Arithmetik in der Grundschule I

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1 WS 2007/08 Dr. Renate Motzer Arithmetik in der Grundschule I Inhaltsverzeichnis: 1. Einblick in den Lehrplan. Was ist wichtig im Mathematikunterricht der Grundschule? 2 2. Zahlaspekte 3 3. Relationen 5 4. Römische Zahlen Stellenwertsysteme Rechnen in Stellenwertsystemen: Addition 19 Subtraktion 21 ANNA-Zahlen 25 Multiplikation 28 Division Zahl und Zahlwort Die Teilbarkeitsrelation Teilbarkeitsregeln Das Hasse Diagramm Anwendungen von Teilbarkeitsregeln im Zehnersystem Wenn Dann Sätze Mengenoperationen und Gesetze 59 Besondere Schnittmengen: ggt und kgv 63 1

2 Arithmetik in der Grundschule I 1. Einblick in den Lehrplan. Was ist wichtig im Mathematikunterricht der Grundschule? Folgendes Zitat aus der Fachprofil Mathematik eines Lehrplans (Bayerischer Lehrplan aus dem Jahr 2000) zeigt, dass viele Aspekte im Mathematikunterricht eine Rolle spielen: Kinder haben beim Eintritt in die Grundschule bereits die Erfahrung gemacht, dass sich Dinge und Vorgänge aus ihrer Umwelt vergleichen, ordnen, einteilen, zählen und messen lassen, und sie haben erste Raumvorstellungen gewonnen. Aufgabe des Mathematikunterrichts der Grundschule ist es, an diese individuell unterschiedlichen Kenntnisse anzuknüpfen und sie systematisch zu erweitern. Neben der Beherrschung von Rechenalgorithmen sind in der Grundschulmathematik also folgende Fähigkeiten zu entwickeln und zu intensivieren: Vergleichen, Unterscheiden, Klassifizieren, Ordnen, Strukturieren, Transformieren, Verknüpfen, Zerlegen, Schlüsse ziehen, Gesetzmäßigkeiten erkennen, Regeln bilden sowie Erkanntes auf andere Zusammenhänge übertragen. Im Zusammenhang mit Sachsituationen sollen Kinder lernen, wie sie Sachverhalte handelnd, bildhaft, verbal und in Symbolen darstellen sowie Handlungserfahrungen verallgemeinern und abstrahieren können. Mathematik hat auch mit logischem Denken zu tun. Daher sollen Kinder Aussagen und Lösungswege plausibel und logisch begründen, Vermutungen und Behauptungen überprüfen und Widersprüche aufdecken. Weiterhin geht es darum, Arbeitsmittel und Zeichengeräte sachgerecht benutzen sowie konzentriert, sorgfältig, genau und übersichtlich arbeiten zu können. Diese Zitate sind dem bayerischen Grundschullehrplan entnommen, ähnliche Ziele und Formulierungen finden sich auch in den Lehrplänen der anderen Bundesländer. Baden- Württemberg benennt z.b. folgende strukturelle Prinzipien als fächerübergreifend: Klassifizieren, Anordnen und Umordnen, Verallgemeinern und Spezifizieren, Entsprechungen entdecken, Übertragungen vornehmen, Schematisieren, ökonomisches Darstellen und schlussfolgerndes Denken. Auch der dynamische Aspekt soll nicht übersehen werden: Aufgaben, die das bewegliche Denken fördern, sind besonders zu pflegen. Weiterhin werden emotionale Bedürfnisse und die Förderung von sozialem Verhalten sowie die sprachliche Bildung betont. Die Bedeutung der Mathematik vom Kindergartenalter an stellen auch die Principles und Standards des National Council of Teachers of Mathematiks NCTM aus dem Jahr 2000 heraus. Diese Grundlagen für das Curriculum für Mathematikunterricht in den USA stellen wichtige Wegweiser für einen modernen Mathematikunterricht dar. Fünf Prozessstandards beziehen sich auf die mentalen Vorgänge, die der Mathematikunterricht forcieren sollte: Problemlösen, rationales Argumentieren und Beweisen, präzise und effiziente Kommunikation, vernetztes Lernen und Repräsentation von Wissen. Inhaltlich werden die Standards in folgende Bereiche aufgeteilt: Zahlen und ihre Verknüpfungen, Algebra im Sinne von Mustern und Funktionen, Geometrie, Größen und Messen und Wahrscheinlichkeit und Datenanalyse. All diese Standards sollten in allen Schularten ihre jeweilige Rolle spielen. So sollen in der Grundschule zwar keine Wahrscheinlichkeiten berechnet werden (dies würde selbstverständlich Bruch- und Prozentrechnen voraussetzen), aber einfache Datenerhebungen und der Umgang mit Daten sollten durchaus ein Thema sein. Vergleiche von Häufigkeiten und Möglichkeiten können weiterhin an die Frage von Gewinnchancen heranführen (vgl. standards.nctm.org/document). 2

3 Diese Vorlesung beschäftigt sich vor allem mit den Grundlagen des Bereiches Zahlen und ihre Verknüpfungen. Auch das Erkennen und Benennen von Mustern und Funktionen werden eine Rolle spielen. Für die anderen Bereiche gibt es eigene Vorlesungen ( Geometrie und Größen und Arbeiten mit Sachsituationen ). Im ersten Semester werden vor allem die fachlichen Grundlagen dessen erarbeitet, was in der Grundschule im Blick auf die dort besprochenen Zahlen und Rechenarten zur Sprache kommt. Wie diese Inhalte dann in der Grundschule behandelt werden, wird oft nur angedeutet. Im 2. Semester (Arithmetik in der Grundschule II) werden wir uns dann ausführlich mit dem beschäftigen, was konkret im Schulunterricht zur Sprache kommen wird, wie Kinder damit umgehen und wie wir ihnen helfen können, ihr Verständnis zu vertiefen. Dazu sollten Sie selbst ein bisschen fachliches Hintergrundwissen haben und um dieses soll es in dieser ersten Vorlesung gehen. 2. Zahlaspekte Zahlen werden in verschiedenen Aspekten gebraucht. Häufig ist es wichtig, zu erkennen, welcher Aspekt gerade eine Rolle spielt, um die Bedeutung einer Zahl richtig deuten zu können. Gemeinhin unterscheidet man: ASPEKT ERKLÄRUNG FRAGE BEISPIEL Kardinalaspekt Beschreiben von Anzahlen Wie viele? Hans hat 2 Brüder. Er hat 2 Hefte. Ordinalaspekt Kennzeichen einer Reihenfolge innerhalb einer Reihe -Ordnungszahl An welcher Stelle? Der/Die wievielte? Es ist der 27.Mai. Eva liegt an 3.Stelle. - Zählzahl Eva ist die Nummer 3. Maßzahl/Skalenaspekt Operatoraspekt Rechenzahlaspekt -algebraischer A. Rechenzahlaspekt -algorithmischer A. Codierungsaspekt Bezeichnung von Größen; als Maßzahlen bezüglich einer Einheit Beschreibung der Vielfachheit einer/s Handlung/Vorgangs beruht auf der Gültigkeit algebraischer Gesetzmäßigkeiten mit natürlichen Zahlen kann man nach eindeutig best. Folgen von Handlungsanweisungen ziffernweise rechnen Benennung und Unterscheidung von Dingen; Ziffernfolge dient zur Codierung Wie lange? Wie teuer? Wie schwer? Wie oft? Der Weg ist 2km lang. Das Eis kostet 3. Das Paket wiegt 3 Kilo. Ich muss zweimal zum Arzt. Du schreibst die Seite dreimal. 3+5=5+3 (Kommutativgesetz) (3+5)+7=3+(5+7) (Assoziativgesetz) z.b.: schriftliche Addition Meine Telefonnr. ist Eine Postleitzahl von Bayreuth ist

4 Das Zählen stellt eine Verbindung zwischen den verschiedenen Aspekten her. Die zuletzt genannte Zahl beim Zählen gibt die Anzahl an (Kardinalaspekt). Die Reihenfolge innerhalb einer Reihe bekommt man durch Abzählen (Ordinalaspekt). Die Kinder erfahren die verschiedenen Zahlaspekte in speziellen Situationen. Sie lernen so die Zahlbedeutungen mit der Zeit zunächst getrennt kennen. Erst während der Schulzeit begreifen sie die Beziehungen zwischen den Aspekten und gelangen so zu einem umfassenden Zahlbegriff, der die verschiedenen Aspekte integriert. Literatur: Friedhelm Padberg: Didaktik der Arithmetik zusammengestellt von Kerstin Fraunholz SS 1998 siehe: Etwas ausführlicher finden Sie die Zahlaspekte unter: Noch eine Anmerkung zu den Zählzahlen: Wünschenswert ist, dass die Kinder (und wir Erwachsene genauso) nicht immer jede Menge abzählen müssen, sondern es ihnen gelingt, Anzahlen simultan oder zumindest quasisimultan zu erfassen (ein Teil wird simultan erfasst, der Rest ergänzt). Meist können Kinder und Erwachsene maximal fünf Gegenstände simultan (d.h. auf einen Blick und ohne zu zählen) erfassen. Sind es mehr Gegenstände, so muss in der Regel gezählt werden. Es gibt aber Muster, die man quasisimultan erfassen kann (z.b. 6 Würfelaugen, zwei Würfel, einen mit 5, einen mit 4 Augen usw.). Vor allem das Verwenden von Fünferbündeln hilft beim quasisimultanen Erfassen. Längerfristige Übungsaufgabe: Machen Sie sich mit dem Unterrichtswerk Das Zahlenbuch und den dahinterstehenden Gedanken des Projekts mathe 2000 vertraut. Lesen Sie dazu den Artikel von Wittmann, E. Ch.: Das unerschöpfliche Übungsangebot des Zahlenbuchs - und wie Kinder es selbständig nutzen können, zu finden auf: Beantworten Sie zu diesem Text folgende Fragen: Welche Gedanken des Skripts waren für Sie neu und interessant? Welche Fragen sind Ihnen gekommen? Wo konnten Sie nicht unbedingt zustimmen? Was würden Sie anders sehen? Welche weiterführenden Gedanken sind Ihnen gekommen? Geben Sie Ihre Antworten bis zum in der Vorlesung oder bei Ihrem Übungsleiter ab. Übungsaufgaben zu Zahlaspekten 1. Nennen Sie mindestens drei Beispiele zu den folgenden Zahlaspekten: Kardinalzahl, Ordinalzahl, Maßzahl, Operator, Rechenzahl, Zahl als Codierung 2. Nennen Sie Beispielsituationen aus dem Alltag, in denen ohne Zählen ermittelt wird, ob zwei Mengen von Personen, Gegenständen usw. der Anzahl nach gleich groß sind oder nicht. 4

5 3. Betrachten Sie den folgenden Fahrplanauszug. Welche Zahlaspekte können Sie identifizieren? P.S.: Es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen, nicht das Besitzen, sondern das Erwerben, nicht das Da-sein, sondern das Hinzukommen, was den größten Genuss gewährt. Gauß 3. Relationen Zwischen Zahlen gibt es verschiedene Beziehungen (Relationen). Ähnliche Beziehungen gibt es auch zwischen geometrischen Objekten und auch Gegenständen außerhalb der Mathematik. Wir werden diese Bereiche gelegentlich zum Vergleich heranziehen. Ich möchte mich hier aber zunächst vor allem auf die Beziehungen zwischen Zahlen beschränken, denn in der Arithmetik geht es vor allem um Zahlen. Zunächst mag es so scheinen, als seien Zahlen nur zum Zählen und zum Rechnen da. Dass es auch noch andere Verwendungen gibt, wurde bei den vorher besprochenen Aspekten schon angedeutet. Bevor wir rechnen, wollen wir die Zahlen zueinander in Beziehung setzen (und das ist auch in der Schule wichtig, weshalb der Bereich Zahlen einen eigenen Lehrplanoberpunkt erhalten hat). Natürlich sagen Sie zurecht, auch in einer Rechnung wie 3+2 = 5 werden 3 Zahlen zueinander in Beziehung gesetzt. Zunächst möchte ich mich aber darauf beschränken, jeweils 2 Zahlen zueinander in Beziehung zu setzen. Es sollen aber auch Terme zueinander in Beziehung gebracht werden und dafür wurde gerade ein Beispiel genannt: der Term 3+2 ist gleichwertig zum Term 5. Beim Blick in den Lehrplan haben wir schon die Worte Vergleichen, Ordnen, Klassifizieren kennen gelernt. Darum soll es in diesem Kapitel gehen. 5

6 Zahlen zu vergleichen und zu ordnen beginnt in der Schule schon recht früh: Wenn die Kinder die einzelnen Ziffern gelernt haben, werden sie angehalten zu vergleichen, welche Zahl für eine kleinere und welche für eine größere Menge steht. Es werden also die Ordnungsrelationen < und > eingeführt. Sie werden zunächst für Zahlen verwendet, später auch für Terme (z.b. 3+5 > 4+2). Zusammen mit diesen Ordnungsrelationen wird auch die Gleichheitsrelation eingeführt. Sind zwei Türme gleich hoch (z.b. weil beide aus 5 Steinen bestehen), so schreibt man darunter 5 = 5. Zur Veranschaulichung wird hier also der Maßzahlaspekt verwendet. Nun seien wichtige Eigenschaften von bestimmten Relationen genannt. Dabei soll arb heißen: das Element a steht in Relation zum Element b (Bsp. 3 < 5). Zunächst wird geprüft, wie die Elemente zu sich selber stehen: a) Gilt ara für alle a aus der betrachteten Menge, so heißt die Relation reflexiv. Man darf also immer zweimal das gleiche einsetzen. Dies gilt z.b. für die Gleichheitsrelation: a = a gilt für jede Zahl (es würde auch für jeden Term gelten). Auch die Relation ist ein Beispiel dafür, denn a a trifft ebenfalls immer zu. b) Gilt ara nie, so heißt die Relation irreflexiv, d.h. man darf nie zweimal das gleiche einsetzen. Beispiele hierfür sind < und >, denn a < a und a > a gilt nie. c) Es gibt auch Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind. Dies sind Relationen, bei denen ara nur für manche Elemente gilt und für andere nicht. Ein Beispiel aus dem Bereich der Menschen. Wenn die Relation lautet: a mag b, dann gibt es glücklicherweise viele Menschen, die sich selbst mögen, für die also a mag a zutrifft. Es gibt aber leider auch immer wieder Menschen, die sich selbst nicht mögen, für sie wäre a mag a falsch. Somit ist die Relation a mag b weder reflexiv noch irreflexiv. Noch ein Beispiel aus der Mathematik: a ist das Quadrat von b. Für a = 1 und a= 0 stimmt der Satz a ist das Quadrat von a. Für alle anderen Zahlen stimmt er nicht. Also ist diese Relation ebenfalls weder reflexiv noch irreflexiv. Danach wird geprüft, wie es mit der Gegenseitigkeit steht: a) Beruht eine Relation auf Gegenseitigkeit, so heißt sie symmetrisch. Es muss gelten: Wann immer arb der Fall ist, dann ist auch bra der Fall. Bei der Gleichheitsrelation ist das so: aus a = b folgt immer b = a. Die linke und die rechte Seite dürfen vertauscht werden. b) Ist die Umkehrung immer falsch, sobald a und b verschieden sind, so heißt sie antisymmetrisch oder identitiv. (Beide Begriffe sind gleichwertig). (Formal : Aus arb und a verschieden von b, folgt: bra ist falsch). Beispiele sind hier < und >, aber auch und. Bei < ist klar: gilt a < b, so ist b < a falsch. Bei muss man ein bisschen genauer hinsehen: gilt a b, so ist b a falsch, wenn a und b verschiedene Zahlen sind. Wenn a b und b a gilt, so müssen a und b die gleichen Zahlen sein. Diese zweite Aussage wird in manchen Büchern auch dazu verwendet, die Eigenschaft antisymmetrisch/ identitiv zu definieren: Gilt arb und bra, so folgt : a und b sind das gleiche Element. Man mache sich klar, dass beide Definitionen gleichwertig sind. 6

7 Bei irreflexiven Relationen hat man bei der zweiten Definition das Problem, dass es sein kann, dass die Voraussetzung (es gilt arb und bra) gar nie zutreffen kann. Genau dann ist so eine irreflexive Relation auch antisymmetrisch. Dass ein Satz dann stimmt, wenn seine Voraussetzung nicht erfüllbar ist, ist gewöhnungsbedürftig. Ein Beispiel aus dem Alltag: Sie versprechen einen Freund: Wenn ich morgen eine Million gewinne, schenke ich dir ein Auto. Niemand wird Sie einen Lügner nennen, wenn Sie am nächsten Tag nicht gewinnen (und auch kein Auto verschenken). Sie können auch sagen: Wenn ich gestern eine Million gewonnen hätte, hätte ich dir ein Auto geschenkt. Auch diesen Satz kann niemand anzweifeln und Ihnen beweisen, dass er nicht stimmt. Also noch mal: wenn die Voraussetzung nie eintritt, kann niemand beweisen, dass der Satz nicht stimmt, also müssen wir ihn insgesamt als zutreffend einstufen. So auch hier: wenn arb und bra nie gleichzeitig auftreten, ist die Relation antisymmetrisch. Sollte es doch mal gleichzeitig auftreten, dann muss a das gleiche Element wie b sein, damit die Eigenschaft antisysmmetrisch trotzdem gilt. c) Auch diesmal kann es sein, dass eine Relation weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist. Schauen wir uns noch mal a mag b an. Häufig ist es so, dass das Mögen auf Gegenseitigkeit beruht, aber es gibt auch Fälle, wo dem nicht so ist (vielleicht ohne dass b es immer weiß, dass a ihn eigentlich gar nicht mag). Ein mathematisches Beispiel finden Sie bei den Übungsaufgaben. Zuletzt wird noch die Frage nach der Übertragbarkeit gestellt. Dann sind immer 3 im Spiel: Eine Relation heißt transitiv, wenn aus arb und brc auch arc folgt, wenn also die Eigenschaft über b übertragbar ist. Schauen wir die bekannten Beispiele an: Aus a=b und b= c folgt immer auch a= c. Ebenso gilt: Aus a < b und b < c folgt auch a < c. Analoges gilt für >, für und für. Die zwischenmenschliche Relation des Mögens ist nicht transitiv, denn wenn a den b mag und b mag den c, dann muss es noch lange nicht heißen, dass auch a den c mag. Ein mathematisches Beispiel finden sie wieder bei den Übungsaufgaben. An den Beispielen haben wir schon gesehen, dass es Relationen gibt, die mehrere dieser Eigenschaften haben. Relationen, die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind, heißen Äquivalenzrelationen. Äquivalent heißt gleichwertig. Mit Äquivalenzrelationen werden also gleichwertige Elemente zusammensortiert. Man kann sich leicht überlegen (und Sie werden das an den Beispielen der Vorlesung und den Übungen sehen), dass eine Äquivalenzrelation Gruppen von gleichwertigen Elementen erzeugt. Die Gruppen sind unter sich abgeschlossen und heißen auch Äquivalenzklassen. Bei der Gleichheitsrelation bzgl. Zahlen ist so eine Klasse ziemlich klein. Jede Zahl bildet nämlich für sich eine Klasse, sie ist ja nur zu sich selbst gleich. Interessanter ist die Gleichheitsrelation bzgl. einer Menge von Termen, z.b. alle Aufgaben auf einer Einspluseinstafel. Hier werden alle Terme zusammensortiert, die das gleiche Ergebnis haben, z.b. 0+5 = 1+4 = 2+3 = 3+2 = 4+1 = 5+0, d.h. zur Klasse mit dem Ergebnis 5 gehören 6 Terme. 7

8 Die verschiedenen Zerlegungen einer Zahl zu suchen, ist eine der wichtigen Aufgaben am Anfang der 1. Klasse. Apropos Klasse: Auch eine Schulklasse kann als Äquivalenzklasse verstanden werden. Die Relation lautet dann Kind a und Kind b gehen in die gleiche Klasse oder Kind a und Kind b haben die gleiche Klassenlehrerin (vorausgesetzt an einer Schule unterrichten nur Lehrerinnen). Prüfen Sie noch mal die Bedingungen der Äquivalenzrelation. Alle 3 Bedingungen treffen zu. Jedes Kind ist daher in genau einer Klasse, es geht mit sich selbst und seinen Klassenkameraden in die gleiche Klasse. Keines der Klassenkameraden geht mit einem Kind aus einer anderen Klasse in die gleiche Klasse. Vielleicht denken Sie jetzt an soziale Klassen in der Gesellschaft. Da ist das mit der Abgeschlossenheit einer Klasse so eine Sache. Vielleicht gelingt auch die Zuordnung von Einzelnen zu einer Klasse nicht immer (und das mag gut so sein). Ob Klassenbildung wünschenswert ist, hängt vielleicht mit dem Kontext zusammen. Es dient zumindest öfters der Übersichtlichkeit, wenn man klar sagen kann, in welche Gruppe etwas reingehört. Manchmal will man aber nicht nur Gruppen bilden, sondern auch die Gruppen noch nach einem oder mehreren Kriterien ordnen (und damit meine ich hier in eine Reihenfolge bringen). Manchmal geht es auch nur darum, einzelne Elemente in eine Reihenfolge zu bringen. Für diesen Zweck ist es gut, wenn die ausgewählte Relation gerade nicht symmetrisch ist, sondern wenn es eine eindeutige Richtung gibt. Ordnungsrelationen sind daher antisymmetrisch und transitiv. Je nachdem, ob die Ordnungsrelation nun reflexiv oder irreflexiv ist, heißt sie nichtstrenge oder strenge Ordnungsrelation. Die Relationen < und > sind also strenge Ordnungsrelationen, ist auf einer Menge von Zahlen eine nichtstrenge Ordnungsrelation. Da auf der Menge von Einspluseinsaufgaben weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist, ist es keine Ordnungsrelation (auch keine Äquivalenzrelation). Vielleicht ist das auch ein Grund, warum und in der Grundschule erst gar nicht behandelt werden. Eine andere wichtige nichtstrenge Ordnungsrelation ist die Teilerrelation (a teilt b). (Man mache sich wie auf dem Übungsblatt noch mal klar, dass die entsprechenden Eigenschaften vorliegen). Wenn man nur echte Teiler betrachtet (a ist ein echter Teiler von b, wenn es eine natürliche Zahl n >1 gibt, mit a n = b), dann liegt eine strenge Ordnungsrelation vor. Bei Ordnungsrelationen gibt es auch noch eine weitere Unterscheidung (die mit streng oder nichtstreng nichts zu tun hat): die Unterscheidung, ob eine Ordnungsrelation linear oder nicht linear ist. Linear ist eine Ordnungsrelation, wenn alle Elemente auf eine Linie passen, d.h. wenn man bei zwei Elementen a und b immer sagen kann, es gilt arb oder bra (so a und b verschieden sind). So passen alle Zahlen auf den Zahlenstrahl und haben dort eine eindeutige Position, was die Relation < oder die Relation > angeht (oder auch bzw. ). Nicht linear ist z.b. die Teilerrelation, wenn man etwa die Zahlen von 1 bis 6 betrachtet. 2 und 3 stehen in keiner Relation zueinander, denn weder teilt 2 die 3 noch umgekehrt. 8

9 Dagegen kann man 1, 2 und 4 in eine Reihe bringen, auch 1, 3 und 6, ebenso 1,2 und 6. Will man diese Zahlbeziehungen in einer Grafik darstellen, so kann sie z.b. so aussehen: Man sieht, es gibt Verzweigungen, nicht nur eine Linie. Dabei habe ich auf die transitiven Pfeile von der 1 zur 4 und von der 1 zur 6 schon verzichtet. Zum Abschluss dieses Kapitels sollen Relationen zwischen den Termen der Einspluseinstafel betrachtet werden. Hier finden Sie die Einspluseinstafel in der Version des Schulbuches Das Zahlenbuch : Leider sind die Aufgaben der mittleren Reihe zu dunkel geworden. Es sind die Verdoppelungsaufgaben 0+0, 1+1, 2+2,..., Sie sind im Original rot unterlegt. Kinder können an dieser Anordnung der Aufgaben viele Entdeckungen machen. Neben den Verdoppelungsaufgaben sind auch die Aufgaben bzw mit einer besonderen Farbe belegt, ebenso die Aufgaben 5+...,...+ 5, , und außerdem die Aufgaben der senkrechten Reihe beginnend mit 5+0, 10+0 und Betrachtet man diese senkrechten Aufgaben, so fällt auf, dass diejenigen, die darunter stehen, ebenso 5, 10 bzw. 15 ergeben. Weiterhin erkennt man, dass auch in den anderen senkrechten Reihen untereinander Aufgaben stehen, die das gleiche Ergebnis haben. 9

10 Wenden wir also auf die Aufgaben der Einpluseinstafel die Gleichheitsrelation an, so erhält man alle Aufgaben einer Äquivalenzklasse in jeweils einer Spalte. Insgesamt gibt es 21 Klassen mit den Werten von 0 bis 20. Zwei Klassen sind sehr klein, nämlich {0+0} und {10+10}. Die größte Klasse ist die mittlere, alle Aufgaben mit dem Ergebnis 10: {10+0, 9+1, 8+2, 7+3, 6+4, 5+5, 4+6, 3+7, 2+8, 1+9, 0+10}. Diese Klasse hat 11 Elemente. Es kann auch auffallen, dass die Tauschaufgaben (die ja immer in die selbe Klasse gehören) symmetrisch zueinander stehen. Schaut man von links nach rechts, so sieht man, dass die Ergebnisse größer werden. Von links nach rechts liegt also eine strenge Ordnungsrelation vor. Sie kann inhaltlich als x < y beschrieben werden, vor der Lage im Feld her: x liegt links von y. Die aufsteigende Ordnung kann auch als Vorbereitung auf den Zahlenstrahl gesehen werden, auf dem ebenfalls die Zahlen von links nach rechts geordnet werden. Anders als beim Zahlenstrahl, der eine lineare Ordnung repräsentiert, liegt hier keine lineare Ordnung vor, denn es gibt Aufgaben x und y, bei denen nicht x < y oder y < x gilt. Beispiele dafür sind Aufgaben, die in einer Äquivalenzklasse liegen, z.b. 1+5 und 2+4. Hier ist weder die eine noch die andere die Kleinere, keine liegt weiter links als die andere. Zuletzt noch ein paar Worte zur Einführung der Gleichheitsrelation in der 1. Klasse. In vielen Schulbüchern wird das Gleichheitszeichen zusammen mit dem < und > - Zeichen eingeführt. Es soll also schon den Erstklässlern klargemacht werden, dass es um den Vergleich von linker und rechter Seite geht (nicht nur darum, was sich aus der linken Seite ergibt). Veranschaulichen kann man dies mit einer Balkenwaage. Wichtig ist dann, dass gleich schwere Einheitsgegenstände gewählt werden. Ebenso kann man die Gleichheit auf die Höhe beziehen, die sich ergibt, wenn man mit der entsprechenden Anzahl von Steckwürfeln einen Turm baut. Sind zwei Türme gleich hoch, repräsentieren Sie die gleiche Zahl. Praktisch gesehen, sind bei Gleichheitszeichen zwei Sichtweisen zu unterscheiden. O O O O O O O O O O ( O O O O O ) 3+ 2 = 4+ 1 ( = 5 ) Beide Seiten sind dargestellt (3+2 und 4+1). Man kann auch eine dieser beiden Seiten durch die fünf schwarzen Kreise ersetzen. (Oder an die Transitivität denken und alle 3 Terme verbinden). Hat man nur das erste Bild und schreibt darunter: 3+2 = 5, so schaut man 2mal auf das gleiche Bild, sieht einmal die Zusammensetzung aus 3 grünen (hellen) und 2 roten (dunkleren) Kreisen und einmal dass es insgesamt 5 sind. Man kann an einem Bild auch das Kommutativgesetz sehen: 3+2 = 2+3, je nachdem, welche Farbe man zuerst betrachtet. Übungsaufgaben zu Relationen 1. Prüfen Sie, ob folgende Relationen auf der Menge der natürlichen Zahlen reflexiv/ irreflexiv/ symmetrisch/ antisymmetrisch/ transitiv sind: a) x ist ein Teiler von y b) x hat die gleiche Einerstelle wie y c) x hat die gleiche Zehnerstelle wie y d) x hat eine größere Einerstelle als y e) x ist um mindestens 2 größer als y 10

11 f) x und y unterscheiden sich um mindestens 2 g) x und y haben beim Teilen durch 5 den gleichen Rest 2. Warum ist auf der Menge der 1+1- Aufgaben die Relation x y weder symmetrisch noch antisymmetrisch? (Beachte: x und y sind hier Terme, z.b. x ist 3+5 und y ist 7 + 6) Ist die Relation reflexiv / transitiv? 3. Prüfen Sie, ob folgende Relationen Ordnungsrelationen sind. Prüfen Sie jeweils auch, ob sie streng/ nicht streng und linear/nicht linear sind. a.) x ist ein Teiler von y bzgl. der Zahlen {1,2,3,4,5,6} b.) x ist ein Teiler von y bzgl. der Teiler von 8 : {1,2,4,8} c.) x hat eine größere Einerstelle als y bzgl. der Zahlen von 1 bis 100 d.) x hat eine kleinere Zehnerstelle als y bzgl. der Zahlen von 1 bis 100 e.) x+ y < 10 bzgl. der Zahlen {1,2,,10} f.) x hat beim Teilen durch 5 den größeren Rest als y beim Teilen durch 5 bzgl. der Zahlen {1,..., 10} Übrigens: Jede natürliche Zahl ist interessant. Denn angenommen, es gäbe eine uninteressante natürliche Zahl. Dann gäbe es auch eine kleinste uninteressante natürliche Zahl. Dies macht diese Zahl aber wirklich interessant! Also ist dies doch eine interessante Zahl. Dieser Widerspruch zeigt, dass es keine uninteressante Zahl gibt! 4. Römische Zahlen Bevor wir uns weiter mit den Beziehungen zwischen den Zahlen beschäftigen, soll nun über die Notation von Zahlen nachgedacht werden. Zunächst notierten sich Menschen Zahlen durch Striche oder ähnliche Symbole. Doch das wird bald unübersichtlich. Bei uns ist bei Notationen mit Strichen üblich geworden, den 5. Strich quer durch die 4 vorhergehenden zu zeichnen, so dass die 5er-Bündelung sofort erkennbar ist. Die 5er-Bündelung (auch Kraft der 5 genannt) ist aus zwei Gründen naheliegend: wir haben 5 Finger an einer Hand und man kann mit einem Blick 3 und 4 meist doch recht gut unterscheiden, aber darüber hinaus wird es schwierig. Um also mit einem Blick Zahlen ab 5 erkennen zu können, sollte das 5er- Bündel deutlich sein. Wenn es dann mehr als 4 Fünferbündel werden, wird es wieder schwerer, die gesamte Zahl zu erkennen. Daher geht der Zahlenraum in der 1. Klasse nur bis 20. Zwei Fünfer geben zusammen einen Zehner (die Anzahl der Finger insgesamt). Es hat sich als sinnvoll erwiesen (und in den meisten Kulturen durchgesetzt), ganze Zehner wieder als Einheit zu sehen, und ganze Zehner wie Einer zu zählen. Freilich musste man sie anders benennen, um sie nicht mit Einern zu verwechseln. Am bekanntesten sind bei uns noch die römischen Zahlen, die viele Jahrhunderte in unseren Breiten verwendet wurden und auch heute teilweise Verwendung finden (z.b. um Kapitel zu nummerieren). Bei vielen Inschriften findet man die Jahreszahl durch römische Ziffern ausgedrückt. 11

12 Hier ein Überblick über die römischen Zahlen. Grundzahlen Zwischenzahlen I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Die römischen Zahlen wurden nach festen Regeln gebildet: 1. Gleiche Ziffern nebeneinander werden addiert. Es dürfen höchstens drei I I I = 3 Grundzahlen nebeneinander stehen. 2. Kleinere Ziffern rechts von größeren werden addiert, XI = 11 links von größeren subtrahiert. IX= 9 Zwischenzahlen dürfen nicht subtrahiert werden. XLV = Die Grundzahlen I, X, C dürfen nur von der nächsthöheren Zwischen- oder Grundzahl subtrahiert werden. Nach: Ein paar Beispiele: CDLXXIV = 474; CXC = 190; CMXCIX = 999 CD = 400 CM = 900 Zum Rechnen geht es freilich mit römischen Zahlen nicht so einfach. Ein bisschen sollten Sie es in einer Übungsaufgabe probieren. Die Menschen haben früher häufig nicht direkt mit den Zahlen gerechnet, sondern Sie auf einem Abakus dargestellt, auf dem Abakus gerechnet und das Ergebnis wieder als römische Zahl notiert. Noch heute gibt es Menschen in Asien, die Aufgaben auf ihrem Abakus schneller berechnen als wir es mit dem Taschenrechner können. Hier ein chinesischer Abakus: Der chinesische Abakus wurde schon im 11. Jahrhundert v. Chr. erwähnt. Man nennt ihn auch Suan-pan. Eine Kugelreihe besteht aus 7 Kugeln. Zwei davon sind durch einen Balken von den anderen 5 getrennt. Jede der unteren 5 Kugeln steht für einen Einer. Jede der oberen 2 Kugeln steht für einen Fünfer. In Internet finden Sie : Rechenbeispiele auf chinesischem Abakus Bild: Chinesischer Abakus 12

13 Römischer Abakus Der römische Abakus (300 v. Chr.) funktioniert genauso wie der chinesische. Nur dass er unten 4 Kugeln hat und oben nur eine. Mit diesem Abakus kann man also jede Zahl nur in einer Form darstellen. Entnommen aus: Die römischen Zahlen enthalten keine Null. Sie wurde erst recht spät als Zahl anerkannt. So setzte sie sich auch erst in der Neuzeit bei uns durch. Mit der Null konnte das indisch-arabische Zahlensystem übernommen werde, bei welchem neben dem Wert der einzelnen Ziffer auch ihre Stellung im Zahlwort eine Rolle spielt: 207 ist etwas anderes als 27 (man braucht die 0, um anzuzeigen, dass keine Zehner da sind) und etwas anderes als 702 oder 270 oder 720 usw., obwohl diese Zahlen aus den gleichen Ziffern bestehen. Übungsaufgaben zu röm. Zahlen: 1. Welchen Zahlen im Dezimalsystem entsprechen diesen in römischen Zeichen geschriebenen Zahlen? a.) CXII d) MDCCXIV b) DCL e) LX c) MCCCIV f) XL 2. Stellen Sie die folgenden im Dezimalsystem geschriebenen Zahlen in römischer Schreibweise dar: a.) 55 d) 1159 b.) 58 e) 3459 c.) 59 f) Addieren Sie die folgenden Zahlen in römischer Zahlschrift, ohne sie vorher in das dezimale Stellenwertsystem umzurechnen. Erläutern und begründen Sie Ihre einzelnen Schritte. a) CLX + CCXXVII b) DCXCVII + CCCLXXXVI Übrigens: Unterricht wie Lehrerbildung sollte darauf gerichtet sein, Denken zu ermöglichen und nicht (ohne weiteres) zu erleichtern. (H. Winter) 5. Stellenwertsysteme Im Folgenden sollen nun die Eigenheiten eines Stellenwertsystems untersucht werden. Da uns das Zehnersystem sehr geläufig ist (im Unterschied zu manchen Grundschulkindern) sollen hier andere Systeme als Beispiele verwendet werden. Daran sieht man dann besser, wie ein Stellenwertsystem aufgebaut ist und was es leistet. Vielleicht können Sie anhand der Schwierigkeiten, die es Ihnen vielleicht anfangs bereiten mag in anderen Stellenwertsystemen zu denken und zu rechnen, einen Einblick gewinnen, welche Probleme bei Kindern im Zehnersystem auftauchen können. Nehmen wir zunächst an, wir hätten nur 4 Finger und würden immer 4 Einheiten zu einer größeren zusammenbündeln. Das sähe dann bei 23 Elementen vielleicht so aus: 13

14 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Die insgesamt 23 Kreise haben wir zunächst in 4er Bündel angeordnet. Davon gibt es 5 und es bleiben 3 Einzelne übrig. 4 von den Bündeln haben wir wieder zusammensortiert zu einer 16er Reihe. In die Tabelle könnten wir das so eintragen: 64 er 16 er 4 er 1 er In der ersten Zeile stehen zunächst alle Einer (ungeordnet) in der Einerspalte. In der zweiten Zeile wurden so viel wie möglich 4er daraus gemacht. Es gibt 5 Vierer und 3 Einzelne bleiben. In der dritten Zeile wurden 4 Vierer zu einem 16er gebündelt. Es blieben noch 1 Vierer und 3 Einzelne. Hätten wir mindestens 4 Sechzehner, so könnten wir diese wiederum zu einem 64er bündeln. Im Beispiel bleibt die 64er-Spalte aber leer. Das Ergebnis kann so geschrieben werden: = 113 4, d.h. die Zahl, die im Zehnersystem 23 heißt, heißt im Vierersystem 113 (einseinsdrei). Als Alternative, um auf die Darstellung zu kommen, hätten wir uns auch überlegen können: in 23 passt ein Sechzehner. Dann sind noch 7 übrig, also ein Vierer und 3 Einzelne. Wichtig im Vierersystem ist immer, dass man die Zahl in Viererpotenzen aufteilt, also in Einer, Vierer, Sechzehner, Vierundsechziger, 256er (4 64) usw. Nehmen wir als Beispiel eine größere Zahl: 354 aus dem Zehnersystem: Wollten wir 354 Kreise zeichnen, wären wir schon eine Weile beschäftigt. Was würden Sie machen, damit Sie keinen vergessen? Eine Möglichkeit wäre vielleicht immer 10 in eine Reihe zu tun und 10 Reihen zu einem Hunderterfeld zusammenzustellen. Sie müssten dann 3 Hunderterfelder zeichnen, noch 5 Zehnerreihen und schließlich 4 Einzelne. Wenn Kinder 354 Gegenstände abzählen sollen, werden sie sie meist so anordnen (solch eine Aufgabe bietet sich zum Einführen des Tausenders in der 3. Klasse durchaus an). Was machen wir jetzt, wenn wir die Zahl im Vierersystem anordnen sollen? Statt 10er Reihen bieten sich vielleicht eher wie oben 16er Reihen an. Wie viele brauchen wir davon? Zunächst können wir ermitteln: 354: 4 = 88 Rest 2, es gibt also 88 Vierer und 2 Einzelne. Die 88 Vierer legen wir in 22 Sechzehnerreihen. Von diesen können wir wiederum 16 zu einem quadratischen Feld anordnen: also ein 256er- Feld. Von den anderen 6 Sechzehnerreihen können wir noch 4 ein bisschen abtrennen, so dass man einen 64er sieht und 2 weitere 16er Reihen. Insgesamt haben wir nun: 1 mal 256, 1 mal 64, 2 mal 16, kein weiterer 4er und 2 Einzelne: =

15 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O In der Tabelle würde die Rechnung so aussehen: 256 er 64 er 16er 4 er 1 er Die andere Überlegung wäre: = 98, = 34, = 2, also: 1 mal 256, 1 mal 64, 2 mal 16, kein Vierer und 2 Einzelne. Sie sehen, es gibt ein paar Wege, um die Darstellung einer Zahl im Vierersystem zu ermitteln. Alle führen dazu Bündel von 4er-Potenzen zu erhalten. Die Anzahl der Bündel, die am Schluss auf einer Stufe übrig bleiben, darf nicht größer als 3 sein. Die umgekehrte Rechung geht leichter: = = Das 2er-System (= Binärsystem = Dualsystem) Eine besonderes System ist das Zweiersystem.. Hier gibt es nur die Ziffern 0 und 1, sobald man 2 beieinander hat, wird zur nächsten Stufe gebündelt. Der Computer arbeitet so; an den einzelnen Stellen (bits) ist entweder eine Ladung gesetzt (1) oder nicht (0). 15

16 Neben dem Computer gibt es einen schönen Kartentrick, der auf dem Zweiersystem beruht. Es gilt folgende 5 Karten: A B C D E Das Kind darf sich eine Zahl von 1 bis 30 aussuchen. Es nennt alle Karten, auf der diese Zahl steht. Der Lehrer kann sofort angeben, welche Zahl gewählt wurde. (Wichtige Voraussetzung: es werden alle Karten genannt, auf denen die Zahl steht. Vergisst das Kind eine Karte, ist die gedachte Zahl nicht unmittelbar zu ermitteln). Beispiel: Jemand wählt die Zahl 25. Er nennt die Karten A, D und E. Oder jemand nennt B, C und D: dann muss es die 14 sein. Um den Trick zu durchschauen, ist es hilfreich zu schauen, welche Zahlen nur auf einer Karte stehen: Es ist jeweils die zuerst genannte Zahl: die 1 auf A, die 2 auf B, die 4 auf C, die 8 auf D und die 16 auf E. Es sind die Zweierpotenzen. Wenn wir nun die Karten in der Reihenfolge E, D, C, B, A anordnen, kann man den Trick leichter durchschauen: E D C B A x x x 25 x x x 14 Man kann erkennen, dass die gewählte Zahl sich gerade als Summe der ersten Zahlen der jeweiligen Karten errechnen lässt. Weiterhin wird klar: die Zahl 31 hätte man noch auf jeder Karte dazuschreiben können, für 32 bräuchte man eine neue Karte. Alles in allem: Hier liegt das Zweiersystem zugrunde: = , = Will man eine Zahl ins Zweiersystem umwandeln, so zerlege man sie in eine Summe von Zweierpotenzen. Bsp.: = = Hier noch ein paar Beispiele: 16

17 E D C B A binäres System X X = 3 = 11 X X X X = 23 = X X X = 22 = X X = 10 = 1010 X X X = 9 = Das Zwölfer- und das Sechzehnersystem Hätten wir 6 Finger an jeder Hand, würden wir vermutlich mit dem Zwölfersystem leben. Ansätze für das Zwölfersystem gibt es auch in unserem Alltag: 12 Monate, 12 Stunden an der Uhr, 60 (12 x 5) Minuten und Sekunden, 360 (=12 30) als Vollwinkel, ein Dutzend, und so manche Symbolik, die sich mit der Zahl 12 verbindet. Hätte sich bei uns das Zwölfersystem insgesamt durchgesetzt, so bräuchten wir zwei weitere Ziffern, eine für Zehn und eine für Elf. (Man beachte: elf und zwölf sind auch bei uns eigene Wörter. Erst bei dreizehn fangen wir mit zusammengesetzten Zahlwörtern an). Im weiteren soll z für Zehn und e für Elf dienen. Wir müssten zählen: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,z,e,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,1z,1e,20,...,99,9z,9e,z0,z1,...,zz,ze,e0, e1,...,e9,ez,ee,100,101,... Die Umrechung erfolgt so: 3ze 12 = = und = = = 38e er 12 er 1 er e = 11 bzw. Neben dem 12er-System hat es auch das 16er-System zu Ehren gebracht. Wie schon gesagt, rechnet der Computer eigentlich mit 0 und 1, aber das gibt sehr schnell sehr lange Zahlen. Daher wurden von den Informatikern meistens 4-Stellen zusammengefasst zu einem Sechzehner. Damit wurden die Computerzahlen wieder etwas besser lesbar. Für die fehlenden Ziffern von 10 bis 15 werden meist die Buchstaben A- F verwendet. Man zählt also: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,1A,1B,1C,1D,1E,1F,20 usw. Ist eine Zahl schon im 2er-Systen bekannt, kann sie direkt ins 16er-System umgerechnet werden: = 5 D E 3 16, denn = 5 10, = = D, = = E, = Es gibt bei dieser Zahl also 3 Einer, E = 14 Sechzehner, D = 13 mal die 16² = 256 und 5 mal die 16³ = Wenn Sie den Stellenwert der Zahlen im 2er System drüber schreiben, werden Sie sehen, wo die 16, die 256 und die 4096 als Stellenwerte vorkommen. Eine vierstellige Zahl ist doch besser lesbar als eine mit 11 Stellen. Im Zehnersystem handelt es sich um die Zahl

18 Übungsaufgaben zu Stellenwertsystemen: 1. Beschreiben Sie die Kardinalzahl der Menge A im 2er-, 3er-, 4er-,..., 9er- System. 2. a)wie heißt die Darstellung von (2103) 4 im Dezimalsystem? b) (4314) 5 = ( ) 10 c) (1202) 3 = ( ) 9 d) (2130) 2 = ( ) 4 Achtung: Was kann hier nicht stimmen? 3 a)erläutern Sie das folgende Umrechnungsschema von Zehnersystem in das Fünfersystem: b) Rechnen Sie ebenso (679) 10 ins Dreier-, Vierer- und Sechsersystem um. 4. Auf einer fernen Insel gibt es vier verschiedene Geldmünzen, und zwar Eisenmünzen (E), Kupfermünzen (K), Silbermünzen (S) und Goldmünzen (G). Vier Eisenmünzen sind soviel wert wie eine Kupfermünze, vier Kupfermünzen sind soviel wert wie eine Silbermünze, vier Silbermünzen sind soviel wert wie eine Goldmünze. Tauschen Sie in möglichst wenige Münzen. a) 8E 3K 3S 1G b) 4E 3K 3S 2G 5 a) Können Sie eine Zahl angeben, die sowohl im Sechser-, als auch im Siebener- und Achtersystem mit der Ziffer 2 endet? b) Suchen Sie auch eine Antwort, wenn diese Zahl zusätzlich im Zehnersystem mit der Ziffer 8 enden soll. 6. Wie stellt man Größenvergleiche zwischen Zahlen an? Kann man auch solche Vergleiche anstellen, wenn die Zahlen in unterschiedlichen Systemen dargestellt sind? Kleiner, gleich oder größer? a) ? b) ? c) ? d) ?

19 7. Entwickeln Sie einen möglichst einfachen Übersetzungsalgorithmus für folgende Systeme und Zahlen: 8. Stellenwerttafeln a. Eine Zahl ist in einer Stellenwerttafel durch Plättchen dargestellt: Welche Zahl kann es sein? b. Die Zahl ist durch Plättchen so dargestellt: Kleiner Mathematikerwitz Nach welcher Basis ist gebündelt worden? Warum können amerikanische Mathematiker Weihnachten (wird dort erst am 25. Dezember gefeiert) nicht von Halloween (31. Oktober) unterscheiden? Antwort: Weil 31(oct) = 25(dez) Noch ein Witz (?) Es gibt 10 Gruppen von Menschen: diejenigen, die das Binärsystem verstehen, und die anderen. 6. Rechnen in Stellenwertsystemen Allen Stellenwertsystemen ist gemeinsam, dass man stellenweise relativ einfach rechnen kann. Man braucht im Grunde nur das kleine Einspluseins oder das kleine Einmaleins und kann sich damit größere Rechnungen schriftlich herleiten. Ein Nachteil des schriftlichen Rechnens ist, dass man keine Ahnung von der Größenordnung der Zahlen haben muss und trotzdem die Aufgabe richtig bewältigen kann (manche mögen es zunächst auch als Vorteil empfinden). Bei rechenschwachen Kindern kommt das bzgl. des Zehnersystems öfters vor. Sie werden dies bei den kommenden Aufgaben merken. Wir hatten nicht die Zeit, um uns einzudenken in ein anderes Stellenwertsystem und uns dort Größenordnungen aufzubauen. Wir sehen einer Ziffernfolge also relativ wenig an. Wenn wir uns überlegen, welchen Wert die größte Ziffer hat, so haben wir wenigstens eine gewisse Ahnung, um welche Zahl es gehen könnte. Fürs schriftliche Rechnen ist das aber gar nicht nötig. 19

20 Zunächst die 1+1-Tafel im 3er-System: = 3 10 Im 2er-System besteht das kleine 1+1 aus noch weniger Aufgaben: 0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+0 = 1 und 1+1 = 10. Eine Addition im 2er-System: E 1011 bei den 2ern: 1+1 = 2 = 10 2, d.h. 0 an, 1 gemerkt Selbiges ergibt sich bei den 4ern und bei den 8ern Es handelt sich um die Aufgabe = 17 eine Addition im 3er-System: Bei den 3ern ist zu rechnen: 1+2 = 3 = 10 3, d.h. 0 an, 1 gemerkt, bei den 9ern: = 4 = 11 3 und bei den 27ern: 2+1 = 3 = 10 3 Im 12er-System ist das kleine 1+1 etwas komplexer. Wenn Sie sich nicht vorstellen können, wie die Tafel aussieht, versuchen Sie es sie aufzuschreiben. Eine Addition im 12er-System: e = 11, z = e dabei gilt: = 3 12² und für die Ergebniszahl: 110e 12 = 1 12³ ² Übungen zur Addition (und weiteren Rechenarten) 1a) Notieren Sie das kleine Einspluseins zur Basis g = 7. b) Rechnen Sie: (314) 7 (233) 7 (1065) 7 + (414) 7 + (1166) 7 + (6606) 7 20

21 (3+4 2 ) = 87 2(3+16) Führen Sie die gleiche Rechnung = a) im Dreiersystem = b) im Fünfersystem = 49 durch. Kontrollieren Sie, indem Sie jeden Term Ihrer Rechnung direkt ins Zehnersystem übersetzen. 3. In welchem Zahlsystem ist diese Aufgabe jeweils richtig gelöst? Gibt es mehrere Lösungen? a) 14 g + 2 g = 21 g e) 2 g. 10 g = 20 g b) 31 g 2 g = 24 g f) 200 g : 10 g = 20 g c) 1101 g g = g g) 11. g 11 g = 1001 g d) g 100 g = g h) 11. g 11 g = 121 g. 4.Welche Summen sind durch 7 teilbar? a) c) e) g) b) d) f) h) Nun zur Subtraktion. Bevor es an die Subtraktion in einem anderen Stellenwertsystem geht, soll zunächst ein Blick auf das Zehnersystem getan werden. Seit dem Lehrplan 2000 ist in Bayern das früher übliche Ergänzungsverfahren (mit Erweiterungstechnik) durch das Abziehverfahren (mit Entbündelungstechnik) ersetzt worden. Das Abziehverfahren entspricht wirklich einem Wegnehmen und kann so inhaltlich von den Kindern wesentlich besser verstanden werden als die Kunstgriffe des Ergänzungsverfahrens. Trotzdem ist es nicht unumstritten. Zunächst eine Übersicht über verschiedene Techniken zur Schriftlichen Subtraktion : am Bsp H Z E

22 I. Borgetechniken (Entbündeln) I.1. Wegnehmverfahren 2 E 7 E geht nicht. Ein Zehner wird entbündelt: 12 E 7 E = 5 E Es bleiben 3 Z übrig, 3Z 5 Z geht nicht. Ein Hunderter wird entbündelt: 13 Z 5 Z = 8 Z Es bleiben 6 H übrig, 6 H 4 H = 2 H. I.2. II. II.1. II.2. Ergänzungsverfahren Von 7 E auf 2 E kann man nicht ergänzen, von 7 E auf 12 E fehlen 5 E. Dann hat man schon einen Zehner, man muss also nur noch auf die 3 weiteren ergänzen. Von 5 Z auf 3 Z kann man wieder nicht ergänzen, also ergänzen wir von 5 Z auf 13 Z. Es fehlen 8Z. Damit hat man schon einen Hunderter. Auf die restlichen 6 H muss man noch 2 H ergänzen. Erweiterungstechnik (gleichsinniges Verändern) Wegnehmverfahren Von 2E kann man nicht 7 E wegnehmen. Also nehmen wir 10 E beim Minuenden und zum Ausgleich 1 Z beim Subtrahenden dazu. 12 E 7 E = 5 E. Jetzt sollen von 4Z insgesamt 6Z weggenommen werden. Das geht wieder nicht. Wir nehmen 10 Z beim Minuenden und zum Ausgleich 1H beim Subtrahenden dazu. 14 Z 6 Z = 8 Z. Und schließlich 7 H 5 H = 2 H. Ergänzungsverfahren Von 7 E kann man nicht auf 2 E ergänzen. Wir nehmen 10 E im Minuenden und zum Ausgleich 1 Z beim Subtrahenden dazu. Von 7 E auf 12 E fehlen 5E. Inzwischen haben wir 6Z. Von ihnen kann man nicht auch 4 Z ergänzen. Also nehmen wir 10 Z dazu, zum Ausgleich 1H beim Subtrahenden. Von 6 Z auf 14 Z fehlen 8 Z. Inzwischen haben wir 5 H. Von 5 H auf 7 H fehlen noch 2 H. III. IV Auffülltechnik Der Subtrahend soll zum Minuend aufgefüllt werden X = 742. Der Minuend wird nicht verändert. Ich habe 7 Einer und will am Schluss 2 haben, also nehme ich 5 dazu, dann habe ich 12. Damit habe ich zunächst schon 6 Z. Letztendlich will ich 4 Z haben, also lege ich 8 Z dazu, dann sind am Ende 14 Z, sprich 1 H und 4 Z. Nun habe ich schon 5 H, es fehlen mir also noch 2 H auf die gewünschten 7 H. Wegnehmen mit Merkhilfe 2 E 7 E geht nicht, also muss ich einen Zehner entbündeln. Dies schreibe ich mir als 1 gemerkt auf. 12 E 7 E = 5 E. Bei den Zehnern muss ich insgesamt 6 Z abziehen, denn einen habe ich vorher schon weg und 5 sind noch dazu wegzunehmen. geht wieder nicht, also einen Hunderter entbündeln ( 1 gemerkt ).14 Z 6Z = 8 Z. Von den ursprünglichen 7 H sind zuletzt 4 H + 1 H wegzunehmen. Es bleiben noch 2 H. 22

23 Üblicherweise wurde früher die Version II.2. gelehrt, aber nicht alle Lehrerinnen und alle Kinder haben die Zusammenhänge wirklich so verstanden, dass von außen beiden (Minuend und Subtrahend) das gleiche dazugegeben wird nur in unterschiedlicher Form (als 10 E bzw. 1Z usw.). Jetzt soll die Technik I.1. gelehrt werden, es wird wirklich etwas weggenommen. Vollständig geschrieben sieht es so aus: H Z E Die ursprüngliche Zahl ist umgewandelt worden: 7H 4Z 2 E sind in wertgleiche: 6H 13Z und 12E gewechselt worden. Im Unterricht sollte die Aufgabe zunächst mit Stellenwertmaterial gelegt werden. Man kann Spielgeld oder Wertplättchen als Wertmodell nehmen oder Hunderterplatten, Zehnerstanden und Einerwürfel als Mengenmodell, welches den Kardinalzahlaspekt und den Maßzahlaspekt darstellt. Beim Legen der Minusaufgabe scheint es mir wichtig, dass klar wird, welche Zehner/Hunderter entbündelt werden und welche weggenommen werden. Von den ursprünglichen Hundertern wird im Beispiel einer entbündelt und 4 weggenommen. Es bleiben 2 übrig. Man kann die Aufgabe auch so deuten: die ursprünglichen 742 sollten in zwei Mengen aufgeteilt werden, wobei die eine Menge 457 enthält. Wie groß ist die andere Menge? Versteht man die Aufgabe so, sind am Schluss noch beide Teilmengen zu sehen. Die Aufgabe könnte so formuliert werden: Michael hat 742 Bargeld daheim (7 Hunderterscheine, 4 Zehnerscheine und 2 Eurostücke). Er erwartet die Lieferung eines Fahrrads, welches 457 kostet und bar bezahlt werden muss. Vermutlich kann der Lieferant nicht wechseln, deshalb will Michael das nötige Geld genau daliegen haben. Da das zunächst nicht möglich ist, muss er auf der Bank einen Zehner und einen Hunderter wechseln lassen. Er hat am Schluss auf einem Häufchen die 457 für das Fahrrad, auf dem anderen die restlichen 285. Zusammen sind das 742, aber als 6 H, 13 Z und

24 Noch ein weiteres Beispiel: H Z E Ergänzungsverfahren: 8 + = = 11 Abziehverfahren: Ein Zehner wird in Einer aufgeteilt, dann die Einer weggestrichen: 13 8 = 5. Ein Hunderter wird in Zehner aufgeteilt, dann die Zehner weggestrichen: 10 2 = 8 Zuletzt: 3 Hunderter 1 Hunderter = 2 Hunderter. Beide Verfahren (und auch die 4 anderen genannten Techniken) können nun auch in jedem anderen System zu einer Basis b angewandt werden. Dabei ist zu beachten, dass beim Entbündeln jeweils b Stück von einer Spalte in die rechte Nachbarspalte wandern. Beispiele: Im 2er-System: 16er 8er 4er 2er E Hier wurde gewechselt: 1 Zweier in 2 = 10 2 Einer, 1 Vierer in 2 = 10 2 Zweier und 1 Sechzehner in 2 = 10 2 Achter. Ins Zehnersystem übersetzt wurde hier = gerechnet. Im 5er-System: 625er 125er 25er 5er E Beim Wechseln kommen immer 5 dazu, also bei den Einern: 5 1 = 5, bei den 5ern und 125ern: 11 5 = 6 und 6 4 = 2 Bei der folgenden Aufgabe im 12er-System kommt noch die Schwierigkeit dazu, dass an einer Stelle nichts zum Entbündeln da ist. Man muss also zwei Stellen weitergehen, sich dort zwölf für die mittlere Stelle holen, elf davon auf die mittlere Stelle lassen und einen nochmals zu zwölf auf der rechten Seite zerlegen. 24

25 1728er 144er 12er E 4 e 13 e z Man beachte: =12+3 = Nun eine ganz besondere Aufgabe zur Subtraktion : ANNA Zahlen Vierstellige Zahlen wie 3663, 8558, 1221 heißen ANNA Zahlen. Aufgabe (in einem Schulbuch der 4.Klasse): Bilde zu einer ANNA-Zahl die andere ANNA- Zahl mit den gleichen Ziffern und subtrahiere die kleinere von der größeren Zahl. Bsp = 2673, = 2673, = 891. Rechnen Sie mehrere Beispiele durch. (Kinder sollen bis zu 10 Aufgaben durchrechnen, manchen fällt bald etwas auf, andere brauchen länger. Schließlich ordnen sie die Aufgaben nach den gleichen Ergebnissen). Es fällt auf, dass die Ergebnisse 891, 1782, 2673, 3564, 4455, 5346, 6237, 7128 oder 8019 ergeben. Dies sind die Vielfachen von 891. (Die Kinder werden aufgefordert, die Vielfachen von 891 zu berechnen). Eine Begründung kann sein: ANNA NAAN = (A-N) (N-A) (N-A) 10 + (A-N). Da A > N ist, könnte man auch schreiben: (A-N) 1000 (A-N) 100 (A-N) 10 + (A-N) und dies zusammenfassen zu (A-N) ( ) = (A-N) 891 Es kommt also auf den Unterschied der beiden Ziffern an. Die Begründung kann mit den Kindern anhand der Stellenwerttafel durchgeführt werden. Wir legen zuerst die größere ANNA-Zahl (A>N). Beim Bilden der zweiten (kleineren!) ANNA-Zahl aus den gleichen Ziffern, werden A-N Plättchen von der Tausender in die Hunderterspalte geschoben und von der Einer in die Zehnerspalte. So ist der Wert der Zahl um (A-N) 900 gesunken und um (A-N) 9 gestiegen. Der Unterschied zwischen den beiden Zahlen beträgt also: (A-N) (900-9) = (A-N) 891. Als Beispiel seien 4114 und 1441 gezeichnet (es werden also jeweils 3 Plättchen verschoben): T H Z E O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Man beachte: Hier wird im Stellenwertsystem nicht die eigentliche Minusaufgabe dargestellt, sondern der Minuend und Subtrahend und es wird gefragt, welcher Unterschied zwischen den beiden Zahlen besteht, wie man von der einen zur anderen Zahl kommt. Die häufigsten Anwendungen von Minusaufgaben sind echte Abziehsituationen. Allerdings führt auch die Frage nach dem Unterschied zu einer Minusaufgabe. Wer es etwas 25

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