Aufgabe 5 - zum Themenbereich Analytische Geometrie

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Kilian Kneller
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1 Abitur 0 - Grundkurs Mathematik Aufgabe 5 - zum Themenbereich Analytische Geometrie TR Viertausender um Zermatt Das Schweizer Bergdorf Zermatt Z wird umringt von einigen der höchsten Berge der Alpen. Das Koordinatensystem in Abbildung zeigt einige dieser Berge und Zermatt aus nördlicher Richtung. Nachfolgend sind die Koordinaten von Zermatt und der Berggipfel näherungsweise angegeben : (Die Koordinateneinheit ist ein Kilometer.) Zermatt: Z( 0, 6) Monte Rosa: R( 9, 6) Breithorn: B ( 0,) Matterhorn : M (5 6,5,5) Bitte runden Sie alle Ergebnisse auf eine Nachkommastelle, also auf 00 Meter. Alle Zeichenaufträge beziehen sich auf das Koordinatensystem der Abbildung. a) Während eines Rettungseinsatzes fliegt ein Hubschrauberteam einen Verletzten vom Gipfel des Breithorns B direkt nach Zermatt Z. Zeichnen Sie die Flugroute als Strecke BZ in das Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung einer Geraden g an, so dass die Flugroute entlang dieser Geraden verläuft. Berechnen Sie die Länge der Flugroute. ( Punkte) b) Hubschrauberflüge finden häufig statt. Die Flugroute von Zermatt Z zum Gipfel des Breithorns B verläuft entlang der Geraden g und die Flugroute von Gipfel des Monte Rosa R zum Gipfel des Matterhorns M entlang der Geraden h : 9 g: x 0 r 0, 6, 6 und Zeigen Sie, dass die Flugrouten sich nicht treffen. h: x 9 s 5,5,6 0, (5 Punkte) Der höchste Berg der Schweiz ist der Monte Rosa R mit 6 m über NN (NN=Normalnull entspricht dem Meeresspiegel). In der Mitte des Panoramas liegt das Breithorn B (6m) und in der Ansicht rechts das vielbestiegene Matterhorn M (8m). Bildnachweis Matterhorn: MAT-GK-TR-N Aufgabe 5 Seite von

2 Abitur 0 - Grundkurs Mathematik c) In Zermatt Z wird ein Pfosten mit Schildern aufgestellt, die auf die umliegenden Berggipfel zeigen (siehe Abbildung ). Die Schilder zum Breithorn und zum Matterhorn können nach Sicht angebracht werden, beim Schild in Richtung Monte Rosa R ist die Sicht versperrt. Gegeben ist der Vektor von Zermatt Z zum Gipfel Monte Rosa R mit 0 0 waagerecht ZR 9 und der Vektor v 9. 0 Zeichnen Sie die Vektoren ZR Abbildung und v als Pfeile mit Ausgangspunkt Z in das Koordinatensystem ein. Der Winkel zwischen den beiden oben gegebenen Vektoren gibt an, wie schräg das Schild in Richtung Gipfel Monte Rosa R angebracht werden muss (siehe Abbildung ). Berechnen Sie den Winkel. ( Punkte) d) In der folgenden Aufgabe wird gezeigt, dass die Sicht von Zermatt in Richtung Monte Rosa durch einen kleinen Berg versperrt wird. Die Oberkante des kleinen Berges wird durch die Bergstation Sunnegga S(0,5, ) und einen weiteren Punkt P(8 0,5,) beschrieben. Zeichnen Sie Punkte S und P und die senkrecht darunter liegenden Punkte S '(0,5 0) und P ' der xx -Ebene in das Koordinatensystem ein. Verbinden Sie die Punkte zu einem Viereck SPP' S '. Sei E die Ebene, die die vier Punkte des Vierecks SPP' S ' enthält. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E. [Falls Sie die Koordinatengleichung nicht berechnet haben, rechnen Sie im Folgenden mit E: xx.] Die Gerade k verbindet Zermatt Z mit dem Gipfel des Monte Rosa R : 0 k: x 0 r 9, 6 Ermitteln Sie den Durchstoßpunkt der Gerade k mit der Ebene E. [Gerundete Lösung zur Kontrolle: D(9,6,,0) ]. Zeichnen Sie den Durchstoßpunkt D ein. Begründen Sie ohne Rechnung, dass man von Zermatt Z den Gipfel des Monte Rosa R nicht sehen kann. ( Punkte) MAT-GK-TR-N Aufgabe 5 Seite von

3 Freie Hansestadt Bremen Schriftliche Abiturprüfung 0 Lehrermaterialien Grundkurs Mathematik Aufgabe 5 Erwartungshorizont und Bewertung nach Anforderungsbereichen Monte Rosa R Breithorn B X Matterhorn M ZR BZ v S D Z Zermatt P S X P X Lösungsskizze Bewertung I II III a) Einzeichnen der Strecke ZB. 9 Mögliche Geradengleichung: g: x 0 r 0.,,6 9 BZ 0 86,6 9,,6 Die Länge der Luftlinie des Fluges beträgt ca. 9, Kilometer. b) Da die zweite Koordinate des Richtungsvektors der Geraden g gleich 0 ist, ist dieser Vektor parallel zur x -Achse. Dies trifft bei dem Richtungsvektor der Geraden h nicht zu. Daher sind die beiden Richtungsvektoren nicht parallel. (Alternativ: mit Rechnung zur linearen Unabhängigkeit der Vektoren). Überprüfung, ob ein Schnittpunkt vorhanden ist: r 0 9 s 5,5 r 0 s 5,5 9, 6, 6, 6 0,, 6 0, Die oberen beiden Zeilen führen zu r 8 / 9 0,85 und s 8 / 0,58, dies MAT-GK-TR-N-L Erwartungshorizont Aufgabe 5 Seite von

4 Abitur 0 - Grundkurs Mathematik Monte Rosa R Breithorn B X Matterhorn M Z Zermatt X X Abbildung Die im Aufgabentext enthaltenen Koordinaten sind hier noch einmal angegeben: (Die Koordinateneinheit ist ein Kilometer.) Zermatt: Z( 0, 6) Monte Rosa: R( 9, 6) Breithorn: B ( 0,) Matterhorn: M (5 6,5,5) Sunnegga: S(0,5, ) weiterer Punkt: P(8 0,5,) MAT-GK-TR-N Aufgabe 5 Seite von

5 Freie Hansestadt Bremen Schriftliche Abiturprüfung 0 Lehrermaterialien Grundkurs Mathematik führt, eingesetzt in die unterste Zeile, zu dem Widerspruch: r, 6 s( 0,) 0,85, 6 s( 0,), Somit sind die Geraden g und h windschief und die Flugrouten treffen sich nicht. c) Vektoren einzeichnen. Winkelberechnung: cos( ) 0,960, ( 0) ( 9) () ( 0) (9) 90 8 also,6. Der Winkel beträgt ca.,6. d) SPS,, ', P' einzeichnen, Viereck SPP' S ' einzeichnen (siehe Koordinatensystem). Koordinatengleichung: Ansatz E: axbx, da die Ebene parallel zur x -Achse ist und nicht durch den Ursprung geht. S: 0a,5b Einsetzen von S und P liefert das LGS: P: 8a 0,5b mit Lösung a und b. Wir erhalten x x bzw. E: x x. Alternativ kann die Koordinatengleichung mit Hilfe dreier Punkte aufgestellt werden. Durchstoßpunkt: Das Einsetzen der ersten beiden Zeilen der Geradengleichung k in die Ebenengleichung E liefert: ( 0 r) ( 9 r) und damit r. Die Koordinaten des Durchstoßpunktes erhalten wir mit r, eingesetzt in g : 0 6 / 6 9 OD 0 9 9/, also D( ), 6 / 5 5 Einzeichnen von D (siehe Koordinatensystem). D(9,6, ) Mögliche Lösung: Da die Höhe des Durchstoßpunktes D kleiner als Höhe beider Punkte S und P des kleinen Berges ist und die beiden anderen Koordinaten von D jeweils zwischen denen von S und P liegen, liegt D innerhalb des Vierecks SPP' S '. Die Sicht auf den Gipfel des Monte Rosa ist also vom Standpunkt Z in Zermatt durch den kleinen Berg versperrt. 5 6 Verteilung der insgesamt 5 Bewertungseinheiten auf die Anforderungsbereiche 0 MAT-GK-TR-N-L Erwartungshorizont Aufgabe 5 Seite von

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