Einführung in die Robotik. Jianwei Zhang

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1 - Jianwei Zhang Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Technische Aspekte Multimodaler Systeme 03. May 2011 J. Zhang 129 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Gliederung Allgemeine Informationen Einführung Koordinaten eines Manipulators Kinematik-Gleichungen Inverse Kinematik von Manipulatoren Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Differentielle Translation und Rotation Differentielle homogene Transformation Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse Jacobi-Matrix eines Manipulators Robotergrammierung auf drei Ebenen Trajektoriegenerierung J. Zhang 130

2 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Gliederung (cont.) Trajektoriengenerierung Einführung in RCCL Dynamik Roboterregelung Architekturen sensorbasierter intelligenter Systeme Aus- und Rückblick J. Zhang 131 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Differentielle Bewegungen Es gilt p(t) = p(t + t) p(t) = (T (t + t) T (t))p 0 = ( T (t))p 0 J. Zhang 132

3 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Differentielle Bewegungen wobei T eine 4 4 homogene Matrix von x 0 y 0 z 0 zu xyz ist und p 0 bezüglich x 0 y 0 z 0 ist. somit gilt: p(t) ṗ(t) = lim t 0 t = ( = dt (t) p 0 dt dt (t) T 1 (t))t (t)p 0 = ( dt dt (t) T 1 (t))p dt J. Zhang 133 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Ableitung einer homogenen Transformation - I Gegeben sei eine Transformation T : t 1,1 t 1,2 t 1,3 t 1,4 T = t 2,1 t 2,2 t 2,3 t 2,4 t 3,1 t 3,2 t 3,3 t 3,4 t 4,1 t 4,2 t 4,3 t 4,4 wobei jedes Element eine Funktion von einer bestimmten Variable x ist: dt = t 1,1 t 2,1 t 3,1 t 4,1 t 1,2 t 2,2 t 3,2 t 4,2 t 1,3 t 2,3 t 3,3 t 4,3 t 1,4 t 2,4 t 3,4 t 4,4 dx J. Zhang 134

4 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Ableitung einer homogenen Transformation - I Beispiel: A = cos θ sin θ cos α sin θ sin α a cos θ sin θ cos θ cos α cos θ sin α a sin θ 0 sin α cos α d da =? J. Zhang 135 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle Translation und Rotation Differentielle Translation und Rotation - I Fall 1: Die differentielle Translation und Rotation seien bezüglich des Basis-Koordinatenframes. Sei eine homogene Transformation gegeben: T + dt = Trans dx,dy,dz Rot k,dθ T wobei Trans dx,dy,dz : eine Transformation, die eine Translation von dz, dy, dz in Basis-Koordinaten darstellt. Rot k,dθ : eine Transformation, die eine differentielle Drehung dθ um einen Vektor k in Basis-Koordinaten darstellt. dt kann wie folgt berechnet werden: dt = (Trans dx,dy,dz Rot k,dθ I )T (21) J. Zhang 136

5 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle Translation und Rotation Differentielle Translation und Rotation - II Fall 2: Die differentielle Translation und Rotation seien bezüglich des gegebenen Koordinatenframes T : T + dt = TTrans dx,dy,dz Rot k,dθ wobei Trans dx,dy,dz : eine Transformation, die eine Translation von dz, dy, dz bezüglich des Koordinatenframes T darstellt. Rot k,dθ : eine Transformation, die eine differentielle Drehung dθ um einen Vektor k im Koordinatenframe T darstellt. dt kann wie folgt berechnet werden: dt = T (Trans dx,dy,dz Rot k,dθ I ) (22) J. Zhang 137 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle homogene Transformation Differentielle homogene Transformation - I Man definiert: = Trans dx,dy,dz Rot k,dθ I Dann wird (21) zu: dt = T (22) wird zu: dt = T T J. Zhang 138

6 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle homogene Transformation Differentielle homogene Transformation - II Die Transformation der Translation um d: d x Trans d = d y d z wobei ein differentieller Vektor d die differentielle Veränderung d x i + dy j + dz k ( i, j, k sind drei Einheitsvektoren auf x, y, z) darstellt. Die Transformation der Rotation mit θ um den Vektor k = k x i + ky j + kz k ist: J. Zhang 139 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle homogene Transformation Differentielle homogene Transformation - III k x k x versθ + cos θ k y k x versθ k z sin θ k z k x versθ + k y sin θ 0 Rot k,θ = k x k y versθ + k z sin θ k y k y versθ + cos θ k z k y versθ k x cos θ 0 k x k z versθ k y sin θ k y k z versθ + k z sin θ k z k z versθ + cos θ 0 (23) wobei versθ 1 cos θ. (Ableitung s. auch Paul 81, 1.12 General Rotation Transformation ) J. Zhang 140

7 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle homogene Transformation Differentielle homogene Transformation - IV Es gilt: lim sin θ dθ θ 0 lim cos θ 1 θ 0 lim versθ 0 θ 0 (23) wird dann zu: Rot k,θ = 1 k z dθ k y dθ 0 k z θ 1 k x dθ 0 k y dθ k x dθ 1 0 (24) J. Zhang 141 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle homogene Transformation Differentielle homogene Transformation - V = d x 1 k z dθ k y dθ d y k z θ 1 k x dθ d z k y dθ k x dθ k z dθ k y dθ d x = k z dθ 0 k x dθ d y k y dθ k x dθ 0 d z J. Zhang 142

8 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse - I Wenn die Rotationen jeweils um x, y und z Achse sind, sind die Rotation-Transformationen wie folgt dargestellt: R x,ψ = Cψ Sψ 0 0 Sψ Cψ 0 R y,θ = Cθ 0 Sθ Sθ 0 Cθ 0 R z,φ = Cφ Sφ 0 0 Sφ Cφ J. Zhang 143 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse - II Wenn die differentielle Veränderung betrachtet sei, gilt es dann: sinθ δθ und cosθ δ y 0 R x,δx = 0 1 δ x 0 0 δ x 1 0 R y,δ y = δ y δ z 0 0 R z,φ = δ z J. Zhang 144

9 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse - III Werden die Terme mit 2. Ordnung vernachlässigt, dann bekommen wir: 1 δ z δ y 0 R z,δx R y,δy R x,δz = δ z 1 δ x 0 δ y δ x 1 0 (25) Man vergleicht (24) und (25): k x dθ = δ x k y dθ = δ y k z dθ = δ z J. Zhang 145 Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen - Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse Differentielle Rotationen um x-, y-, z-achse - IV (5) kann wie folgt umgeschrieben werden: 0 δ z δ y d x = δ z 0 δ x d y δ y δ x 0 d z kann als Bestand von zwei Vektoren d und δ betrachtet werden. J. Zhang 146

10 Jacobi-Matrix eines Manipulators Gliederung Allgemeine Informationen Einführung Koordinaten eines Manipulators Kinematik-Gleichungen Inverse Kinematik von Manipulatoren Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Jacobi-Matrix eines Manipulators Singuläre Konfigurationen Robotergrammierung auf drei Ebenen Trajektoriegenerierung Trajektoriengenerierung Einführung in RCCL J. Zhang 147 Jacobi-Matrix eines Manipulators Gliederung (cont.) Dynamik Roboterregelung Architekturen sensorbasierter intelligenter Systeme Aus- und Rückblick J. Zhang 148

11 Jacobi-Matrix eines Manipulators Jacobi-Matrix eines Manipulators Eine Jacobi-Matrix ist eine multidimensionale Darstellung von Ableitungen. Die Jacobi-Matrix eines Manipulators verbindet die Gelenkgeschwindigkeiten mit Kartesischen Geschwindigkeiten des TCP. Sei ein Manipulator mit 6 Freiheitsgraden betrachet: T 6 = A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 dann gilt mit der Jacobi-Matrix: T 6 d x dq 1 T 6 d y dq 2 T 6 d z T 6 δ x = J 6 6 dq 3 dq 4 T 6 δ y dq 5 dq 6 T 6 δ z J. Zhang 149 Jacobi-Matrix eines Manipulators - Singuläre Konfigurationen Singuläre Konfigurationen - I Fragestellung: ist die Jacobi-Matrix invertierbar? Wenn ja, dann gilt: q = J 1 (q)ẋ um den Effektor eines Roboters im Kartesischen Arbeitsraum mit einer bestimmten Geschwindigkeit zu bewegen. J. Zhang 150

12 Jacobi-Matrix eines Manipulators - Singuläre Konfigurationen Singuläre Konfigurationen - II Bei den meisten Manipulatoren existieren Werte von q wo die Jacobi-Matrix singulär wird ( detj = 0, J nicht mehr invertiertbar). Solche Konfigurationen werden als Singuläritäten des Manipulators bezeichnet. Zwei Haupttypen von Singularitäten: Arbeitsraum-Grenze-Singuläritäten Arbeitsraum-Interne-Singuläritäten Beispiel 1: MHI PA 10-6C Beispiel 2: 2-Gelenkarm J. Zhang 151 Gliederung Allgemeine Informationen Einführung Koordinaten eines Manipulators Kinematik-Gleichungen Inverse Kinematik von Manipulatoren Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Jacobi-Matrix eines Manipulators Robotergrammierung auf drei Ebenen Trajektoriegenerierung Trajektoriengenerierung Einführung in RCCL Dynamik J. Zhang 152

13 Gliederung (cont.) Roboterregelung Architekturen sensorbasierter intelligenter Systeme Aus- und Rückblick J. Zhang 153 Montage Beispiel (Paul81, Chapter 5) Zuerst wurden eine Reihenfolge von Positionen des Manipulator-Endeffektors (pn) spezifiziert. J. Zhang 154

14 -Montage Beispiel-(Forts.) Dann kann die gesamte Aufgabe mit einigen primitiven Roboteroperationen bezüglich dieser numerierten Positionen beschrieben werden: J. Zhang 155 -Montage Beispiel-(Forts.) MOVE p1 Fahre zum Bolzen MOVE p2 Stelle den Greifer über den Bolzen GRASP Greife den Bolzen MOVE p3 Aufhebe den Bolzen senkrecht MOVE p4 Fahre zum Loch an einem Winkel MOVE p5 Stopp beim Kontakt mit dem Loch MOVE p6 Richte den Bolzen aus MOVE p7 Füge den Bolzen ins Loch ein RELEASE Lasse den Bolzen los MOVE p8 Fahre vom Bolzen weg MOVE pn = MOVE Z T 6 E J. Zhang 156

15 -Montage Beispiel-(Forts.) wobei die folgenden Repräsentationen gelten: Z: die Basis-Position des Manipulators bezüglich des Welt-Koordinaten-systems; T 6 : das Manipulator-Ende bezüglich seines Basis-Koordinatensystems; E: ein Werkzeug oder ein Endeffektor am Manipulator-Ende. J. Zhang 157 -Montage Beispiel-(Forts.) Weiterhin werden noch die folgenden Transformationen eingeführt: J. Zhang 158

16 -Montage Beispiel-(Forts.) P: die Position des Bolzens im Basis-Koordinatensystem H: die Position des Würfels mit zwei Löchern H HR i : die Position des betrachteten i-ten Lochs im Würfel bezüglich des H-Koordinaten-systems P PG: die Greifposition auf dem Bolzen bezüglich des P-Koordinatensystems P PA: die Annäherungsposition des Greifers zum Bolzen P PD: die Verlasseposition des Greifers zum Bolzen HR PHA: die Annäherungsposition des Greifers zum i-ten Loch HR PCH: die Kontaktposition des Bolzens auf dem Loch HR PAL: die Einfügeposition des Bolzens HR PN: die Endposition nach dem Einfügen des Bolzens in das Loch J. Zhang 159 -Montage Beispiel-(Forts.) Die Aufgabe kann nun als eine Reihe von Gleichungen der Transformationen, aus denen die T 6 -Matrizen gelöst werden können, dargestellt werden: p1: Z T 6 E = P PA p2: Z T 6 E = P PG : Grasp p3: Z T 6 E = P PD PG p4: Z T 6 E = H HR i PHA PG p5: Z T 6 E = H HR i PCH PG p6: Z T 6 E = H HR i PAL PG : RELEASE p8: Z T 6 E = H HR i PN PA J. Zhang 160

17 -Montage Beispiel-(Forts.) Die Tool-Transformation: Dann gilt: T 6 E = J. Zhang 161 Beim Einsatz von einer Kamera Es wird noch eine Transformation CAM eingeführt: CAM: die Transformation vom Kamera zum Welt-Koordinatensystem PC: die Transformation vom Bolzen zum Kamera-Koordinatensystem Dann gilt es für die Position des Bolzens bezüglich des Welt-Koordinatenframes: P = CAM Über die Kamera-Welt-Kalibrierung kann CAM wie folgt erhalten werden: PC CAM = P PC 1 J. Zhang 162

18 Beim Einsatz von einer Kamera-(Forts.) Objektpositionen bezüglich des Kamera-Frames werden über die folgende Prozedur bekommen: READ(CAMERA, PC); Um den Manipulator zur Position p1 zu steuern, soll es gelten: ZT 6 E = P PA Dies bedeutet die folgende Berechnung von T 6 : T 6 = Z 1 P PA E 1 Analog werden die Positionierungen an p2 - p8 realisiert. J. Zhang 163 Robotergrammierung auf drei Ebenen Gliederung Allgemeine Informationen Einführung Koordinaten eines Manipulators Kinematik-Gleichungen Inverse Kinematik von Manipulatoren Differentielle Bewegungen mit homogenen Transformationen Jacobi-Matrix eines Manipulators Robotergrammierung auf drei Ebenen Off-line Programmierung Trajektoriegenerierung Trajektoriengenerierung Einführung in RCCL J. Zhang 164

19 Robotergrammierung auf drei Ebenen Gliederung (cont.) Dynamik Roboterregelung Architekturen sensorbasierter intelligenter Systeme Aus- und Rückblick J. Zhang 165 Robotergrammierung auf drei Ebenen Robotergrammierung auf drei Ebenen "Teaching by Showing" Führe den Roboter zur Zielposition und Speichere die Trajektorie; (Optimierung); Play Back. Explizite Roboterprogrammierung Spezifikation der Roboterposition; (Manuelle) Umsetzung in explizite Programme mit einer Roboterprogrammiersprache; Drei Typen von Roboterprogrammiersprachen: Spezielle Manipulationssprache: z. B. VAL, V+... Roboterbibliothek für eine Standard-Computersprache: z.b. Robot-Basic, Robot-Pascal, RCCL... Roboterbibliothek auch als eine allgemeine Programmiersprache: z.b. AML von IBM, KAREL von GMF... J. Zhang 166

20 Robotergrammierung auf drei Ebenen Robotergrammierung auf drei Ebenen-(Forts.) Roboterprogrammierung auf Aufgabenebene nicht mehr notwendig, dem Roboter das how-to-do zu erklären, sondern lediglich what-to-do z.b. HANDY von MIT AI Lab, verfüge über Planungskomponente; auch sensorbasierte Bewegungen sind wünschenswert. J. Zhang 167 Robotergrammierung auf drei Ebenen - Off-line Programmierung Off-line Programmierung - I wird von einem Computer-Graphik-System unterstützt, ermöglicht, Roboterprogramme ohne Zugriff des realen Roboters zu entwickeln. Vorteile: Effizienz der Programmierung, Sicherheit, Reduzierung der Stillegungszeit der Produktionslinie. Die wichtigsten Bestandsteile: Benutzerschnittstelle 3D Objektmodellierung Simulation von Kinematik, Dynamik, Multiprocesse, Sensoren Emulation von Bahnplanung Übertragung der Programmiersprache zum Zielsystem Kalibrierung von Roboter-Welt, Roboter-Sensor, Sensor-Welt J. Zhang 168

21 Robotergrammierung auf drei Ebenen - Off-line Programmierung Off-line Programmierung - II Die noch gewünschten Funktionalitäten: Automatische Layoutplanung einer Roboterzelle Kollisionvermeidung und Bahnoptimierung Planung von koordinierten Bewegungen Simulation von Kraftregelung Automatische Schätzung von Fehlern und Toleranzen Automatische Scheduling von mehreren Arbeitszellen J. Zhang 169