Klausurtrainer Mathematik

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1 Klausurtrainer Mathematik Musteraufgaben mit Musterlösungen Annette Schelten und Bernd-Michael Kirstein. Auflage Studeo Verlag Berlin

2 Vorwort Vorwort Wie und für wen dieser Klausurtrainer entstand Mathematik ist das am wenigsten gemochte Fach in der Schule. Und es ist das am meisten benötigte im Studium der Wirtschaftswissenschaften. Daher gibt es eine große Diskrepanz zwischen den Anforderungen des Fachs und dem was aus der Schule mitgebracht wird. Wir von Studeo bereiten schon seit über 8 Jahren auf Klausuren in Mathematik vor. Dafür haben wir unser eigenes Trainingsmaterial entwickelt, welches wir jetzt erstmals veröffentlichen. Dieser Klausurtrainer ist für jene gedacht, die sich zielgerichtet auf Mathematik- Klausuren an Universitäten, Fachhochschulen und Fachschulen aber auch Gymnasien und Einrichtungen der Erwachsenenbildung vorbereiten wollen. Was ist neu an diesem Klausurtrainer? Die folgenden Punkte zeichnen dieses Buch aus: Fachliche Inhalte von der Klausur her entwickelt und dargestellt! Dieser Klausurtrainer ist kein Lehr- und auch kein Übungsbuch im herkömmlichen Sinne, sondern ein Klausurtrainer mit einem neuen didaktischen Ansatz. Basierend auf einer sorgfältigen Analyse und Systematisierung typischer Mathematik-Klausuren wird der Lernstoff konsequent von der Klausur her dargestellt. Den Kern des Klausurtraineres bilden ausführliche Lösungsanleitungen für typische Aufgabenstellungen. Zahlreiche Übersichten wie Mindmaps, Formelsammlungen, Symbollisten und Glossare erleichtern den Einstieg. Systematische Entwicklung von Aufgaben Wir haben uns bemüht, eine Standardaufgabenstellung von möglichst vielen Seiten zu beleuchten und so die Zusammenhänge deutlich zu machen. Indem wir viele mögliche Varianten abarbeiten, ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass die drei oder vier Aufgaben der Klausur in unserem Katalog enthalten sind. So ist man auf der sicheren Seite. Effektives Lernen beim Lernen lernen Der Klausurtrainer verbindet Lerninhalte mit Lernorganisation. Der Aufbau des Lernstoffs in Form von Checklisten und Profilen hilft, den lehrstuhlabhängigen, relevanten Stoff selbständig zu ordnen und das Lernen selbst effektiver zu organisieren. Das spart Zeit bei der Vorbereitung und ermöglicht bei Befolgung der Hinweise Antworten oder wenigstens Teilantworten auf die stets bewegende Frage: Was kommt dran? Personalisierung des Lernstoffes möglich Jeder Lehrstuhl hat seine eigenen Vorstellungen von dem was in Mathematik wichtig ist. Daher ist es nicht einfach, ein Übungsbuch zu schreiben, das allen Anforderungen gerecht werden kann. Wir haben dieser Klausurtrainer so angelegt, dass man die Inhalte an die Schreibweisen des eigenen Lehrstuhls anpassen kann. Es kann und soll stets geprüft werden, ob die dargestellten Inhalte relevant sind und ob sie eventuell zu ergänzen wären. Bei konsequenter Überprüfung der Inhalte und Benutzung der Checklisten entsteht ein persönlicher Klausurtrainer als Kompass und Grundlage für die Klausurvorbereitung. (Siehe dazu auch Handbuch Klausur - für professionelle Klausurvorbereitung (Infos auf Ziele dieser Klausurtraineres Das Hauptziel dieser Klausurtraineres ist: KLAUSURERFOLG! Das Buch soll Prüfungskandidaten im Fach Mathematik in die Lage versetzen: Aufgabenstellungen und vor allem varianten besser und schneller zu verstehen, Begriffe, Symbole, Formeln und Fragen richtig zuzuordnen, Den richtigen Lösungsansatz zu finden, Formeln und Rechenregeln sicher anzuwenden, Graphiken zu skizzieren, Ergebnisse richtig zu interpretieren und weiterzuverarbeiten und Inhaltliche Fragen richtig zu beantworten. Da wir schon seit Jahren erfolgreich nach den Methoden dieses Buches auf Klausuren vorbereiten, sind wir überzeugt, dass sich der Erfolg bei konsequenter Vorbereitung damit einstellt. Wir empfehlen zur Vorbereitung auch unser Handbuch Klausur für professionelle Klausurvorbereitung (Infos auf Inhalte und Methodik dieser Klausurtraineres Dieser Klausurtrainer konzentriert sich auf die Standard-Themenbereiche der Mathematik: Funktionen mit einer Variablen, Funktionen mit mehreren Variablen, Folgen und Reihen, Integralrechnung sowie Vektoren- und Matrizenrechnung. Weitere Themenbereiche sind für die nächsten Auflagen geplant. Typische Aufgabenstellungen aus den ausgewählten Bereichen werden übersichtlich aufgelistet und ausführlich gelöst. Selbstverständlich kann der Klausurtrainer nicht den Anspruch erheben, alle relevanten Bereiche des jeweiligen Lehrstuhls abzudecken. Es ist daher Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 5

3 Klausurtrainer Mathematik äußerst wichtig, sich genau zu informieren, welche Anforderungen der betreffende Lehrstuhl stellt, welche Materialien relevant sind, sich diese zu organisieren und bei der Vorbereitung zu nutzen. Hier sind einige Innovationen hinsichtlich der Inhaltsdarstellung: Systematik der Aufgabenvarianten zu den Themenbereichen. Eine solche Systematik machen Dozenten, die eine Klausur stellen müssen, allerdings nur für sich im stillen Kämmerlein. Aufgabenstellungen eines Themenbereichs durch Unterfragen von vielen möglichen Seiten betrachten. Das ist die Fortsetzung bzw. Umsetzung der Aufgabensystematik in den Musteraufgaben. Es ermöglicht, ein breites Aufgabenspektrum zur Auswahl der für die spezielle Klausur relevanten Fragen. Eine Formelsammlung der typischen Formeln. Diese Sammlung ist für die Inhalte entwickelt worden. Wichtig ist hier, die Schreibweise an die des eigenen Lehrstuhls anzupassen oder sich wenigsten die Nummer aus der eigenen Formelsammlung dazu zu schreiben Detaillierte Lösungen der Musteraufgaben Schritt-für-Schritt Wir versuchen, die Lösungen so elementar wie möglich zu halten und so viel wie nötig zu erklären. Besonders die Algorithmen sollen helfen, die Aufgaben selbständig zu lösen. Wie man mit diesem Klausurtrainer arbeiten sollte In der Einleitung findet sich eine Anleitung zum Arbeiten mit diesem Buch. Wir empfehlen auch dringend, sich in den Niederungen des Rechnens wieder fit zu machen, mit unserem Rechentrainer Schlag auf Schlag Rechnen bis ich s mag ( Denn Termumformungen sind eine Hautfehlerquelle in Klausuren. Wir hoffen sehr, dass Ihnen unsere Anstrengungen helfen, dass Sie Ihnen bei der Klausurvorbereitung Zeit sparen und dass Sie die Klausur letztlich erfolgreich zu bestehen. Danksagung Wir danken unseren Kursteilnehmern, die uns zu diesem Buch inspiriert haben. Wir haben uns um größtmögliche Sorgfalt bemüht. Für alle verbleibenden Fehler und Unzulänglichkeiten sind wir allein verantwortlich (wir sind über selbige zwar betrübt, freuen uns aber, wenn Sie uns diese mitteilen, per an verlag@studeo.de). Wir wünschen viel Erfolg beim Arbeiten mit diesem Buch und vor allem eine erfolgreiche Klausur! Berlin im Mai 0 Annette Schelten Bernd-Michael Kirstein Martin Schleusener 6 Sie brauchen Training für Termumformungen, Potenzen, Brüche, Gleichungen etc.? macht Sie gezielt fit.

4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Vorwort... 5! Inhaltsverzeichnis... 7! Abbildungsverzeichnis... 0! Einleitung Wie Sie mit diesem Klausurtrainer arbeiten sollten...! Glossar grundlegender mathematischer Begriffe...! Das griechische Alphabet... 5! Rechentest zu Termumformungen... 6!! Funktionen mit einer Variablen... 9!.! Symbolliste, Glossar und Formelsammlung zu Funktionen mit einer Variablen... 9!.! Aufgabensystematik zu Funktionen mit einer Variablen... 0!.! Rechencheckliste zu Funktionen mit einer Variablen...!.4! Musteraufgaben zu Funktionen mit einer Variablen...!.4.! Musteraufgabe Kurvendiskussion einer Polynomfunktion...!.4.! Musteraufgabe Kurvendiskussion einer Wurzelfunktion...!.4.! Musteraufgabe Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion...!.4.4! Musteraufgabe 4 Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion...!.4.5! Musteraufgabe 5 Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion...!.4.6! Musteraufgabe 6 Kurvendiskussion einer trigonometrischen Funktion (Winkelfunktion)...!.4.7! Musteraufgabe 7 Kurvendiskussion einer Betragsfunktion... 4!.5! Musterlösungen zu Funktionen mit einer Variablen... 5!.5.! Musterlösung Kurvendiskussion einer Polynomfunktion... 5!.5.! Musterlösung Kurvendiskussion einer Wurzelfunktion... 8!.5.! Musterlösung Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion... 40!.5.4! Musterlösung 4 Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion... 4!.5.5! Musterlösung 5 Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion... 45!.5.6! Musterlösung 6 Kurvendiskussion einer trigonometrischen Funktion (Winkelfunktion)... 47!.5.7! Musterlösung 7 Kurvendiskussion einer Betragsfunktion... 50!.6! Algorithmen zu Funktionen mit einer Variablen... 5!.6.! Erstellen einer Wertetabelle... 5! Allgemeine Hinweise... 5!.6.! Bestimmung der Definitions- und Wertemenge... 5!.6.! Prüfen der Funktions-/Achsensymmetrie... 5!.6.4! Prüfen der Punktsymmetrie... 5!.6.5! Skizzieren der Funktion in einem Koordinatensystem (grafische Darstellung)... 5!.6.6! Berechnen der Nullstellen Schnittstellen mit der Abszisse... 54!.6.7! Berechnen der Schnittstellen mit der Ordinate... 54!.6.8! Bestimmen der Stetigkeit der Funktion grafische Methode... 54!.6.9! Bestimmen der Stetigkeit der Funktion rechnerische Methode (=Verhalten der Funktion an Definitionslücken)... 54!.6.0!Grenzwertbetrachtungen Limes... 55!.6.!Differenzieren (Ableiten) der Funktion... 55!.6.!Bestimmung der Differenzierbarkeit... 55!.6.!Bestimmen der relativen (lokalen) und globalen Extremalwerte... 55!.6.4!Krümmungsverhalten der Funktion (Konvexität und Konkavität)... 55! Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 7

5 Klausurtrainer Mathematik.6.5!Monotonie... 56!.7! Übungsaufgaben zu Funktionen mit einer Variablen... 57!.8! Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Funktionen mit einer Variablen... 58!! Folgen und Reihen... 6!.! Symbolliste, Glossar und Formelsammlung zu Folgen und Reihen... 6!.! Aufgabensystematik zu Folgen und Reihen... 67!.! Rechencheckliste zu Folgen und Reihen... 68!.4! Musteraufgaben zu Folgen und Reihen... 69!.4.! Musteraufgabe Folge Bildungsgesetz... 69!.4.! Musteraufgabe Folgen Bildungsgesetz und Grenzwertverhalten... 69!.4.! Musteraufgabe Folgen Grenzwertverhalten... 69!.4.4! Musteraufgabe 4 Folgen Konvergenz und Grenzwertverhalten... 69!.4.5! Musteraufgabe 5 Reihen Konvergenz und Grenzwertverhalten... 69!.4.6! Musteraufgabe 6 Reihen Konvergenz mit Quotientenkriterium... 69!.4.7! Musteraufgabe 7 Reihen Konvergenz mit Wurzelkriterium... 69!.4.8! Musteraufgabe 8 Reihen Konvergenz mit Leibnizkriterium... 69!.4.9! Musteraufgabe 9 Reihen Konvergenz mit Majorantenkriterium... 69!.5! Musterlösungen zu Folgen und Reihen... 70!.5.! Musterlösung Folge Bildungsgesetz... 70!.5.! Musterlösung Folgen Bildungsgesetz und Grenzwertverhalten... 7!.5.! Musterlösung Folgen Grenzwertverhalten... 7!.5.4! Musterlösung 4 Folgen Konvergenz und Grenzwertverhalten... 7!.5.5! Musterlösung 5 Reihen Konvergenz und Grenzwertverhalten... 74!.5.6! Musterlösung 6 Reihen Konvergenz mit Quotientenkriterium... 75!.5.7! Musterlösung 7 Reihen Konvergenz mit Wurzelkriterium... 75!.5.8! Musterlösung 8 Reihen Konvergenz mit Leibnizkriterium... 75!.5.9! Musterlösung 9 Reihen Konvergenz mit Majorantenkriterium... 76!.6! Algorithmen zu Folgen und Reihen... 77!.6.! Geometrische Folgen... 77!.6.! Arithmetische Folgen... 77!.6.! Monotonie bei Folgen... 77!.6.4! Konvergenz und Grenzwertbestimmung bei Folgen... 77!.6.5! Konvergenz bei Reihen mit Hilfe des Quotientenkriteriums... 78!.6.6! Konvergenz bei Reihen mit Hilfe des Wurzelkriteriums... 78!.6.7! Konvergenz bei Reihen mit Hilfe des Majorantenkriteriums... 78!.7! Übungsaufgaben zu Folgen und Reihen... 79!.8! Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Folgen und Reihen... 80!! Integralrechnung... 8!.! Symbolliste, Glossar und Formelsammlung zur Integralrechnung... 8!.! Aufgabensystematik zur Integralrechnung... 85!.! Rechencheckliste zur Integralrechnung... 86!.4! Musteraufgaben zur Integralrechnung... 87!.4.! Musteraufgabe Bestimmtes und uneigentliches Integral... 87!.4.! Musteraufgabe Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung... 87!.4.! Musteraufgabe Eigentliche Integrale... 87!.4.4! Musteraufgabe 4 Uneigentliche Integrale... 87!.4.5! Musteraufgabe 5 Unbestimmte Integrale... 87!.5! Musterlösungen zur Integralrechnung... 88!.5.! Musterlösung Definition bestimmtes und uneigentliches Integral... 88! 8 Sie brauchen Training für Termumformungen, Potenzen, Brüche, Gleichungen etc.? macht Sie gezielt fit.

6 Inhaltsverzeichnis.5.! Musterlösung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung... 89!.5.! Musterlösung Bestimmte Integrale... 89!.5.4! Musterlösung 4 Unbestimmte Integrale... 9!.5.5! Musterlösung 5 Uneigentliche Integrale... 9!.5.6! Musterlösung 6 partielle Integration... 9!.5.7! Musterlösung 7 Integration durch Substitution... 95!.6! Algorithmen zur Integralrechnung... 96!.6.! Bilden der Stammfunktionen... 96!.6.! Berechnung eines bestimmten Integrals... 96!.6.! Berechnung eines unbestimmten Integrals... 96!.6.4! Berechnung eines uneigentlichen Integrals... 96!.6.5! Partielle Integration... 97!.6.6! Integration durch Substitution !.7! Übungsaufgaben zur Integralrechnung... 98!.8! Lösungen zu den Übungsaufgaben zur Integralrechnung... 99! 4! Funktionen mit mehreren Variablen... 00! 4.! Symbolliste, Glossar und Formelsammlung zu Funktionen mit mehreren Variablen... 00! 4.! Aufgabensystematik zu Funktionen mit mehreren Variablen... 07! 4.! Rechencheckliste zu Funktionen mit mehreren Variablen... 08! 4.4! Musteraufgaben zu Funktionen mit mehreren Variablen... 09! 4.4.! Musteraufgabe Partielles und totales Differential bei Funktionen mit mehreren Variablen... 09! 4.4.! Musteraufgabe Stationäre Punkte bei Funktionen mit mehreren Variablen... 09! 4.4.! Musteraufgabe Relative Extrema und Sattelpunkte bei Funktionen mit zwei Variablen... 09! 4.4.4! Musteraufgabe 4 Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen unter Nebenbedingungen mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes... 09! 4.4.5! Musteraufgabe 5 Partielle Elastizitäten... 09! 4.4.6! Musteraufgabe 6 Homogenität... 09! 4.4.7! Musteraufgabe 7 Höhenlinien... 09! 4.5! Musterlösungen zu Funktionen mit mehreren Variablen... 0! 4.5.! Musterlösung Partielle Ableitung und totales Differential bei Funktionen mit mehreren Variablen... 0! 4.5.! Musterlösung Stationäre Punkte bei Funktionen mit mehreren Variablen...! 4.5.! Musterlösung Relative Extrema und Sattelpunkte bei Funktionen mit zwei Variablen...! 4.5.4! Musterlösung 4 Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen unter Nebenbedingungen mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes...! 4.5.5! Musterlösung 5 Partielle Elastizitäten...! 4.5.6! Musterlösung 6 Homogenität...! 4.5.7! Musterlösung 7 Höhenlinien... 4! 4.6! Algorithmen zu Funktionen mit mehreren Variablen... 5! 4.6.! Partielle Ableitung... 5! 4.6.! Totales Differential (und näherungsweise Berechnung eines Funktionwertes)... 5! 4.6.! Bestimmung der Extremwerte und Sattelpunkte bei Funktionen mit zwei Variablen.. 5! 4.6.4! Hesse Matrix einer Funktion mit n Variablen... 6! 4.6.5! Partielle Elastizitäten einer Funktion mit einer Variablen - Näherungsrechnung... 6! 4.6.6! Partielle Elastizitäten einer Funktion mit zwei Variablen - Näherungsrechnung... 6! 4.6.7! Isolinien (Höhenlinien) einer Funktion mit zwei Variablen... 7! 4.7! Übungsaufgaben zu Funktionen mit mehreren Variablen... 8! Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 9

7 Klausurtrainer Mathematik 4.8! Lösungen zu den Übungsaufgaben zu Funktionen mit mehreren Variablen... 9! 5! Vektor- und Matrizenrechnung...! 5.! Symbolliste, Glossar und Formelsammlung zur Vektorrechnung...! 5.! Symbolliste, Glossar und Formelsammlung zur Matrizenrechnung... 6! 5.! Aufgabensystematik zur Vektor- und Matrizenrechnung... 45! 5.4! Rechencheckliste zur Vektor- und Matrizenrechnung... 46! 5.5! Musteraufgaben zur Vektor- und Matrizenrechnung... 48! 5.5.! Musteraufgabe Rechnen mit Vektoren... 48! 5.5.! Musteraufgabe Rechnen mit Matrizen... 48! 5.5.! Musteraufgabe Lösen des LGS mittels der Cramerschen Regel... 49! 5.5.4! Musteraufgabe 4 Lösen des LGS mittels der Cramerschen Regel... 49! 5.5.5! Musteraufgabe 5 Lösen des LGS mittels des Gaußschen Algorithmus... 49! 5.5.6! Musteraufgabe 6 Lösen des LGS mittels Additionsverfahren... 49! 5.6! Musterlösungen zur Vektor- und Matrizenrechnung... 50! 5.6.! Musterlösung - Rechnen mit Vektoren... 50! 5.6.! Musterlösung Rechnen mit Matrizen... 54! 5.6.! Musterlösung Lösen des LGS mittels der Cramerschen Regel... 6! 5.6.4! Musterlösung 4 - Lösen des LGS mittels der Cramerschen Regel... 64! 5.6.5! Musterlösung 5 Lösen des LGS mittels des Gaußschen Algorithmus... 65! 5.6.6! Musterlösung 6 Lösen des LGS mit Hilfe des Additionsverfahrens... 66! 5.7! Algorithmen zur Vektor- und Matrizenrechnung... 67! 5.7.! Transponieren von Vektoren... 67! 5.7.! Länge eines Vektors berechnen... 67! 5.7.! Skalarprodukt berechnen... 67! 5.7.4! Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen... 68! 5.7.5! Abstand zwischen zwei Vektoren berechnen... 68! 5.7.6! Transponieren von Matrizen... 68! 5.7.7! Multiplikation von Matrizen... 69! 5.7.8! Berechnung der Determinante einer (*) Matrix... 69! 5.7.9! Sarrussche Regel Berechnung der Determinante einer (*) Matrix... 69! 5.8! Übungsaufgaben zur Vektor- und Matrizenrechnung... 70! 5.9! Lösungen zu den Übungsaufgaben zur Vektor- und Matrizenrechnung... 7! Abbildungsverzeichnis Abb. -: Mindmap Aufgabensystematik zu Funktionen mit einer Variablen... 0 Abb. -: Darstellung einer Polynomfunktion... 7 Abb. -: Darstellung einer Wurzelfunktion... 9 Abb. -4: Darstellung einer gebrochen rationalen Funktion... 4 Abb. -5: Darstellung einer Exponentialfunktion Abb. -6: Darstellung einer Logarithmusfunktion Abb. -7: Darstellung einer Cosinus-Funktion Abb. -9: Darstellung einer Betragsfunktion... 5 Abb. -: Mindmap Aufgabensystematik zu Folgen und Reihen Abb. -: Mindmap Aufgabensystematik zur Integralrechnung Sie brauchen Training für Termumformungen, Potenzen, Brüche, Gleichungen etc.? macht Sie gezielt fit.

8 Funktionen mit einer Variablen Funktionen mit einer Variablen. Symbolliste, Glossar und Formelsammlung zu Funktionen mit einer Variablen Die folgende Tabelle enthält die wichtigsten Begriffe mit Definitionen, Symbolen und Erläuterungen zum Teilgebiet. Arbeiten Sie mit dieser Tabelle, indem Sie sorgfältig prüfen, welche Begriffe und Konzepte für Sie relevant sind. Prüfen Sie ebenfalls, ob unsere Schreibweise mit der Ihres Lehrstuhls übereinstimmt und eventuell welche Variante an Ihrem Lehrstuhl bevorzugt wird. Arbeiten Sie die Konzepte durch, bevor Sie sich an die Aufgaben machen. Begriff Symbol Definition Erläuterung Nr. Relevant Ableitung, Ableitungsfunktion ( ) f x Existiert für eine reelle Funktion f und ein ( ) lim x x ( ) ( ) f x f x x x 0 0 x0 D f der Grenzwert, so heißt er Ableitung oder Differentialquotient von f an der Stelle x 0, und man schreibt f ( x 0 ), ( x ) Die Ableitung f ( x 0 ) existiert in x 0 nur, falls. die Funktion in x 0 definiert und stetig ist und. der Differenzenquotient df dx ( ) ( ) f x f x x x (den Differentialquotienten) besitzt oder df dx x 0 einen endlichen Grenzwert Geometrische Interpretation: Die Ableitung f ( x 0 ) entspricht dem Anstieg der Tangente (also der g x = f x0 + f x0 x x0 ) an den Grafen der Funktion f im Geraden ( ) ( ) ( )( ) Punkt ( x,f 0 ( x 0) ). Die Ableitung gibt daher die Steigung des Funktionsgrafen an der Stelle x 0 an. Mit Hilfe der Ableitung f ( x 0 ) kann die Änderung Δ f = f( x) f( x 0 ) von f, die sich durch eine (kleine) Änderung Δ x = x x0 von x ergibt, Δf Δx f x 0. näherungsweise bestimmt werden durch: ( ) Kann ich noch lernen Existiert f ( x 0 ), so heißt f an der Stelle x 0 differenzierbar. Wird die Ableitung von f( x ) an allen differenzierbaren Stellen gebildet, so erhält man die Ableitungsfunktion f ( x), die abkürzend häufig auch Ableitung genannt wird. Ist die Ableitungsfunktion an der Stelle x 0 stetig, so heißt f an der Stelle x 0 stetig differenzierbar. Ableitungsregeln: (Die Funktionen f und g seien differenzierbar) Summenregel: ( af ( x ) + bg ( x ) ) = af ( x ) + bg ( x ) mit a,b R Produktregel: ( f( x) g(x) ) = f ( x) g( x) + f( x) g ( x) Quotientenregel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x g x g x f x = gx gx Kettenregel: ( ( ) ) ( ) Umkehrregel: ( f ) ( y) ( ( ) ) ( ) ( ) f g x = f g x g x = = f f y, falls g( x) 0 y= f x,f x 0 mit ( ) ( ) ( ( ) ) f ( x) Beachte: Die Stetigkeit von f ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Differenzierbarkeit von f. Es gelten die Aussagen: Ist f differenzierbar in x 0, so ist f stetig in x 0. Ist f nicht stetig in x 0, so ist f auch nicht differenzierbar in x 0. Ist f stetig in x 0, so muss f nicht differenzierbar in x 0 sein. Ist f nicht differenzierbar in x 0, so kann f trotzdem stetig in x 0 sein. Eigenschaften: Sind f und g differenzierbar, so sind auch cf mit c R, die Summe f + g, das Produkt f g, der Quotient f g mit g 0 und die Umkehrfunktion f, falls f 0ist, differenzierbar. Mit Hilfe der Ableitungsregeln kann die Ableitung bzw. die Ableitungsfunktion einer Funktion bestimmt werden, die sich durch Addition, Multiplikation, Division, Verkettung oder Umkehrung aus einfacheren Funktionen mit bekannten Ableitungen ergibt. Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag:

9 Klausurtrainer Mathematik. Aufgabensystematik zu Funktionen mit einer Variablen Die folgende Übersicht stellt die am meisten in Klausuren verwendeten Aufgabentypen und -stellungen dieses Themenbereichs dar. Die genaue Aufgabenstellung in Klausuren Ihres Lehrstuhls kann davon abweichen. Arbeiten sie mit dieser Übersicht, indem Sie die Inhalte der alten Klausuraufgaben Ihres Lehrstuhls anhand dieses Schemas sorgfältig überprüfen und systematisieren. Passen Sie die Übersicht gegebenenfalls an oder ergänzen Sie sie. Abb. -: Mindmap Aufgabensystematik zu Funktionen mit einer Variablen 0 Probleme mit Termumformungen, Potenzen, Brüchen, Gleichungen? Der Rechentrainer macht Sie wieder fit.

10 Funktionen mit einer Variablen. Rechencheckliste zu Funktionen mit einer Variablen Diese Liste stellt die in Standard-Klausuren zu errechnenden Größen des Themenbereiches dar. Arbeiten Sie mit dieser Rechencheckliste, indem Sie sorgfältig prüfen, nach welchen Größen in den alten Klausuren Ihres Lehrstuhls gefragt wurde und passen Sie die Tabelle entsprechend an. Füllen Sie dann die rechten Spalten aus. Ordnen Sie vor allem auch die Aufgaben aus Ihrer Übung / Ihrem Tutorium entsprechend zu. Prüfen Sie immer wieder, welche der Aufgabentypen Sie noch üben müssen. (Ü, Ü, Ü bezeichnen Ihre Trainingsdurchgänge.) Zu errechnende Größe Ihr Symbol Algor.-Nr., Musterlös. Relevant ja / nein Schwierig? ja / nein Aufgaben aus Übung/ Tutor.? Kann ich Ü Ü Ü Ableitungen dritter Ordnung Ableitungen erster Ordnung Ableitungen zweiter Ordnung Bestimmen/ Berechnen Definitionsbereich Differenzierbarkeit Funktionssymmetrie Krümmungsverhalten Monotonie Nullstellen Punktsymmetrie Relative Extremwerte Schnittstellen mit der Ordinate Stetigkeit / Polstellen Überprüfen Verhalten im Unendlichen Wendepunkte Wertebereich Wertetabelle Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag:

11 Klausurtrainer Mathematik.4 Musteraufgaben zu Funktionen mit einer Variablen Diese Aufgaben sind beispielhaft für den Themenbereich. Arbeiten Sie mit diesen Musteraufgaben, indem Sie die einzelnen Fragen mit den Aufgabenstellungen Ihrer Übung / Ihres Tutoriums, vor allem aber mit denen der alten Klausuren Ihres Lehrstuhls vergleichen. Kreuzen Sie in den rechten Spalten die Fragestellungen an, die für Sie relevant sind und ergänzen Sie die Liste gegebenenfalls um weitere relevante..4. Musteraufgabe Kurvendiskussion einer Polynomfunktion Betrachten Sie die Polynomfunktion y = f (x) = x + x und führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch. A.. Erstellen Sie eine Wertetabelle mit den x-werten -4, -, -, -, 0,,,, 4. Berechnen Sie jeweils die y-werte f(x). A.. Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. A.. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion. A.4. Überprüfen Sie die Funktions- und Punktsymmetrie. A.5. Berechnen Sie die Nullstellen. (Schnittstellen mit der x-achse = Abszisse.) A.6. Berechnen Sie die Schnittstellen mit der Ordinate (Y-Achse). A.7. Überprüfen Sie die Stetigkeit der Funktion und geben Sie etwaige Polstellen an. A.8. Überprüfen Sie anhand einer Grenzwertbetrachtung das Verhalten der Funktion im Unendlichen. A.9. Bilden Sie die Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung. A.0. Überprüfen Sie die Differenzierbarkeit der Funktion. A.. Bestimmen Sie mögliche relative Extremwerte P(x E,y E ) der Funktion. A.. Überprüfen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion. A.. Überprüfen Sie die Monotonie der Funktion. A.4. Bestimmen Sie mögliche Wendepunkte P(x w,y w ) der Funktion. A.5. Stellen Sie die Funktion grafisch dar..4. Musteraufgabe Kurvendiskussion einer Wurzelfunktion Betrachten Sie die Wurzelfunktion y= f(x) = x und führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch. A.. Erstellen Sie eine Wertetabelle mit den x-werten -4, -, -, -, 0,,,, 4. Berechnen Sie jeweils die y-werte f(x). A.. Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. A.. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion. A.4. Überprüfen Sie die Funktions- und Punktsymmetrie. A.5. Berechnen Sie die Nullstellen. (Schnittstellen mit der x-achse = Abszisse.) A.6. Berechnen Sie die Schnittstellen mit der Ordinate (y-achse). A.7. Überprüfen Sie die Stetigkeit der Funktion und geben Sie etwaige Polstellen an. A.8. Überprüfen Sie anhand einer Grenzwertbetrachtung das Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereiches. A.9. Bilden Sie die Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung. A.0. Bestimmen Sie mögliche relative Extremwerte P(x E,y E ) der Funktion. A.. Bestimmen Sie mögliche Wendepunkte P(x w,y w ) der Funktion. A.. Überprüfen Sie die Monotonie der Funktion. A.. Überprüfen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion. A.4. Stellen Sie die Funktion grafisch dar..4. Musteraufgabe Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion Betrachten Sie die gebrochen rationale Funktion y= f(x) = x + x x + und führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch. A.. Erstellen Sie eine Wertetabelle mit den x-werten -4, -, -, -, 0,,,, 4. Berechnen Sie jeweils die y-werte f(x). A.. Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. A.. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion. A.4. Überprüfen Sie die Funktions- und Punktsymmetrie. A.5. Berechnen Sie die Nullstellen (Schnittstellen mit der x-achse = Abszisse). A.6. Berechnen Sie die Schnittstellen mit der Ordinate (y-achse). A.7. Überprüfen Sie die Stetigkeit der Funktion und geben Sie etwaige Polstellen an. A.8. Überprüfen Sie anhand einer Grenzwertbetrachtung das Verhalten der Funktion im Unendlichen. A.9. Bilden Sie die Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung. A.0. Überprüfen Sie die Differenzierbarkeit der Funktion. Probleme mit Termumformungen, Potenzen, Brüchen, Gleichungen? Der Rechentrainer macht Sie wieder fit.

12 Funktionen mit einer Variablen A.. A.. A.. A.4. A.5. Bestimmen Sie mögliche relative Extremwerte P(x E,y E ) der Funktion. Bestimmen Sie mögliche Wendepunkte P(x w,y w ) der Funktion. Überprüfen Sie die Monotonie der Funktion. Überprüfen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion. Stellen Sie die Funktion grafisch dar..4.4 Musteraufgabe 4 Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion Betrachten Sie die Exponentialfunktion x y = f (x) = e und führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch. A 4.. Erstellen Sie eine Wertetabelle mit den x-werten -4, -, -, -, 0,,,, 4. Berechnen Sie jeweils die y-werte f(x). A 4.. Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. A 4.. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion. A 4.4. Überprüfen Sie die Funktions- und Punktsymmetrie. A 4.5. Berechnen Sie die Nullstellen (Schnittstellen mit der x-achse = Abszisse). A 4.6. Berechnen Sie die Schnittstellen mit der Ordinate (y-achse). A 4.7. Überprüfen Sie die Stetigkeit der Funktion und geben Sie etwaige Polstellen an. A 4.8. Überprüfen Sie anhand einer Grenzwertbetrachtung das Verhalten der Funktion im Unendlichen. A 4.9. Bilden Sie die Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung. A 4.0. Überprüfen Sie die Differenzierbarkeit der Funktion. A 4.. Bestimmen Sie mögliche relative Extremwerte P(x E,y E ) der Funktion. A 4.. Bestimmen Sie mögliche Wendepunkte P(x w,y w ) der Funktion. A 4.. Überprüfen Sie die Monotonie der Funktion. A 4.4. Überprüfen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion. A 4.5. Stellen Sie die Funktion grafisch dar..4.5 Musteraufgabe 5 Kurvendiskussion einer Logarithmusfunktion Betrachten Sie die Logarithmusfunktion y= f(x) = lnx und führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch. A 5.. Erstellen Sie eine Wertetabelle mit den x-werten -4, -, -, -, 0,,,, 4. Berechnen Sie jeweils die y-werte f(x). A 5.. Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. A 5.. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion. A 5.4. Überprüfen Sie die Funktions- und Punktsymmetrie. A 5.5. Berechnen Sie die Nullstellen (Schnittstellen mit der x-achse = Abszisse). A 5.6. Berechnen Sie die Schnittstellen mit der Ordinate (y-achse). A 5.7. Überprüfen Sie die Stetigkeit der Funktion und geben Sie etwaige Polstellen an. A 5.8. Überprüfen Sie anhand einer Grenzwertbetrachtung das Verhalten der Funktion im Unendlichen. A 5.9. Bilden Sie die Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung. A 5.0. Überprüfen Sie die Differenzierbarkeit der Funktion. A 5.. Bestimmen Sie mögliche relative Extremwerte P(x E,y E ) der Funktion. A 5.. Bestimmen Sie mögliche Wendepunkte P(x w,y w ) der Funktion. A 5.. Überprüfen Sie die Monotonie der Funktion. A 5.4. Überprüfen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion. A 5.5. Stellen Sie die Funktion grafisch dar..4.6 Musteraufgabe 6 Kurvendiskussion einer trigonometrischen Funktion (Winkelfunktion) Betrachten Sie die trigonometrische Funktion y = f (x) = sin(x) und führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion durch. A 6.. Erstellen Sie eine Wertetabelle mit den x-werten 4, -, -, -, 0,,,, 4. Berechnen Sie jeweils die y-werte f(x). A 6.. Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. A 6.. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion. A 6.4. Überprüfen Sie die Funktions- und Punktsymmetrie. A 6.5. Berechnen Sie die Nullstellen (Schnittstellen mit der x-achse = Abszisse). A 6.6. Berechnen Sie die Schnittstellen mit der Ordinate (Y-Achse). A 6.7. Überprüfen Sie anhand einer Grenzwertbetrachtung das Verhalten der Funktion im Unendlichen. A 6.8. Bilden Sie die Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung. A 6.9. Überprüfen Sie die Differenzierbarkeit der Funktion. Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag:

13 Klausurtrainer Mathematik A.. Berechnen Sie die Schnittstellen mit der Ordinate (y-achse). Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R Setze x = 0in f(x) ein: f(x) = x + x, damit ist S(0;-) der Schnittpunkt mit der y-achse. f(0) = A.. Überprüfen Sie die Stetigkeit der Funktion und geben Sie etwaige Polstellen an. Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R Die Parabel hat keine Definitionslücken und Polstellen. Die Funktion ist auf dem gesamten Definitionsbereich stetig. A.. Überprüfen Sie anhand einer Grenzwertbetrachtung das Verhalten der Funktion im Unendlichen. Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R Da der Definitionsbereich Df nach beiden Seiten unbeschränkt ist, muss das Verhalten von f für x ± untersucht werden. lim f (x) = lim(x + x ) = lim x ( + ) = und x x x x x lim f (x) = lim x ( + ) =, x x x x da lim x =, lim = 0 und lim = 0 x ± x ± x x ± x A.4. Bilden Sie die Ableitungen erster, zweiter und dritter Ordnung Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R f(x) = x + x f'(x) = x+ f''(x) = f'''(x) = 0 A.5. Überprüfen Sie die Differenzierbarkeit der Funktion. Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R Die erste Ableitung f (x) hat keine Definitionslücke und keine Polstelle. f(x) ist überall stetig differenzierbar, ebenso alle höheren Ableitungen. A.6. Bestimmen Sie mögliche relative Extremwerte P(x E,y E ) der Funktion. Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R. Bestimme die Nullstelle der ersten Ableitung ( f (x) = 0 ): xe + = 0 xe =,. Setze den berechneten Wert in die zweite Ableitung ein: f''(x E) = f''( ) = Für x E = gilt f (x E) = 0 und f (x E) > 0, deshalb liegt in diesem Punkt ein relatives Minimum vor. Der Minimalpunkt heißt: Min(-/; -7/4). A.7. Bestimmen Sie mögliche Wendepunkte P(x w,y w ) der Funktion. Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R Es ist f''(x) = 0 für alle x, somit existiert kein Wendepunkt. A.8. Überprüfen Sie die Monotonie der Funktion. Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R Es müssen die Intervalle ermittelt werden, in denen die erste Ableitung f (x) positiv bzw. negativ ist. Allgemein gilt: f (x) > 0 f(x) ist monoton steigend f (x) < 0 f(x) ist monoton fallend Monotonie wird geprüft, indem man Intervalle zwischen den Extremwerten und Polstellen bildet. Hier gibt es ein relatives Minimum bei x =, aber keine Polstelle. Daher wird die Monotonie 6 Probleme mit Termumformungen, Potenzen, Brüchen, Gleichungen? Der Rechentrainer macht Sie wieder fit.

14 Funktionen mit einer Variablen zwischen und x =, sowie zwischen x = und geprüft. Aus jedem dieser beiden Intervalle wird ein Wert herausgenommen und in die erste Ableitung eingesetzt. Es gilt: f( ) < 0 und f(0) > 0 Damit ist die Funktion zwischen und monoton steigend. x = monoton fallend und zwischen x = und A.9. Überprüfen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion. Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R Es müssen die Intervalle ermittelt werden, in denen die zweite Ableitung f (x) positiv bzw. negativ ist. Allgemein gilt: f (x) > 0 f(x) konvex f (x) < 0 f(x) konkav Die Krümmung wird geprüft, indem man Intervalle zwischen den Wendepunkten und Polstellen bildet. Hier gibt es weder Wendepunkte noch Polstellen, so dass nur das Intervall zwischen und geprüft werden muss. Aus diesem Intervall wird ein Wert herausgenommen und in die zweite Ableitung eingesetzt: Es ist f (0) > 0. Damit ist die Funktion zwischen und konvex. (Insbesondere folgt, dass es sich bei dem relativen Minimum auch um ein globales handelt, denn f(x) besitzt nur ein relatives Minimum bei x =, es ist limf (x) = und lim f (x) = und f ist im gesamten Definitionsbereich konvex. ) x x A.0. Stellen Sie die Funktion grafisch dar. Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R Abb. -: Darstellung einer Polynomfunktion Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 7

15 Klausurtrainer Mathematik. Rechencheckliste zu Folgen und Reihen Diese Liste stellt die in Standard-Klausuren zu errechnenden Größen des Themenbereiches dar. Arbeiten Sie mit dieser Rechencheckliste, indem Sie sorgfältig prüfen, nach welchen Größen in den alten Klausuren Ihres Lehrstuhls gefragt wurde und passen Sie die Tabelle entsprechend an. Füllen Sie dann die rechten Spalten aus. Ordnen Sie vor allem auch die Aufgaben aus Ihrer Übung / Ihrem Tutorium entsprechend zu. Prüfen Sie immer wieder, welche der Aufgabentypen Sie noch üben müssen. (Ü, Ü, Ü bezeichnen Ihre Trainingsdurchgänge.) Zu errechnende Größe Ihr Symbol Algor.-Nr., Musterlös. Relevant ja / nein Schwierig? ja / nein Aufgaben aus Übung/ Tutor.? Kann ich Ü Ü Ü Folgen Folgen-Typ bestimmen Arithmetische Folge Geometrische Folge Explizites Bildungsgesetz ermitteln Rekursives Bildungsgesetz ermitteln Konvergenz prüfen Grenzwert bestimmen nach Ausklammerungsverfahren Reihen Konvergenz prüfen nach Quotientenkriterium Konvergenz prüfen nach Wurzelkriterium Konvergenz prüfen nach Majorantenkriterium Konvergenz prüfen nach Leibnizkriterium Grenzwert bestimmen 68 Sie brauchen Training für Termumformungen, Potenzen, Brüche, Gleichungen etc.? macht Sie gezielt fit.

16 Folgen und Reihen.4 Musteraufgaben zu Folgen und Reihen Diese Aufgaben sind beispielhaft für den Themenbereich. Arbeiten Sie mit diesen Musteraufgaben, indem Sie die einzelnen Fragen mit den Aufgabenstellungen Ihrer Übung / Ihres Tutoriums, vor allem aber mit denen der alten Klausuren Ihres Lehrstuhls vergleichen. Kreuzen Sie in den rechten Spalten die Fragestellungen an, die für Sie relevant sind und ergänzen Sie die Liste gegebenenfalls um weitere relevante..4. Musteraufgabe Folge Bildungsgesetz Betrachten Sie die Folge a n = {4/; /; /; /6; /;...} A.. Bestimmen Sie, ob es sich um eine geometrische oder arithmetische Folge handelt. A.. Bestimmen Sie das rekursive Bildungsgesetz..4. Musteraufgabe Folgen Bildungsgesetz und Grenzwertverhalten Betrachten Sie die Folge a n = {7/6; ; /8; 8/9; 5/0;...} A.. Bestimmen Sie das explizite Bildungsgesetz der Folge. A.. Untersuchen Sie die Folge auf ihr Grenzwertverhalten..4. Musteraufgabe Folgen Grenzwertverhalten Betrachten Sie die Folge a n = 7 4n 9 n A.. Untersuchen Sie die Folge auf ihr Grenzwertverhalten..4.4 Musteraufgabe 4 Folgen Konvergenz und Grenzwertverhalten Betrachten Sie die Folge x n = n+ n A 4.. Untersuchen Sie die Folge auf ihr Grenzwertverhalten..4.5 Musteraufgabe 5 Reihen Konvergenz und Grenzwertverhalten k Betrachten Sie die Reihe k= 4 A 5.. Untersuchen Sie die Reihe auf ihr Grenzwertverhalten..4.6 Musteraufgabe 6 Reihen Konvergenz mit Quotientenkriterium k Betrachten Sie die Reihe k k= A 6.. Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe mit Hilfe des Quotientenkriteriums.4.7 Musteraufgabe 7 Reihen Konvergenz mit Wurzelkriterium k k Betrachten Sie die Reihe k= k + 00 A 7.. Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe mit Hilfe des Wurzelkriteriums..4.8 Musteraufgabe 8 Reihen Konvergenz mit Leibnizkriterium k Betrachten Sie die Reihe 5 ( ) k= k A 8.. Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe mit Hilfe des Leibnizkriteriums..4.9 Musteraufgabe 9 Reihen Konvergenz mit Majorantenkriterium Betrachten Sie die Reihe k 7 k= (k + )(k + ) A 9.. Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe mit Hilfe des Majorantenkriteriums. Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 69

17 Folgen und Reihen.5. Musterlösung Folgen Bildungsgesetz und Grenzwertverhalten Betrachten Sie die Folge a n = {7/6; ; /8; 8/9; 5/0;...} Lösung Erläuterungen / Notizen A.. Bestimme das explizite Bildungsgesetz der Folge. Relev. R Ü R Ü R Ü R OK R Die gegebene Folge muss auf Regelmäßigkeiten überprüft werden: a = 7 ;a 8 5 = ;a = ;a 4 = ;a 5 = ; Es zeigt sich, dass außer a = alle Folgeglieder Regelmäßigkeiten aufweisen. Der Zähler erhöht sich immer um 7, der Nenner erhöht sich um. Wenn man nun wie folgt erweitert: 4 a = = 7 dann zeigt sich, dass a = 7 ;a = ;a = ;a 4 = ;a 5 = ; ebenso die Eigenschaft zeigt, dass sich der Zähler um jeweils 7 erhöht, während sich der Nenner um erhöht. Damit kann man zwei Folgen unterscheiden:. Die Zahlenfolge im Zähler. Die Zahlenfolge im Nenner Für beide Folgen muss nun überprüft werden, ob eine geometrische oder arithmetische Reihe vorliegt.. Prüfung, ob die Zahlenfolge im Zähler eine geometrische Folge ist: Eine Zahlenfolge heißt geometrisch, wenn der Quotient aufeinander folgender Glieder konstant ist. Prüfe, ob eine geometrische Folge vorliegen kann: a = 7;a = 4;a = ;a 4 = 8;a 5 = 5;... Nun bilde die Quotienten: a 4 q= = = a 7 q a a 4 = = Die Quotienten sind nicht gleich. Damit liegt keine geometrische Folge im Zähler vor. Eine Zahlenfolge heißt arithmetisch, wenn der Abstand aufeinander folgender Glieder konstant ist. Prüfe, ob eine arithmetische Folge im Zähler vorliegen kann: a = 7;a = 4;a = ;a = 8;a = 5; Nun bilde die Abstände: d = a a = 4 7 = 7 d = a a = 4 = 7 d = a a = 8 = 7 4 d = a a = 5 8 = Die Abstände sind gleich. Somit liegt eine arithmetische Folge im Zähler vor. Das allgemeine explizite Bildungsgesetz für arithmetische Folgen lautet: an = a + (n ) d Daraus folgt für das gegebene Beispiel für das explizite Bildungsgesetz der arithmetischen Folge im Zähler: an = 7 + (n ) 7 Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 7

18 Integralrechnung.4 Musteraufgaben zur Integralrechnung Diese Aufgaben sind beispielhaft für den Themenbereich. Arbeiten Sie mit diesen Musteraufgaben, indem Sie die einzelnen Fragen mit den Aufgabenstellungen Ihrer Übung / Ihres Tutoriums, vor allem aber mit denen der alten Klausuren Ihres Lehrstuhls vergleichen. Kreuzen Sie in den rechten Spalten die Fragestellungen an, die für Sie relevant sind und ergänzen Sie die Liste gegebenenfalls um weitere relevante..4. Musteraufgabe Bestimmtes und uneigentliches Integral A.. Definieren Sie bestimmtes Integral. A.. Definieren Sie uneigentliches Integral. A.. Bestimmen Sie den Unterschied..4. Musteraufgabe Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung A.. Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?.4. Musteraufgabe Eigentliche Integrale A.. Bilde das Integral von f(x) x A.. A.. Bilde das Integral von f(x) Bilde das Integral von f(x),. = in den Grenzen [ ] x x e A.4. Bilde das Integral von f (x) sin x A.5. A.6. Bilde das Integral von Bilde das Integral von zu,. = in den Grenzen [ ] = in den Grenzen [ 0, ]. = in den Grenzen [ π,π ]. = + in den Grenzen [,4 ]. = + in den Grenzen [ ] 4 f (x) x ax 5 f (x) bx ax cx.4.4 Musteraufgabe 4 Uneigentliche Integrale A 4.. Bilde das Integral von f(x) = x A 4.. A 4.. Bilde das Integral von f(x) = x x Bilde das Integral von f(x) = e A 4.4. Bilde das Integral von f (x) = sin x A 4.5. A 4.6. Bilde das Integral von Bilde das Integral von zu 4 f (x) = x + ax 5 f (x) = bx ax + cx.4.5 Musteraufgabe 5 Unbestimmte Integrale A 5.. Bilde das Integral von f(x) x A 5.. A 5.. Bilde das Integral von f(x) Bilde das Integral von f(x),. = in den Grenzen [ ) x x e A 5.4. Bilde das Integral von f (x) sin x A 5.5. A 5.6. Bilde das Integral von Bilde das Integral von zu 0,5. = in den Grenzen ( ], a. = in den Grenzen (, ). = in den Grenzen [ π, ). = + in den Grenzen (,0]. = + in den Grenzen [ ) 4 f (x) x ax 5 f (x) bx ax cx 0,. Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 87

19 Funktionen mit mehreren Variablen 4. Aufgabensystematik zu Funktionen mit mehreren Variablen Die folgende Übersicht stellt die am häufigsten in Klausuren verwendeten Aufgabentypen und -stellungen dieses Themenbereichs dar. Die genaue Aufgabenstellung in Klausuren Ihres Lehrstuhls kann davon abweichen. Arbeiten sie mit dieser Übersicht, indem Sie die Inhalte der alten Klausuraufgaben Ihres Lehrstuhls anhand dieses Schemas sorgfältig überprüfen und systematisieren. Passen Sie die Übersicht gegebenenfalls an oder ergänzen Sie sie. Abb. 4-: Mindmap Aufgabensystematik Funktionen mit mehreren Variablen Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 07

20 Funktionen mit mehreren Variablen 4.4 Musteraufgaben zu Funktionen mit mehreren Variablen Diese Aufgaben sind beispielhaft für den Themenbereich. Arbeiten Sie mit diesen Musteraufgaben, indem Sie die einzelnen Fragen mit den Aufgabenstellungen Ihrer Übung / Ihres Tutoriums, vor allem aber mit denen der alten Klausuren Ihres Lehrstuhls vergleichen. Kreuzen Sie in den rechten Spalten die Fragestellungen an, die für Sie relevant sind und ergänzen Sie die Liste gegebenenfalls um weitere relevante Fragestellungen in diesem Themenbereich. Schicken Sie uns diese Fragestellungen per an verlag@studeo.de Musteraufgabe Partielles und totales Differential bei Funktionen mit mehreren Variablen Betrachten Sie die Funktion f(x) = x x + x x + 5x x. A.. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung. A.. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung. A.. Bestimmen Sie das totale Differential. A.4. Gegeben Sei der Punkt P = (x,x,x ) = (,,). Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials annäherungsweise den Funktionswert der Funktion am Punkt P = (x,x,x ) = (,;,;,8) Musteraufgabe Stationäre Punkte bei Funktionen mit mehreren Variablen Betrachten Sie die Funktion f(x) = f(x,x,x ) = x + x + 4x x + x x x 6x 4x. A.. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung. A.. Bestimmen Sie die stationären Punkte Musteraufgabe Relative Extrema und Sattelpunkte bei Funktionen mit zwei Variablen Betrachten Sie die Funktion f(x) = f(x,x ) = x + x x x + 5. A.. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung. A.. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung. A.. Bestimmen Sie die stationären Punkte. A.4. Bestimmen Sie die Art der relativen Extrema Musteraufgabe 4 Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen unter Nebenbedingungen mit Hilfe des Lagrange- Ansatzes 4 Betrachten Sie die Funktion f(x,x) = x y. Ermitteln Sie die möglichen Extremwerte dieser Funktion unter der Nebenbedingung 4x + y = 5. A 4.. Formulieren Sie die Lagrangefunktion. A 4.. Formulieren Sie die notwendigen Bedingungen für die Existenz eines Extremwertes. A 4.. Ermitteln Sie diese möglichen Extremwerte Musteraufgabe 5 Partielle Elastizitäten a b Betrachten Sie die Funktion f(x,y) = x y. A 5.. Geben Sie die partiellen Ableitungen an. A 5.. Geben Sie die allgemeinen Formeln für die partiellen Elastizitäten an. A 5.. a b Ermitteln Sie die partiellen Elastizitäten für die Funktion f(x,y) = x y Musteraufgabe 6 Homogenität Betrachten Sie die Funktion f(x,y) = x y 6x + y 5xy + 5yx. A 6.. Geben Sie den Homogenitätsgrad an Musteraufgabe 7 Höhenlinien Betrachten Sie die Funktion f(x,y) = x y 6x + y 5xy + 5yx. Ref. Nr. Aufgabenstellung Relevant Klar Üben A 7.. Berechnen Sie die Steigung der Höhenlinien im Punkt (,). Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 09

21 Funktionen mit mehreren Variablen 4.6 Algorithmen zu Funktionen mit mehreren Variablen 4.6. Partielle Ableitung Vorgehen Funktionen mit n Variablen haben n erste partielle Ableitungen. Bilde die ersten partiellen Ableitungen nach jeder einzelnen dieser Variablen, indem die anderen verbleibenden n- Variablen wie Konstanten betrachtet werden. Die Funktion wird so zu einer virtuellen Funktion mit nur einer Variablen. Wende dann die bekannten Ableitungsregeln für Funktionen mit einer Variablen an. Funktionen mit n Variablen haben n zweite partielle Ableitungen. Hierbei werden ausgehend von jeder der n ersten partiellen Ableitung wiederum n partielle Ableitungen gebildet, also n erste partielle Ableitungen multipliziert mit n. Bilde die zweite partiellen Ableitungen wiederum nach jeder einzelnen dieser n Variablen, indem die anderen verbleibenden n- Variablen wie Konstanten betrachtet werden. Die Funktion wird so zu einer virtuellen Funktion mit nur einer Variablen. Wende dann die bekannten Ableitungsregeln für Funktionen mit einer Variablen an Totales Differential (und näherungsweise Berechnung eines Funktionwertes) Vorgehen. Für eine Funktion mit n Variablen ( x = (x,x,...x n) ) gilt für das totale Differential: df = f (x) dx + f (x) dx f (x) dx, x x xn n wobei dx die Abweichung an der Stelle x angibt. i i. Bilde die n partiellen Ableitungen f'(x) bis f'(x n ) und setze diese in die Formel für das totale Differential ein.. Sind zwei Punkte P und P gegeben, so lässt sich der Funktionswert an der Stelle P näherungsweise mithilfe des totalen Differentials an der Stelle P und des Funktionswertes an der 4. Stelle P berechnen. Es gilt f (P ) f (P ) + df. 5. Für Funktionen mit nur einer Variablen gilt also: f(x0 + Δx) f(x 0) + f (x 0) Δ x Bestimmung der Extremwerte und Sattelpunkte bei Funktionen mit zwei Variablen Vorgehen. Bilde für eine Funktion mit zwei Variablen die ersten beiden partiellen Ableitungen f'(x) und f'(x ).. Setze diese zwei partiellen Ableitungen gleich Null: f'(x) = 0 und f'(x ) = 0.. Löse das daraus resultierende lineare Gleichungssystem. Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind die stationären Punkte (Extremwertkandidaten bzw. mögliche Sattelpunkte). 4. Bilde für eine Funktion mit Variablen die 4 zweiten partiellen Ableitungen. f, f, f und f xx xx xx xx 5. Bilde die Hessematrix aus den zweiten partiellen Ableitungen: Erläuterungen/Notizen Erläuterungen/Notizen Erläuterungen/Notizen f xx f xx H = fxx f xx 6. Berechne die Determinante der Hessematrix: D = det(h) = f g f f > 0 H xx x`x xx Setze die ermittelten stationären Punkte in die Determinante DH ein. 7. Ist DH < 0für einen stationären Punkt, so ist dieser ein Sattelpunkt. Ist DH > 0 und fxx > 0für einen stationären Punkt, so ist dieser ein Tiefpunkt. Ist DH > 0 und f < 0für einen stationären Punkt, so ist dieser ein Hochpunkt. Ist xx DH = 0für einen stationären Punkt, so kann keine Aussage getroffen werden. Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 5

22 Vektor- und Matrizenrechnung 5. Aufgabensystematik zur Vektor- und Matrizenrechnung Die folgende Übersicht stellt die am meisten in Klausuren verwendeten Aufgabentypen und -stellungen dieses Themenbereichs dar. Die genaue Aufgabenstellung in Klausuren Ihres Lehrstuhls kann davon abweichen. Arbeiten sie mit dieser Übersicht, indem Sie die Inhalte der alten Klausuraufgaben Ihres Lehrstuhls anhand dieses Schemas sorgfältig überprüfen und systematisieren. Passen Sie die Übersicht gegebenenfalls an oder ergänzen Sie sie. Abb. 5-: Mindmap Aufgabensystematik zur Vektor- und Matrizenrechnung Handbuch Klausur und Klausurtrainer für Mathematik, Statistik, BWL, VWL vom Studeo Verlag: 45

23 Klausurtrainer Mathematik 5.4 Rechencheckliste zur Vektor- und Matrizenrechnung Diese Liste stellt die in Standard-Klausuren zu errechnenden Größen des Themenbereiches dar. Arbeiten Sie mit dieser Rechencheckliste, indem Sie sorgfältig prüfen, nach welchen Größen in den alten Klausuren Ihres Lehrstuhls gefragt wurde und passen Sie die Tabelle entsprechend an. Füllen Sie dann die rechten Spalten aus. Ordnen Sie vor allem auch die Aufgaben aus Ihrer Übung / Ihrem Tutorium entsprechend zu. Prüfen Sie immer wieder, welche der Aufgabentypen Sie noch üben müssen. (Ü, Ü, Ü bezeichnen Ihre Trainingsdurchgänge.) Zu errechnende Größe Vektorenrechnung Ihr Symbol Algor.-Nr, Musterlös. Relevant ja / nein Schwierig? ja / nein Aufgaben aus Übung/ Tutor.? Kann ich Ü Ü Ü Absolutbetrag eines Vektors bilden Abstand zwischen Vektoren berechnen Addition Gegenvektor bilden Kommutativ- und Assoziativgesetz in allgemeiner Form Multiplikation Normierter Vektor Operationen mit Vektoren Orthogonalitätsbedingung (bei Vektoren) Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt bilden Spaltenvektoren zu Zeilenvektoren transponieren Subtraktion Winkel zwischen Vektoren berechnen Arten von Matrizen erkennen Adjunkte Diagonalmatrix Einheitsmatrix Gradient Hesse-Matrix Idempotente Matrix Inverse zu einer Matrix Jacobi-Matrix Nullmatrix Obere & untere Dreiecksmatrix Orthogonale Matrix Quadratische Matrix Schiefsymmetrische Matrix 46 Sie brauchen Training für Termumformungen, Potenzen, Brüche, Gleichungen etc.? macht Sie gezielt fit.