a) Aus welchen logischen Grundeinheiten besteht ein Prozessor? Einheit zur Adress-Übersetzung/Virtueller Speicher

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1 85 Prozessor a) Aus welchen logischen Grundeinheiten besteht ein Prozessor? Rechenwerk/ALU Registerblock Steuerwerk/Leitwerk Befehlsregister Befehlszähler Flags Bus-Treiber-Logik Cache Einheit zur Adress-Übersetzung/Virtueller Speicher b) Welche Schritte führt ein Prozessor aus, wenn er den nächsten Befehl aus dem Speicher lädt? Den Wert des Befehlszählers als Adresse auf den Adress-Bus legen Vom Datenbus das adressierte Datum einlesen Den eingelesenen Wert im Befehls-Register ablegen. c) Wo können die Operanden eines Befehls generell abgelegt sein? Direkt im Befehlswort (Direktoperand/immediate operand) In den Registern Im Speicher

2 86 1 Aufgaben Wie funktioniert ein Computer Bussystem a) In welche drei Busse lässt sich ein Bussystem oft aufgliedern? Adressbus Datenbus Steuerungsbus b) Was ist die Funktion dieser drei Busse? Adressbus: Dient zur adressierung einer Speicheradresse oder eines Geräts Datenbus: Auf dem Datenbus werden die Daten übertragen; sowohl im Fall Lesen als auch im Fall Schreiben Steuerungsbus: Teilt mit, ob gelesen oder geschrieben werden soll bzw. wann gültige Daten auf dem Bus liegen c) Welche dieser Busse sind unidirektional, welche bidirektional? Unidirektional: Adress- und Steuerbus; wird vom Prozessor gesteuert (ausser DMA) Bidirektional: Datenbus (lesen und schreiben)

3 87 Rechner-Architekturen a) Was ist der Haupt-Unterschied zwischen einer Harvard- und einer von Neumann- Architektur? Von Neumann: Daten und Befehle liegen im selben Speicher Harvard-Architektur: Daten und Befehle liegen in unterschiedlichen Speichern. b) Wie kann man die Aussage verstehen, dass heutige Rechnersysteme oft sowohl eine Harvard- als auch eine von Neumann-Architektur haben? Bei heutigen Rechner-Systemen werden häufig für Befehle und Daten verschiedene L1-Caches verwendet. Ab dem L-Cache wird dann oft nicht mehr zwischen Befehlen und Daten unterschieden, d.h. es gibt dann nur noch einen L-Cache in dem dann sowohl Befehle als auch Daten abgespeichert sind.

4 88 1 Aufgaben Wie funktioniert ein Computer

5 .1 Bits, Byte, Datenworte und Logikpegel 89 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f (X ). Eingabe X Programm Prozessor Ausgabe Y Die Art und Weise, wie diese Transformationen durchgeführt werden, ist durch die Programme festgelegt, die von einem Prozessor ausgeführt werden. Beispiele: Dokument drucken: X: Dokument bzw. Datensatz in einer Applikation Y: Befehle/Daten, die an den Drucker geschickt werden müssen, damit dieser das (durch X repräsentierte) Dokument druckt Programm: Applikation, aus der heraus das Dokument gedruckt wird (z.b. Textverarbeitungsprogramm) sowie der Druckertreiber Rastern von Grafiken: X = Repräsentation eines Objekts (z.b. Linie); Y = Farbintensitätswerte von Pixeln Linie von (x 1, y 1 ) nach (x, y ), Dicke: d, Farbe: RGB = (,, ), Hintergrund: weiß X Y Berechnungen: Y aus X berechnen; z.b. X = zwei Vektoren, Y = Skalarprodukt = = 14 3 X Y X und Y sind Daten, die als Zahlen oder als Zeichen interpretiert werden können. Sie werden in Computersystemen durch sog. Bits repräsentiert.

6 9 Darstellung von Zahlen und Zeichen.1 Bits, Byte, Datenworte und Logikpegel Daten werden in Computersystemen durch. Bits dargestellt bzw. als Bits verarbeitet. Der Begriff Bit steht für binary digit und meint Binärziffer, d.h. Ziffern, die nur Werte und 1 annehmen können. Bei der Verarbeitung von Daten durch elektrische Schaltungen entspricht oft dem sog. Low-Pegel, z.b. -, ,3 Volt, und 1 dem sog. High-Pegel, z.b. +, ,3 Volt. 5V High V Low Darüber hinaus findet man auch andere Zuordnungen/Spannungsbereiche. Bei der seriellen Schnittstelle RS-3 beispielsweise entsprechen Spannungen zwischen +3 V V dem Low-Pegel, während Spannungen zwischen -15 V V High-Pegel darstellen. Mit einem einzelnen Bit können nur zwei Zustände, High und Low, dargestellt werden. Um mehr als zwei Zustände gleichzeitig abzubilden, werden mehrere Bits zu einem Datenwort zusammengefasst. Mit einem Datenwort der Breite n Bits lassen sich n verschiedene Low-/High-Kombinationen darstellen. Nachfolgende Abbildung zeigt ein Datenwort der Breite n = 3 Bit sowie die entsprechende Darstellung in Hexadezimal-Schreibweise. 3 Bit breites Datenwort: Prefix Hexadezimale Darstellung: x 6 A 3 8 B F Die hexadezimale Darstellung wird häufig verwendet, da hier immer vier Bits (sog. Nibble) zu einer einzelnen Ziffer zusammengefasst werden: : 1: 1 : 1 3: 11 4: 1 5: 11 6: 11 7: 111 8: 1 9: 11 A: 11 B: 111 C: 11 D: 111 E: 111 F: 1111

7 .1 Bits, Byte, Datenworte und Logikpegel 91 So lassen sich auch längere binäre Datenworte ohne großen Platzbedarf darstellen. Gleichzeitig kann durch die feste 4-zu-1-Abbildung der Wert der einzelnen Bits direkt extrahiert werden. Zur Kennzeichnung einer hexadezimalen Codierung wird das Prefix x verwendet, d.h. hexadezimal codierten Zahlen wird x vorangestellt. Seltener findet man oktale Codierungen. Hier wird das Prefix verwendet. Bei oktaler Codierung werden immer 3 Bits zu einer Ziffer zusammengefasst. 4 Bit breites Datenwort: Oktale Darstellung: Prefix : 1: 1 : 1 3: 11 4: 1 5: 11 6: 11 7: 111 In Computersystemen werden häufig Worte der Breite 8, 16, 3 oder 64 Bit verwendet. Datenworte mit der Wortbreite 8 Bit werden Byte genannt. Ein Byte wird dabei oft als elementare Datenwortgröße angesehen. Alle anderen Datenworte sind dann ein ganzzahliges Vielfaches eines Bytes. Nachfolgende Abschnitte zeigen, wie in Computersystemen mit solchen binären Datenworten Zahlen und Zeichen dargestellt werden. Die darauf folgenden Kapitel zeigen, wie diese Datenworte/Zahlen/Zeichen von Prozessoren verarbeitet werden.

8 9 Darstellung von Zahlen und Zeichen. Zeichen Zeichen sind Symbole (z.b. a, b, c,...), mit deren Hilfe Dinge beschrieben werden können. Zur Darstellung von Texten werden Zeichen zu Zeichenketten (Worte) kombiniert und Zeichenketten in Anordnungen (Sätze) gruppiert. Die Beschreibung findet dadurch statt, dass unser Gehirn beim Lesen lernen die Bedeutung der verschiedenen Zeichenketten (Symbol-Kombinationen) sowie die Bedeutung verschiedener Anordnungen gelernt hat. In Computersystemen werden Zeichen durch Bits repräsentiert. Nachfolgende Tabelle zeigt die Codierung von Zeichen gemäß ASCII-Standard. x x1 x x3 x4 x5 x6 x7 NUL DLE P ` p 71 u Zeichen 1 SOH DC1 STX DC 3 ETX DC3! " # 1 3 A B C Q R S a b c q r s 4 EOT DC4 $ 4 D T d t 5 ENQ NAK % 5 E U e u 6 ACK SYN & 6 F V f v 7 BEL ETB ' 7 G W g w 8 BS CAN ( 8 H X h x 9 HT EM ) 9 I Y i y A NL SUB * : J Z j z B VT ESC + ; K [ k { C NP FS, < L \ l D CR GS - = M ] m } E SO RS. > N ^ n ~ F SI US /? O _ o DEL

9 . Zeichen 93 ASCII (oft auch US-ASCII) steht für American Standards Code for Information Interchange und ist ein weit verbreiteter Standard zur Codierung von 18 ausgewählten Zeichen durch 7 Bit breite Datenworte. Druckbare Zeichen, d.h. Zeichen, die auch am Bildschirm/Drucker ausgegeben werden können, befinden sich ab Bitkombination x, d.h. Zeichen Die unteren 3 Zeichen, d.h. Bitkombinationen x, x1,..., x1f definieren sog. Steuerzeichen. Steuerzeichen wurden früher dafür verwendet um Fernschreiber anzusteuern. x (NUL): Null x1 (SOH): Start of header x (STX): Start of text x1 (DLE): Data link escape x11 (DC1): Device control 1 x1 (DC ): Device control x3 (ETX): End of text x13 (DC 3): Device control 3 x4 (EOT): End of transmission x14 (DC 4): Device control 4 x5 (ENQ): Enquiry x6 (ACK): Acknowledge x7 (BEL): Bell x8 (BS): Backspace x9 (HT): Horizontal tab xa (LF): Line feed; new line xb (VT): Vertical tab xc (FF): Form feed; new page xd (CR): Carriage return xe (SO): Shift out xf (SI): Shift in x15 (NAK): Negative acknowledge x16 (SYN): Synchronous idle x17 (ETB): End of transmission block x18 (CAN): Cancel x19 (EM): End of medium x1a (SUB): Substitute x1b (ESC): Escape x1c (FS): File separator x1d (GS): Group separator x1e (RS): Record separator x1f (US): Unit separator -. B. Protokolle pos - Sytune Point of Sales Die meisten Steuerzeichen werden heute nur noch selten verwendet. Häufig verwendet wird beispielsweise x wird, um das Ende von Zeichenketten anzuzeigen, xa um einen Zeilenumbruch zu markieren, x9 für Tabulatoren.

10 94 Darstellung von Zahlen und Zeichen Der ASCII-Code definiert ausschließlich die Codierung der in Amerika häufig verwendeten Zeichen. Codierungen für international verwendete Zeichen wie bspw. deutsche Umlaute ä, ö und ü sowie ß etc. werden nicht definiert. Dazu muss der ASCII-. Zeichensatz erweitert werden. Beispiele hierzu sind der Standard ISO (Latin-1) oder Zeichentabellen, wie sie unter MS-DOS eingesetzt wurden (z.b. Codepage 85 für Westeuropa). Heute wird häufig der Unicode-Zeichensatz verwendet. Dieser hat zum Ziel, jedem auf der Welt verwendeten Schriftzeichen eine eindeutige Zahl zuzuweisen. Zur Codierung dieser Zahlen werden häufig UTF-8 und UTF-16 eingesetzt. Diese Verfahren codieren den Unicode-Zeichensatz in variable Wortbreiten. So können zur Codierung häufig vorkommender Zeichen geringere Wortbreiten verwendet werden als zur Codierung seltener vorkommender Zeichen. Diese Form der Komprimierung sorgt dafür, das Text aus Sprachen, die auf dem lateinischen Alphabet basieren, effizient abgespeichert bzw. über das Internet übertrag werden können. Nachfolgende Abbildung zeigt die Codierung gemäß UTF-8. Codierung xxxxxxx Unicode-Zeichen x - x7f (entspricht ASCII) Anzahl In Einser = Anzahl Byte 11xxx 1xxxxxx 111xxx 1xxxxxx 1xxxxxx 1111xxx 1xxxxxx 1xxxxxx 1xxxxxx x8 - x7ff x8 - xffff x1 - x1ffff Im Gegensatz dazu wird in UTF-3 jedes Unicode-Zeichen mit 3 Bit codiert. Vorteil: Einfach zu codieren; Nachteil: Hoher Speicherbedarf für Texte.

11 .3 Zahlen 95.3 Zahlen Zahlen dienen zur Darstellung von Größen/Beträgen. Sie werden durch Ziffern dargestellt. Zahl: 1 4, engl. digit von Ziffer Ziffer Ziffer Ziffer late digitms der Finger Ziffern sind Zeichen, die jedem Element einer Symbol-Menge (z.b. {, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } ) ein Vielfaches eines Grundbetrags als Wert zuordnen. Beispiel: ist nichts bzw. keinmal der Grundbetrag, 1 ist der Grundbetrag, ist zweimal so viel wie der Grundbetrag; 3 ist dreimal so viel wie der Grundbetrag, etc. := 1 := := 3 := 4 := 5 := 6 := 7 := 8 := 9 := Die Menge der in einem Zahlensystem vorgesehenen Symbole wird Basis b genannt. Beispiel: Im Zahlensystem zur Basis b = gibt es nur zwei Symbole: und 1. Mit einer Ziffer können nur b verschiedene Dinge/Werte dargestellt werden. Um mehr als b verschiedene Werte abzubilden werden mehrere Ziffern aneinandergereiht. Dabei erhöht sich mit jeder weiteren Ziffer die Anzahl unterschiedlicher Symbol-Kombinationen um den Faktor b. Durch Aneinanderreihung von n Ziffern zu einer n Stellen langen Zahl lassen sich b b {z... b} = b n verschiedene Symbolkombinationen und damit b n verschiedene Werte/Beträge n mal darstellen. Nachfolgende Abbildung zeigt die Symbole zur Darstellung von Beträgen mit zwei Ziffern aus der Symbolmenge, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

12 .. 96 Darstellung von Zahlen und Zeichen neues 1 3.uamengmhhs Symbol = start , wenn höchst - wetrgezifter erreicht, dann bei Null und vorausgehende zhewswgtwa ' nightly Abhängigkeit vom Wert Der kleinste Wert wird dadurch repräsentiert, dass alle Ziffern das Symbol des niedrigsten Werts darstellen. Ausgehend vom kleinsten Wert wird der nächst höhere Wert stets dadurch repräsentiert, dass bei der rechtesten Ziffer das dem nächst höheren Ziffern- Wert entsprechende Symbol ausgewählt wird. Ist bei einer Ziffer bereits das werthöchste Symbol ausgewählt, wird bei dieser Ziffer das wertniedrigste Symbol ausgewählt. Gleichzeitig wird die links angrenzende Ziffer durch das dem nächst höheren Ziffern-Wert entsprechende Symbol ersetzt.. :O. Durch dieses Vorgehen haben die einzelnen Ziffern-Positionen unterschiedliche Wertigkeiten. Numeriert man die Ziffern-Positionen i von rechts nach links durch, beginnend mit i =, dann hat jede Ziffernposition den Wert b i. Beispiel mit b = 1: :O..... :O.. 1,. :O Zahl: 1 4 Stellen- Wertigkeit: 1 3 =1 1 =1 1 1 =1 1 =1 Der Wert der Zahl ergibt sich zu = 14.

13 .3 Zahlen 97 Im Gegensatz zu Ziffern-Positionen links von i =stellen Ziffern-Positionen rechts von i =, d.h. i <, nicht ein Vielfaches des Grundelements dar, sondern einen Bruchteil des Grundelements. Nachfolgende Abbildung zeigt am Beispiel b = 1, wie die Stellenwertigkeit von links nach rechts auf b i, d.h. b 1, b, b 3,... reduziert wird. Aufteilen des Grundelements in b = 1 gleich große Teile Grundelement b = 1 b -1 =,1 b - =,1 b -3 =,1 i Sind Stellen i < vorhanden, so wird der Übergang (i = )! (i < ) durch das Komma-Symbol gekennzeichnet. Zahl: 1 4, 5 Stellen- Wertigkeit: 1 3 = 1 1 = = 1 1 = 1 Komma 1-1 =,1 1 - =,1 Da es unendlich viele Zahlen gibt, verfügen Zahlen (theoretisch) über unendlich viele Stellen vor bzw. nach dem Komma. Für in der Praxis auftretende Zahlen werden in der Regel jedoch nur wenige Stellen vor und wenige Stellen nach dem Komma benötigt. Die restlichen (unendliche vielen) führenden bzw. nachlaufenden Nullen werden nicht dargestellt.

14 - 98 Darstellung von Zahlen und Zeichen.4 Codierung von Festkommazahlen Festkommazahlen sind Zahlen, bei denen das Komma an einer zuvor vereinbarten, d.h. festen Position steht. Nachfolgende Abbildung zeigt eine solche Festkommazahl: n-1 Y Y Y X X X X X X X X, Annahme unendlich vieler führender Stellen, die nicht dargestellt/abgespeichert werden n Stellen zur Aufnahme von n Ziffern; X = b-1; führende Nullen werden bei Darstellungen oft weggelassen Komma nach der Einer-Stelle Annahme unendlich vieler nachfolgender Nullen, die nicht dargestellt/abgespeichert werden X steht für die Ziffern, 1,..., b-1, wobei b die Basis des verwendeten Zahlensystems darstellt (z.b. b = für Binärzahlen, b = 1 für Dezimalzahlen,...). n ist die Wortbreite, d.h. es stehen n Bits zum Abspeichern der Zahl zur Verfügung..am#hitehtnrabha-ngig Y steht für die unendlich vielen Stellen, die nicht mit abgespeichert werden. Festkommazahlen funktionieren nach dem zuvor beschriebenen Prinzip Vielfaches eines Grundelements. Aus diesem Grund sind die Abstände zwischen zwei benachbarten Zahlen stets gleich groß (Äquidistanz). stand gleichgroß TF auch Vorzeichenlose Festkommazahlen Vorzeichenlose Festkommazahlen haben kein Vorzeichen, d.h. sie sind stets positiv. Der Wert v (v = value) einer vorzeichenlosen Festkommazahl ergibt sich zu: frames :p v =(a n 1 b n a 1 b 1 + a b ) b r Koeffizienten -7-7 r = radix n ist die Stellenzahl, d.h. die maximale Menge an Ziffern, die zur Darstellung Wortbnitl Position des kommen bzw. Abspeicherung der Zahl vorgesehen ist. In Prozessoren wird häufig eine Stellenzahl von n = 8, 16, 3 oder 64 (Binär-) Stellen verwendet. In der Mathematik gibt es keine begrenzte Stellenzahl; dort gilt n!1. b ist die Basis des Zahlensystems, z.b. 1 für das Dezimalsystem (Ziffern...9) oder für Binärzahlen (Ziffern und 1). Ziffern an der Stelle i haben die Wertigkeit b i. In Prozessoren wird aufgrund der Darstellung von Werten durch

15 .4 Codierung von Festkommazahlen 99 Logik-Pegel Low und High als Basis b =verwendet. Die Koffizienten a i sind die Ziffern an den Stellen i. Die Werte der Ziffern liegen im Bereich...(b 1) und geben an, wie oft die Wertigkeit der jeweiligen Stelle zum Wert der Zahl beiträgt. Der Wert von r (r = radix) legt die Position des Kommas fest: r =: Dieser Fall ist der Normalfall: Durch Multiplikation mit b r = b =1 bleibt v = a n 1 b n a 1 b 1 + a b. Das Komma steht hinter der Einer-Stelle und wird weggelassen. Es werden ganze Zahlen mit den Werten, 1,..., b n 1 dargestellt. r > : Durch Multiplikation mit b r können größere Zahlen dargestellt werden, jedoch auf Kosten geringerer Genauigkeit. Die Ziffern der Zahl werden um r Stellen nach links geschoben, die frei werdenden Positionen werden mit Nullen aufgefüllt. Das Komma wird weggelassen. Darstellungsbeispiel einer Festkommazahl für n = 8 und r = 3: xxxxxxxx. Die Zeichen x stehen dabei jeweils für eine der Ziffern a n 1... a. r < : Da r <, entspricht die Multiplikation mit b r einer Division durch b r, d.h. das (nach der Einer-Stelle implizit stehende) Komma wird um r Stellen nach links geschoben. Die Genauigkeit erhöht sich auf Kosten der größtmöglich darstellbaren Zahl. Darstellungsbeispiel für n =8und r = 3: xxxxx,xxx. = : zuvor Zitter nach wird links Im folgenden werden nur noch Dezimalzahlen (b = 1) und Binärzahlen (b = ) betrachtet. geschoben Wie Skalarpodnkt : : = =134

16 1 Darstellung von Zahlen und Zeichen Nachfolgender Zahlenring zeigt die Zuordnung von Binär- zu Dezimalzahlen für diese Codierung: v " " 1111 Dgarsklhmgsngel io 15 : f Ii Richtung steigender 11 4 Werte Die Darstellung zeigt, dass die Richtung steigender Werte bei beiden Codierungen (Binär und Dezimal) identisch ist. Als Folge können bei dieser Darstellung für die gewählte Binärcodierung dieselben Rechenregeln angewendet werden, wie bei Dezimalzahlen. Beispiel: = = 11 } Unit Regel von S. 96 ( wie wird nächst größerer Wet dargestellt

17 .4 Codierung von Festkommazahlen 11 X Aufgaben Die folgenden Aufgaben betrachten Binärzahlen, d.h. b =. a) Welches ist die kleinste darstellbare vorzeichenlose Festkommazahl? b) Wieviele unterschiedliche vorzeichenlose Festkommazahlen können mit n Bit dargestellt werden? n c) Geben Sie für r =den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl in Abhängigkeit von n an. n 1 ( Eins d) Geben Sie für n =8und r =den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an. # ( n 1) r = n+r r = 8+ 4 = 1 (Binär: ) als " weniger ) \ hibihurdankuwug_ e) Betrachten Sie den Zahlenring. Wie kann man einen Überlauf von vorzeichenlosen Zahlen feststellen? Das Carry-Out-Bit, d.h. das Bit an der Stelle MSB + 1 ist gesetzt. f) Sind alle Abstände vorzeichenloser Binärzahlen zum nächst kleineren und nächst größeren Nachbarn äquidistant? Skizzieren Sie für r = und n = 3die entsprechenden Werte auf dem Zahlenstrahl. Ja, die Abstände sind äquidistant.,5,5,75 1, 1,5 1,5 1,75

18 1 Darstellung von Zahlen und Zeichen Im Folgenden gilt n =8und r =. g) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um. Dezimal Binär vorzeichenlos h) Wandeln Sie folgende hexadezimale Zahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um. Hexadezimal x x7a8f3de Binär vorzeichenlos A 8 F 3 D E i) Berechnen Sie = 3 im Binärsystem. 4 = ) = )

19 .4 Codierung von Festkommazahlen 13 Im Folgenden gilt n =6und r = 3 alles ein Vielfaches von fg j) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um. Dezimal,15 1,75 3,375 5 Binär vorzeichenlos k) Berechnen Sie,5 + 4,375 im Binärsystem.,5 1 = 1 1 4,375 1 = (= 6,65 1 ) } selber Recheusduma wie zuvor bei r =

20 14 Darstellung von Zahlen und Zeichen Aufgaben Tutorium Im Folgenden gilt n =8, r =. T a) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um. Dezimal Binär vorzeichenlos T b) Berechnen Sie im Binärsystem. 17 = ) = )

21 .4 Codierung von Festkommazahlen 15 T c) Geben Sie für n =6und r =3den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an. ( n 1) r = n+r r = = 54 Binär: Im Folgenden gilt n =8und r = 3 T d) Wandeln Sie die angegebenen Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um. Dezimal,375 7,5 1 1,5 17,65 Binär vorzeichenlos T e) Berechnen Sie 1,75 + 3,15 im Binärsystem. 1,75 1 = ,15 1 =

22 16 Darstellung von Zahlen und Zeichen Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen Es gibt verschiedene Möglichkeiten, binäre vorzeichenbehaftete Festkommazahlen darzustellen: Vorzeichen und Betrag Einer-Komplement Zweier-Komplement Vorzeichen und Betrag Bei dieser Darstellung werden Vorzeichen und Betrag der Zahl separat abgespeichert: Das Vorzeichen wird repräsentiert durch das höherwertigste Bit: Hat das Bit den Wert, ist die Zahl positiv, hat das Bit den Wert 1, ist die Zahl negativ. Der Betrag der Zahl wird durch die restlichen Bits dargestellt. Ob eine Zahl positiv oder negativ ist, kann direkt am MSB abgelesen werden. Zur Negation einer Zahl muss nur das höherwertigste Bit geändert werden. Ein Problem bei dieser Darstellung ist die doppelte Null:... ) ) Nachfolgende Abbildung zeigt für n =4die Zuodnung von Binär- zu Dezimalzahlen. Für positive Zahlen ist die Richtung steigender Werte für Binär- und Dezimalzahlen die selbe. Für negative Zahlen ist die Richtung jedoch unterschiedlich; Beispiel: = 111 : Bewegung im Uhrzeigersinn = 1 1 : Bewegung gegen den Uhrzeigersinn Ergebnis falsch: 1 1 6= 111 vgl. Aussenbahn mnenbahn nächste Seite vgl. nächste Seite

23 .4 Codierung von Festkommazahlen 17 gemäß : = negativ positiv s : Aufgaben a) Welche Auswirkungen hat es, dass für negative Zahlen die Richtung steigender Werte nicht übereinstimmt? Da beide Bewegungsrichtungen nicht übereinstimmen, können Zahlen in der Codierung Vorzeichen und Betrag nicht in der gleichen Weise addiert werden, säum :D wie im Dezimalsystem. bzlw subhakiet. b) Ist der Wertebereich symmetrisch? Begründung! Ja, da sowohl für positive als auch für negative Zahlen der Betrag mit denselben Bits codiert wird, muss der Wertebereich symmetrisch sein.

24 18 Darstellung von Zahlen und Zeichen c) Geben Sie den Wertebereich für r =in Abhängigkeit von n an. ( n 1 1),...,, +,..., n Bit = K 1 = 3-1 = 7 d) Codieren Sie für n =8und r =die folgenden Zahlen binär in die Darstellung Vorzeichen und Betrag. Dezimal -1 Binär e) Codieren Sie für n =6und r = die folgenden Zahlen in die binäre Darstellung Vorzeichen und Betrag. Dezimal -,5 5,5 Binär

25 .4 Codierung von Festkommazahlen 19 Aufgaben Tutorium T a) Codieren Sie für n =8und r =die folgenden Zahlen binär in die Darstellung Vorzeichen und Betrag. Dezimal Binär T b) Codieren Sie für n = 6 und r = die angegebenen Zahlen in die binären Darstellung Vorzeichen und Betrag. Dezimal -3,75 -,5 7,5 Binär

26 11 Darstellung von Zahlen und Zeichen Einer-Komplement Bei dieser Darstellung werden zur Negierung einer Zahl alle Bits invertiert. Um eine eindeutige Unterscheidung zwischen positiven und negativen Zahlen zu gewährleisten, ist der Betrag der Zahlen auf n 1 1 beschränkt. Dadurch kann das Vorzeichen der Zahl wieder direkt am MSB abgelesen werden ( ) positiv; 1 ) negativ). Der Vorteil dieser Darstellung im Vergleich der Darstellung Vorzeichen und Betrag liegt darin, dass die Codierung der negativen Zahlen in derselben Richtung erfolgt wie die Codierung der positiven Zahlen, so dass positive und negative Zahlen auf die gleiche Art und Weise addiert (bzw. subtrahiert) werden können Yhnhny,. % : negativ positiv ":)msn.sn 111

27 - (.4 Codierung von Festkommazahlen 111 vorzeichen los... " -1 :D Aufgaben a) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung für r = in Abhängigkeit von n an..it?iti?::::i μ ( n 1 1),...,, +,..., n 1 1 b) Geben Sie den Wertebereich der :#: Einer-Komplement-Darstellung allgemein in Abhängigkeit von r und n an. ' ( n+r 1 b r ),...,, +,..., n+r 1 b r c) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung für r = und.+1.1 n =8an. 31,75,..., 31,75 d) Ist der Wertebereich asymmetrisch?.it#i1).e Nein. Der Wertebereich ist symmetrisch. e) Codieren Sie für n =8und r =die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement. Dezimal Binär 'E± Eu :) hihwyativ ) ~ - für zu '.. +4mm. zr ) -

28 11 Darstellung von Zahlen und Zeichen f) Codieren Sie für n = 6 und r = die folgenden Zahlen im Einer-Komplement. Dezimal -,5 1,1 Binär iüsuertier 5, g) Zeigen Sie an einem Beispiel, wie sich bei dieser Codierung zur Addition von Binärzahlen derselbe Algorithmus verwendet lässt wie zur Addition von Dezimalzahlen sowohl bei positiven als auch bei negativen Werten. Positiver Bereich: =5 1, = 11 Negativer Bereich: = 4 1, = 111 ÜÖ wer. h) Wann gibt es bei Verwendung der Einer-Komplement-Codierung Probleme bei der Addition? Die doppelte Null macht Probleme: =1 1 6, = 4 i) Wie könnte man das Problem lösen? Andere Codierung wählen, so dass die doppelte Null verschwindet: 1111, , , 8 1 ) Nach dem invertieren noch... 1 addieren. Das ist dann das sog. Zweier- Komplement.

29 .4 Codierung von Festkommazahlen 113 Aufgaben T a) Codieren Sie für n =8und r =die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement. Dezimal Binär T b) Codieren Sie für n = 6 und r = die folgenden Zahlen binär im Einer- Komplement. Dezimal -3,75 -,5 7,5 Binär

30 114 Darstellung von Zahlen und Zeichen Zweier-Komplement Beim Zweier-Komplement wird zunächst das Einer-Komplement gebildet und dann noch binär der Wert 1 addiert. Auf diese Weise wird die doppelte Null vermieden. Der Wertebereich wird asymmetrisch, was jedoch kein Problem darstellt. Berechnungen können in dieser Codierung mit demselben Algorithmus durchgeführt werden wie im Dezimalsystem. Aus diesem Grund werden vorzeichenbehaftete Festkomma-Zahlen in der Regel im Zweier-Komplement codiert. 111 passt auch +3=1 ogling :^ negativ positiv Aussenring wie linke vorher beim winning 1W hompnmeut Hälfte und - Stelle im verschoben Uhrzeigersinn

31 .4 Codierung von Festkommazahlen 115 Aufgaben a) Codieren Sie für n = 8 und r = die folgenden Zahlen binär im Zweier- Komplement. Dezimal -1 Binär b) Codieren Sie für n = 6 und r = die folgenden Zahlen im Zweier-Komplement. Dezimal -,5 5,5 Binär ,1 : 11,1-4111,11 c) Wie lässt sich im Zweier-Komplement ein Überlauf feststellen? Es tritt ein Überlauf auf, wenn man zwei positive Zahlen addiert und eine negative Zahl als Ergebnis erhält, oder wenn man zwei negative Zahlen addiert und eine positive Zahl als Ergebnis bekommt.

32 116 Darstellung von Zahlen und Zeichen d) Berechnen Sie im Zweier-Komplement. für na 8, rz = 37 + ( 53) 37 = ) = ) er = er = Wert: Einer Komplement: 1111 Zweier Komplement: 1 ) 16

33 .4 Codierung von Festkommazahlen 117 Aufgaben Tutorium T a) Codieren Sie für n = 8 und r = die folgenden Zahlen binär im Zweier- Komplement. Dezimal Binär T b) Codieren Sie für n = 6 und r = die folgenden Zahlen binär im Zweier- Komplement. Dezimal -3,75 -,5 7,5 Binär T c) Berechnen Sie 17-3 im Zweier-Komplement. 17 = ) = ) er = er = Wert: Einer Komplement: 11 Zweier Komplement: 11 ) 6

34 118 Darstellung von Zahlen und Zeichen.5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754 Durch die fest definierte Kommastelle sind bei Festkommazahlen die Abstände zwischen den einzelnen Zahlenwerten äquidistant. Aus diesem Grund (und aufgrund der endlichen Anzahl an Stellen n) können mit Festkommazahlen nicht gleichzeitig sehr große Zahlen und sehr kleine Zahlen dargestellt werden. Bei Gleitkommazahlen ist diese Einschränkung aufgehoben. Die Abstände zwischen den einzelnen Zahlenwerten sind um den Wert herum sehr klein. Für große Zahlen werden die Abstände sehr groß, wie in nachstehender Grafik skizziert. Erreicht wird diese Eigenschaft dadurch, dass die Position des Kommas nicht im Voraus festgelegt ist, sondern in der Zahl durch Angabe eines Exponenten e definiert wird. Der Exponent legt fest, um wieviel die Kommastelle nach links oder rechts verschoben werden muss. Das Komma gleitet Ehitkomma zahl Gleitkommazahlen werden wie folgt codiert: s e f Bei 3 Bit breiten Gleitkommazahlen (einfache Genauigkeit) gilt die Aufteilung s = 1 Bit e = 8 Bit f = 3 Bit, bei 64 Bit breiten Gleitkommazahlen (doppelte Genauigkeit) gilt die Aufteilung s = 1 Bit e = 11 Bit f = 5 Bit. Als Wert ergibt sich für für normalisierte Gleitkommazahlen (Normal-Fall) v =( 1) s 1,f e K, für de-normalisierte Gleitkommazahlen (Spezial-Fall) v =( 1) s,f 1 K.

35 .5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE Die Konstante K hat bei einfacher Genauigkeit :(3 Bit) den Wert K = 17, bei doppelter Genauigkeit (64 Bit) den Wert K = 13. Eine Gleitkommazahl gilt als normalisiert, wenn beim Exponenten e weder alle Bits gesetzt noch alle Bits gelöscht sind, d.h. < e < 55 bei 3 Bit < e < 47 bei 64 Bit. Eine denormalisierte Gleitkommazahl liegt vor, wenn e =und gleichzeitig f >. Spezialfälle: : e = f = ±1: s: +1 ); 1 ) 1 e: alle Bits gesetzt ) 55 bei 3 Bit, 47 bei 64 Bit f: alle Bits NaN (Not a Number) e: alle Bits gesetzt ) 55 bei 3 Bit, 47 bei 64 Bit f: > Aufgaben Format von Gleitkommazahlen FTI a) Welchen Wert hat eine Zahl, die in 64 Bit Gleitkomma-Notation mit xc8 codiert wird? s = 1 e-k = = 3 f = :# or Wert: -1, = -11,1 = -1,5

36 1 Darstellung von Zahlen und Zeichen. 1 b) Welchen Wert < hat eine Zahl, die in 64 Bit Gleitkomma-Notation mit x4 codiert wird? = e und S De-normalisiert, da e = = k v =,5 1 = 1-13=-1 c) Welchen Wert hat eine Zahl, die in 3 Bit Gleitkomma-Notation mit x7f8 fist cin codiert wird? /1 - :-O ehat alle Bits gesetzt d) Was ist eine denormalisierte Gleitkommazahl, wie wird sie codiert und wie berechnet sich ihr Wert? Bei normalisierten Gleitkommazahlen wird eine 1, direkt vor den Bruchteil f hinzugefügt. Bei denormalisierten Gleitkommazahlen ist es eine,. Codierung: e =; f > ; Wert: v =( 1) s 1 K.f e) Welchen Nutzen haben denormalisierte Gleitkommazahlen? Mit denormalisierten Gleitkommazahlen können um den Wert herum betragsmäßig viel kleinere Zahlen dargestellt werden als bei normalisierten Gleitkommazahlen. f) Geben Sie ein Beispiel an, wie es zu einem Ergebnis kommen kann, das keine Zahl ist. Wurzel einer negativen Zahl. (Auch möglich: Division /)

37 .5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE Rechnen mit Gleitkommazahlen a) Codieren Sie 3,65 und 13,5 als 3 Bit breite Gleitkommazahlen und tragen Sie das Bitmuster in die angegebene Tabelle ein. 3.65: = s = e K =1 e = K + 1 = = 18 f = : = s = e K =3 e = K + 3 = = 13 f = ,65: ,5:

38 1 Darstellung von Zahlen und Zeichen b) Berechnen Sie 3, ,5 im Binärsystem bei Verwendung einer 3 Bit Gleitkommacodierung. Exponent 3.65: 1 Exponent 13.5: 11 Exponent von 3.65 dem von 13.5 anpassen (Exponenten müssen gleich sein, bevor die Mantissen addiert werden können). 13.5: Exponent Bruchteil/Mantisse : Exponent Bruchteil/Mantisse (führende 1,) Mantissen addieren: Normalisieren: Mantisse normalisieren: ! Exponent normalisieren: 1 1! 1 11 Bitmuster des Ergebnisses:

39 .5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE c) Bestimmen Sie aus dem Ergebnis-Bitmuster das Ergebnis der Addition 3, ,5 ( 1) 1, = 11,1 = 17,15 1 T d) Codieren Sie 1,75 und 5,15 als 64 Bit breite Gleitkommazahlen und tragen Sie das Bitmuster in die angegebene Tabelle ein. 1,75: 1.11 = 1.11 s = e K = e = K = 13 f = ,15: 11.1 = 1.11 s = e K = e = K + = 13 + = 15 f = , ,

40 14 Darstellung von Zahlen und Zeichen T e) Berechnen Sie 1,75 + 5,15 im Binärsystem bei Verwendung einer 64 Bit Gleitkommacodierung. Exponent 1,75: Exponent 5,15: 11 Exponent von 5,15 dem von 1,75 anpassen (Exponenten müssen gleich sein, bevor die Mantissen addiert werden können). 1,75: Exponent Bruchteil/Mantisse , ,15: Exponent Bruchteil/Mantisse 11 1, , ,1... Mantissen addieren: 1, ,1 11,111 Renormalisieren: Mantisse: 11,111! 1,1111 Exponent: ! 11 Bitmuster des Ergebnisses:

41 .5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE T f) Bestimmen Sie aus dem Ergebnis-Bitmuster das Ergebnis der Addition 1,75 + 5,15 ( 1) 1, = 11,111 = 6,875 1

42 16 Darstellung von Zahlen und Zeichen

43 3.1 Schaltungselemente 17 3 Arithmetische Schaltungen 3.1 Schaltungselemente Logikgatter Treiber; gibt am Ausgang denselben Logikpegel aus, der auch am Eingang anliegt Inverter; gibt am Ausgang den Logikpegel des Eingangs invertiert aus UND-Verknüpfung; gibt am Ausgang 1 aus, wenn beide Eingänge auf 1 liegen, anderenfalls ; die Anzahl der Eingänge kann auch > sein NICHT-UND-Verknüpfung; gibt am Ausgang aus, wenn beide Eingänge auf 1 liegen, anderenfalls 1; die Anzahl der Eingänge kann auch > sein ODER-Verknüpfung; gibt am Ausgang 1 aus, wenn mindestens ein Eingang auf 1 liegt, anderenfalls ; die Anzahl der Eingänge kann auch > sein NICHT-ODER-Verknüpfung; gibt am Ausgang 1 aus, wenn kein Eingang auf 1 liegt, anderenfalls ; die Anzahl der Eingänge kann auch > sein Exklusiv-ODER-Verknüpfung/Antivalenz; gibt am Ausgang 1 aus, wenn beide Eingänge unterschiedliche Pegel aufweisen, anderenfalls Exklusiv-NICHT-ODER-Verknüpfung/Äquivalenz; gibt am Ausgang 1 aus, wenn beide Eingänge identische Pegel aufweisen, anderenfalls Multiplexer Multiplexer wählen einen von mehreren Eingängen aus und leiten den dort anliegenden Logikpegel an den Ausgang weiter. Nachfolgende Abbildung zeigt einen 1 Bit -auf-1- Multiplexer, einen 1 Bit 4-auf-1-Multiplexer, einen n Bit 4-auf-1-Multiplexer sowie die zugehörigen Wertetabellen. Der Steuereingang s legt fest, welcher der Eingänge a, b,... an den Ausgang durchgereicht wird. Annahme : Durchlauf züt pauschal 1 Galler laut zeit t

44 18 3 Arithmetische Schaltungen 1 a b y s a b c d y s a b c d y s n n n n n s y a 1 b s y a 1 b 1 c 11 d y a) Tragen Sie in nachfolgende Abbildung ein, wie sich ein 4 Bit 4-auf-1 Multiplexer aus vier 1 Bit 4-auf-1 Multiplexer aufbauen lässt