Algebra & Zahlentheorie. Letztes Tutorium. David Müßig. muessig[at]mi.fu-berlin.de WiSe 12/13

Transkript

1 Letztes Tutorium David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de WiSe 12/13 1 Beispiele 1.1 e-te Wurzeln in Z/nZ Bemerkung. Dies ist ein Beispiel zur Bestimmung von e x in Z/nZ, vergleiche hierzu auch Aufgabe 4.3. Aufgabe Bestimme 13 9 in Z/183Z. Lösung. Zunächst einmal zerlegen wir 183 in Primfaktoren: Es ist Dann suchen wir eine Zahl d, so dass 13 d 1 (mod ϕ(183)) gilt. Haben wir dieses d gefunden, so gilt dann für alle a Z/nZ: ( a 13 ) d a 13 d a 1+k ϕ(183) a. (1) (wir setzen dann natürlich a 13 9 und dann können wir die Lösung ganz leicht berechnen). Also berechnen wir dieses d mit dem Euklidischen Algorithmus: ϕ(183) ϕ(61) ϕ(3) ( ) Also ist unser gesuchtes d 37. Jetzt setzen wir in (1) d 37 und a 13 ( 13 9 ein und erhalten 9 13) , bzw

2 Mit können wir das berechnen: ( 27) 9 81 Zur Kontrolle berechnen wir noch ( 81) 13 : ( 81) 13 ( 81) ( 3) ( 81) 9 Also ist tatsächlich ggt(a, b) in Z[i] Bemerkung. Vergleiche z.b. auch Aufgabe 7.2. Aufgabe Berechne ggt(3 + 11i, 5 + i) in Z[i]. Lösung. (1) Zunächst berechnen wir, welches der beiden Elemente größer ist. Die geschieht über die Norm: N(3 + 11i) , N(5 + i) Damit ist N(3 + 11i) die Größere der beiden und wir können den Algorithmus starten. (2) Berechnen von i 5 + i (3 + 11i)(5 i) (5 + i)(5 i) i i Damit gilt (5 + i) (3 + 11i) und somit ist ggt(3 + 11i, 5 + i) 5 + i. Aufgabe Berechne ggt(10 + 5i, 4 + i) in Z[i]. Lösung. (1) Es ist N(10 + 5i) 125 > 17 N(4 + i). (2) Berechne i 4 + i (10 + 5i)(4 i) (4 + i)(4 i) i i (3) Nun suchen wir einen Gitterpunkt, der nahe an p 1 : 45 / /17i liegt: 2

3 Im p 1 q 1 Re Dies ist offensichtlich der Punkt q 1 : 3+i. Damit berechnen wir nun (3+i)(4+i) 11+7i und folglich gilt dann i (3 + i)(4 + i) + ( 1 2i) Zur Kontrolle: N( 1 2i) 5 < 17 N(4 + i). (4) Im nächsten Schritt berechnen wir 4 + i (4 + i)( 1 + 2i) 6 + 7i 6 1 2i i Wieder suchen wir den nächsten Gitterpunkt, welcher hier q 2 ( 1 2i)( 1 + i) 3 + i und damit 4 + i ( 1 + i)( 1 2i) + 1 An dieser Stelle endet der Algorithmus und wir haben folgendes Bild: i (3 + i)(4 + i) + ( 1 2i) 4 + i ( 1 + i)( 1 2i) + 1 : 1 + i ist. Es ist Also ist der ggt(10 + 5i, 4 + i) 1 (bzw. alternative Lösungen sind 1, i, i) und diesen können wir nun wie gewohnt als Linearkombination von i und 4 + i darstellen: 1 (4 + i) ( 1 + i)( 1 2i) (4 + i) ( 1 + i) ((10 + 5i) (3 + i)(4 + i)) ( 3 + 2i)(4 + i) ( 1 + i)(10 + 5i) Aufgabe Berechne ggt(10 + 5i, 3 + i) in Z[i]. Lösung. (1) Es ist N(10 + 5i) 125 > 10 N(3 + i). 3

4 (2) Berechne i 3 + i (10 + 5i)(3 i) (3 + i)(3 i) i i (3) Der nächste Gitterpunkt ist z.b. 3 + i und damit ist (3 + i)(3 + i) 8 + 6i. (4) Weiter geht s: i (3 + i)(3 + i) + (2 i) Es ist N(2 i) 5 < 10 N(3 + i), also ist weiterhin alles in Ordnung. (5) Erneute Division ergibt: 3 + i (3 + i)(2 + i) 2 i (2 i)(2 + i) 5 + 5i 1 + i Z[i] 5 Also sind wir an dieser Stelle fertig, da nun gilt. Der Algorithmus hat folgendes Bild: 3 + i (1 + i)(2 i) i (3 + i)(3 + i) + (2 i) 3 + i (1 + i)(2 i) + 0 und der ggt(10 + 5i, 3 + i) 2 i steht über der 0. 2 Theorie 2.1 Die Homomorphismengruppe Hom Z (Z/aZ, Z/bZ) Definition 1. Es seien a, b Z. Wir definieren die Homomorphismengruppe Hom Z (Z/aZ, Z/bZ) wie folgt: als Menge nehmen wir alle Z-linearen 1 Gruppenhomomorphismen, die von Z/aZ nach Z/bZ gehen, die Verknüpfung definieren wir so: Seien ϕ, ψ Hom Z (Z/aZ, Z/b) und x Z/aZ, dann ist (ϕ ψ)(x) : ϕ(x) + ψ(x). Es bleibt zu klären, ob das wirklich eine Gruppe gibt. Wir müssen also prüfen, ob 1. Ein neutrales Element 1 G existiert, 1 Z-linear bedeutet, dass ϕ(z x) z ϕ(x) für alle z Z gilt. 4

5 2. es zu jedem Element ϕ Hom Z (Z/aZ, Z/bZ) ein Inverses Element ϕ 1 Hom Z (Z/aZ, Z/bZ) mit ϕ ϕ 1 e ϕ 1 ϕ gibt, 3. für ϕ, ψ Hom Z (Z/aZ, Z/bZ) auch ϕ ψ Hom Z (Z/aZ, Z/bZ) gilt. Zu 1. Wann, bzw. für welches ψ gilt ϕ(x) + ψ(x) ψ(x) + ϕ(x) ϕ(x) für alle ϕ Hom Z (Z/aZ, Z/bZ)? Die Antwort ist natürlich ϕ : Z/aZ Z/bZ, x 0. Diese Abbildung ist natürlich ein Gruppenhomomorphismus von Z/aZ nach Z/bZ. Zu 2. Angenommen ϕ : Z/aZ Z/bZ, x ϕ(x) ist ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist auch ein Gruppenhomomorphismus: ϕ 1 (0) : ϕ(0) 0 ϕ 1 : Z/aZ Z/bZ x ϕ 1 (x) : ϕ(x) ϕ 1 (x + y) : ϕ(x + y) (ϕ(x) + ϕ(y)) ϕ(x) ϕ(y) : ϕ(x) 1 + ϕ 1 (y) Außerdem gilt (ϕ ϕ 1 )(x) : ϕ(x) + ϕ 1 (x) ϕ(x) ϕ(x) 0 1 G und damit ist ϕ 1 tatsächlich das Inverse zu ϕ (die Eindeutigkeit des Inversen ist auch klar, da in Z/bZ alle Inversen eindeutig sind). Zu 3. Seien ϕ, ψ Hom Z (Z/aZ, Z/bZ). Dann ist ein Gruppenhomomorphismus: (ϕ ψ) (0) : ϕ(0) + ψ(0) 0 ϕ ψ : Z/aZ Z/bZ x ϕ(x) + ψ(x) (ϕ ψ)(x + y) : ϕ(x + y) + ψ(x + y) ϕ(x) + ϕ(y) + ψ(x) + ψ(y) ϕ(x) + ψ(x) + ϕ(y) + ψ(y) (ϕ ψ)(x) + (ϕ ψ)(y) Also handelt es sich tatsächlich um eine Gruppe. Nun betrachten wir Hom Z (Z/aZ, Z/bZ) nicht mehr als Gruppe, sondern als Modul üder Z. Zu der Addition innerhalb der Gruppe kommt also eine skalare Multiplikation hinzu. Da wir nur Z-lineare Gruppenhomomorphismen betrachten, also solche, für die ϕ(z x) z ϕ(x) gilt, erfüllt diese Multiplikation alle geforderten Eigenschaften, um Hom Z (Z/aZ, Z/bZ) zu einem Z-Modul zu machen. In Aufgabe 6.2 wurde gezeigt, dass Hom Z (Z/aZ, Z/bZ) Z/ggT(a, b)z gilt, was den Modul recht übersichtlich macht. 5