Gliederung. Differentielle Bewegungen. Gliederung (cont.)

Transkript

1 - Gliederung Jianwei Zhang Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Technische Aspekte Multimodaler Systeme 15. May 2012 Allgemeine Informationen Einführung Koordinaten eines Manipulators Kinematik-Gleichungen Inverse Kinematik von Manipulatoren Differentielle Translation und Rotation Differentielle homogene Transformation Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse Trajektoriegenerierung J. Zhang 128 J. Zhang 129 Gliederung (cont.) Differentielle Bewegungen Trajektoriengenerierung Einführung in RCCL Dynamik Roboterregelung Architekturen sensorbasierter intelligenter Systeme Aus- und Rückblick Es gilt p(t) = p(t + t) p(t) = (T (t + t) T (t))p 0 = ( T (t))p 0 J. Zhang 130 J. Zhang 131

2 Differentielle Bewegungen Ableitung einer homogenen Transformation - I wobei T eine 4 4 homogene Matrix von x 0 y 0 z 0 zu xyz ist und p 0 bezüglich x 0 y 0 z 0 ist. somit gilt: p(t) ṗ(t) = lim t 0 t = ( = dt (t) p 0 dt dt (t) T 1 (t))t (t)p 0 = ( dt dt (t) T 1 (t))p dt Gegeben sei eine Transformation T : t 1,1 t 1,2 t 1,3 t 1,4 T = t 2,1 t 2,2 t 2,3 t 2,4 t 3,1 t 3,2 t 3,3 t 3,4 t 4,1 t 4,2 t 4,3 t 4,4 wobei jedes Element eine Funktion von einer bestimmten Variable x ist: dt = t 1,1 t 2,1 t 3,1 t 4,1 t 1,2 t 2,2 t 3,2 t 4,2 t 1,3 t 2,3 t 3,3 t 4,3 t 1,4 t 2,4 t 3,4 t 4,4 dx J. Zhang 132 J. Zhang 133 Ableitung einer homogenen Transformation - I - Differentielle Translation und Rotation Differentielle Translation und Rotation - I Beispiel: cos θ sin θ cos α sin θ sin α a cos θ A = sin θ cos θ cos α cos θ sin α a sin θ 0 sin α cos α d da =? Fall 1: Die differentielle Translation und Rotation seien bezüglich des Basis-Koordinatenframes. Sei eine homogene Transformation gegeben: T + dt = Trans dx,dy,dz Rot k,dθ T wobei Trans dx,dy,dz : eine Transformation, die eine Translation von dz, dy, dz in Basis-Koordinaten darstellt. Rot k,dθ : eine Transformation, die eine differentielle Drehung dθ um einen Vektor k in Basis-Koordinaten darstellt. dt kann wie folgt berechnet werden: dt = (Trans dx,dy,dz Rot k,dθ I )T (21) J. Zhang 134 J. Zhang 135

3 - Differentielle Translation und Rotation - Differentielle homogene Transformation Differentielle Translation und Rotation - II Differentielle homogene Transformation - I Fall 2: Die differentielle Translation und Rotation seien bezüglich des gegebenen Koordinatenframes T : T + dt = TTrans dx,dy,dz Rot k,dθ wobei Trans dx,dy,dz : eine Transformation, die eine Translation von dz, dy, dz bezüglich des Koordinatenframes T darstellt. Rot k,dθ : eine Transformation, die eine differentielle Drehung dθ um einen Vektor k im Koordinatenframe T darstellt. dt kann wie folgt berechnet werden: Man definiert: = Trans dx,dy,dz Rot k,dθ I Dann wird (21) zu: dt = T (22) wird zu: dt = T T dt = T (Trans dx,dy,dz Rot k,dθ I ) (22) J. Zhang 136 J. Zhang Differentielle homogene Transformation - Differentielle homogene Transformation Differentielle homogene Transformation - II Differentielle homogene Transformation - III Die Transformation der Translation um d: d x Trans d = d y d z wobei ein differentieller Vektor d die differentielle Veränderung d x i + dy j + dz k ( i, j, k sind drei Einheitsvektoren auf x, y, z) darstellt. k x k x versθ + cos θ k y k x versθ k z sin θ k z k x versθ + k y sin θ 0 Rot k,θ = k x k y versθ + k z sin θ k y k y versθ + cos θ k z k y versθ k x cos θ 0 k x k z versθ k y sin θ k y k z versθ + k z sin θ k z k z versθ + cos θ 0 (23) wobei versθ 1 cos θ. (Ableitung s. auch Paul 81, 1.12 General Rotation Transformation ) Die Transformation der Rotation mit θ um den Vektor k = k x i + ky j + kz k ist: J. Zhang 138 J. Zhang 139

4 - Differentielle homogene Transformation - Differentielle homogene Transformation Differentielle homogene Transformation - IV Differentielle homogene Transformation - V Es gilt: (23) wird dann zu: lim sin θ dθ θ 0 lim cos θ 1 θ 0 lim versθ 0 θ 0 1 k z dθ k y dθ 0 Rot k,θ = k z θ 1 k x dθ 0 k y dθ k x dθ 1 0 (24) d x 1 k z dθ k y dθ = d y k z θ 1 k x dθ d z k y dθ k x dθ k z dθ k y dθ d x = k z dθ 0 k x dθ d y k y dθ k x dθ 0 d z J. Zhang 140 J. Zhang Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse - I - Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse - II Wenn die Rotationen jeweils um x, y und z Achse sind, sind die Rotation-Transformationen wie folgt dargestellt: Cθ 0 Sθ 0 R x,ψ = 0 Cψ Sψ 0 0 Sψ Cψ 0 R y,θ = Sθ 0 Cθ 0 Cφ Sφ 0 0 R z,φ = Sφ Cφ J. Zhang 142 Wenn die differentielle Veränderung betrachtet sei, gilt es dann: sinθ δθ und cosθ δ y 0 R x,δx = 0 1 δ x 0 0 δ x 1 0 R y,δ y = δ y δ z 0 0 R z,φ = δ z J. Zhang 143

5 - Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse - III - Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse - IV Werden die Terme mit 2. Ordnung vernachlässigt, dann bekommen wir: 1 δ z δ y 0 R z,δx R y,δy R x,δz = δ z 1 δ x 0 δ y δ x 1 0 (25) Man vergleicht (24) und (25): k x dθ = δ x (141) kann wie folgt umgeschrieben werden: 0 δ z δ y d x = δ z 0 δ x d y δ y δ x 0 d z kann als Bestand von zwei Vektoren d und δ betrachtet werden. k y dθ = δ y k z dθ = δ z J. Zhang 144 J. Zhang 145 Gliederung Gliederung (cont.) Allgemeine Informationen Einführung Koordinaten eines Manipulators Kinematik-Gleichungen Inverse Kinematik von Manipulatoren Singuläre Konfigurationen Trajektoriegenerierung Trajektoriengenerierung Einführung in RCCL Dynamik Roboterregelung Architekturen sensorbasierter intelligenter Systeme Aus- und Rückblick J. Zhang 146 J. Zhang 147

6 - Singuläre Konfigurationen Singuläre Konfigurationen - I Eine Jacobi-Matrix ist eine multidimensionale Darstellung von Ableitungen. Die verbindet die Gelenkgeschwindigkeiten mit Kartesischen Geschwindigkeiten des TCP. Sei ein Manipulator mit 6 Freiheitsgraden betrachet: T 6 = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 dann gilt mit der Jacobi-Matrix: T 6 d x dq 1 T 6 d y dq 2 T 6 d z T 6 δ x = J 6 6 dq 3 dq 4 T 6 δ y dq 5 dq 6 T 6 δ z J. Zhang 148 Fragestellung: ist die Jacobi-Matrix invertierbar? Wenn ja, dann gilt: q = J 1 (q)ẋ um den Effektor eines Roboters im Kartesischen Arbeitsraum mit einer bestimmten Geschwindigkeit zu bewegen. J. Zhang Singuläre Konfigurationen Singuläre Konfigurationen - II Gliederung Bei den meisten Manipulatoren existieren Werte von q wo die Jacobi-Matrix singulär wird ( detj = 0, J nicht mehr invertiertbar). Solche Konfigurationen werden als Singuläritäten des Manipulators bezeichnet. Zwei Haupttypen von Singularitäten: Arbeitsraum-Grenze-Singuläritäten Arbeitsraum-Interne-Singuläritäten Beispiel 1: MHI PA 10-6C Beispiel 2: 2-Gelenkarm Allgemeine Informationen Einführung Koordinaten eines Manipulators Kinematik-Gleichungen Inverse Kinematik von Manipulatoren Trajektoriegenerierung Trajektoriengenerierung Einführung in RCCL Dynamik J. Zhang 150 J. Zhang 151

7 Gliederung (cont.) Roboterregelung Architekturen sensorbasierter intelligenter Systeme Aus- und Rückblick Montage Beispiel (Paul81, Chapter 5) Zuerst wurden eine Reihenfolge von Positionen des Manipulator-Endeffektors (pn) spezifiziert. J. Zhang 152 J. Zhang 153 -Montage Beispiel-(Forts.) -Montage Beispiel-(Forts.) MOVE p1 Fahre zum Bolzen MOVE p2 Stelle den Greifer über den Bolzen GRASP Greife den Bolzen MOVE p3 Aufhebe den Bolzen senkrecht MOVE p4 Fahre zum Loch an einem Winkel MOVE p5 Stopp beim Kontakt mit dem Loch MOVE p6 Richte den Bolzen aus MOVE p7 Füge den Bolzen ins Loch ein RELEASE Lasse den Bolzen los MOVE p8 Fahre vom Bolzen weg Dann kann die gesamte Aufgabe mit einigen primitiven Roboteroperationen bezüglich dieser numerierten Positionen beschrieben werden: MOVE pn = MOVE Z T 6 E J. Zhang 154 J. Zhang 155

8 -Montage Beispiel-(Forts.) -Montage Beispiel-(Forts.) wobei die folgenden Repräsentationen gelten: Z: die Basis-Position des Manipulators bezüglich des Welt-Koordinaten-systems; Weiterhin werden noch die folgenden Transformationen eingeführt: T 6 : das Manipulator-Ende bezüglich seines Basis-Koordinatensystems; E: ein Werkzeug oder ein Endeffektor am Manipulator-Ende. J. Zhang 156 J. Zhang 157 -Montage Beispiel-(Forts.) -Montage Beispiel-(Forts.) P: die Position des Bolzens im Basis-Koordinatensystem H: die Position des Würfels mit zwei Löchern H HR i : die Position des betrachteten i-ten Lochs im Würfel bezüglich des H-Koordinaten-systems P PG: die Greifposition auf dem Bolzen bezüglich des P-Koordinatensystems P PA: die Annäherungsposition des Greifers zum Bolzen P PD: die Verlasseposition des Greifers zum Bolzen HR PHA: die Annäherungsposition des Greifers zum i-ten Loch HR PCH: die Kontaktposition des Bolzens auf dem Loch HR PAL: die Einfügeposition des Bolzens HR PN: die Endposition nach dem Einfügen des Bolzens in das Loch Die Aufgabe kann nun als eine Reihe von Gleichungen der Transformationen, aus denen die T 6 -Matrizen gelöst werden können, dargestellt werden: p1: Z T 6 E = P PA p2: Z T 6 E = P PG : Grasp p3: Z T 6 E = P PD PG p4: Z T 6 E = H HR i PHA PG p5: Z T 6 E = H HR i PCH PG p6: Z T 6 E = H HR i PAL PG : RELEASE p8: Z T 6 E = H HR i PN PA J. Zhang 158 J. Zhang 159

9 -Montage Beispiel-(Forts.) Beim Einsatz von einer Kamera Die Tool-Transformation: Dann gilt: T 6 E = Es wird noch eine Transformation CAM eingeführt: CAM: die Transformation vom Kamera zum Welt-Koordinatensystem PC: die Transformation vom Bolzen zum Kamera-Koordinatensystem Dann gilt es für die Position des Bolzens bezüglich des Welt-Koordinatenframes: P = CAM Über die Kamera-Welt-Kalibrierung kann CAM wie folgt erhalten werden: PC CAM = P PC 1 J. Zhang 160 J. Zhang 161 Beim Einsatz von einer Kamera-(Forts.) Gliederung Objektpositionen bezüglich des Kamera-Frames werden über die folgende Prozedur bekommen: READ(CAMERA, PC); Um den Manipulator zur Position p1 zu steuern, soll es gelten: ZT 6 E = P PA Dies bedeutet die folgende Berechnung von T 6 : T 6 = Z 1 P PA E 1 Analog werden die Positionierungen an p2 - p8 realisiert. Allgemeine Informationen Einführung Koordinaten eines Manipulators Kinematik-Gleichungen Inverse Kinematik von Manipulatoren Off-line Programmierung Trajektoriegenerierung Trajektoriengenerierung Einführung in RCCL J. Zhang 162 J. Zhang 163

10 Gliederung (cont.) Dynamik Roboterregelung Architekturen sensorbasierter intelligenter Systeme Aus- und Rückblick J. Zhang 164 "Teaching by Showing" Führe den Roboter zur Zielposition und Speichere die Trajektorie; (Optimierung); Play Back. Explizite Roboterprogrammierung Spezifikation der Roboterposition; (Manuelle) Umsetzung in explizite Programme mit einer Roboterprogrammiersprache; Drei Typen von Roboterprogrammiersprachen: Spezielle Manipulationssprache: z. B. VAL, V+... Roboterbibliothek für eine Standard-Computersprache: z.b. Robot-Basic, Robot-Pascal, RCCL... Roboterbibliothek auch als eine allgemeine Programmiersprache: z.b. AML von IBM, KAREL von GMF... J. Zhang 165 -(Forts.) - Off-line Programmierung Off-line Programmierung - I Roboterprogrammierung auf Aufgabenebene nicht mehr notwendig, dem Roboter das how-to-do zu erklären, sondern lediglich what-to-do z.b. HANDY von MIT AI Lab, verfüge über Planungskomponente; auch sensorbasierte Bewegungen sind wünschenswert. J. Zhang 166 wird von einem Computer-Graphik-System unterstützt, ermöglicht, Roboterprogramme ohne Zugriff des realen Roboters zu entwickeln. Vorteile: Effizienz der Programmierung, Sicherheit, Reduzierung der Stillegungszeit der Produktionslinie. Die wichtigsten Bestandsteile: Benutzerschnittstelle 3D Objektmodellierung Simulation von Kinematik, Dynamik, Multiprocesse, Sensoren Emulation von Bahnplanung Übertragung der Programmiersprache zum Zielsystem Kalibrierung von Roboter-Welt, Roboter-Sensor, Sensor-Welt J. Zhang 167

11 - Off-line Programmierung Off-line Programmierung - II Die noch gewünschten Funktionalitäten: Automatische Layoutplanung einer Roboterzelle Kollisionvermeidung und Bahnoptimierung Planung von koordinierten Bewegungen Simulation von Kraftregelung Automatische Schätzung von Fehlern und Toleranzen Automatische Scheduling von mehreren Arbeitszellen J. Zhang 168