EINFACHE LINEARE REGRESSION MODUL 13 PROSEMINAR DESKRIPTIVE STATISTIK ANALYSE UND DARSTELLUNG VON DATEN I GÜNTER HAIDER WS 1999/2000

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1 INSTITUT FÜR ERZIEHUNGSWISSENSCHAFT - UNIVERSITÄT SALZBURG PROSEMINAR DESKRIPTIVE STATISTIK ANALYSE UND DARSTELLUNG VON DATEN I GÜNTER HAIDER WS 1999/2 MODUL 13 EINFACHE LINEARE REGRESSION Erziehungswissenschaft/Haider 1

2 Dieses Modul steht mit dem vorhergehenden (Korrelation) in sehr enger Beziehung. Bei der Untersuchung von Korrelationen/Zusammenhängen zwischen zwei Variablen x und unterscheidet man prinzipiell zwei Fragestellungen: 1. Wie stark ist der Zusammenhang zwischen x und ( - 1) und welche Richtung hat der Zusammenhang (+ oder -)? (das Konzept der Korrelation) 2. Kann man die Kenntnis des Zusammenhangs der Variablen x und dazu benutzen, um aus der Variable x den Wert von vorherzusagen? (das Konzept der Regression) Alltagsprognosen SCHULLEISTUNGSTEST: Punkte im standardisierten Test INTELLIGENZTEST: Ergebnis des Tests/Testpunkte Im Alltagsleben verwenden wir ständig Vorhersagen (und verwenden dazu unsere bisherigen Erfahrungen oder die Erfahrung anderer). Unser Erfolg, ja unser Leben hängt von einigermaßen korrekten Vorhersagen ab: Der Autofahrer aus der Seitenstraße wird bei Rot vor dem Schutzweg anhalten, den ich überqueren will. Wenn ich in mein Lieblingsrestaurant gehe, werde ich gutes Essen bekommen. Wenn die Firmen FOXY und MCC sich zusammenschließen, werden ihre Aktien im Wert steigen. Wenn ich um zur Bushaltestelle des 5ers gehe, wird innerhalb von 1 Minuten ein Bus kommen. Wenn ich mich beim Lernen anstrenge und das lerne, was vorgegeben wird, werde ich bei der Prüfung Erfolg haben. Das Faktum, dass die meisten (aber nicht alle) dieser Vorhersagen eintreffen, spricht für eine gewisse Vorhersagbarkeit menschlichen Verhaltens aus dem, was bisher geschah - ohne sie wäre das Zusammenleben von Lebewesen (und auch die Humanwissenschaft) nicht möglich. Allerdings treffen nicht alle Vorhersagen auch tatsächlich ein - da brauchen wir gar nicht nur an die Wettervorhersage denken (die im übrigen für die 24-Stunden-Prognose inzwischen eine Trefferquote von mehr als 9% hat). Manchmal geht eine Prüfung trotz Anstrengung und trotz des Lernens des gesamten Stoffes negativ aus, manchmal bleibt ein Autofahrer trotz Rot an der Ampel (leider) nicht stehen: Diese prognosewidrigen Ereignisse haben dann verschiedene Ursachen: Oft sind dritte oder mehr Variablen im Spiel, die bei der Prognose noch nicht bekannt oder berücksichtigt wurden (etwa ein Stromausfall in der Stadt, der die Busse des 5ers stilllegt) - oder ein Beteiligter hält sich nicht an die allgemeinen Regeln (und fährt bei Rot über die Ampel). Vieles kann man vorhersagen ( erklären ), manches trifft dann nicht zu bzw. entspricht nicht der Prognose/Schätzung (bleibt vielleicht unerklärbar ). Die Ursache ist häufig, dass die subjektive Erfahrung, auf der wir unsere Prognosen aufbauen, nicht sstematisch gewonnen wurde. Wir ziehen manchmal aus ungenauen und unsstematischen Beobachtungen die falschen Schlüsse, wir schätzen häufig die kausalen Zusammenhänge zwischen Variablen falsch ein (an der Börse wechseln deswegen täglich Milliarden ihren Besitzer). Das Konzept der statistischen Vorhersage unterscheidet sich also gar nicht so stark von der Alltagsprognose: Bei beiden werden vorhandene Informationen zur Vorhersage der Größe der anderen Variable genutzt. Das Streuungsdiagramm (Scatterplot) links zeigt den linearen Zusammenhang zwischen den Variablen x=intelligenztest (UV) und =Schulleistungstest (AV) bei einer Stichprobe von rund 6 Salzburger Schüler/innen (r = +.6, r 2 =.36). Aus dem beobachteten Zusammenhang von x und ist es nun möglich, aus dem Intelligenzpunktewert den Schulleistungspunktewert der Schüler vorherzusagen (allerdings mit gewissen Fehlern). 2 Skriptum Deskriptive Statistik

3 Das Konzept der Regressionsgeraden Würde zwischen zwei Variablen x und eine perfekte Korrelation, d.h. ein funktionaler Zusammenhang bestehen (z.b. r = +1.), so sähe der Scatterplot so aus: perfekte positive Korrelation x Alle Werte (mit den Koordinaten x und ) liegen auf einer Geraden. Dies bedeutet, dass ich bei Kenntnis von x den Wert von exakt und ohne Fehler vorhersagen kann. Beispiel: Für jede Person mit einem x-wert von 8. wird ein -Wert von 6,2 vorhergesagt - und dies trifft perfekt zu (wegen des funktionalen Zusammenhangs). Der geschätzte Wert * und der beobachtete/gemessene Wert stimmen überein. Eine solche Gerade ist durch eine Funktion (z.b. einen Punkt und den Winkel der Steigung) eindeutig bestimmbar, daher lässt sie sich durch folgende Gleichung ausdrücken: * = a + b. x allgemeine Gleichung der Regressionsgeraden Wobei... a dem Abschnitt auf der Ordinate entspricht (d.h. der Länge der -Achse an der Stelle, wo die Gerade die -Achse schneidet) - manchmal wird a auch (Regressions-) Konstante genannt. b dem Anstieg (Tangens, Winkelfunktion) der Geraden entspricht und zwar: b = tg (α). Dabei wird b als Regressionskoeffizient bezeichnet. x die Prädiktorvariable (bzw. der Prädiktor - die unabhängige Variable) ist, d.h. ihr Wert ist bekannt und sie wird zur Vorhersage/Schätzung verwendet. * die geschätzte Kriteriumsvariable (bzw. das Kriterium - die abhängige Variable) ist - ihr Wert wird aus der Kenntnis von x vorhergesagt. Das Sternchen * erhält die Variable zur Unterscheidung von den gemessenen. a *=a+bx Steigung der Geraden Kennt/berechnet man aus einer Stichprobe von Personen die Werte von a und b so kann man mithilfe der x-werte die *-Werte ( die Regressionsgerade ) vorhersagen. Ist die Korrelation wie in diesem Beispiel r = 1 (funktionaler Zusammenhang) so liegen alle Punkte genau auf dieser Regressionsgeraden und eine Schätzung von * aus x ist perfekt. x Begriffserklärung: REGRESSION nennt man den Vorgang der numerischen Schätzung/Vorhersage einer Variable (Kriterium) aus einer anderen (Prädiktor), indem man den Zusammenhang der beiden in einen sstematischen Anteil (ausgedrückt durch die Regressionsgerade) und einen unsstematischen/zufälligen/ Fehler - Anteil (entspricht der Abweichung der beobachteten Punkte von der berechneten Regressionsgeraden) zerlegt.mit der Regressionsrechnung wird jene Gerade ermittelt, die dem Gesamttrend der Daten am besten entspricht. Erziehungswissenschaft/Haider 3

4 Kennt/berechnet man aus einer Stichprobe von Personen die Werte von a und b so kann man für bestimmte x-werte die geschätzten -Werte vorhersagen. Ist die Korrelation wie in diesem Beispiel r=1 (funktionaler Zusammenhang) so liegen alle Punkte p x, genau auf der Regressionsgeraden und eine Schätzung von * (lies: stern) aus x ist perfekt. x Vorsicht: Im sozialwissenschaftlichen Alltag kommen perfekte funktionale Zusammenhänge zwischen Variablen praktisch nicht vor. Bei korrelativen Zusammenhängen (r < 1) liegen die Punkte nicht alle auf der Geraden, sondern verteilen sich in Form einer Punktewolke. Es ist allerdings möglich, eine Regressionsgerade zu berechnen, die mitten durch die Punktewolke verläuft. Dabei haben die beobachteten Punkte/Messwerte einen kleineren oder größeren Abstand von der berechneten Geraden ( Vorhersagefehler ). SCHULLEISTUNGSTEST: Punkte im standardisierten Test Die für Vorhersagen optimale Regressionsgerade ist jene, für die die quadrierte Summe der vertikalen Abweichungen der tatsächlich gemessenen Messwerte von den geschätzten Messwerten minimal ist. Es gilt also, eine optimale (Regressions-)Gleichung zu finden und damit eine Vorhersage- Gerade so durch die Punktewolke zu legen, dass in Summe bei der Vorhersage von * aus x möglichst kleine Fehler passieren. Das ist die Haupt-Problemstellung der einfachen linearen Regressionsrechnung ( einfach heißt sie, weil nur ein Prädiktor verwendet wird). Berechnung der optimalen Regressionsgeraden Ausgangspunkt der Überlegungen sind die Daten einer Stichprobe von Personen, wobei bei jeder Person die Variablen x und gemessen wurden. Aufgrund der in der Stichprobe beobachteten bzw. gemessenen Punktewerte und ihrer Korrelation können wir eine Prognose abgeben. Wir wollen als Beispiel annehmen, dass wir in einer Stichprobe von 616 Schülern bei jedem die Intelligenz (x) und die Schulleistung () gemessen hätten. Wir haben außerdem berechnet, dass die Korrelation r zwischen den beiden Variablen.6 beträgt. Wir suchen nun mithilfe der Gauss schen kleinsten-quadrate-methode nach einer Geraden mitten durch die gemessene Punktewolke (dies lässt sich auch mit dem Augenmaß einigermaßen durchführen - numerisch optimal ist es natürlich nicht). Dies lässt sich nur mithilfe der Differentialrechnung lösen (eine Ableitung ist fast in jedem Statistikbuch angeführt - wird INTELLIGENZTEST: Ergebnis des Tests/Testpunkte aber hier nicht wirklich gebraucht). In der Regressionsgeraden * = a + b. x müssen dann die Konstante a und der Regressionskoeffizient b rechnerisch aus den Daten der Stichprobe so bestimmt werden: s b = r. s a = - ( b. x ) x Formeln zur Bestimmung der Regressionsgeraden 4 Skriptum Deskriptive Statistik

5 In unserem Beispiel mit x (Intelligenz) und (Schulleistung) hat eine Messung in der bekannten Stichprobe die folgenden deskriptiven Kennwerte erbracht: Descriptive Statistics SCHULLEISTUNGSTEST: Punkte im standardisierten Test INTELLIGENZTEST: Ergebnis des Tests/Testpunkte Std. Mean Deviation N 49,25 8, ,241 1, Als Korrelationskoeffizient r wurde,596 berechnet. Setzt man diese Werte nun in die beiden Formeln ein. so berechnen sich die Konstante a und der Regressionskoeffizient b für die Regressionsgerade folgendermaßen: s 8,85 b = r. s b =,596. x 1,92 = 2,79 a = - ( b. x ) a = 49,25-2,79. 6,241 = Es ergibt sich daraus die folgende Regressionsgleichung (für die Regressionsgerade): * = 31,84 + 2,79 x SCHULLEISTUNGSTEST: Punkte im standardisierten Test Im nebenstehenden Streuungsdiagramm ist die für das Beispiel berechnete Regressionsgerade eingezeichnet. Sie wurde nach der Methode der Kleinsten-Abweichungsquadrate berechnet und führt in optimaler Weise mitten durch die Punktewolke der gemessenen Werte von x und. INTELLIGENZTEST: Ergebnis des Tests/Testpunkte Aus der Regressionsgleichung lassen sich nun Vorhersagen machen. Ein Beispiel: Für den Schüler Nr. 11 mit dem Wert 8,4 im Intelligenztest wird daraus folgende Schulleistung (*) geschätzt: * = 31,84 + 2,79. 8,4 = 55,276 Punkte Tatsächlich wurden bei Schüler Nr. 11 aber 61 Schulleistungspunkte gemessen - es ergibt sich daher bei diesem Schüler ein Schätzfehler - * = 5,724 Punkte. Erziehungswissenschaft/Haider 5

6 Der Schätzfehler - die Genauigkeit der Vorhersage Wir haben vorher schon erwähnt, dass die Genauigkeit mit der eine Vorhersage von * aus x erfolgen kann, - von der Stärke der Korrelation zwischen x und abhängt (je stärker der Zusammenhang desto genauer die Schätzung) und - von der Größe der Stichprobe, aus deren Daten die Regressionsgleichung gewonnen wurde (im allgemeinen: je größer die Stichprobe, desto besser die Schätzung). Die Abweichung der geschätzten Werte * von den tatsächlich beobachteten Werte in der Stichprobe wird als Fehler der Vorhersage oder Schätzfehler bezeichnet. Die jeweilige Abweichung von - * bei jeder Person wird in der Regressionsrechnung als Residuum bezeichnet (Mehrzahl Residuen). Beispiel (wie vorher Intelligenz x und Schulleistung ) IQTEST SLTEST gesch tzt Residuum Nr x * - * 1 8, ,799 8,21 2 1,9 3 37,26-7, ,33-4,33 4 7, ,914 1,86 5, ,598 3, ,258-2, , ,689 7, , ,91-3,91 9 7, ,469-7, , ,148-3, , ,244 5, , ,29, , ,29 5, , ,756-4, ,3 5 49,416, , ,923 -, , ,474-3, ,1 5 46,86 3, , ,36 2, , ,421 3, , ,646 14, ,2 43 4,813 2, , ,694 8, ,2 63 4,813 22, , ,593 19, , ,923 6, , , ,88 -,88 In der nebenstehenden Tabelle zeigen wir einen Aussschnitt aus der SPSS-Datenmatrix: - IQTEST (x), der Prädiktor - SLTEST (), das Kriterium - die geschätzten ( predicted ) * - und die Residuen - * (aus dem Übungsdatensatz) Man sieht, dass trotz einer starken Korrelation von r=,6 die geschätzten Werte * von den beobachteten Werten erheblich abweichen. Die Summe aller Residuen ( Σ ( - *) ) ist der Ausgangspunkt für eine Maßzahl, die die Genauigkeit einer Vorhersage ausdrückt: der Standardschätzfehler. Je größer die Residuen in einer Stichprobe, desto größer ist der Standardschätzfehler und die Ungenauigkeit der Vorhersage. Berechnung des Standardschätzfehlers s x (lies: s gegeben x): s x 2 S( - *) = n-1 Der Standardschätzfehler wird ähnlich wie eine Standardabweichung berechnet (statt Mittelwert aber *) - daher sein Name. Er ist als Streuungsmaß die Maßzahl für die Genauigkeit einer Vorhersage. In unserem Beispiel ergibt s x = 7,11. 6 Skriptum Deskriptive Statistik

7 Skizze zur Veranschaulichung des Schätzfehlers bzw. der Residuen (Die Skizze zeigt die ersten beiden Datenpaare aus der vorhergehenden Matrix.) Die Residuen entsprechen der Differenz zwischen dem beobachteten und dem aus der Regressionsgleichung geschätzten *. Je nachdem, ob die Schätzung größer als der beobachtete Wert ist oder kleiner, nimmt das Residuum einen positiven oder einen negativen Wert an. Wäre der geschätzte Wert * = so wäre das Residuum. Schulleistung Sch * tzfehler - Residuum Residuum - * - * negatives Residuum x=1,9 x=8,6 * *=a+bx x Intelligenz Die Genauigkeit bzw. die Ungenauigkeit einer Schätzung mithilfe einer linearen Regression (ausgedrückt durch den Standardschätzfehler s x ) ist von wesentlicher Bedeutung für die Anwendung der Ergebnisse der Berechnungen. Normalerweise ist es bei empirischen Untersuchungen so, dass die an einer Stichprobe gewonnenen Erkenntnisse auf die Grundgesamtheit verallgemeinert (generalisiert) werden. Das bedeutet: Man verwendet die in einer Stichprobe gewonnene Regressionsgleichung auch zur Schätzung von Werten in der Grundgesamtheit aller möglichen Fälle, man generalisiert also über die Stichprobe hinaus. Beispiel: Man erhebt in einer Stichprobe (n = 25 Österreicher/innen zwischen 18 und 64) den Zusammenhang zwischen Nettoeinkommen (UV) und Ausgaben für Lebensmittel pro Person (AV). Aus den Daten berechnet man die lineare Regressionsgleichung. Mit ihrer Hilfe kann man für jeden Österreicher - bei Kenntnis des Einkommens - schätzen, wieviel er für Lebensmittel ausgibt und damit das Stichprobenergebnis für Österreich hochrechnen. Dies ist jedoch nur dann einigermaßen praktikabel, - wenn der Zusammenhang tatsächlich linear ist, und - wenn die verwendete Stichprobe repräsentativ für die Grundgesamtheit und ausreichend groß ist und - die Werte in der Stichprobe tatsächlich gut über den gesamten Wertebereich, für den Schätzungen gemacht werden sollen, streuen, und - der Durchschnitt der Residuen (-*) in allen Abschnitten der x-achse etwa gleich groß ist (Homoskedastizität), und - wenn die Korrelation deutlich größer als und der Standardschätzfehler möglichst klein ist (denn sonst wird die Schätzung zu ungenau). Es besteht folgende Beziehung zwischen der Korrelation und dem Standardschätzfehler: Aus dieser Formel ist ersichtlich, dass der Standardschätzfehler s x = s. 1 - r 2 eine Funktion der Korrelation und der Streuung der abhängigen Variable ist. Je größer r 2 desto kleiner ist s x, je größer die Streuung von, desto ungenauer ist die Schätzung von *. Diese Berechnung von s x ist wesentlich einfacher - daher wird sie in einer händischen Berechnung der Formel auf der vorhergehenden Seite vorgezogen. Der Standardschätzfehler ist numerisch nicht standardisiert (wie z.b. der Korrelationskoeffizient r zwischen und 1) - s x kann theoretisch jeden positiven numerischen Wert annehmen. Daher kann man aus der Größe des Standardschätzfehlers auch nicht unmittelbar auf die Ungenauigkeit oder Genauigkeit einer Vorhersage schließen. Erziehungswissenschaft/Haider 7

8 Die Zerlegung der Varianz - Varianzanteile Wir kennen nun verschiedene Teile der Varianz : - Die Gesamtvarianz der Werte (Totalvarianz,TOTAL) Σ ( - ) 2 TOT - die erklärte Varianz (explained, REGRESSION) Σ (*- ) 2 REGR - die unaufgeklärte Varianz (Restvarianz, residual var.) Σ (*- ) 2 RESID Wobei aufgrund des Additionssatzes der Varianz gilt: TOT = REGR + RESID und weiters: r 2 = REGR / TOT sowie 1-r 2 = RESID / TOT r 2 (das Bestimmtheitsmaß, der Determinationskoeffizient) ist ein Maß für die Güte der Anpassung durch die Regressionsgerade (siehe auch Modul 12). Diese Varianzzerlegung ist vor allem für die Weiterführung des Konzepts in der multiplen linearen Regression (mit mehreren UV bzw. Prädiktoren gleichzeitig) von großer Bedeutung. Die Berechnung der Regressionsgeraden mit SPSS Der Zugriff auf die Berechnung einer linearen Regression erfolgt über die Menüpunkte ANALYZE*REGRESSION*LINEAR. In diesem Menü sind die beiden Variablen, die unabhängige (independent) und die abhängige (dependent) auszuwählen. Im einfachsten Fall ist nichts Weiteres mehr zu tun als OK zu klicken. Danach beginnt die Berechnung der Regressionsgleichung und die im folgenden dargestelle Ausgabe erfolgt innerhalb weniger Sekunden. 8 Skriptum Deskriptive Statistik

9 Ergebnis der Berechnung und Interpretation Model 1 Model 1 R Variables Entered/Removed b Variables Variables Entered Removed Method INTELLIGENZTEST: Ergebnis des Tests/Testpunkte a, Enter a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: SCHULLEISTUNGSTEST: Punkte im standardisierten Test Im ersten Teil gibt SPSS bekannt, welche Variablen (UV/AV) es zur Berechnung verwendet hat und welche Regressionsmethode angewandt wurde (was bei einer einfachen Regression noch nicht von besonderer Bedeutung ist) Model Summar R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate,596 a,356,354 7,11 a. Predictors: (Constant), INTELLIGENZTEST: Ergebnis des Tests/Testpunkte Die Model Summar liefert uns r (,596) und r 2 (R square,,356), ein angepasstes r 2 (adjusted r Square, angepaßt an die Zahl der UV - dessen Bedeutung wir hier übergehen) und den Standardschätzfehler s x (Std. Error of Estimate, 7,11). Model 1 Regression Residual Total ANOVA b Sum of Squares df Mean Square F Sig , , ,748, a 3161, , , 615 a. Predictors: (Constant), INTELLIGENZTEST: Ergebnis des Tests/Testpunkte b. Dependent Variable: SCHULLEISTUNGSTEST: Punkte im standardisierten Test ANOVA bedeutet ANalsis Of VAriance und liefert die Varianzzerlegung in Gesamtvarianz ( Total 48198,), erklärte Varianz (Regression 17136,72) und Restvarianz (Residual 3161,27). Die anderen Angaben wollen wir derzeit noch übergehen. Model 1 (Constant) INTELLIGENZTEST: Ergebnis des Tests/Testpunkte Coefficients a Unstandardized Standardized Coefficients Coefficients B Std. Error Beta t Sig. 31,933,984 32,465, 2,775,151,596 18,45, a. Dependent Variable: SCHULLEISTUNGSTEST: Punkte im standardisierten Test In Coeffizients liefert SPSS nun endlich die gewünschten Werte für a und b: Constant (= 31,933) und den Regressionskoeffizienten b für Intelligenztest () = 2,775. Die Regressionsgleichung lautet daher * = 31, ,775. x Die kleine Abweichung zur händischen Berechnung auf S.5 ergibt sich durch Rundungen. Die restlichen Angaben wollen wir derzeit noch übergehen. Erziehungswissenschaft/Haider 9

10 Darstellung des Scatterplots und der Regressionsgeraden Um ein Streudiagramm der beiden Variablen zu zeichnen und die Regressionsgerade einzufügen geht man in SPSS folgendermaßen vor: GRAPHS*SCATTER*SIMPLE*DEFINE Im folgenden Dialog fügen Sie die UV an der X-Achse (X-Axis) und die AV an der Y-Achse ein. Wählen Sie OK. Nun erscheint der Scatterplot im Output- bzw. Viewerfenster. Doppelklicken sie auf den Scatterplot im Output, um ihn zu editieren. Erscheint er dann im eigenen Fenster wählen Sie CHART*OPTIONS: Wählen Sie hier in der Dialogbox unter Fit Line die Option Total an - dann erscheint davor ein Häkchen. Nach OK wird die Regressionsgerade eingefügt. 1 Skriptum Deskriptive Statistik

11 Damit erhält man den vollständigen Scatterplot mit der Regressionsgeraden *=a+bx. 8 7 SCHULLEISTUNGSTEST: Punkte im standardisierten Test INTELLIGENZTEST: Ergebnis des Tests/Testpunkte Oftmals ist es notwendig, durch Anklicken der Achsen und Verändern der Intervalle auf x oder, oder durch Ändern der Formen und Farben der Punkte oder durch Anpassen der Schrift das Diagramm anzupassen, so dass man es für eine Publikation verwenden kann. Bitte üben Sie spielerisch verschiedene Formen der Änderung des Diagramms mit SPSS. Erzeugen und speichern der geschätzten Werte * und der Residuen - * Mit SPSS lassen sich innerhalb einer Regression auch neue Variablen erzeugen - z.b. für die geschätzten Werte * oder die Residuen für jede Person im Datensatz. Wählen Sie dazu im Menü LINEAR REGRESSION (siehe Seite 8) den Punkt SAVE... zusätzlich an. Wenn Sie die beiden Optionen Unstandardized unter Predicted values und unter Residuals anwählen (Häkchen), Continue klicken und dann mit OK die Regression rechnen, erzeugt SPSS zwei neue Variablen am Ende der Datenmatrix: pre_1 (predicted) und res_1 (residuals). Schauen Sie im Dateneditor nach, ob diese beiden neuen Variablen angehängt wurden. Sie haben nun für jede Person den geschätzten Wert * und das Residuum. Erziehungswissenschaft/Haider 11

12 ÜBUNGSFRAGEN UND PRAKTISCHE ÜBUNGEN zu Modul 13 Einfache lineare Regression 1. Erklären Sie die Konzepte von Korrelation und Regression. Was ist das Ziel in einer Regressionsrechnung? 2. Erläutern Sie das Konzept der Regressionsgeraden und die Bestimmungsstücke der Regressionsgleichung. 3. Wie liegt eine Regressionsgerade, wenn die Korrelation r zwischen x und a) gleich +1 ist? b) gleich -1 ist? c) gleich ist? 4. Wie lautet die Definition der optimalen Regressionsgeraden und nach welchem Prinzip wird sie berechnet? 5. Was bedeuten die Begriffe in einer Regressionsrechnung: x,, s x, s, s x, *, a, b? 6. Was ist ein Residuum und wie wird es berechnet? 7. Wovon hängt die Größe des Schätzfehlers ab? 8. Was ist der Standardschätzfehler und wie wird er berechnet? 9. Unter welchen Voraussetzungen kann das Ergebnis einer Regressionsrechnung zur Schätzung einer Variablen über eine Stichprobe hinaus generalisiert werden? 1.In welche Anteile kann man die Varianz zerlegen und in welcher Beziehung stehen diese Varianzanteile? Was wird im Additionssatz der Varianz behauptet? 11.Welche Beziehung besteht zwischen dem Stndardschätzfehler s x und dem Bestimmtheitsmaß r 2? 12.Die Variablen x und weisen die Varianzen s 2 =9 und x s2 =16 auf und korrelieren mit r=.6 miteinander. a) Wie groß ist der prozentuale Anteil der erklärten Varianz? Erläutern sie, was mit erklärter Varianz gemeint ist. Wie sicher ist die Vorhersage? b) Bestimmen Sie den Standardschätzfehler. Unter welchen Voraussetzungen darf er interpretiert werden? 13. Im Übungsdatensatz: Verwenden Sie die Variable Schulleistungstest (SLTEST), um den Mittelwert NOTE_MW der drei Schulnoten am Ende der Grundschule (DEUNGS, MA- THNGS, ENGNGS) vorherzusagen. a) Wie lautet die vollständige Regressionsgleichung? b) Wie groß ist die Korrelation, die erklärte Varianz bzw. das Bestimmtheitsmaß? c) Wie groß ist der Standardschätzfehler? Wie beurteilen Sie die Genauigkeit der Schätzung? d) Welcher Notenmittelwert wird für einen Schüler geschätzt, der im SLTEST 53 Punkte erreicht hat? e) Wie groß ist das Residuum bei diesem Schüler? f) Erstellen Sie einen Scatterplot mit Regressionsgerade. g) Speichern Sie die geschätzten Werte und die Residuen in eigenen SPSS-Variablen. Wie lauten Mittelwerte und Standardabweichungen der Variablen pre_1 und res_1? h) Setzen Sie für TOT = REGR + RESID die entsprechenden Zahlen ein. Wieviel Prozent beträgt die Fehlervarianz? 12 Skriptum Deskriptive Statistik