16.1 OLS-Schätzung eines Mehrgleichungssystems

Transkript

1 Kapitel 16 Mehrgleichungsmodelle & SUR-Schätzung ( Seemingly Unrelated Regression 161 OLS-Schätzung eines Mehrgleichungssystems Bisher haben wir uns nur mit der Schätzung einzelner Gleichungen sowie mit entsprechenden Tests beschäftigt Tatsächlich sind gerade in ökonomischen Systemen die Zusammenhänge häufig von komplexerer Natur, sodass sie in einer einzelnen Gleichung oft nicht mehr adäquat abgebildet werden können, selbst für die Beschreibung des einfachsten Marktmodells werden schon mindestens zwei interdependente Gleichungen benötigt Im folgenden Kapitel werden wir aber noch keine echte Simulatanität berücksichtigen, sondern uns auf die einfachste Art von Mehrgleichungsmodellen beschränken Konkret werden wir in diesem Kapitel noch keine endogenen Variablen auf der rechten Seite der Gleichungen zulassen, sondern nur eine Abhängigkeit der Gleichungen untereinander über die Störterme Dies vereinfacht die Analyse beträchtlich und erlaubt ua auch einen einfachen Einstieg in komplexere Modelle Tatsächlich sind diese einfacheren Modelle aber auch von einiger praktischen Relevanz In diesem Abschnitt werden wir zuerst zeigen, wie auch Mehrgleichungssysteme in Matrixschreibweise angeschrieben und in mit einer einzigen OLS Regression geschätzt werden können Im nächsten Abschnitt über die SUR Schätzung werden wir zeigen, wie diese Methode einfach erweitert werden kann, um zusätzliche Interdependenz der Störterme zwischen den Gleichungen zuzulassen Ein Beispiel für eine solche Interdependenz der Störterme zwischen den Gleichungen sind die Faktornachfragen von Firmen Die bedingten Faktornachfragen einer Firma hängen von den Faktorpreisen und dem produzierten Output ab Auch wenn die Faktornachfrage einer Firma nicht unmittelbar von der Faktornachfrage anderer Firmen abhängt, so werden doch die Störterme der Faktornachfragefunktionen einzelner Firma zb aufgrund fehlender Variablen ( ommitted variables, wie zb Konjunktureinflüsse häufig miteinander korreliert sein 1

2 Empirische Wirtschaftsforschung Ein klassischer Datensatz für solche Faktornachfragefunktionen geht auf Grunfeld zurück, der sich bereits vor einem halben Jahrhundert mit der Investitionsnachfrage von Firmen beschäftigte, siehe Kleiber and Zeileis (010 Aufgrund theoretischer Überlegungen erwartete er, dass die Investitionsnachfrage I it einer Firma i zum Zeitpunkt t von den erwarteten Gewinnen und dem gewünschten (optimalen Kapitalstock abhängt Da diese beiden Variablen nicht direkt beobachtbar sind verwendete Grunfeld als Proxyvariable fürdie Gewinnerwartungen den Marktwert der Firma V it und als Proxyvariable für den optimalen Kapitalstock den realisierten Kapitalstock zu Beginn der Peride K it (für nähere Details siehe zb Griffiths et al, 1993, 543ff Der Grunfeld Datensatz enthält ein Panel mit drei Variablen (I,V,K für 0 Zeitperioden ( und für 10 Firmen, wobei wir uns hier auf die zwei Firmen General Electric (GE und Westinghouse beschränken Wir könnten zb die Investitionsnachfrage für beide Firmen einzeln schätzen, wobei wir für General Electric den Index 1 und für Westinghouse den Index verwenden I 1t β 11 +β 1 V 1t +β 13 K 1t +ε 1t I t β 1 +β V t +β 3 K t +ε t Diese zwei Gleichungen können (wenn die Gauss-Markov Annahmen erfüllt sind effizient mit OLS geschätzt werden Damit unterstellen wir implizit, dass sich die β s der zwei Firmen unterscheiden können, aber dass die β s beider Firmen über die Zeit konstant sind Wir könnten auch andere Annahmen treffen, zb dass sich die β s zwischen den Firmen und zwischen den Zeitperioden t unterscheiden können Dies würden wir etwas allgemeiner folgendermaßen anschreiben y it β it,1 +β it, x it, +β it,3 x it,3 +ε it wobei i das Individuum (zb GE oder Westinghouse und t die Zeitperiode (t 1,,0 bezeichnet Die letzte Gleichung impliziert, dass für jede Firma i und für jede Zeitperiode t unterschiedliche Koeffizienten zugelassen werden Man beachte, dass diese Gleichung in dieser Form nicht geschätzt werden kann, da sie mehr zu schätzende Parameter als Beobachtungen enthält Für eine Schätzung müssen vereinfachende Annahmen getroffen werden, und die radikalste Annahme ist, dass sich Koeffizienten weder zwischen den Firmen noch in der Zeit unterscheiden, also alle Firmen zu jeder Zeitperiode die gleichen βs haben β it,1 β 1, β it, β, β it,3 β 3 mit E(ε it 0, var(ε it σ, cov(ε it,ε js 0 Man nennt dieses Modell gepoolt, und dieses Modell kann sehr einfach mit OLS geschätzt werden, sofern die entsprechenden Annahmen erfüllt sind Dazu werden

3 Empirische Wirtschaftsforschung 3 die Variablen einfach aufeinander gestapelt ( stacked, zb I 1,1 β 1 +β V 1,1 +β 3 K 1,1 +ε 1,1 I 1, β 1 +β V 1, +β 3 K 1, +ε 1, I 1,0 β 1 +β V 1,0 +β 3 K 1,0 +ε 1,0 I,1 β 1 +β V,1 +β 3 K,1 +ε,1 I, β 1 +β V, +β 3 K, +ε, I,0 β 1 +β V,0 +β 3 K,0 +ε,0 und auf diese gestapelten Daten wird der übliche OLS Schätzer angewandt Für die gepoolten Grunfeld Daten erhält man Dependent Variable: INV Method: Least Squares Included observations: 40 Variable Coefficient Std Error t-stat Prob C β V β K β R-squared Log likelihood Adjusted R-squared Akaike info criterion SE of regression Schwarz criterion Sum squared resid F-statistic Durbin-Watson Stat Prob(F-statistic Ob die Parameter tatsächlich für beide Firmen (bzw über alle Individuen gleich sind kann zb mit einem einfachen F-Test überprüft werden (das nicht restringierte Modell sind zwei getrennte Gleichungen für die Firmen, und das restringierte Modell ist das obige gepoolte Modell Eine etwas weniger restriktive Annahme ist bzw mit für i j und t s β it,1 β i,1, β it, β i,, β it,3 β i,3 y it β i,1 +β i, x it, +β i,3 x it,3 +ε it E(ε it 0, var(ε it σ i, cov(ε it,ε is cov(ε it,ε jt 0 Das bedeutet, wir nehmen weiterhin an, dass alle Koeffizienten über die Zeit konstant sind, aber wir lassen zu, dass sie sich zwischen den Firmen unterscheiden Das ist genau das Modell, das wir Anfangs erwähnt haben, und die einfachste Möglichkeit dieses Modell zu schätzen besteht darin, eine eigene OLS-Regressionen für jede der beiden Firmen zu schätzen

4 Empirische Wirtschaftsforschung 4 In Matrixnotation y 1 X 1 β 1 +ε 1 y X β +ε wobei im Grunfeld Beispiel y 1 ein T 1 Vektor mit den Investitionen von GE, X 1 eine T 3 Matrix mit den erklärenden Variablen (inklusive konstantem Term und β 1 ein 3 1 Vektor für GE ist (für Westinghouse gilt entsprechendes Wenn ε 1 N(0,σ 1 I T ε N(0,σ I T können diese Gleichungen einzeln mit OLS geschätzt werden Man erhält für GE Dependent Variable: I1 Method: Least Squares Included observations: 0 ˆβ 1 (X 1X 1 1 X 1y 1 ˆβ (X X 1 X y Variable Coefficient Std Error t-stat Prob C β V1 β K1 β R-squared 0705 Log likelihood Adjusted R-squared 0671 Akaike info criterion 9631 SE of regression 7883 Schwarz criterion 9781 Sum squared resid F-statistic 0344 Durbin-Watson Stat 107 Prob(F-statistic 0000 und für Westinghouse Dependent Variable: I Method: Least Squares Included observations: 0 Variable Coefficient Std Error t-stat Prob C β V β K β R-squared 0744 Log likelihood -737 Adjusted R-squared 0714 Akaike info criterion 763 SE of regression 1013 Schwarz criterion 777 Sum squared resid F-statistic 4761 Durbin-Watson Stat 1413 Prob(F-statistic 0000

5 Empirische Wirtschaftsforschung 5 Man beachte, dass dabei keine Interdependenz zwischen den Gleichungen angenommen wird Eine alternative und für das folgende wichtige Art diese beiden Gleichungen zu schätzen ist die Daten entsprechend zu stapeln ( stacken Damit können mit einer einzigen OLS-Schätzung alle Parameter des Modells unabhängig geschätzt werden Für die Grunfeld Daten schreiben wir dazu die beiden vorhergehenden Gleichungen folgendermaßen in Matrixschreibweise an ( I1 I β 11 ( β 1 ı V1 K β ı V K β 1 + β β 3 wobei ı einen Einsen-Vektor für das Interzept bezeichnet Wenn wir für (ı V i K i X i schreiben und unter Verwendung partitionierter Matrizen können wir dies wieder kürzer schreiben ( ( ( ( y1 X1 0 β1 ε1 + y 0 X wobei wir für die OLS-Schätzung annehmen müssen, dass die Störterme der beiden Firmen nicht miteinander korreliert sind, dh ( [( ( ] ε1 0 σ N, 1 I T 0 ε 0 0 σi T β ε ( ε1 ε das heißt, dass die Varianz-Kovarianzmatrix W der Störterme ε 1 und ε W E(εε E [( ε1 ε (ε 1 ] ε ( E(ε1 ε 1 E(ε 1ε ( σ E(ε ε 1 E(ε ε 1 I T 0 0 σi T Dieses Modell kann auch als Einzelgleichungsmodell mit gruppenweiser (dh firmenspezifischer Heteroskedastizität angeschrieben werden Wir definieren y ( y1 y y 11 y 1 y 1T y 1 y y T, β ( β1 β β 11 β 1 β 13 β 1, ε β β 3 ( ε1 ε ε 11 ε 1 wobei y it die Beobachtung für Firma i und Zeitpunkt t ist, während β hi der Koeffizient der x-variable h von Firma i ist ε 1T ε 1 ε ε T

6 Empirische Wirtschaftsforschung 6 x 111 x 11 x 113 x 11 x 1 x 13 ( X1 0 X x 1T1 x 1T x 1T3 0 X 0 0 x 11 x 1 x 13 x 1 x x 3 x T1 x T x T3 Die Reihenfolge der drei Subindizes ist Individuum i, Zeit t und Variable h, dh x,5,3 bezeichnet zb die Beobachtung des Individuums zum Zeitpunkt 5 der 3 Variable In kompakter Matrixschreibweise ist dies wieder und y Xβ +ε [ ( ] σ ε N 0, 1 I T 0 0 σi T Wenn σ1 σ kann dieses Modell ganz normal mit OLS geschätzt werden Man beachte, dass dieses Modell auch mit Hilfe von Dummy-Variablen geschätzt werden kann y t β 01 +δ 0 D t +β 11 x 1t +δ 1 D t x 1t +β 1 x t +δ D t x t +ε t wobei die Dummy-Variable D t zb für die erste Firma den Wert Null und für die zweite Firma den Wert Eins annimmt Wenn σ1 σ kann es mit GLS (Generalized Least Squares geschätzt werden Der GLS Schätzer ist ˆβ GLS (X W 1 X 1 X W 1 y mit W var(ε E(εε und der Varianz-Kovarianzmatrix von ˆβ GLS var (ˆβGLS (X W 1 X 1 Wenn die Varianz-Kovarianzmatrix W eine blockdiagonale Form hat erhalten wir

7 Empirische Wirtschaftsforschung 7 auch mit GLS wieder den OLS Schätzer ˆβ GLS (X W 1 X 1 X W 1 y [ (X1 ( 0 σ 1 ( ] 1 1 I T 0 X1 0 0 X 0 σi T 0 X ( ( X1 0 σ 1 ( 1 I T 0 y1 0 X 0 σ I T y σ1(x 1 X 1 ( σ1(x 1 y 1 0 σ(x X 1 σ(x y ( 1 ( (X 1 X 1 1 X 1 y 1 (X X 1 X y (ˆβ1 ˆβ ˆβ OLS Wenn die Störterme der einzelnen Gleichungen untereinander unkorreliert sind führt die Anwendung des GLS-Schätzers auf das Gleichungssystem also wieder zum exakt gleichen Ergebnis wie die Anwendung des OLS-Schätzers auf die beiden einzelnen Gleichungen Aber natürlich werden sich die OLS Standardfehler von den GLS Standardfehlern unterscheiden Der GLS-Schätzer ist in EViews unter den Systemschätzverfahren unter Weighted LS (Cross Equation Weighting verfügbar Obwohl damit die Effizienz dieser Systemschätzung gegenüber den OLS-Schätzungen nicht erhöht werden kann ist es manchmal praktisch, wenn man Restriktionen über verschiedene Gleichungen implementieren will Außerdem ist es ein guter Ausgangspunkt für ein allgemeineres statistisches Modell Wenn hingegen die Störterme der einzelnen Gleichungen untereinander korreliert sind kann die Effizienz der Schätzung durch Berücksichtigung dieser Information erhöht werden Genau dies passiert bei der SUR-Schätzung 16 Das SUR Modell Das Seemingly Unrelated Regressions Modell geht auf den bekannten Ökonometriker A Zellner zurück und wird deshalb auch manchmal Zellner-Schätzer genannt Wir haben bisher angenommen, dass der Störterm ε 1 von General Electric nicht mit dem Störterm ε von Westinghouse korreliert ist, σ 1 σ 1 0 Bekanntlich sieht die Realität häufig anders aus, da zb nicht berücksichtigte Variablen (zb Zinssätze in den Störtermen ihren Niederschlag finden Es ist deshalb sehr plausibel zu vermuten, dass die Störterme zwischen den Gleichungen korreliert sein werden Die Berücksichtigung einer solchen Korrelation sofern sie in der Grundgesamtheit tatsächlich vorhanden ist wird deshalb die Effizienz der Schätzung erhöhen Bisher haben wir angenommen, dass [( ε1 (ε W E ε 1ε ] ( ( E(ε1 ε 1 E(ε 1 ε σ E(ε ε 1 E(ε ε 1 I T 0 0 σ I T

8 Empirische Wirtschaftsforschung 8 Im folgenden wollen wir eine Korrelation zwischen den Störtermen in der gleichen Zeitperiode ( contemporaneous correlation zulassen, aber wir werden weiterhin annehmen, dass Störterme unterschiedlicher Zeitperioden unkorreliert sind Eine Korrelation innerhalb einer Zeitperiode bezeichnen wir im folgenden als kontemporäre ( contemporaneous oder intratemporale Korrelation, eine Korrelation zwischen verschiedenen Zeitpunkten als intertemporale Korrelation Um dies zu verdeutlichen schreiben wir das Nebendiagonalelement E(ε 1 ε von W ausführlicher an ε 11 ε 1 E(ε 1 ε E ε 1T ( ε1 ε ε T ε 11 ε 1 ε 11 ε ε 11 ε T ε 1 ε 1 ε 1 ε ε 1 ε T E ε 1T ε 1 ε 1T ε ε 1T ε T Wie wir sehen sind die Elemente auf der Hauptdiagonale die Kovarianzen zwischen den Gleichungen in der gleichen Zeitperiode Wir bezeichnen diese kontemporäre (intratemporale Kovarianz mit σ 1, dh cov(ε 1t,ε t E(ε 1t ε t σ 1 für t 1,,,T Von den Nebendiagonalelementen, die die Korrelation zwischen den Störtermen von unterschiedlichen Gleichungen in verschiedenen Zeitperioden angeben, nehmen wir weiterhin an, dass sie im Erwartungswert Null sind, dh cov(ε 1t,ε s E(ε 1t ε s 0 für t s Unter diesen Annahmen ist σ E(ε 1 ε 0 σ 1 0 σ 1I T 0 0 σ 1 Die neue Spezifikation des gemeinsamen Störterms der beiden Firmen ist also ( [( ( ] ε1 0 σ N, 1 I T σ 1 I T ε 0 σ 1 I T σ I T bzw ε N(0,W

9 Empirische Wirtschaftsforschung 9 mit σ σ1 0 W 0 0 σ1 σ σ σ 1 σ σ σ 1 σ σ σ Dies kann mit Hilfe des Kronecker Produkts auch einfacher geschrieben werden W ( σ 1 I σ 1 I σ 1 I σ I ( σ 1 σ 1 σ 1 σ I Zusammenfassend können wir das Modell also folgendermaßen schreiben y Xβ +ε mit bzw ausführlicher mit ( y1 y ( ε1 ε ε N(0,W ( X1 0 0 X N [( 0, 0 ( β1 β + ( ε1 ε ( ] σ 1 I T σ 1 I T σ 1 I T σ I T Im Unterschied zum früheren GLS Schätzer erlaubt dieses System Korrelationen der Störterme verschiedener Gleichungen in der gleichen Zeitperiode Zellner nannte dieses Modell SUR ( Seemingly Unrelated Regression Modell Dieses Modell kann wieder einfach mit GLS geschätzt werden ˆβ SUR (X W 1 X 1 X W 1 y [ (X1 ( 0 σ 1 ( ] 1 1 I T σ 1 I T X1 0 0 X σ 1 I T σi T 0 X ( ( X1 0 σ 1 ( 1 I T σ 1 I T y1 0 X σ 1 I T σ I T y Die entsprechende Varianz-Kovarianzmatrix ist ] var(ˆβ SUR E [(ˆβ SUR β(ˆβ SUR β (X W 1 X 1 Wenn die Varianz-Kovarianzmatrix W bekannt wäre, so wäre dieser Schätzer unverzerrt und effizient Aber ähnlich wie früher muss diese Matrix aus der Stichprobe geschätzt werden, und der resultierende FGLS Schätzer ist nur noch konsistent

10 Empirische Wirtschaftsforschung 10 Die Varianzen und Kovarianzen σ ij werden dabei aus OLS Regressionen geschätzt s ij ˆσ ij (y i X iˆβi (y j X jˆβj /T ˆε iˆε j T Der einzige Unterschied zu früher ist, dass wir durch T anstatt durch T k dividieren, weil k nicht mehr eindeutig definiert ist, wenn sich die Anzahl der Spalten in X i und X j unterscheiden, aber asymptotisch macht dies keinen Unterschied Alternativ verwenden manche Programme auch 1 s ij ˆσ ij ˆε iˆε j (T ki (T k j oder s ij ˆσ ij für eine ausführlichere Diskussion siehe zb (Greene, 007, 58 ˆε iˆε j (T max(k i,k j Die aus der Stichprobe geschätzte Varianz-Kovarianzmatrix der Störterme Ŵ ist also ( s Ŵ 1 I T s 1 I T s 1 I T s I 1 (ˆε 1ˆε 1 I T ˆε 1ˆε I T T T ˆε ˆε 1I T ˆε ˆε I T Der SUR Schätzer wird also auch in einem zweistufigen Verfahren geschätzt: 1 Zuerst werden aus den Residuen einer OLS-Schätzung die Varianz-Kovarianz Matrix Ŵ geschätzt, anschließend wird mit Hilfe dieser Varianz-Kovarianz Matrix der FGLS Schätzer berechnet ˆβ SUR (X Ŵ 1 X 1 X Ŵ 1 y mit var(ˆβ SUR (X Ŵ 1 X 1 Achtung: In zwei Fällen führt der SUR-Schätzer zu den exakt gleichen Ergebnissen wie der OLS Schätzer: 1 Wenn die kontemporäre (intratemporalen Kovarianzen σ ij 0 für i j, oder wenn die Daten in der X-Matrix für alle Gleichungen numerisch identisch sind, dh X i X j (dh nicht nur die gleichen erklärenden Variablen vorkommen, sondern für alle erklärenden Variablen der Individuen die gleichen Zahlen verwendet werden; für einen Beweis siehe zb Greene 003, S 343f Während der erste Fall eher selten auftreten dürfte kommt der zweite Fall häufiger vor Zum Beispiel folgt aus dem CAPM ( Capital Asset Pricing Model r it r ft α i +β i (r mt r ft +ε it wobei r it die Rendite von Aktie i zum Zeitpunkt t ist, r ft die Rendite einer risikofreien Anlage und r mt die Marktrendite ist Vermutlich sind die Störterme ε von zwei 1 Im Packet systemfit von R kann dies zb mit der Option methodresidcovgesteuert werden

11 Empirische Wirtschaftsforschung 11 verschiedenen Aktien nicht unabhängig, weil sie zb von Markttrends abhängen Deshalb wäre es vermutlich besser diese Abhängigkeit zwischen den Gleichungen für die Schätzung zu berücksichtigen Wenn aber für alle Aktiengleichungen die gleiche Rendite einer risikofreien Anlage und die gleiche Marktrendite r mt verwendet werden bringt SUR keinerlei Vorteile Ähnlich wenn zb die Nachfrage nach Rind-, Schweine- und Geflügelfleisch untersucht werden soll Da diese Substitute sind macht es Sinn die Preise der anderen Fleischsorten in jeder Gleichung zu berücksichtigen, ebenso wie das Einkommen Da diese aber für jede Gleichung gleich sind erhält man exakt die gleichen Ergebnisse wie bei Einzelgleichungsschätzungen 161 Ein Test auf kontemporäre Korrelation Wenn die Störterme verschiedener Gleichungen nicht in den gleichen Zeitperioden korreliert sind ist die Anwendung des OLS Schätzers auf die Einzelgleichungen BLUE, die Anwendung eines FGLS Systemschätzers könnte die Eigenschaften also nur verschlechtern, ist also nicht effizient Für einen Test auf eine solche kontemporäre Korrelation kann der quadrierte Korrelationskoeffizient zwischen ε 1 und ε verwendet werden r 1 (s 1 s 1 s Unter Gültigkeit der Nullhypothese H 0 : σ 1 0 ist TC Tr 1 a χ 1 Wenn TC kleiner ist als der kritische Wert der χ Verteilung (für ein 5% Signifikanzniveau bei einem Freiheitsgrad ist der kritische Wert χ c 384, dh wenn T C < 384 kann das Modell als Einzelgleichungen mit OLS geschätzt werden Für drei Gleichungen sind Null- und Alternativhypothese Die Teststatistik H 0 : σ 1 σ 13 σ 3 0 H 1 : mindestens ein σ ij 0 (i j TC T(r 1 +r 13 +r 3 a χ 3 ist asymptotisch χ verteilt mit (G 1G/ 3 Freiheitsgraden, wobei G die Anzahl der Gleichungen ist (in diesem Fall ist G 3 Allgemein für G Gleichungen ist die entsprechende Teststatistik für kontemporäre Korrelation G i 1 TC T rij a χ q i Unter H 0 ist diese Teststatistik asymptotisch χ q verteilt mit q (G 1G/ Freiheitsgraden j1

12 Empirische Wirtschaftsforschung 1 16 Test von Koeffizientenrestriktionen Einer der großen Vorteile von Systemschätzern besteht darin, dass sie einfache Tests von Restriktionen über verschiedene Gleichungen erlauben Zum Beispiel könnten wir testen, ob sich die Koeffizientenvektoren von General Electric und Westinghouse unterscheiden, dh H 0 : β 1 β In der üblichen Schreibweise ist dies wieder Rβ R ( β1 β β β β 1 0 β 0 β 3 Unter der Nullhypothese H 0 : Rβ 0 ist die folgende Teststatistik m asymptotisch F-verteilt mit q k Zähler- und (T k Nennerfreiheitsgraden TF (R ˆβSUR [R(X Ŵ 1 X 1 R ] 1 (R ˆβSUR /q a Fq,(T K Falls TF größer ist als der kritische Wert der F-Verteilung muss die Nullhypothese verworfen werden und es sollte nicht das restringierte ( gepoolte Modell geschätzt werden Falls TF kleiner als der kritische Wert der F-Verteilung ist kann durch die Schätzung des restringierten Modells die Genauigkeit der Schätzung verbessert werden, da aus den G T Beobachtungen deutlich weniger Parameter geschätzt werden müssen Man beachte übrigens, dass das restringierte Modell einfach durch aufeinanderstocken der X 1 und X Matrizen geschätzt werden kann, dh ( ( ( y1 X1 ε1 γ + y 163 Daten und Software X Sowohl für Panel- als auch für Mehrgleichungsmodelle haben wir jür jedes Individuum, bzw jede Gleichung, wiederholte Beobachtungen In vielen Fällen liegen die Beobachtungen für jedes Individuum in getrennten Zeitreihen vor, wie zb in Tabelle 161 für den gekürzten Grunfeld Datensatz für drei Firmen und die Jahre für die Variablen inv und value Diese Anordnung der Daten wird häufig als Wide -Format bezeichnet Tabelle 161: Daten im Wide -Format (Grunfeld Daten obs year inv 1 inv inv 3 value 1 value value ε β 11

13 Empirische Wirtschaftsforschung 13 In diesem Fall sind die Firmen in den Variablenbezeichnungen kodiert, inv 1 bezeichnet die Investitionen der 1 Firma, oder capital 3 ist der Kapitalstock der 3 Firma Sowohl für Panel- als auch für die Schätzung von Mehrgleichungsmodellen müssen die Daten meist gestackt werden, dh die Daten aller Individuen werden übereinander gestapelt, wie in Tabelle 16 gezeigt Diese Anordnung der Daten wird meist Long -Format genannt Tabelle 16: Daten im Long -Format (Grunfeld Daten obs firm year inv value Mit allen üblichen statistischen Programmen können Daten vom Long in das Wide Format und umgekehrt transformiert werden EViews Die benötigten Befehle sind pagestack, pageunstack und pagestruct Für den Grunfeld Datensatz zb wfopen " Long -> Wide pageunstack(pagewide firm year Wide -> Long pagestack(pagelong inv? value? inv? value? capital? rename var01 firm pagestruct R In R können die Pakete reshape oder reshape verwendet werden Für die Paneldatenstruktur wird das Packet plm benötigt Zum Beispiel Grunfeld <- readcsv(" library(reshape Grunfeld_Long <- melt(grunfeld, idc("firm","year" Grunfeld_Wide <- dcast(grunfeld_long, year ~ variable + firm # Back from Wide to Long Grunfeld1 <- melt(grunfeld_wide, id "year" Grunfeld <- cbind(grunfeld1, colsplit(grunfeld1$variable, "_",

14 Empirische Wirtschaftsforschung 14 names c("var", "firm" Grunfeld$variable <- NULL Grunfeld3 <- dcast(grunfeld, firm + year ~ var Stata Mit reshape und xtset kann die Struktur beliebig verändert werden, zum Beispiel clear insheet using "C:/home/lehre/oekono/data/Grunfeldcsv", comma clear * Data Long xtset firm year, yearly * list in 1/3 reshape wide inv value capital, i(year j(firm list in 1/3 * -> Long reshape long xtset firm year, yearly list in 1/3 oder clear * Data Wide insheet using "C:/home/lehre/oekono/data/Grunfeld_widecsv", comma clear reshape long inv_ value_ capital_, i(year j(firm rename inv_ inv rename value_ value rename capital_ capital xtset firm year, yearly * -> Wide reshape wide inv value capital, i(year j(firm * -> Long reshape long SUR Schätzung Um in EViews ein Systemschätzverfahren anwenden zu können muss zuerst ein System-Objekt erzeugt werden ( Objects New Objects System, oder einfacher mit dem Befehl System im Kommandofenster Es öffnet sich ein Specification- Window, in das die zu schätzenden Gleichungen in der langen Form eingegeben werden Für unser Grunfeld Beispiel wäre das zb inv1 c(1 + c(*value1 + c(3*capital1 inv c(4 + c(5*value + c(6*capital

15 Empirische Wirtschaftsforschung 15 wobei c der EViews-Default Koeffizientenvektor ist Anstelle dessen können auch neue Koeffizientenvektoren definiert und verwendet werden (zb mit coef(3 b Für die Schätzung dieser Systeme stehen eine Reihe von Methoden zur Verfügung Das folgende kleine EViews Programm legt ein neues Workfile an, liest die Daten, definiert ein System und schätzt dieses mit SUR SUR Schätzung cd "c:\mydata" wfopen " pagecontract if firm < Wide - Format pageunstack(pagewide firm year system GRUNFELD GRUNFELDappend inv1 c(1 + c(*value1 + c(3*capital1 GRUNFELDappend inv c(4 + c(5*value + c(6*capital GRUNFELDsur SUR (Zellner Dieses Programm folgenden Output System: GRUNFELD Estimation Method: Seemingly Unrelated Regression Sample: 1 0 Included observations: 0 Total system (balanced observations 40 Linear estimation after one-step weighting matrix Coefficient Std Errort-Statistic Prob C( C( C( C( C( C( Determinant residual covariance Equation: INV1 C(1 + C(*VALUE1 + C(3*CAPITAL1 Observations: 0 R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared SD dependent var SE of regression Sum squared resid Durbin-Watson stat Equation: INV C(4 + C(5*VALUE + C(6*CAPITAL Observations: 0

16 Empirische Wirtschaftsforschung 16 R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared SD dependent var SE of regression Sum squared resid Durbin-Watson stat Folgende System-Schätzmethoden stehen in EViews zur Verfügung: 3sls three-stage least squares fiml full information maximum likelihood gmm generalized method of moments ls ordinary least squares sur seemingly unrelated regression tsls two-stage least squares wls weighted least squares wtsls weighted two-stage least squares (3sls, fiml, gmm, tsls und wtsls werden später vorgestellt Mit System können die üblichen Wald-Tests einfach wie bei Einzelgleichungsverfahren durchgeführt werden Durch Eingabe der entsprechender nichtlinearer Gleichungen können auch in den Variablen und/oder Koeffizienten nichtlineare Systeme geschätzt werden Restriktionen über die Gleichungen können eingegeben werden, indem die entsprechenden Koeffizienten verwendet werden Im Grunfeld Beispiel könnte zb ein unterschiedliches Interzept für beide Firmen zugelassen werden, aber die Restriktion gleicher Steigungskoeffizienten auferlegt werden Das System wäre inv1 c(1 + c(*value1 + c(3*capital1 inv c(4 + c(*value + c(3*capital und kann einfach mit einer entsprechenden Methode geschätzt werden R In R müssen die Pakete plm und systemfit installiert werden rm(list objects( setwd("c:/home/data/" # Einlesen des Datensatzes Grunfeld <- readcsv(" library(plm GF <- subset(grunfeld, firm %in% c(1, GF <- plmdata(gf, c("firm", "year" library(systemfit

17 Empirische Wirtschaftsforschung 17 SUR <- systemfit(inv ~ value + capital, method "SUR", methodresidcov "nodfcor", data GF SURsum <- summary(sur, residcov TRUE, equations FALSE SURsum Das Ergebnis: systemfit results method: SUR N DF SSR detrcov OLS-R McElroy-R system N DF SSR MSE RMSE R Adj R The covariance matrix of the residuals used for estimation The covariance matrix of the residuals The correlations of the residuals Coefficients: Estimate Std Error t value Pr(> t 1_(Intercept X1_value e-05 *** X1_capital e-09 *** _(Intercept X_value * X_capital ** --- Signif codes: 0 *** 0001 ** 001 * Stata Das gleiche Ergebnis erhält man in Stata mit clear insheet using "C:/home/lehre/oekono/data/Grunfeldcsv", comma clear

18 Empirische Wirtschaftsforschung 18 xtset firm year, yearly drop if firm > reshape wide inv value capital, i(year j(firm sureg (inv1 value1 capital1 (inv value capital, corr sureg (inv1 value1 capital1 (inv value capital, corr Seemingly unrelated regression Equation Obs Parms RMSE "R-sq" chi P inv inv Coef Std Err z P> z [95% Conf Interval] inv1 value capital _cons inv value capital _cons Correlation matrix of residuals: inv1 inv inv inv Breusch-Pagan test of independence: chi(1 1367, Pr 043 Übung: Verwenden Sie die ersten sechs Beobachtungen des Grunfeld-Datensatzes und berechnen Sie den SUR-Schätzer mit Excel Vergleichen Sie die Resultate mit denen von EViews, R oder Stata Literaturverzeichnis Greene, W H (007, Econometric Analysis, 6th edn, Prentice Hall Griffiths, W E, Hill, R C and Judge, G G (1993, Learning and Practicing Econometrics, 1 edn, Wiley Kleiber, C and Zeileis, A (010, The Grunfeld Data at 50, German Economic Review 11(4, URL: