Arbeitsblatt 4.1: Nutzung einer Tabelle der kumulierten Binomialverteilung

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1 Arbeitsblatt 4.1: Nutzung einer Tabelle der kumulierten Binomialverteilung X: Anzahl der Erfolge in einer 50-stufigen BERNOULLI-Kette mit Erfolgswahrscheinlichkeit p Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der folgenden Tabelle: (1) p = 0,3 P(X = 14) = ; P(X 18) = ; P(X < 13) = P(X 17) = ; P(X > 21) = ; P(10 X 18) = (2) p = 0,6 P(X = 31) = ; P(X 33) = ; P(X < 26) = P(X 27) = ; P(X > 31) = ; P(23 X 33) = Heinz Klaus Strick 2009 (Tabelle: MSW)

2 Arbeitsblatt 4.2: Nutzung der Tabelle der Gauss schen Integralfunktion X: Anzahl der Erfolge in einer n-stufigen BERNOULLI-Kette mit Erfolgswahrscheinlichkeit p Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse näherungsweise mithilfe der folgenden Tabelle. n = 120; p = 0,35: P(X > 48) P(X 42) P(40 X 50) Lesen Sie in der Tabelle ab, welchen Radius eine Umgebung um den Erwartungswert haben muss, die eine Wahrscheinlichkeit von 50% hat. Heinz Klaus Strick 2009 (Tabelle: MSW)

3 Arbeitsblatt 4.3: Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe: Ziehungshäufigkeiten beim Lotto Untersuchen Sie die Ziehungshäufigkeit der Lottozahlen in n = 3000 Ziehungen. Geben Sie eine Prognose ab mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 80%, 90% bzw. 95%. k (Vielfaches von σ) µ σ µ k σ µ + k σ Ziehungshäufigkeiten Kontrolle 80%-Umgebung 90%-Umgebung 95%-Umgebung In 3000 Lottoziehungen wird eine Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 80% mindestens -mal und höchstens -mal gezogen von ca. 90% mindestens -mal und höchstens -mal gezogen von ca. 95% mindestens -mal und höchstens -mal gezogen Wie viele der 49 Glückszahlen müssten mit ihrer Ziehungshäufigkeit in der 80%-, 90%-, 95%- Umgebung des Erwartungswerts liegen? Vergleichen Sie Ihre Prognose mit den tatsächlichen Ziehungshäufigkeiten nach 3000 Lotto-Ziehungen.

4 Arbeitsblatt 4.4: Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe: Anzahl der Lotto-Gewinner Machen Sie eine Prognose auf dem 95%-Niveau, wie viele von 90 Millionen abgegebenen Tipps wie viele Richtige haben. Verwenden Sie dabei die angegebenen Erfolgswahrscheinlichkeiten.

5 Arbeitsblatt 4.5: Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe: Geburtenzahlen Im Jahr 2007 wurden in Deutschland Kinder geboren, davon 48,6 % Mädchen. Weichen die Daten aus den einzelnen Ländern vom Bundesdurchschnitt erheblich ab? Geben Sie dazu Intervallschätzungen für die Anzahl der Mädchengeburten für die einzelnen Länder an und vergleichen Sie diese Intervalle mit den tatsächlichen Daten. Bundesland Gesamtzahl der Geburten (n) erwartete Anzahl an Mädchengeburten (µ) µ 1,96σ µ + 1,96σ Signifikant abweichende Ergebnisse:

6 Arbeitsblatt 4.6: Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe: TÜV-Kontrollen Von den Technischen-Überwachungs-Vereinen werden vierteljährlich Statistiken u. a. darüber erstellt, wie viele Kraftfahrzeuge von den einzelnen Prüfern das Urteil ohne Mängel bzw. mit unerheblichen Mängeln oder mit erheblichen Mängeln erhalten haben. Diese Daten werden mit den Gesamtwerten der Prüfstelle verglichen. Man kann davon ausgehen, dass es vom Zufall abhängt, welcher Prüfer welches Fahrzeug überprüft. In einer Prüfstelle erhielten in einem Vierteljahr von geprüften Fahrzeugen 9650 eine Prüfplakette. Ein Prüfer untersuchte in derselben Zeit 875 Fahrzeuge und gab 545 Prüfplaketten. Kann man ihn als scharfen oder großzügigen Prüfer bezeichnen oder lässt sich die Abweichung vom Mittelwert der Prüfstelle als zufällig auffassen?

7 Arbeitsblatt 4.7: Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe: Uhr-Prognose Bei den sogenannten Wahltagsbefragungen werden Wählerinnen und Wähler nach dem Verlassen des Wahllokals danach befragt, welche Partei sie gewählt haben. Das Ergebnis einer solchen Stichprobe wird um Uhr (zum Zeitpunkt der Schließung der Wahllokale) im Fernsehen als erste Prognose veröffentlicht. Überprüfen Sie die Qualität der Befragungsergebnisse zur Bundestagswahl 2009, bei der ca Wählerinnen und Wähler befragt wurden. Anleitung: Fassen Sie das Wahlergebnis als die dem Zufallsversuch zugrunde liegende Erfolgswahrscheinlichkeit auf.

8 Arbeitsblatt 4.8: Schema zum Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe Zufallsgröße X: Erfolgwahrscheinlichkeit p = Umfang der Stichprobe n = Erwartungswert (Punktschätzung) µ = in Worten: Wir erwarten, dass bei dieser BERNOULLI-Kette (ungefähr) Erfolge eintreten werden. Standardabweichung σ = Intervallschätzung: 90 % - Umgebung des Erwartungswerts Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 90 % wird die Anzahl X der Erfolge im Intervall X liegen. Kontrollrechnung zu erwartende relative Häufigkeiten Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 90 % wird die relative Häufigkeit X/n der Anzahl der Erfolge im Intervall % X/n % liegen. Intervallschätzung: 95 % - Umgebung des Erwartungswerts Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 95 % wird die Anzahl X der Erfolge im Intervall X liegen. Kontrollrechnung zu erwartende relative Häufigkeiten Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 95 % wird die relative Häufigkeit X/n der Anzahl der Erfolge im Intervall % X/n % liegen. Intervallschätzung: 99 % - Umgebung des Erwartungswerts Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 99 % wird die Anzahl X der Erfolge im Intervall X liegen. Kontrollrechnung zu erwartende relative Häufigkeiten Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 99 % wird die relative Häufigkeit X/n der Anzahl der Erfolge im Intervall % X/n % liegen. Heinz Klaus Strick 2009

9 Arbeitsblatt 4.8: Zweiseitiger Hypthesentest: Geburtenhäufigkeiten Gibt es Monate im Jahr, in denen in Deutschland besonders viele oder besonders wenige Kinder geboren werden? Untersuchen Sie dazu die Hypothese, dass die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Kindes für jeden Tag des Jahres gleich groß ist, also im Januar 31/365 bzw. 31/366 beträgt, im Februar 28/365 bzw. 29/366 usw. Hypothese über p erwartete Anzahl von Geburten (µ) 95%-Intervall um µ Kommentar 2004 p = 29/366 p = 30/366 p = 31/ p = 28/365 p = 30/365 p = 31/ p = 28/365 p = 30/365 p = 31/ p = 28/365 p = 30/365 p = 31/365

10 Arbeitsblatt 4.10: Zweiseitiger Hypothesentest: Linke und rechte Schuhe

11 Arbeitsblatt 4.11: Zweiseitiger Hypothesentest: Pokertest Bei einem Spiel mit fünf Würfeln treten Bilder wie beim Pokern auf. Die Wahrscheinlichkeit für ein Paar (d. h. genau zwei Würfel zeigen die gleiche Augenzahl, die übrigen lauter verschiedene Augenzahlen) beträgt 46,30%, für zwei Paare (also je zwei zeigen die gleiche Augenzahl, der 5. Würfel eine andere) 23,15% usw. Stellen Sie jeweils eine Entscheidungsregel dafür auf, wann bei einem 1000-fachen Spiel mit fünf Würfeln Anlass gegeben ist, an dem ordnungsgemäßen Ablauf des Spiels zu zweifeln (α 0,05). Hypothese µ - 1,96σ µ + 1,96σ Entscheidungsregel: Verwirf die Hypothese, dass die fünf Würfel in Ordnung sind bzw. ordnungsgemäß geworfen werden, falls bei einem 1000-fachen Werfen von fünf Würfeln... p = 0, weniger als -mal oder mehr als -mal genau zwei Würfel die gleiche Augenzahl zeigen und die übrigen lauter verschiedene Augenzahlen. p = 0, weniger als -mal oder mehr als -mal p = 0, weniger als -mal oder mehr als -mal p = 0, weniger als -mal oder mehr als -mal

12 Arbeitsblatt 4.12: Schema zum zweiseitigen Hypothesentest zu testende Hypothese: p = zu testende Hypothese (in Worten): Umfang der Stichprobe: n = Erwartungswert (Punktschätzung): µ = Standardabweichung σ = vorgegebenes Signifikanzniveau: zugehörige Umgebung des Erwartungswerts gemäß σ-regeln (Intervallschätzung): Kontrollrechnung: Annahmebereich: in Worten: Verwerfungsbereich: in Worten: Wenn dem Zufallsversuch tatsächlich die Erfolgswahrscheinlichkeit p = zugrunde liegt, wird die Anzahl der Erfolge mit einer Wahrscheinlichkeit von % im Intervall liegen. Wenn dem Zufallsversuch tatsächlich die Erfolgswahrscheinlichkeit p = zugrunde liegt, wird die Anzahl der Erfolge nur mit einer Wahrscheinlichkeit von insgesamt % kleiner sein als oder größer sein als Entscheidungsregel: Verwirf die Hypothese p =, falls in der Stichprobe weniger als Erfolge oder mehr als Erfolge auftreten. Fehler 1. Art (Definition): Fehler 1. Art (im Sachzusammenhang) Fehler 2. Art (Definition): Fehler 2. Art (im Sachzusammenhang) Heinz Klaus Strick 2009

13 Arbeitsblatt 4.13: Zweiseitiger Hypothesentest: Kuboktaeder Ein Kuboktaeder ist ein Körper, der durch Abschneiden der Ecken eines Hexaeders entsteht; die Oberfläche besteht aus sechs gleich großen Quadraten und aus acht gleichseitigen Dreiecken. Die dreieckigen Flächen haben an der gesamten Oberfläche einen Anteil von circa 36,6 %. In 500 Würfen lag 116-mal die dreieckige Fläche oben. Wie groß könnte die Wahrscheinlichkeit dafür sein, dass ein Kuboktaeder auf einer dreieckigen Fläche liegen bleibt? Stellen Sie mögliche Hypothesen auf und testen Sie diese.

14 Arbeitsblatt 4.14: Zweiseitiger Hypothesentest: Operationscharakteristik Für den 250-fachen Münzwurf kann man folgende Entscheidungsregel aufstellen: Verwirf die Hypothese p = 0.5, falls weniger als 110-mal oder mehr als 140-mal Wappen fällt. 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0, Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit α für einen Fehler 1. Art: P(110 X 140) % α = P(X < 110 oder X > 140) % Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit β für einen Fehler 2. Art, wenn dem Zufallsversuch tatsächlich eine Erfolgswahrscheinlichkeit von p 1 = 0,4 zugrunde liegt: β = P p1 = 0,4 (110 X 140) Lesen Sie am folgenden Graphen die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ab, wenn dem Zufallsversuch tatsächlich eine Erfolgswahrscheinlichkeit von p 1 = 0,43 zugrunde liegt. Lesen Sie für drei andere Werte von p 1 die Wahrscheinlichkeit β ab. Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art 1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 Tatsächlich zugrunde liegende Erfolgswahrscheinlichkeit Heinz Klaus Strick 2009

15 Arbeitsblatt 4.15: Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit Beispiele (1) In einer Klasse mit 30 Kindern wird ein Weihnachtswichteln durchgeführt: Die Namen der dreißig Kinder werden auf Zettel geschrieben. Jeder zieht einen Zettel um zu erfahren, für wen ein Geschenk gebastelt werden soll. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendjemand seinen eigenen Namen zieht, also das Ziehen der Namen wiederholt werden muss? Würden Sie darauf zu wetten, dass so etwas geschieht? In einer 200-fachen Simulation des Weihnachtswichtelns kam dies 119-mal vor. Welchen Schluss kann man hieraus ziehen? Kann es sein, dass dem Zufallsversuch eine Erfolgswahrscheinlichkeit p zugrunde liegt? mögliche zugrunde liegende Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,6 Prognose auf dem 95%-Niveau Kommentar p = 0,55 p = 0,5 p = 0,45 Das Statistische Bundesamt führt regelmäßig Erhebungen durch, um die Ausstattung von Haushalten mit langlebigen Gebrauchsgütern zu erfassen. Dabei ergab sich in einer Stichprobe in 7828 repräsentativ ausgewählten Haushalten, dass 48,7% über eine Digitalkamera verfügen. Bestimmen Sie mögliche Anteile p der Haushalte, die mit diesem Konsumgut ausgestattet sind. möglicher Anteil p Prognose auf dem 95%-Niveau Kommentar

16 Arbeitsblatt 4.16: Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit Beispiele (2) Um herauszufinden, mit welcher absoluten Häufigkeit eine bestimmte Tierart vorkommt, fängt man Tiere dieser Art ein und markiert sie. Danach setzt man sie wieder aus. Nach einiger Zeit fängt man wieder Tiere dieser Art und zählt dann, wie viele davon markiert sind. Von 120 markierten Fischen eines Fischteichs werden 28 beim zweiten Mal gefangen; 104 Fische des zweiten Fangs waren nicht markiert. Schätzen Sie den Anteil markierter Tiere in der Gesamtheit. Wie viele Fische der betrachteten Art wird es mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % in dem Fischteich geben? In einer Stichprobe vom Umfang 827 fand man 354 Personen mit Blutgruppe A. Bestimmen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Anteil p der Personen mit Blutgruppe A in der Gesamtheit aller erwachsenen Personen der betrachteten Bevölkerungsgruppe. In der betrachteten Bevölkerungsgruppe leben Erwachsene. Wie viele Personen kommen daher als Blutspender für Blutgruppe A in Frage?

17 Arbeitsblatt 4.17: Einseitiger Hypothesentest: Unterschiedliche Standpunkte Der Vorstand einer Partei fürchtet, dass bei der nächsten Wahl der Stimmenanteil dieser Partei unter der 5 %-Hürde bleibt. Durch eine Wählerbefragung unter 400 Personen soll Klarheit geschaffen werden. Der Wahlkampfmanager ist dafür, die Hypothese p < 0,05 zu testen, denn nur dann, wenn diese Hypothese verworfen wird, kann der Vorstand beruhigt sein. Der Wahlkampfmanager lässt sich also nur dann von seinem Standpunkt abbringen, wenn in der Stichprobe signifikant viele Personen angeben, diese Partei bei der nächsten Wahl wählen zu wollen. Stellen Sie eine Entscheidungsregel auf. (α 5 %) Der Finanzbeauftragte der Partei ist dafür, die Hypothese p 0,05 zu testen, denn nur dann, wenn diese Hypothese verworfen wird, hält er einen kostenintensiven Wahlkampf für notwendig. Der Finanzbeauftragte lässt sich also nur dann von seinem Standpunkt abbringen, wenn in der Stichprobe signifikant wenige Personen angeben, diese Partei bei der nächsten Wahl wählen zu wollen. Stellen Sie eine Entscheidungsregel auf. (α 5 %)

18 Arbeitsblatt 4.18: Einseitiger Hypothesentest: Beispiele Ein Lkw-Hersteller wirbt für seine Fahrzeuge u. a. mit der Bemerkung, dass mehr als die Hälfte aller Lkw auf Deutschlands Straßen von dieser Firma produziert würde. Bei einer Fahrt auf einem Autobahnabschnitt begegnen uns 59 Lkw, davon 39 von der betreffenden Firma. Beweist dieses Resultat die Firmenwerbung? Welche Hypothese sollte getestet werden? Der Hersteller eines Pestizids ist der Überzeugung, dass ein bestimmtes Präparat aus seiner Produktion in mindestens 90 % der Anwendungsfälle hilft. An dieser Aussage werden Zweifel geäußert. Der Pestizid-Hersteller ist daraufhin bereit, seine Angaben zu überprüfen. Welche Standpunkte sind möglich? Welche Hypothese sollte getestet werden? Ein Arzneimittelhersteller wirbt für ein neues Medikament mit dem Hinweis, dass es im Vergleich zu Medikamenten anderer Hersteller besser verträglich sei: Nur bei 10 % der Patienten würden Allergien auftreten. In einer Klinik wird das Medikament bei 172 Patienten eingesetzt. Welche Hypothesen kann man testen? Begründen Sie, welche am sinnvollsten ist. Formulieren Sie Entscheidungsregeln. Welche Irrtumswahrscheinlichkeit ist angemessen? Beschreiben Sie die Fehler 1. und 2. Art.

19 Arbeitsblatt 4.19: Schema zum einseitigen Hypothesentest Hypothese H 1 dahinter stehender Standpunkt Hypothese H 2 dahinter stehender Standpunkt Umfang der Stichprobe vorgegebenes Signifikanzniveau Erwartungswert / Standardabw. µ = σ = extreme Abweichung nach unten extreme Abweichung nach oben Annahmebereich für H 1 Verwerfungsbereich für H 1 Entscheidungsregel zu H 1 Verwirf die Hypothese p als Erfolge auftreten., falls in der Stichprobe weniger/mehr Annahmebereich für H 2 Verwerfungsbereich für H 2 Entscheidungsregel zu H 2 Verwirf die Hypothese p als Erfolge auftreten. Fehler 1. Art bzgl. des Tests von H 1 (im Sachzusammenhang), falls in der Stichprobe weniger/mehr Fehler 2. Art bzgl. des Tests von H 1 (im Sachzusammenhang) Fehler 1. Art bzgl. des Tests von H 2 (im Sachzusammenhang) Fehler 2. Art bzgl. des Tests von H 2 (im Sachzusammenhang) Heinz Klaus Strick 2009

20 Arbeitsblatt 4.20: Notwendiger Stichprobenumfang: π - Bestimmung Theoretisch kann man die Kreiszahl π mithilfe eines Zufallsregens bestimmen. Die Abbildung rechts zeigt eine Simulation mit 5000 Punkten eines Zufallsregens. Welche Bedingung müssen die Koordinaten x, y der Punkte erfüllen? Welche Prognose kann man für den Anteil der Punkte, die innerhalb des Viertelkreises liegen, abgeben? (95 %-Niveau) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Wie viele Paare (x y) von Zufallszahlen müssen gebildet werden, um π auf drei Dezimalstellen genau zu bestimmen? (Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 %) Anleitung: In 95 % der Stichproben gilt: X/n p 1,96 σ/n Gefordert wird, dass sich der Anteil X/n der Punkte, die innerhalb des Viertelkreises liegen, von p = π/4 um höchstens 0,1 Prozentpunkte unterscheiden soll: X/n p 0,001 Die Anzahl der Punkte ist also so groß zu wählen, dass gilt: 1,96 σ/n 0,001 Wenn n so gewählt wird, dann wird bei 95 % der Stichproben von diesem Umfang die Genauigkeitsforderung erfüllt sein.