Übungsaufgaben zur 3. Schulaufgabe - Lösungshinweise

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1 Übungsaufgaben zur 3. Schulaufgabe - Lösungshinweise Aufgabe 1 Vereinfache den Term x 2 (3 x) 2 so weit wie möglich. Lösung 1 Es ist x 2 (3 x) 2 = x 2 (3 x) (3 x) = x 2 (3 3 3 x 3 x + x x) = x 2 (9 6x + x 2 ) = x x x 2 = 6x 9 (N.B: 6x 9 = 3(2x 3)) Aufgabe 2 Bilde zum Text den zugehörigen Term und vereinfache ihn soweit wie möglich: (a) Vermindere 3x 4y um die Dierenz der Terme 2x + 5y und x 10y. (b) Vermindere die Dierenz der Terme 2b 2 3y und 3b + a um die Dierenz der Terme 2b y und a 1 6 y. Lösung 2 (a) (3x 4y) [(2x + 5y) (x 10y)] = 3x 4y [2x + 5y x + 10y] = 3x 4y 2x 5y + x 10y = 2x 19y (b) [(2b 2 3 y) ( 3b + a)] [(2b y) (a 1 6 y)] = 3b y Aufgabe 3 Vereinfache soweit wie möglich: (a) 2,5a [ (5a + 2b) ( 2a + 3b)] ( 2a + 5b) (b) 2,5c [ ( 2c + 3b) (5c + 2b)] ( 2c + 5b) (c) a {b [c (d + e) f] g} (d) x {y [z (m + n) k] g} Lösung 3 (a) 2, 5a [ (5a + 2b) ( 2a + 3b)] ( 2a + 5b) = 2, 5a [ 5a 2b + 2a 3b] + 2a 5b = 2, 5a + 5a + 2b 2a + 3b + 2a 5b = 2, 5a (b) 2,5c (c) a b + c d e f + g (d) x y + z m n k + g Aufgabe 4 Klammere aus: 78abx 273ax + 117a 2 bx 2

2 Lösung 4 Nach kurzem Hinschauen stellt man fest, dass in allen Summanden die Faktoren a und x vorkommen, also kann man schon mal ax ausklammern: 78abx 273ax + 117a 2 bx 2 = ax (78b abx) Wenn man jetzt noch die Zahlen genauer anschaut, sieht man, dass in allen der Primfaktor 39 steckt, also kann man auch noch die 39 ausklammern: ax (78b abx) = 39ax(2b 7 + 3abx). Aufgabe 5 Multipliziere aus und vereinfache soweit wie möglich: (a) (2 x)(y + x) (b) (a b + 3)(2 a b) Lösung 5 (a) 2y + 2x xy x 2 (b) a 5b a 2 + b Aufgabe 6 Ein Rechentrick zum Quadrieren einer zweistelligen Zahl mit der Einerzier 5 lautet so: Nimm die Zehnerzier der Zahl und vergröÿere sie um 1, multipliziere das Ergebnis mit der Zehnerzier selbst. Hängt man an die Zahl, die sich dabei ergibt, die Ziernfolge 25 an, hat man schon die gesuchte Quadratzahl. (a) Berechne nachvollziehbar mit dieser Methode das Quadrat der Zahl 35. (b) Eine zweistellige Zahl mit der Zehnerzier x und der Einerzier 5 lässt sich schreiben als 10x + 5. Berechne (10x + 5) 2, forme das Ergebnis geeignet um und begründe dadurch den obigen Rechentrick. Lösung 6 (a) 2 3 = 6, also 625 (b) (10x + 5) 2 = 100x x + 25 = 100 x(x + 1) + 25 Aufgabe 7 Löse folgende Gleichungen (a) 7x + 5 = 5, (b) 1 24 x = 0, (c) (x 7)(x + 3) = x(x + 2) + 5, (d) 3(a 4) = (2 a), (e) 2, 6(x 1) = 6, 5(x + 1) 1 2 (x 7, 8)

3 Lösung 7 (a) 7x + 5 = 5 5 7x = 0 x = 0 : ( 7) Die Probe zeigt, dass x = 0 auch wirklich eine Lösung ist. (b) x = 0 (c) x 2 + 3x 7x 21 = x 2 + 2x + 5 x 2 4x 21 = 2x + 5 6x 21 = x = 26 2x : ( 26) x = 13 3 Dann noch die Probe machen, wenn man x = 13 3 in die linke Seite einsetzt, erhält man ( ) ( ) = 9, wenn man es auf der rechten Seite einsetzt, bekommt man 13 3 ( ) + 5 = 9. Also die gleichen Zahlen. (d) 3a 12 = a 1 5 a24 5 a 12 = a = a = a = 63 : a = 9 2 Und dann Probe nicht vergessen... (e) Nach Ausmultiplizieren (am besten wohl mit Dezimalzahlen rechnen) und so weiter kommt man überraschend schnell auf x = 0. Aufgabe 8 Eine Erbschaft von ewird so unter drei Erben A,B,C aufgeteilt, dass A e mehr erhält als B und C zusammen, und die Erbschaft von B und C sich wie 2:1 verhält. Wie viel erhält C? Lösung 8 Wir nennen die Erbschaft von C zum Beispiel x. Dann erhält B doppelt so viel, also 2x und A mehr als beide zusammen, also x + 2x Da die ganze Erbschaft beträgt, bekommen wir die einfache Gleichung: das gibt: und damit x }{{} Erbe C also ist die Erbschaft von C: + 2x }{{} Erbe B + x + 2x }{{} Erbe A 5x = x = x = = } {{}, Gesamterbe (Natürlich darf man nicht vergessen, kurz die Probe zu machen.

4 Aufgabe 9 Wie muss die Zahl a gewählt werden, damit die folgende Gleichung keine Lösung hat: 2 (x 3) = ax + 3. Lösung 9 Für a = 2 hat die Gleichung keine Lösung (da dann auf beiden Seiten die gleichen Vielfachen von x stehen). Aufgabe 10 Schreibe eine Gleichung auf, die die Lösungsmenge L = { 3 2 ; 0} hat. Lösung 10 Zum Beispiel: (x ) x = 0. Aufgabe 11 Löse folgende Gleichung, indem du zuerst mit dem Hauptnenner beide Seiten der Gleichung multiplizierst: 1 3 x x = x x + 2. Lösung 11 Der Hauptnenner der Gleichung ist 60. Nach der Multiplikation erhält man: 20x x = 60x x x 18 = 85x x = 208 x = = Aufgabe 12 (Taschengeld) Die Schülerzeitung FUZZI stellt in einer Umfrage fest, dass alle Schüler des Friedrich-Uzzendorfer-Gymnasiums zusammen im Oktober 13495e an Taschengeld bekamen. Davon wurden 1824e für Süÿigkeiten, 2106e für Kleidung, 1330e für Arbeitsmaterialien, 4190e für die Freizeitgestaltung und 2563e für Sonstiges ausgegeben. Der Rest wurde gespart. Runde alle e-beträge auf Hunderter und veranschauliche die Situation in einem Kreisdiagramm. Aufgabe 13 Uli ist wegen wiederholter ungeklärter Fieberanfälle im Krankenhaus. Dort wurde alle zwei Stunden Fieber gemessen, wobei sich folgende Tabelle ergab: Uhrzeit Temperatur in C 38,2 38,7 39,3 38,5 39,3 39,8 39,8 39,1 Die Krankenschwester stellte diese Werte in einem Uhrzeit-Temperatur-Diagramm dar.

5 (a) Ergänze die fehlenden Achsenbeschriftungen. (b) Der Arzt möchte wissen, wie hoch die Temperatur um 11 Uhr und um 19 Uhr war und in welchen Zeiträumen die Temperatur über 39 C. Was antwortet die Krankenschwester? Sind ihre Auskünfte richtig? (c) Zeichne eine zweite Kurve in obiges Diagramm ein, in der zwar auch alle Wertepaare der Tabelle berücksichtigt werden, die aber doch einen ganz anderen Verlauf hat. Formuliere in einem Satz, wo das grundsätzliche Problem liegt, wenn man einzelne Messdaten zu einer Kurve verbindet. Aufgabe 14 (a) Bei einem Wettbewerb haben sieben der acht Teilnehmer die Punkteanzahl 350, 348, 356, 348, 349, 345 bzw. 352 erreicht. Wie viele Punkte muss der achte Teilnehmer erreichen, damit sich als Durchschnittswert 349 ergibt? Wie groÿ ist dann der Median? (Ergebnis: 344, Median: 348,5) (b) Das Durchschnittsalter von Monikas Eltern beträgt 33 Jahre. Das Durchschnittsalter von Monika und ihren Eltern beträgt 23 Jahre. Bestimme das Alter von Monika und das ihrer Eltern, wenn ihr Vater 6 Jahre älter als ihre Mutter ist. (Ergebnis Monika ist 3, ihre Mutter 30 und ihr Vater 36 Jahre alt) Aufgabe 15 (a) Gib die Grundgleichung der Prozentrechnung an. (b) Wie viel Euro sind 10% von 30 Euro? Wie viel sind 30% von 10 Euro? (c) Um wieviel Prozent wird eine Zahl vergröÿert, wenn sie auf das 1,5-fache ihres ursprünglichen Wertes vergröÿert wird? Berechne, um wieviel Prozent man diese neue Zahl verkleinern muss, um wieder zur Ausgangszahl zu gelangen. (Ergebnis: Um %) Aufgabe 16 (a) Der Preis einer Jeans (45 Euro) wurde um 20% herabgesetzt. Berechne, was die Jeans jetzt kostet und um wie viel Prozent des neuen Preises sie vorher teurer war. (Ergebnis: neuer Preis ist 36 e; man muss den neuen Preis um 25% erhöhen, um wieder den alten Preis zu erhalten) (b) Der Preis eines Fahrrads wurde zunächst um 10%, der reduzierte Preis anschlieÿend nochmals um 10% herabgesetzt. Berechne, um wie viel Prozent es jetzt billiger ist als ursprünglich. (Ergebnis: es ist um 19% billiger.)

6 Aufgabe 17 Sophie bekommt von ihrer Oma einen Sparbrief: 500 Euro sind mit 5% Zinsen pro Jahr angelegt. Die jährlichen Zinserträge werden Sophie nicht ausbezahlt, sondern in den Folgejahren mitverzinst. Berechne schriftlich, auf welchen Betrag dieses Kapital bis zum Abitur in fünf Jahren angewachsen ist. (Ergebnis: Etwa 638,14 e)

7 Aufgabe 18 Fasse zusammen: (a) 5am 2 5am 5a 2 m 2m 3a + ( 5a) ( 3am) 2a 2m 2m (b) 1 2 x2 x x x 2 3 (c) 1 5 x 3y x 3 0,3x y 7 1,1y 0,6xy + x2 : 10 y 2 : 7 Aufgabe 19 Das ist ein Bild der Nationalagge von England. (a) Zeichne die Figur für b = 10 cm, a = 5 cm und x = 1 cm. (b) Berechne den Flächeninhalt A des Kreuzes in der Figur in Abhängigkeit von a, b und x. (c) Die folgenden Terme sollen den Flächeninhalt des weiÿen Anteils der Flagge darstellen. Kreuze die Terme an, deren Darstellung korrekt ist: [ ] ab ax bx + x 2 [ ] ab ax + bx x 2 3 [ ] 4[(0,5a 0,5x)(0,5b 0,5x)] [ ] 4 ab [ ] (a x)(b x) [ ] ab (ax + bx x 2 ) (d) Gib für a = 8 cm und b = 12 cm die Menge aller sinnvollen Belegungen von x an. Aufgabe 20 Fritz hat bei den folgenden Termumformungen Fehler gemacht. Berichtige sie farbig (nicht mit roter Farbe): (a) 4x 6y + 1,6z = 2 (x + 3y + 3,2z) (b) x 2 x : 1 2 = 6 + x10 (c) (3x 2x 2 + 7a) = 3x 2x 2 7x Aufgabe 21 Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen: (a) 1 [ (a) (b c)] (b) 3 [ (b) (e f)] ( 3 (c) 4 ab 5 ) 3 a2 b + 1 ( 1 4 ab + 2 ) ( 3 a2 b + ab + 7 ) 3 a2 b

8 (d) ( 12 x + 23 ) ( y x y 5 ) x (e) [( 1,9a + 2,1b 0,2x) (15x 6a 4,8b)] ( 4,3a + 2,9b + 14x) Aufgabe 22 Klammere soviel wie möglich aus und zwar so, dass in der Klammer kein Bruch mehr steht: 1 3 u3 w u3 w 3 + u 2 w 3 Aufgabe 23 Vereinfache soweit wie möglich: (a) 7a {2z [5x 2 + (7a 4x 2 ) x 2 + 2x]} (b) 5x (2a + 3b) (8b 5a) 2x 4x (7a 5b) Aufgabe 24 Multipliziere aus und vereinfache soweit wie möglich: (a) (3 a)(a + b) (b) (4 + x 2y)(3 y 2x) Aufgabe 25 Löse folgende Gleichungen (a) x + 4 = 9x (5 x), (b) 1 24 x = 0, (c) (x 7)(x + 3) = x(x + 2) + 5, Aufgabe 26 Wie muss die Zahl a gewählt werden, damit die folgende Gleichung keine Lösung hat: 2 (x 3) = ax + 3. Aufgabe 27 Schreibe eine Gleichung auf, die die Lösungsmenge L = { 3 2 ; 0} hat. Aufgabe 28 Löse folgende Gleichung, indem du zuerst mit dem Hauptnenner beide Seiten der Gleichung multiplizierst: 1 3 x x = x x + 2. Aufgabe 29 Ernde zu dem folgenden x-ansatz einer mathematischen Textaufgabe den Text: (30 5) 7 x = 40 Aufgabe 30 Aus der TIMMS-Studie (diese war ähnlich wie PISA eine sehr bekannt gewordene internationale Vergleichsuntersuchung): (a) Boris möchte drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen nden, die sich zu 81 aufaddieren. Er schreibt die Gleichung (n 1) + n + (n + 1) = 81. Wofür steht n: Für die kleinste, die mittlere oder die gröÿte der drei Zahlen, oder für die Dierenz zwischen der gröÿten und der kleinsten der drei Zahlen?

9 (b) There are 54 kilograms of apples in two boxes. The second box of apples weighs 12 kilograms more than the rst. How many kilograms of apples are in each box? Aufgabe 31 (Winkel im Dreieck) (a) In einem rechtwinkligen Dreieck 1 ist einer der spitzen Winkel um 26 kleiner als der andere. Welches Maÿ hat der kleinste Winkel im Dreieck? (b) In einem Dreieck ist ein Winkel doppelt so groÿ, ein anderer dreimal so groÿ wie der dritte. Welches Maÿ hat der kleinste der drei Winkel? Aufgabe hatten in Westdeutschland von 100 Frauen unter 40 Jahren 10 keine Kinder, 24 ein Kind, 33 zwei Kinder und 33 drei oder mehr Kinder. Stelle diese Zahlen in einem Kreisdiagramm dar. Aufgabe 33 Thomas führt seit einigen Monaten Buch, wie viel Geld er pro Monat für Arbeitsmaterialien ausgegeben hat. Monat März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Betrag in e i. Zeichne ein Säulendiagramm ii. In welchem Montat hat Thomas ungefähr zwei Fünftel, in welchem etwa ein Siebtel des Septemberbetrags von 23efür Arbeitsmaterialien ausgegeben? iii. Thomas überlegt, ob es wohl günstiger für ihn wäre, wenn er auf 5eTaschengeld im Monat verzichten würde und seine Eltern dafür die Kosten für Arbeitsmaterialien vollständig übernehmen würden. Rechne nach! Kennzeichne die Höhe seiner durchschnittlichen Ausgaben für Arbeitsmaterial durch eine gestrichelte waagrechte Linie im Diagramm. Aufgabe 34 Nachfolgende Tabelle zeigt die Durchschnittsnoten der drei Unterstufenjahrgänge eines Gymnasiums im Fach Mathematik. N U ist der Mittelwert der Mathematiknoten aller Unterstufenschüler. Berechne den Durchschnitt N 5 der Mathematiknoten in der fünften Jahrgangsstufe. Stelle zuerst eine Gleichung für N 5 auf! Aufgabe 35 Jahrgangsstufe Zahl der Schüler Durchschnittsnote in Mathematik N 5 =? N 6 = 3, N 7 = 3,80 Unterstufe N U = 3,59 (a) In einem Geschäft wurden alle Preise zum 01.März um 5% erhöht. Kurze Zeit später wird ein Fernseher um 20% verbilligt angeboten. Wieviel Prozent spart ein Kunde gegenüber dem Kauf vor dem 1. März? 1 Einer der drei Winkel ist 90 (Ergebnis: 16% Ersparnis)

10 (b) Familie Neubürger hat einen Betrag in Höhe von Euro im Lotto gewonnen und beschlieÿt, das Geld zu sparen. Berechne den Betrag, auf den der Lottogewinn nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 4% angewachsen ist. Um wieviel Prozent hat sich das Kapital nach drei Jahren gegenüber dem ursprünglichen Betrag vergröÿert? (Ergebnis: 50618,88 Euro, also etwa 12,5% Zuwachs). Aufgabe 36 Bei einer Gruppenreise (ab 6 Personen) werden, abhängig vom Buchungszeitraum, folgende Rabatte gewährt: Buchung Rabatt 1 Woche vorher 20% 2 Wochen vorher 30% 1 Monat vorher 50% (a) Wieviel Prozent spart eine Gruppe bei Buchung 1 Monat zuvor im Vergleich zur Buchung 1 Woche vor der Reise? (Ergebnis: 37,5%) (b) Eine Gruppe von 20 Personen bucht eine solche Reise 6 Wochen vor Abfahrt. Wieviele Personen dürfen zurücktreten, damit der Gruppenpreis trotzdem noch kleiner ist, als bei einer Buchung 1 Woche vor der Abreise? (Ergebnis: 7 Leute dürfen zurücktreten)