10. Interpretieren am Beispiel des Prozentrechnens

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1 Interpretieren am Beispiel des Prozentrechnens 10 Isabella Benischek 10. Interpretieren am Beispiel des Prozentrechnens 1. Der Inhaltsbereich Prozentrechnen und der Handlungsbereich Interpretieren Prozentrechnen ist im der Lehrplan Neuen Mittelschule (2012, S. 58, S. 59) vor allem in der 6. Schulstufe ( Rechnen mit Prozenten in vielfältigen Zusammenhängen ) sowie auch in der 7. Schulstufe ( rationale Zahlen in verschiedenen Formen deuten können ) verankert. Der Prozentbegriff und das Prozentrechnen können in Zusammenhang mit dem Bruchrechnen und dem Schlussrechnen als eine fundamentale Idee der Mathematik aufgefasst werden. Darunter sind jene Inhalte gemeint, die sich durch die gesamte Mathematik und damit auch durch den gesamten Mathematikunterricht aller Schulstufen und -formen hindurchzieht (Krauthausen & Scherer, 2008, S. 135). Das Prozentrechnen ist keine mathematische Disziplin im engeren Sinne. Boshafterweise könnte man sogar sagen, dass die einzige Besonderheit des Prozentrechnens ist, dass manche Zahlen mit Hundert multipliziert werden und ein Prozentsymbol % dahinter geschrieben wird. Selbst wohlwollender muss man feststellen, dass die simple Definition 1 = 100 % die Grundlage des Prozentrechnens ist. Statt Anteile direkt in Dezimalschreibweise anzugeben, wird der entsprechende Wert mit 100 multipliziert und mit der Angabe % versehen. So wird aus einen Anteil von 0.23 einer von 23 %. Derartige Angaben kommen der menschlichen Anschauung entgegen, denn solche Größen kann man sofort auf eine überschaubare Stichprobe von hundert Stück oder hundert Personen umlegen. (Arens et al., 2008, S. 52) Diese Auffassung hat bereits Leutenbauer (2001, S. 292) vertreten, wenn er meint: Lange Zeit wurde das Prozentrechnen als eigenständiger Bereich isoliert behandelt. Heute hat es sich durchgesetzt, daß [sic] das Prozentrechnen als angewandtes Bruchrechnen betrachtet wird. Prozentrechnen kann aus unterschiedlichen Sichtweisen betrachtet werden, wie beispielsweise als: Bruchrechnung: Nenner = 100, andere Schreibweise mit % Form der Schlussrechnung: Der Prozentsatz kann als lineare Funktion angesehen werden. multiplikativer Vergleich: Verhältnisangabe, die eine Aussage über das Größenverhältnis des Bruchteils (= Prozentwert) zum Ganzen (= Grundwert) macht. (Leutenbauer, 2001, S. 292) 113

2 10 Interpretieren am Beispiel des Prozentrechnens Für den Unterricht bedeutet dies, dass den unterschiedlichen Sichtweisen gerecht werden muss, es sollte/darf keine Reduktion auf eine Perspektive der Prozentrechnung geben (Leutenbauer, 2001, S. 293). Die einseitige Bevorzugung der Operatormethode wird zwar rechnerisch zufriedenstellende Ergebnisse garantieren, aber sie wird nicht ausreichen, ein umfassendes Verständnis des Prozentbegriffs den Schülern zu vermitteln. (Leutenbauer, 2001, S. 293) Die Vielfältigkeit ist auch im Lehrplan festgesetzt: Die Schülerinnen und Schüler sollen in den verschiedenen Bereichen des Mathematikunterrichts Handlungen und Begriffe nach Möglichkeit mit vielfältigen Vorstellungen verbinden und somit Mathematik als beziehungsreichen Tätigkeitsbereich erleben. (Lehrplan NMS, 2012, S. 52) In diesem Zusammenhang ist es wesentlich, dass Schüler/innen Prozentangaben und Darstellungen von Prozenten im jeweiligen Zusammenhang verstehen und (im Sinne des Kompetenzbereichs Interpretieren der Bildungsstandards) interpretieren können. Interpretieren umfasst im Besonderen das Analysieren von Begriffen und Formulierungen das Ablesen von Werten aus Grafiken und Tabellen und deren Deutung im gegebenen Zusammenhang das Erkennen von Zusammenhängen und deren Deutung im gegebenen Zusammenhang das Deuten von Rechenergebnissen und Rechendarstellungen das Erkennen von zutreffenden Interpretationen und brauchbaren Lösungswegen (BIFIE, 2010, S. 24). Interpretieren wird bei vielen Aufgaben und Problemstellungen gefordert sein, auch wenn dies nicht explizit in der Aufgabe verlangt wird (BIFIE, 2010, S. 24). So muss den Schülerinnen und Schülern bewusst sein, dass die Größe/Menge, die der Prozentwert (= Prozentanteil) angibt, immer abhängig vom Grundwert ist. Alleine die Angabe des Prozentsatzes (z.b. 5 %) gibt noch keine Auskunft darüber, wie viel es ist. So sind 5 % von 100 kg mehr als 5 % von 10 kg, obwohl der Prozentsatz beide Male gleich ist. Diese Einsicht ist durch vielfache unterschiedliche Aufgaben und Problemstellungen zu gewinnen. Ebenso muss die Erkenntnis gewonnen werden, dass das Ganze (= 100 %) je nach Kontext Unterschiedliches bedeuten kann. Auch dass es mehr als ein Ganzes oder hundert Prozent geben kann, ist zu thematisieren (z.b. in Zusammenhang mit Preissteigerungen, Steuern, usw.). Besonders das Prozentrechnen ist für den weiteren Lebensweg der Schüler/innen wichtig, kommen doch Prozente im täglichen Leben häufig vor (Preisteuerungen, Preisnachlässe, 114

3 Interpretieren am Beispiel des Prozentrechnens 10 Steuern, Zinsen, usw.). Wer keine Vorstellung von Prozenten hat, kann im Alltag dadurch oft Nachteile haben (z.b. Schuldenfalle bei Krediten Zinssatz pro Jahr/pro Monat, usw.). Schüler/innen erwerben durch die Bearbeitung und Durchdringung von Aufgaben im Mathematikunterricht Kompetenzen, sie verbinden das Wissen mit dem Können in unterschiedlichsten Situationen und Problemstellungen. Oftmals wird die Anwendungsfähigkeit als wesentliches Merkmal einer Kompetenz benannt. Das darf allerdings nicht auf die Anwendung in realen Problemsituationen verkürzt werden. Auch die Bewältigung innermathematischer Situationen fordert ein solches Kompetenzspektrum. (Bruder, Leuders & Büchter, 2012, S. 12) Für den Kompetenzaufbau braucht es vor allem im Mathematikunterricht Aufgaben, die den Schülerinnen und Schülern Gelegenheit für ein Beschäftigen mit Mathematik geben. Die Kinder können Mathematik als Feld für eigenes Forschen und Entdecken, für kooperatives Entwickeln von Ideen sowie für gemeinsames Präsentieren und Diskutieren ihrer Resultate erleben. Gleichzeitig sollen die Schüler grundlegendes Verständnis für Mathematik gewinnen und ihre mathematischen Kompetenzen weiterentwickeln. (Ulm, 2008, S. 8) Laut Ulm (2008, S. 8) sind dafür Aufgaben mit folgenden Eigenschaften geeignet: Sie besitzen eine gewisse Offenheit und Komplexität [ ], sodass sie individuelle Lernwege herausfordern und Zugänge auf verschiedenen Niveaus zulassen, sie tragen substanzielle mathematische Muster und Strukturen in sich [ ], deren Erkundung zu tieferen führen kann oder die Aufgaben erfordern die Modellierung außermathematischer Situationen, um die Bedeutung der Mathematik für ein Verständnis der Welt erlebbar zu machen. Neben diesen Eigenschaften, die Aufgaben im Rahmen von Kompetenzorientierung erfüllen sollte, braucht es auch eine entsprechende Lernumgebung sowie einen entsprechenden Umgang mit den Aufgaben (Methoden) (Ulm, 2008, S. 8-9). Besonders in heterogenen Klassen (also in allen Klassen) kann das Ich-Du-Wir-Konzept von Ruf und Gallin (Gallin, 2012, S. 2-7) hilfreich sein. Die drei natürlichen Phasen (individuelles Arbeiten, Lernen mit Partnerinnen und Partnern, Kommunikation im Klassenteam) werden sich im Unterrichtsalltag überlappen und zum Teil mehrmals ablaufen (Ulm, 2008, S. 9-10). Dieses Konzept verbindet individuelles und kooperatives Lernen der Schüler mit fundierten Ergebnissicherungen im Klassenverband. Es schafft Freiräume für binnendifferenzierendes Beschäftigen mit Mathematik und die Berücksichtigung von Heterogenität, ohne dass dem Unterricht der notwendige Zusammenhalt verloren geht. (Ulm, 2008, S. 10) 115

4 10 Interpretieren am Beispiel des Prozentrechnens 2. Aufgaben im Bereich Interpretieren und Prozentrechnung Die angeführten Aufgaben zum Prozentrechnen sollen vorrangig das Interpretieren fördern, wobei auch die anderen Kompetenzbereiche des Kompetenzmodells gefordert sind. Alle Aufgaben wurden von Schülerinnen und Schülern einer Neuen Mittelschule (in Wien) und von Schülern eines Gymnasiums (in Salzburg, reine Knabenklasse) ausprobiert. Im Unterricht wurde nach dem Ich-Du-Wir-Prinzip vorgegangen. Aufgabe 1 In einer Schule mit 240 Schülerinnen und Schülern wurde eine Umfrage zum Thema Haustiere gemacht. Es kam dabei heraus, dass 25 % ein Haustier haben. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? Kreuze an! richtig falsch Ein Viertel der Schülerinnen und Schüler hat ein Haustier. 75 Schülerinnen und Schüler haben kein Haustier. 25 Schülerinnen und Schüler haben ein Haustier. 75 % der Schülerinnen und Schüler haben kein Haustier. Vergleiche deine Antworten mit denen deiner Sitznachbarin/deines Sitznachbarn. Erklärt, was an den falschen Aussagen falsch ist und stellt sie richtig! Abbildung 1: Aufgabenstellung 1 Im Sinne der unterschiedlichen Darstellungsformen müssen die Schüler/innen erkennen, dass 25 % gleichbedeutend mit einem Viertel ist. Ebenso bedarf es der Unterscheidung zwischen Prozentsatz und Prozentwert, die Zahl 25 hat jedes Mal eine andere Bedeutung. Um die Aufgabe zu lösen, braucht es eigentlich keine Berechnung des Prozentanteils. Etliche Schüler/innen haben dies trotzdem zu Kontroll- oder Begründungszwecken gemacht. Die Mehrzahl der Schüler/innen, die diese Aufgabe bearbeitet haben, setzten die Kreuze an die richtigen Stellen. Die Diskussion brachte dann jedoch unterschiedliche Überlegungen und Begründungen hervor, ebenso wie die Richtigstellungen. Lösungen von Schülerinnen und Schülern: Zu Aussage 75 Schülerinnen und Schüler haben kein Haustier. : mehr als 75 Schülerinnen à 75 % 75 % der Schülerinnen und Schüler haben kein Haustier. 180 Schülerinnen und Schüler haben kein Haustier. Zu Aussage 25 Schülerinnen und Schüler haben ein Haustier. : 25 % nicht 25 Schüler/innen 25 % der Schülerinnen und Schüler haben ein Haustier. 60 Schüler haben ein Haustier. 116

5 Interpretieren am Beispiel des Prozentrechnens 10 Aufgabe 2 Die Abbildung zeigt die Flächennutzung auf dem Gemeindegebiet von Gelbdorf. Bestimme, ob die Aussagen richtig oder falsch sind! bebautes Land Wälder Ackerland Wiesen richtig falsch Auf 25 % der Gemeindefläche wächst Gras. 50 % der Fläche ist Ackerfläche. Die Hälfte von 25 % ist bebautes Land. 20 % der Fläche ist bewaldet. Vergleiche deine Antworten mit denen deiner Sitznachbarin/deines Sitznachbarn. Erklärt, was an den falschen Aussagen falsch ist und stellt sie richtig! Abbildung 2: Aufgabenstellung 2 Die Schüler/innen müssen hier den Zusammenhang zwischen grafisch dargestellten Bruchteilen und mit Zahlen angegebenen Prozentwerten herstellen. Es muss ihnen bewusst sein, dass ein Halbes gleichbedeutend mit 50 % ist. Wiederum wurden die Häkchen von der Mehrheit der Schüler/innen in Einzelarbeit (Ich-Phase) korrekt gesetzt. Die Diskussion mit den Kolleginnen und Kollegen zeigte wiederum, wie unterschiedlich gedacht wurde und welch unterschiedliche Begründungen es gibt. Lösungen von Schülerinnen und Schülern zu Aussage 20 % der Fläche ist bewaldet. : 12,5 % der Fläche ist bewaldet. 12,5 % sind bewaldet 12,5 % Wald Die Hälfte von 25 % ist bewaldet. 117

6 10 Interpretieren am Beispiel des Prozentrechnens Aufgabe 3 Eine Meinungsumfrage In einem Ort mit 1500 Einwohnerinnen und Einwohnern wurde eine Umfrage zu folgender Frage durchgeführt: Soll das Grundstück, das an den Hauptplatz grenzt, zu einem Parkplatz umfunktioniert werden? An der Umfrage nahmen 850 Personen teil. Die Ergebnisse sind in folgender Graphik dargestellt: 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0 % ja nein ungültig a) Was kannst du alles aus dem Diagramm ablesen? Besprich dich mit einer Kollegin/ einem Kollegen! Vergleicht anschließend eure Ergebnisse mit einem anderen Team! b) Wie viel Prozent der Personen, die gewählt haben, haben dem Vorschlag zugestimmt? Wie viel Prozent haben den Vorschlag abgelehnt und wie viel Prozent haben ungültig gewählt? c) Wie viele Personen haben somit dem Vorschlag zugestimmt, wie viele haben ihn abgelehnt, wie viele haben ungültig gewählt? d) Sind mehr als die Hälfte der 1500 Einwohnerinnen und Einwohner für oder gegen den Vorschlag? e) Wie soll der Gemeinderat auf Grundlage dieser Umfrage entscheiden? f) Diskutiert in der Klasse, welche Gründe für die Errichtung eines Parkplatzes sprechen und welche dagegen. g) Suche in Zeitungen oder im Internet weitere Ergebnisse von Umfragen. Diskutiert die Darstellungen in Gruppen! Abbildung 3: Aufgabenstellung 3 Von den 20 Schülern des Gymnasiums (reine Knabenklasse) verstanden 11 die Frage a) so, dass sie die jeweiligen Prozentangaben ablesen sollten, wovon 10 dies völlig korrekt machten. Acht Schüler beantworteten die erste Frage allgemein. Da keine Hinweise bzw. 118