Schülerworkshop Computertomographie Mathematik als Schlüsseltechnologie

Transkript

1 Schülerworkshop Computertomographie Mathematik als Schlüsseltechnologie Norbert Köckler 1. und 2. Juni 2007 Computertomographie und lineare Gleichungssysteme

2 Überblick zum CT-Vortrag 1. Einleitung Wer hats erfunden und was sind MRT und CT? 2. Das Prinzip eines Tomographen als Diashow. 3. Halbwertsdicke, Strahlenintensitäten und die Tomographieformel. 4. Was und wie wird gemessen und was wird berechnet? 5. Am Ende steht ein lineares Gleichungssystem!

3 Eine Reise durch das Gehirn Ein Gehirn in Schichten Bilder entstehen bei einer: Computer-Tomographie (Röntgenstrahlen) Magnet-Resonanz-Tomographie (Magnetfelder & Radiowellen)

4 Wer hat es ermöglicht? Johann Radon österreichischer Mathematiker Entwickelte 1917 ein mathematische Verfahren die sog. RadonTransformation. Die Radon-Transformation war damals noch fern jeglicher Anwendung.

5 Wer hat es erfunden? Allen M.Cormack amerikanischer Physiker Leistete die physikalischen Vorarbeit. Godfrey M. Hounsfield * 1919 britischer Ingenieur Entwickelte den ersten Prototypen eines CT. Sie erhielten für Ihre Arbeit den Nobelpreis in Medizin Die Nobelpreisträger für Medizin The Nobel Foundation

6 CT als interdisziplinäre Technologie (1/2) Physik Medizin Ermöglicht die Geräte Fordert gewisse Eigenschaften Informatik Mathematik Konstruiert ICs, stellt Datenstrukturen bereit Ermöglicht die Lösung der Gleichungen

7 CT als interdisziplinäre Technologie (2/2) Physik Medizin Modelliert neue Versuchsanordnung Erwartet spezielle Darstellung Informatik Mathematik Präsentiert neue Visualisierungen Erfindet schnelle Algorithmen zur Bildbearbeitung

8 CT oder MRT? Was heißt Tomographie? Computer-Tomographie (CT) CT, Quelle: Philips Tomos = Schichten + Graphie = Schreiben Magnet-Resonanz-Tomographie (MRT) MRT, Foto: Frank Luerweg

9 Prinzip der Tomographie als Diashow(1/9) Die Bestandteile einer Computer-Tomographie (Modell) Monitor StrahlenEmpfänger StrahlenSender Computer Patient

10 Prinzip der Tomographie als Diashow(9/9)...aus den geschwächten Strahlintensitäten das Schichtbild berechnet. Alle Bilder werden gespeichert.

11 CT in echt Das Foto zeigt eine reale Untersuchungssituation. Im Vordergrund erkennt man die Steuerung mit Computer und Bildschirm, im Hintergrund liegt eine Patientin auf dem Schlitten, der während der Untersuchung in das ringförmige CT-Gerät eingefahren war. Der Schlitten steht nun wieder vor dem Gerät und in Sekundenschnelle zeigt der Monitor das Auswertungsbild.

12 Verringerung der Intensität innerhalb von Schichten Wir lassen Röntgenstrahlung auf ein homogenes Material einwirken. Es sei bekannt, für welche Schichtdicke die Intensität der Strahlung beim Durchgang durch diese Schicht genau auf den halben Wert absinkt Eine Halbwertsdicke 100% 50% Noch eine Halbwertsdicke 25% Halbwertsdicke d h : Die Schichtdicke einer homogenen Schicht, bei der durchgehende Strahlung auf den halben Wert absinkt, wird Halbwertsdicke genannt.

13 Formel für die Intensitätsabnahme Die Intensität lässt sich beschreiben durch den Ansatz: d I d =I 0 e I d abhängig von: der Eingangsintensität I 0, Dabei ist die Intensität dem Absorptionskoeffizienten, der die Intensitätsabnahme pro Längeneinheit beschreibt, der bereits durchlaufenden Länge d.

14 Berechnung des Absorptionskoeffizienten Wir kennen das Ergebnis, wenn die Strahlung genau eine Halbwertsdicke eines homogenen Materials durchlaufen hat: d h I d h =I 0 e oder kurz: d h e =I 0 0,5 =0,5 Wir wenden die Umkehrfunktion ln x auf beide Seiten an: d h=ln 0,5 Wir erhalten somit für den Absorptionskoeffizienten: 1 ln 0,5 ln 2 = = dh dh

15 Wie sieht es mit inhomogenen Schichten aus? Zerlegung der inhomogenen Schicht in homogene Teilschichten: I 0 d2 d1 d3 d 4 I d 1 d 2 d 3 d Die Eingangsintensität für die zweite Schicht ist die Ausgangsintensität der ersten Schicht usw. Somit erhalten wir: 1 d 1 I d =I 0 e 2 d 2 e 3 d 3 e 4 d 4 e 1 d 1 2 d 2 3 d 3 4 d 4 =I 0 e Logarithmieren der Gleichung führt zur Tomographieformel: ln I d = 1 d 1 2 d 2 3 d 3 4 d 4 I 0

16 Wie läuft die Messung ab? Betrachten wir die Messung von einem 3x3 Objekt. Während der Untersuchung hat sich die Anordnung um das Objekt gedreht. Dabei wurden die Zellen einer Schicht mehrfach vom Strahlenbündel durchleuchtet. Zur Bestimmung der Dichteverteilung werden die Messwerte herangezogen, die die einzelnen Strahlen beim Durchlaufen von Zellen, die auf ihrem Weg lagen, geliefert haben. Wie vorher überlegt, nimmt die Intensität der Strahlen auf dem Weg vom Sender zum Empfänger abhängig vom Gewebe ab.

17 Mit welchen Daten wird gerechnet Betrachten wir genau eine Messung und nummerieren die Zellen durch: Dieser Strahl trifft Z7 und Z8 Weglänge in Zelle Z5 Z7 Z8 Z9 Z4 Z5 Z6 Z1 Z2 Z3 Die Strahlenintensität wird von dem Empfänger gemessen. Welche Zellen von den Strahlen getroffen worden sind, muss berechnet werden. Die Weglänge muss ebenfalls berechnet werden.

18 Getroffene Zellen und Weglänge Strahlen können mit einer Geradengleichung beschrieben werden. Welche Zellen trifft der Strahl mit der Gleichung g x =x 1? Der Strahl trifft die Zellen Z4 und Z8! Wie groß ist die Weglänge in den getroffenen Zellen? 3 2. Z8 Z9 Z4 Z5 Z6 Z1 Z2 Z3 2 Nach dem Satz von Pythagoras ist die Weglänge in jeder Zelle gleich Z

19 Schichten in Zellen einteilen Diskretisierung (1/2) Die eigentliche Aufgabe ist es, den Intensitätsverlust unendlich vieler Strahlen entlang einer Geraden kontinuierlich zu messen. Dabei ist der Abschwächungskoeffizient eine kontinuierliche Funktion. Man bekommt eine unendliche Menge von Integralen, unter denen die gesuchte Funktion steht: b I1 x dx= ln I a 0 Radon hat 1917 gezeigt, dass man aus unendlich vielen solchen Messungen die dreidimensionale Verteilung der Abschwächung berechnen kann.

20 Schichten in Zellen einteilen Diskretisierung (2/2) Rechnerisch lässt sich das nicht durchführen. Deshalb zerlegt man die durchstrahlte Scheibe in endlich viele Zellen, in denen der Abschwächungskoeffizient als konstant angenommen wird. Diese Diskretisierung liefert pro Strahl eine Gleichung der Form I1 L1 1 L2 2 Ln n= ln I0 Dabei sind n : die berechnete Anzahl der durchstrahlten Zellen, L j : die berechnete Länge des Strahls in Zelle Z j, I 0 : die gegebene Eingangsintensität, I 1 : die gemessene Ausgangsintensität, j : der unbekannte Abschwächungskoeffizient in Zelle Z j.

21 Lineares Gleichungssystem 1. Während sich der Empfänger und Sender um das Objekt drehen, werden die Intensitäten der Strahlen durch die Zellanordnung gemessen. 2. Für jeden Strahl wird über die Tomographieformel eine lineare Gleichung aufgestellt. 3. Es wird ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufgebaut. 4. Die Unbekannten des LGS sind die Absorptionskoeffizienten der vom Strahl getroffenen Zellen. 5. Durch Lösen des LGS erhält man die Absorptionskoeffizienten. 6. Diese Dichtewerte stellt man als Farbwert dar und erhält so ein Bild der Schicht.

22 Fragestellung zum Lösen von linearen Gleichungssystemen Wie viele Gleichungen benötigt man für eine sinnvolle Lösung? Wenn die Schicht mit einem n n Raster dargestellt wird, reichen dann stets n n Messungen aus? Müssen es genau n n Gleichungen/Messungen sein? Für ein Raster von ergeben sich Unbekannte. Wie löst man ein so großes Gleichungssystem? Im folgenden Vortrag werden wir uns mit diesen Fragen befassen!

23 Literaturquellen (1/2) Ich danke den Kollegen Loch und Schwebinghaus für die Genehmigung Ihre Internetseiten zu benutzen. Der größte Teil der bis hierher gesehenen Seiten, Bilder und Animationen stammt aus dem MathePrisma-Projekt, siehe unten unter 6. 1 GABOR T. HERMAN, Image Reconstruction from Projections: The Fundamentals of Computerized Tomography, Academic Press, New York, KIRCHGRABER, HARTMANN, HRSG., Lineare Gleichungssysteme - Ein Leitprogramm in Mathematik, ETH Zürich, KIRCHGRABER, STOFFER, Von gut und schlecht gestellten Problemen und ihrer Bedeutung (zum Beispiel für die Gesundheit), ETH Zürich, HOCHBRUCK, SAUTTER, Mathematik fürs Leben am Beispiel der Computertomographie, Universität Düsseldorf, Math. Semesterberichte 49, (2002). 5 CROY, KABADSHOW, Computertomographie CT (Projektarbeit Jugend forscht), Chemnitz, TU Freiberg, KARL-HEINZ LOCH, ULRICH SCHWEBINGHAUS, CT-Projekt im MathePrisma der Uni Wuppertal,

24 Bildquellen (2/2) Wir danken für die Bereitstellung der Fotos: Folie 5: Allan M. Cormack und Godfrey N. Hounsfield, The Nobel Foundation Folie 7: MRT-Untersuchung, Frank Luerweg Folie 17, Nebenpfad Realsituation: CT-Untersuchung, Philips CT-Tomograph, zugleich Startbild in der Modellmaschine II, Philips Film und Titelfotos einer Realuntersuchung, mit Genehmigung einer nicht namentlich genannten Patientin