Gewinnerwartungen beim Black Jack

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1 Gewinnerwartungen beim Black Jack Bachelorarbeit im Fach Mathematik an der Ruhr-Universität Bochum von Kathrin Rohländer aus Menden (Sauerland) Bochum, Oktober 2008

2 INHALT I Einleitung... 2 II Vorstellung des Spiels... 3 II.1 Die Spielregeln... 3 II.2 Die Sonderregeln... 5 II.2.1 Doppeln... 5 II.2.2 Teilen... 5 II.2.3 Versichern... 5 III Mathematische Analyse des Bankspiels... 6 III.1 Definition der Wahrscheinlichkeit und des Erwartungswertes... 6 III.2 Wahrscheinlichkeiten für das Spiel der Bank... 8 III.3 Gewinnerwartung bei Kopie der Bankstrategie III.4 Gewinnerwartung bedingt zur ersten Bankkarte III.5 Optimale Spielstrategie III.6 Optimale Spielstrategie bei Softhands III.7 Gewinnerwartung bei optimaler Spielstrategie III.7.1 Optimale Spielstrategie mit Doppeln III.7.2 Optimale Spielstrategie mit Teilen IV Historische Entwicklung der Black Jack-Analyse IV.1 Edward O. Thorp IV.1.1 Die Gewinn-Strategien IV.2 Die Reaktionen auf Thorps Buch Beat the dealer V Fazit VI Literaturverzeichnis VII Anhang

3 I Einleitung Diese Arbeit befasst sich mit dem Thema Gewinnerwartungen beim Black Jack, welches in den wissenschaftlichen Kontext der Wahrscheinlichkeitstheorie einzuordnen ist. Die leitende Fragestellung lautet, wie die optimale Spielstrategie beim Kasinospiel Black Jack aussieht und welche Gewinnerwartung sich daraus ergibt. Dazu wird das Spiel Black Jack im nächsten Kapitel zunächst vorgestellt und die Regeln und seine verschiedenen Varianten als Analysegrundlage erläutert. Im darauf folgenden Teil wird das Spiel mathematisch untersucht. Dazu werden zunächst die nötigen mathematischen Begriffe Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert definiert. Daran schließt sich die Analyse des Spiels der Bank an und es werden die Berechnungen der Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte der Bank erklärt. Aus diesen Rechnungen wird im nächsten Schritt die optimale Strategie des Spielers hergeleitet und der zu erwartende Gewinn berechnet. Dabei wird auch auf besondere Spielsituationen eingegangen. Das folgende Kapitel befasst sich mit der historischen Entwicklung der Black Jack- Analyse. Es wird insbesondere auf den Mathematiker Edward O. Thorp eingegangen, der entscheidende Erkenntnisse in der Geschichte des Black Jack lieferte. Abschließend wird im letzten Kapitel ein Fazit gezogen, um die ermittelten Ergebnisse auf die leitende Fragestellung anzuwenden. Die wichtigste Orientierung bei dieser Arbeit gibt das Buch Glück, Logik und Bluff von Bewersdorff. Der letzte Teil stützt sich auf verschiedene Bücher und Artikel von und über Thorp. 2

4 II Vorstellung des Spiels Das Kartenspiel Black Jack wird in die Kategorie der Bankhalterspiele eingeordnet, bei welchen die Glücksspieler gegen einen Bankhalter spielen. Diese wiederum werden in Kasinospiele und private Spiele unterteilt, wohingegen diese Arbeit jedoch nur das Kasinospiel Black Jack behandelt. Das auch unter dem Namen Twenty-One (21) bekannte Glücksspiel wird in Kasinos auf der ganzen Welt gespielt, ist jedoch in den Vereinigten Staaten am weitesten verbreitet. Black Jack hat sich in den letzten Jahrzehnten neben Roulette zum populärsten Kasinospiel entwickelt, da es als das Spiel mit den höchsten Gewinnchancen gilt. Der Name des Spiels entstammt einer Sonderregel, der zufolge bei der Kartenkombination aus Pik Bube, im Englischen Black Jack, und Pik-As ein zusätzlicher Gewinn ausgezahlt wurde. Diese Regel besteht heutzutage jedoch nicht mehr (vgl. Kelbratowski 1984, 7-8). II.1 Die Spielregeln Genau wie beim deutschen Siebzehn und Vier ist das Ziel des Spiels, mit zwei oder mehr Karten möglichst nah an 21 Kartenpunkte heranzukommen, ohne diese zu überschreiten. Beim Black Jack versuchen bis zu sieben Spieler die Punktzahl des Croupiers, des Bankhalters, zu übertreffen. In den meisten Spielkasinos wird heutzutage ein Stapel aus sechs 52er Kartenspielen 1 verwendet, also insgesamt 312 Karten. Dabei werden etwa 60 Karten mit einer neutralen Karte abgetrennt und nur diese ausgespielt. Anschließend werden alle Karten neu gemischt. Der Wert der Zahlkarten von zwei bis zehn entspricht der aufgedruckten Punktzahl, die Bilder zählen zehn und das Ass, solange 21 Kartenpunkte nicht überschritten werden, 1 Ein 52er Kartenspiel setzt sich aus vier 13er Blättern, bestehend aus zehn Zahlkarten von Ass bis zehn und den drei Bildkarten Bube, Dame und König, zusammen. 3

5 elf und ansonsten eins. Ein Blatt mit einem als eins gewerteten Ass bezeichnet man als Softhand. Einen Black Jack erreicht man mit einer Bildkarte oder einer zehn und einem Ass. Diese Kombination aus zwei Karten übertrifft andere Blätter mit 21 Kartenpunkten in ihrer Wertigkeit. Das Spiel beginnt damit, dass alle Spieler ihren Wetteinsatz platzieren, der jedoch an eine Minimal- und eine Maximalgrenze gebunden ist. Anschließend teilt der Croupier jedem Spieler und sich selbst zunächst eine Karte offen aus. Ist diese Karte ein Ass, gibt es für die Spieler die Möglichkeit der Versicherung. Diese wird bei den Sonderregeln ausführlicher behandelt. Daraufhin teilt der Bankhalter jedem Teilnehmer eine weitere Karte offen aus, da 21 Punkte mit zwei Karten noch nicht übertroffen werden können. In den USA gibt sich der Bankhalter ebenfalls eine zweite Karte, deckt diese jedoch nur auf, wenn er einen Black Jack erreicht. Dadurch hat der amerikanische Spieler im Gegensatz zur europäischen Variante einen geringen Vorteil, da er bei einem Bild, einer zehn oder einem Ass als erste Bankkarte anschließend weiß, ob die Bank einen Black Jack erlangt hat oder nicht. Die Spieler können nun, so lange sie es für vorteilhaft halten, weitere Karten erbitten. Überschreitet ein Teilnehmer mit seinen Karten jedoch 21 Punkte, das heißt verkauft er sich, so verliert er sofort seinen Einsatz an die Bank. Im Gegensatz zum Roulette hat der Spieler folglich einen großen strategischen Einfluss. Wenn kein Spieler mehr eine Karte anfordert, zieht die Bank nach einer festen Strategie Karten. Bis einschließlich 16 Kartenpunkte ist sie verpflichtet, sich eine weitere Karte zu nehmen, aber ab 17 darf sie nicht mehr ziehen. Dabei wird ein Ass, solange 21 Punkte nicht überschritten werden, immer mit elf gezählt. Das bedeutet, dass der Bankhalter bei einer Kombination mit einem Ass unter Karten von 17 bis 20 Punkten keine weitere Karte ziehen darf, auch wenn das Ass danach als ein Punkt gewertet werden dürfte. Anschließend folgt die Abrechnung der Spieler, die sich nicht verkauft haben. Wenn die Bank einen Black Jack hat, verlieren alle Spieler, die keinen Black Jack haben, ihren Einsatz an die Bank. Hat aber ein Spieler auch einen Black Jack erzielt, so erhält er seinen Einsatz zurück, er hat also weder Gewinn noch Verlust gemacht. Entsprechendes gilt auch bei gleichem Kartenwert des Spielers und der Bank. Ist das Blatt des Spielers höher als das der Bank gewinnt der Spieler einmal seinen Einsatz. Übertrifft er das Blatt der Bank sogar mit einem Black Jack, so erhält er einen Gewinn in Höhe des anderthalbfachen seines Einsatzes. Wenn das Blatt der Bank das des Spielers an 4

6 Wertigkeit übertrifft, verliert dieser seinen Einsatz an die Bank. Dieser geht auch verloren, wenn beide sich verkaufen (vgl. Bewersdorff 2007, 81-82). II.2 Die Sonderregeln II.2.1 Doppeln Bei einer Gesamtpunktzahl der ersten beiden Spielkarten von neun, zehn oder elf 2 hat der Spieler die Möglichkeit seinen Einsatz zu verdoppeln. Daraufhin darf er jedoch nur noch eine weitere Karte anfordern. Dementsprechend erzielt der Spieler im Fall des Gewinns einen doppelt so hohen Gewinn. II.2.2 Teilen Besitzen die ersten beiden Karten eines Spielers denselben Wert, so besteht für diesen die Option, die Karten in zwei einzelne Blätter aufzuteilen, wofür er einen Einsatz nachzahlen muss. Teilt ein Spieler zwei Asse, bekommt er nur jeweils eine weitere Karte ausgeteilt. Ist diese Karte eine zehn, wird das jedoch nicht als Black Jack gewertet, sondern wie ein gewöhnliches Blatt mit 21 Punkten. In den verschiedenen Spielkasinos variieren jedoch die Regeln, ob mehrmals geteilt werden darf und ob das Teilen nach dem Doppeln noch erlaubt ist. II.2.3 Versichern Wie bereits zuvor erwähnt, hat ein Spieler bei einem Ass als erste Bankkarte die Möglichkeit sich gegen einen Black Jack des Croupiers zu versichern. Dazu muss der Spieler einen zusätzlichen Einsatz in der Höhe seines halben Spieleinsatzes entrichten. Bei einem Black Jack der Bank erhält er dann seinen Einsatz zuzüglich Versicherungseinsatzes zurück, dieser geht jedoch verloren, wenn die Bank keinen Black Jack erzielt (vgl. Bewersdorff 2007, 82-83). 2 Ein Ass kann gegebenenfalls mit eins gewertet werden. 5

7 III Mathematische Analyse des Bankspiels Die Spielregeln verdeutlichen bereits, dass es sich bei Black Jack um ein fast symmetrisches Spiel handelt und die Asymmetrien sich zum Vorteil des Spielers auswirken zu scheinen: Während der Spieler seine Strategie frei wählen kann, folgt der Croupier beim Ziehen einer festen Regel. Außerdem kann der Spieler seine Strategie an der ersten Bankkarte orientieren. Bei einem Black Jack gewinnt der Spieler seinen anderthalbfachen Einsatz. Ein weiterer Vorteil ist, dass die Bank im Gegensatz zum Spieler weder Doppeln noch Teilen darf. Daher gilt Black Jack als besonders attraktives Spiel, in Kasinos sogar als Spiel mit den größten Gewinnchancen. Folglich stellt sich die Frage, ob es Spielstrategien gibt, bei denen die Chancen des Spielers höher liegen als die der Bank. Die mathematische Analyse wird jedoch zeigen, dass ein bedeutender Nachteil für den Spieler darin liegt, dass dieser verliert, falls er und der Croupier sich verkaufen. Demzufolge lässt sich hier schon vermuten, dass der Spieler eine relativ defensive Spielstrategie verfolgen sollte. III.1 Definition der Wahrscheinlichkeit und des Erwartungswertes Um Black Jack mithilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu analysieren, muss zunächst die grundlegende Terminologie erklärt werden. Bei einem Zufallsexperiment, wie zum Beispiel im Fall des Black Jack eine Karte aus einem Kartenstapel mit 13 verschiedenen Symbolen zu ziehen, treten verschiedene Ergebnisse ω auf. Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird mit dem Ergebnisraum Ω, in diesem Fall Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,B,D,K,A} 3, bezeichnet. Um nur ein bestimmtes Ereignis betrachten zu können, zum Beispiel, dass eine sechs aus dem Kartenstapel gezogen wird, wird das Ereignis A als eine Teilmenge des Ergebnisraumes Ω definiert. Also wäre hier A = {6} "!. Einem Ereignis A wird die Wahrscheinlichkeit P (A) 3 B bedeutet Bube, D Dame, K König und A Ass. 6

8 zugeordnet. Diese Zuordnung ist eine Abbildung aus der Menge aller Ereignisse in die Menge der reellen Zahlen, wobei 0! P( A)! 1gilt (vgl. Dehling/ Haupt 2004, 4-6). Ein Laplace-Experiment bezeichnet ein Zufallsexperiment mit endlich vielen, gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Nach Dehling/ Haupt (2004, 7) wird eine Laplace- Verteilung wie folgt definiert: Sei Ω ein endlicher Ergebnisraum. Wir definieren die Laplace- Wahrscheinlichkeitsverteilung, kurz Laplace-Verteilung, auf Ω, indem wir für ein Ereignis A "! P ( A) : = A festlegen, wobei A die Mächtigkeit der Menge A ist.! Folglich ergibt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A aus dem Quotienten der Anzahl der günstigen Ereignisse für A und der Anzahl der möglichen Ergebnisse. Für eine Laplace-Verteilung gilt, dass die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten stets eins ist und man die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung zweier disjunkter Ereignisse aus der Summe von den Einzelwahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse berechnet. Ferner entspricht die Wahrscheinlichkeit des Komplements eines Ereignisses der Differenz aus eins und der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (vgl. Dehling/ Haupt 2004, 7-12). Da in dieser Arbeit hauptsächlich unabhängige Experimente betrachtet werden, wird nun eine wichtige Eigenschaft unabhängiger Ereignisse erläutert. Die Wahrscheinlichkeit eines Durchschnitts einer endlichen Anzahl von Ereignissen entspricht dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse (vgl. Dehling/ Haupt 2004, 42). Außerdem ist für die mathematische Analyse des Black Jack der Begriff bedingte Wahrscheinlichkeit von zentraler Bedeutung. Dieser bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass zunächst ein Ereignis A eintritt und danach ein Ereignis B. Die Definition lautet nach Dehling/ Haupt (2004, 49): Es seien A und B Ereignisse mit P ( A) > 0. Dann definieren wir die bedingte P( A I B) Wahrscheinlichkeit von B gegeben durch A durch P( B A) : =. P( A) Wenn die beiden Ereignisse unabhängig sind, entspricht die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben durch A jedoch der Wahrscheinlichkeit von B (vgl. Dehling/ Haupt 2004, 50). 7

9 Zur Definition des Erwartungswertes ist zunächst die Einführung der Zufallsvariable X erforderlich, welche bei Dehling/ Haupt (2004, 63) als eine messbare Funktion X : $ "#! definiert wird. Im Allgemeinen gilt bei diskreten 4 Wahrscheinlichkeitsverteilungen, dass jede Funktion X : $ "#! messbar und folglich eine Zufallsvariable ist (vgl. Dehling/ Haupt 2004,63). Die Definition des Erwartungswertes lautet nun: Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion p. Wir sagen, dass der Erwartungswert von X existiert, wenn " x x p( x) <!. In diesem Fall definieren wir den Erwartungswert E(X) als gewogenen Mittelwert aller möglichen Realisierungen x der Zufallsvariable X mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p(x) als Gewichten, d. h. E ( X ) : =! x $ p( x) (vgl. Dehling/ Haupt 2004, 82). x# X (") III.2 Wahrscheinlichkeiten für das Spiel der Bank Zur Untersuchung des Black Jack wird zunächst das Spiel der Bank mithilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung analysiert, da sich die Strategie des Spielers an der ersten Bankkarte orientieren sollte, weil diese Auskunft über das zu erwartende Abschneiden der Bank gibt. Aufgrund der großen Anzahl der Karten ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim Ausspielen von Karten nicht besonders. Daher wird hier angenommen, dass alle gezogenen Karten gleich wahrscheinlich sind, obwohl diese Annahme eigentlich nur bei einer unendlichen Kartenmenge gültig ist. Es soll jedoch aufgrund einer möglichst guten Näherung eine optimale Strategie berechnet werden. Außerdem wird hier nicht davon ausgegangen, dass sich ein Spieler alle ausgespielten Karten merken und die Wahrscheinlichkeiten dementsprechend anpassen kann. Also wird das Ziehen einer Karte aus dem Stapel als unabhängiger Versuch betrachtet, da, auch wenn zuvor Karten dem Stapel entnommen worden sind, für diese dieselbe Wahrscheinlichkeit angenommen wird. Folglich handelt es sich um ein Laplace- Experiment mit dem zuvor definierten Ergebnisraum Ω = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,B,D,K,A}. 4 Wenn es eine endliche Teilmenge von Ω gibt, deren Wahrscheinlichkeit eins ist, heißt die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung diskret (vgl. Dehling/ Haupt 2004, 17). 8

10 Daraus ergibt sich für die einzelnen Ereignisse {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {A} die gleiche Wahrscheinlichkeit P(2) = P(3) = = P(A) von 1. Die 13 Wahrscheinlichkeit für Karten mit dem Wert zehn P(10), P(B), P(D) und P(K) beträgt gemäß der Definition der Laplace-Verteilung 13 4, denn es existieren vier verschiedene zehnwertige Karten. Die Bank kann entweder 17 bis 21 Punkte oder einen Black Jack erreichen oder sich mit 22 oder mehr Kartenpunkten verkaufen, da sie bis einschließlich 16 eine weitere Karte ziehen muss. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse sind relativ kompliziert auszurechnen, weil mithilfe der Kombinatorik zunächst alle möglichen Blätter bestimmt werden müssen. Die auf diese Weise ermittelten Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse der Bank sind in Tabelle eins dargestellt. Bankergebnis Wahrscheinlichkeit 22 oder mehr 0,2816 Black Jack 0, , , , , ,1451 Tabelle 1: Wahrscheinlichkeiten der Bankergebnisse 5 Die Wahrscheinlichkeit für einen Black Jack ist sehr leicht nachzuvollziehen, da es nur zwei Möglichkeiten gibt, einen Black Jack zu erzielen: Entweder man zieht zunächst eine Karte mit dem Wert zehn, das heißt eine zehn, einen Buben, eine Dame oder einen König und anschließend ein Ass oder umgekehrt. Dann ergibt sich nach der zuvor angeführten Regel für Vereinigungen und Durchschnitte unabhängiger Ereignisse, dass die Wahrscheinlichkeit 5 Vgl. Bewersdorff 2007, 83. 9

11 P ( BJ ) = P((10 I A) U ( A I10)) = " + " =! 0,0473 ist. Alle anderen Wahrscheinlichkeiten werden nach demselben Schema berechnet, beruhen aber auf weitaus komplexeren Kartenkombinationen. Es fällt auf, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis der Bank von 22 oder mehr Punkten besonders hoch ist. Daraus könnte man die Annahme folgern, dass die Gewinnchancen für den Spieler sehr gut stehen. Dieser Vorteil wird jedoch durch die bestehende Asymmetrie, dass der Spieler verliert, wenn beide sich verkaufen, geschmälert (vgl. Bewersdorff 2007, 83-84). III.3 Gewinnerwartung bei Kopie der Bankstrategie Mittels der Wahrscheinlichkeiten der Bankergebnisse lassen sich die Gewinnchancen des Spielers ermitteln, der die Strategie der Bank befolgt, das heißt er zieht bis einschließlich 16 eine weitere Karte und danach keine mehr und darf weder doppeln noch teilen. Die Wahrscheinlichkeiten seiner Resultate entsprechen in diesem Fall den in Tabelle eins aufgeführten. Bei gleichen Gewinnplänen der Bank und des Spielers hätte der Spieler eine Erwartung von null. Aufgrund der Asymmetrien im Gewinnplan ergeben sich jedoch einige Abweichungen. Einerseits ergibt sich bei einem Black Jack des Spielers und keinem der Bank für den Spieler ein Vorteil von 0,5. Dieses Ergebnis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 0,0451 auf, welche als Produkt der Wahrscheinlichkeit eines Black Jacks und der Wahrscheinlichkeit des Komplements dieses Ereignisses berechnet wird. Andererseits wirkt sich das Verkaufen beider zu einem Nachteil von eins für den Spieler aus. Die Wahrscheinlichkeit dieser Situation ergibt sich aus dem Quadrat der Wahrscheinlichkeit, sich zu verkaufen. Die Gewinnerwartung des Spielers liegt also gemäß Definition bei E ( X ) = $ x # p( x) = 0,5 # 0,0451+ (! 1) # 0,0793 "! 0,0568, wobei die Zufallsvariable x&x (%) X = {!1;0,5} als der Vor- bzw. Nachteil des Spielers definiert ist. Ein Spieler, der die Zieh-Strategie des Croupiers kopiert, verliert also durchschnittlich 5,68 Prozent seines Einsatzes. Es ist also nicht ratsam, die Strategie der Bank zu 10

12 befolgen. Vielmehr empfiehlt es sich den Vorteil der Kenntnis der ersten Bankkarte auszunutzen und die Gewinnerwartung bedingt durch die erste Karte des Croupiers zu bestimmen (vgl. Bewersdorff 2007,84). III.4 Gewinnerwartung bedingt zur ersten Bankkarte Für die Berechnung der sich bedingt durch die erste Bankkarte ergebenden Gewinnerwartung des Spielers ist zunächst die Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten der Bank bedingt zu ihrer ersten Karte erforderlich. Dazu bestimmt man mithilfe der Kombinatorik, ausgehend von einer festen ersten Bankkarte alle möglichen Blätter, um auf ein bestimmtes Ergebnis zu kommen. Ein Beispiel zur Erläuterung der Rechenweise findet sich im Anhang. Für die Bank ergeben sich dann die in Tabelle zwei aufgeführten Wahrscheinlichkeiten, bedingt zu ihrer ersten Karte. 1. Karte: Ass verkauft 0,3536 0,3739 0,3945 0,4164 0,4232 0,2623 0,2447 0,2284 0,2121 0,1153 BJ ,0769 0, ,1180 0,1147 0,1112 0,1082 0,0972 0,0741 0,0694 0,0608 0,0345 0, ,1240 0,1203 0,1165 0,1131 0,1017 0,0786 0,0694 0,1200 0,3422 0, ,1297 0,1256 0,1214 0,1177 0,1063 0,0786 0,1286 0,3508 0,1114 0, ,1349 0,1305 0,1259 0,1223 0,1063 0,1378 0,3593 0,1200 0,1114 0, ,1398 0,1350 0,1305 0,1223 0,1654 0,3686 0,1286 0,1200 0,1114 0,1308 Tabelle 2: Wahrscheinlichkeiten der Bankergebnisse, bedingt zur ersten Bankkarte 6 Die Wahrscheinlichkeiten für einen Black Jack sieht man schnell ein. Bei einer zwei bis neun als erste Bankkarte kann der Croupier keinen Black Jack mehr erzielen, demnach beträgt die Wahrscheinlichkeit null. Zieht die Bank zuerst eine zehn oder eine Bildkarte, so ist ein Black Jack nur durch ein darauf folgendes Ass möglich. Gemäß der Definition bedingter Wahrscheinlichkeit bei unabhängigen Ereignissen ist die Wahrscheinlichkeit 6 Vgl. Bewersdorff 2007,

13 eines Asses gegeben durch eine erste Karte im Wert von zehn gleich der Wahrscheinlichkeit eines Asses, also 1! 0, Im Fall eines Asses als erste 13 Bankkarte tritt ein Black Jack bei einer zehn oder einem Bild als nächster Karte ein, also mit einer Wahrscheinlichkeit von 4! 0, Mithilfe von Tabelle zwei lassen sich nun die Erwartungen für den Spielergewinn bedingt zur ersten Bankkarte berechnen, falls er ab einer bestimmten Karte nicht mehr zieht. Dazu wird zunächst von der Möglichkeit zu doppeln oder zu teilen abgesehen. Vorab definiert man die Zufallsvariable X als das Gewinnsaldo, X = {!1;0;1;1,5 }, und berechnet anschließend mithilfe der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p(x) den Erwartungswert E ( X ) : =! x $ p( x). Daraus ergeben sich die in Tabelle drei x# X (") aufgeführten Gewinnerwartungen des Spielers, bedingt zur ersten Bankkarte (vgl. Bewersdorff 2007, 84-85). Sp. B Ass BJ 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,3846 1, ,8820 0,8835 0,8888 0,8918 0,9028 0,9259 0,9306 0,9392 0,8117 0, ,6400 0,6503 0,6610 0,6704 0,7040 0,7732 0,7918 0,7584 0,4350 0, ,3863 0,4044 0,4232 0,4395 0,4960 0,6160 0,5939 0,2876-0,0187-0, ,1217 0,1483 0,1759 0,1996 0,2834 0,3996 0, ,2415-0, ,1530-0,1172-0,0806-0,0449 0,0117-0,1068-0,3820-0,4232-0,4644-0,6386 bis 16-0,2928-0,2523-0,2111-0,1672-0,1537-0,4754-0,5105-0,5431-0,5758-0,7694 Tabelle 3: Gewinnerwartung des Spielers, bedingt zur ersten Bankkarte 7 Es ist trivial, dass die Gewinnerwartung des Spielers bei einem Black Jack, bedingt durch eine zwei bis neun als erste Bankkarte 1,5 ergibt, da ein Black Jack der Bank in diesem Fall nicht mehr möglich ist und der Spieler seinen 1,5fachen Einsatz gewinnt. Bei einem Black Jack des Spielers, bedingt durch eine zehn oder ein Bild als erste Karte 7 Vgl. Bewersdorff 2007,

14 des Croupiers gewinnt der Spieler in allen Fällen, außer die Bank erzielt einen Black Jack. Die Rechnung sieht also folgendermaßen aus: E ( BJ 10) = 1,5 "[1 # P( BJ 10)] + 0" P( BJ 10)! 1,3846. Wenn die erste Karte des Croupiers zwei Punkte zählt und der Spieler beispielsweise 19 Punkte erzielt, gewinnt er einmal seinen Einsatz, wenn die Punktzahl der Bank niedriger als seine eigene ist oder die Bank sich verkauft, bei einem unentschieden ist das Gewinnsaldo null und erzielt der Croupier eine höhere Anzahl an Punkten oder einen Black Jack, so verliert der Spieler seinen Einsatz. Die Gewinnerwartung E(19 2) liegt daher bei 1! [ P (17 2) + P(18 2) + P( vk 2)] + 0! P(19 2) + (" 1)![ P(20 2) + P(21 2) + P( BJ 2)]! 0,3863. Ein weiteres Beispiel besteht in der zwei als erste Bankkarte und weniger als siebzehn erzielten Punkten des Spielers. In diesem Fall gewinnt der Spieler einmal seinen Einsatz, falls die Bank sich verkauft und bei allen anderen Ereignissen verliert er. Also wird die Gewinnerwartung des Spielers wie folgt ermittelt: E ( $ 16) = 1# P( vk 2) + (! 1) #[1! P( vk 2)] "! Aufgrund dieser Erwartungswerte für den Spielergewinn, bedingt zur ersten Bankkarte, lässt sich nun die optimale Strategie für den Spieler entwickeln. III.5 Optimale Spielstrategie Mittels der tabellierten Gewinnerwartungen kann ein Spieler entscheiden, ob es vorteilhaft ist noch eine weitere Karte zu ziehen oder nicht. Dabei wird die Erwartung berechnet, wenn man zu einer bestimmten Anzahl an Punkten noch eine weitere Karte zieht, und mit der bestehenden Gewinnerwartung verglichen. Auf diese Weise lässt sich die optimale Ziehstrategie ermitteln. Wenn ein Spieler beispielsweise bei einer zwei als erste Bankkarte schon 15 Kartenpunkte erreicht hat und nun überlegt, ob sich seine Gewinnchancen erhöhen, wenn er eine weitere Karte zieht, bestimmt man die zugehörige Gewinnerwartung wie 13

15 folgt: Wenn er ein Ass, eine zwei, oder eine sechs zieht, erzielt er 16, 17, oder 21 Punkte, bei jeder höheren Karte verkauft er sich. Demzufolge ergibt sich die 1 7 Gesamterwartung durch #[ E (16 2) E(21 2)] + #(! 1) "! 0, Diese Gewinnerwartung ist niedriger als E (15 2), das heißt man sollte bei 15 Kartenpunkten und einer zwei als erste Karte des Croupiers keine weitere Karte mehr fordern. Bei dem Beispiel, dass die Bank zuerst eine zwei zieht und der Spieler zwölf Punkte erlangt, empfiehlt es sich jedoch, eine weitere Karte zu ziehen, denn in diesem Fall wäre der zu erwartende Verlust niedriger, wenn der Spieler eine weitere Karte zieht. Er erzielt nämlich mit einem Ass, einer zwei, oder einer neun 13, 14, oder 21 Punkte und verkauft sich nur mit einer zehnwertigen Karte. Also beträgt die Erwartung 1 4 "[ E(13 2) E(21 2)] + "(! 1) "!0, Diese ist höher als die Gewinnerwartung für zwölf Punkte, bedingt durch eine zwei als erste Bankkarte, also sollte der Spieler eine weitere Karte ziehen. Die restlichen auf diese Weise ermittelten Gewinnerwartungen für das Beispiel einer zwei als erste Bankkarte sind in Tabelle vier dargestellt. Spieler mit Ziehen ohne Ziehen 17-0,5362-0, ,4710-0, ,4166-0, ,3622-0, ,3078-0, ,2534-0, ,2384-0,2928 Tabelle 4: Gewinnerwartung des Spielers, bedingt zur zwei als erste Bankkarte Daraus wird ersichtlich, dass man bis einschließlich zwölf eine weitere Karte ziehen sollte, aber anschließend nicht mehr. Analog berechnet man die Gewinnerwartungen des Spielers bei einer optimalen Zieh- Strategie für die übrigen Werte. Diese sind in Tabelle fünf dargestellt, wobei die Linie 14

16 angibt, bis zu welcher Punktzahl man eine weitere Karte ziehen sollte und ab welcher nicht mehr. Sp. B Ass 17-0,1530-0,1172-0,0806-0,0449 0,0117-0,1068-0,3820-0,4232-0,4644-0, ,2523-0,2111-0,1672-0,1537-0,4148-0,4584-0,5093-0,5752-0, ,2928-0,2523-0,2111-0,1672-0,1537-0,3698-0,4168-0,4716-0,5425-0, ,2928-0,2523-0,2111-0,1672-0,1537-0,3213-0,3719-0,4309-0,5074-0, ,2928-0,2523-0,2111-0,1672-0,1537-0,2691-0,3236-0,3872-0,4695-0, ,2534-0,2337-0,2111-0,1672-0,1537-0,2128-0,2716-0,3400-0,4287-0, ,2384 0,2603 0,2830 0,3073 0,3337 0,2921 0,2300 0,1583 0,0334 0, ,1825 0,2061 0,2305 0,2563 0,2878 0,2569 0,1980 0,1165-0,0536-0, ,0744 0,1013 0,1290 0,1580 0,1960 0,1719 0,0984-0,0522-0,2181-0, ,0218 0,0080 0,0388 0,0708 0,1150 0,0822-0,0599-0,2102-0,3071-0, ,1092-0,0766-0,0430-0,0073 0,0292-0,0688-0,2106-0,2854-0,3714-0, ,1408-0,1073-0,0729-0,0349-0,0130-0,1519-0,2172-0,2926-0,3887-0, ,1282-0,0953-0,0615-0,0240-0,0012-0,1194-0,1881-0,2666-0,3662-0, ,1149-0,0826-0,0494-0,0124 0,0111-0,0883-0,1593-0,2407-0,3439-0,4829 Tabelle 5: Gewinnerwartung des Spielers bei optimaler Ziehstrategie, bedingt zur ersten Bankkarte 8 Aus dieser Tabelle lässt sich eine relativ defensive Spielstrategie für Black Jack ableiten. Bei den Bankkarten zwei oder drei sollte der Spieler nur bis zwölf noch eine Karte ziehen, gegen eine vier, fünf oder sechs sollte er ab zwölf schon nicht mehr ziehen und bei einer sieben bis Ass der Bank ist es am günstigsten bis 16 zu ziehen. Diese defensive Spielweise wird offensichtlich, wenn man die Ergebnisse mit Tabelle zwei vergleicht. Bei einer vier, fünf oder sechs als erste Karte des Croupiers, ist die Wahrscheinlichkeit nämlich am höchsten, dass die Bank sich verkauft (vgl. Bewersdorff 2007, 85). 8 Vgl. Bewersdorff 2007,

17 III.6 Optimale Spielstrategie bei Softhands Für Blätter mit als elf gewerteten Assen, so genannten Softhands, muss die Strategie ein wenig variiert werden, da diese aufgrund der Option, das Ass als eins zu zählen, wenn 21 Punkte überschritten werden, eine offensivere Ziehstrategie ermöglichen. Bei Softhands kann man sich mit der nächsten Karte nämlich nicht verkaufen. Die Rechnung verläuft analog zu der von den Erwartungswerten aus Tabelle fünf und man erhält so die in Tabelle sechs zusammengefassten Gewinnerwartungen für Softhands, wobei die Linie wieder angibt, bis zu welchem Punktwert eine weitere Karte gezogen werden sollte (vgl. Bewersdorff 2007, 86). Sp. B Ass 19s 0,3863 0,4044 0,4232 0,4395 0,4960 0,6160 0,5939 0,2876-0,0187-0, s 0,1217 0,1483 0,1759 0,1996 0,2834 0,3996 0, ,2097 0, s -0,0005 0,0290 0,0593 0,0912 0,1281 0,0538-0,0729-0,1498 0,2586-0, s -0,0210 0,0091 0,0400 0,0734 0,0988-0,0049-0,0668-0,1486-0,2684-0, s -0,0001 0,0292 0,0593 0,0920 0,1182 0,0370-0,0271-0,1122-0,2373-0, s 0,0224 0,0508 0,0801 0,1119 0,1392 0,0795 0,0133-0,0752-0,2057-0, s 0,0466 0,0741 0,1025 0,1334 0,1617 0,1224 0,0541-0,0377-0,1737-0, s 0,0818 0,1035 0,1266 0,1565 0,1860 0,1655 0,0951 0,0001-0,1415-0,3219 Tabelle 6: Gewinnerwartung des Spielers bei Softhands und optimierter Ziehstrategie, bedingt zur ersten Bankkarte 9 Die Gewinnerwartung für eine Softhand mit 17 Punkten, bedingt zur zwei als erste Bankkarte, lässt sich zum Beispiel folgendermaßen herleiten: Zieht der Spieler eine weitere Karte, erzielt er durch ein Ass bis vier 18 bis 21 Punkte und durch eine fünf bis zehn ein Blatt im Wert von zwölf bis 17, da das Ass dann nur mit einem Punkt gewertet wird. Folglich ergibt sich die Gewinnerwartung 9 Vgl. Bewersdorff 2007,

18 1 E ( 17s 2) =![ E(12 2) E(16 2) + 4! E(17 2) + E(18 2) E(21 2)] 13 "!0,0005. Wenn man eine weitere Karte zieht, macht man also deutlich weniger Verlust, als wenn man es bei seinem Blatt belässt und einen Verlust von 15,3 Prozent in Kauf nimmt. Bei der Berechnung der Gewinnerwartung von einer Softhand mit beispielsweise 16 Punkten und einer zwei als erste Bankkarte muss man jedoch darauf achten, dass man bei einem gezogenen Ass den Wert der Softhand von 17 verwendet. Zieht der Spieler eine zwei bis fünf, erzielt er 18 bis 21 Punkte und bei einer sechs bis zehn kommt er auf zwölf bis 16 Kartenpunkte, da das Ass als eins gewertet wird. Die Gewinnerwartung E ( 16s 2) beträgt also 1![ E (12 2) E(15 2) + 4! E(16 2) + E(17s 2) + E(18 2) E(21 2)] 13 "!0,0210 und ist wiederum größer als! 0, 2928, die Erwartung, bei 16 Punkten keine weitere Karte zu ziehen. Aus Tabelle fünf wird deutlich, dass der Spieler bei Softhands eine ziehfreudigere Strategie verfolgen sollte, denn bei einer zwei bis acht als erste Bankkarte sollte er bis einschließlich 17 eine weitere Karte anfordern und gegen eine neun, zehn oder ein Ass des Croupiers empfiehlt es sich, erst ab 19 Punkten nicht mehr zu ziehen. III.7 Gewinnerwartung bei optimaler Spielstrategie Aus den Werten für Softhands lassen sich die Gewinnerwartungen für Blätter mit bis zu zehn Punkten berechnen, ebenfalls in Tabelle fünf dargestellt. Die Berechnungen verlaufen bis auf die Exzeption, dass man die Werte für Softhands berücksichtigen muss, analog zu denen für Blätter mit mehr als zehn Punkten. Zur Verdeutlichung befinden sich im Anhang Rechenbeispiele für diese Werte. Mithilfe dieser Erwartungen und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ergibt sich nun die durchschnittliche Gewinnerwartung bei optimaler Ziehstrategie, bedingt zur ersten 17

19 Bankkarte, die in Tabelle sieben dargestellt ist. Dabei wurde die Möglichkeit des Doppelns oder Teilens zunächst nicht mit einberechnet, da diese später behandelt wird (vgl. Bewersdorff 2007, 86). Bank As gesamt Erw. 0,0664 0,0938 0,1221 0,1530 0,1827 0,1215 0,0440-0,0477-0,1779-0,3389-0,0242 Tabelle 7: Gewinnerwartung des Spielers bei optimaler Ziehstrategie, bedingt zur ersten Bankkarte und absolut 10 Bei einer zwei bis acht der Bank gewinnt der Spieler wahrscheinlich, wenn er die optimale Ziehstrategie befolgt. Gegen eine neun, eine zehn, ein Bild oder ein Ass verliert er jedoch vermutlich. Daraus ergibt sich ein durchschnittlicher Verlust von 1 4 #[ E (2) E(9) + E( A)] + # E(10) "! 2,42 % des Einsatzes. Durch die optimale Spielstrategie kann der Spieler also keine guten Gewinnchancen beim Black Jack erreichen. Die Gewinnaussichten können jedoch durch Doppeln und Teilen verbessert werden. Der Abschluss einer Versicherung gegen einen Black Jack der Bank lohnt sich jedoch nicht, denn durch eine Versicherung macht man unabhängig von der Anzahl seiner Punkte immer Verlust. Der Croupier erzielt nämlich bei einem Ass als erste Karte mit einer Wahrscheinlichkeit von 13 4 einen Black Jack, die Wahrscheinlichkeit keinen zu bekommen liegt jedoch mit 13 9 wesentlich höher. Beim Abschluss einer Versicherung erhält der Spieler bei einem Black Jack der Bank einmal seinen Einsatz zurück, tritt dieser jedoch nicht ein, verliert er seinen Versicherungseinsatz in Höhe des halben Einsatzes. Folglich liegt die Gewinnerwartung bei # 1+ #(! 0,5) =! "! 0, 0385, also bei! 3, 85 Prozent (vgl. Kelbratowski 1984, 53-54). 10 Vgl. Bewersdorff 2007,

20 III.7.1 Optimale Spielstrategie mit Doppeln Zur Bestimmung der optimalen Spielstrategie mit Doppeln vergleicht man die Gewinnerwartungen ohne Doppeln der Blätter neun, zehn und elf aus Tabelle fünf bzw. der Softhands 19s und 20s aus Tabelle sechs mit der Gewinnerwartung, die ein Spieler erzielt, wenn er doppelt. Diese berechnet man, indem zunächst die Gewinnerwartung ermittelt wird, wenn man eine weitere Karte zieht, und diese verdoppelt. Die errechneten Gewinnerwartungen sind in Tabelle acht aufgelistet, wobei in den Situationen, die oberhalb der Linie aufgeführt sind, der Einsatz verdoppelt werden sollte und in den anderen nicht, da dort die Gewinnerwartung ohne Doppeln höher ist. Bei Softhands übertrifft die Gewinnerwartung bei normalem Ziehen stets die beim Doppeln (vgl. Bewersdorff 2007, 87). S B Ass 11 0,4706 0,5178 0,5660 0,6147 0,6674 0,4629 0,3507 0,2278 0,0120-0, ,3589 0,4093 0,4609 0, ,3924 0,2866 0,1443-0,1618-0, ,0611 0,1208 0,0388 0,2431 0,3171 0,1043-0,0264-0,3010-0,5847-0,9151 Tabelle 8: Gewinnerwartung des Spielers beim Doppeln, bedingt zur ersten Bankkarte 11 Die Gewinnerwartung des Wertes neun bei einer zwei der Bank ergibt sich beispielsweise, wenn man die Erwartung des Kartenwertes nach einmaligem Ziehen betrachtet: Bei einem Ass bis zehn erzielt man zwölf bis 21 Punkte, also eine 1 Gewinnerwartung von [ "[ E (12 2) E(20 2) + 4" E(21 2)] " 2! 0, 4706, welche 13 0,2384, die bei normalem Ziehen übersteigt. Aus Tabelle acht ist ersichtlich, dass der Spieler seine Gewinnchancen durch das Doppeln in den meisten Situationen verbessern kann, nur gegen eine zehn, ein Bild oder ein Ass der Bank sollte er nie doppeln. Außerdem ist es vorteilhaft, den Einsatz eines neunwertigen Blattes bei einer zwei oder sieben bis neun als erste Bankkarte nicht zu verdoppeln. 11 Vgl. Bewersdorff 2007,

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