Verbindung Aspekte der Analysis und der Linearen Algebra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1

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1 Aspekte der Analysis und der Linearen Algebra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1

2 Aspekte der Analysis und der Linearen Algebra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2 Arbeitsauftrag für Gruppenarbeit Sie erhielten 2 auseinander genommene Milchtüten (Inhalt 1 Liter), eine von HANSANO (Tetra Pak), eine von Mili (VARIOPAK ). Beide Milchtüten haben eine quadratische Grundfläche, die Tüte von HANSANO schließt oben eben ab, die Tüte von Mili schließt oben mit einem kleinen Dach ab. Versuchen Sie zu klären, ob das zur Herstellung der Tüten nötige Material jeweils minimal ist. Entwerfen Sie dazu ein geeignetes mathematisches Modell. Notieren Sie sich, wie Sie vorgehen wollen und wozu die einzelnen Schritte dienen. Lösen Sie das mathematische Modell. Kommentieren Sie Ihre Lösungsschritte. Bewerten Sie Ihre Lösung im Sinne der Aufgabenstellung.

3 Aspekte der Analysis und der Linearen Algebra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 Computertomographie Erklärung des Worts: Schnitt schreiben, malen Bei einer Röntgenaufnahme wird ein dreidimensionales Objekt auf eine Ebene (zweidimensional) abgebildet. Bei der Computertomographie (und auch bei der Kernspintomographie) werden Schnittbilder räumlicher Gebilde erzeugt, es sind beliebige ebene Schnitte möglich. Wir werden zwei mathematische Modelle besprechen, ein diskretes und ein kontinuierliches. Beim diskreten Modell treten große Gleichungssysteme auf, die etwa diese Form haben: Modellierun

4 Aspekte der Analysis und der Linearen Algebra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4 Bevor wir uns klarmachen, wie dieses System (oder überhaupt ein solches System) zustande kommt, wollen wir uns mit einigen Eigenschaften und mit Möglichkeiten zu seiner Lösung vertraut machen. 1. Notieren Sie sich alles, was Ihnen an der Form des Gleichungssystems auffällt. 2. Überlegen Sie sich eine Möglichkeit zur näherungsweisen Lösung. In der Realität treten tausende von Gleichungen mit tausenden von Variablen auf; da ist eine exakte Lösung mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren nicht möglich. (Warum?) Entstehung des Systems Wir denken uns das sechsteilige Raster, das nebenstehend abgebildet ist, als zu erforschende Fläche (z.b. Schnitt durch das Gehirn). Es wird ein Strahl mit einer bestimmten Intensität losgeschickt und seine Ausgangsintensität nach der Durchdringung des Rasters gemessen. Die Differenz ist der Absorptionsverlust, der proportional zur durchdrungenen Masse ist. Es interessiert jedoch die Masse jeder einzelnen Rasterfläche. Um diese zu erhalten, werden die Strahlen in verschiedene Richtungen gedreht, bis alle Rasterflächen mehrfach durchleuchtet wurden. Bei der näherungsweisen Lösung erweist sich eine Überbestimmung von 2-3 als günstig, das ist der Quotient aus der Anzahl der Gleichungen und der Anzahl der Variablen. In obigem Beispiel ist dieser Quotient 9/6 = 1,5. 3. Lösen Sie näherungsweise das nachfolgende System. 4. Notieren Sie sich allgemein die Schritte zur Lösung bei unserem Verfahren. Überlegen Sie sich, wie man das Verfahren geeignet abbrechen könnte, um im Falle der Konvergenz eine gute Lösung zu erhalten.

5 Aspekte der Analysis und der Linearen Algebra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 1. Durchgang: Näherung exakte Lösung Abweichung x 1 1,5 x 2 2,4 x 3 2,7 x 4 2,3 x 5 3,8 x 6 1,4 2. Durchgang: Näherung exakte Lösung Abweichung x 1 1,5 x 2 2,4 x 3 2,7 x 4 2,3 x 5 3,8 x 6 1,4

6 Aspekte der Analysis und der Linearen Algebra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 Kontinuierliches Modell In der Vergangenheit war die Radiologie an das analoge Medium des Films gefesselt und konnte sich deshalb nur im Rahmen einer ausschließlich erfahrungsbasierten, filmbetrachtenden Disziplin entwickeln. 1) Auf dieser Sichtweise basiert das nun folgende kontinuierliche (=analoge) Modell, das älter als das zunächst besprochene diskrete (=digitale) Modell ist. Wir interessieren uns für die Absorption bei jedem beliebigen Punkt X des Gehirns (längs des Weges des Röntgenstrahls), denn diese ist proportional zur Massendichte, die ja letztendlich in Form von Graustufen abgebildet werden soll. Die Massendichte für jeden dieser Punkte nennen wir f(x). X können wir verstehen als Punkt auf der Geraden Z +, die Parameterdarstellung des Röntgenstrahls. Zusätzlich sei s der längs dieser Geraden im Gehirn zurückgelegte Weg. Die Intensitätsabnahme an jeder Stelle des Gehirns ist direkt proportional zur Energie (Röntgenstrahlintensität) I an dieser Stelle. 1. Versuchen Sie diesen Sachverhalt mit einer Differentialgleichung zu modellieren und geben Sie deren Lösung an. 1) Aus Bildverarbeitung und Visualisierung für die Operationsplanung am Beispiel der Leberchirurgie Heinz-Otto Peitgen u.a. in Alles Mathematik (Vieweg September 2000), S. 31

7 Aspekte der Analysis und der Linearen Algebra!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7 Vielleicht haben Sie ja die Differentialgleichung aufgestellt. Diese hat das Lösungsschema I = I 0 e f s. Dabei ist I = I(s,f) die Austrittsintensität, s die Weglänge und f der materialabhängige Absorptionskoeffizient, der bei einem homogenen Medium eine Konstante wäre, hier aber bei jedem Punkt aus X IR 3 proportional zur jeweiligen Massendichte, also proportional zu den (uns unbekannten) Werten der Masseverteilung f(x) ist. Die konkreten Werte dieser Verteilung interessieren nicht, nur die Verhältniswerte, die wir dann in Graustufen abbilden wollen. Wir setzen daher den Proportionalitätsfaktor gleich 1, im Exponenten obigen Lösungsschemas steht f daher für die Funktionswerte f(x). Überdies - und jetzt kommt das Wesentliche - erfolgt die Absorption sozusagen in jedem Punkt X der Röntgenstrahlgeraden (innerhalb des Gehirns). Wir müssen daher längs der ganzen Geraden integrieren, also über alle Parameterwerte vom Eintrittspunkt des Röntgenstrahls in das Gehirn bis zu seinem Austritt. Und weil wir annehmen, dass außerhalb des Gehirns keine Absorption erfolgt, integrieren wir einfach von bis +. So ändert sich obiges Lösungsschema: I = I 0 e f s ))> 2. Welche Grundvorstellung des Integrals ist dabei eingesetzt worden? Nach Division durch I 0 und anschließendem Logarithmieren erhalten wir:. 3. Erläutern Sie die Einzelschritte der Rechnung. In obiger Gleichung ist der linke Wert durch Messung bekannt, die Funktion f unter dem Integral ist aber unbekannt (= gesucht). Eine solche Gleichung heißt Integralgleichung. Der österreichische Mathematiker Johann RADON ( ) hat neben vielen anderen wichtigen Ergebnissen in der Integrationstheorie bewiesen, dass man theoretisch aus unendlich vielen solcher Gleichungen die Funktion f eindeutig berechnen kann. In der Praxis führt die Lösung dieser Gleichungen letztlich zu dem oben besprochenen numerischen Verfahren, das wir aus dem diskreten Modell gewonnen hatten. 2) 2) Text und Abbildungen für das diskrete Modell nach Hans-Christian Reichel / Johann Zöchling Tausend Gleichungen - und was nun? - Computertomographie als Einstieg in ein aktuelles Thema des Mathematikunterrichtes DdM 4, 1990, S , für das kontinuierliche Modell nach Hans-Christian Reichel u.a. Lehrbuch der Mathematik 8 öbv&hpt, Wien 3. Auflage 1999