Institut für Physik und Werkstoffe Labor für Physik

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1 Name : Fachhochschule Flensburg Institut für Physik und Werkstoffe Labor für Physik Name: Versuch-Nr: E6 Die Eigenleitung von Germanium Gliederung: Seite Das Energiebändermodell 1 Die Defektelektronen 4 Die Leitfähigkeit des Eigenhalbleiters 5 Literatur 6 Aufgabenstellung 7 Anlage: Messdatenblatt Studiengang:... Unterschrift des/der Studenten Als Übungsergebnis anerkannt: Flensburg, den Unterschrift des Dozenten

2 Institut für Physik Versuch : E6 Blatt: 1 Theoretische Grundlagen Das Energiebändermodell In einem isolierten Atom besitzen die Elektronen der Atomhülle innerhalb des durch das elektrostatische Kern-Feld gegebenen "Potentialtrichters" diskrete Energieniveaus (s. Abb. 1a), wie sie in vereinfachter Weise schon durch das Bohr sche Atommodell, wesentlich genauer aber erst durch wellenmechanische Modelle beschrieben werden. Abb. 1a: Potentialverlauf eines isolierten Atoms und Energieniveaus Abb. 1b: Periodisches Potential in einem Kristallgitter und Energiebänder Werden die einzelnen Atome zu einem Festkörper-Kristall zusammengefügt, so überlagern sich die Kernpotentiale der einzelnen Atome derart, dass sich ein periodisches Potentialfeld gemäß Abb. 1b ergibt. Die Abb. 1b zeigt schematisch zwei wesentliche Eigenschaften, die die Elektronen-Energieniveaus bei der Zusammenfügung zum Festkörper annehmen können: 1. Energie-Niveaus, die beim isolierten Atom innerhalb des Potentialtrichters liegen und deren darauf sich befindende Elektronen als gebunden betrachtet werden müssen, können beim aus den gleichen Atomen aufgebauten Kristall oberhalb der Potentialmaxima zwischen den einzelnen Atomen liegen und müssen somit als quasi- "freie", nicht mehr einem einzelnen Atom zugeordnete Elektronen angesehen werden. Diese Elektronen sind u. U. im gesamten Kristall frei beweglich und stehen für den elektrischen Ladungstransport bei Anlegung eines äußeren Feldes zur Verfügung. 2. Die Zusammenfügung der isolierten Atome zum Festkörperkristall bewirkt, dass die zuvor diskreten Energieniveaus der Elektronen infolge des Einflusses der jeweils benachbarten Gitteratome aufgespalten werden. Es kommt somit zu einer Verbreiterung der Energieniveaus, die bei Festkörpern die Gestalt von Energiebändern annehmen. Die Energiebänder sind umso breiter, je größer der Einfluss der Nachbaratome auf das einzelne Atom ist. (Siehe auch: Lindner, H.: Physik für Ingenieure, Vieweg, 1987; Abschnitt Aufbau der Atomhüllen, Pauli-Prinzip.) Schematisch -über einer der räumlichen Koordinaten eines Kristalls aufgetragen- haben Elektronen eines festen Körpers folgendes Energiebänder-Modell (Abb. 2):

3 Institut für Physik Versuch : E6 Blatt: 2 E Leitungsband Ge Valenzband Ge Abb. 2 Abb. 3 Erlaubte Energiebereiche (hier schraffiert) für Elektronen sind durch verbotene Zonen getrennt. Mit wachsender Elektronen-Quantenzahl n nimmt die Kopplung mit den benachbarten Atomen und damit die Breite der Niveaus zu. Das oberste in einem Kristall (voll oder nicht voll) besetzte Energieband heißt Valenzband. Denn in ihm haben die auf der äußersten Schale des Atoms befindlichen Elektronen ihren Platz, die für die Bindung benachbarter Gitter-Atome und im chemischen Sinne für die Valenzen verantwortlich sind. Als Beispiel sei Germanium betrachtet, das auf der äußersten, der n-schale (n=4), 4 Elektronen besitzt. Jedes Ge-Atom bildet mit 4 Nachbar-Atomen eine "homöopolare Bindung" (Elektronenpaarbindung), wie sie Abb. 3 schematisch flächenhaft zeigt. Tatsächlich handelt es sich dabei um ein räumliches Gebilde, bei dem 4 jeweils benachbarte Atome die Spitzen eines regelmäßigen Tetraeders bilden. Diese Valenzelektronen des Ge besetzen bei T=0 K alle verfügbaren Plätze im Valenzband, das Valenzband ist voll. Das nächst höhere - bei T=0 K also leere - Energieband des Kristalls heißt das Leitungsband. Die in diesem Leitungsband bei höheren Temperaturen oder nach optischer Anregung befindlichen Elektronen sind für den elektrischen Ladungstransport im Kristall verantwortlich. Ebenso erscheint durch die freigewordenen Plätze ("Löcher") im Valenzband eine Transportmöglichkeit von Ladung ("Löcherleitung"). Wenn - wie hier zunächst angenommen wird - z.b. bei Ge und 0 K das Leitungsband das erste völlig unbesetzte Energieband ist und das Valenzband voll besetzt ist, dann ist der Kristall ein Isolator. Die Energieaufnahme aus einem elektrischen Feld ist blockiert, weil keine freien Energieniveaus in kleinerem Abstand verfügbar sind. Wenn die oben erwähnte Wechselwirkung und damit die Bandbreite von Valenz- und Leitungsband so groß ist, dass diese beiden Bänder sich überlappen, so werden in beiden Bändern nur die unteren Energieniveaus besetzt. Dies ist in vereinfachter Darstellung eine Möglichkeit der Erklärung der guten Leitfähigkeit der Metalle (Abb. 4a). Eine analoge Situation ist für Metalle dann gegeben, wenn das Valenzband nicht ganz voll mit Elektronen besetzt ist. Sollte, wie bei einem Isolator, zwischen Valenz- und Leitungsband eine energetische Lücke von mehreren ev (bei Diamant z.b. 5,3 ev) liegen, dann können auch bei relativ starker Erhöhung der Temperatur keine Elektronen vom Valenz- in das Leitungsband angehoben werden. In diesem Fall bleibt der Kristall ein guter Isolator auch bei hohen Temperaturen (Abb. 4b).

4 Institut für Physik Versuch : E6 Blatt: 3 Ein Sonderfall liegt hingegen vor, wenn die beiden Bänder sich zwar nicht überlappen, aber nur durch eine kleine Energielücke getrennt sind ( E ca. 1 ev). In diesem Fall kann eine merkliche Anzahl von Elektronen bereits bei Zimmertemperatur durch Aufnahme thermischer Energie vom Valenz- in das Leitungsband gelangen. Dies ist der Fall des "elektronischen Halbleiters", speziell des "Eigenhalbleiters" (Abb. 4c), dessen elektrische Leitfähigkeit, z.b. in der Eigenleitung, infolge dieser thermischen Anregung exponentiell temperaturabhängig ist in der Form σ = const e E 2kT Gl. 1 Boltzmann-Konstante k = 1, J K = 8, ev K Die verbotene Energielücke, E, zwischen Valenz- und Leitungsband nennt man angelsächsisch auch "gap" und schreibt E g (g von "gap"). Eg ist selbst auch schwach temperaturabhängig. E E E Eg mehrere ev Eg ca. 1 ev a) Metall b) Isolator c) Halbleiter Abb. 4: Energiebandschema Die thermische Anhebung der Elektronen aus dem Valenz- in das Leitungsband rührt daher, dass die Atome des Kristalls Gitterschwingungen mit der mittleren Energie von 0,5kT pro Freiheitsgrad, das sind dann 3kT pro Atom, ausführen. Diese thermisch angeregten Gitterschwingungen können durch Stoßprozesse Energie auf die im Valenzband befindlichen Elektronen übertragen, so dass diese, wenn die thermische Energie des stoßenden Gitteratoms zufällig gleich Eg ist, vom oberen Rand des Valenzbandes in den unteren Teil des Leitungsbandes angehoben werden können. Diese thermische Anregung ist auch bei Stoßübertragung von Energien E > Eg möglich, nicht aber für solche kleiner Eg, da dann die Elektronen nach dem Stoß eine Energie annehmen würden, die zwischen Valenz- und Leitungsband liegt und somit im Kristall verboten ist. Dass die thermische Anregung auch trotz Eg > kt möglich ist, erklärt sich damit, dass für die Schwingungsenergie eine Boltzmann-Verteilung angenommen werden muss und somit statistisch verteilt auch Energien größer als kt für die Stoßübertragung zur Verfügung stehen.

5 Institut für Physik Versuch : E6 Blatt: 4 Zahlenbeispiel: Germanium E(300K) = E g = 0,67 ev kt = 0,026 ev. Elektronendichte durch thermische Anregung bei T=300K: n = const (kt) 3 2 e E g 2kT Gl. 2 = 2, cm -3 (zum Vergleich: Dichte der freien Elektronen in Metallen: ca cm -3 ) Die Defekt-Elektronen: Wird ein Elektron vom Valenz- in das Leitungsband angehoben, so verbleibt im Valenzband, wie bereits angedeutet, ein freier Platz, d.h. ein möglicher Energiewert ist unbesetzt. Diese Lücke hat den Charakter einer positiven Ladung innerhalb einer Umgebung von negativen Valenzelektronen. Sie hat die Eigenschaft, bei Anlegung eines elektrischen Feldes an den Kristall in entgegengesetzter Richtung wie die freien Elektronen zu wandern und somit als positive bewegliche Ladung am Ladungstransport teilzunehmen. Diese Elektronenleerstellen nennt man "positive Löcher" oder "Defekt- Elektronen". Sie verhalten sich wie Teilchen mit positiver Ladung und Masse ("Quasiteilchen"). Es ist ersichtlich, dass bei einem reinen Halbleiter die Dichte p der Defekt-Elektronen im Valenzband gleich der Dichte n der freien Elektronen im Leitungsband sein muss: n i = n = p beim Eigenhalbleiter. Gl. 3 Entstehen Ladungsträger ausschließlich auf diese Weise durch einen Übergang vom Valenzband- in das Leitungsband (und nicht durch Ionisation von Störstellen, Verunreinigungen oder Kristalldefekte) so spricht man von einem "Eigenhalbleiter". An dieser Stelle sei noch erwähnt, dass die oben erwähnten Ladungsträgerdichten im Sinne zeitlicher Mittelwerte eines Gleichgewichtszustandes aufzufassen sind, bei dem pro Sekunde genau so viele Elektronen-Loch-Paare erzeugt werden wie durch "Rekombination", d.h. durch den entgegengesetzten Übergang vom Leitungsband zum Valenzband, verloren gehen. Die mittlere Lebensdauer τ eines Ladungsträgers - Elektron oder Loch - hängt bei realen Halbleiterkristallen sehr stark von der Güte des Kristallbaus (Gitterfehler, Fremdatome u.ä.) ab. Außerdem ist unmittelbar an der Oberfläche τ im Allgemeinen erheblich kleiner als im Innern des Kristalls. In der Praxis treten z.b. bei Ge Werte für τ in der Größenordnung von 10-4 s bis 10-5 s auf.

6 Institut für Physik Versuch : E6 Blatt: 5 Die Leitfähigkeit des Eigenhalbleiters Die Leitfähigkeit des Eigenhalbleiters ist (je nur eine Sorte freier Elektronen und Löcher vorausgesetzt; bei kompletten Bandüberlappungen können mehrere Sorten Elektronen und Löcher je verschiedener Dichte und Beweglichkeit am Ladungstransport beteiligt sein): Oder mit Gl. 3: σ = e n µ n + e n µ p in (Ωm) -1 Gl. 4 σ = e n i (µ n + µ p ) Gl. 5 Dabei ist µn bzw. µp die Beweglichkeit der freien Elektronen des Leitungsbandes bzw. der Löcher des Valenzbandes definiert durch: μ = v E = Driftgeschwindigkeit angelegte Feldstärke Gl. 6 Zahlensbeispiel: Germanium (Werte sind abhängig vom Reinheitsgrad) Bei T=300K: μ p = 0,17 m2 Vs μ n = 0,39 m2 Vs σ 300K = 2 1 Ωm Die Beweglichkeiten µn und µp können bei den verschiedenen Halbleitern stark voneinander abweichen. Sie sind ebenso wie die Ladungsträgerdichten n und p temperaturabhängige Größen, die im Einzelnen durch den Halleffekt bestimmt werden können. Die Temperaturabhängigkeit von n ist durch die Gleichung (2) gegeben; für die Beweglichkeit µ gilt in der Eigenleitung: μ~t 3 2 Gl. 7 damit folgt für die Eigenleitung: σ = const e E g,0 2kT oder ln(σ) = E g,0 1 + ln (const) Gl. 8 2k T Mathematisch ist es sinnvoll, vor dem Logarithmieren beide Seiten durch die Einheit von σ zu teilen, da es keinen Logarithmus einer Einheit gibt. In der Auftragung ln(σ) gegen 1 erhält man wegen Gl. 8 eine Gerade mit der Steigung T m = E g,0. Eine solche Auftragung zur Bestimmung der thermischen 2k Aktivierungsenergie des Boltzmannfaktors (hier der Bandlücke) heißt Arrhenius- Darstellung. Die Arrhenius-Darstellung ergibt allerdings nur dann eine Gerade, wenn die

7 Institut für Physik Versuch : E6 Blatt: 6 Aktivierungsenergie nicht selbst von der Temperatur abhängt. Diese Voraussetzung ist für Halbleiter nicht ganz erfüllt, denn die Bandlücke von Halbleitern hängt etwas von der Temperatur ab. Die Arrhenius-Darstellung ergibt dann eine gekrümmte Kurve: Die durchgezogene Kurve entspricht der tatsächlichen Bandlücke Eg(T). Die gestrichelte Linie entspricht der linearen Approximation für höhere Temperaturen. Oberhalb von 300 K wird die Übereinstimmung gut. Eg,0 ist der auf T = 0 K extrapolierte Wert der linearen Approximation und somit fiktiv: E g (T) = E g,0 αt; mit α = 4, ev K Gl. 9 Die tatsächliche Bandlücke bei Null Kelvin, Eg(0), ist kleiner als dieser Wert: Eg(0)=0,75 ev. Gleichung 8 kann also nicht den Verlauf der Leitfähigkeit über alle Temperaturbereiche und auch nicht im Bereich des absoluten Nullpunktes (0K) beschreiben. Bei genügend hohen Temperaturen (z.b. Raumtemperatur=300K) sprechen wir von intrinsischer Leitung des Germaniums und Gleichung 8 gilt dann jedoch in guter Näherung. ln(σ) Der Bereich zwischen 1 und 2 ist die Eigenleitungsgerade mit der Steigung m = E g,0 2k. Nach Bestimmung von Eg,0 ließe sich mit Gleichung 9 die Bandlücke bei Zimmertemperatur Eg(300K) bestimmen. Je nach dem Verunreinigungsgrad des Halbleiters bzw. dessen Gitterstörungen weicht 1/T der Verlauf von σ bei tieferen Temperaturen von der sog. Eigenleitungsgeraden ab (kurviger Verlauf des 1 Graphen). Man spricht dann von Störstellenleitung. Bezüglich T näherer Einzelheiten zur Temperaturabhängigkeit im Bereich der Störstellenleitung muss hier auf die Literatur verwiesen werden. Für gut gereinigte kommerzielle Germanium-Einkristalle dominiert heute für T 300 K immer Eigenleitung, mit n i, 300 K = 2, m -3. Literatur: Bergmann Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik Festkörper, Band 6, Kapitel 6.4.4, Verlag de Gruyter

8 Institut für Physik Versuch : E6 Blatt: 7 Aufgabenstellung: Ziel ist die Bestimmung des Bandabstandes Eg von Germanium bei T=300K. Dazu werden bei verschiedenen Temperaturen Strom (IPr) und Spannung (UPr) an der Germanium-Probe gemessen. Die Heizung wird über einen Taster betätigt s = 0.02 m ; Länge der Probe A = 10-5 m 2 ; Querschnittsfläche der Probe s I σ = U A 1. Messen Sie zuerst die Raumtemperatur und stellen Sie U Pr = 3,0 V ein. Messen Sie den dazugehörigen Strom IPr und tragen Sie den Wert in die Tabelle ein. Mit diesen Werten wird auch später σ0 berechnet. 2. Schalten Sie die Heizung der Probe ein (Taster drücken) und notieren Sie alle 10K die Werte für I Pr und U Pr (303K, 313K K). Es empfiehlt sich, die Stromzufuhr für die Heizung kurz vor dem Erreichen des gewünschten Messpunktes zu unterbrechen (Taster loslassen), um ein Überschwingen zu verhindern. Lassen Sie die Temperatur auf 368 K (95 C) sinken und messen Sie wieder in 10 K-Schritten (abwärts) U Pr und I Pr. 3. Bestimmen Sie für die jeweiligen Temperaturen die Leitfähigkeit σ und ln(σ). 5. Zeigen sie in einem Diagramm den Verlauf von σ(t). 6. Zeigen Sie in einem Diagramm den Verlauf von ln(σ) als Funktion von 1 T 7. Bestimmen Sie mittels linearer Regression die Steigung der Geraden aus 6. und errechnen Sie Eg,0. 8. Mit Hilfe von Gl. 9 ermitteln Sie jetzt Eg(300K) inkl. der Unsicherheit. Vergleichen Sie Ihren Wert mit dem Literaturwert. 9. Fassen Sie Ihre Ergebnisse in einer Schlussbetrachtung zusammen

9 Institut für Physik Versuch : E6 Anlage Anmerkungen : Dieser Vordruck ist von den Studenten während der Versuchsdurchführung mit Tinte oder Kugelschreiber auszufüllen. Tragen Sie übersichtlich die gemessenen Werte und die abgeschätzten Messfehler ein. Dieser Vordruck ist zusammen mit dem Laborbericht abzugeben Student Studiengruppe Datum Laboringenieur Tragen Sie hier Ihre Messwerte in die Tabelle ein: T in C T in K UPr in V IPr in ma Raumtemperatur ,