Versuch Nr. 1 Aufbauten 1 d bzw. 21 d Erzwungene Schwingungen

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1 Hochschule Augsburg 1. Einführung Versuch Nr. 1 Aufbauten 1 d bzw. 21 d Erzwungene Schwingungen Physikalisches Praktikum Schwingungen sind wiederholt gleich d.h. periodisch hin- und hergehende Vorgänge, als mechanische Schwingungen mit bewegten Massen, als elektrische Schwingungen mit bewegten Ladungen verbunden. In einem schwingungsfähigen System wechselt die Energie zwischen zwei Formen hin und her, bei mechanischen Schwingungen zwischen z.b. potentieller und kinetischer Energie, bei elektrischen Schwingungen z.b. zwischen elektrischer und magnetischer Energie. Bei Abwesenheit von Reibung bzw. elektrischem Widerstand bleibt die Summe der Energien dabei zeitlich konstant. Tabelle 1 Schwingungsgrößen Größe Definition Formelzeichen Phase, Phasen- momentaner Zustand der Schwingung winkel Oszillogramm s(t) Amplitude Schwingungsdauer Frequenz Eigenfrequenz Auslenkung, Ausschlag Kreisfrequenz Kurve der Abhängigkeit der Phase von der Zeit Extremwert der sich periodisch ändernden Größe Zeitlicher Abstand zweier gleicher aufeinanderfolgender Phasen Kehrwert der Schwingungsdauer f=1/t Frequenz, mit der das System unbeeinflußt ( ohne Reibung ) schwingt augenblicklicher Abstand von der Ruhelage Phasenänderung pro Zeit bzw. Änderung des Phasenwinkels pro Zeit s^ T f f 0 s q u Einheit 1 m m s Hz Hz m C V 1/s 1.1 Ungedämpfte Schwingungen Im Idealfall einer Schwingung ohne Reibungseinfluss (bzw. ohne Widerstandseinfluss) ist diese ungedämpft. Nach den Grundgesetzen der Mechanik gilt in jedem Moment Kräftegleichgewicht. F 1 + F = 0 (1) Im Fall der elektrischen Schwingung ist die Summe aller Spannungen im Stromkreis gemäß Kirchhoff Null: U 1 + U = 0 (2) Im Spezialfall der elastischen Schwingung wird eine rückstellende Kraft durch eine elastische Verformung z.b. einer Feder erzeugt. Es gilt das Hooke-Gesetz: F = - D s (3) / Ri / 1 / 1

2 Die Kraft ist so gerichtet, dass sie die Masse m in die Ruhelage zurückzuziehen sucht: Rückstellkraft (Minuszeichen). Der Körper übt eine Trägheitskraft aus: F t = - m a = m d²s/dt² (4) Da die Summe der Kräfte 0 sein muß, ergibt sich: d²s/dt² + D/m s = 0 (5) Dies ist eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung (homogen) für die Funktion s (t). Als Lösung ergibt sich: s(t) = s^ sin ( 0 t + 0 ) (6) Es ergibt sich also ein sinusförmiger Verlauf des Ausschlages in Abhängigkeit von der Zeit mit der Amplitude s^ und der Eigenkreisfrequenz 2 0 = 2 f 0 = (7) T 0 0 ist der Nullphasenwinkel, also die Phase zum Zeitpunkt t=0. Differenziert man (6) zweimal nach t und setzt in die Differentialgleichung (5) ein, so ergibt sich 0, (6) ist also tatsächlich eine Lösung der Differentialgleichung. Es ergibt sich für die Kreiseigenfrequenz ein bestimmter Wert 0 = D/m (8) Die Kreiseigenfrequenz hängt also nur von der Federkonstante D und der Masse m ab. 1 f 0 = D/m (9) 2 T 0 = 2 m/d (10) Elastische Schwingungen können auch ausgelöst werden, wenn statt der mechanischen Kraft als Rückstellgröße Höhendruck einer Flüssigkeitssäule, Überdruck eines komprimierten Gases o- der Spannung eines geladenen Kondensators wirken. 1.2 Gedämpfte Schwingungen Die Amplitude einer Schwingung nimmt in der Regel mit der Zeit ab, da bei jeder Schwingung ein Teil der Energie der Schwingung durch Reibung entzogen wird. Dabei ist das Verhältnis zweier aufeinander folgender Amplituden konstant: s^(n) / s^(n+1) = const. (11) Das Kräftegleichgewicht muß ergänzt werden um eine Reibungskraft F r, die bei innerer Reibung im Medium, in dem der Körper sich bewegt (z.b. Flüssigkeit), proportional der Geschwindigkeit ist: F r = -b v = - b ds/dt (12) Im elektrischen Fall müssen die Spannungen um den Ohm schen Spannungsabfall am Widerstand ergänzt werden: U = - R i = - R dq/dt (13) 93+ / Ri / 1 / 2

3 Es gilt Kräftegleichgewicht: F t + F r + F = 0 (14) und daraus erhält man die Differentialgleichung der gedämpften Schwingung: m d²s/dt² + b ds/dt + D s = 0 (15) umgestellt in die Normalform ergibt sich: Durch Einsetzen von (8) erhält man: d²s/dt² + b/m ds/dt + D/m s = 0 (16) d²s/dt² + b/m ds/dt + 0² s = 0 (17) Als Lösung erhält man eine Sinusschwingung, deren Amplitude exponentiell mit der Zeit abnimmt: s = s^0 e t sin ( d t + 0 ) (18) und mit einer Kreisfrequenz d des gedämpften Systems so wie einer Abklingkonstanten. Durch zweimaliges Differenzieren von (18), Einsetzen in (17) und Vergleich der Koeffizienten von sin und cos erhält man die Lösungen: b Abklinggleichung: = (19) 2 m Frequenzgleichung: d ²= 0 ²- ² (20) Merkdreieck: 0 d Bild 1 Bei der gedämpften Schwingung nimmt die Amplitude also exponentiell mit der Zeit ab und die Eigenfrequenz ist kleiner als die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems f 0 bzw. 0. Den gleichen Gesetzmäßigkeiten, (3) bis (20) folgen auch elastische Drehschwingungen und lineare elektrische Schwingungen, dabei müssen alle Einzelgrößen nach folgenden Schema ersetzt werden / Ri / 1 / 3

4 Tabelle 2 GRÖSSE Auslenkung Bewegung Beschleunigung Mechanische forschreitende Schwingung s ds/dt=v dv/dt=a d /dt =d /dt q dq/dt =i q =di/dt Vergleich von Schwingungssystemen Mechanische elektrische Dreh- Schwingung Schwingung Zeitverlauf sin( t+ ) Trägheit Gegenwirkung Reibungsgröße Rückstellgröße =Richtkraft GRUND- GESETZ (Richtkraft) Energieformen: kinetisch potentiell m D b=2 m F F=-D s W =½mv² kin W =½Ds² pot J D* b*= M r / M M= -D* W =½J ² rot W* =½D* ² pot L 1/C R U U =1/C q W =½Li² mag W =½CU² el =Q²/(2C) 1.3 Erzwungene Schwingung Wirkt auf ein schwingfähiges elektrisches bzw. mechanisches System eine periodisch veränderliche Spannung U bzw. Kraft F ein, so entsteht eine erzwungene Schwingung. Das schwingfähige System hat eine Eigenfrequenz f o (ohne Reibung).Hat die einwirkende periodisch Veränderliche eine wesentlich kleinere Frequenz f 1, so schwingt das System mit der gleichen Frequenz f 1 und mit der gleichen Amplitude und ohne Phasenverschiebung (mit gleicher Phase), die Schwingung erfolgt im Gleichtakt. Je mehr sich die Frequenz der zwingenden äußeren Kraft der Eigenfrequenz f 0 nähert, desto größer wird die Amplitude des schwingenden Systems. Die Amplitude erreicht bei einer Frequenz f r unterhalb von f 0 (Eigenfrequenz) und unterhalb von f d ein Maximum, das ein Vielfaches der Amplitude der zwingenden Ursache erreichen kann. Dieser Fall ist der Resonanzfall. Erhöhung der Frequenz der Äußeren Ursache über die Resonanzfrequenz f r hinaus bewirkt Absinken der Amplitude. Bei erregenden Frequenzen höher als die Resonanzfrequenz f r wird die Phasenverschiebung zu, das heißt, wenn die erregende Ursache im Minimum ist, so ist das schwingende System im Maximum und umgekehrt, die Schwingung erfolgt also im Gegentakt. Je höher die Dämpfung b bzw. R des schwingenden Systems ist, desto kleiner werden die Resonanzüberhöhung, die Amplitude im Resonanzfall und die Resonanzfrequenz f r. f r < f d < f / Ri / 1 / 4

5 Amplitude Resonanzmaximum s^ b=0 b klein s^ b groß 1 f r f r f 0 > f, 0 > r r 0 Bild 2 Phase b=0 =180 b klein b groß - = f >f, Bild 3 RESONANZFREQUENZGLEICHUNG r ² = 0 ²-2 ² Da nahezu jedes mechanische oder elektrische System schwingfähig ist, haben Kurven wie in Bild 2 in Physik und Elektrotechnik größte Bedeutung. Sie werden Resonanzkurven genannt. Bild 3 zeigt den Frequenzgang der Phasenverschiebung. Das Aufstellen der Gleichung des Kräftegleichgewichtes der erzwungenen Schwingung: F t + F r + F = F e (21) (F e = Erregerkraft) führt zu einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung. ^ d²s/dt² + b/m ds/dt + D/m s = F e /m sin( 1 t) (22) Lösung ist wieder eine Sinusfunktion: s = s^s sin ( 1 t- s) Für die Resonanzfrequenz f r = r /2 wird die Amplitude maximal 0 s^(max) = s^e ( / 0 )² / Ri / 1 / 5

6 Für den Fall geringer Dämpfung ( klein) wird das Verhältnis der Amplituden, die sogenannte Resonanzüberhöhung näherungsweise zu: 0 s^(max) /s^e = 2 Einsetzen von (19) und (8) ergibt 0 m D m = 0 = = G 2 b b Diese Resonanzüberhöhung wird in elektrischen Schwingsystemen "Güte" genannt (Abkürzung G). 2._Beschreibung der Apparatur 2.1 Gleichstrommotor Als erregende äußere Ursache für die erzwungene Schwingung wird im Praktikumsexperiment ein Gleichstrommotor verwendet. Dessen Drehzahl oder Winkelgeschwindigkeit ist unbelastet proportional zur Versorgungsspannung. 2.2 Getriebe Motoren geben eine maximale Leistung P bei einer Drehzahl n ab, dabei liegt ein Drehmoment M an. Meist wird ein größeres Drehmoment M bei einer kleineren Drehzahl n benötigt. = 2 n Dazu wird ein Getriebe dazwischen geschaltet, welches die Drehzahl herabsetzt und dabei das Drehmoment heraufsetzt (vgl. Kraftfahrzeug). Es gilt: P = M Da die Energie erhalten bleibt, ist P bei gutem Getriebe, also hinreichend reibungsarmen Getriebe, konstant. 2.3 Resonanzkörper Das Schwingungssystem wird durch eine Masse m=(388 ±5)g, einschließlich Gestänge, an einer Feder mit der Federkonstanten D=(13,2 ±0,3)N/m dargestellt. Die Eigenfrequenz liegt bei etwa 1Hz. Bei kleiner Dämpfung würde die Amplitude bei Resonanzsehr groß werden. Daher schwingt die Masse m in einem mit Wasser gefüllten Zylindergefäß. Die Dämpfung kann durch Anschrauben einer Dämpfscheibe mit 35 mm, 40 mm oder 45 mm Durchmesser erhöht werden. Der Durchmesser des Gewichtes ist 25 mm. 2.4 Frequenzmessung Die Frequenzmessung geschieht mit einem Magneten, der an einer Spule vorbei geführt wird, wobei die periodische Induktionsspannung mit einem Oszillografen abgebildet wird. Der Abstand am Bildschirm von einer Spitze (linker Bildschirmrand) zur nächsten entspricht der Periode. Dazu wird ein Speicheroszilloskop eingesetzt, auf dessen Tastenfeld bedeuten: STOR.: Umschaltung auf Speicherbetrieb, DOT J.: nicht zu bedienen, SINGLE: hält ein Bildschirmbild fest, HOLD: stoppt den Bildschirmbildaufbau. 07 / Ri / 1 / 6

7 3._Messprogramm 3.1 Vorbereitungen Falls der Versuch mit Dämpfscheibe aufgebaut ist, wird der Durchmesser der Dämpfscheibe gemessen. d:... u(d):..., sonst wirkt der Durchmesser des Gewichtes mit 25mm. 3.2 Die Amplitude der Schwingung wird in Abhängigkeit von der Frequenz gemessen, siehe Tabellen 4. Die Phasenlage der Schwingung im Verhältnis zum Erreger wird beobachtet und qualitativ protokolliert (Gleich- oder Gegentakt). Mindestanzahl der Messungen: 16 Dabei wird mit hohen Frequenzen, also der hohen Spannungen U=12V begonnen, weil das System dann wesentlich schneller einschwingt und dann in 1V- Schritten bis 2V gemessen. Zunächst werden die Perioden 5T oder 10 T für jede eingestellte Spannung gemessen. In der Nähe der Resonanz wird die Amplitude deutlich größer. Dort wird der Abstand der Messpunkte verkleinert (0,2 V oder 0,1 V). Tabelle 3 Dämpfscheiben- bzw. Gewichts- Durchmesser:... ±...mm Spannung Periodendauer 5T/s Umkehrpunkt Umkehrpunkt sen- quenz tude Oberer Unterer Pha- Fre Ampli- Motor V oder 10T/s s(o)/mm s(u)/mm lage f/hz s^ /mm 12,... V... ca. 2 V Anregungsschwingung Die Amplituden werden aus der Differenz der Umkehrpunkte errechnet: s^=(s(o)-s(u)) /2. Es wird auch einmal die Anregungsamplitude gemessen. 4._Auswertung 4.1 Aus der Federkonstanten D wird die Eigenfrequenz f 0 errechnet. 4.2 Motorspannung wird gegen Frequenz in ein Koordinatensystem eingetragen und durch die Punkte eine Gerade gelegt. Aus der Steigung wird die Proportionalitätskonstante aus Motorspannung U und Schwingungsfrequenz f entnommen. Die Offsetspannung (Spannung bei Frequenz 0) wird dem Schnittpunkt mit der Koordinate entnommen. 4.3 Die Messungen werden in einem Koordinatensystem Amplitude gegen Frequenz (mm Papier) aufgezeichnet. Dem Diagramm wird der Werte f r entnommen. Die Abklingkonstante wird aus f r errechnet. 4.4 Aus f 0, f r, m und D wird die Dämpfkonstante b errechnet. 09 / Ri / 1 / 7

8 Hochschule Augsburg 1._Einführung Versuch 1b: Aufbauten 1b bzw. 21b GEKOPPELTE SCHWINGUNG Zusatzversuch zu Versuch Nr. 1 Physikalisches Praktikum Werden zwei schwingungsfähige Systeme gekoppelt, so wechselt im allgemeinen Fall die Energie zwischen den zwei gekoppelten schwingungsfähigen Systemen hin und her, bei mechanischen wie elektrischen Schwingungssysthemen nennt man die Zeit zur vollständigen Hin- und Rückübertragung der Energie die Schwebungszeit T sch. Im Spezialfall der elastischen Schwingung einfacher Schwerependel wird eine rückstellende Kraft durch die Schwerkraft, die Kopplung durch eine elastische Verformung z.b. einer einfachen zwischen die Pendel eingespannten Blattfeder mit D K erzeugt. Dies führt zu zwei gekoppelten linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung (homogen) für die Funktionen s 1 (t) und s 2 (t). Als spezielle Lösung ergeben sich zwei Zustände, in denen im Gegensatz zu allen anderen keine Energie ausgetauscht wird. Das ist immer dann der Fall, wenn entweder s 1 (t) = s 2 (t) "Gleichtakt" oder s 1 (t) = -s 2 (t) "Gegentakt", wir nennen diese Schwingungen Eigenschwingungen. Wird nur eines der Pendel angeregt, so wird Schwingungsenergie hin und her übertragen, diesen Zustand nennen wir Schwebung: s 1 (t) = s^ cos ( f sch t) cos (2 f 1 t ) (1) Dies ist eine Kosinus -schwingung mit der Frequenz f 1, deren Amplitude mit der kleineren Frequenz f sch moduliert wird. Somit ist die Nachrichtentechnik eine Anwendung von Modulation, Schwebung und Überlagerung von Schwingungen. Es ergibt sich also ein sinus- förmiger Verlauf des Ausschlages in Abhängigkeit von der Zeit mit der Amplitude s^ und der Kreisfrequenz als Mittelwert der beiden Eigenkreisfrequenzen der beiden Eigenschwingungen: 2 f 1 = (2 f ge +2 f gl ) /2 (2) Die Modulationsfrequenz ergibt sich zu: 2 f mod = (2 f ge -2 f gl ) /2 (3) Die Schwebungsfrequenz zu 2 f sch = (2 f ge -2 f gl ) (4) Es ergeben sich für die Kreiseigenfrequenz zwei bestimmte Werte: Gleichtakt: 2 f gl = D /m (5) Gegentakt: 2 f ge = (D+2D K ) /m (6) Die Amplitude beider Pendel ändert sich, zeitlich versetzt zueinander, zwischen dem Maximalwert ^s und Null. Die Zeitspanne zwischen zwei Zuständen minimaler oder maximaler Amplitude nennen wir Schwebungsdauer: 2 sch = (7) T sch / Ri / 1b / 1

9 Der statische Kopplungsgrad gibt an, wieviel das zweite Pendel durch einen statischen Ausschlag des ersten beeinflußt wird, das heißt welcher Anteil eines statischen Ausschlages sich auf das zweite Pendel fortpflanzt. kann gemessen oder aus den Eigenfrequenzen berechnet werden: s 2 D K (2 f ge )² - (2 f gl )² = = = 2 (8) s 1 D+D K (2 f ge )² + (2 f gl )² 2._Beschreibung_der_Apparatur Der Aufbau besteht aus zwei an einer gemeinsamen Stange aufgehängten Schwerependel, die mit einer abschraubbaren Koppelungsfeder verbunden sind. Die Amplitude kann über eine am Boden befindlichen Metermaßstab gemessen werden, die Periode mit zwei Stoppuhren. 3._Messprogramm 3.1. Die Schwingungsdauern t der Eigenschwingungen werden je 5 mal über jeweils 10 Perioden gemessen: Gleichtakt: T gl und Gegentakt: T ge, dabei werden je zwei Messungen gleichzeitig durchgeführt, Tabelle 1. Tabelle 1 Messung Nr. Periodendauer 10 T /s Periode 1 T / s Amplitude in mm Phasenlage Gleich/Gegentakt 3.2. Jeweils eines der Pendel wird mit mindestens 120mm Amplitude in Schwingung versetzt, die fünffache Periodendauer 5T sowie die einfache Schwebungsdauer (von Ruhezeitpunkt zu Ruhezeitpunkt eines Pendels) wird gemessen, siehe Tabelle 2. Anzahl der Messungen: 10 (5* rechts anstossen, 5* links) Tabelle 2 Messung Periodendauer Nr. 5 T /s Periode 1 T / s Schwebungsdauer T sch /s angestossene Seite 4._Auswertung 4.1. Aus der Periodenmessung 3.1. werden die Mittelwerte und daraus Eigenkreisfrequenzen errechnet Aus der Periodenmessung 3.2. werden die Kreisfrequenz und Schwebungskreisfrequenz errechnet Aus der Ergebnissen 4.1. werden die theoretischen Werte für Kreisfrequenz und Schwebungskreisfrequenz nach (2) und (4) errechnet Aus der Ergebnissen 4.1. wird der Kopplungsgrad nach (8) errechnet. 07 / Ri / 1b / 2