Einleitung. Literatur. Informatik I. Literatur (2) Informatik allgemein

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1 Literatur Informatik I Grundlagen der Informatik Fachhochschule Niederrhein WS 2005/06 Prof. Dr. Rethmann Informatik allgemein Rechenberg: Was ist Informatik? Carl Hanser Verlag Gumm, Sommer: Einführung in die Informatik Oldenbourg Verlag Programmiersprache C Kernighan, Ritchie: Programmieren in C Carl Hanser Verlag Zeiner: Programmieren lernen mit C Carl Hanser Verlag 2 Literatur (2) Algorithmen Wirth: Algorithmen und Datenstrukturen Teubner Verlag Sedgewick: Algorithms, Addison-Wesley Ottmann, Widmayer: Algorithmen und Datenstrukturen BI Wissenschaftsverlag Cormen, Leiserson, Rivest: Introduction to Algorithms MIT Press Aho, Hopcroft, Ullman: Datastructures and Algorithms Addison-Wesley Einleitung 3 4

2 Informatik Informatik (2) Was ist das? Kunstwort aus Information und Mathematik Informatik ist eng mit Computern verknüpft: solange es keine Computer gab, gab es auch keine Informatik elektronische Rechenmaschine entstand um 1940 Ursprung Rechnen galt bis Anfang der Neuzeit als Kunst heute kann jeder die vier Grundrechenarten ausführen * mechanisch ausführbares Verfahren, dass nicht verstanden werden muss, um es anwenden zu können * kann einer Maschine übertragen werden kann 5 Algorithmus mechanisch ausführbares Rechenverfahren bildet den Kern der Informatik nach dem persischen Mathematiker Al-Chowarizmi Beispiel: Euklidischer Algorithmus berechne größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen p und q Euklid lebte etwa 300 v.chr. 6 Informatik (3) Informatik (4) Euklidischer Algorithmus 1. Man dividiere p ganzzahlig durch q. Dabei erhält man den Rest r, der zwischen 0 und q 1 liegt. 2. Wenn r = 0 ist, dann ist q der ggt. Wenn r 0 ist, dann benenne das bisherige q in p um, das bisherige r in q und wiederhole ab Schritt 1. p q r = p mod q #include <stdio.h> int main(void) { int a, b, p, q, r; scanf("%d, %d", &a, &b); p = a; q = b; r = p % q; while (r!= 0) { p = q; q = r; r = p % q; } printf("ggt(%d,%d) = %d\n", a, b, q); return 0; } 8

3 Informatik (5) Mittels #include <stdio.h> wird eine Bibliothek bereitgestellt, die Funktionen zur Ein- und Ausgabe enthält. Der Start eines Programms besteht im Ausführen der Funktion main. int a deklariert eine Variable a, die ganze Zahlen aufnehmen kann. Alle in einem C-Programm benutzten Variablen müssen explizit deklariert werden, wobei der Typ und der Name der Variablen festgelegt werden. Die Funktion scanf() liest Werte von der Tastatur ein, printf() gibt eine Zeichenkette auf dem Bildschirm aus. Solche Standardfunktionen sind übersetzte Funktionen, die zur C-Implementierung gehören. Alle Anweisungen werden mit einem Semikolon beendet. 9 Informatik (6) Anweisungsfolgen werden mit geschweiften Klammern zusammengefasst, der geklammerte Block gilt als eine Anweisung. Mittels while() kann eine Anweisung mehrmals durchlaufen werden. Ist die gegebene Bedingung nicht erfüllt, wird die Schleife verlassen. Die Bedingung wird vor der ersten und nach jeder Ausführung der Anweisung geprüft. 10 Algorithmus Informatik (7) mechanisches Verfahren, das aus mehreren Schritten besteht Schritte werden sequentiell ausgeführt, bis das Ergebnis gefunden ist (es gibt auch parallele Algorithmen) einzelne Abschnitte des Verfahrens können mehrfach durchlaufen werden (Iteration, Schleife) Informatik (8) Es gibt sehr alte, immer noch aktuelle Algorithmen: je zwei natürliche Zahlen haben einen ggt Euklid eine Matrix ist invertierbar die Determinante ist ungleich Null Gaußsches Eliminationsverfahren erst der Computer ermöglicht es, auch komplizierte Algorithmen mit tausenden von Schritten auszuführen Entwurf von Algorithmen finde eine Problemlösung formuliere sie in kleinen, elementaren Schritten 11 12

4 Technische Informatik Aufbau und Konstruktion von Computern. Rechnerarchitektur Rechnerhardware Mikroprozessortechnik Rechnernetze Praktische Informatik Entwicklung und Erweiterung der Rechnereigenschaften. Programmierung und Nutzung von Computern. Betriebssysteme Benutzerschnittstellen Informationssysteme (Datenbanken) Programmiersprachen und Übersetzer Softwaretechnologie Theoretische Informatik Formale mathematische Grundlagen. Formale Sprachen Automatentheorie Berechenbarkeit Komplexitätstheorie Algorithmen & Datenstrukturen Angewandte Informatik Lösen spezieller Probleme in Anwendungsbereichen mittels Computer. Der Rechner wird als Werkzeug eingesetzt. Computergrafik Digitale Signalverarbeitung (Bild-/Spracherkennung) Simulation und Modellierung Künstliche Intelligenz Textverarbeitung 15 16

5 Anmerkungen Praktische und Angewandte Informatik sind mitunter nur schwer abzugrenzen, weil in beiden die Programmierung im Mittelpunkt steht. In letzter Zeit wird dies durch eine andere Art der Einteilung ergänzt: Wirtschafts-, Bio-, Geoinformatik usw. Informatik ist nicht gleichzusetzen mit Programmierung. Man lernt Informatik nicht aus Büchern wie Word 7.0 für Fortgeschrittene oder Die besten Tipps zum Surfen im Internet oder Programmieren in C++. Inhalte der Vorlesung Zahlendarstellung im Rechner * Darstellung ganzer Zahlen * Darstellung von Gleitkommazahlen * Rechnerarithmetik Die Programmiersprache C * Top-down Entwicklung * Grundelemente der Sprache * Strukturierte Programmierung * Standardbibliotheken * Modulare Programmierung Inhalte der Vorlesung (2) Algorithmen und Datenstrukturen * Aufwandsabschätzungen * Sortieralgorithmen * Suchalgorithmen * Graphalgorithmen * Hash-Verfahren Zahlendarstellung im Rechner Diverses * Formale Sprachen * Programmiersprachen * Modellbildung und Spezifikation * Rechnerarchitektur 19 20

6 Allgemeines Alphabet: In Daten vorkommende Zeichen gehören immer einer bestimmten Zeichenmenge an: Zahlen Ziffern, Dezimalpunkt und Vorzeichen Texte Buchstaben, Ziffern und Satzzeichen Die einzelnen Zeichen werden Symbole genannt. Das klassische Alphabet der indogermanischen Kultur ist Σ 10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Wörter mit fester Länge werden durch Einfügen führender Nullen erreicht: 0123, 0974, Weitere Alphabete: Allgemeines (2) Σ 2 = {0, 1} dual, binär Σ 8 = {0, 1, 2, 3,..., 7} oktal Σ 16 = {0, 1, 2, 3,..., 9, A, B, C, D, E, F } hexadezimal Σ 16 ist strenggenommen das Alphabet {0, 1, 2,..., 14, 15}. Anstelle der Ziffern 10, 11,... werden generell neue Symbole A, B,... verwendet. In der Informatik häufig zu finden: Basen b = 2, 8, 16 Von geringer Bedeutung: Basen b = 12 (Dutzend, Gros), b = 20 (franz. vingt) und b = 60 (Zeitrechnung) Codierung Die Symbole aller denkbaren Alphabete lassen sich durch Gruppen von Binärzeichen ausdrücken. Beispiel: Das deutsche Alphabet der Kleinbuchstaben kann wie folgt dargestellt werden: a e i b f j c g k d h l... Wichtig: Mit Gruppen aus n Binärzeichen lassen sich 2 n Symbole codieren. Codierung (2) Ein Code ist die Zuordnung einer Menge von Zeichenfolgen zu einer anderen Menge von Zeichenfolgen. Die Zuordnung (besser Abbildung) erfolgt oft durch eine Tabelle, der Codetabelle. Ziffern, Klein- und Großbuchstaben, Umlaute, Satzzeichen und einige mathematische Zeichen können mit 8 Binärzeichen codiert werden. International: ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange) 23 24

7 ASCII-Tabelle (Auszug) Oct Dec Hex Char Oct Dec Hex Char C, D E A : F / B ; C < D = E > F? A B C b-adische Darstellung natürlicher Zahlen Satz: Sei b N und b > 1. Dann ist jede ganze Zahl z mit 0 z b n 1 und n N eindeutig als Wort z n 1 z n 2... z 0 der Länge n über Σ b dargestellt durch: z = z n 1 b n 1 + z n 2 b n z 1 b 1 + z 0 b 0 Vereinbarungen: In der Ziffernschreibweise geben wir in der Regel die Basis der Zahlendarstellung explizit an, außer wenn eindeutig klar ist, welche Basis gemeint ist. Die Basis selbst wird immer dezimal angegeben b-adische Darstellung natürlicher Zahlen (2) Beispiel: Sei b = 10 (Dezimalsystem). Die eindeutige Darstellung von z = 4711 lautet z = = = und in Ziffernschreibweise (4711) 10. Beispiel: Sei b = 2 (Dualsystem). Die eindeutige Darstellung von z = 42 lautet z = = und in Ziffernschreibweise (101010) Darstellung reeller Zahlen Festpunktdarstellung: Das Komma wird an beliebiger, aber fester Stelle angenommen. Satz: Sei b N und x n 1 x n 2... x 0 x 1 x 2... x m eine n + m- stellige Zahl mit x i Σ b für i = m, m + 1,..., n, wobei das Komma rechts von x 0 angenommen wird. Dann stellt obiges Wort folgende Zahl dar: x = x n 1 b n 1 + x n 2 b n x 1 b 1 + x 0 b 0 + x 1 b x m b m Beispiel: ist bei 8 Vor- und 4 Nachkommastellen die Darstellung von = =

8 Darstellung reeller Zahlen (2) Frage: Zahlen sind Zeichenketten. Warum codiert man Zahlen nicht im ASCII? Antwort: hoher Speicherbedarf: Jede Ziffer benötigt 8 Zeichen zur Darstellung. Beispiel: Darstellung von (123) 10 ASCII: Dual: komplizierte Arithmetik: ASCII-Werte können nicht einfach summiert werden! ˆ= ˆ= ˆ= q Zahlenumwandlung Dezimalsystem andere Systeme Beispiel: ( ) 10 = (3A7.6C) Zahl aufteilen in Vor- und Nachkommateil. 2. Vorkommateil durch fortgesetzte Division umwandeln. 935 : 16 = 58 Rest 7 ˆ= 7 58 : 16 = 3 Rest 10 ˆ= A 3 : 16 = 0 Rest 3 ˆ= 3 Die jeweiligen Divisionsreste ergeben von unten nach oben gelesen den Vorkommateil der gesuchten Zahl in der anderen Basis Zahlenumwandlung Dezimalsystem andere Systeme (2) Zahlenumwandlung Dezimalsystem andere Systeme (3) 3. Nachkommateil durch fortgesetzte Multiplikation umwandeln = = C Die jeweiligen ganzen Teile ergeben von oben nach unten gelesen den Nachkommateil der gesuchten Zahl in der anderen Basis. Korrektheit des Verfahrens:... Beispiel: ( ) 10 = (3D2.20B) 16 Vorkommateil: Nachkommateil: 978 : 16 = 61 Rest 2 ˆ= 2 61 : 16 = 3 Rest 13 ˆ= D 3 : 16 = 0 Rest 3 ˆ= = = = B 31 32

9 Zahlenumwandlung Dezimalsystem andere Systeme (4) Beispiel: (122.1) 10 = ( ) 8 Vorkommateil: Nachkommateil: 122 : 8 = 15 Rest 2 15 : 8 = 1 Rest 7 1 : 8 = 0 Rest = = = = = Periodische Dualbrüche Bei der Umwandlung vom Dezimal- ins Dualsystem ergeben sich oft periodische Dualbrüche: (0.1) 10 = ( ) 2. Im Rechner: Länge der Zahlen ist beschränkt periodische Dualbrüche können nur näherungsweise dargestellt werden bei n Nachkommastellen ist der durch das Weglassen weiterer Dualstellen entstehende Fehler im Mittel die Hälfte der letzten dargestellten Ziffer n Zahlenumwandlung beliebige Systeme Dezimalsystem Berechnen der b-adischen Darstellung: Horner-Schema Beispiel: (63D2) 16 = (25554) 10 (63D2) 16 = = ( ) = [( ) ] Durch Anwenden des Horner-Algorithmus reduziert sich die Anzahl der durchzuführenden Multiplikationen. Beispiel: (1736) 8 = (990) 10 (1736) 8 = = [( ) 8 + 3] Umwandlung artverwandter Systeme Bei zwei Basen b, b N mit b = b n für ein n N kann die Zahlenumwandlung vereinfacht werden. Beispiel: (21121, 1) 3 = (247, 3) 9 Die Ziffern der Zahl (21121, 1) 3 werden von rechts nach links paarweise zusammengefasst, da 9 = 3 2 : (02) 3 = (2) 9 (11) 3 = (4) 9 (21) 3 = (7) 9 (10) 3 = (3) 9 36

10 Umwandlung artverwandter Systeme (2) Arithmetik: Addition Beispiel: (32132) 4 = (39E) 16 Die Ziffern der Zahl (32132) 4 werden von rechts nach links paarweise zusammengefasst, da 16 = 4 2. (03) 4 = (3) 16 (21) 4 = (9) 16 (32) 4 = (E) 16 Addition einstelliger Dualzahlen: Beispiel: Addition mehrstelliger Zahlen Beispiel: (2A7) 16 = ( ) 2 Die Ziffern der Zahl (2A7) 16 werden jeweils als 4-stellige Dualzahl geschrieben, da 16 = 2 4 : (2) 16 = (0010) 2 (A) 16 = (1010) 2 (7) 16 = (0111) 2 Dezimal Dual Arithmetik: Multiplikation Multiplikation einstelliger Dualzahlen: 0 * 0 = 0 1 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1 Beispiel: Multiplikation mehrstelliger Zahlen Dezimal Dual Dezimal Dual Arithmetik: Division : 42 = : =

11 Zahlendarstellung im Rechner Codierung ganzer Zahlen Vorzeichen und Betrag Einer-Komplement Zweier-Komplement Exzess-Darstellung Vorzeichen- und Betragdarstellung Voraussetzung: feste Wortlänge ganz links stehendes Bit: Vorzeichen (0/1 ˆ= + / ) restliche Bits: Darstellung des Betrags Beispiel: Bei einer Wortlänge von 16 Bit können Zahlen zwischen und 2 15 dargestellt werden. +92 = = Nachteile: zwei Nullen: -0 und +0 Addierer und Subtrahierer nötig Entscheidungslogik nötig: addieren oder subtrahieren? Vorzeichen- und Betragdarstellung (2) Entscheidungslogik: vier Fälle sind zu unterscheiden: Operanden Operation Beispiel +x, +y x + y = x, y (x + y) -5-2 = -(5 + 2) +x, y mit x y x y 5-2 = 5-2 x, +y mit y x y x = 5-2 +x, y mit x < y (y x) 2-5 = -(5-2) x, +y mit y < x (x y) = -(5-2) Wir wollen die Subtraktion vermeiden, indem wir die Subtraktion auf die Addition zurückführen. Komplementdarstellung Sei x = x n 1 x n 2... x 0 eine n-stellige Dualzahl. Sei x i = 1 falls x i = 0 0 falls x i = 1 Einer-Komplement: komplementiere die einzelnen Ziffern der Dualzahl: x 1 = x n 1 x n 2... x 0 Zweier-Komplement: bilde erst das Einer-Komplement und addiere dann eine Eins (modulo 2 n ): x 2 = x n 1 x n 2... x (modulo 2 n )

12 Beispiel: Beispiel: Komplementdarstellung (2) x = x 1 = x 2 = x = x 1 = x 2 = Komplementdarstellung (3) Für jede b-adische Zahlendarstellung kann das (b 1)- und das b-komplement definiert werden. Eine Komplementdarstellung ist auf eine beliebige, aber fest vorgegebene Stellenzahl bezogen. Komplementdarstellung: eine negative Zahl x wird durch die Differenz N x dargestellt (N = Anzahl darstellbarer Zahlen) Beispiel: Für b = 10 und n = 3 gilt N = 10 3 = Im Zehner-Komplement: 23 entspricht N 23 = Komplementdarstellung (4) Dualzahl Einer-Komplement Zweier-Komplement 000 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = -1 Subtraktion im Einer-Komplement Voraussetzung: x und y zwei n-stellige Dualzahlen 1. anstelle von x y berechne x + y 1 2. ggf. Übertrag zur niederwertigsten Stelle addieren Beispiel: Sei n = 8. Aus der Rechnung wird im Einer-Komplement x y x ˆ= 119 y ˆ= ˆ=

13 Subtraktion im Einer-Komplement (2) Beispiel: Aus der Rechnung wird im Einer-Komplement ˆ= ˆ= ˆ= 11 Subtraktion im Zweier-Komplement Voraussetzung: x und y zwei n-stellige Dualzahlen 1. anstelle von x y berechne x + y 2 2. ignoriere eventuell auftretenden Übertrag Beispiel: Sei n = 8. Aus der Rechnung wird im Zweier-Komplement x ˆ= 119 y ˆ= ˆ= 60 x y Subtraktion im Zweier-Komplement (2) Beispiel: Aus der Rechnung wird im Zweier-Komplement ˆ= ˆ= ˆ= Exzess-Darstellung zur Darstellung des Exponenten bei Gleitpunktzahlen zum Wert einer Zahl x wird eine positive Zahl q addiert, so dass das Ergebnis nicht negativ ist Exzess q gleich Betrag der größten negativen Zahl Beispiel: Anzahl Bits gleich 4 q = 8 x x + q Code x x + q Code x x + q Code

14 Darstellung von Gleitkommazahlen Halblogarithmische Darstellung Operationen auf Festkomma-Zahlen: Das Komma muss bei allen Operanden an der gleichen Stelle stehen. Beispiel: Addition der Zahlen und : Also: Zahlen müssen eventuell transformiert werden signifikante Stellen gehen verloren Beispiel: Bei 4 Vor- und 4 Nachkommastellen muss die Zahl durch abgerundet dargestellt werden fünf signifikante Stellen gehen verloren 53 Bei der Gleitpunktdarstellung wird jede Zahl z dargestellt in der Form: z = ±m b ±d m : Mantisse d : Exponent b : Basis des Exponenten Beispiele: = = = Halblogarithmische Darstellung (2) Halblogarithmische Darstellung (3) Die halblogarithmische Darstellung ist nicht eindeutig: = = = = Mehrdeutigkeiten vermeiden normalisierte Darstellung Eine Gleitkommazahl der Form ±m b ±d heißt normalisiert, wenn gilt: 1 b m < 1 Beispiele: ( ) 2 ( ) ( ) ( )

15 Gleitpunktzahlen im Rechner Gleitpunktzahlen im Rechner (2) Speichern einer Gleitkommazahl im Computer: aufteilen der 32 Bit wie folgt: 1. Mantisse: 23 Bit für den Betrag plus ein Bit für das Vorzeichen der Mantisse (Vorzeichen-/Betragdarstellung) 2. Exponent: 8 Bit (Zweier-Komplement Darstellung) 3. erste Stelle der Mantisse ist immer Null und wird in der Rechnerdarstellung ignoriert analog für 64 Bit-Darstellung... Beispiel: ( ) 10 = ( ) = ( ) = ( ) 2 2 ( ) 2 Vorzeichen : 0 Mantisse : Exponent : Gleitpunktzahlen im Rechner (3) Gleitpunktzahlen im Rechner (4) Beispiel: ( ) 10 = ( ) = ( 0.101) = ( 0.101) 2 2 ( ) 2 Vorzeichen : 1 Mantisse : Exponent : Null im darstellbaren Bereich nicht enthalten abweichende Darstellung: Vorzeichen 0, Mantisse 0, Exponent 0 Ist die Basis b des Exponenten 2, so ist das erste Bit der Mantisse immer 1: erstes Bit der Mantisse nicht speichern (hidden bit) Verwechselung zwischen 1 2 und 0 ausschließen Gleitkommazahlen: Einbußen hinsichtlich Genauigkeit größte Gleitkommazahl bei 32 Bit: etwa größte Zahl in Dualdarstellung bei 32 Bit:

16 Gleitpunktzahlen: Arithmetik Seien x = m x 2 d x und y = m y 2 d y. Multiplikation: Mantissen multiplizieren, Exponenten addieren x y = (m x m y ) 2 d x+d y Division: Mantissen dividieren, Exponenten subtrahieren Gleitpunktzahlen: Arithmetik (2) Beispiel: = = Beispiel: : : = = x : y = (m x : m y ) 2 d x d y Gleitpunktzahlen: Arithmetik (3) Seien x = m x 2 d x und y = m y 2 d y. Addition: Subtraktion: x + y = (m x 2 d x d y + m y ) 2 d y falls d x d y x y = (m x 2 d x d y m y ) 2 d y falls d x d y kleiner Exponent muss großem Exponenten angeglichen werden Rundungsfehler durch Denormalisierung Rundungsfehler Seien x, y, z wie folgt gegeben: Dann gilt x = y = z = x + y = = = (x + y) + z = = =

17 Rundungsfehler (2) Ungenauigkeiten bei Gleitpunktzahlen Andererseits gilt y + z = = = x + (y + z) = = = Ungenauigkeiten im Umgang mit Gleitpunktzahlen bei der Umwandlung vom Dezimal- ins Dualsystem und bei den arithmetischen Operationen. In der Regel spielen kleine Abweichungen keine große Rolle. Im Rechner werden oft tausende von Rechenoperationen hintereinander ausgeführt: kleine Rundungsfehler addieren sich, Resultat wird völlig unbrauchbar! IEEE-754: Gleitpunktzahlen Exponent in Exessdarstellung speichern normalisiert wird auf 1.xxxxxx die führende Eins wird nicht abgespeichert einfache Genauigkeit (32Bit) * Exzess: = 127 * 1Bit Vorzeichen, 8 Bit Exponent, 23 Bit Mantisse doppelte Genauigkeit (64Bit) * Exzess: = 1023 * 1Bit Vorzeichen, 11 Bit Exponent, 52 Bit Mantisse 67 IEEE-754: Gleitpunktzahlen (2) Beispiel: einfache Genauigkeit ( ) 10 = ( ) = ( 1.01) Vorzeichen : 1 Exponent : ( ˆ= ) Mantisse : Ergänzende Literatur: Walter Oberschelp und Gottfried Vossen: Rechneraufbau und Rechnerstrukturen, Oldenbourg Verlag 68