Mathematik Lösungsbuch

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1 Mathematik Lösungsbuch

2 Gesetzt mit LAT E X Geometrische Konstruktionen und Skizzen erstellt mit TikZ Zur Erstellung dieses Buchs wurde ausschliesslich freie Software verwendet. Ausgabe 2015.

3 Inhaltsverzeichnis I Grundlagen 1 1 Allgemeine Grundlagen 3 2 Zehnerpotenzen 7 3 Masseinheiten 11 II Sachrechnen 15 4 Proportionalität und Dreisatz 17 5 Prozentrechnung 21 6 Zinsrechnung 25 7 Währungsumrechnung 31 III Arithmetik & Algebra 35 8 Grundlagen der Algebra 37 9 Bruchrechnen Gleichungen Angewandte Gleichungen bei Textaufgaben Ungleichungen 71 i

4 Inhaltsverzeichnis IV Geometrie Flächen und Körper Satzgruppe des Pythagoras 83 ii

5 Teil I Grundlagen 1

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7 1 Allgemeine Grundlagen 1 a) keine b) 2, 4, 8 c) 5 d) 2, 4 e) 2, 4, 8 f) 2, 3, 4, 6, 8, 11, 12 g) 11 h) 5, 11 i) 2, 4, 8, 13 j) 7 k) keine l) 2, 4 m) 2, 4, 8 n) 7 o) 3, 5, 13, 15 p) 5 2 Es ist z. B. 123 = = 1(99 + 1) + 2(9 + 1) + 3. Wenn nun die Klammern ausmultipliziert werden, so sind die Teilprodukte 1 99 und 2 9 mit Sicherheit durch 9 bzw. 3 teilbar. Übrig bleibt also nur die Summe , was gerade die Quersumme ist. Dies liesse sich auch allgemein beweisen. 3 a) 12 b) 12 c) 2 d) 22 e) 17 4 a) (6 5) (7 + 3) = 10 b) 6 ( ) = 32 c) ( ) 5 = 20 d) 3 + (8 7) 5 = 8 e) 12 (3 + 1) = = = = = ((1 + 3) 5 + 7) : 9 4 = 1 3(5 + 7) : 9 f) 14 g) 8 h) 40 i) 14 j) 36 f) 12 (3 + 1) (5 + 6) 4 = 92 g) [23 (2 + 1) 5] (2 1) = 8 h) 23 (2 + 1) = 8 i) [14 (3 + 5)] 6 = 36 j) 14 (3 + 5) 6 = 34 5 = = = = (1 3 5) : =

8 1 Allgemeine Grundlagen 6 0 = ( ) 4 1 = (1 2) (3 4) 2 = (1 2) (3 4) 3 = 1 2 (3 4) 4 = (3 4) 7 a) bzw b) bzw c) 4.69 bzw = (1 + 2) = 1 (2 3) = (1 2) = (1 2 3) = d) 0.15 bzw e) 1.71 bzw f) bzw a) b) c) d) Prim sind: 179, 163, 173, 223 und a) 12 = b) 16 = 2 4 c) 18 = d) 26 = 2 13 e) 38 = 2 19 f) 46 = 2 23 g) 56 = h) 88 = i) 124 = j) 218 = k) 312 = l) 432 = Ja, alle drei sind durch 4 und damit auch durch 2 teilbar. 12 a) 84 b) a) 840 b) 3120 c) 630 d) 1120 c) 192 d) 6150 e) 3000 f) e) 1820 f) m s 16 kgv von 3 dl und 4 dl bestimmen; 12 dl den 1 dl Rest einrechnen; 13 dl mögliche Mengen sind also: 61 dl, 73 dl, 85 dl und 97 dl davon geben nur 97 dl den gewünschten Rest bei 5 dl-bechern 17 Scheibe A lässt den Strahl alle 12 s passieren, Scheibe B alle 4.8 s. Insgesamt kann der Strahl alle 24 s beide Scheiben passieren, also 25 Mal in 10 min. 4

9 18 a) 1 b) m c) 1 d) 4 e) 1 f) 2 5

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11 2 Zehnerpotenzen 1 a) b) c) d) e) f) a) b) c) d) e) a) b) c) d) a) b) c) d) e) a) b) c) d) 10 7 g) h) i) j) k) l) f) g) 420 h) i) j) e) f) g) h) f) g) h) i) j) e) 10 4 f) 10 4 g) 10 9 h) m) n) o) p) q) r) k) l) m) n) o) i) j) k) l) k) l) m) n) o) i) 10 0 = 1 j) k) 1 l)

12 2 Zehnerpotenzen 6 a) 10 8 b) 10 7 c) 10 2 d) a) b) c) d) a) b) c) d) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) a) b) 10 4 c) 10 4 d) e) f) 10 7 g) 10 8 h) e) f) g) h) e) = 10 4 f) g) h) f) = 90 g) h) i) j) f) g) h) i) j) f) g) h) i) j) e) f) g) h) 10 8 i) 10 3 j) 10 3 k) 10 8 l) i) j) k) l) 8.1 i) j) k) l) k) l) 0 m) n) o) k) l) 10 5 m) n) o) k) l) m) n) o) i) j) k) l)

13 13 a) b) c) d) a) e) f) g) h) i) j) k) l) b) d) f) c) e)

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15 3 Masseinheiten 1 a) 25 dm b) 5 mm c) cm d) 66.7 cm 2 a) 0.07 dm b) 200 mm c) 3430 dm 2 d) cm 2 3 a) mm 2 b) cm 2 c) 0.7 cm 2 d) km 2 4 a) km 2 b) ha c) m 3 d) dm 3 5 a) l b) l c) 40 l d) 46.2 dl 6 a) 272 dl b) 8625 l c) 97.5 l d) 0.2 m 3 e) 3.7 cm f) m g) m h) m e) 0.97 cm 2 f) mm 2 g) cm 2 h) 63 cm 2 e) 367 a f) a g) ha h) m 2 e) mm 3 f) dm 3 g) dm 3 h) 5000 cm 3 e) 1000 l f) 0.1 dm 3 g) 10 cm 3 h) 1000 mm 3 e) 30 cm 3 f) 0.76 m 3 g) 6.5 m 3 h) 1.75 dl 11

16 3 Masseinheiten 7 a) cm 3 b) 5 ml c) dl d) 375 cl 8 a) 0.01 g b) kg c) 2500 g d) mg 9 a) 10 ms b) 15 mm c) t d) 0.47 g 10 a) 2.28 dm b) 44 g c) 46.6 l d) kg 11 a) 1 h 5 min 16 s b) 21 min 35 s c) 3 h 43 min 30 s 12 a) 0.6 h b) h c) h 13 a) 1 h 24 min 50 s b) 24 min 33 s c) 1 h 20 min 13 s d) 1 h 42 min 36 s e) 1 h 43 min 12 s 14 a) h b) h c) h d) h e) 75 kg f) g g) t h) kg e) 2400 m f) 625 g g) 0.35 hl h) 8.42 m e) dm f) 226 km g) 3.5 dm h) 2.4 kg e) 1250 mm f) 500 dm g) 2 m h) l d) 34 min 26 s e) 33 s f) 17 h 19 min 5 s d) h e) h f) h f) 1 h 12 min g) 2 h 51 min 25 s h) 1 h 10 min 49 s i) 1 h 52 min 12 s j) 2 h 53 min 56 s e) h f) h g) h h) h 12

17 i) h j) h 15 rund Mal 16 a) l b) Tropfen 17 a) km/h b) km 18 a) b) z. B bei 1.70 m a) 300 ml b) 2500 l c) 750 µl d) 0.45 cm 21 a) 0.46 km 2 b) 200 cm 3 c) 520 dm d) m 3 22 a) 6.6 ha b) 53 a c) 100 ha d) 0.5 dm 3 23 a) 86.2 m 2 b) 7.5 a c) m 3 d) 2000 m 2 24 a) 1 h 28 min 48 s b) 5 h 41 min 24 s c) 7 h 18 min d) 9 min e) 2 h 13 min 12 s f) 4 h 11 min 24 s e) 0.05 m 2 f) 8.5 a g) 0.45 ha h) 800 mm 2 e) dm 3 f) 40 ml g) 8.6 dl h) 0.04 l e) 400 dm 3 f) 0.4 l g) 400 ml h) 650 mm 3 e) 6 ha f) 7.78 ha g) 850 m 2 h) 0.05 km 2 g) 3 h 10 min 30 s h) 6 h 17 min 20 s i) 9 h 7 min 36 s j) 10 h 14 min 2 s k) 7 h 34 min 5 s l) 5 h 19 min 18 s 13

18 3 Masseinheiten 25 a) 1.5 min b) 7.4 h (7 h 24 min) c) 1035 min d) 0.3 h e) 360 min m dl kg l l l ha bzw m mm m f) 12 s g) 294 min h) 2.3 h (2 h 18 min) i) 24.3 d j) 8.16 d m m g g g t mg 14

19 Teil II Sachrechnen 15

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21 4 Proportionalität und Dreisatz 1 CHF CHF min 4 30 m kg 6 17 d l 8 CHF CHF CHF CHF CHF 13.70; CHF 20.55; CHF 25.70; CHF CHF 73.80; CHF 61.50; CHF 43.05; CHF CHF 1.95; CHF 3.25; CHF 7.80; CHF A: CHF 55.00; B: CHF ; C: CHF 99.00; D: CHF A: CHF 49.00, B: CHF 36.75; C: CHF 19.60; D: CHF ha; 2.16 ha; 2.43 ha; 3.78 ha m; 235 m; 282 m; m 19 12; 25; 70; 92 (aufrunden!) km; 42 km; km; 168 km l/min min 8.5 s l/d d h 28 6 h d 30 9 min; 9 Schüler 31 4 d 32 4 d d; CHF 2.25/d 34 CHF /d; 12 d d; 18 d 36 3 zusätzliche Maler h h m; 13 min 20 s d min; 45 min; 2 km; 24 km 43 4 min; 12 min; 30 min; 15 km; 20 km s; 40 s; 51 s; 90 km; 225 km; km h 45 min zusätzliche Arbeiter 17

22 4 Proportionalität und Dreisatz km; 120 km; km; 45 min; 1 h 15 min; 1 h 26 min 15 s kg; kg; 375 l; l (aufrunden!) kg; 51 kg; kg; 96 kg 52 6 dl 53 CHF kg; 60 kg; 21.6 kg; 102 kg 55 3 h 45 min; 3 Arbeiter kg; kg; kg; kg kg; 60 kg; 1.5 ha, 4.62 ha 58 8 kg l; 12 kg 60 2 h 36 min 61 CHF h 23 min; km kg CHF h 30 min 67 CHF a) 40 kg b) 18 kg 93 a) CHF b) CHF a) CHF b) CHF min 30 s kg kg min (11 h 24 min) l l 75 CHF CHF CHF CHF ; CHF kg; 24 kg 82 CHF 1.05; 3.5 kg g 84 rund 3 d l d h 40 min d d c) 32 kg d) 49 kg c) CHF d) CHF c) CHF d) CHF

23 95 a) 3.6 kg b) 7.8 kg 96 a) 10 d b) 36 d 97 a) 675 b) a) 128 h b) 146 h 24 min 99 a) CHF b) CHF d h 10 min h 40 min d d d d schneller h 24 min :05: d d (aufrunden!) c) 6.3 kg d) 2.5 kg c) 14 d 15 h d) 25 d 4 h 18 min c) 202 (abrunden!) d) 112 (abrunden!) c) 224 h d) 266 h 40 min c) CHF d) CHF d d Wochen h 45 min d 16 h min 17 s 117 am 23. Tag d d min (5 h 34 min) 19

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25 5 Prozentrechnung 1 CHF km 5 a) CHF b) CHF a) 7.2 (7) b) 9 c) 10.8 (11) 7 54 Mofas 8 CHF km kj 11 CHF Punkte d (Statistik, nicht runden) , 136, m kω bzw kω % 18 5 % % % % % % Pers ml c) CHF d) CHF d) 12 e) 15 f) % % % % % % % % % % % % % % % frei, 19.3 % Bilder, 34.7 % Musik, 22 % Videos 21

26 5 Prozentrechnung 40 a) Nein (0.51 ) b) Nein (0.89 ) % Mio. Einwohner 43 CHF bzw. CHF h 53 min Punkte Schüler 47 CHF Angestellte Personen Seiten 51 CHF CHF kg % kg kg % % kg 60 6 t g 62 a) CHF b) kg c) CHF 4.69 pro kg kg 64 CHF CHF CHF CHF CHF CHF CHF % (!) 72 Verkaufspreis Rabatt Rg.-Betrag Skonto Barpreis CHF % CHF CHF % CHF CHF

27 73 CHF % 75 CHF % 77 CHF CHF CHF % % Personen % % 85 CHF CHF % Eiweiss, 60.3 % Kohlenhydrate, 66.7 % Fett 88 CHF % 90 CHF Einwohner 92 zweimalige Erhöhung um 5 % ergibt eine Erhöhung um insgesamt % 93 CHF netto, CHF für den Arbeitgeber 94 CHF a) CHF b) CHF % grösser bzw % kleiner % mehr, 15.8 % weniger % bzw. 38 % % bzw. 8.5 % 101 CHF Mitglieder 103 CHF CHF und m m ü. M % % oder m ü. M % % 114 z. B. 20 cm horizontal und 7.5 cm vertikal 115 Die Horizontaldistanz wäre 0 und die Division durch Null ist nicht definiert. 116 CHF CHF CHF CHF CHF % 122 CHF CHF CHF CHF kg und 4.05 % g 23

28 5 Prozentrechnung kg, kg 129 CHF CHF Einwohner 132 CHF CHF % Gewinn 135 CHF CHF % Gewinn % 139 CHF , 20 % 140 CHF CHF CHF CHF CHF B ist CHF 7.90 günstiger mg % 148 CHF CHF CHF und 4.05 % 151 CHF CHF , CHF CHF CHF CHF CHF , 6 % Rabatt, 3 % Skonto % 158 a) 20 % b) 3.25 % 159 CHF kg, CHF 7.80/kg 161 CHF 84.00/kg Schüler 163 CHF kg 165 CHF CHF CHF CHF % %, Eintritte % 172 CHF CHF CHF Personen 177 CHF Plätze Schüler % Personen Personen % Spesen, 3.4 % Essen, 80.7 % Arbeit kb/min g Eiweiss, g Kohlenhydrate, 6.4 g Fett, 15 g Ballaststoffe 24

29 6 Zinsrechnung 1 K (CHF) 2 % 2.5 % 3 % 4 % 7 % K (CHF) p (%) 3 % 5 % 4 % 2.5 % 6 % Z (CHF) K (CHF) p (%) 3.25 % 5.75 % 4.5 % 2.75 % 6.5 % Z (CHF) CHF (gerundet) 6 CHF % 7 das zweite; CHF

30 6 Zinsrechnung % 9 CHF % 11 CHF CHF CHF % (gerundet) 15 CHF % (gerundet) 17 CHF CHF und CHF CHF CHF a) 60 c) 25 e) 0 g) 168 b) 5 d) 60 f) 30 h) 12 Die Summe beträgt natürlich 360, ein ganzes Jahr. 22 a) 81 d) 119 g) 284 j) 210 b) 335 e) 177 h) 149 k) 56 c) 193 f) 242 i) 328 l) a) 240 d) 283 g) 157 j) 59 b) 44 e) 29 h) 148 k) 188 c) 78 f) 245 i) 177 l) a) 11. April b) 16. Mai c) 26. September d) 1. Oktober e) 13. Juni f) 5. Juni g) 2. März h) 16. September i) 8. April j) 1. Dezember k) 2. August l) 13. November 25 a) 188 d) 136 g) 89 j) 87 b) 211 e) 201 h) 46 k) 67 c) 139 f) 117 i) 194 l) a) 263 d) 181 g) 378 j) 550 b) 205 e) 279 h) 291 k) 466 c) 304 f) 188 i) 527 l) K = Z 360 t p und p = Z 360 t K 28 CHF 80.00, 60.00, , , , CHF , 22.00, , , ,

31 29 CHF , , , , , CHF , , , , , %, 4 %, 2 %, 6 %, 5 %, 4 %, 4 % 3 %, 4 %, 5 %, 3 %, 2.5 %, 4 %, 4 % 31 90, 30, 120, 180, 300, 330, 240 d 180, 60, 90, 180, 45, 60, 90 d 32 CHF CHF CHF (119 d) 35 CHF CHF CHF CHF % % (252 d) % % 43 3 % % 45 6 % 46 5 % d d März (60 d) 50 CHF (315 d) 51 CHF d d d d d 57 CHF d 59 CHF d 61 K (CHF) p (%) Z (CHF) VSt (CHF) NZ (CHF)

32 6 Zinsrechnung 62 CHF a) CHF b) CHF c) CHF d) CHF e) CHF f) CHF CHF CHF Viola: CHF Susi: CHF CHF CHF CHF CHF CHF CHF CHF CHF 1.8 Mio. bzw. rund Mio. 73 CHF und rund 7.25 % CHF % 93 a) CHF ; 393 d b) CHF ; 349 d c) CHF ; 224 d 94 a) CHF ; 50 d b) 14. Juni c) 2. Juni 95 a) CHF weniger b) CHF mehr c) 2.25 % d % 79 grob gerundet: CHF CHF Oktober 82 8 Monate d 84 CHF September % 87 CHF April des nächsten Jahres August d 91 9 % % d) CHF ; 177 d e) CHF ; 178 d f) CHF ; 270 d d) CHF e) 62 d f) 8. Oktober, zwei Jahre später d) momentan: CHF , danach CHF e) CHF f) CHF

33 96 CHF d % 99 CHF CHF CHF (259 d) % 102 CHF (65 d) 103 Zins: CHF , Gebühr: CHF ; Rückzahlung: CHF % (168 d) 105 CHF CHF CHF CHF (158 d) 108 CHF d % 111 CHF CHF % % d bzw. 540 d d 117 CHF % % % 29

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35 7 Währungsumrechnung 1 a) EUR, Verkauf, 1.34 b) CHF, Ankauf, nicht in Tabelle c) USD, Ankauf, 0.87 d) CHF, Ankauf, nicht in Tabelle e) CHF, Ankauf, nicht in Tabelle f) EUR, Ankauf, 1.29 g) CHF, Verkauf, nicht in Tabelle h) EUR, Ankauf, 1.29 i) SEK, Ankauf, pro 100 SEK j) CHF, Ankauf, nicht in Tabelle 2 In dieser Aufgabe handelt es sich immer um Ankauf der Fremdwährung. a) CHF b) CHF c) CHF d) CHF e) CHF f) CHF g) CHF h) CHF i) CHF j) CHF In dieser Aufgabe handelt es sich immer um Verkauf der Fremdwährung. a) EUR b) SEK c) GBP d) USD e) NOK f) GBP g) SEK h) GBP i) USD j) JPY Die CHF haben einen Gegenwert von GBP Folglich erhält sie GBP 7.00 zurück. 5 6 die EUR haben einen Gegenwert von CHF entsprechend erhält er GBP die EUR haben einen Wert von CHF die GBP kosten CHF damit muss er CHF 3.00 nachzahlen 7 CHF

36 7 Währungsumrechnung 8 9 die USD sind CHF wert die EUR kosten CHF die GBP kosten CHF also bekommt er CHF zurück die EUR kosten CHF die NOK haben also einen Wert von CHF damit ist der Ankaufskurs (für 100 Kronen) 10 a) 1.006, Ankauf b) , Ankauf c) 1.5, Verkauf d) 13.33, Verkauf e) 0.74, Verkauf f) 1.015, Ankauf g) 1.021, Verkauf h) 11.0, Verkauf i) 1.003, Verkauf j) 12.5, Ankauf , Verkauf , Verkauf , Ankauf , Ankauf 15 in der Schweiz erhält sie EUR für CHF in Deutschland erhält sie EUR für CHF also ist es besser, in der Schweiz zu wechseln 16 direkte Bezahlung kostet CHF Bezahlung über Partner kostet CHF die Firma kann CHF sparen, wenn sie direkt bezahlt 17 GBP die fremden Währungen haben ihn CHF gekostet er kommt mit dem Gegenwert von CHF zurück also hat ihn die Reise CHF gekostet 19 zuerst gibt er beim Wechseln CHF und CHF aus dann erhält er CHF und CHF zurück insgesamt hat er also CHF ausgegeben 20 CHF EUR

37 22 die CHF entsprechen einem Gegenwert von EUR damit steht der Ankaufskurs für CHF bei EUR Gewinn 24 die USD haben einen Gegenwert von CHF der Kurs müsste auf ca steigen 25 die GBP haben einen Gegenwert von CHF damit beträgt der EUR-Kurs CHF a) DKK b) GBP c) USD a) CHF b) CHF c) CHF SEK CHF a) b) c) EUR die NOK haben einen Gegenwert von CHF die EUR kosten CHF also müssen Sie CHF nachzahlen 34 CAD vorher: CHF nachher: CHF wir erhalten also CHF weniger 36 vorher: CHF nachher: CHF die Reise wird also CHF billiger 37 CHF CHF , Verkauf , Ankauf 33

38 7 Währungsumrechnung 41 in Genf bezahlen wir CHF für die EUR in Paris liegt der Gegenwert von CHF bei EUR nach der Rückkehr erhalten wir CHF für die EUR Damit erhalten wir die Lösungen: a) = EUR b) = CHF 42 Vorüberlegung: CHF haben offenbar einen Gegenwert von EUR a) 0.77, Ankauf b) CHF a) CHF b) CHF

39 Teil III Arithmetik & Algebra 35

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41 8 Grundlagen der Algebra 1 a) 16 b) 8 + 5b c) 5d + 9g d) y 2 a) 6m b) 8h + 14m c) ƒ d) b 3 a) 20q b) 25ƒ 18ƒ 2 20g 12 4 a) 6 b) 9 c) z 4 5 a) 30b 3 b) 14 b c) 510 bc 6 a) 24 bc b) 35pqr c) 36 yz 7 a) 28 3 b) b 3 c) a) 24s 3 b) 30m 4 c) 24 z 4 e) 71b 7b 2 f) y g) b h) b e) 7 + 9b + 3c f) y + 13z g) 16r h) 14r + 13s c) 25m + 94p + 82q d) b + 111c d) y 8 e) 5 f) 18 d) 540c e) 300mnp f) 140 z d) 45rst e) 6 2 f) 90 2 b d) 35 2 b e) 49 2 y f) 12 b 2 d) 80y 5 z e) 28 3 f) b 3 i) 7p j) b 4 2 7b 2 k) 12p + 7q l) 7 + 9y i) 10 j) y k) y y l) 51ƒ 20g + 3h 5 e) 4 13b 12c f) 16 23y 2z g) 11 h) m 9 i) 3 b 4 4 g) 300 cmn h) bc i) g) b 7 h) 42 2 b 5 i) 12m 4 g) 45 2 y 2 h) 36m 3 r 2 i) 30 3 b 3 g) 35 4 h) 35 2 b i) 49 2 y 37

42 8 Grundlagen der Algebra 9 a) 24 b) b 40 c) c a) b) 7c c) n d) 5b e) 2 c f) c 11 a) 16 2 b) 25 2 b 2 c) 16 4 c 4 d 4 d) a) 6 bcd b) 24 5 c) 90 3 b 2 c 3 d) b 2 13 a) 10 b) 25b c) 12 d) 0 14 a) b + c + d b) + k m n c) 13 + b d) 27 10y + 7z 15 a) 7m 6 b) 9 c) 6 + 5y d) 0 d) d 60 e) y 4n f) 2 n 2 g) h 2 h) 2 i) 0 j) 6 2 k) b 2 c l) 7n e) 8 4 b 4 f) y 6 g) b 6 c 5 h) e) c 2 f) m 2 n 3 g) 80n 8 h) 56 8 b 4 e) 11 f) 63k g) + 5 h) 10 e) p + 4q + 1 f) 12 4b g) 2y h) 2y e) 3 + 3b f) 22 g) 3m 5 h) 8b c g) 3 2 h) 5 n i) 10 4 m) 6n 2 n) 6 5 o) 2 3 c 3 p) m 2 q) 5 r) 4 2 b 2 i) 4 b 5 c 6 j) 20 3 y 3 k) 2 6 b 7 l) 8c 3 d 3 i) b 5 j) b 6 n i) y z j) b c i) 2 j) 2 i) 3 1 j) 38

43 16 a) 5 5b b) 2y z c) d) 4d 17 a) 6y + z b) 23m 3n + 4 c) 3 7b + 3c d) y z e) 6 + b f) g) 5p + 4q e) 1 f) b g) h) 2 + y h) t i) 4m + 3n j) k) 14 l) 16 y 1 m) 6 + b 8 n) 9b 4 i) j) 2 + 5b 2c o) 4 9b p) 8 6 b q) 5 y r) s) 12p 16 t) 0 18 a) 6 + 6b b) 5c + 5d c) d) 14b + 14 e) 2b 2 + b f) 3 d + d 2 19 a) 6 3b d) b) c e) p 2 + p 6 c) f) 2 b 20 a) 6 2 bc b 2 c 8.4 bc 2 b) 60.5c 2 d 132cd cd c) d) e) 4 b + b 4 21 a) b) c) 12p 3 6p 4 + 3p 5 d) 8y 2 + 6y 3 8y 4 e) 10 2 b b 22 a) b 15c b) 20m + 12n 4q c) 48p 40q + 72r d) c + e ƒ + 1 e) 8bp + 2bq 10br g) 10n + 25 h) 6n 3 i) 2 2 b + b g) 3 2 y + h) m 3 + m 4 + m 5 i) f) 39y y 4 g) 2 5 b b b 4 h) 50 6 y y y 7 i) b 3 c j) ƒ + g f) 6 2 y + 15 y 2 g) 8m 2 r m 3 r 2 h) 21p 3 q 2 14p 3 q 3 i) 8 y + 20b y 12c y j) 4mp + 6pr + 8ps f) b + c + d g) h) 36 5 y y 8 i) 16s 6 t 2 48s 4 t s 4 t 4 32s 3 t 5 j) 45 3 y y y 4 39

44 8 Grundlagen der Algebra 23 a) 21pq + 18p 35q 30 b) 12p + 6q + 20py + 10qy c) 15mp 35my + 18pr 42ry d) 18 m 48 r 12bm + 32br e) 18 y + 15by + 12 z + 10bz 24 a) 6r 2 + 3rs 30s 2 b) c) d) 6r 4 16r r 2 e) 20y 5 14y 4 12y 3 25 a) 6r r 2 2r b) 5y 2 48y + 91 c) 36 25s 2 d) q 2 1.6q e) b 2b 2 f) y 2y 2 f) 24m m + 24 g) 20y y + 15 h) 56r r + 10 i) b + 12b 2 j) 10p pq 10q 2 f) g) 4p 2 6p + 8 6p 2 + 9p 12 h) i) 6d d 8 j) g) c 2 13cd + 12d 2 h) 12r 2 7qr + q 2 i) c + 18c 2 j) 80s 2 2st 99t 2 k) 6r 3 11r 2 2r l) y y 4 26 a) c + d + e + bc + bd + be b) b + 10 d + 2 c + bc + 2cd c) 6 15b y 20by 4y d) 16 z + 4bz 4cz 4 b + c e) f) b + c + b 2 + bc g) m 2 + 3mn + m + 2n 2 + n h) c 4 + c 3 + 2c 2 + c + 1 i) b 6 3b 5 + b 4 + b 3 j) b b + 20 b b b 4 k) 40m m m m l) b 4 b m) b n) 15m + 15my + 20n 40

45 27 a) 4(2 + 1) b) 2b(3c + 1) c) 5( + 3b) d) 3(2 3) e) c(d + e) f) ( ) g) z(z 1) h) 9 (4 + 1) i) 4(5y 3) j) 12(3 + 4b) 28 a) q(p r) b) t(c dt) c) 6 ( + y) d) 8z 2 (3z 2) 29 a) 7(2ƒ 3g + 4) b) 7(e 1) c) s(2r + 1) d) p 2 (p + 1) 30 a) 13(r + 5s 7) b) n(14p 12q + 21) c) 9 b(2 + 2b 1) d) r 2 (3q + 3r + 3s 1) e) 7(2c 3) f) 12n(9n + 14) g) 3t(b 3c) h) 7e(3ƒ t 5g) e) 3(2 + 3y 4p) f) 4(2 + 3y + 4z) g) t( b 6c) h) y( y z) e) 5(2p + 5q) f) 7(2r + 3s) g) 5(2 + 3b 4c) h) 6(2r 3s 4t) i) 9y(9y 2 + 6) j) 8 b(12b + 17 ) i) y( y 1) j) 3(5 9y 4z) i) 5 2 ( ) j) 2pq(6p + 4 3q) 31 a) 3 ( y) b) 7(3r 2 + 2rs 4 + rs 2 ) c) 5 ( 3b + 7c) d) 3p(5q 6r 7s) e) 3 (19 2 6b 2 + 7c) f) 6 b(5 b 7b + 3 ) g) 11( y 2 5y) h) 2mp 2 (17m mp) i) 14m 2 n 2 (3m 5n 3) j) 2 yz(2 5y + 8z) 32 a) (r s)(q + 1) b) (5e 1)(1 c) c) (ƒ + g)(1 d) d) (3p 2)(5p + 1) 33 a) ( + b)( + y) b) (c + d)( y) c) ( + r)(p + s) d) ( 2)(b + 4) e) (y z)( 1) f) (st 4)(s + t) g) (r 2)(r + 1) h) ( + b)(4 5y) e) (s + q)(p r) f) ( + b)( y) g) ( + b)( + 5) h) ( + b)(p q) i) ( + ) p(p 1) j) (y )(1 + b c) i) ( + )( y) j) ( + b)(4 5c) 41

46 8 Grundlagen der Algebra 34 a) (2b + 3c)( 3c) b) ( y)(b + c) c) (r s)(p q) d) ( y)(y + z) 35 a) ( + 2)( + y) b) (b + c)(q r) c) (2 )(1 + 5r) d) (4n 3)(7k 1) e) (2p 3q)(q + r) f) (2 3y)( + b) g) (c d)(4 3b) h) (4b + 1)(4c 1) e) (3 2b)( + 3c) f) (p + q)(4m 1) g) (t 5)( y) h) (r 1)(r + s) i) ( 1)(5b 2c) j) (b 2 + 1)( 2 + 1) i) ( + b)( + ) j) (j + 2)(j k) 36 a) (c + 2d)(y 2 ) b) (4s 9)(3t + 4) c) (3p 2q)(8z 13) d) (7ƒ 3)(5ƒ 9g) e) (9 + 4c)(9b + 8d) 37 a) (4 5c)( + b) b) ( 2c)(3b + 4c) c) (y + z)( y) d) ( + b)(2 3y) e) (4 3b)(c d) 38 a) (4r 1)(5r + s 2 ) b) (7e + 2g)(3ƒ + 8g) c) 4 (m + n)( + y) d) 3( 2)(2b + 1) e) 2 ( 2 )( ) 39 a) ( + )(e + ƒ ) b) 3(p + q r)(k 2) c) ( + b + c)(r 1) d) e(ƒ + g)(m n 1) e) (5 p)( + y + z) f) (m + 1)(n 1) g) (2 3)(4 ) h) (5 6)(4y 3z) i) ( 4y)(3 + 1) j) ( + 7y)(y 6 ) f) (4c 1)(4b + 1) g) (5 3b)( + z) h) (q + r)(2p 3q) i) (y + 1)( + 1) j) ( b)( + b + c) f) 4r 2 s(5s + 2)(2r 3) g) 5t( + 3b)(c 4d) h) ƒ g(g e)(e + ƒ ) i) 2(7p 6)(2q 3) j) 6y 2 ( 2z)(5y 3 ) f) ( 1)( ) g) (2 + 5)( + 5b 6c) h) r(r + 2)(2p 3q 1) i) 11(2c 3d)( t + 3) j) (5mn 1)(3 y + 2z) 40 a) ( + 3)( + 4) b) ( + 7)( + 4) c) ( + 11)( + 9) d) ( + 6)( + 12) e) ( + 6)( + 7) f) ( + 8)( + 9) g) ( + 3)( + 10) h) ( + 11)( + 5) i) ( + 7)( + 8) 42

47 41 a) ( 6)( 9) b) ( 4)( 8) c) ( 7)( 9) 42 a) ( + 9)( 7) b) ( + 10)( 4) c) ( + 12)( 8) 43 a) ( 12)( + 8) b) ( 12)( + 6) c) ( 10)( + 5) 44 a) ( + 1)( + 9) b) ( 5)( 3) c) ( + 3)( + 24) 45 a) ( 6)( 4) b) ( 6)( 11) c) ( 8)( 7) 46 a) (s + 12)(s + 6) b) (p + 11)(p + 12) c) (y 14)(y 15) 47 a) (b + 3)(b + 17) b) (m 11)(m + 10) c) ( 2)( 8) 48 a) 5( 3)( + 5) b) 9z 2 (z 1)(z 3) c) 3(k 4)(k + 5) d) ( 8)( 11) e) ( 9)( 10) f) ( 4)( 5) d) ( + 15)( 5) e) ( + 13)( 3) f) ( + 8)( 1) d) ( 14)( + 10) e) ( 15)( + 3) f) ( 9)( + 2) d) ( + 8)( 5) e) ( 10)( + 5) f) ( + 4)( + 14) d) ( + 5)( + 4) e) ( 20)( + 12) f) (d + 7)(d + 13) d) ( 4)( + 6) e) ( 8)( + 5) f) (t + 1)(t 7) d) ( 14)( + 7) e) (p 15)(p + 8) f) (z 16)(z 13) d) b 3 (2b 1)(b + 5) e) (c + 5)(3c + 1) f) ( 2)(2 1) g) ( 8)( 12) h) ( 5)( 10) i) ( 12)( 3) g) ( + 9)( 2) h) ( + 11)( 3) i) ( + 12)( 4) g) ( 10)( + 3) h) ( 12)( + 9) i) ( 12)( + 10) g) ( 7)( 5) h) ( 7)( + 3) i) ( 11)( + 7) g) (r 6)(r 9) h) (n 8)(n 18) i) (n 12)(n 12) g) ( 4)( 21) h) ( 3)( + 28) i) (c 12)(c + 9) g) (q 18)(q + 2) h) (r + 5)(r 48) i) ( 2 + 3y)( 2 8y) g) (e + 1)(4e 1) h) (k 1)(5k + 3) i) (n + 3)(2n + 1) 49 ( + b) 2 = ( + b)( + b) = 2 + b + b + b 2 = b + b 2 q.e.d. ( b) 2 = ( b)( b) = 2 b b + b 2 = 2 2 b + b 2 q.e.d. ( + b)( b) = 2 b + b b 2 = 2 b 2 q.e.d. 50 a) p 2 + 2pq + q 2 b) c) p 2 + 6p + 9 d) e) f) p 2 + 2p + 1 g) 1 + 2m + m 2 h) b + b 2 i) y + y 2 j) y + 9y 2 k) y + 25y 2 l) b + 36b 2 43

48 8 Grundlagen der Algebra 51 a) (6 + 5 ) 2 b) (2c + 7d) 2 c) ( + 8) 2 52 a) 2 2 y + y 2 b) c) d) a) ( y) 2 b) (n 2) 2 c) (3q 1) 2 d) ( 2 b 2 ) 2 e) (m 1) 2 54 a) 2 y 2 b) p 2 16 c) m 2 49 d) a) (2c + 3d)(2c 3d) b) (z + 15)(z 15) c) (6n + 1)(6n 1) d) (18b + )(18b ) e) (1 + )(1 ) f) (4p + q 2 )(4p q 2 ) d) (9z + 2) 2 e) (y + 1) 2 f) 2(6n + 7) 2 e) y + y 2 f) 2 8 y + 16y 2 g) y + 25y 2 h) b+49b 2 f) (2ƒ 5g) 2 g) (4r 3s) 2 h) (p 2 4) 2 i) 5( b) 2 j) (y 1) 2 e) p 2 4q 2 f) 2 25y 2 g) b 2 h) 49y 2 16 g) ( 2 +y 2 )( +y)(y y) h) (4m + 3n)(4m 3n) i) (5 + 1)(5 1) j) (7t + 2s)(7t 2s) k) (11q+24)(11q 24) l) ( + 8 )( 8 ) g) (4c + 9d) 2 h) (7z 2 + 4y) 2 i) (2c + 7d) 2 i) 16y 2 48yz + 36z 2 j) 36y 2 60y + 25 k) 2 b 2 10 b + 25 l) k) 3(3 ) 2 l) 5(3n 2) 2 m) 2(6n + 7) 2 n) (qr 2) 2 o) (6 2 5y) 2 i) 2 y 2 9 j) 2 2 b 2 y 2 k) 25 2 y z 2 l) 36b 2 c b 2 m) (17 + p)(17 p) n) (r 2 + 1)(r + 1)(r 1) o) (9 + y 2 z)(9 y 2 z) p) 6( + b)( b) q) 9k 2 (k + 1)(k 1) r) n(n + 1)(n 1) 56 a) b) 2 y y + 9 c) b y + b 2 y 2 d) 4 2 b bc c 2 e) 2 9 f) b + 36b 2 g) 2 b b + 2 h) b 2 i) 9 2 b bc + 49c 2 j) k) 9 2 b bc c 2 l) 100b m) 25c 2 20cd + 4d 2 n) 9m m o) k 4 2k 3 + k 2 44

49 57 a) 100p 4 360p b) q q c) d) r s2 e) 9n f) 1 64q 2 g) 4b 2 + 8b a) 9p 2 30p + 25 b) 49q q + 36 c) y + 25y 2 d) 16p pq + 4q 2 e) 25m mr + 36r 2 f) 9p 2 41py + 49y 2 g) b + 16b 2 h) 9m 2 48mr + 64r 2 59 a) 49r r + 4 b) b + 16b 2 c) b + 9b 2 d) 9p pq + 25q 2 e) 25p 2 20pq + 4q 2 f) 4r rs + 25s 2 g) 9r 2 36rs + 36s 2 h) a) 9y y b) c) 1 + 2p 4 + p 8 d) 1 2 b + 2 b 2 e) f) g) h) 25 2 b b h) i) 4n n + 25 j) 4n 2 4n + 1 k) 4 2 b b 2 + b 2 l) b + b 2 m) b 3 + b 6 n) o) i) 9y yz + 4z 2 j) b + 25b 2 k) 9m m + 36 l) 64m m + 16 m) 25y y + 9 n) 16y y + 25 o) 64r r + 25 i) j) k) l) 9r 4 30r r 2 m) 4r 4 8r 3 + 4r 2 n) 25y y y 4 o) 16y 4 16y 3 + 4y 2 i) y + 25y 2 j) c + 4c 2 k) 4m 2 r m 3 r 3 + 9m 4 r 2 l) 9p 4 q 2 12p 4 q 3 + 4p 4 q 4 m) 25y n) y 2 49 o) 4d

50 8 Grundlagen der Algebra 61 a) 64 9d 2 b) c) d) 36 25s 2 e) q f) q g) 4b 2 2 h) 9 2 b 2 62 a) 4 2 (4bc + 3de) 2 b) b 2 (7 2c) 2 c) d 2 (2c + 7r) 2 d) (5 yz + 3q)(5 yz 3q) e) 4(3bc 4de) 2 f) (7rst + 9 y) 2 g) 9 2 (3y b) 2 h) (9 bc + 2 y)(9 bc 2 y) i) (4 bd + 3c) 2 j) 16(2z b) 2 63 a) (2mr 2 + p) 2 b) (6 5z) 2 c) (14c + 3d 2 ) 2 d) 16(3y z) 2 e) (3p 2 q + 10r 2 ) 2 f) (4 3 9y) 2 g) (7 b + 6cde)(7 b 6cde) h) (5 b + 4 k)(5 b 4 k) i) (7 y 8 b) 2 j) (9c 2 de + b)(9c 2 de b) 64 a) b) c) d) 2 3( + 5) 1 8 i) 16 2 y 2 j) c 2 144d 2 k) q 2 9r 2 l) q 2 16r 2 m) 4 2 9c 2 n) 36c 2 2 o) 64s 2 81t 2 k) (2n 5 2 ) 2 l) (4eƒ g + 7bc)(4eƒ g 7bc) m) 4(2y + 5bc) 2 n) (8m 7n) 2 o) (7r + 6st 2 ) 2 p) (2 2 9bc 2 ) 2 q) ( y 2 ) 2 r) (5y 3 6z) 2 s) 4(cd + 4 )(cd 4 ) t) (5 b + 7c) 2 k) 9d 2 (c 3eƒ ) 2 l) 4(5 2 + z) 2 m) (3 b 2 + 2ceƒ g)(3 b 2 2ceƒ g) n) 4 (4 3) 2 o) (5 + 4) 2 p) (12 5y) 2 q) b 2 (5 14b) 2 r) 3 (2 3b) 2 s) 2 (4b 4 5 c) 2 t) c 2 (6 b 5eƒ ) 2 e) f) 4 3c 2 + b 46

51 ( + 1) g) y 65 a) 0 h) + 3y + 5y b) (11b 74 ) i) ( + 1)( 1) j) y + 4 y k) c) ( + 3)( 3) 7 2( 1) l) d)

52

53 9 Bruchrechnen 1 a) 19 3 d) 25 4 g) j) 5 2 b) 24 7 e) 11 4 h) 7 3 k) 13 3 c) 14 9 f) 23 8 i) 57 7 l) a) d) g) j) b) e) h) k) c) f) i) l) a) 4 6 und 3 6 b) und c) 8 27 und a) 28 84, und 7 84 b) 27 72, und c) , und a) 7 5 b) 8 7 c) a) 2 9 b) c) a) b) 45 8 c) a) 4 3 d) 6 5 e) 17 3 f) 19 7 d) e) f) d) e) 26 3 f) d) und 9 24 e) und 7 18 f) d) und , und e) , und f) c) , und g) 7 9 h) 11 2 i) g) h) i) g) h) i) 7 72 g) 9 10 und h) und i) und g) h) 8 960, und , und i) , und e) j) k) 7 24 l) j) k) l) j) 37 8 k) l) b) 45 2 d) 56 9 f)

54 9 Bruchrechnen g) h) 65 2 i) a) 1 j) k) l) f) m) 8 21 n) o) 1 12 k) b) 4 3 c) 1 9 d) e) a) b) c) d) e) a) b) 5 3 c) d) a) b) 8 9 c) a) 6 b) c) a) b) g) 1 2 h) i) 1 j) 6 f) 3 g) h) i) j) e) f) g) h) d) e) 21 4 f) d) e) f) c) d) l) 1 4 m) 3 5 n) o) k) l) 7 30 m) n) 1 5 o) i) j) k) l) g) 4 7 h) 6 7 i) 18 7 g) 5 8 h) i) 8 49 e) f) a) 0.3 d) 0.8 g) j) 0.2 b) 0.6 e) 0.16 h) k) 0.7 c) 0.75 f) 0.83 i) l)

55 m) 0.27 o) 0.54 q) s) n) 0.12 p) 0.63 r) 0.65 t) a) 1 2 f) k) p) b) 1 5 c) 1 8 g) h) l) 1 3 m) 11 9 q) r) d) i) n) 4 11 s) e) j) 3 25 o) 4 9 t) Es ist z. B = 1.6 = 5 3 und 5 3 : 10 = 5 30 = 1. Wir multiplizieren also mit einer Zehnerpotenz, sodass die Periode direkt nach dem Komma be- 6 ginnt. Die neu entstandene Zahl wandeln wir wie gehabt um («Trick 99»). Ganz zuletzt dividieren wir dann wieder durch die Zehnerpotenz, um die Komma- Verschiebung rückgängig zu machen. 18 a) 3 2 b 2 9 b 2 d) 6 2 b b 2 g) 9 2 b 2 21 b b b 4 b) 6 b2 3 b 3 c) 9 2 b 2 15 b 3 e) 3 2 b b b 2 f) 3 2 b 2 3 b b b 3 h) 30 2 b 2 15 b b b 3 i) 63 3 b b b b 3 19 a) 5 b b 2 d) 30 b b 2 g) 25 b b 2 b) 2 2 b 10 2 b 2 e) 20b 2 y 10 2 b 2 h) 8 2 b b 2 c) 4 3 b b 2 f) 6 2 c 10 2 b 2 i) 12 b b 2 20 a) 7 9b d) q 3pr g) 1 b) 3 4 e) 1 3 h) 2b b c) 3y 5 f) 2 2 3bc i)

56 9 Bruchrechnen 21 a) 5c 2 d 4 2 bc und 6 ƒ bc f) ( + b)( b) b( b) und b b( b) b) 36 2 bc 3 yz 20 3 y 3 z und 15 b2 c y 3 z g) 15c2 ( 2 b) 7( 2 b) und 49b 7( 2 b) c) 3 2 y 40 b y und b b 2 h) 3 y( + b) 10( + b) und 2(8 2 + y) 10( + b) d) 2y( b) ( + b) 8 2 y 2 und 8 2 y 2 i) 3(3 b) 6( + b) und 5c2 6( + b) e) ( + y)2 ( + y) und 2 ( + y) j) 18 3 yz 2 10(3c 5) und 40 y3 z 10(3c 5) k) y 3 z 2 yz, yz 2 2y2 2 und yz 2 yz l) cd(5c 2), bcd bd(3b + 1) bcd und bc(4 + 3) bcd m) 4b( + c) 6 b(b + c) 12 2, b b 2 und 3 ( c) 12 2 b 2 n) 20 by2 z 9 2yz2 24 2, b 24 2 b und 16b3 c 24 2 b o) 63 3 c 36 b 2 c 2, 30 b5 36 b 2 c 2 und 40bc 2 y 36 b 2 c 2 p) bcd 2 90c 3 d 3 e 3, 150 b2c2 e 90c 3 d 3 e 3 35 bde3 und 90c 3 d 3 e 3 22 a) (5 2 7b) bc( + b), (3 + b) (8b c) und bc( + b) bc( + b) b) 135 ƒ ( + b) 60 ( + b)( 2b), 100ƒ 2 ( + b) 12 ( 2b(3ƒ 8g) und 60 ( + b)( 2b) 60 ( + b)( 2b) c) ( + 3)( 2) 7( 2)(4b c) 4( + 3)(3 b 2c), und 28( + 3)( 2) 28( + 3)( 2) 52

57 23 a) + b + c c( + b) f) 5 ( 1) ( 5)( + 5) b) 2 + y ( + y) g) ( 3)( + 3) c) 3y2 3y 2 y(y 2) d) z2 17z + 3 z(z + 3) h) n2 + n 10 n(n + 5) i) y y 2 ( y)( + y) e) 2 ( 1)( + 1) j) 4m 1 (m 1)(m + 2) 24 a) 12 5y b) 4 7b c) 2c 3d f) 1 y g) + 4b 3 b h) y + 3z 2 d) 3k2 2m e) 2 i) j) 6 (y z) y 20b 3 + b 25 a) 24y y 2 (y 3)(y + 6) f) (1 + 8 )(1 8 ) b) 4z2 5z 13 (z + 3)(z 3) g) 2(c d) c + d c) ( + 2) 2 d) (2 + 5)(2 5) h) y y 2 y 2 ( + y)( y) i) 2y2 + 4y 2 z z 3 + z 2 (2y + z)(2y z) e) 224y 9 (7y + 3)(7y 3) j) ( + 1)( 1) 53

58 9 Bruchrechnen 26 a) b) c) 2 6 ( + 1)( 1) 4 ( + 1)( 1)( 2) 53 (c 5)(c + 3) d) y y 2 y ( + 2y) 2 ( + y) e) 2 2 y y y + 2y 3 4y 2 ( 2y)( 3y)( 4y) f) b 8 b b 6b 2 ( 4b)( + 3b)( 2b) g) h) i) j) 5(b + 1) (b + 3)(b 2) b ( + 2b)( 2b) 6d (c + 5d)(c + 3d) 27 a) 8 z 3y b) c 2 c) 20 d) 8 5 e) 6 5b f) c 2 g) 3 z 4y h) 2 6 i) + y 6 j) 4y 2 (y )(y + ) 54

59 28 a) 2y 3 b) c) 2( b) 5 2(r + s) r s d) ( + y)( + 2y) f) g) h) i) 9 2( 2 + 4) z(z 3) z y ( + 2)( + 3) ( 1)( + 5) ( y)2 + 2y e) 2( + 2) + 3 j) 2b + 2b 29 a) 4b c b) 4b 3 e) b y f) 4 b y c) 1 4d g) b y d) 4 b2 5c 2 h) 2 + y 2 3y 30 a) 5b5 108 f) + 7y 3( + 3y) b) 2c 2 21b 2 d 2 g) 2 ( b) 2 c) 7c2 d 3 e ƒ 4 h) 5 3 d) b 3 i) + 3y 12 e) 2( y) 9 j) ( + 2y)( + 3y) 2 55

60 9 Bruchrechnen 31 a) (3 + y)( 3y) d) 1 4 b) ( + 2)(2 + 3) ( 1)(3 4) e) (2 1) 2 ( + 2)(3 + 2) c) e 7ƒ 6(e 7) f) ( + 2b)( + 6b) ( 2b)( + 3b) 32 a) 1 b b) 2 b d) y 1 e) 8n g) p 2 p + 2 h) 4ƒ 3e c) 2 b 2 f) 8 2 y 15 i) 1 ( 2) 33 a) 3g + 1 3g 1 b) c) e(e 1) e z y2 yz d) n n 2 e) r f) 10ƒ n 2 g) h) i) q r 1 y 3 2b 6 34 a) + b b + c c) 10ƒ 2 n e) 4 z 15c b) 10kt 13 d) 5 6c f) 5 2 6b 2 c 35 a) + c) (s t)(s + t) e) 1 b) y(y 3 ) 2y 2 + y + 2 d) c f) z 12 (z + 4)(z 2) 36 a) 4 b) c) 4y 5 d) 2 3e e) 5r f) 13 7c g) 2 h) 8 z 5y i) 3 2g 56

61 j) 5e ƒ k) l) m) 3 2b 8c 7d 5q 20r n) 3y 4 z o) p) 3 2ƒ 2 2 ƒ 2 s q) 2t 3s r) 5ƒ 2 2e s) 5ƒ 2 4 t) 17gh u) 1 2 v) 6bc w) 9ƒ g 11 x) 5m2 8k 3 37 a) + 4 b) 2n 3 3c 2d c) c j) d(3e + 7d) k) 4 e 2 6ƒ q) r) 8d(c 3) 7c r 2 t(t 7rs) d) 1 2n 1 l) 7s 5r 12t s) 5 3 e) 4 s 2t f) 2(2p + q) g) + b 2 h) m) (4 2 1) 4 n) b c(5 3 b) o) 5ƒ g 10 t) 4 3 u) 2 b v) 3y w) 1 3 i) n(m2 n) m p) 8 y(y + 4 ) x) a) 46p 45q e) i) 3c + 2b bc b) e 6 c) 10d cd f) 2 + b 2 b g) 3b + 2 b j) 32b2 9 b b 2 k) 2 + b 2 b d) 3s h) 2 c b l) 2(c ) c 57

62 9 Bruchrechnen m) 2( + 1) ( 1) p) 2by + 3 b y s) + 3b ( + b) n) (2 ) q) 4c2 + 3b 2 6 bc t) c(b2 + 2 ) b o) 2 y 3b 6 y r) 10 b + 3by b u) bc 4 b 39 a) m n b) 6c c) p 2 1 d) 5 z e) r s f) 1 g) 7 y 3c h) 3c2 d 2 i) 4 3 j) 5cd k) 3 2 l) 6bcd m) b 6 n) 2 3 o) y 4 p) q) r) 2( b) s) b bc t) 3 y 2 40 a) 8yz 15 i) 4 bcd eh b) 5 6 j) 3 4 c) ( + 2y)2 6y k) 5( + b) 4( b) d) (z + )(z ) 6 e) 2 2 ( 1) + 1 m) l) 2 3 5( 2) 2b 1 f) 3 (2 5 ) 2 n) ( + y)( y)2 2 y 2 g) 28 5c o) + y b h) 1 9 p)

63 41 a) n d f) 2( + b) b( 1) k) 3 p) 2 5 b) c) d) 5 8e 2 e) 16n g) h) b i) 5 6 ( + 1) 1 j) 2d 3 l) 2(s 1) 3 m) 3 2c n) o) r(r s) 9s 3( + 2) + 3 q) 2 3 r) n 10 s) 3 t) b 4( + b) 42 a) 2 7 b f) 1 9d b) 216 5m 2 n 2 c) b2 ( y b ) 2 y 2 z 3 d) 13 8ƒ g) h) 2 3 4d (b n) 3n( + y) i) 9( + 1) e) 15 8 j) a) b 2 2b f) 9 8 b) 4( 10) (4 5) g) c) 9( 7) 2( + 3) h) 3(3 7) 2( + 2) d) 3 + b 3 4 e) c 2 bd i) j) (2 3 )( + 3) 2 bc 3 y 2 2 d

64 9 Bruchrechnen 44 a) b) c) + 9 ( + 6) 2 ( + 8)2 e) ( 4) 2 cn( y) f) 9 (b c) g) 40b i) j) 6( 3)2 ( + 5)(4 ) 4 2 ( + 1) ( 6)( 3) k) ( 7)( + 5) d) 3(3 ) 2( 7) h) 3 2 2( + 2) l)

65 10 Gleichungen 1 a) 1 d) 2.5 g) 7 j) 3 b) 2 e) 9 h) 4 k) 3.5 c) 1.5 f) 0 i) 2 l) 4 2 a) 0.5 d) 1 g) 0 j) 8 b) 10.5 e) 3 h) 2 k) 2 c) 4 f) 5 i) 13 l) 2 3 a) 6 c) 9 e) 2 g) 27 b) 13 d) 4 f) 0 h) 5 4 a) 7 c) 14.5 e) 2.1 g) 22 b) 5.5 d) 87 f) 2.03 h) 3 5 a) 14 c) 4 e) 5 g) 27 b) 8 d) 10 f) 34 h) 12 6 a) 2 c) 23 e) g) 26 b) 4 d) 29 f) 14 h) 25 7 Weil dann die Nenner nicht plötzlich Null werden können. 8 a) D = R \ { 1 2 } e) D = R \ { 3; 1} i) D = R \ { 5; 2} b) D = R \ {1} f) D = R \ { 2; 14} j) D = R \ {1; 3} c) D = R \ { 3 5 } g) D = R \ { 2; 4 3 } k) D = R \ {1; 4} d) D = R \ {1} h) D = R \ {2; 3} l) D = R \ {1; 5} 9 a) 9(2 + 1) e) ( 1)( + 3) i) 2( 2)( + 5) b) 4( 1) f) ( + 2)(14 ) j) ( 1)( 3) c) 7(5 3) g) ( + 2)(3 4) k) ( 1)( 4) d) 8( 1) h) 2( 2)( 3) l) ( 5)( 1) 10 a) 20 d) 42 g) 10 j) 16 b) 15 e) 18 h) 49 k) 8 c) 20 f) 18 i) 8 l) 12 61

66 10 Gleichungen 11 a) 18 b) 15 c) 5 d) 24 e) 11 f) 7 g) 12 h) 12 i) 24 j) 0 12 a) 18 b) 14 c) 27 d) a) 7 b) a) 4 b) 5 c) 2 d) 5 15 a) D = R \ { 5 3 ; 1}, = 5 e) 13 f) 8 g) 7 h) 11 c) 3 d) 3 e) 5 f) 4 g) 6 h) 8 i) 13 j) 18 k) 28 l) 21 e) f) 10 i) 7 j) 5 k) 7 l) 9 f) D = R \ { 2; 2 3 }, = 6 b) D = R \ { 13; 3}, = 7 c) D = R \ { 5; 2}, = 9 d) D = R \ { 1 3 ; 1}, = 5 e) D = R \ {±3}, = 5 16 a) D = R \ { 3; 1}, = 5 b) D = R \ { 2; 4}, = 8 c) D = R \ {0}, = 4 d) D = R \ {0}, = 2 3 e) D = R \ {0}, = 2 17 a) D = R \ { 4; 3; 2}, = 3 b) D = R \ {2; 3; 4}, = 12 c) D = R \ { 2; 1; 4}, = 7 d) D = R \ { 5; 2; 3}, = e) D = R \ { 2; 1}, = 3 g) D = R \ { 1 3 ; 5 3 }, = 7 h) D = R \ { 2; 1}, = 4 i) D = R \ { 2; 1}, = 10 j) D = R \ { 2; 3}, = 8 f) D = R \ {0}, = 5 8 g) D = R \ {0}, = 3 10 h) D = R \ {0}, = 10 i) D = R \ {6; 7; 8}, = 9 j) D = R \ {2; 3; 4}, = 8 f) D = R \ {±1}, = 4 g) D = R \ {±1}, = 11 h) D = R \ {1; 2}, = 6 i) D = R \ {2; 4}, = 7 j) D = R \ { 2; 3}, = 5 62

67 18 a) = 2y b) = 19 a) n = s b) r = 2π c) s = 2A h s d) h = 2A + c = 2A h c c = 2A h und h s = 2A s c) = c 12 2r d) = e) = ( 1) f) = A f) R = π + r2 und r = R 2 A π 360 A g) r = und α = 360 A α π r 2 π V h) r = π h und h = V r 2 π 3V 3V i) s = und h = h s 2 3V j) r = π h und h = 3V r 2 π k) = 3 12V 2 e) r = 180 b πα 20 a) s = t und t = s b) m = F und = F m 21 a) ±72 b) ± 9 13 c) ± a) 1 = 1 12, 2 = 0 b) 1 = 8, 2 = 0 c) 1 = 1 3, 2 = 0 23 a) 1 = 3, 2 = 3 b) 1 = 1 3, 2 = 1 2 c) 1 = 0, 2 = 2 d) 1 = 6, 2 = 1 e) 1,2 = 2 ± 5 und α = 180 b rπ d) ±48 e) ±1 f) ± 1 4 d) 1 = 5 8, 2 = 0 e) 1 = 10 9, 2 = 0 f) 1 = 1 15, 2 = 0 f) 1 = 3, 2 = 11 g) 1 = 3, 2 = 20 h) 1,2 = 8 ± 77 i) = 4 j) 1 = 2, 2 = 5 3V l) r = 3 4π c) m = 2E 2E 2 und = m d) = 2s 2s t 2 und t = g) ±15 h) ±15 i) ±5 g) 1 = 5, 2 = 1 h) 1 = 9, 2 = 7 k) 1 = 7, 2 = 8 l) 1 = 7, 2 = 2 m) 1 = 1 3, 2 = 8 n) 1 = 6, 2 =

68 10 Gleichungen 24 a) 22 c) 25 e) 10 g) 18 b) 19 d) 18 f) 20 h) a) 15 c) 11 e) 16 g) 3 b) 18 d) 7 f) 26 h) a) 9 c) 3 e) 9 g) 3 b) 6 d) 3 f) 9 h) 6 27 a) 17 c) 31 e) 21 g) 11 b) 14 d) 13 f) 12 h) 5 28 a) 18 e) 29 b) 27 f) 18 c) 20 g) 7 d) 17 h) a) 19 e) 11 b) 29 f) 67 c) 3 g) 0 d) 1 h) 3 30 a) 3 25 e) 3.05 b) c) 1.4 f) 61 g) 4.05 d) 1 2 h) 6 31 a) 1 b) L = f) 11 3 g) L = c) 5 3 h) 10 d) 0 i) 6 e) 1 3 j) 0 32 a) L = R b) 7 e) 1 19 f) 0 c) 3 g) 1 d) L = R h) 1 64

69 33 a) D = R \ {4; 5}, = 3 b) D = R \ {0; 3}, = 3 8 c) D = R \ { 5; 3}, = 21 d) D = R \ { 12; 0}, = 12 e) D = R \ { 1 2 ; 0}, = a) D = R \ {2; 3}, = 10 b) D = R \ { 3}, = 1 c) D = R \ { 1}, = 2 13 d) D = R \ {2}, = 7 2 e) D = R \ { 5}, = 37 f) D = R \ {7; 11}, = 0 g) D = R \ {1}, = 5 3 h) D = R \ {±1; 0}, = 2 i) D = R \ {2; 3}, = 10 j) D = R \ { 3 2 ; 1 3 }, = 2 f) D = R \ {4}, L = D g) D = R \ {±2}, L = D h) D = R \ {4; 5}, = 4 i) D = R \ {2; 3}, = 0 j) D = R \ { 3 2 ; 1 3 }, = 2 35 a) D = R \ { 8; 6}, = 4 5 b) D = R \ { 1 3 ; 2 17 }, = 3 32 c) D = R \ {0; 3 }, = 1 7 d) D = R \ { 3 ; 0}, = 2 2 e) D = R \ {±3}, = a) 1 = 2, 2 = 1 5 b) 1 = 6, 2 = 5 c) 1 = 11, 2 = 4 7 d) 1 = 2, 2 = 5 e) 1 = 3, 2 = 1 f) 1 = 1, 2 = 3 2 g) 1 = 1 3, 2 = a) 1 = 2, 2 = 1 2 b) 1 = 4, 2 = 7 4 c) 1 = 5, 2 = 7 2 d) 1 = 1, 2 = 2 e) 1 = 7, 2 = 4 f) D = R \ {±1}, = 1 4 g) D = R \ { 5; 3}, L = h) D = R \ {±2}, = 5 i) D = R \ { 4 3 }, = 3 2 j) D = R \ {±5}, = 1 5 h) 1 = 1, 2 = 7 10 i) 1 = 1, 2 = j) 1 = 1, 2 = 5 4 k) 1 = 1.82, 2 = 1.9 l) 1,2 = 1 4 (7 ± 65) m) 1 = 3, 2 = 2 n) 1 = 9, 2 = 25 3 f) 1 = 3, 2 = 7 5 g) 1 = 6, 2 = 1 h) 1,2 = ± 5 i) 1 = 7, 2 = 1 j) 1,2 = ±1 65

70

71 11 Angewandte Gleichungen bei Textaufgaben Dies stimmt für alle Zahlen und 14 Jahre und 20 Jahre und 6 Jahre und 18 Jahre 51 vor 9 Jahren 52 5 und 1 Jahr 53 8 und 24 Jahre 54 3 und 6 Jahre und 30 Jahre 56 4 und 16 Jahre und 44 Jahre und 60 Jahre und 3 Jahre und 48 Jahre 61 8 und 2 Jahre und 64 Jahre 63 8 und 12 Jahre 67

72 11 Angewandte Gleichungen bei Textaufgaben 64 3 und 6 Jahre und 10 Jahre und 16 Jahre und 5 Jahre 68 8 und 2 Jahre 69 7 und 5 Jahre und 12 Jahre und 25 Jahre 72 8 und 12 Jahre und 49 Jahre 74 8 und 80 Jahre und 17 Jahre Sechser- und 35 Viererkisten Sechser- und 6 Viererzelte 78 5 Spinnen und 253 Ameisen 79 7 Autos, 5 Motorräder Hühner, 3 Katzen 81 3 PWs, 2 Minibusse 82 5 Unentschieden, 7 Siege Kamele, 17 Dromedare Simpsons, 8 Feuersteins 85 8 Lastwagen, 10 Autos GB-Karten, 3 8GB-Karten Dessert- und 50 normale Gabeln Personen (und 23 in der 2.) zwei- und 9 dreistrahlige Paar 91 Lösungen wie in Beispiel 92 Christine: 30, Viola: 45, Tobias: Thomas: 9, Chris: 11, Michel: 12 und Oli: Bauer: 35, Peter: 44, Zimmermann: A: CHF , B: CHF , C: CHF , D: CHF Romane, 13 Sachbücher, 15 Schulbücher, 20 Taschenbücher 97 CHF , , und Fam. Kleinert: USD , Fam. Mettler: USD , Fam. Klaus: USD Ida: CHF 26.00, Hedi: CHF 37.00, Elsi: CHF Note 6: 4, Note 5: 6, Note 4: 8, Note 3: 5, Note 2: 2 Schüler 101 Fredi: CHF 35.00, Beni: CHF Gusti: CHF 16.00, Yvan: CHF 28.00, Edi: CHF Carmen: CHF 42.00, Jolanda: CHF 21.00, Nadine: CHF CHF bzw. CHF , 13 und 26 cm , 36 bzw. 42 Pralinen , 65 bzw. 90 cm 108 CHF kg 68

73 110 a) 3 kg b) CHF a) 50 % b) 40 % 112 a) CHF b) CHF c) CHF d) CHF e) 1.43 kg f) kg g) 3.5 kg h) 48 kg i) 5.4 kg j) 8.46 kg 113 nach 40 min, 10 km (Marina) bzw. 12 km (Bianca) 114 nach 55 min, km von Hamburg bzw km von München entfernt 115 Jeder braucht 1 h 40 min; Sam legt rund 11.7 Meilen und Joe rund 18.3 Meilen zurück km bzw. 6.3 km (Radfahrer) 117 um 9.09 Uhr, km von Tann min, 1.55 km 119 um Uhr 120 Klaus holt ihn nach rund 16 min und 37 s ein; die beiden sind dann ca km von Pauls Startort entfernt min 40 s, 300 m min 30 s, m Uhr, km 124 rund 3 min 53 s, 3.15 km min, 13.3 km min 56 s , 51, und , 124, , 223, , 116, , 72, , 34, , , , und cm cm Teilnehmer cm Personen 149 vor 8 Jahren und 15 Jahre Jahre Rot, 10 Weiss, 15 Mineral 69

74 11 Angewandte Gleichungen bei Textaufgaben Bilder m 155 Lea: CHF 15.00, Martina: CHF 5.00, Nina: CHF Pferde, 120 Rinder, 420 Schafe s 157 Oli: CHF 50.00, Nils: CHF 25.00, Lars: CHF Sonja: CHF 20.00, Nils: CHF 30.00, Henrik: CHF Nüsse l, rund CHF nach 1 h 40 min und 200 km km/h bzw. 21 km/h; 12 bzw. 14 Runden 163 nach 50 min, 25 km 164 nach 90 min 165 nach 30 min, 70 km 166 Es reicht nicht: Claudia braucht 5 km, um Susanne einzuholen. 167 Nein, er bräuchte dazu rund 16.7 km. 168 nach 2 h 45 min und km s s 172 um Uhr, 3.75 km entfernt 173 um Uhr km h 20 min, km min, 24 km km/h min km/h bzw. 16 km/h km/h h 50 min 40 s, Eltern: km, Kinder: km min 50 s, 258 m/min 70

75 12 Ungleichungen 1 a) L = { R > 4} =]4, [ b) L = { R < 2} =], 2[ c) L = { R 20} = [20, [ d) L = R \ {4} =], 4[ ] 4, [ e) L = { R 0} =], 0] 2 a) L = {5, 6, 7,...} f) L = { R < 10} =], 10[ g) L = { R < 3} =], 3[ h) L = R\{0.6} =], 0.6[ ]0.6, [ i) L = { R > 1 2 } =] 1 2, [ f) L = {9, 8, 7,...} b) L = { 3, 4, 5,...} g) L = { 4, 5, 6,...} c) L = {20, 21, 22,...} h) L = {0, ±1, ±2,...} d) L = { 5, 6, 7,... ; 3, 2, 1,...} e) L = {0, 1, 2,...} 3 a) L = { R < 3} b) L = { R 2} c) L = { R < 5} d) L = { R 4} e) L = { R < 2} f) L = { R < 1} g) L = { R < 2 5 } h) L = { R > 4} i) L = { R 4} j) L = { R < 6} 4 a) L = { Q < 24 7 } b) L = { Q 8 9 } c) L = { N > 9 11 } 5 a) D = R \ { 1} b) D = R \ { 3} c) D = R \ {1} i) L = {1, 2, 3,...} k) L = { R > 2} l) L = { R < 2} m) L = { R > 10} n) L = { R > 2} o) L = { R > 0} p) L = { R < 5} q) L = { R > 2} r) L = { R > } s) L = { R < 12} t) L = { R < } d) L = { Z > } e) L = R, denn 6 3 ist immer wahr f) L = Z, denn Z d) D = R \ {1} e) D = R \ { 3 2 } f) D = R \ {0} 71