Für das elektrische Potential um eine Punktladung gilt: Das elektrische Potential zwischen den Platten eines Kondensators ist

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1 E Für das elektrische Potential um eine Punktladung gilt: Das elektrische Potential eines Dipols ist: φ( r) = µ e µ e r 4πε 0 r 2 Das elektrische Potential zwischen den Platten eines Kondensators ist φ(z) = z 0 Edz + φ(0) = σ C ε 0 z + φ(0) Damit erhalten wir für die Spannung: U = φ = σ C ε0 d = d der Plattenabstand ist. q Aε 0 d, wenn 121

2 5.1.6 Die Kapazität Der Quotient aus Ladung und Spannung an einem Kondensator q U := C wird Kapazität C genannt mit der Einheit CV 1 = F (Farad nach Michael Faraday (* 22. September 1791 in Newington Butts bei London; 25. August 1867 bei Hampton Court)). Der Plattenkondensator hat eine Kapazität von C = Aε 0 d Parallelschaltung: Flächen addieren sich, also C ges = C 1 + C 2 Reihenschaltung: Abstände addieren sich, also 1 C ges = 1 C C 2 Für die Feldstärke im Kondensator gilt demnach E = U d. Für die Arbeit, die beim Aufladen des Kondensators verrichtet wird, gilt: W el = qdu = C UdU = 1 2 CU 2 = 1 q 2 2 C Diese Energie ist jetzt im Innern des Kondensators mit dem Volumen V = Ad gespeichert. Die Energiedichte beträgt also w el = 1 2Ad CU 2 = 1 2 ε 0E Materie im elektrischen Feld Wenn wir Materie im elektrischen Feld betrachten, so besteht diese aus Atomen, welche wiederum aus positiv geladenen Atomkernen und negativ geladenen Elektronen bestehen. Prinzipiell können wir jetzt zwei Arten von Materie unterscheiden: Leiter und Nichtleiter. Im Leiter können Ladungen über makroskopische Distanzen wandern, im Nichtleiter hingegen können Ladungen nur mikroskopisch aus ihrer Ruhelage verschoben werden. 122

3 Leiter In einem Leiter werden Ladungen sicher so lange verschoben, wie ein elektrisches Feld existiert. Betrachten wir jetzt einen Leiter im elektrischen Feld, so wird es dort zu einer Ladungstrennung kommen: die beweglichen Ladungen wandern aufgrund der auf sie ausgeübten Kraft. Diese Wanderung endet erst an der Oberfläche des Körpers. Diese Ladungstrennung im elektrischen Feld nennt man Influenz. Durch die Ladungstrennung bildet sich ein elektrisches Feld aus, das dem äusseren elektrischen Feld entgegeng gerichtet ist. Die Wanderung wird so lange anhalten, bis das interne Feld das äussere vollständig kompensiert. Im innern eines elektrischen Leiters gibt es kein makroskopisches elektrisches Feld. Das gilt nicht nur für massive Leiter, sondern auch für Hohlräume, die von einem Leiter umschlossen sind. Einen solchen Hohlraum nennt man Faraday Käfig. Ein Auto ist ein solcher Farady Käfig, weswegen man bei Gewitter im Auto ungefährdet ist. 123

4 Eine weitere Konsequenz der Beweglichkeit der Ladungen ist, dass das elektrische Feld stets senkrecht zur Oberfläche des Leiters orientiert ist. Wäre das nicht der Fall, gäbe es eine Komponente des elektrischen Feldes parallel zum Leiter, die zu einer Ladungsverscheibung führen würde, bis das Feld wiederum senkrecht auf dem Leiter stehen würde. Nichtleiter Im Nichtleiter führt ein äusseres elektrisches Feld zu einer Verschiebung der Ladungen aus der Ruhelage oder zur Drehung etwaiger elektrischer Dipole. Auch hier bildet sich ein inneres Feld aus, das dem äusseren entgegenwirkt, allerdings kann dieses nicht so gross werden, dass es das äussere kompensiert. 124

5 Den Quotienten aus den Feldstärken des von aussen angelegten und des inneren Feldes E A EI := ε nennt man Dielektrizitätszahl. Das Feld im innern ist also im Vergleich zu dem Feld im Vakuum um den Faktor ε reduziert. Auch die Verschiebung der Ladungen führt zu einer Flächenladungsdichte auf der Oberfläche des Dielektrikums, man sagt auch, zu einer Polarisation. Das durch die Flächenladungsdichte P erzeugte Feld E = P ε 0 ist dem äusseren Feld entgegen gerichtet, so dass wir erhalten: E I = E A P ε 0 Dabei wird P als Polarisation bezeichnet. Betrachten wir jetzt einen 125

6 Kondensator, in den wir ein Dielektrikum einbringen, so reduziert sich bei konstanter Ladung und konstantem Plattenabstand die Spannung um den Faktor ε, das heisst, die Kapazität erhöht sich um den Faktor ε: C = εε 0 A d Zellmembranen sind in guter Näherung Nichtleiter, während das Zytoplasma und das Ektoplasma leitfähig sind. Demzufolge kann eine Zelle als Kondensator aufgefasst werden, und Messungen der Kapazität erlauben Rückschlüsse über die Zusammensetzung der Zellmembran. Piezoelektrizität Die Verschiebung der Ladungen infolge eines äusseren elektrischen Feldes kann zu einer Verformung des Körpers führen. Umgekehrt kann natürlich die Deformation eines Körpers zur Verschiebung von Ladungen führen, so dass ein elektrisches Feld entsteht. Diesen, meist bei Kristallen beobachteten Effekt bezeichnet man als piezoelektrischen Effekt. Anwendung findet er z.b. in elektronischen Feuerzeugen bzw. der Umkehreffekt bei der Nanopositionierung. Darunter versteht man die auf 10 9 m genaue Positionierung, die zum Beispiel in Rastermikroskopen zum Einsatz kommt. 126

7 5.2 Der stationäre elektrische Strom Die Bewegung und damit den Transport von elektrischer Ladung unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes bezeichnen wir als elektrischen Strom. Betrachten wir Ladungen im Vakuum (z.b. Elektronen), so wird die auf die Ladungen wirkende Kraft zu einer Beschleunigung der Ladung führen. In einem Leiter können sich die Ladungen (meist ebenfalls Elektronen) nicht ungehindert bewegen, da sie mit andern Teilchen Zusammenstösse erleiden, die zu einem Impulsübertrag führen. Die Zahl der Zusammenstösse steigt sicher mit der Geschwindigkeit, weshalb ein Ansatz ähnlich der Stokes Reibung für die Reibungskraft, die der Bewegung der Ladungen entgegen gerichtet ist, gerechtfertigt ist: F R v Das heisst, die Ladung wird so lange beschleunigt, bis die Coulomb Kraft durch das elektrische Feld gleich der Reibungskraft ist, dann bewegt sie sich gleichförmig mit der sogenannten Driftgeschwindigkeit. Das heisst, bei zeitlich konstantem elektrischen Feld werden die Ladungen eine konstante Geschwindigkeit haben, was wir mit dem Begriff 127

8 stationär beschreiben. Im stationären Fall gilt: F C = F R qe = κv v = q κ E = ue wobei κ der Reibungskoeffizient und u die Beweglichkeit der Ladungsträger ist. Als Strom hatten wir bei der Hydrodynamik das durch eine Fläche transportierte Volumen je Zeiteinheit betrachtet. Als elektrischen Strom definieren wir die je Zeiteinheit durch eine Fläche transportierte Ladungsmenge: I := dq A dt = j C da A wobei j C die Ladungsstromdichte ist: j C = ϱ C v mit v der Driftgeschwindigkeit. Die Einheit der elektrischen Stromstärke ist das Ampére (abgekürzt A) Der elektrische Strom in metallischen Leitern Betrachten wir den Stromfluss durch einen metallischen Leiter der Länge l mit dem Querschnitt A, so erhalten wir für den Stromfluss mit E = U/l: I = ϱ C u A l U = 1 R U wobei R als ohmscher Widerstand bezeichnet wird. Dies ist das ohmsche Gesetz. Die Grösse r = 1 ϱ C wird als spezifischer Widerstand bezeichnet, da er vom Stoff abhängig ist. Damit erhalten wir R = r l. u A Die Arbeit, die der Stromfluss verrichtet, ist W el = qu = UI t 128

9 und damit die Leistung P el = W el t = UI Reihenschaltung von Widerständen Parallelschaltung von Widerständen Wir betrachten im folgenden Netzwerke von elektrischen Leitern, bestehend aus miteinander verknüpften Leitern (mit Widerständen). Die Elemente eines solchen Netzwerks werden als Knoten und Maschen bezeichnet. Die Gesetze der Ladungserhaltung j c da = 0 sowie der Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes Eds = 0 führen dann zu folgenden Regeln (Kirchhoffsche Regeln): 1. Kirchhoffsche Regel: Knotenregel Die Summe der Ströme zu einem Knoten ist gleich der Summe der Ströme, die vom Knoten weg gerichtet sind (Ladungserhaltung) 2. Kirchhoffsche Regel: Maschenregel Innerhalb einer Masche eines Netzwerks ist die Summe der Spannungsabfälle über den Widerständen gleich der Summe der sogenannen Urspannungen, das sind die Elemente, die das elektrische Feld aufbauen (Energieerhaltung) Der elektrische Strom in Flüssigkeiten Die Ladungsträger, die in Flüssigkeiten den Stromfluss realisieren, sind positiv und negativ geladene Ionen. Eine Lösung von Ionen in einer Flüssigkeit heisst Elektrolyt Zahl der Elementarladungen je Ion: Ladungszahl z 129

10 Gesamtladung eines Mols von Ionen mit der z=1: F = en A = C mol 1, Faraday-Konstante Positive Ionen wandern zur negativ geladenen Elektrode (Kathode): Kationen Negative Ionen wandern zur positiv geladenen Elektrode (Anode): Anionen Das Verhältnis von transportierter Ladung zur transportierten Masse (2. Faraday-Gesetz): q m = zf m Mol Der Elektrolyt zeigt ohmsches Verhalten: U = U G + RI wobei U G eine Grenzflächen Spannung ist, die wir gleich kennenlernen werden. Den spezifischen Widerstand des Elektrolyten können wir nun mit der Konzentration und der Beweglichkeit der Ionen ausdrücken: r = 1 zc(u + u )F Elektrische Grenzflächen Zwei Leiter im Kontakt: Unterschiedliche Austrittsarbeiten für Elektronen, es bildet sich eine Kontaktspannung Kein Strom, da sich die Kontaktspannungen kompensieren Bei unterschiedlichen Temperaturen der Kontakte: Thermospannung U therm = U Kont (T A ) U Kont (T B ) Temperaturmessung! 130

11 Grenzschicht zwischen zwei Elektrolyten: Osmose führt versucht Konzentration auszugleichen. Kann nur eine Ionensorte die Membran passieren, bildet sich Membranpotential aus Es gehorcht der Nernst-Gleichung U Memb = RT zf lnc 2 c 1 In Zellen: Aktive Kanäle, die Ionen transportieren, untersuchbar mit Patch-Clamp (Nobelpreis 1991 Neher und Sakmann) Grenzschicht zwischen Elektrolyt und Festkörper: chem. Reaktion (Redoxreaktion) führt zur Ausbildung einer Kontaktspannung. Verschiedene Stoffe haben unterschiedliche Kontaktspannungen. Auf diesem Prinzip beruhen die galvanischen Elemente (Batterien) Der elektrische Strom in Gasen Auch in Gasen können Ladungsträger einen Stromfluss realisieren, und zwar Ionen und Elektronen. Die Gasmoleküle müssen dazu ionisiert werden, was durch Stösse, Wärme, sowie Bestrahlung mit ionisiernder Strahlung geschehen kann. 131

12 A Anwendungen: Leuchtstoffröhre, Bogenlampen (Xenon-Scheinwerfer beim Auto) Der elektrische Strom im Vakuum Durch Injektion von Elektronen ins Vakuum können auch dort Ladungsträger durch ihre Bewegung einen Stromfluss realisieren. A 132

13 Anwendungen: Röhrendiode, Röhrentriode, Elektronenstrahloszilloskop, Fernseher, Streak Kameras. 5.3 Magnetostatik Kraftwirkung zwischen bestimmten Erzen ist seit dem Altertum bekannt: Kraftwirkung zwischen Magneten Die magnetische Kraft kann abstossend und anziehend sein. Jedoch: Es gibt keine getrennten magnetischen Ladungen, teilen wir einen Magneten, so hat er wieder Nord- und Südpol. Ein Magnet ist also immer Dipol. Warum gibt es keine fünfte fundamentale Wechselwirkung magnetische Kraft? Weil sich die magnetische Wechselwirkung auf die elektrische zurückführen lässt (mit Hilfe der speziellen Relativitätstheorie) Das magnetische Feld Analog zum elektrischen Feld führen wir ein magnetisches Feld ein, um die Wirkung auf einen elektrischen Dipol beschreiben zu können. Da es keine magnetische Ladung gibt, betrachten wir das magnetsiche Feld eines Dipols. Die magnetische Flussdichte eines solchen Dipols ist: B = pµ 0 4π 3( e p e r ) e r e p r 3 Die Einheit der magnetischen Flussdichte ist das Tesla, T = Vs m 2. Teilen wir die magnetische Flussdichte durch die magnetische Feldkonstante µ 0, so erhalten wir die magnetische Feldstärke H = B/µ 0 mit der Einheit V/m. Die magnetische Flussdichte multipliziert mit der Fläche ergibt den magnetischen Fluss Φ B = B A mit der Einheit Weber, Wb = Vs. In einem homogenen Magnetfeld wirkt auf einen Magneten (der stets ein Dipol ist) keine resultierende Kraft, sondern lediglich ein Drehmoment. 133

14 Da es keine magnetischen Monopole gibt, hat das magnetische Feld keine Quellen und keine Senken; das Oberflächenintegral der magnetischen Flussdichte über eine geschlossene Oberfläche ist also stets gleich Null: Bd A = 0 A Die Lorentz-Kraft Auf ein eine bewegte Ladung wirkt in einem Magnetfeld eine Kraft, die Lorentz-Kraft: F = q v B Da es sich um ein Kreuzprodukt handelt, steht die Kraft stets senkrecht auf der magnetsichen Flussdichte und auf der Geschwindigkeit. Ohne den Einfluss weiterer äusserer Kräfte führt ein geladenes Teilchen im Magnetfeld also eine Kreisbewegung aus. Für die Wirkung der Kraft ist die senkrecht auf B stehende Komponente des Magnetfeldes verantwortlich, bei v B verschwindet die Lorentz-Kraft. Letztendlich resultiert die Lorentz-Kraft aus der elektrischen Kraft und aus der speziellen Relativitätstheorie. Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld, so führt die Lorentz-Kraft zu einer Ladungstrennung und damit zu einer Spannung senkrecht zum Stromfluss. Dieser Effekt wird Hall-Effekt genannt. 134

15 B I U H Die Hall-Spannung U H hängt von der Stromstärke I, der magnetischen Flussdichte B, der Dichte der Ladungsträger ϱ C sowie der Dicke d des Leiters in Richtung des Magnetfeldes ab: U H = 1 ϱ C I B d Der Hall-Effekt erlaubt es, magnetische Flussdichten zu messen. Eine weitere Anwendung der Lorentz-Kraft ist im Massenspektrometer realisiert. Dazu wird die zu untersuchende Probe auf geeignete Art ionisiert. Diese Ionen werden in einem elektrischen Feld beschleunigt und treten in ein Magnetfeld, das senkrecht zur Geschwindigkeit orientiert ist, ein. Der Radius der Kreisbahn hängt von dem Verhältnis aus Ladung und Masse der Ionen ab. Auf diese Weise kann die chemische Zusammensetzung einer Probe untersucht werden. 135

16 Moderne Massenspektrometer basieren häufig auf Effekten im elektrischen Feld (Quadrupol-MS, MALDI-TOF) Elektrischer Strom und Magnetfeld Ein elektrischer Strom ist stets mit einem Magnetfeld verbunden. Um einen geraden Leiter bilden die magnetischen Feldlinien Kreise, wobei der Umlaufsinn nach der rechte-hand-regel bestimmt wird: zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung des Stromflusses, so zeigen die gekrümmten Finger in die Richtung des magnetischen Feldes. I Wickeln wir einen Leiter zu einer Spule der Länge l mit n Windungen auf, so entsteht im Inneren ein nahezu homogenes magnetisches Feld: H = ni l, B = ni l µ 0 Anwendungen finden Elektromagnete in Elektromotoren sowie in der Kern- 136

17 resonanzspektroskopie sowie -tomographie. Ausserdem kann über die Kraftwirkung eines Elektromagneten die Stromstärke gemessen werden Materie im magnetischen Feld Ähnlich wie sich elektrische Dipole im elektrischen Feld ausrichten, richten sich magnetische Dipole im magnetischen Feld aus. Diese Ausrichtung kann jedoch im Gegensatz zum elektrischen Feld auch zu einer Vergrösserung des magnetischen Flusses und der magnetischen Feldstärke führen. Für die magnetische Flussdichte im Inneren eines Körpers gilt: B in = µb aus wobei die Permeabilitätszahl µ mit der magnetischen Suszeptibilität χ magn über µ = 1 + χ magn zusammenhängt. Die Magnetisierung Meines Materials ist analog zur Polarisation definiert: B in = B aus + Mµ 0 Die magnetischen Eigenschaften des Materials werden durch χ magn charakterisiert, und zwar bezeichnen wir das Material für 1 < χ magn 0 als diamagnetisch, für 0 < χ magn als paramagnetisch und für 0 χ magn als ferromagnetisch. In einem dimagnetischen Material ist die magnetische Flussdichte also kleiner als im Aussenraum, in einem paramagnetischen etwa so wie im Aussenraum, und in einem ferromagnetischen deutlich grösser als im Aussenraum. 5.4 Zeitlich veränderliche Felder Bisher hatten wir uns im wesentlichen mit zeitlich konstanten Feldern und Strömen beschäftigt. Nun wollen wir sehen, was passiert, wenn wir diese Beschränkung aufheben. 137

18 5.4.1 Die magnetische Induktion Bewegen wir einen Leiter in einem magnetischen Feld mit einem Geschwindigkeitsvektor, der eine senkrecht zum magnetischen Fluss stehende Komponente hat, wird eine Lorentz-Kraft auf die in dem Leiter befindlichen Ladungsträger ausgeübt. Es bildet sich demzufolge eine Spannung an den Enden des Leiters bzw., wenn wir eine geschlossene Leiterschleife betrachten, zu einem Stromfluss. Eine detaillierte Untersuchung ergibt, dass in einer geschlossenen Leiterschleife immer dann ein Strom fliesst, wenn sich der magnetsche Fluss Φ B = Bd A durch diese Schleife zeitlich ändert, sei es durch eine Bewegung der Schleife oder durch eine Änderung der Flussdichte. Es gilt das Faradaysche Induktionsgesetz: U ind = dφ B dt Das negative Vorzeichen ist Ausdruck der Lenzschen Regel: Der durch die Bewegung induzierte Strom führt seinerseits zu einem magnetischen Feld, das der Ursache der Bewegung entgegenwirkt. 138

19 B v U Ind Anwendung findet die Induktion in Generatoren, im Fahrraddynamo, und auch bei der Messung von Bewegungen Die Selbstinduktion Ein zeitlich veränderlicher Strom durch eine Leiterschleife führt zu einem sich zeitlich verändernden Magnetfeld, das wiederum zur Induktion einer Spannung mit einem daraus resultierenden Stromfluss führt. Würde dieser Strom in die gleiche Richtung fliessen wie der ursprüngliche, käme es zu Verstärkung des Stromflusses über alle Massen, was der Energieerhaltung zuwider liefe. Die in der Leiterschleife induzierte Spannung führt also zu einem verringerten Stromfluss. Die in einer Spule mit n Leiterschleifen induzierte Spannung beträgt U ind = n 2 A di µµ 0 l dt 139

20 Die apparativen Daten können wir zusammenfassen: U ind = L di dt = H (Hen- wobei L die Induktivität der Spule mit der Einheit V = Vs A/s A ry) ist. = Wb A 140