cut-Theorems. Das Netwerk N Literatur ur Netwerkoptimierung Lin 16 Salburg s 9 1 Gra 20 t R. K. Ahuja, J. B. Magnanti, T. L. Orlin. Network Flows. Prentice Hall. Sehr ausführlich, 86 Seiten über Netwerkfluss Eugene Lawler. Combinatorial Optimiation: Networks and Matroids. Gut geschriebener Klassiker (0er), nur Euro. C. H. Papadimitriou, K. Steiglit. Combinatorial Optimiation: Algorithms and Complexity. Klassiker, auch gut geschrieben, etwas aktueller (1982). W. Cook, W. H. Cunningham, W. R. Pulleyblank, A. Schrijver. Combinatorial Optimiation. 2

3 Maximale Flüsse: Anwendungen Ölfeld s, Raffinerie t, restl. Knoten Pumpstationen, Kanten Pipelines, Ölstrom wird nur durch Net begrent Bipartites Matching Beweis der Existen eines Flusses Scheduling Matrix Rounding... Annahmen Wir erweitern u auf Def.bereich V V: u(a) := 0 a V V \ A Keine isolierten Knoten (können einfach entfernt werden) s-t-fluss etwas anders definiert... Ein Fluss f in N? Ein s-t-fluss ist eine Funktion f: V V R mit den Eigenschaften 1. f(v,w) = -f(w,v) für alle v,w V Schiefsymmetrie 2. f(v,w) u(v,w) für alle v,w V Kapaitätsbeschr.. v V f(w,v) = 0 für alle w V \ {s,t} Flusserhaltung Der Wert eines s-t-flusses f ist f := u V f(u,t), der gesamte Fluss, der t erreicht Eigenschaft 1) f(u,u) = 0 u V s-t-fluss f ist maximal, wenn es keinen Fluss g mit g > f gibt. Lin /16 Salburg 1/ 8/ / /9 /1 Gra / 1/20 / Der Residualgraph Residualgraph G f für f Sei f ein Fluss in N. Die Restkapaität einer Kante a A bglch. f ist r f (a) := u(a) f(a) ( um wieviel kann ich f auf a erhöhen, ohne die Kapaität u(a) u überschreiten? ) Kante a ist Restkante, wenn r f (a) > 0, sonst heißt a saturiert. G f ist der Graph der Restkanten und heißt Residualgraph (oder Residualnetwerk) bglch. f Salburg 8 Lin 1 Gra

4 Residualgraph Residualgraph G f für f Ein Pfad P in G f von s nach t heißt augmentierender Pfad und kann dau benutt werden, den Fluss f u vergrößern: Sei x die minimale Restkapaität auf P (nach Def. gilt x > 0) Addiere x u dem Fluss auf P, d.h. erhöhe Fluss auf P um x, erniedrige Fluss in Gegenrichtung um x (hierbei wird mindestens eine Kante saturiert) neuer Fluss f in f mit f = f + x Lemma 2: f ist Fluss Beweis: Tafel. Salburg Lin 8 1 Gra Ein Fluss f in N Augmentierter Fluss f Lin / Lin / /16 Salburg 1/ 8/ 0/ /9 / 1/20 /16 Salburg / 1/ 0/ 0/9 / 19/20 /1 Gra / /1 Gra / Schnitte Max-Flow-Min-Cut-Theorem Ein s-t-schnitt ist eine Knotenmenge S V mit s S und t S. Sein Komplement ist Die Kapaität eines Schnittes ist (Gesamtkap. der Kanten, die S verlassen) Lemma : Kein Fluss f kann einen Wert haben, der die Kapaität eines beliebigen Schnittes S übersteigt. Beweis: Tafel. Theorem 1 (Max-Flow-Min-Cut) [Ford/Fulkerson 196, Elias/Feinstein/Shannon 196]: Sei f ein Fluss in N. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent: 1. Es gibt einen Schnitt, der von f saturiert wird. 2. Fluss f ist maximal.. Es gibt keinen augmentierenden Pfad im Restgraph G f. Beweis: Tafel. Lemma : Ein saturierter Schnitt ist minimal. Beweis: Tafel.

5 Max-Flow-Min-Cut-Theorem Die Angabe eines saturierten Schnittes ist ein Beweis für die Maximalität eines Flusses (Dualitätstheorie). Maximaler Fluss Beweis: Wert gleich minimaler Schnitt Lin /16 Salburg s 2/ 9 /1 Gra 19/20 t Die Ford-Fulkerson-Methode Die Ford-Fulkerson-Methode Das MCMF-Theorem sagt noch nicht, dass jedes Netwerk einen maximalen Fluss ulässt, legt aber einen konstruktiven Beweis nahe (Schritt () (2)). Der entsprechende Algorithmus heißt Ford-Fulkerson- Methode: Beginne mit dem Nullfluss (ist Fluss!) und augmentiere, solange augmentierende Pfade im Residualgraphen existieren. f 0 := Nullfluss; i := 0; while ( s-t-pfad P in G fi ) do { x = min. Restkapaität auf P; f i+1 := f i + x; ++i; } Residualgraph für f 0 Residualgraph für f 0 16 Lin Lin 20 Salburg 9 Salburg 9 1 Gra 1 Gra

6 Fluss f 1 Residualgraph für f 1 Lin /16 Salburg / /9 /1 Gra 20 / Salburg Lin 8 20 Gra Residualgraph für f 1 Fluss f 2 Salburg Lin 8 20 Gra Lin /16 Salburg / / /9 /1 Gra / /20 / Residualgraph für f 2 Residualgraph für f 2 Salburg Lin 8 Salburg Lin 8 Gra Gra 6

7 Fluss f Residualgraph für f Lin /16 Salburg 1/ 8/ / /9 /1 Gra / 1/20 / Salburg Lin 8 1 Gra Fluss f Residualgraph für f Lin /16 Salburg 1/ / / 0/9 /1 Gra / 19/20 / Lin Salburg Gra Die Ford-Fulkerson-Methode Korrektheit: (ohne Beweis) Alg. terminiert mit maximalem Fluss f, wenn Kapaitäten ganahlig. Es ist einfach u sehen, dass dann auch f ganahlig ist (was nicht heißt, dass es keinen nicht-ganahligen Fluss g mit g = f gibt). Die Ford-Fulkerson-Methode Analyse: Laufeit hängt davon ab, wie man die augmentierenden Pfade wählt. Bei Wahl eines beliebigen Pfades ergibt sich eine Laufeit von O( A f ), wobei f maximaler Fluss ist, denn die Schleife benötigt Zeit O( A ) (finde Pfad mit DFS oder BFS) und wird höchstens f Mal ausgeführt (ein augmentierter Fluss muss mindestens um 1 größer sein). Diese Laufeit ist pseudo-polynomiell, denn die Inputlänge ist und

8 Ford-Fulkerson: worst case Ford-Fulkerson: worst case f 0 G f0 f 1 G f1 L 0/ 6 0/ 6 L 6 6 S 0/1 W S 1 W 0/ 6 0/ G G L 1/ 6 0/ 6 L S 1 1/1 W S 1 W 6-1 0/ 6 1/ G G f 1 = 1 Ford-Fulkerson: worst case f 2 G f2 1/ 6 L 1/ 6 L S 0/1 W S W 6-1 1/ 6 1/ G G 1 f 2 = 2... f = 2 6 Ford-Fulkerson: noch mehr Probleme Irrationale Kapaitäten: nicht-konvergierende Folge von Augmentierungen möglich ( Anahl endlicher Augmentierungen) Konvergen gegen nicht-optimale Lösung möglich Lösungsversuch 1 [Edmonds & Karp]: Wähle augmentierenden Pfad, der den höchsten Flussuwachs bringt Verbesserung auf O(m log f ) Augmentierungen bei u Z 0. Immerhin polynomiell... aber immer noch unbefriedigend. Lösungsversuch 2: Preflow-Push (nicht in dieser VL) Laufeit O(n ) Lösungsversuch : Ford-Fulkerson mit BFS... Ford-Fulkerson mit BFS [Dinits, 190], [Edmonds & Karp, 192]: benute küreste augmentierende Pfade (kur = wenig Kanten) Theorem 2: Wenn alle Augmentierungen auf küresten Pfaden passieren, gibt es höchstens nm Augmentierungen. Bemerkungen: Klappt auch für reelle Kantenkosten. Kürester Weg ist nicht schwerer u finden als irgendein Weg (BFS braucht Zeit O(m)). Zadeh: O(n ) Augmentierungen nötig. Ford-Fulkerson mit BFS Folgerung: Ford-Fulkerson mit BFS löst das Problem des maximalen Flusses in Zeit O(nm 2 ). Beweis von Theorem 2: Betrachte eine typische Augmentierung auf Pfad s = v 0, v 1,..., v k-1, v k = t, die aus Fluss f den Fluss f macht. d f (v, w) := kleinste Anahl Bögen auf v-w-pfad in G f = (V, A f ) s = v 0 v 1 v 2 v v v = t Klar: d f (s, v i ) = i, d f (v i, t) = k i. Auch klar: Neue Bögen in G f haben die Form (v i, v i-1 ) für irgendein i. 8

9 Ford-Fulkerson mit BFS Lemma : Für alle v V: d f (s, v) d f (s, v). Beweis: Tafel. Ein Bogen (i, j) eines augmentierenden Pfades P ist ein Flaschenhals (bottleneck arc), wenn seine Residualkapaität gleich der von P ist. Lemma 6: Ein Bogen kann höchstens O(n) Mal Flaschenhals sein. Beweis: Tafel. Ford-Fulkerson mit BFS Bemerkung: Man kann eigen, dass eine Folge von O(m) Augmentierungen existiert, die einen maximalen Fluss ergeben. Von diesen benutt keiner einen Rückwärtsbogen. Der (leider nicht konstruktive) Beweis eigt, dass ein O(m 2 )-Algorithmus für das maximale Flussproblem möglich ist. Wer ihn findet, kriegt eine Eins. Verbindung ur Graphentheorie Kostenminimale Flüsse Theorem [Menger, 192]: Die maximale Anahl kantendiskjunkter (knotendiskunkter) Pfade von s nach t ist gleich der minimalen Anahl von Bögen (Knoten), deren Entfernung s von t trennt. Beweis: Übung. Theorem [König, 191]: In einem bipartiten Graphen ist die maximale Kardinalität jedes Matchings gleich der minimalen Kardinalität jeder Knotenüberdeckung. Beweis: Übung. Anwendungen: Knickminimierung für planare Graphen. Knickminimierung Gegeben: -planarer Graph G = (V, E), d.h. G planar und v V: δ(v) Gesucht: Planare orthogonale Gittereichnung von G mit minimaler Anahl von Knicken. Formann et al., 1990: NPvollständig u entscheiden, ob es orthogonale Zeichnung für G ohne Knicke gibt. Knickminimierung Aber: Gegeben: -planarer Graph mit planarer Einbettung Gesucht: Gittereichnung mit minimaler Knickanahl, die die planare Einbettung beibehält Tamassia, 198: Transformation des Problems in ein minimales Kostenflussproblem in einem Netwerk polynomieller Algorithmus. 9

10 Exkurs: kombinatorische und planare Einbettungen Kombinatorische Einbettung: Äquivalenklasse von planaren Zeichnungen von G. 2 Zeichnungen äquivalent irkuläre Reihenfolge der Kanten um jeden Knoten gleich (Uhreigersinn) beschreibt die Topologie einer Zeichnung auf der Kugel; i.a. gibt es exponentiell viele kombinatorische Einbettungen von G Zusätlich: äußere Region festgelegt: planare Einbettung beschreibt die Topologie einer Zeichnung in der euklidischen Ebene Exkurs: kombinatorische und planare Einbettungen v 1 v v 2 v 1 v v v v 2 v 1 f 1 f 1 f v 1 v f 2 v 2 v f f 2 v v v v v 2 v v Exkurs: kombinatorische und planare Einbettungen Äquivalent: regionenorientiert In der planaren Einbettung wird für jede Region f wird eine irkuläre Liste (im Uhreigersinn) P(f) der begrenenden Kanten angegeben. Knickminimierung orthogonale Repräsentation erweitert die planare Einbettung P beschreibt usätlich ur Topologie die Form einer planaren orthogonalen Zeichnung ist dimensionslos (es werden keine Angaben über die Längen der Kantensegmente gemacht) ist, wie P, eine Menge von irkulären, im Uhreigersinn sortierten Listen H(f) für jede Region f. Ein Element r H(f) hat die Form (e r, s r, a r ), wobei e r eine f begrenende Kante, s r ein Binärstring und a r {90, 180, 20, 60} eine gane Zahl ist. Knickminimierung Orthogonale Repräsentation orthogonale Repräsentation Binärstring s r beschreibt Form der Kante e r. Das k-te Bit in s r beschreibt den k-ten Knick auf e r (im Uhr.sinn). Dabei steht 0 für einen 90 -Knick und 1 für einen 20 -Knick Sei q das auf r folgende Element in H(f). Dann beeichnet a r den Winkel wischen e r und e q in f. e e 1 f 1 e e2 e 6 f 2 f 0 e H(f 1 ): ((e 1, ε, 90), (e 6, ε, 180), (e, 00, 90)) H(f 2 ): ((e 6, ε, 90), (e, 0, 60), (e, 1, 90), (e 2, 00, 90), (e, ε, 90)) H(f o ): ((e, ε, 20), (e 2,, 90), (e 1, ε, 20), (e,, 90))

11 Orthogonale Repräsentation Die Anahl der Knicke von H ist, wobei sr die Länge von sr beeichnet. Theorem: H ist genau dann die orthogonale Rep. einer planaren orthogonale Zeichnung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: Geg.: orthogonale Repräsentation H. (bedeutet: jede Region ist ein rektilineares Polygon) (P): Für jeden Knoten v in H gilt: Summe der a-felder, die u Kanten gehören, deren Endknoten v ist, beträgt 60, also Knotenmenge U = UV UF UV = {iv v V}. Knoten iv UV haben Überschuss b(iv) = + UF = {if f F}. Knoten if UF haben Bedarf Das gesamte Potenial beträgt demnach Geg.: planarer Graph G = (V, E) mit planarer Einbettung h{p(f) f F}, f0}i Ges.:orthogonale Repräsentation {H(f) : f F} mit der minimalen Anahl von Knicken. Transformation nach Tamassia: Wir konstruieren Netwerk NP = (U, A, b, l, u, c) Ein Fluss im Netwerk entspricht den Winkeln der späteren Zeichnung. Winkel sind eine Ware, die an den Knoten produiert und in den Regionen konsumiert wird. Flusseinheit entspricht 90 -Grad-Winkel Flusserhaltung an iv UV garantiert, dass die Winkelsumme um v 60 beträgt. Flusserhaltung um if UF garantiert, dass f als rektilineares Polygon geeichnet wird. Beispiel: Tafel. (P): Def. für jedes r Dann gilt: Transformation Wie können wir aus H eine Zeichnung machen? Anderes Thema... wir konentrieren uns auf Interpretation Theorem: H ist genau dann die orthogonale Rep. einer planaren orthogonale Zeichnung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: (P1): H ohne die s- und r-felder ist planare Einbettung eines -planaren Graphen. (P2): Seien r, q H, r q mit er = eq. Dann erhält man sq aus sr durch Umdrehen der Reihenfolge und Flippen der Bits. Knickminimierung Orthogonale Repräsentation Transformation Kantenmenge A = AV AF Für die Analyse ist es bequem, A als Multimenge u modellieren. AV enthält einen Bogen (iv, if) wenn v V einen Winkel in f F bildet. Genauer, wir definieren E(v, f) := {e P(f) e = (u, v)} und AV = {(iv, if) e E(v, f)}, (warum Multimenge?) l(iv, if) = 1 u(iv, if) = c(iv, if) = 0 Interpretation: Die Knoten verteilen ihre Winkel an die Regionen. Jeder Winkel muss mind. 90, darf aber höchstens 60 betragen. Da dabei keine Knicke entstehen, sind die Kosten Null.

12 Transformation Kantenmenge A = A V A F A F enthält für jede Kante e E wei Bögen (i f, i g ) und (i g, i f ), wobei f und g die Regionen sind, die von e getrennt werden. (Warum Multimenge? Gibt es Schleifen?) l(i f, i g ) = 0 u(i f, i g ) = c(i f, i g ) = 1 Interpretation: Da i.a. nicht alle Flusseinheiten direkt von den Knoten u den Regionen abfließen können das würde einer Zeichnung ohne Knicke entsprechen müssen wir Knicke ins Flussmodell aufnehmen. Kann der Bedarf nicht direkt gedeckt werden, können benachbarte Regionen Fluss austauschen. Jede solche Flusseinheit entspricht einem Knick. Kosten eines Flusses: Anahl der Knicke Transformation Theorem: Für jede orthogonale Repräsentation H mit unterliegender planarer Einbettung P existiert ein ganahliger Fluss x in N P, dessen Kosten gleich der Anahl der Knicke b(h) ist. Beweis: Tafel. Transformation Theorem: Für jeden ganahligen Fluss x in N P existiert eine orthogonale Repräsentation H mit unterliegender Einbettung P. Die Kosten von x sind b(h). Beweis: Tafel. Theorem: Es existiert ein minimaler Kostenfluss in N P mit ganahligen Werten. Beweis: 200 (Netwerktheorie... nur ganahlige Kapaitäten) Transformation Theorem: Die minimale Knickanahl einer orthogonalen Rep. H mit unterliegender planarer Einbettung P ist gleich den Kosten eines kostenminimalen Flusses x in N P. Ferner kann H aus x berechnet werden. Beweis: Folgt aus den letten Theoremen. Algorithmus ur Knickminimierung: Konstruiere Netwerk N P Berechne kostenminimalen Fluss Konstruiere orthogonale Repräsentation Bestimme Kantenlängen