Annahme: Wellen- und Quanteneigenschaften des Lichts können vernachlässigt werden.

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1 Annahme: Wellen- und Quanteneigenschaften des Lichts können vernachlässigt werden. Experiment: Laserlichtquelle. 1.1 Axiome der geometrischen Optik Licht breitet sich in Form von Strahlen aus. Lichtstrahlen werden von einer Lichtquelle emittiert und können mit einem Detektor nachgewiesen werden. In einem homogenen Medium breiten sich Licht mit der Geschwindigkeit c geradlinig aus. Der Brechungsindex n ist das Verhältnis zwischen der Vakuum- Lichtgeschwindigkeit c 0 = m s 1 und der Lichtgeschwindigkeit im Medium c: n = c 0 c. (1.1.1) Um eine Strecke d zurückzulegen benötigt Licht die Lichtlaufzeit t = d/c = nd/c 0 = L opt /c 0. Hierbei ist die optische Weglänge definiert als L opt = nd. (1.1.2) In inhomogenen optischen Materialien variiert der Brechungsindex n(r) mit dem Ort. Die optische Weglänge für einen Weg S zwischen zwei Punkten A und B ist L opt = n(r)ds. (1.1.3) S Fermatsches Prinzip: Licht gelangt auf dem Weg S von A nach B, für den die Lichtlaufzeit t = L opt /c 0 ein Extremum annimmt. 1-1

2 A L s opt = S n( r) ds = 0 ds s ds n( r) L opt = ( r) ds = 0 S n B Abbildung 1.1: Fermatsches Prinzip. Formulierung als Variationsprinzip: Einige Folgerungen: δl opt = δ n(r)ds = 0 (1.1.4) S Das Reflexionsgesetz Betrachte Reflexion an einem ebenen Spiegel. Experiment: Strahlengang bei ebenen Spiegeln. Optischer Weg: L opt = nar + nrb = n (x x 1 ) 2 + y1 2 + n (x 2 x) 2 + y2 2 (1.1.5) Variation des optischen Weges: dl opt dx = n (x x 1 ) (x x 1 ) 2 + y1 2 n (x 2 x)! = 0. (1.1.6) (x 2 x) 2 + y2 2 Mit der Hilfe von Abbildung 1.2 folgt: 1-2

3 1.1 Axiome der geometrischen Optik A(x,y ) 1 1 B(x,y ) 2 2 n=const i r R(x,0) Abbildung 1.2: Reflexionsgesetz. sin (α i ) = sin (α r ) α i = α r. (1.1.7) Relexionsgesetz: Einfallswinkel = Ausfallswinkel! Das Brechungsgesetz Betrachte Übergang eines Lichtstrahls von einem homogenen Medium in ein anderes homogenes Medium. Experiment: Reflexion und Brechung am Glassegment. Brechungsgesetz: n i sin (α i ) = n t sin (α t ). (1.1.8) Beweis: Übung! Totalreflexion Betrachte Grenzfläche zwischen zwei Medien mit n i > n t. 1-3

4 i r n i n t t Abbildung 1.3: Brechungsgesetz. Experiment: Reflexion und Brechung durch Wasser. Aus dem Brechungsgesetz folgt: sin (α t ) = n i n t sin (α i ). (1.1.9) Der Lichtstrahl kann wegen sin (α t ) 1 nur in das zweite Medium eindringen, falls der Einfallswinkel α i kleiner ist als der Grenzwinkel der Totalreflexion α g definiert durch sin (α g ) = n t n i. (1.1.10) Beispiel: BK-7 Glas: n BK7 = für rotes Licht (λ = 656nm). Grenzfläche BK7-Luft: α g = Anwendung: Retroreflektor Fata Morgana Beispiel für krumme Lichtstrahlen: Fata Morgana. 1-4

5 1.2 Optische Abbildung g Abbildung 1.4: Retroreflektor. Ein Temperaturgradient verursacht eine räumliche Variation des Brechungsindex der Luft. Hierbei nimmt der Brechungsindex mit zunehmender Temperatur ab. An einem heißen Tag können sehr flach einfallende Lichtstrahlen an der bodennahen Luftschicht total reflektiert werden. Zunehmender Brechungsindex Abbildung 1.5: Fata Morgana. Experiment: Fata Morgana im Aquarium. 1.2 Optische Abbildung Ziel: Licht, das von einem Punkt A eines Gegenstandes ausgeht, soll durch ein geeignetes abbildendes optisches System im Bildpunkt B vereinigt werden. 1-5

6 Nach dem Fermatschen Prinzip muss die optische Weglänge aller abgebildeten Strahlen gleich sein. Abbildendes optisches System A B Abbildung 1.6: Reele Abbildung durch ein optisches System. Reelle Abbildung: Die Strahlen konvergieren zum Bildpunkt B und können auf einem Schirm einen Leuchtfleck erzeugen. Beispiel: Sammellinse. Virtuelles Bild: Die Strahlen aus dem abbildenden optischen System sind divergent und stammen scheinbar vom Bildpunkt B. Auf einem Schirm entsteht an der entsprechenden Stelle kein leuchtender Fleck. Beispiel: Spiegel Spiegel Ebener Spiegel Durch Reflexion an einem ebenen Spiegel entsteht ein virtuelles Bild des Gegenstandes. Experiment: Virtuelles Bild, Kerze im Wasser. Parabolspiegel Im Folgenden wollen wir gekrümmte Spiegeloberflächen betrachten. Dabei unterscheiden wir zwei Fälle: Konkave Spiegel (Hohlspiegel) weisen eine nach innen gewölbte Spiegeloberfläche auf. 1 1 Eselsbrücke: konkav erinnert an das englische Wort cave (Höhle). 1-6

7 1.2 Optische Abbildung A B Abbildung 1.7: Optische Abbildung durch einen ebenen Spiegel. Konvexe Spiegel besitzen dagegen eine nach außen gewölbte Spiegeloberfläche. Wir wollen außerdem annehmen, dass die Spiegeloberflächen rotationssymmetrisch sind. Die jeweilige Symmetrieachse wird als optische Achse bezeichnet. Als erstes untersuchen wir einen konkaven Parabolspiegel. Dessen Form wird durch die Gleichung y 2 = 4fx beschrieben. Die Strahlen fallen parallel zur optischen Achse ein. P( x, y) y A(a,y) x F(f,0) Abbildung 1.8: Konkaver Parabolspiegel. Betrachte optische Weglänge für Streckenzug APF (siehe Abbildung 1.8): L opt = a x + (f x) 2 + y 2 (1.2.1) 1-7

8 Mit y 2 = 4fx erhalten wir L opt = a + f = const. Ein konkaver Parabolspiegel fokussiert somit ein Bündel paralleler Lichtstrahlen im Brennpunkt F. Die Größe f wird als Brennweite bezeichnet. Experiment: Streichholz im Brennpunkt eines Hohlspiegels. Anwendungsbeispiele für konkave Parabolspiegel: Scheinwerferspiegel Satellitenschüssel für TV-Empfang Parabolantenne zur Satellitenkommunikation. Abbildung 1.9: Parabolantenne zur Satellitenkommunikation. Quelle: Wikipedia. Sphärische Spiegel Problem für die Optik: Hochqualitative Parabolspiegel sind schwierig und nur unter hohen Kosten zu fertigen Approximation durch sphärische Spiegel. Gleichung für kreisförmigen Querschnitt einer Kugel: y 2 + (x R) 2 = R 2. (1.2.2) Umformen liefert: x = R R 2 y 2 (1.2.3) 1-8

9 1.2 Optische Abbildung y R x M F f Abbildung 1.10: Vergleich eines sphärischen Spiegels mit einem Parabolspiegel. Für achsennahe Strahlen (y 2 R 2 ) gilt: x = y2 2R + y4 8R 3 + O ( y 6). (1.2.4) Für achsennahe Strahlen wirkt ein sphärischer Spiegel mit dem Radius R wie ein Parabolspiegel mit der Brennweite f = R/2. Mit zunehmendem Abstand der Strahlen von der Achse nimmt die Brennweite des sphärischen Spiegels ab (Beweis: Übung). R y x A M B h b g Abbildung 1.11: Abbildung des Achsenpunktes A auf den Bildpunkt B. Betrachte jetzt Abbildung eines beliebigen Punktes A auf der optischen Achse durch einen konkaven sphärischen Spiegel. Ein von A ausgehender Lichtstrahl wird an der Spiegeloberfläche reflektiert und schneidet die optische Achse im Bildpunkt B. 1-9

10 Aufgrund des Reflexionsgesetz gilt: α = δ γ! = β δ. (1.2.5) Damit: γ + β = 2δ. (1.2.6) Für achsennahe Strahlen (kleine Winkel!) gilt: γ tan (γ) = h g, (1.2.7) β tan (β) = h b, δ sin (δ) = h R, (1.2.8) (1.2.9) Somit erhalten wir die Spiegelformel: 1 g + 1 b = 2 R = 1 f. (1.2.10) Experiment: Zauberspiegel. Wir betrachten jetzt die Abbildung eines endlich großen Objekts (hier: ein Pfeil), das senkrecht zur optischen Achse steht. Für die geometrische Konstruktion der Abbildung eignen sich die folgenden ausgezeichneten Strahlen, die von der Spitze A des Objekts aus gezeichnet werden: Der Strahl parallel zur optischen Achse, der nach der Reflexion durch den Brennpunkt F geht (roter Strahl). Der schräg laufende Strahl, der vor der Reflexion durch F geht und nach der Reflexion parallel zur optischen Achse läuft (blauer Strahl). Der Strahl, der durch den Kugelmittelpunkt M geht und in sich selbst reflektiert wird (grüner Strahl). Für kleine Abstände der Strahlen von der optischen Achse, schneiden sich die so konstruierten Strahlen in B, dem Bildpunkt von A. Fallunterscheidung: 1-10

11 1.2 Optische Abbildung y y A A x M g B F b f O x B M b F g f O y B A F O x M f g b Abbildung 1.12: Geometrische Konstruktion der Abbildung für konkave sphärische Spiegel. g > 2f: Das Bild ist reell, liegt zwischen F und M, ist verkleinert und umgekehrt. 2f > g > f: Das Bild ist reell, befindet sich links von M, ist vergrößert und umgekehrt. f > g: Das Bild ist virtuell, befindet sich rechts von O, ist vergrößert und aufrecht. Ein konvexer sphärischer Spiegel erzeugt immer ein virtuelles Bild. Formal: f < Linsen Experiment: Strahlengang durch Linsen. 1-11

12 y A B x F M Abbildung 1.13: Abbildung mit einem konvexen sphärischen Spiegel. Brechung an sphärischen Flächen Um die Experimente zu analysieren, betrachten wir zunächst die Brechung von Licht an einer konvexen sphärischen Glasfläche. Hierbei wollen wir nur achsennahe Lichtstrahlen betrachten, die kleine Winkel mit der optischen Achse einschließen paraxiale Näherung. Im Folgenden wollen wir die hier angegebene Vorzeichenkonvention verwenden: g,f g + links von O - rechts von O b,f b + rechts von O - links von O R + falls M rechts von O - falls M links von O h g, h b + oberhalb der optischen Achse - unterhalb der optischen Achse Sei A ein Punkt auf der optischen Achse. Ein von A ausgehender Lichtstrahl wird an der Grenzfläche gebrochen (Brechungsgesetz!) und schneidet die optische Achse im Bildpunkt B. In paraxialer Näherung gilt für das Brechungsgesetz wegen sin(α i ) α i : n 1 α 1 n 2 α 2. (1.2.11) Weiterhin ist α 1 = γ + δ (1.2.12) und α 2 = δ β. (1.2.13) 1-12

13 1.2 Optische Abbildung n y 1 R n 2 P A O p h M B x g b Abbildung 1.14: Brechung eines Lichtstrahls an einer konvexen Kugelfläche. Für achsennahe Strahlen gilt: h = (g + p) tan (γ) gγ (1.2.14) = (b p) tan (β) bβ (1.2.15) = R sin (δ) Rδ. (1.2.16) Einsetzen und kurze Umformung liefert das Abbildungsgesetz: n 1 g + n 2 b = n 2 n 1 R. (1.2.17) Bei Beachtung der oben angegebenen Vorzeichenkonvention erhalten wir dieses Ergebnis auch für eine konkave sphärische Glasfläche. Beweis: Übung. Wir betrachten jetzt zwei Spezialfälle: Befindet sich A im vorderen Brennpunkt F g (g = f g ), so wird B im Unendlichen abgebildet (b = ). Es gilt: n 1 + n 2 f g = n 2 n 1 R f g = n 1 n 2 n 1 R. (1.2.18) Befindet sich A im Unendlichen (g = ), so wird B in den hinteren Brennpunkt F b (b = f b ) abgebildet. Somit: n 1 + n 2 = n 2 n 1 f b R f b = n 2 n 2 n 1 R. (1.2.19) 1-13

14 Sphärische Linsen Wir untersuchen nun eine Linse (Brechungsindex n l ) mit zwei konvexen sphärischen Grenzflächen in einem Medium (Brechungsindex n m ). A M 2 B M 1 B 1 R 2 R 1 g 1 d b 2 b 1 Abbildung 1.15: Dünne Linse. Betrachte zunächst nur die Brechung an der vorderen (linken) Grenzfläche. Das Abbildungsgesetz liefert mit n 1 = n m und n 2 = n l : n m g 1 + n l b 1 = n l n m R 1. (1.2.20) Der so entstandene Bildpunkt B 1 kann formal als Gegenstand für die Abbildung durch die hintere (rechte) Grenzfläche angesehen werden. Für die zweite Abbildung gilt mit n 1 = n l, n 2 = n m und g 2 = b 1 + d: n l b 1 + d + n m b 2 = n m n l R 2. (1.2.21) Addition von Gleichung (1.2.20) und (1.2.21) ergibt: n m + n ( m 1 = (n l n m ) 1 ) n l d + g 1 b 2 R 1 R 2 b 1 (b 1 d). (1.2.22) 1-14

15 1.2 Optische Abbildung Für dünne Linsen (d 0) in Luft (n m = 1) erhalten wir schließlich die sogenannte Linsenschleiferformel: 1 g + 1 ( 1 b = (n l 1) 1 ). (1.2.23) R 1 R 2 Wir betrachten jetzt wieder zwei Spezialfälle: Befindet sich A im vorderen Brennpunkt F g (g = f g ), so wird B im Unendlichen abgebildet (b = ): ( 1 f g = (n l 1) 1 ) f g = R 1 R 2 1 R 1 R 2. (1.2.24) (n l 1) R 2 R 1 Befindet sich A im Unendlichen (g = ), so wird B in den hinteren Brennpunkt F b (b = f) abgebildet: ( 1 = (n l 1) 1 ) f b = f b R 1 R 2 1 R 1 R 2. (1.2.25) (n l 1) R 2 R 1 Offensichtlich ist f b = f g. Wir erhalten somit die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse: 1 g + 1 b = 1 f. (1.2.26) Wir untersuchen jetzt die Abbildung eines endlich großen Objekts (hier: ein Pfeil) durch eine bikonvexe Linse. Für die geometrische Konstruktion der Abbildung eignen sich die folgenden ausgezeichneten Strahlen, die von der Spitze A des Objekts aus gezeichnet werden: Der Strahl parallel zur optischen Achse, der nach der Linse durch den hinteren Brennpunkt F b geht (roter Strahl). Der schräg laufende Strahl, der durch den vorderen Brennpunkt F g geht und nach der Linse parallel zur optischen Achse läuft (blauer Strahl). Der Strahl, der durch die Mitte der Linse läuft und der nicht abgelenkt wird (grüner Strahl). Die so konstruierten Strahlen schneiden sich in B, dem Bildpunkt von A. 1-15

16 (a) (b) h g A F g f f f g b F b f B h b h g F b B A F g h b (c) (d) h g F b B A F g h b h b h g F g B A F b Abbildung 1.16: Geometrische Konstruktion der Abbildung für eine bikonvexe dünne Linse. Das Verhältnis von Bildgröße h b und Gegenstandsgröße h g bestimmt die transversale Vergrößerung V t : V t h b h g. (1.2.27) Anhand des Strahlensatzes finden wir: V t = b g. (1.2.28) Erzeugt die Abbildung ein reales Bild, so ist V t negativ (der Pfeil steht auf dem Kopf). Zusammenfassend erhalten wir: 1-16

17 1.2 Optische Abbildung Sammellinse (f > 0) Gegenstandsweite Bildweite Abbildungstyp transversale Vergrößerung 2f < g < f < b < 2f reell 1 < V t < 0, verkleinert g = 2f < b = 2f reell V t = 1 f < g < 2f 2f < b < reell V t < 1, vergrößert g = f b - - g < f b < g virtuell V t > 1, vergrößert Streulinse (f < 0) Gegenstandsweite Bildweite Abbildungstyp transversale Vergrößerung 0 < g < f < b < 0 virtuell 0 < V t < 1, verkleinert Linsentypen Bikonvex R 1>0 R 2<0 f>0 Plankonvex R 1= R 2<0 f>0 Bikonkav R 1<0 R 2>0 f<0 Plankonkav R 1= R 2>0 f<0 Meniskus R 1>0 R >0 2 Abbildung 1.17: Bezeichnung von Linsen nach Krümmung ihrer Flächen. 1-17

18 Linsenfehler Die bisherigen Überlegungen und Formeln sind nur im Rahmen der paraxialen Näherung streng gültig. Für achsenferne Strahlen oder für Strahlen, die die optische Achse unter einem großen Winkel schneiden, treten Abbildungsfehler auf. Zusätzlich spielen die Materialeigenschaften eine Rolle. Chromatische Aberration: Aufgrund der Wellenlängenabhängigkeit der Brechzahl n(λ) ist die Brennweite f(λ) einer Linse für Lichtstrahlen unterschiedlicher Farbe verschieden groß. F blau F rot Experiment: Chromatische Aberration. Sphärische Aberration: Aufgrund der Form der Linsenoberflächen hängt die Brennweite einer sphärischen Linse vom Abstand der Strahlen von der optischen Achse ab. Bei einer Sammellinse weist ein achsenferner Strahl eine kleinere Brennweite auf als ein achsennaher Strahl. Ein paralleles Strahlenbündel wird daher nicht in einen Punkt fokussiert. Die Grenzfläche des fokussierten Strahlenbündels wird als Kaustik bezeichnet. Kaustik Experiment: Sphärische Aberration. Koma: Bei einem Strahlenbündel, das eine Linse schief durchläuft werden die Strahlen, die unterschiedliche Bereiche der Linse durchlaufen auf verschiedene Punkte der Bildebene abgebildet. Das Bild einer punktförmigen Lichtquelle führt zu einer verwaschendn Bildkurve. 1-18

19 1.2 Optische Abbildung Experiment: Koma. Astigmatismus: Läuft ein Strahlenbündel schräg durch eine Linse, so werden die Strahlen der Meridian-Ebene (Ebene definiert durch die optische Achse und den Mittenstrahl des Bündels) und der Sagittal-Ebene (Ebene senkrecht zur Meridian- Ebene die den Mittenstrahl enthält) in unterschiedliche Bildpunkte abgebildet. Die Querschnittsfläche des Strahlenbündels ist hinter der Linse nicht mehr konstant. y x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Seitenansicht x z Draufsicht x Strahlprofil y y y y y z z z z z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Experiment: Astigmatismus. 1-19

20 1.3 Matrizenoptik Der Verlauf von Lichtstrahlen durch komplizierte optische Systeme kann effizient mit Hilfe der Matrizenoptik berechnet werden. Wir nehmen hierbei an, dass die paraxiale Näherung gültig ist. Ein Lichtstrahl wird durch den Abstand r von der optischen Achse und den Neigungswinkel ϕ gegen die optische Achse charakterisiert. Diese Größen fassen wir zum Strahlvektor s zusammen: s = (r, ϕ). (1.3.1) Der Einfluss eines optischen Elements auf den Lichtstrahl kann durch eine 2 2-Matrix (ABCD-Matrix) beschrieben werden: ( ) ( ) ( ) r2 A B r1 = ϕ 2 C D ϕ 1 (1.3.2) Die ABCD-Matrix einer Abfolge von j optischen Elementen kann durch einfache Matrixmultiplikation berechnet werden: ( ) ( ) ( ) ( ) A B Aj B = j A2 B 2 A1 B 1. (1.3.3) C D C j D j C 2 D 2 C 1 D 1 Wichtig: Die Reihenfolge der optischen Elemente ist bei der Matrixmultiplikation unbedingt zu beachten Propagation in einem homogenen Medium 1 2 r 1 r 2 d Abbildung 1.18: Propagation eines Lichtstrahls in einem homogenen Medium. Strahlvektor am Anfang der Strecke: s 1 = (r 1, ϕ 1 ) 1-20

21 1.3 Matrizenoptik Strahlvektor nachdem der Strahl die Strecke d entlang der optischen Achse zurückgelegt hat: r 2 = r 1 + ϕ 1 d ϕ 2 = ϕ 1 (1.3.4) (1.3.5) Matrixschreibweise: ( r2 α 2 ) = ( 1 d 0 1 ) ( r1 α 1 ) (1.3.6) Brechung an einer ebenen Fläche 1 2 r 1 r 2 n 1 n 2 Abbildung 1.19: Brechung eines Lichtstrahls an einer ebenen Grenzfläche. Brechungsgesetz in paraxialer Näherung [sin (ϕ) ϕ]: n 1 ϕ 1 = n 2 ϕ 2 (1.3.7) Strahlvektor in Medium 2 direkt hinter der Grenzfläche: r 2 = r 1 (1.3.8) ϕ 2 = n 1 n 2 ϕ 1 (1.3.9) Matrixschreibweise: ( r2 ϕ 2 ) = ( n 1 n 2 ) ( r1 ϕ 1 ) (1.3.10) 1-21

22 R 2 1 r 1 r 2 n 1 n 2 M Abbildung 1.20: Brechung eines Lichtstrahls an einer sphärischen Grenzfläche Brechung an einer sphärischen Fläche Brechungsgesetz in paraxialer Näherung [sin (α) α]: n 1 α 1 = n 2 α 2 (1.3.11) Man entnimmt der Abbildung 2 : r 2 = r 1 (1.3.12) α 1 ϕ 1 = α 2 ϕ 2 = r 1 R. (1.3.13) Einsetzen liefert: ϕ 2 = n 1 n 2 ϕ 1 + n 1 n 2 n 2 r 1 R. (1.3.14) Matrixschreibweise: ) ( ( r2 ϕ 2 = 1 0 n 1 n 2 n 2 R n 1 n 2 ) ( r1 ϕ 1 ) (1.3.15) ABCD-Matrix einer Linse Für eine Linse der Dicke d mit sphärischen Grenzflächen aus einem Material mit Brechungsindex n gilt: 2 ϕ 2 ist hier negativ, da der Winkel im Gegenuhrzeigersinn von der optischen Achse aus gemessen wird. 1-22

23 1.3 Matrizenoptik ( A B C D ) = = ( 1 0 n 1 R 2 n ) ( 1 d (n 1)d nr 1 ) ( n 1 nr 1 n (n 1) ( 1 R 1 1 R 2 + (n 1)d nr 1 R 2 ) ) d n 1 + (n 1)d nr 2 (1.3.16) Ist die Linse dünn (d 0), so erhalten wir mit 1 f = (n 1) ( 1 R 1 1 R 2 ) : ( A B C D ) = ( f 1 ) (1.3.17) Die Abbildung mit einer dünnen Linse kann durch die folgende Matrix beschrieben werden: ( ) ( ) ( ) ( ) ( A B 1 b g 1 b g + b bg ) = C D f f = 1 f g. (1.3.18) f f Bei der Abbildung hängt der Ort des Bildpunktes nicht vom Winkel ϕ 1 des ausgehenden Strahls ab g + b bg f = 0. Somit erhalten wir wieder die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse: 1 g + 1 b = 1 f. (1.3.19) ABCD-Matrix eines abbildenden Systems Wir betrachten jetzt ein abbildendes System der Dicke d, das durch die Matrix ( ) A B M = C D charakterisiert wird. (1.3.20) Analog zum Fall der dünnen Linse erhalten wir: ( A B C D ) = = ( ) ( ) ( ) 1 db A B 1 dg 0 1 C D 0 1 ( A + db C B + d g A + d b D + d g d b C C D + d g C ). (1.3.21) 1-23

24 Hierbei sind d g und d b die Abstände des Gegenstands und des Bildpunktes von der Vorderseite bzw. von der Rückseite des abbildenden Systems. Ohne Beweis: Die Determinante dieser ABCD-Matrix ist 1. Mit B = 0 folgt AD = 1 und damit (A + d b C) (D + d g C) = 1. (1.3.22) Kurze Umformung liefert mit f 1/C: f 2 = (fa d b ) (fd d g ) (1.3.23) = (f [d b + (1 A) f]) (f [d g + (1 D) f]) (1.3.24) Mit den Definitionen p g p b = (1 D) f = (1 A) f (1.3.25) (1.3.26) folgt = 1 d g + p g d b + p b f. (1.3.27) Das abbildende System verhält sich exakt wie eine dünne Linse der Brennweite f wenn wir die Gegenstandsweite g = d g + p g und Bildweite b = d b + p b auf die Hauptpunkte P 1 und P 2 beziehen. Dicke Linsen Kann die Dicke d einer sphärischen Linse nicht vernachlässigt werden, so folgt mit Hilfe von Gleichung (1.3.16): ( 1 1 = (n 1) 1 ) (n 1) d +. (1.3.28) f R 1 R 2 nr 1 R 2 Für die Entfernung der Hauptpunkte von den Linsengrenzflächen erhalten wir: (n 1) fd p g =. (1.3.29) nr 2 (n 1) fd p b =. (1.3.30) nr

25 1.3 Matrizenoptik d f f B A F g P 1 P 2 F b d g p g p b d b g b Abbildung 1.21: Abbildung mit einer dicken Linse. P 1 und P 2 sind der vordere und hintere Hauptpunkt der Linse. Beispiel: Bikonvexe Linse mit R 1 = 20 cm, R 2 = 30 cm, d = 1 cm und n = 1.5. Einsetzen liefert: f = 20 cm p g = 2.7 mm p b = 4.0 mm Linsensysteme Betrachte ein System aus zwei dünnen Linsen mit Brennweiten f 1 und f 2 im Abstand d: ( A B C D ) = = ( ) ( ) ( ) d f f 1 1 ( 1 d ) f 1 d 1 f 1 1 f 2 + d f 1 f 2 1 d. (1.3.31) f

26 Die Brennweite des Linsensystems folgt aus 1 f = d. (1.3.32) f 1 f 2 f 1 f 2 Für die geometrische Bildkonstruktion vernachlässigen wir zunächst die zweite Linse. Das von der ersten Linse erzeugte Bild dient dann als Gegenstand für die Abbildung mit der zweiten Linse. Für den zweiten Schritt eignen sich insbesondere die Strahlen durch das Zentrum und den hinteren Fokus der zweiten Linse (siehe Abbildung 1.22). d F b,1 B B A F g,1 F g,2 F b,2 Abbildung 1.22: Geometrische Bildkonstruktion für ein System aus zwei Linsen. 1.4 Optische Systeme Das Auge Das menschliche Auge ist ein adaptives optisches Instrument. Durch den Augenmuskel kann die bikonvexe Augenlinse verformt werden (Änderung der Brennweite), so dass Gegenstände in verschiedenen Abständen scharf auf die Netzhaut (fixe Bildweite b = 22 mm) abgebildet werden: Entspanntes Auge (Blick ins Unendliche): Gegenstandsbrennweite f g = 17 mm, Bildbrennweite f b = 22 mm. 1-26

27 1.4 Optische Systeme Augenmuskel Iris Pupille Hornhaut vordere Augenkammer Linse Netzhaut Sehnerv Glaskörper Abbildung 1.23: Schematischer Aufbau des menschlichen Auges (Quelle: Wikipedia, modifiziert). Betrachten eines nahen Gegenstandes in der minimale Gegenstandsweite g min = 100 mm: f g = 14 mm und f b = 19 mm. Ein Gegenstand kann ohne Ermüdung betrachtet werden, wenn die Gegenstandsweite nicht kleiner als die deutliche Sehweite s 0 = 25 cm ist. Die deutliche Sehweite dient in der Mikroskopie als Bezugsgröße. Kurz- und Weitsichtigkeit Kann der Augenmuskel die Linse nicht hinreichend strecken, so ist f b zu klein und das scharfe Bild des Gegenstandes liegt vor der Netzhaut Kurzsichtigkeit. Wird die Augenlinse nicht mehr genügend gekrümmt, so liegt das scharfe Bild des Gegenstandes hinter der Netzhaut Weitsichtigkeit. Kurz- und Weitsichtigkeit können durch eine geeignete Streu- bzw. Sammellinse korrigiert werden (siehe Abbildung 1.24). 1-27

28 Kurzsichtigkeit mit ohne Korrekturlinse Weitsichtigkeit ohne mit Korrekturlinse Abbildung 1.24: Kurz- und Weitsichtigkeit mit Korrektur durch eine geeignete Streu- bzw. eine Sammellinse. Sehwinkel Die subjektiv wahrgenommene Größe eines Gegenstandes wird durch den Winkel β zwischen den Lichtstrahlen, die von den Randpunkten des Gegenstandes ausgehen, bestimmt. Für einen Gegenstand mit Durchmesser D im Abstand g gilt: tan ( ) β = 1 D 2 2 g β D g. (1.4.1) Der kleinste vom Auge noch auflösbare Sehwinkel beträgt β min = 1. Zwei Objektpunkte können mit bloßem Auge in der deutlichen Sehweite noch aufgelöst werden, wenn ihr Abstand größer als x min s 0 β min = 73 µm ist. D F b Netzhaut g Abbildung 1.25: Definition des Sehwinkels. 1-28

29 1.4 Optische Systeme Die Lupe Durch geeignete optische Instrumente kann der Sehwinkel vergrößert werden. Die Winkelvergrößerung V W ist definiert als V W Sehwinkel mit Lupe Sehwinkel ohne Lupe. (1.4.2) Die Lupe ist eine Sammellinse mit kurzer Brennweite f die zwischen Auge und Gegenstand gehalten wird. Ohne Lupe h g s 0 Mit Lupe h b F h g b L g f l Ohne Lupe: Abbildung 1.26: Vergrößerung des Sehwinkels mit der Hilfe einer Lupe. β 0 h g s 0. (1.4.3) Mit Lupe: β h b L. (1.4.4) 1-29

30 Damit: V W = h bs 0 h g L. (1.4.5) Mit h b /h g = b/g (Vorzeichenkonvention!) und der Linsengleichung folgt: V W = bs ( 0 gl = 1 b ) ( s0 f L = 1 + L l ) s0 f L. (1.4.6) Stellt man den Gegenstand in den Brennpunkt der Linse, so erzeugt die Linse ein virtuelles Bild im Unendlichen (L ) mit V W = s 0 f. (1.4.7) Beispiel: f = 2 cm, s 0 = 25 cm, Gegenstand im Brennpunkt der Linse V = Das Mikroskop Das Mikroskop ist ein optisches Gerät zum Betrachten kleiner Gegenstände. Es besteht im Prinzip aus zwei Linsen. Die erste kurzbrennweitige Linse (Objektiv) bildet den Gegenstand in die Brennebene der zweiten Linse (Okular) ab. Diese erzeugt ein virtuelles Bild des Gegenstandes im Unendlichen, das mit entspanntem Auge betrachtet werden kann. Linsengleichung für das Objektiv: 1 f 1 = 1 g + 1 b b = Typisch: δ f 1 h b h g. f 1g g f 1 = gf 1 δ. (1.4.8) Das Okular wird als Lupe für das Zwischenbild verwendet. Für den zugehörige Sehwinkel folgt mit h b /h g = b/g β h b f 2 = h gb gf 2. Ohne Mikroskop: (1.4.9) β 0 h g s 0. (1.4.10) 1-30

31 1.4 Optische Systeme Objekt Objektiv Zwischenbild Okular Auge f 2 h F 1 F 2 F 2 g F 1 h b b f 1 g d Abbildung 1.27: Strahlengang in einem Mikroskop. Winkelvergrößerung des Mikroskops: V W = h gb gf 2 s 0 h g = bs 0 gf 2. (1.4.11) Die Tubuslänge t ist definiert als der Abstand zwischen dem bildseitigen Brennpunkt des Objektivs und der Zwischenbildebene: t = b f 1. Typischerweise ist t = 160 mm. (1.4.12) Mit t b und g f 1 erhalten wir schließlich V W t f 1 s 0 f 2. (1.4.13) Für Mikroskopobjektive wird normalerweise eine Maßstabszahl M Obj angegeben mit M Obj = t f 1. Beispiel: 20 Objektiv und Normtubus (t = 160 mm) f 1 = 8 mm. (1.4.14) Entsprechende Maßstabszahl M Oku für das Okular: M Oku = s 0 f 2. (1.4.15) 1-31

32 Beispiel: 10 Okular f 2 = 25 mm. Die Winkelvergrößerung eines Mikroskops ist gegeben durch das Produkt der Maßstabszahlen von Objektiv und Okular: V W = M Obj M Oku. (1.4.16) Das Fernrohr Das Fernrohr dient zur Vergrößerung weit entfernter Objekte. Es besteht im Prinzip aus zwei Linsen. Die erste langbrennweitige Linse erzeugt ein reelles Zwischenbild des Gegenstandes, das mit der zweiten als Lupe dienenden Linse betrachtet wird. Keplersches Fernrohr Wir betrachten zunächst ein Fernrohr aus zwei Sammellinsen (Keplersches Fernrohr), bei dem der bildseitige Fokus der ersten Linse mit dem gegenstandsseitigen Fokus der zweiten Linse zusammenfällt. f 1 f 2 F = 1 F 2 h b Keplersches Fernrohr Abbildung 1.28: Strahlengang eines Keplerschen Fernrohrs. Wir nehmen jetzt an, dass g f 1. Sehwinkel ohne Fernrohr: β 0 h b f 1. (1.4.17) 1-32

33 1.4 Optische Systeme Sehwinkel mit Fernrohr: β h b f 2. (1.4.18) Winkelvergrößerung des Fernrohrs: V W = f 1 f 2. (1.4.19) Beachte: Das Keplersche Fernrohr erzeugt ein umgekehrtes Bild des Gegenstandes. Galileisches Fernrohr Beim Galileischen Fernrohr wird die zweite Sammellinse durch eine Zerstreulinse ersetzt. Die beiden Linsen werden so angeordnet, dass die bildseitigen Brennpunkte zusammenfallen. Diese Anordnung erlaubt eine aufrechte Betrachtung des Objekts. f 1 f 2 F = 1 F 2 h b Galileisches Fernrohr Abbildung 1.29: Strahlengang eines Galileischen Fernrohrs. Analoge Betrachtung ergibt für die Winkelvergrößerung: V W = f 1 f 2. (1.4.20) 1-33