Semantik und Syntax in der Algebra

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1 Semantik und Syntax in der Algebra Beispiele zum Wirkungsgrad des Algebra-Unterrichts Inhalt (Semantik) und Form (Syntax) in der Algebra Und dabei haben wir das in der 7 und 8 so gut geübt... Was könnte / sollte Algebra-Unterricht leisten? Aspekte des Variablenbegriffs Ein Vorschlag zur Einführung des Variablenbegriffs in der Klassenstufe 5 nach Günther Malle Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 1 von 22

2 Beispiele zum Wirkungsgrad des Algebra-Unterrichts Beispiel 1 (nach Malle: Didaktische Probleme der elementaren Algebra bzw. Fischer & Malle: Mensch und Mathematik) Es sei S die Anzahl der Studenten und P die Anzahl der Professoren an einer Universität. Auf einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie das durch eine Gleichung mit S und P aus! (Frage aus einer Untersuchung von ROSNICK & CLEMENT: Learning without Understanding: The Effect of Tutoring Strategies on Algebra Misconceptions. Journal of Mathematical Behaviour, 1980) Ergebnis: Nur etwa 60% der Befragten (das waren Studenten verschiedener Studienrichtungen) konnten die Frage korrekt beantworten. Die gleiche Umfrage unter Akademikern brachte kein anderes Resultat. Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 2 von 22

3 Fast alle, die die Frage nicht korrekt beantwortet haben, gaben die falsche Antwort Auch nach Belehrungen 6S=P. S bedeutet Anzahl der Studenten, nicht bloß Studenten. Es sind mehr Studenten als Professoren. Bei 10 Professoren müssten es 60 Studenten sein. Also wäre nach der Formel 6 60=10. Darstellung als Graph / Wertetabelle Lösung der Aufgabe mit einer Proportion, etwa S:P=6:1. Lösung einer Analogaufgabe verfielen 80% bei einem erneuten Test wieder in den alten Fehler. (Fischer, Malle: Mensch und Mathematik) Warum auch nicht? Auf einen Meter kommen doch auch 100 Zentimeter, und die Gleichung 100cm = 1m ist offenbar korrekt! Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 3 von 22

4 Ein typischer Lösungsversuch Der Interviewer stellt die oben zitierte Frage. Ch., 36, Akademikerin, (schreibt) 6 S = P. Nehmen wir einmal an, es sind 10 Professoren. Wie viele Studenten sind es dann? 60. Setzen Sie das in die Gleichung ein! 6 60 = 10. Aha, das kann nicht stimmen. (Nach einer Pause schreibt sie): P + 6S = P + S. Was bedeutet das? Die Professoren und die auf die Professoren fallenden 6 Studenten ergeben zusammen alle Professoren und Studenten. Hhmm.. Bei dieser Gleichung könnte man auf beiden Seiten P subtrahieren. Was ergibt sich dann? (Streicht P auf beiden Seiten durch) 6S = S. Kann das stimmen? Ja natürlich... die Gruppen zu 6 Studenten ergeben zusammen alle Studenten. Setzen Sie wieder die Zahlen ein! 10 Professoren und 60 Studenten. Dann ist das 6 60 = 60. Das kann nicht stimmen. (Nach einer Pause schreibt sie) P + S = 7. (räuspert sich) (bessert aus zu) P + 6S = 7. Was bedeutet das? Ein Professor und seine 6 Studenten sind zusammen 7 Personen. Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 4 von 22

5 Erklärungsversuche Das Aufstellen und das Interpretieren von Formeln kommt im Algebraunterricht der Schule praktisch nicht vor. Im Interview wird deutlich, dass die Bedeutung der Variablen (Semantik) nicht erfasst wurde. Im Algebraunterricht dominiert der formale Aspekt: intensive Übung von Termumformung und Gleichungslösen als Spiel mit mehr oder weniger willkürlichen (weil unverstandenen) Spielregeln, die (für Schüler) auch ganz anders lauten könnten. (Die Frage nach dem Warum ist (a+b)²=a²+2ab+b²? kann kaum ein Schüler beantworten. Man akzeptiert s, weil s der Lehrer so will. ) Doch trotz aller Umformungsakrobatik: Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 5 von 22

6 Beispiel 2 Was bei Studenten beobachtet wurde Was in der Schule geübt wird r r 2 1 x + y r = Vereinfache: : 4 3 3x y 2x 6x 2y 2 2 s s h 1 n h 1 n n = n = Löse: 2x + 1 3x 11= 3x + 4 2x σ σ = np(1 p) = p(1 p) : 3 q 6 =... n Das eigentliche Ziel, nämlich einfache Umformungen durch bewusstes Anwenden von Regeln durchführen und begründen zu können, wird durch die Komplexität der in der Schule geforderten Umformungen aus den Augen verloren. Der Kalkül entartet zum Selbstzweck. Gleichzeitig stellt man fest, dass Studierende ganz elementare Fehler machen. Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 6 von 22

7 Im Zuge der Gymnasialzeitverkürzung hat aus Zeitgründen auch die Komplexität der Umformungsübungen abgenommen. Ein Kernproblem besteht aber weiterhin: 5./6. Schuljahr: Zahlen- und Sachrechnen mit mehr oder weniger sinnvollen inhaltlichen Einkleidungen ab 7. Schuljahr: Buchstabenrechnen mit eindeutigem Schwerpunkt auf regelhaftem Umformen und ohne inhaltliche Interpretation von Termen und Gleichungen Dies ist eine verhängnisvolle Trennung von Semantik und Syntax! Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 7 von 22

8 Inhalt und Form in der Algebra inhaltliche Aspekte: formale Aspekte: Aufstellen und Interpretieren von Termen und Gleichungen Beziehungen von Zahl- und Aussageformen regelhaftes Umformen Trennung... Die Trennung des Formalen vom Inhaltlichen und die Verselbstständigung des Formalen ist eine charakteristische Methode der Mathematik und eine ihrer Stärken. (Nach einer Mathematisierung einer Situation wird kann frei von Semantik regelhaft nach bekannter Syntax operiert werden.)... und Zusammenführung von Inhalt und Form Regeln und Ziele der Regelanwendungen bleiben willkürlich, solange sie nicht inhaltlich verankert sind und begründet werden können. Formalismus muss im Unterricht also stets inhaltlich begründet und mit inhaltlichen Überlegungen in Verbindung gebracht werden. (nach Fischer & Malle: Mensch und Mathematik) Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 8 von 22

9 Und dabei haben wir das in der 7 und 8 so gut geübt... Stures, stereotypes Üben von Termumformungen, Gleichungslösen und Lösen von Textaufgaben hofft auf ein Erlernen der Algebra durch Konditionierung: Wer s kann, wird belohnt, wer s nicht kann, bestraft. Der Wirkungsgrad ist frustrierend gering. geht nicht auf mögliche Fehlerursachen ein und bietet folglich keine Hilfen, Fehlvorstellungen abzubauen. Leider suchen Vertreter der Übungsideologie die Ursache für den Misserfolg oft in der Dummheit der Schüler ( Früher konnte ich das noch so unterrichten! Wirklich? Und mit welchem langfristigen Erfolg?) und / oder in dem immer noch zu geringen Übungsumfang. Wie müsste sinn-volles Üben aussehen? Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 9 von 22

10 Was könnte / sollte Algebra-Unterricht leisten? Es gibt Schüler, die sich nach der Schulzeit für einen Studiengang oder Beruf entscheiden, in dem Grundkenntnisse in elementarer Algebra unabdingbar sind. Daher muss elementare Algebra zum kanonischen Schulstoff gehören. Es gibt Menschen, die ein Studium erfolgreich absolvieren, erfolgreich im Beruf sind, im Leben sehr gut zurechtkommen, ohne ihre Defizite in elementarer Algebra überhaupt jemals zu bemerken. Wie können insbesondere Letztere vom Algebra-Unterricht profitieren? Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 10 von 22

11 Mit Hilfe von Variablen, Termen und Formeln können Sachverhalte allgemein dargestellt werden. Damit (und durch Darstellungswechsel etwa in Wertetabellen und Graphen siehe funktionale Aspekte von Formeln) sind sie ein Hilfsmittel um eine Situation zu untersuchen, Probleme allgemein zu lösen, Sachverhalte, Zusammenhänge, Verfahren zu kommunizieren oder zu be- gründen. (nach Malle: Didaktische Probleme der elementaren Algebra) Hierzu bedarf es keiner stereotyp und mit verschwindend geringem Wirkungsgrad eingeübter Umformungstechniken an beliebig komplexen Termen. Auch an syntaktisch einfachen Beispielen lässt sich semantisch anspruchsvoll arbeiten. Malle expliziert die Funktion von Termen und Formeln als Explorationsinstrument, indem er verschiedene Tätigkeiten mit Formeln anführt (Malle: Didaktische Probleme der elementaren Algebra, S.9): Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 11 von 22

12 Tätigkeiten mit Formeln Aufstellen einer Formel Dabei kann die Formel zunächst unter Verwendung von Wortvariablen aufgestellt werden. Einsetzen von Zahlen in die Formel Interpretieren einer Formel Dies ist die Umkehrung der erstgenannten Tätigkeit Herauslesen von Zusammenhängen (z.b. Proportionalitäten) Graphisches Darstellen eines Zusammenhangs Umformen einer Formel (z.b. Auflösen nach einer anderen Größe) Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 12 von 22

13 Aspekte des Variablenbegriffs In der mathematischen Literatur werden Variable meist nur verwendet und nicht definiert. (Malle: Didaktische Probleme der elementaren Algebra. S.44) Variable treten in der Regel nicht isoliert auf. Sie sind ein Mittel zum Zwecke des Aufstellens von Formeln, Termen und Gleichungen. Malle unterscheidet drei Aspekte des Variablenbegriffs: Gegenstandsaspekt: Variable als unbekannter oder nicht näher bestimmter Denkgegenstand Einsetzungsaspekt: Variable als Platzhalter für Zahlen bzw. Leerstelle, in die man Zahlen einsetzen darf Kalkülaspekt: Variable als bedeutungsloses Zeichen, mit dem nach bestimmten Regeln operiert werden darf Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 13 von 22

14 Der Variablenbegriff kann nicht auf einen dieser Aspekte reduziert werden! Beispiel 1: Beim Aufstellen eines Terms anhand einer verbal oder im Bild beschriebenen Situation denkt man bei den verwendeten Variablen an konkrete, nicht näher bestimmte Größen (Gegenstandsaspekt). Formt man den Term um, damit er in bestimmter Weise weiterverarbeitet werden kann, wird mit den Variablen nach bestimmten Regeln operiert. Die ursprüngliche Bedeutung der Variablen gerät in Vergessenheit (Kalkülaspekt). Dies ist ein Beispiel für die oben beschriebene Trennung von Inhalt und Form! Das Weiterverarbeiten des Terms kann nun darin bestehen, Zahlen für die Variablen einzusetzen (Einsetzungsaspekt). Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 14 von 22

15 Ein Beispiel nach Aufgabe 85 ( Gefleckte Fliesen ) aus den Produktiven Aufgaben von Herget: usw. Ein Fußboden wird mit einer quadratischen Fliese, wie sie ganz links abgebildet ist, ausgefliest. Wie viele ganze Kreise sind zu erkennen, wenn ein Quadrat aus n n Fliesen gelegt wird? Bei der Lösung stellt man sich unter der Variablen n die Anzahl der Fliesen in jeder Reihe oder in jeder Spalte vor oder die Anzahl der Reihen oder die Anzahl der Spalten. Dies ermöglicht das Aufstellen einer Formel aus einer Zählstrategie heraus. Schulklassen kommen durchaus auf vier oder fünf verschiedene Strategien und damit auch vier oder fünf Formeln. Deren Äquivalenz kann durch Einsetzen von Zahlen vermutet und durch Umformen nach bekannten Regeln begründet werden! Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 15 von 22

16 Beispiel 2: Welche Zahl ergibt um 1 vermehrt und anschließend verdoppelt 8? Lösung unter Betonung des inhaltlichen Gegenstandsaspekts: Wenn das Doppelte der um 1 vermehrten Zahl 8 ist, so ist die um 1 vermehrte Zahl 4. Wenn die um 1 vermehrte Zahl 4 ist, so ist die gesuchte Zahl 3! Lösung unter Betonung des formalen Aspekts (Einsetzungs- und Kalkülaspekt): 2 (x+1)=8 x+1=4 Man darf beide Seiten durch dieselbe Zahl 0 dividieren. Dadurch geht die Aussageform in eine äquivalente Aussageform über. Man darf auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren. Dadurch geht... x=3 Die Lösungsmenge dieser Aussageform lässt sich direkt ablesen. L={3} Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 16 von 22

17 Versuch eines didaktischen Vergleichs: Der Lösungsweg über den Gegenstandsaspekt ist sicher der intuitivere und einfachere. Mit ihm können in den Klassen 5/6 geeignete Gleichungen gelöst werden, ohne zu früh auf fehleranfällige Umformungsregeln zu abstrahieren. Hier besteht die Möglichkeit einer inhaltlichen Fundierung, bevor im späteren Unterricht das auf den formalen Variablenaspekten beruhende Lösungsverfahren unter Bezugnahme auf die Vorerfahrungen erarbeitet wird. Bei Gleichungen der Form x=x+1, bei denen keine Lösung existiert, oder z.b. bei der Gleichung x²+6x+8=0 ist ein Lösen allein mit dem Gegenstandsaspekt nicht möglich. Im ersten Fall hat die Gleichung keine Lösung, was dem Gegenstandsaspekt Grenzen setzt. Im zweiten Fall kann allerdings nach Faktorisierung des quadratischen Terms zu (x+2)(x+4) wieder inhaltlich gelöst werden. ( Wenn das Produkt zweier Zahlen 0 ist,... ) Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 17 von 22

18 Ein aktueller Fehler aus einer E-Kurs-Arbeit, die vergangene Woche an einem Gymnasium in der Nähe der Universität des Saarlandes geschrieben wurde: ( x + 1) 2 = x + 1 = 0 x + 1= 0 0 x 1= 0 Das Auflösen der Betragsgleichung zeigt die Fehleranfälligkeit aufgrund nicht verstandener syntaktischer Spielregeln. Viel einfacher und sicher weniger fehleranfällig, weil verstehbar wäre doch: Wenn das Quadrat einer reellen Zahl 0 ist, so muss die Zahl selbst gleich 0 sein. Wenn aber x+1 gleich 0 ist, so muss x= 1 sein. 2 = Auch im Falle der Gleichung ( x + 1) 3 endet hier besser der formale Teil: Wenn das Quadrat einer reellen Zahl gleich 3 ist, so kann die Zahl nur 3 oder 3 lauten.... (Wie entlastend für das nicht genannte Gymnasium, dass der Urheber des Fehlers seinen Algebra- Unterricht an einer anderen Bildungsinstitution erhalten hat.) Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 18 von 22

19 Ein Vorschlag zur Einführung des Variablenbegriffs in Klasse 5 (nach Malle: Didaktische Probleme der elementaren Algebra Fischer & Malle: Mensch und Mathematik) Ein erstes Zahlenrätsel: Denk dir eine Zahl. Addiere 3. Verdopple das Ergebnis. Subtrahiere 4. Dividiere das Ergebnis durch 2. Subtrahiere die ursprünglich gedachte Zahl. Welche Zahl erhältst du? Stellt man die Aufgabe der ganzen Klasse, so wird das Ergebnis 1, das jeder Schüler unabhängig von der gedachten Zahl erhält, verwundern. Wie funktioniert dieser Zahlentrick? Eine vom Lehrer vorgeführte Darstellung der Operationen an konkreten Objekten (Säckchen und Kugeln) geht folgender ikonischer Darstellung voran: Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 19 von 22

20 Denk dir eine Zahl. Addiere 3. Verdopple das Ergebnis. Subtrahiere 4. Dividiere das Ergebnis durch 2. Subtrahiere die ursprünglich gedachte Zahl. Malle schlägt nun folgende weitere Aufgaben vor: Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 20 von 22

21 Ein Schüler hat sich folgenden Zahlentrick ausgedacht: Denk dir eine Zahl! Addiere 1. Verdreifache das Ergebnis. Subtrahiere die ursprünglich gedachte Zahl. Du erhältst 3. Stimmt das wirklich? Überprüfe an einigen Zahlen (Einsetzunsaspekt). Falls es nicht stimmt, ändere die letzte Rechenanweisung so ab, dass man für jede Ausgangszahl das Ergebnis 3 erhält. Begründe mit Säckchen und Kugeln. (Gegenstandsaspekt) Denk dir eine Zahl. Addiere 15. Multipliziere mit 4. Subtrahiere 16. Multipliziere mit 25. Subtrahiere 500. Dividiere durch 100. Subtrahiere die ursprünglich gedachte Zahl. Du erhältst 6. Begründe! Da man beim Begründen nicht 100 zeichnen kann, ist der Übergang zu 100 an dieser Stelle motiviert. Der weitere Schritt zu einem Buch- stabensymbol x schließt sich an. Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 21 von 22

22 Ein Schüler denkt sich eine Zahl x (Gegenstandsaspekt), die wir nicht kennen. Er führt damit folgenden Zahlentrick aus: Verdopple x. Addiere 1. Verdreifache das Ergebnis. Subtrahiere das Sechsfache von x. Welches Ergebnis erhält der Schüler? Begründe! Diese Aufgabe erlaubt weiterhin eine ikonische Lösung wie zu Beginn. Da die gedachte Zahl aber konsequent mit x bezeichnet wird, muss zur Lösung der Buchstabe x als Variable(nname) unter dem Gegenstandsaspekt als die ge- dachte Zahl interpretiert werden. Vom Kalkül (2x+1) 3 6x=2x 6x=2x x=6x+3 6x=6x+3 6x=3 6x=3 sind wir an dieser Stelle le noch Schuljahre weit entfernt! Wie müsste sinnvolles Üben im Unterricht aussehen? Variation der vorgelegten Zahlenrätsel (z.b.: Ergebnis der Rechnung vorgeben) Erfinden eigener, neuer Zahlenrätsel Vielleicht mit andersartigen Ergebnissen (z.b.: Am Ergebnis der Rechnung die gedachte Zahl erraten ) Univerität des Saarlandes WS 2009/2010 FR 6.1 Mathematik OStR Uwe Peters Didaktik II: Arithmetik und Algebra Folie 22 von 22